复变函数与积分变换试题及答案

复变函数与积分变换试题（一）

一、填空(3分×10)

1．)31ln(i --的模 ﻩﻩ ,幅角 ﻩﻩ 。 2．-8ｉ的三个单根分别为: , ， 。 3．Ln ｚ在 的区域内连续。 4．z z f =)(的解极域为：ﻩ ﻩﻩ ﻩ

。

5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f ﻩ

ﻩﻩ。

６．=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s ﻩﻩ

ﻩ。

７.指数函数的映照特点是：ﻩﻩﻩ ﻩ ﻩﻩ ﻩﻩ。

8.幂函数的映照特点是:

ﻩ

ﻩﻩ ﻩ

ﻩ。 9.若)(ωF =F [f (ｔ)]，则)(t f = F )][(1ω-f

ﻩﻩ ﻩﻩ。

10．若f （t )满足拉氏积分存在条件，则L ［f (t )]= ﻩ

ﻩ

。

二、(10分)

已知222

1

21),(y x y x v +-=,求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解

析函数,且ｆ(０)=0。

三、(1０分)应用留数的相关定理计算

⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz

四、计算积分（5分×２) 1．⎰=-2

||)

1(z z z dz

2．⎰

-c i z z

3

)(cos C :绕点i 一周正向任意简单闭曲线。

五、（10分）求函数)

(1

)(i z z z f -=

在以下各圆环内的罗朗展式。

1．1||0<-

六、证明以下命题:（5分×2)

(１))(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。 (2))(2ωπδ=⎰∞

+∞-ω-dt e t i

七、(10分)应用拉氏变换求方程组⎪⎩

⎪

⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足ｘ（０)=y (0)＝z (０)=0的

解y （t ）。

八、（1０分)就书中内容,函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。

复变函数与积分变换试题答案(一）

一、1．22

9

42ln π+

ﻩ ，ππ

k arctg 22

ln 32+- ﻩﻩ2．

3-i ﻩﻩ2i 3-ｉ

ﻩ３. Ｚ不取原点和负实轴ﻩ４. 空集ﻩ ５.ﻩ２z ﻩ6. 0ﻩ7．将常形域映为角形域

ﻩ8.ﻩ角形域映为角形域 9．

⎰

∞+∞

-ωωπ

ωωd e F i )(21ﻩﻩﻩ10．⎰∞

+-0)(dt e t f st ﻩ

二、解:∵

y u x x v ∂∂-=-=∂∂ﻩ x u y y v ∂∂==∂∂∴c xy u +=ﻩ （5分)

c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22212

1

)(

∵f (0)=0ﻩﻩﻩﻩc =0 （３分)

∴222222

)2(2)(2)(z i xyi y x i y x i xy z f -=+--=--

=

（2分)

三、解:原式=(２分）⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡

--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1

Re 26

2

1πﻩﻩ01=z ﻩ12=z （2分)⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡

---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1

Re 26

4

3

π ﻩ33=z ∞=4z

2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--分）z z z s

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0

∴原式＝(2分) 2

3126⨯⨯

i π=i 63π-

四、1．解:原式⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 22

1ﻩ(3分)ﻩz 1=0 z ２=1

ﻩﻩ]11[2+-=i π＝0 ﻩ (2分)

ﻩ2．解:原式i

z z i

=''=

s co !

22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-==1ich π-

五、1．解：

n

n i i z i i z i

i z i

i z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫

⎝⎛--⋅-=-+

⋅

⋅-=+-⋅-=0111111

)(111)(11)(分）（分）（分）（

1

1

)

(--∞

=-=∑n n n i z i

n n

n i z i )(1

-=∑∞

-=(２分)

ﻩ２．解：⎪⎭

⎫

⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)

(1

1)(1)(11)(2

分）（分）（

（1分）n

n i z i i z ∑∞

=⎪⎭⎫ ⎝⎛

---=

02

)(1

2

0)(11+∞

=-=∑n n n i z i 20

)(--∞=-=∑n n n i z i ﻩ(2分） 六、1．解:∵

0)(0t i e t t t

i t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞

-=-⎰

ﻩ（3分)ﻩ∴结论成立

（２)解：∵1)(2210

==ωπδπ=ωω-ω-∞

+∞

-⎰t

i t i e dw e ﻩﻩ(２分)

ﻩ∴)(2w πδ与１构成傅氏对 ﻩ

∴

)(2ωπδω=-∞+∞

-⎰

dt e t i ﻩ(2分）

七、解：∵⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧=+=++=++)

3(0)(4)()2(0

)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX ﻩﻩ(３分) S （2）-（１): ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=

s s s Y 111)(2⎪⎭

⎫ ⎝⎛++--=--=111121111

2

s s s s s s ﻩﻩ(3分） ∴cht e e t Y t

t -=--

=-12

1211)(