二次函数知识点及其应用的总结

二次函数知识点总结

知识结构框图

一、二次函数的概念

形如c bx ax y ++=2（a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数，其中x ，是自变量，a b c 、、分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．X 可以取全体实数．

二、二次函数的一般表达式

1、 一般式：c bx ax y ++=2（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；

2、

顶点式：k h x a y +-=2

)(（a ，h ，k 为常数，0a ≠）其中2

424b ac b h k a a

-=-=

，； 3、 两根式：

21212()()(0,,=)y a x x x x a x x ax bx c x =--≠++其中是y 与轴交点的横坐标

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以

写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

三、二次函数2y ax bx c =++的图像性质(轴对称图形)

1. 当0a >时，抛物线开口向上，

对称轴为2b

x a =-， 顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

，．

当2b x a <-

时，y 随x 的增大而减小；当2b

x a

>-时，y 随x 的增大而增大； 当2b

x a

=-时，y 有最小值244ac b a -．

2. 当0a <时，抛物线开口向下，

对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

，．

当2b x a <-

时，y 随x 的增大而增大；当2b

x a

>-时，y 随x 的增大而减小； 当2b

x a

=-时，y 有最大值244ac b a -．

四、二次函数的图像与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．

⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；

⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．

2. 一次项系数b

在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下， 当0b >时，02b

a

-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b

a

-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b

a

-

>，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b

a

->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b

a

-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b

a

-

<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．

3. 常数项c

⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．

总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．

总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

五、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图像与x 轴的交点个数：

① 当240b ac ∆=->时，图像与x 轴交于两点()()1200A x B x ，

，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．

12x x ，和的一半恰好是对称轴的横坐标. ② 当0∆=时，图像与x 轴只有一个交点；

③ 当0∆<时，图像与x 轴没有交点.

1' 当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'

当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图像与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图像与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并将其带入到表达式中求出最值； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；

（4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。

六、二次函数的几个特殊的基本形式

1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：