平均增长率
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22.3 增 长 率 问 题
1111
一.复习填空:
1、某工厂一月份生产零件1000个，二月份 生产零件1200个，那么二月份比一月份增 产 200 个？增长率是多少 20% 。 增长量=原产量×增长率 2、银行的某种储蓄的年利率为6%，小民 存1000元，存满一年，利息= 60元 。 利息= 本金×利率 存满一年连本带利的钱数是 1060元 。
D 1.12×1000元
1000元 C 1.12
2.某种药剂原售价为4元, 经过两次降价, 现 在每瓶售价为2.56元,问平均每次降价百分 之几?
解 设平均每次降价x%，由题意得 4(1-x%)2=2.56
3.某公司计划经过两年把某种商品的生 产成本降低19%，那么平均每年需降 低百分之几?
解 设平均每年需降低x%，由题意得 (1-x%)2=1-19%
探究
有一人患了流感,经过两轮 传染后共有121人患了流感,每轮传 染中平均一个人传染了几个人? 思考:如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多 少人患流感?n轮后呢?
(1 x)
n
你能快 速写出 吗?
例
2003年我国政府工作报告指出:为解决农 民负担过重问题,在近两年的税费政策改革中, 我国政府采取了一系列政策措施,2001年中央财 政用于支持这项改革试点的资金约为180亿元, 预计到2003年将到达304.2亿元,求2001年到 2003年中央财政每年投入支持这项改革资金的 平均增长率? 分析:设这两年的平均增长率为x, 2001年 2002 年 2003年 2 180 (1 x) 180 180(1+x)
6.某试验田去年亩产1000斤，今年比去年增产 1100 10%，则今年亩产为___________斤,计划明年 再增产10%，则明年的产量为 1210 斤。 7.某厂一月份产钢50吨，二、三月份的增长率都 50(1+x)2 是x，则该厂三月分产钢______________吨.
有一人患了流感,经过两轮传染后 通过对这个问题的 共有121人患了流感,每轮传染中平均一 探究,你对类似的传播 个人传染了几个人? 问题中的数量关系有
2、某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营 业额共1000万元，如果平均月增长率为x，则由题意得方程为 -------------------------( D ) A. 200(1+x)2=1000 C.200+200×3×x=1000 B. 200+200×2×x=1000 D. 200+200(1+x)+ 200(1+x)2=1000
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明 两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在 实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程
为
.
再试一试：
1、某农场粮食产量是：2003年1200万千克，2004年为1452万千 克。如果平均每年的增长率为x，则可得方程 A ) ---------------------------------------( A. C. 1200(1+x) =1452 1200(1+x%)2=1452 B. D. 1200(1+2x)=1452 1200(1+x%)=1452
1、平均增长（降低）率公式
a(1 x) b
2
2、注意： （1）1与x的位置不要调换 （2）解这类问题列出的方程一般 用 直接开平方法
新的认识吗? 分 第二轮传染后 第一轮传染 1+x 1+x+x(1+x) 后 析 1 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 开始有一人患了流感,第一轮的传染源就是这个人,他传 (x+1) 染了x个人,用代数式表示,第一轮后共有_____人患了流 感;第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了x个人, 1+x+x(1+x) 用代数式表示,第二轮后共有____________人患了流感.
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后
甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本 为 5000(1-x)2 元,依题意得
解方程,得
1
5000 (1x) 3000
2
2
算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少?
设乙种药品的下降率为y 6000 ( 1－y )2 = 3600 y1≈0.225，y2≈－1.775
答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
x 0.225, x 1.775(不合题意, 舍去)
22.5%
比较:两种药品成本的年平均下降率 (相同)
经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它 的成本下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的 变化状况？
得到的结论就是：甲乙两种药品的平均下降率相同 成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大． 不但要考虑它们的平均下降额，而且要考虑它们的平均下降率．
解:这两年的平均增长率为x, 2 依题有 180 (1 x)
304 .2
例2.某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000 吨，3月上升到7200吨,这两个月平均每个月 增长的百分率是多少? 5000x 分析:则2月份比一月份增产________ 吨. 2月份的产量是 _______________吨 5000(1+x) 5000(1+x)x 3月份比2月份增产____________ 吨 3月份的产量是 ____________ 吨 5000(1+x)2 解:设平均每个月增长的百分率为x，依题意得 5000(1+x)2 =7200 解得， x1=0.2 x2=-2.2 (不合题意), 答:平均每个月增长的百分率是20%.
4.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计 到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年 平均增长率.
解 设这两年的年平均增长率为x,由题意得 5(1+x)2=7.2
5.某公司一月份的营业额为100万元，第一 季度总营业额为331万元，求二、三月份 平均每月的增长率是多少？
解 设二、三两月的平均增长率为x,由题意得 100+100(1+x)+100(1+x)2=331
1+x+x(1+x)=121 解方程,得 x1 _____,x2 ______. 10 -12 (不合题意,舍去)
10 答:平均一个人传染了________个人.
如果按照这样的传染速度, 三轮传染后有多少人患流感? N轮后呐?
121+121×10 =1331人
(1 x)
n
你能快 速写出 吗?
总结: 1.两次增长后的量=原来的量(1+增长率)2 若原来为a,平均增长率是x,增长后的量为b 则 第1次增长后的量是a(1+x) =b 第2次增长后的量是a(1+x)2=b …… 第n次增长后的量是a(1+x)n=b 这就是重要的增长率公式.
2、反之，若为两次降低，则 平均降低率公式为 a(1-x)2=b
2
整理得 30% x2 2.3 0不合题意， 舍去。 x1 0.3
探究2
两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨 乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步, 现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙 种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均 下降率较大? 分析:甲种药品成本的年平均下降额为 (5000-3000)÷2=1000(元) 乙种药品成本的年平均下降额为 (6000-3600)÷2=1200(元) 乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平 均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数)
6.党的 十六大提出全面建设小康社会，加快社 会主义现代化 建设 ，力争国民生产总值到2020 年比2000年翻两翻，在本世纪的头20年（2001— 2020年）要实现这一目标，以十年为单位计算， 设每个十年的国民生产总值的增长率是Ⅹ 那么 Ⅹ满足的
A （ 1+x)2= 2 C 1+2x=2 B ( 1+x)2= 4 D (1+x)+2(1+x)2=4
小结 类似地 这种增长率的问题在实际
生活普遍存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长 (或降低)前的是a,增长(或降低)n次后 的量是A,则它们的数量关系可表示为
a(1 x) A
n
源自文库
其中增长取+,降低取－
练习:
1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产
量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( B A.500(1+2x)=720 C.500(1+x2)=720 B.500(1+x)2=720 D.720(1+x)2=500 )
3、某商场二月份的销售额为100万元，三月份
的销售额下降了20%，商场从四月份起改进经 营措施，销售额稳步增长，五月份销售额达到 135.2万元，求四、五两个月的平均增长率。
解：设四、五两个月的平均增长率为x, 根据题意，得：
100 (1 20%)(1 x) 135 .2 2 1 x 1.3 (1 x) 1.69
3.某产品，原来每件的成本价是500元，若 每件售价625元，则每件利润是 125元 . 每件利润率是 25% . 利润=成本价×利润率
4.康佳生产彩电,第一个月生产了5000台,第 二个月增产了50%,则:第二个月比第一个月 5000(1+50%) 增加了 _______台,第二个月生产了______台; 5000×50% 5. 康佳生产彩电,第一个月生产了5000台,第 二个月增产到150%,则:第二个月生产了 ________ 台;第二个月比第一个月增加了 5000×150% 50% ___________- 1) 增长率是________; 5000 (150% 台,
例3、某药品经两次降价， 零售价为原来的一半。已知 两次降价的百分率一样，求 每次降价的百分率。（精确 到0.1℅）
新兴电视机厂由于改进技术， 降低成本,电视机售价连续两次降 价10﹪,降价后每台售价为1000元, 问该厂的电视机每台原价应为 ( ) B 1000元
A 0.92×1000元 B
0.92
1111
一.复习填空:
1、某工厂一月份生产零件1000个，二月份 生产零件1200个，那么二月份比一月份增 产 200 个？增长率是多少 20% 。 增长量=原产量×增长率 2、银行的某种储蓄的年利率为6%，小民 存1000元，存满一年，利息= 60元 。 利息= 本金×利率 存满一年连本带利的钱数是 1060元 。
D 1.12×1000元
1000元 C 1.12
2.某种药剂原售价为4元, 经过两次降价, 现 在每瓶售价为2.56元,问平均每次降价百分 之几?
解 设平均每次降价x%，由题意得 4(1-x%)2=2.56
3.某公司计划经过两年把某种商品的生 产成本降低19%，那么平均每年需降 低百分之几?
解 设平均每年需降低x%，由题意得 (1-x%)2=1-19%
探究
有一人患了流感,经过两轮 传染后共有121人患了流感,每轮传 染中平均一个人传染了几个人? 思考:如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多 少人患流感?n轮后呢?
(1 x)
n
你能快 速写出 吗?
例
2003年我国政府工作报告指出:为解决农 民负担过重问题,在近两年的税费政策改革中, 我国政府采取了一系列政策措施,2001年中央财 政用于支持这项改革试点的资金约为180亿元, 预计到2003年将到达304.2亿元,求2001年到 2003年中央财政每年投入支持这项改革资金的 平均增长率? 分析:设这两年的平均增长率为x, 2001年 2002 年 2003年 2 180 (1 x) 180 180(1+x)
6.某试验田去年亩产1000斤，今年比去年增产 1100 10%，则今年亩产为___________斤,计划明年 再增产10%，则明年的产量为 1210 斤。 7.某厂一月份产钢50吨，二、三月份的增长率都 50(1+x)2 是x，则该厂三月分产钢______________吨.
有一人患了流感,经过两轮传染后 通过对这个问题的 共有121人患了流感,每轮传染中平均一 探究,你对类似的传播 个人传染了几个人? 问题中的数量关系有
2、某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营 业额共1000万元，如果平均月增长率为x，则由题意得方程为 -------------------------( D ) A. 200(1+x)2=1000 C.200+200×3×x=1000 B. 200+200×2×x=1000 D. 200+200(1+x)+ 200(1+x)2=1000
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明 两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在 实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程
为
.
再试一试：
1、某农场粮食产量是：2003年1200万千克，2004年为1452万千 克。如果平均每年的增长率为x，则可得方程 A ) ---------------------------------------( A. C. 1200(1+x) =1452 1200(1+x%)2=1452 B. D. 1200(1+2x)=1452 1200(1+x%)=1452
1、平均增长（降低）率公式
a(1 x) b
2
2、注意： （1）1与x的位置不要调换 （2）解这类问题列出的方程一般 用 直接开平方法
新的认识吗? 分 第二轮传染后 第一轮传染 1+x 1+x+x(1+x) 后 析 1 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 开始有一人患了流感,第一轮的传染源就是这个人,他传 (x+1) 染了x个人,用代数式表示,第一轮后共有_____人患了流 感;第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了x个人, 1+x+x(1+x) 用代数式表示,第二轮后共有____________人患了流感.
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后
甲种药品成本为5000(1-x)元,两年后甲种药品成本 为 5000(1-x)2 元,依题意得
解方程,得
1
5000 (1x) 3000
2
2
算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少?
设乙种药品的下降率为y 6000 ( 1－y )2 = 3600 y1≈0.225，y2≈－1.775
答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
x 0.225, x 1.775(不合题意, 舍去)
22.5%
比较:两种药品成本的年平均下降率 (相同)
经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它 的成本下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的 变化状况？
得到的结论就是：甲乙两种药品的平均下降率相同 成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大． 不但要考虑它们的平均下降额，而且要考虑它们的平均下降率．
解:这两年的平均增长率为x, 2 依题有 180 (1 x)
304 .2
例2.某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000 吨，3月上升到7200吨,这两个月平均每个月 增长的百分率是多少? 5000x 分析:则2月份比一月份增产________ 吨. 2月份的产量是 _______________吨 5000(1+x) 5000(1+x)x 3月份比2月份增产____________ 吨 3月份的产量是 ____________ 吨 5000(1+x)2 解:设平均每个月增长的百分率为x，依题意得 5000(1+x)2 =7200 解得， x1=0.2 x2=-2.2 (不合题意), 答:平均每个月增长的百分率是20%.
4.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计 到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年 平均增长率.
解 设这两年的年平均增长率为x,由题意得 5(1+x)2=7.2
5.某公司一月份的营业额为100万元，第一 季度总营业额为331万元，求二、三月份 平均每月的增长率是多少？
解 设二、三两月的平均增长率为x,由题意得 100+100(1+x)+100(1+x)2=331
1+x+x(1+x)=121 解方程,得 x1 _____,x2 ______. 10 -12 (不合题意,舍去)
10 答:平均一个人传染了________个人.
如果按照这样的传染速度, 三轮传染后有多少人患流感? N轮后呐?
121+121×10 =1331人
(1 x)
n
你能快 速写出 吗?
总结: 1.两次增长后的量=原来的量(1+增长率)2 若原来为a,平均增长率是x,增长后的量为b 则 第1次增长后的量是a(1+x) =b 第2次增长后的量是a(1+x)2=b …… 第n次增长后的量是a(1+x)n=b 这就是重要的增长率公式.
2、反之，若为两次降低，则 平均降低率公式为 a(1-x)2=b
2
整理得 30% x2 2.3 0不合题意， 舍去。 x1 0.3
探究2
两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨 乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步, 现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙 种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均 下降率较大? 分析:甲种药品成本的年平均下降额为 (5000-3000)÷2=1000(元) 乙种药品成本的年平均下降额为 (6000-3600)÷2=1200(元) 乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平 均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数)
6.党的 十六大提出全面建设小康社会，加快社 会主义现代化 建设 ，力争国民生产总值到2020 年比2000年翻两翻，在本世纪的头20年（2001— 2020年）要实现这一目标，以十年为单位计算， 设每个十年的国民生产总值的增长率是Ⅹ 那么 Ⅹ满足的
A （ 1+x)2= 2 C 1+2x=2 B ( 1+x)2= 4 D (1+x)+2(1+x)2=4
小结 类似地 这种增长率的问题在实际
生活普遍存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长 (或降低)前的是a,增长(或降低)n次后 的量是A,则它们的数量关系可表示为
a(1 x) A
n
源自文库
其中增长取+,降低取－
练习:
1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产
量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( B A.500(1+2x)=720 C.500(1+x2)=720 B.500(1+x)2=720 D.720(1+x)2=500 )
3、某商场二月份的销售额为100万元，三月份
的销售额下降了20%，商场从四月份起改进经 营措施，销售额稳步增长，五月份销售额达到 135.2万元，求四、五两个月的平均增长率。
解：设四、五两个月的平均增长率为x, 根据题意，得：
100 (1 20%)(1 x) 135 .2 2 1 x 1.3 (1 x) 1.69
3.某产品，原来每件的成本价是500元，若 每件售价625元，则每件利润是 125元 . 每件利润率是 25% . 利润=成本价×利润率
4.康佳生产彩电,第一个月生产了5000台,第 二个月增产了50%,则:第二个月比第一个月 5000(1+50%) 增加了 _______台,第二个月生产了______台; 5000×50% 5. 康佳生产彩电,第一个月生产了5000台,第 二个月增产到150%,则:第二个月生产了 ________ 台;第二个月比第一个月增加了 5000×150% 50% ___________- 1) 增长率是________; 5000 (150% 台,
例3、某药品经两次降价， 零售价为原来的一半。已知 两次降价的百分率一样，求 每次降价的百分率。（精确 到0.1℅）
新兴电视机厂由于改进技术， 降低成本,电视机售价连续两次降 价10﹪,降价后每台售价为1000元, 问该厂的电视机每台原价应为 ( ) B 1000元
A 0.92×1000元 B
0.92