二次函数知识点及其应用的总结
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二次函数知识点总结
知识结构框图
一、二次函数的概念
形如c bx ax y ++=2(a ,b ,c 是常数,a ≠0)的函数,叫做二次函数,其中x ,是自变量,a b c 、、分别是函数表达式的二次项系数,一次项系数和常数项。
这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.X 可以取全体实数.
二、二次函数的一般表达式
1、 一般式:c bx ax y ++=2(a ,b ,c 为常数,0a ≠);
2、
顶点式:k h x a y +-=2
)((a ,h ,k 为常数,0a ≠)其中2
424b ac b h k a a
-=-=
,; 3、 两根式:
21212()()(0,,=)y a x x x x a x x ax bx c x =--≠++其中是y 与轴交点的横坐标
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以
写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
三、二次函数2y ax bx c =++的图像性质(轴对称图形)
1. 当0a >时,抛物线开口向上,
对称轴为2b
x a =-, 顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
,.
当2b x a <-
时,y 随x 的增大而减小;当2b
x a
>-时,y 随x 的增大而增大; 当2b
x a
=-时,y 有最小值244ac b a -.
2. 当0a <时,抛物线开口向下,
对称轴为2b
x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
,.
当2b x a <-
时,y 随x 的增大而增大;当2b
x a
>-时,y 随x 的增大而减小; 当2b
x a
=-时,y 有最大值244ac b a -.
四、二次函数的图像与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠.
⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大;
⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大. 总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小.
2. 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下, 当0b >时,02b
a
-<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧; 当0b =时,02b
a
-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02b
a
-
>,即抛物线对称轴在y 轴的右侧. ⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即 当0b >时,02b
a
->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧; 当0b =时,02b
a
-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02b
a
-
<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧. 总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置.
3. 常数项c
⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负.
总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.
总之,只要a b c ,,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
五、二次函数与一元二次方程:
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况):
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图像与x 轴的交点个数:
① 当240b ac ∆=->时,图像与x 轴交于两点()()1200A x B x ,
,,12()x x ≠,其中的12x x ,是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根.
12x x ,和的一半恰好是对称轴的横坐标. ② 当0∆=时,图像与x 轴只有一个交点;
③ 当0∆<时,图像与x 轴没有交点.
1' 当0a >时,图像落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >; 2'
当0a <时,图像落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <. 2. 抛物线2y ax bx c =++的图像与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ;
3. 二次函数常用解题方法总结:
⑴ 求二次函数的图像与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;或者依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值,并将其带入到表达式中求出最值; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b ,c 的符号判断图象的位置,要数形结合;
(4)二次函数与一次函数的交点,可通过联立方程求解,从而求出交点坐标。
六、二次函数的几个特殊的基本形式
1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: