§8.6 z变换与拉氏变换的关系
数字信号处理第2章
Z变换与拉氏变换的关系:
这一关系实际上是通过 到了Z平面。
若将Z平面用极坐标表示
标表示
，代入
将S平面的函数映射
，S平面用直角坐 ，得：
上述关系表明： z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应， z 的幅角 则仅与 s 的虚部 对应。
映射关系：
Z变换与拉氏变换的关系
0 0,2 (S平面实轴映射到Z平面的正实轴)
解：
，求它的傅立叶变换。
其幅度谱和相位谱分别为：
典型例题
❖ 例2 已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。
解：
显然序列 h(n)不是绝对可和的，而是平方可和 的 ，但其依然存在傅立叶变换。 Parseval定理
典型例题
❖ 例3 证明复指数序列 x(n) e j0n 的傅立叶变换为：
证：根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函 数 的性质，有：
即序列绝对可和
某的有 立些序些叶既列序变不，列换满若虽依足引然然绝入不存对频满在可 域足。和的以见的冲上后条击条例件函件。也数，不但满满，足足其平平傅方方立可可叶和和变条，换件其傅
也存在。如
、某些周期序列，见后例。
序列傅立叶变换的定义
5．常用序列的傅立叶变换
序列
(n)
傅立叶变换
1
1
典型例题
❖ 例1 已知
A形k(式k=求0,X取1(…：z),N)B，(此z) A( z )
时
为了方bi 便z i通常利用
i0
N
1 ai z i
X(z)/z的
i 1
若序列为因果序列，且N≥M，当X(z)的N个极点都是单
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
则其逆Z变换为：
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第8章 z变换、离散时间系统的z域分
（7）
X
z
1 2
n
u
n
u
n
10
z
n
9 n0
1 2
n
z
n
9 n0
1 2z
n
1
1 2z
1 1
10
z 0
2z
X（z）的零、极点分布图如图 8-2-1（g）所示。
（8）
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X
z
n台
1 2
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台
第 8 章 z 变换、离散时间系统的 z 域分析
8.1 复习笔记
从本章开始陆续讨论 Z 变换的定义、性质以及它与拉氏变换、傅氏变换的联系。在此 基础上研究离散时间系统的 z 域分析，给出离散系统的系统函数与频率响应的概念。通过 本章，读者应掌握对于离散时间信号与系统的研究，是先介绍 z 变换，然后引出序列的傅 里叶变换以及离散傅里叶变换（第九章）。
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于实轴的直线映射到 z 平面是负实轴；
（3）在 s 平面上沿虚轴移动对应于 z 平面上沿单位圆周期性旋转，每平移 ωs，则沿
单位圆转一圈。
2．z 变换与拉氏变换表达式
Z
x nT X z zesT X s Z
n
u
n
1 3
n
u
n
z
n
n
（3）
X
z
n
1 3
n
u
n
z
n
n0
(完整版)§8.6 z变换与拉氏变换的关系
1
j
Xs
e sT z -1 nds
2pj - j
n0
此式的收敛条件是：|z|>|esT|，当符合这一条件时
e sT z -1 n
1
n0
1 - e sT z -1
X z 1 j X s
ds 1
例如：当X(s)有一单阶极点s1时
Re
s
zX z-
s e sT
ss1
z
s - s1 X z - e sT
s
k1z k1z
s s1
z - e s1T
z - z1
以上从拉氏逆变换式出发推证了拉氏变换式 与z变换式的关系式。 下面把信号按部分分式分解进行讨论 若连续时间信号xˆ(t)由N项指数信号相加组合而成
xˆ t xˆ 1 t xˆ 2 t xˆ n t
N
N
xˆ i t Ai e pitut
i1
i 1
N
容易求得，它的拉式变换为 L xˆ t
Ai
i1 s - pi
若序列X(nT)由N项指数序列相加组合而成
xnT x1nT x2 nT xN nT
X s
s2
ω0 ω02
显然X(s)的极点位于s1=j0, s2= -j0,其留数分别为
A1
-j 2
及A2
j 2
于是， X(s)可以展成部分分式
-j
j
X s 2 2
s - jω0 s jω0
可以得到sin(0nT)u(nT)的z变换为
z变换与拉普拉斯变换的关系
z变换与拉普拉斯变换的关系在信号处理领域中，z变换和拉普拉斯变换是两个非常重要的数学工具。
它们在数字信号处理和模拟信号处理中都有广泛的应用。
虽然它们看起来非常不同，但它们之间有着密切的联系。
本文将介绍z 变换和拉普拉斯变换的定义、性质以及它们之间的关系。
一、z变换z变换是一种离散时间信号的变换方法，它将一个离散时间信号转换成一个复变量函数。
z变换定义如下：$$X(z)=sum_{n=-infty}^{infty}x(n)z^{-n}$$其中，$x(n)$是一个离散时间信号，$z$是一个复变量。
$X(z)$是一个复变量函数，称为$x(n)$的z变换。
可以看出，z变换是将离散时间信号$x(n)$映射到复平面上。
它的收敛域是一圆形或一个环形区域。
z变换具有一些重要的性质，包括线性性、时移性、频移性、共轭对称性等。
这些性质使得z变换在信号处理中有着广泛的应用。
二、拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种连续时间信号的变换方法，它将一个连续时间信号转换成一个复变量函数。
拉普拉斯变换定义如下：$$X(s)=int_{0}^{infty}x(t)e^{-st}dt$$其中，$x(t)$是一个连续时间信号，$s$是一个复变量。
$X(s)$是一个复变量函数，称为$x(t)$的拉普拉斯变换。
可以看出，拉普拉斯变换是将连续时间信号$x(t)$映射到复平面上。
它的收敛域是一条垂直于虚轴的带状区域。
与z变换类似，拉普拉斯变换也具有一些重要的性质，包括线性性、时移性、频移性、共轭对称性等。
这些性质使得拉普拉斯变换在信号处理中有着广泛的应用。
三、z变换与拉普拉斯变换的关系虽然z变换和拉普拉斯变换看起来非常不同，但它们之间有着密切的联系。
实际上，z变换可以看作是拉普拉斯变换在离散时间上的推广。
具体来说，我们可以通过将拉普拉斯变换中的$s$替换成$z$来得到z变换：$$s=frac{1}{T}ln z$$其中，$T$是采样周期。
这个公式告诉我们，如果我们将连续时间信号$x(t)$采样成离散时间信号$x(n)$，并且采样周期为$T$，那么我们就可以通过拉普拉斯变换得到$x(t)$的拉普拉斯变换$X(s)$，然后将$s$替换成上面的公式，得到$x(n)$的z变换$X(z)$。
拉氏变换傅氏变换与Z变换
整理课件
即
y ( n ) A |H ( e j 0 ) |co 0 n s a {H r ( e j g 0 )[ ]
从这个例子可以看出，当系统输入为正弦序列，输出为同频 的正弦序列，其幅度受频率响应幅度|H(ejω)|加权，而输出的相位 则为输入相位与系统相位响应之和。这正是线性时不变系统的基 本特性。正因如此，信号和系统的频域（傅里叶变换）表示法在 离散线性系统中是很有用的。
整理课件
因果系统 单位脉冲响应h(n)为因果序列的系统称为因果系统， 因果
系统的系统函数H(z)具有包括z=∞点的收敛域，即
Rx | z|
整理课件
稳定系统
一个线性时不变系统稳定的充分必要条件为h(n)必须满足绝
对可和条件，即
| h(n) |
n
而Z变换的收敛域由满足 | h(n)zn | 的那些z值确定，因 n
反时针方向旋转一圈，从而可以估算出整个系统的频率响应来。
整理课件
jIm[z]
|H(ej)|
－ 1 c1
C1
d1 D1
o
1
D2
Re[z]
o
( )
d2
o
－
频率响应的几何表示法
整理课件
2
2
例 2-29 设一个因果系统的差分方程为
y(n)=x(n)+ay(n-1) |a|<1, a为实数
求系统的频率响应。 解 将差分方程等式两端取Z变换，可求得
－ 3 /T S平 面
左——单位圆内 右——单位圆外 虚轴——单位圆
Z平 面
图 1-34 S平面与整Z理平课件面多值映射关系
X(z) xa(n)T zn x(n)zn
n
8.6-Z变换与拉普拉斯变换的关系(共28张)
例8 19 表示某离散系统的差分方程为 y(n) 0.2 y(n 1) 0.24y(n 2) x(n) x(n 1)
(3) 求单位样值响应h(n); (4) 当激励x(n)为单位阶跃序列时,求零状态响应y(n).
(3) h(n) ZT 1[H (z)]
H(z)
第16页，共28页。
P1078 26 由下列差分方程画出离散系统的结 构图, 并求系统函数H (z)及单位样值响应h(n).
y(n) x(n) 3x(n 2) 5y(n 1) 6y(n 2)
x(n)
z1 3
5
z 1
6
y(n)
z 1 z 1
Y (z) 5z1Y (z) 6z2Y (z) X (z) 3z2 X (z)
H (z) 2z 0.5z 0.5 z3 z2
18
第18页，共28页。
P1078 26 由下列差分方程画出离散系统的结 构图, 并求系统函数H (z)及单位样值响应h(n).
解法一: H (z) 2z 0.5z 0.5 z3 z2
解法二 :
H(z)
z2
5z 6 5z 9 z2 5z 6
从系统函数 的极点来看稳定因果系统
因果系统： z a
稳定系统：单位圆在收敛域内
z a,a 1
收敛域内无极点，故全部极点都落在单位圆内。
12
第12页，共28页。
例8 19 表示某离散系统的差分方程为
y(n) 0.2 y(n 1) 0.24y(n 2) x(n) x(n 1) (1) 求系统函数H (z); (2) 讨论此因果系统H (z)的收敛域和稳定性; (3) 求单位样值响应h(n); (4) 当激励x(n)为单位阶跃序列时,求零状态响应y(n).
拉普拉斯变换和z变换的关系
拉普拉斯变换和z变换的关系拉普拉斯变换和z变换是两种常用的信号处理方法，它们有着密切的联系和相互转换的关系。
拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复频域信号的方法，可以将微分方程转化为代数方程。
它的定义是对于一个函数f(t)，如果它在区间[0,∞)上是绝对可积的，那么它的拉普拉斯变换F(s)为：F(s) = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt其中，s是一个复数变量，e^(-st)是指数函数。
与拉普拉斯变换相对应的是z变换，它可以将离散时间域信号转化为复频域信号。
z变换的定义是对于一个离散时间信号x[n]，如果它在n的整个范围上是绝对可和的，那么它的z变换X(z)为：X(z) = ∑[n=-∞,∞] z^(-n) x[n]其中，z是一个复数变量，n是整数。
尽管拉普拉斯变换和z变换的定义看起来非常不同，但它们之间存在着密切的联系。
事实上，z变换是拉普拉斯变换在离散时间上的推广。
具体地说，如果我们将拉普拉斯变换中的变量s替换为z^(-1)，那么我们就得到了z变换的公式。
这意味着，通过对拉普拉斯变换的理解，我们可以更好地理解z变换，并在它们之间进行转换。
拉普拉斯变换和z变换在信号处理中有着广泛的应用。
例如，它们都可以用于滤波、系统建模、控制系统设计等方面。
在实践中，我们通常会根据具体应用场景和需求来选择使用哪种变换方法。
如果我们处理的是连续时间信号，那么我们会使用拉普拉斯变换；如果我们处理的是离散时间信号，那么我们会使用z变换。
当需要将一个连续时间信号转化为离散时间信号时，我们也可以使用z变换，它提供了一种将连续时间信号离散化的方法。
拉普拉斯变换和z变换是信号处理中常用的两种方法，它们之间存在着密切的联系和相互转换的关系。
通过深入理解它们的定义和应用，我们可以更好地处理和分析信号，实现更好的信号处理效果。
拉普拉斯变换和z变换的关系
拉普拉斯变换和z变换的关系拉普拉斯变换和z变换是两种常见的信号处理技术，它们在信号噪声分析、信号滤波、信号压缩等领域得到广泛应用。
虽然这两种技术有一些相似之处，但它们在数学理论和应用领域上也存在明显的差异。
拉普拉斯变换是一种连续时间信号处理技术，它将信号从时域转换到频域。
使用拉普拉斯变换，可以将一个连续时间信号$f(t)$转换为在复平面上的一组函数$F(s)$，其中$s$是一个复变量。
拉普拉斯变换广泛应用于控制工程、噪声分析和其他应用领域。
相比之下，z变换是一种离散时间信号处理技术，它将信号从时域转换到$z$域。
使用z变换，可以将一个离散时间信号$f[n]$转换为在复平面上的一组函数$F(z)$，其中$z$是一个复变量。
z变换也广泛应用于数字滤波、视觉跟踪、自适应信号处理等应用领域。
尽管拉普拉斯变换和z变换来源于不同的数学理论，但它们之间存在相似之处，即它们都可以将时域信号转换为频域信号，以改善信息处理的效率和准确性。
而且，当某些条件得到满足时，z变换可以视为拉普拉斯变换的离散时间特例：z变换是当拉普拉斯变换中复变量$s$沿虚轴移动到单位圆时的结果。
这使得z变换和拉普拉斯变换之间建立了一种有用的数学关系。
在信号处理中，拉普拉斯变换和z变换之间的关系可以通过算法和数学等方式进行描述。
首先，在算法方面，可以使用拉普拉斯变换和z变换的特性，将信号从一种频域转换为另一种频域。
其次，在数学方面，可以使用变换的性质来描述它们之间的关系。
这包括卷积性质、反演性质、初始值定理和终值定理等。
需要注意的是，尽管两种变换之间存在类似之处和相关性，但它们并不是等同的技术。
拉普拉斯变换通常用于连续时间信号，而z变换主要用于离散时间信号。
因此，在信号处理中，我们需要根据信号时间域和信号类型的不同，选择适当的变换方法。
例如，对于离散时间信号，可能更适合使用z变换来准确分析其频域特性，而拉普拉斯变换可能不太适用。
总之，拉普拉斯变换和z变换是两种用于信号处理和频率分析的常见数学工具。
信号的拉普拉斯变换和z变换
⎰∞∞--=t e t f s F st b d )()(⎰∞--=0def d e )()(t t f s F st)(d e )(j 21)(j j deft s s F t f st επσσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞+∞-第三章信号的拉普拉斯变换和z 变换一、拉普拉斯变换的定义1.双边拉普拉斯变换只有选择适当的σ值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。
※象函数相同，但收敛域不同。
双边拉氏变换必须标出收敛域。
2.单边拉氏变换3.常见函数的拉普拉斯变换及其⎰∞+∞-=j j d e )(j21)(σσπs s F t f st b Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。
从0-开始收敛域二、拉普拉斯变换性质线性性质尺度变换证明：[]⎰∞--=de)()(tatfatf L st，则令atτ=时移特性与尺度变换相结合复频移（s域平移）特性时域的微分特性（微分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,则f’(t)←→sF(s)–f(0-)证明：()()()())(deedessFfttsft ftt f ststst+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--='--∞-∞---∞-⎰⎰推广：()()[])0()0()()0(d)(d22----'--='--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡fsfsFsffsF sttfL∑-=----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1)(1)0()(d)(d nrrrnnnfssFsttfL若f1(t)←→F1(s)Re[s]>σ1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>σ2则a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(σ1,σ2)若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0，且有实数a>0，则f(at)←→)(1asFa若f(t)<----->F(s),Re[s]>σ0,且有实常数t0>0,则f(t-t0)ε(t-t0)<----->e-st0F(s),Re[s]>σ0若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,且有复常数s a=σa+jΩa,则f(t)e s a t←→F(s-s a),Re[s]>σ0+σas-→2：?)(sin ←→t t t ε=三、拉普拉斯逆变换三种方法：（1）查表（2）利用性质（3）部分分式展开-----结合∴......,,321为不同的实数根，n p p p p nn p s K p s K p s K s F -++-+-= 2211)(ip s i i s F p s K =-=)()()(e ]1[1t p s L t p i i ε=--若象函数F(s)是s 的有理分式，可写为1110111.......)(a s a s a s b s b s b s b s F n n n m m m m ++++++++=----若m ≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。
拉氏变换傅氏变换与Z变换
响应h(n)来表示。对于一个给定的输入x(n)，其输出y(n)为
y(n)x(n)h(n) x(m )h(nm )
对等式两端取Z变换，得
m
Y(z)H (z)X(z)
则
H(z) Y(z) X (z)
H(z)定义为线性时不变系统的系统函数，它是单位脉冲响
应的Z变换，即
H(z)Z[h(n)] h(n)zn n
2.6 序列的傅氏变换
因单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换，用ejω代替z， 得到序列傅里叶变换的定义为
F[x(n)]X(ej) x(n)ejn n
序列的傅里叶反变换公式
x ( n ) F 1 [ X ( e j ) ] 2 1 j|z | 1X ( z ) z n 1 d 2 z 1 X ( e j ) e j n d
h(n)1nu(n)2nu(n1) 2
由于存在2nu(-n-1)项， 因此系统是非因果的。
2.10.3 系统频率响应的意义
对于稳定系统，如果输入序列是一个频率为ω的复正弦序列：
x(n)=ejωn -∞<n<∞
线性时不变系统的单位脉冲响应为h(n)，则其输出为
y(n)x(n)h(n) h(m)x(nm)
例 2-23 已知系统函数为
H(z)112 z12 3z(112z1)1121z1112z1
求系统的单位脉冲响应及系统性质。
2<|z|≤∞
解 系统函数H(z)有两个极点z1=0.5, z2=2。
从收敛域看，收敛域包括∞点，因此系统一定是因果系统。 但是单位圆不在收敛域内，因此可以判定系统是不稳定的。
线性时不变系统的频率响应H(ejω)是以2π为周期的连续周 期函数, 是复函数。它可以写成模和相位的形式
z变换与拉氏变换的比较分析论文
z 变换与拉氏变换比较分析1 z 变换与拉氏变换性质分析z 变换是将离散系统的数学模型——差分方程转化为简单的代数方程，使其求解过程得以简化。
对离散信号)(n x 进行z 变换时，只有当级数收敛，即满足∑∞-∞=-∞<n n z n x |)(|时，其z 变换∑∞-∞=-=n n z n x z X )()(才有意义。
对于任意给定的有界序列)(n x ，使z 变换定义式级数收敛的所有z 值的集合成为z 变换)(z X 的收敛域 。
在收敛域内，z 变换及它的导数是z 的连续函数，即z 变换函数是收敛域内每一点的解析函数。
对于单边变换，序列与变换式具有一一对应的关系，同时也具有惟一的收敛域。
而在双边变换时，不同的序列在不同的收敛条件下可能映射为同一变换式。
拉氏变换是将线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经求解再还原为时间函数。
对连续信号进行拉氏变换时引入了一个衰减因子t e σ-(σ为任意实数)使之与原函数)(t f 相乘，取时间∞→t 的极限，若当0σσ>时，该极限为零，则函数t e t f σ-)(在0σσ>的全部范围内收敛，其积分存在，可以进行拉氏变换。
对于有界的非周期信号的拉氏变换一定存在，对于周期信号只要稍加衰减就可收敛，由)(t f 的性质与σ值得相对关系决定其收敛坐标0σ。
与z 变换情况类似，单边变换序列对于惟一变换式及收敛域，双边变换不同序列不同收敛域可能映射为同一变换式。
2 z 变换与拉氏变换比较分析(一) z 平面与s 平面的映射关系z 变换中复变量z 与拉氏变换中复变量s 具有一下关系：sT e z = (1-1) 或 z Ts ln 1= 式中T 为序列的时间间隔，重复频率Tπω2= 。
将s 表示成坐标形式，z 表示成极坐标形式，即：ωσj s += (1-2) θj re z =将式(1-2)代入式(1-1) T j j e re)(ωσθ+= 于是得到: s e e r T ωπσσ2== (1-3) s T ωωπωθ2== 上式表明z s ~平面有以下映射关系：(1)s 平面上的虚轴),0(ωσj s ==映射到z 平面是单位圆，其右半平面映射到z 平面是单位圆的圆外，左半平面映射到z 平面是单位圆的园内。
专题拉氏变换与Z变换.ppt
证明： L( ( f (t, a))) f (kT , a)zk f (kT , a)zk F (z, a)
a
k 0 a
a k 0
a
例题见课本P21例2.6，自学。
Z反变换
专题1 拉氏变换与Z变换
3 Z反变换
Z反变换，即由象函数F（z）求序列f(kT)或者采样函数f*(t)的 变换。
f
()
lim(1
z 1
z1)F (z)
1
lim
z 1
1
0.2
z
1
1.25
专题1 拉氏变换与Z变换
2 Z变换及其性质
（8）偏微分定理
若 Z[ f (t,a)] F(z,a) ，其中a是一个独立变量或者常数，则有
L( ( f (t, a))) F(z, a)
a
a
z eaT
1 z eaT
（4）复数位移定理
若 Z[ f (t)] F(z) ，则 Z[eat f (t)] F (eaT z)
证明：Z[eat f (t)] eakT f (kT )zk f (kT )(e aT z)k F (e aT z)
k 0
证明： Z[f1 (t) f2 (t)] (f1 (t) f2 (t))z k k 0
f1 (t) z k f2 (t)z k F1 Biblioteka z) F2 (z)k 0
k 0
（2）延迟定理（滞后定理右移定理）
设 kT 0 时， y(kT) 0
z n ( f (0) f (T ) z1 f (2T )z 2 ) z n F (z)
第8章 z变换离散时间系统的z变换分析
-n -n
收敛域 为 z >1
3. 斜变序列
间接求 解方法 已知 两边对(z -1)求导
两边乘(z -1)
∴
同理，两边再求导，得
…
4. 指数序列
x(n) a n u(n)
运用留数定理来进行运算。又称为留数法，即
f (n) Res[F ( z )z n1 ]z pm
m
略！
二、幂级数展开法（长除法）
F ( z ) f (n)z n f (0) f (1)z 1 f ( 2)z -2
n 0
！
一般为变量z的有理分式，可用长除法，
例
s = 2，
例题 解
求x(n) = ?
∴
∴
见P60~61，表8-2、8-3、8-4（逆z变换表） 作业：P103，8-5 （1）（2）
8.5 z变换的基本性质
一、线性 若 x(n) ←→ X(z) y(n) ←→ Y(z)
则
Rx1 < |z| < Rx2 Ry1 < |z| < Ry2
ax(n) + by(n) ←→ aX(z) + bY(z)
F ( z ) f (0) f (1) z 1 f (2) z 2
所以
f (0) 0, f (1) 1, f (2) 0, f (3) 3, f (4) 4,
重点！
三、部分分式展开法
一般Z变换式是有理函数
以下研究因果序列的逆变换，即
X(z) （|z|>R） ← Z → x(n)
对于N阶LTI离散系统的差分方程:
第八章z变换
Z变换的收敛域
级 数 收 敛 的 充 分 条 件 ：
x(n)z-n
n=-
(1)比值判定法：设一个正项级数an , n=- 令其lni m aann+1 则当1时，级数收敛； 当1时，级数发散。
则 X ( z ) Z 1 x (n )=1 X ( z ) zn 1 d z 2j C
其 中 C是 包 围X(z)zn-1所 有 极 点 的 逆 时 针 闭 合 路 线
二、求逆Z变换方法
逆Z变换
1 ) 围 线 积 分 法 ： 借 助 复 变 函 数 的 留 数 定 理
X ( z ) Z 1 x ( n ) =R e s X ( z ) z n 1
二、 典型序列的Z变换
(n)
1 单 位 样 值 序 列 ( n )Z 1
1
2 单 位 阶 跃 序 列 u (n )Z z , z1
z1
0
n
u (n)
1
3 斜 变 序 列 n u (n )Z zz12 , z1 0
n
典型序列的Z变换
4 单 边 指 数 序 列 a n u ( n ) Z z
则 该 级 数 收 敛 .其 中 R x10,R x2< . 可 见 ,
双 边 序 列 的 收 敛 域 是 以 半 径 为 R x 1 和 R x 2 之 间 的 圆 环 部 分 .
作业
P103 8-1，8-2，8-3，8-12
第四节 逆z变换
一、逆Z变换
逆Z变换定义：
z变换和拉普拉斯变换的关系
z变换和拉普拉斯变换的关系在信号分析中，Z变换和拉普拉斯变换都是用来分析信号的工具。
它们在时间和频率域之间建立了一种关系，这使得我们能够更好地了解信号的频域性质。
虽然它们之间有许多相似之处，但它们之间还存在一些不同之处。
本文将探讨Z变换和拉普拉斯变换之间的关系。
Z变换是一种傅立叶变换的离散形式，用来分析离散时间系统。
Z变换可以将一个离散时间序列转换为一个复平面上的复函数，它是用于离散时间系统分析的强有力工具。
因为几乎所有现代数字信号处理（DSP）算法都使用Z 变换进行设计，因此掌握Z变换是非常重要的。
拉普拉斯变换则是一种傅立叶变换的连续形式，它用来解决传统时间域的微积分方程，是一种非常有用的工具。
拉普拉斯变换能够将一个信号转换为一个复数域，在这个复数域内，信号的频率和幅度可以很方便的进行分析。
虽然它们之间的定义看起来不同，但实际上，它们之间有着很强的联系。
这种联系主要体现在它们可以相互转换。
我们都知道，时域上的导数在频域上相当于乘以$ω$；而对于Z变换，$z$的值对应的是离散点（复杂频率）。
实际上，如果在Z平面上用$z=e^{jω}$，那么Z变换就相当于DTFT（离散时间傅里叶变换）。
因此Z变换和DTFT是密切相关的。
拉普拉斯变换和Z变换的转换是通过时间离散化实现的。
实际上，使用拉普拉斯变换可以在连续时间领域中分析信号，但这并不总是非常方便，因为在实际应用中，我们通常需要分析数字信号或控制系统。
因此，为了在数字信号处理（DSP）中利用某些设计工具，我们必须将信号从连续时间域中转换为离散时间域。
这种转换通常通过取样或通过离散化来实现。
在进行时间离散化后，我们可以使用Z变换来分析离散时间系统，在这种情况下，拉普拉斯变换的Z域等效变量是很有用的。
换句话说，我们可以使用Z变换将离散时间系统映射到与拉普拉斯变换的复平面中的区域相关的点。
虽然Z变换和拉普拉斯变换之间存在这些联系和相似之处，但它们在一些方面仍然有所不同。
拉普拉斯变换与Z变换
tia
e − at
l
f (t ) = L−1 [ F ( s )] 。
例 1 求单位阶跃函数 u (t ) = 解 由拉氏变换的定义有：
C
0, t < 0 的拉氏变换。 1, t > 0
+∞
on
0 0
F(s)称为 f(t)的拉氏变换（或称为象函数） 。 若 F(s)是 f(t)的拉氏变换，则称 f(t)为 F(s)的拉氏反变换（或称为象原函数） ，记为：
定义：设函数 f(t)当 t≥0 时有定义，而且积分 某一域内收敛，则由此积分所描述的函数可写为
∫
+∞
0
f (t )e − st dt （s 是一个复参量）在 s 的
F ( s) = ∫
+∞
0
f (t )e − st dt
en
Z 变换 F(z) 1
其中 s = σ + jω 为复变量，σ为实部，ω为虚部。
2
ny
11 12
sinωt
cosωt
pa
13
e − at sin ωt
ω (s + a) 2 + ω 2 s+a (s + a) 2 + ω 2
om
14
e − at cos ωt
C
fid
2
ze −T sin ωT z 2 − 2 ze −T cos ωT + e −2 aT z 2 − ze − aT cos ωT ) z 2 − 2 ze −aT cos ωT + e − 2 aT
1 1 − e −Ts 1 s 1 s+a 1 s − (1 / T ) ln a 1 s2
Z变换
对 xs (t )取拉氏变换
∞ Xs (s) = L[xs (t)] = L x(nT )δ (t − nT ) n=−∞
∑
=
n=−∞
∑
∞
x(nT )L[δ (t − nT )] =
n=−∞
∑
∞
x(nT ) e−snT
其中
s = σ + jω
引入复变量
x z =e ， 为连续变量，将x(nT )表示为 (n)
例1. x(n)=anu(n)
X ( z) = ∑ a z
n =0 ∞ n −n
1 = 1 − az −1
z > a 时收敛
比较： 比较：
当 a < 1 时，
Z平面 平面
Im 单位圆
x ( n ) 的DTFT存在 存在
a 1 此时， 包括了单位圆。 此时，ROC包括了单位圆。 包括了单位圆
1 X (e ) = 1 − ae − jω
n
x(n) = b u (n) + b u (−n − 1)
n
−n
Im Z平面 平面
1 , b u( n ) ↔ −1 1 − bz
n
z >b
b
Re
1/b
1 b u( −n − 1) ↔ − , −1 −1 1− b z
−n
z <b
−1
两个子收敛域无公共部分， 在 b > 1 时，两个子收敛域无公共部分，表 不存在。 明此时 X ( z )不存在。
i i p p
由其全部的零、 由其全部的零、极点即可确定出 X ( z ) ，最多 相差一个常数因子 M 。
因此， 因此，若在 Z 平面上表示出 X ( z ) 全部的零极 的几何表示——零极点图。 零极点图。 点，即构成 X ( z )的几何表示 零极点图 如果在零极点图上同时标出ROC，则由该 ， 如果在零极点图上同时标出 零极点图可以唯一地确定一个信号。 零极点图可以唯一地确定一个信号。
z变换与拉普拉斯变换的关系
z re
j
X ( re
j
)
n
x ( n )( re
j
)
n
n
x ( n ) r e
n
j n
这个式子可以看成x(n)乘以指数序列r n 后的傅里叶变换。
傅里叶变换的收敛条件： 1、在任何一个周期内必须模可积。 2、在任何一个周期内的极大值和极小值的个数有限。 3、在任何一个周期内只有有限个数的间断点。 应用收敛条件1
单位圆上的z变换即序列的傅里叶变换。 在单位圆|z|=1上,r=1,
X ( z ) | z e j X ( e
j
)
n
x (n )e
j n
所以，如果序列的z变换的收敛域包括单位圆，则单位圆上的z变换 即序列的频谱，这是频谱与z变换只是一种符号代换。
3、序列的傅里叶变换与拉普拉斯变换（双边） 的关系
ˆ （ s ） X
-
x（ a nT ） （ t - nT n -
- st ） e dt
jm 2 t T
1 由式（2-5）可知 （ t - nT ） T n -
m -
e
1 ˆ (s) 所以X T
m-
-
xa (t)e
1、序列的Z变换与拉普拉斯变换的关系
拉普拉斯变化：拉普拉斯变换是对于t>=0函数值不为零的连续时间 函数x(t)通过关系式 (式中st为自然对数底e的指数)变换为复变量s的函数X(s）。 Z变换：可将时域信号变换为在复频域的表达式。
所以说拉普拉斯变换与Z变换都是把函数从时域变换到复数域。
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至此，我们已经讨论了三种变换方法，即：傅立 至此，我们已经讨论了三种变换方法， 叶变换、拉普拉斯变换和z变换。这些变换并不是孤立 叶变换、拉普拉斯变换和 变换。这些变换并不是孤立 的，它们之间有着密切联系，并在一定条件下可以互 它们之间有着密切联系， 相转化。 相转化。 在第四章讨论过傅立叶变换与 在第四章讨论过傅立叶变换与拉普拉斯变换的关 傅立叶变换与拉普拉斯变换的关 现在研究z变换与拉普拉斯变换的关系。 系，现在研究z变换与拉普拉斯变换的关系。
s平面(s=σ +jω ) 平面(
jω 虚轴 (σ =0, s=jω) 0
z平面(z= rejθ ) 平面(
jImz jImz
σ
jω
0
单位圆 1 Rez （r=1,θ 任意） Rez r=1, 任意） jImz jImz
左半平面 （σ < 0）
0
σ
0
单位圆内 1 Rez （r<1,θ 任意） Rez r<1, 任意）
s平面(s=σ +jω ) 平面(
jω 实轴 (ω =0, s= σ) 0
z平面(z= rejθ ) 平面(
jImz jImz
σ
0
Rez Rez
正实轴 =0， （θ =0， r任意） 任意） 始于原点的 辐射线 （θ =常数， r任意） 任意） 负实轴
平行于实轴 的直线 常数） （ω =常数） 通过+ 通过+ jkωs/2 平行于实轴 的直线 =1,3...） （k=1,3...）
0 0
σ
0 0
σ
1
Rez Rez
jImz jImz
1
Rez Rez
二．z变换与拉氏变换表达式之对应 1 σ + j∞ 我们知道： 我们知道： x(t ) = X (s )e st ds ∫σ − j∞
2πj
当把x 以等间隔T抽样后： 当把x(t)以等间隔T抽样后： 1 σ + j∞ x(nT ) = X (s )e snT ds 2πj ∫σ − j∞ 其z变换为： (z ) = ∑ x(n)z −n 变换为： X
s~z平面映射关系 s~z平面映射关系 这两个等式表明：z的模r仅对应于s的实部σ ； 这两个等式表明： 的模r仅对应于s z的幅角θ仅对应于s的虚部ω 。 仅对应于s
σ =0 （1）s平面的原点 ， z平面 ω =0
s平面(s=σ +jω ) 平面(
jω (σ 原点 = 0,ω = 0) o
r=1 ，即z=1。 z=1 θ=0 z平面(z= rejθ ) 平面(
jω 右半平面 （σ > 0） 0 jω 0
jImz jImz
σ
0
单位圆外 r>1, 任意） 1Rez （r>1,θ 任意） Rez jImz jImz 圆 r>1 （ σ > 0 ，r>1 σ < 0 ，r<1 r<1 Rez r为常数:0→+∞ Rez 为常数: θ 任意） 任意）
平行于虚轴 的直线 常数: （σ = 常数: − ∞ → +∞ ）
i =1 i =1
N
N
N
若序列X nT) 若序列X(nT)由N项指数序列相加组合而成
x(nT) = x1 (nT) + x2 (nT) +…+ xN (nT)
= ∑xi (nT) = ∑Ai e pi nT u(nT)
i =1 i =1
N
N
Ai 它的z 它的z变换为 Z[ x(nT)] = ∑ 1− e piT z−1 i =1
zX (s ) Re s z − e sT
s = s1
z (s − s 1 ) X (s ) = z − e sT
s = s1
k1 z k1 z = = s 1T z − z1 z−e
以上从拉氏逆变换式出发推证了拉氏变换式 变换式的关系式。 与z变换式的关系式。 下面把信号按部分分式分解进行讨论
ˆ xi (t )u(t ) t = nT xi (nT)u(n) = Ai x (t )u(t ) ˆi + t = nT 2
(当n ≠ 0) (当n = 0)
返回
例8-6-1
已知指数函数e 已知指数函数e-atu(t)的拉式变换为 求抽样序列e 求抽样序列e-anTu(nT)的z变换。 nT) 变换。
σ
0
（3）s平面上的实轴（ω =0，s =σ ）映射到z平面是正实轴； 平面上的实轴（ =0， 映射到z平面是正实轴； 常数）映射到z 平行于实轴的直线（ 平行于实轴的直线（ω =常数）映射到z平面是始于原点的 辐射线； 辐射线； 通过jkωs/2(k= +1,+3,…)而平行于实轴的直线映射到z平面 jkω /2(k 1,+3,…)而平行于实轴的直线映射到z 而平行于实轴的直线映射到 是负实轴。 是负实轴。
1 ， s +a
解：
x(t ) = e−at u(t )
1 X(s) = s +a X(s)只有一个一阶级点s=-a， 只有一个一阶级点s
nT) 可以直接求出e 可以直接求出e-anTu(nT)的z变换为
X(z) = 1 1− z−1 e−aT
返回
例8-6-2
ω 已知正弦信号sin( 已知正弦信号sin(ω0t)u(t)的拉式变换为 2 0 2 ， s +ω 0 求抽样序列sin( nT) nT) 变换。 求抽样序列sin(ω0nT)u(nT)的z变换。
n=0 ∞
(n = 0 ,1,2 ,…)
1 σ + j∞ −n snT = ∑ ∫σ − j∞ X (s )e dsz n=0 2πj
∞ 1 σ + j∞ sT −1 n = ∫σ − j∞ X (s )∑ e z ds 2πj n =0
∞
[
]
此式的收敛条件是： 当符合这一条件时 此式的收敛条件是：|z|>|esT|，当符合这一条件时
σ
0
1Rez Rez jImz jImz 1 Rez Rez
jω ωs/2 0 -ωs/2 jω
jImz jImz
σ
0
1 jImz jImz
Rez Rez
ωs/2 0
-ωs/2 jω ωs/2 0 -ωs/2
掌握了s~z平面映射规律之后， 掌握了s~z平面映射规律之后，容易利用类似在连续时间 平面映射规律之后 系统分析中的方法，研究离散时间系统函数z 系统分析中的方法，研究离散时间系统函数z平面特性与系统 时域特性、频响特性以及稳定性的关系。 时域特性、频响特性以及稳定性的关系。 返回
ω0 X(s) = 2 2 s + ω0
解：已知 x(t ) = sin(ω0t )u(t )
显然X 的极点位于s 显然X(s)的极点位于s1=jω0, s2= -jω0,其留数分别为
j −j A = 及 2= A 1 2 2 于是， X(s)可以展成部分分式 于是，
j j − 2 + 2 X(s) = s − jω0 s + jω0
ˆ 若连续时间信号x(t)由N项指数信号相加组合而成
ˆ ˆ ˆ ˆ x(t ) = x1 (t ) + x2 (t ) +…+ xn (t )
ˆ = ∑xi (t ) = ∑Ai epi t u(t )
Ai ˆ 容易求得， 容易求得，它的拉式变换为 L[ x(t )] = ∑ i =1 s − pi
jImz jImz
σ
o
1 Rez Rez
z=1 z=1
（2）s平面上的虚轴（σ =0，s =jω）映射到z平面是单位圆； 平面上的虚轴（ =0， 映射到z平面是单位圆； s平面的左半平面（σ < 0）映射到z平面是单位圆的圆内； 平面的左半平面（ 映射到z平面是单位圆的圆内；
s平面的右半平面（σ >0）映射到z平面是单位圆的圆外； 平面的右半平面（ 映射到z平面是单位圆的圆外； 常数）映射到z平面是圆。 平[e
∞ n=0
sT
z
−1 n
]
1 σ + j∞ X (s ) 1 σ + j∞ zX (s ) ∴ X (z ) = ∫σ − j∞ 1 − e sT z −1 ds = 2πj ∫σ − j∞ z − e sT ds 2πj
1 = 1 − e sT z − 1
这就是直接由连续函数的拉氏变换式求抽样后的 离散序列z变换式的关系式。 离散序列z变换式的关系式。 该积分式当然也可以用留数定理来计算。 该积分式当然也可以用留数定理来计算。即： zX (s ) X (z ) = ∑ Re s z − e sT X(s)的诸极点 例如：当X(s)有一单阶极点s1时 例如： 有一单阶极点s
返回
注意跳变值
0 A ˆ xi (t ) = i 2 A epi t i
(t < 0) (t = 0) (t > 0)
0 xi (nT) = A i A epi nt i
(t < 0) (t = 0) (t > 0)
2 ,即
A 按抽样规律建立二者联 0 系时必须在 点补足 i
θ由−π∼ π， π， 幅度旋转了一周，映射到了整个z平面。 幅度旋转了一周， 射到了整个z平面。 因此ω 每增加一个ω s=2π/Τ，θ就相应增加2π，也就重复 π/Τ， 就相应增加2 旋转一周，z平面就重叠一次。 旋转一周， 平面就重叠一次。 所以， 映射不是单值的。下图说明了上述映射关系。 所以，z~s映射不是单值的。下图说明了上述映射关系。 ωs/2 0 -ωs/2 jω ωs/2 0 σ -ωs/2 0 jω jImz jImz