加法交换律

课后，某位老师的疑问引起我反思，难道“没有计算直接从左至右模仿写等式”这种方法就是不科学的？经查阅，教学参考书中对加法交换律是这样定义的：“在数学基础理论中，加法交换律和结合律通常是以集合论为依据加以证明的。此外，也可以用计数公理‘计数的结果与计数的顺序无关’来说明：任意两个数a与b相加，不论是a＋b（相当于先数a，再数b），还是b＋a（相当于先数b，再数a），结果都一样。”从这段解释中，可看出仅从数学结论而言，这样的写法可行，即使没有计算单纯模仿也一定会得到等式，并且有专家言“其本质就是一个数，它只不过拆成了两个或者更多个不同的数而已，把这些拆分出来的若干个数交换位置重新相加，和即原来那个数。”这句话点出了对加法交换律本质的深刻理解，而我们只是刻意地从形式上来验证“和不变”从而得出结论，对于数学规律的理解还停留在浅显的表面，今后更需好好研究。当然，作为四年级的学生，从最近发展区认知水平及教学目标出发，这个年龄阶段在一节课时中理解抽象的规律本质是无法达成的，故让学生体悟验证的真实性及严谨性也有存在的意义。
第二环节，为什么采用举例验证的方法对猜想的正确性进行事实举证？这符合学生的认知特点和内容需要。在数的性质与规律教学中大多采用归纳推理的方式获得结论，还包括通过举反例的方式否定结论。在本节课中，通过讨论让学生得出可用举例的方法来验证猜想，符合学生的经验基础和探究起点。同时，在这个环节中，很重要的一点，是要渗透加法交换律中“数”的范畴的理解，进一步拓展体会出这个“加数”也可以是小数、分数等，不仅仅局限于整数。
设计理念：
到底什么是加法交换律？可以花15分钟让学生明白的定律为何需要一节课的时间探究？到底课堂之后要让学生内心留下些什么？我想，这就是设计本堂课的关注点。基于以上思考，设计了以下五个环节进行教学：一、初步感知加法交换律，提出猜想；二、举例验证加法交换律，揭示结论；三、展开联想，引出新猜想；四、分层练习，体会加法交换律的价值；五、回归认知基础，趣味小结。以“提出猜想——验证猜想”为主线，引发学生不断思考，采用举例子的方法来进行验证探究，发展数学思维，真正使课堂有意义。
同学们，验算加法可是咱们三年级的知识，看来没学习加法交换律之前，它已经在数学中广泛应用了啊！
五、回归认知基础，趣味小结
1．回忆旧知。（课件第12、13页）
想一想，除了加法验算，在以前的学习中，还有没有接解过加法交换律呢？
出示欣赏：
一年级：
2．趣味小结。
同学们，今天我们一起验证了加法交换律，你有什么收获吗？你是通过什么方法来验证的？通过一个故事，老师还希望你们有新的收获！（课件第14页）
2．提出猜想。
学生沉默思考，师引导大胆说猜想。
预设反馈：两个加数交换位置，和不变。
处理：只有这三个例子，你就能验证“两个加数交换位置，和不变”这个猜想成立？有什么好办法？怎么举例？你们会举例吗？
3．再次明确验证方法——举例子。
好了，同学们，不管哪种猜想成立，我们都得用什么方法来进行验证？我把时间交还给同学们，请你用举例子的方法来验证你的猜想！有个小小的要求，如果你发现得数不变的话就像大屏幕上一样在两个算式中间划上一个什么符号？2分钟时间，开始！
全班学生朗读，烘托娱乐气氛。
（课件第2、3页）
逐个出示：
同学们爱吃巧克力老师正在看《快乐大本营》
能这么交换吗？是啊，一交换就全乱套了，咱们继续来看。
（课件第4页）
逐个出示：喜羊羊与灰太狼美女与帅哥
这个能交换吗？交换后意思变了吗？
看来啊，在语文学习中，有些词语能任意交换位置，意思不变，而有些交换后则会闹笑话！那么，在咱们数学中有没有什么时候交换位置，结论却不变呢？今天我们就一起来研究加法运算中的定律，好吗？
表现真棒，光会计算可不够，聪明的同学还会观察，你发现了什么？是这样吗？既然得数相等，两个算式中间就可用等号连接。
出示“＝”连接算式：5＋9＝9＋5
8＋17＝17＋8
23＋35＝35＋23
像这样的例子“两个加数交换位置，和不变”只有这三个？有多少？
那么，两个加数交换位置，和都不变？
（课件第6页文字）
出示：两个加数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ换位置，和都不变？
1. 填一填。（课件第9页）
出示：
（1）300＋600＝＿＋＿
（2）＿＋65＝＿＋35
（3）98○24＝24○98（本题当同学反馈填“乘号”时，应给予肯定）
（4）＿＋＿＝＿＋＿
能填完吗？谁能用一种方式来表示所有情况？（得出字母表示：a＋b＝b＋a）
这样的填法就是加法交换律的符号表示法，你们可以用自己喜欢的方式填。
第五个环节，用一种欣赏的方式回归数学知识学习，让学生了解新旧知识之间的紧密联系，同时引导学生能用自己的话语总结出“举例子要全面”等体现探究方法的收获，而结尾的趣味小故事留给学生无限遐想，意会乐趣。
教学目标：
1．知识与技能。
使学生理解并掌握加法交换律，体会加法交换律中“数”这个范畴的全面性，通过知识迁移初步得出乘法交换律等新结论，能用自己喜欢的方法表示加法交换律。
二、举例验证加法交换律，揭示结论
（课件第7页文字）
1．学生在自备本上举例，师巡视强调有意义的验证方法。
同学们，刚才老师观察你们在验证的过程中出现了这样两种情况，请看投影。
师投影书写：8＋29＝29＋8（计算后再划等号）；
37 37
8＋29＝29＋8（没有计算直接从左至右模仿写）
你欣赏谁的验证方法？为什么？
教学难点：
在学习过程中充分体悟“发现规律——验证规律”的探究方式，体会学习数学的乐趣。
教学准备：多媒体课件、学生自备本。
教学过程：
（课件第1页）课前投影展示：
课前谈话：
同学们，认识我吗？很高兴今天能跟咱们407班的同学一起来研究并感受数学的魅力！上课之前，咱们先来做个游戏好吗？老师将会在屏幕上出示一些语句，请你将标有下划线的短语交换位置，看看意思有没有变化，准备好了吗？
预设猜想（2）：两数相减，交换它们的位置，差不变？
预设猜想（3）：两数相乘，交换它们的位置，积不变？
预设猜想（4）：两数相除，交换它们的位置，商不变？
这些猜想可是你们自己提出来的，真厉害呀！那到底成立吗？怎么验证？
3．交流反馈猜想（1）、（2）。
讨论猜想（1）：哪个成立？请举例。
生汇报：如3＋5＋6＝3＋6＋5 18＋12＋10＝12＋18＋10……
这就是数学给我们带来的特别的思维方式，下课！
教学板书：
加法交换律
两个加数交换位置，和不变。
教学反思：
1. 第二环节“举例验证，揭示结论”第一层次处理中设计安排“强调有意义的验证方法”环节有其存在的意义。此设计是考虑到某些学生并非很明确自己要怎样验证（任意写出一个加法式子求和，交换位置再相加，看两次和如果相等才划上等号，再进行几个类似的验证），而是会按照屏幕上的等式进行模仿写出若干个等式，这样就失去了验证这个行为的真实性及严谨性，从而显得无意义。
第三环节的设计意图，回归到猜想这种数学思维方式的优越性上来，猜想是人们依据事实，凭借直觉所作出的一种大胆的假设，让学生通过结论鼓励引导学生大胆地去猜想，它是一种积极性的创造活动，离开课堂，学生的实践能力和创新能力才是真正能影响其一生的品质。当然由于时间限制，关于新猜想能不能详细展开探究，点到即可。
第四个环节的练习安排分层次进行：第1题“填一填”让学生从加法交换律的应用体会到不完全归纳法，进而思考采用字母的表达方式，渗透符号感及抽象归纳意识；第2题的判断运用了对比的方法，让学生根据自己对加法交换律的含义的理解判断说理，进一步巩固理解定律。第3题设计源于学习加法交换律的意义，让学生感悟并不是为交换而交换来学习这个知识，而是基于对生活实际的需要，数学知识最终将回归并运用于生活，这也是学习加法交换律的真正价值。
那如果是四个加数交换位置呢？
讨论猜想（2）：猜想（2）成立吗？请举例。
生汇报：如：17—6 ≠ 6—17
你们举了一个例子就证明这猜想不成立？刚刚验证加法交换律我们不是举了很多例子吗？
引导学生讨论感悟：证明某个猜想不成立，只需要举一个反例就可以。
四、分层练习，体会加法交换律的价值
好了，同学们，觉得自己学得如何？下面咱们就学以致用，好吗？
猜想验证是一种重要的数学思想方法，我们应在向学生讲解具体知识的同时，也要求他们从小就学习运用这种思想方法。
第一环节，为什么要先让学生提出猜想？数学猜想是人的思维在探索数学规律本质时的一种策略。数学猜想能充分发挥教学的优势，激励学生之间互相讨论和启发，能以它独有的魅力，很快地扣住学生的心弦，使其情绪高涨，思维活跃，产生良好的学习动机，因此设计用猜想引入。
一、初步感知加法交换律，提出猜想
（课件第5页）
1．亲历口算，提出问题。
在研究之前，咱们先来做几道口算！当老师数完1、2、3后，同学们就把得数报出来，注意声音要整齐响亮干脆，行吗？
（课件第6页算式）
逐个出示： 5＋9 9＋5
8＋17 17＋8
23＋35 35＋23
学生集体报得数：14 14 25 25 58 58
2．收集呈现各层次例子，反馈交流。
层次（1）：出示比较简单的例子，如：5＋7＝7＋5，6＋9＝9＋6，18＋1＝1＋18，24＋5＝5＋24……
处理：你的例子验证了哪个猜想成立？你们觉得他举得例子怎么样？那应该怎么举例？
层次（2）：出示相对较完整的例子，如：45＋9＝9＋45，33＋10＝10＋33，67＋46＝46＋67，28＋19＝19＋28，555＋10＝10＋555……
三位科学家一起去苏格兰参加一个会议，沿途的时候，发现了一只黑色的羊，三位科学家就表达了自己的想法。生物学家第一个说：“呀，真奇怪，苏格兰的羊竟然都是黑色的！”物理学家的想法跟你们一样，他说：“正确的说法是在苏格兰有一些羊是黑色的。”想知道数学家是怎么说的吗？数学家说：“你们说的都不对，准确的说法应该是，在苏格兰，至少有一个地方，至少有一只羊，至少从这个侧面看，它是黑色的。”