§8.6 z变换与拉氏变换的关系

σ
0
1Rez Rez jImz jImz 1 Rez Rez
jω ωs/2 0 -ωs/2 jω
jImz jImz
σ
0
1 jImz jImz
Rez Rez
ωs/2 0
-ωs/2 jω ωs/2 0 -ωs/2
掌握了s~z平面映射规律之后， 掌握了s~z平面映射规律之后，容易利用类似在连续时间 平面映射规律之后 系统分析中的方法，研究离散时间系统函数z 系统分析中的方法，研究离散时间系统函数z平面特性与系统 时域特性、频响特性以及稳定性的关系。 时域特性、频响特性以及稳定性的关系。 返回
返回
注意跳变值
0 A ˆ xi (t ) = i 2 A epi t i
(t < 0) (t = 0) (t > 0)
0 xi (nT) = A i A epi nt i
ห้องสมุดไป่ตู้
(t < 0) (t = 0) (t > 0)
2 ,即
A 按抽样规律建立二者联 0 系时必须在 点补足 i
代入
z(极坐标： = r ejθ ) z
jIm z) (
σ0 O s平面
σ
比较
z = e(σ + jω )T = eσ T ⋅ e j ω T
半径：r = eσ T= e ω 半径： 所以 ω 幅角: T=2 幅角:θ =ωT=2π ωs
2πσ
s
r0
z = re
jθ
θ0
Re(z)
O z平面 平面
式中T是序列的时间间隔，重复频率ω =2π 式中T是序列的时间间隔，重复频率ωs=2π/ Τ
∑ [e
∞ n=0
sT
z
−1 n
]
1 σ + j∞ X (s ) 1 σ + j∞ zX (s ) ∴ X (z ) = ∫σ − j∞ 1 − e sT z −1 ds = 2πj ∫σ − j∞ z − e sT ds 2πj
1 = 1 − e sT z − 1
这就是直接由连续函数的拉氏变换式求抽样后的 离散序列z变换式的关系式。 离散序列z变换式的关系式。 该积分式当然也可以用留数定理来计算。 该积分式当然也可以用留数定理来计算。即： zX (s ) X (z ) = ∑ Re s z − e sT X(s)的诸极点 例如：当X(s)有一单阶极点s1时 例如： 有一单阶极点s
θ由−π∼ π， π， 幅度旋转了一周，映射到了整个z平面。 幅度旋转了一周， 射到了整个z平面。 因此ω 每增加一个ω s=2π/Τ，θ就相应增加2π，也就重复 π/Τ， 就相应增加2 旋转一周，z平面就重叠一次。 旋转一周， 平面就重叠一次。 所以， 映射不是单值的。下图说明了上述映射关系。 所以，z~s映射不是单值的。下图说明了上述映射关系。 ωs/2 0 -ωs/2 jω ωs/2 0 σ -ωs/2 0 jω jImz jImz
ˆ 若连续时间信号x(t)由N项指数信号相加组合而成
ˆ ˆ ˆ ˆ x(t ) = x1 (t ) + x2 (t ) +…+ xn (t )
ˆ = ∑xi (t ) = ∑Ai epi t u(t )
Ai ˆ 容易求得， 容易求得，它的拉式变换为 L[ x(t )] = ∑ i =1 s − pi
jω1 jω 0 -jω2 jωs/2 jω 0 -jωs/2
σ
jImz jImz ω1T 0 Rez Rez -ω2T jImz jImz
σ
0
Rez Rez
（θ =π， r任意） 任意）
θ （4）由于 由于z=rejθ是θ=ωΤ的周期函数，因此当ω 由−π/Τ∼ π/Τ时， θ=ωΤ的周期函数 的周期函数， π/Τ时
jω 右半平面 （σ > 0） 0 jω 0
jImz jImz
σ
0
单位圆外 r>1, 任意） 1Rez （r>1,θ 任意） Rez jImz jImz 圆 r>1 （ σ > 0 ，r>1 σ < 0 ，r<1 r<1 Rez r为常数:0→+∞ Rez 为常数: θ 任意） 任意）
平行于虚轴 的直线 常数: （σ = 常数: − ∞ → +∞ ）
s~z平面映射关系 s~z平面映射关系 这两个等式表明：z的模r仅对应于s的实部σ ； 这两个等式表明： 的模r仅对应于s z的幅角θ仅对应于s的虚部ω 。 仅对应于s
σ =0 （1）s平面的原点 ， z平面 ω =0
s平面(s=σ +jω ) 平面(
jω (σ 原点 = 0,ω = 0) o
r=1 ，即z=1。 z=1 θ=0 z平面(z= rejθ ) 平面(
ˆ xi (t )u(t ) t = nT xi (nT)u(n) = Ai x (t )u(t ) ˆi + t = nT 2
(当n ≠ 0) (当n = 0)
返回
例8-6-1
已知指数函数e 已知指数函数e-atu(t)的拉式变换为 求抽样序列e 求抽样序列e-anTu(nT)的z变换。 nT) 变换。
N
借助模拟滤波器 设计数字滤波器
注意： 注意：连续时间信号的突变点函数值与对应的序列 样值有区别。 样值有区别。 例如，阶跃信号u =0点定义为 ; 点定义为1/2 例如，阶跃信号u(t)在t=0点定义为1/2; 阶跃序列u 在点n=0定义为 定义为1 阶跃序列u(n)在点n=0定义为1。 注意跳变值 例 8-6-1 例 8-6-2
s平面(s=σ +jω ) 平面(
jω 实轴 (ω =0, s= σ) 0
z平面(z= rejθ ) 平面(
jImz jImz
σ
0
Rez Rez
正实轴 =0， （θ =0， r任意） 任意） 始于原点的 辐射线 （θ =常数， r任意） 任意） 负实轴
平行于实轴 的直线 常数） （ω =常数） 通过+ 通过+ jkωs/2 平行于实轴 的直线 =1,3...） （k=1,3...）
i =1 i =1
N
N
N
若序列X nT) 若序列X(nT)由N项指数序列相加组合而成
x(nT) = x1 (nT) + x2 (nT) +…+ xN (nT)
= ∑xi (nT) = ∑Ai e pi nT u(nT)
i =1 i =1
N
N
Ai 它的z 它的z变换为 Z[ x(nT)] = ∑ 1− e piT z−1 i =1
n=0 ∞
(n = 0 ,1,2 ,…)
1 σ + j∞ −n snT = ∑ ∫σ − j∞ X (s )e dsz n=0 2πj
∞ 1 σ + j∞ sT −1 n = ∫σ − j∞ X (s )∑ e z ds 2πj n =0
∞
[
]
此式的收敛条件是： 当符合这一条件时 此式的收敛条件是：|z|>|esT|，当符合这一条件时
0 0
σ
0 0
σ
1
Rez Rez
jImz jImz
1
Rez Rez
二．z变换与拉氏变换表达式之对应 1 σ + j∞ 我们知道： 我们知道： x(t ) = X (s )e st ds ∫σ − j∞
2πj
当把x 以等间隔T抽样后： 当把x(t)以等间隔T抽样后： 1 σ + j∞ x(nT ) = X (s )e snT ds 2πj ∫σ − j∞ 其z变换为： (z ) = ∑ x(n)z −n 变换为： X
s平面(s=σ +jω ) 平面(
jω 虚轴 (σ =0, s=jω) 0
z平面(z= rejθ ) 平面(
jImz jImz
σ
jω
0
单位圆 1 Rez （r=1,θ 任意） Rez r=1, 任意） jImz jImz
左半平面 （σ < 0）
0
σ
0
单位圆内 1 Rez （r<1,θ 任意） Rez r<1, 任意）
§8.6 z变换与拉普拉斯变换的关系
至此，我们已经讨论了三种变换方法，即：傅立 至此，我们已经讨论了三种变换方法， 叶变换、拉普拉斯变换和z变换。这些变换并不是孤立 叶变换、拉普拉斯变换和 变换。这些变换并不是孤立 的，它们之间有着密切联系，并在一定条件下可以互 它们之间有着密切联系， 相转化。 相转化。 在第四章讨论过傅立叶变换与 在第四章讨论过傅立叶变换与拉普拉斯变换的关 傅立叶变换与拉普拉斯变换的关 现在研究z变换与拉普拉斯变换的关系。 系，现在研究z变换与拉普拉斯变换的关系。
jImz jImz
σ
o
1 Rez Rez
z=1 z=1
（2）s平面上的虚轴（σ =0，s =jω）映射到z平面是单位圆； 平面上的虚轴（ =0， 映射到z平面是单位圆； s平面的左半平面（σ < 0）映射到z平面是单位圆的圆内； 平面的左半平面（ 映射到z平面是单位圆的圆内；
s平面的右半平面（σ >0）映射到z平面是单位圆的圆外； 平面的右半平面（ 映射到z平面是单位圆的圆外； 常数）映射到z平面是圆。 平行于虚轴的直线（ 平行于虚轴的直线（σ =常数）映射到z平面是圆。
1 ， s +a
解：
x(t ) = e−at u(t )
1 X(s) = s +a X(s)只有一个一阶级点s=-a， 只有一个一阶级点s
nT) 可以直接求出e 可以直接求出e-anTu(nT)的z变换为
X(z) = 1 1− z−1 e−aT
返回
例8-6-2
ω 已知正弦信号sin( 已知正弦信号sin(ω0t)u(t)的拉式变换为 2 0 2 ， s +ω 0 求抽样序列sin( nT) nT) 变换。 求抽样序列sin(ω0nT)u(nT)的z变换。
ω0 X(s) = 2 2 s + ω0
解：已知 x(t ) = sin(ω0t )u(t )
显然X 的极点位于s 显然X(s)的极点位于s1=jω0, s2= -jω0,其留数分别为
j −j A = 及 2= A 1 2 2 于是， X(s)可以展成部分分式 于是，
j j − 2 + 2 X(s) = s − jω0 s + jω0
σ
0
（3）s平面上的实轴（ω =0，s =σ ）映射到z平面是正实轴； 平面上的实轴（ =0， 映射到z平面是正实轴； 常数）映射到z 平行于实轴的直线（ 平行于实轴的直线（ω =常数）映射到z平面是始于原点的 辐射线； 辐射线； 通过jkωs/2(k= +1,+3,…)而平行于实轴的直线映射到z平面 jkω /2(k 1,+3,…)而平行于实轴的直线映射到z 而平行于实轴的直线映射到 是负实轴。 是负实轴。
可以得到sin( nT) nT) 可以得到sin(ω0nT)u(nT)的z变换为
j j − − 2 2 X(z) = + 1− z−1 ejω0T 1− z−1 e−jω0T
z−1 sin(ω0T) = 1− 2z−1 cos(ω0T) + z−2
返回
zX (s ) Re s z − e sT
s = s1
z (s − s 1 ) X (s ) = z − e sT
s = s1
k1 z k1 z = = s 1T z − z1 z−e
以上从拉氏逆变换式出发推证了拉氏变换式 变换式的关系式。 与z变换式的关系式。 下面把信号按部分分式分解进行讨论
一．z平面与s平面的映射关系 平面与s 二．z变换与拉氏变换表达式之对应
返回
一．z平面与s平面的映射关系 平面与s
在引入z变换的定义时，引入符号z=e 在引入z变换的定义时，引入符号z=esT s(直角坐标): s=σ+jω 直角坐标): z, s关 系
jω0 jω s = σ + jω
z =e
sT