【组卷】2018.04.15最小值的问题(附参考答案与解析)
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2018.04.15最小值的问题
一．选择题（共6小题）
1．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）
A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5
2．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）
A．2 B．2 C．4 D．4
3．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB ⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为（）
A．B．C．D．
4．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（）
A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．2
5．如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）
A．10 B．8 C．5 D．6
6．如图圆O直径AB上一点P，AB=2，∠BAC=20°，D是弧BC中点，则PD+PC 的最小值为（）
A．B．1 C．D．
二．填空题（共5小题）
7．已知四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，E为AD中点，AB=6cm，P为AC上任一点．求PE+PD的最小值是．
8．如图，在锐角三角形ABC中，BC=2，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为．
9．如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点．PE ⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为．
10．点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC=6，AC=8，则线段EF长的最小值为．
11．如图，菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°，点P是对角线AC上一动点，Q 是AB的中点，则BP+PQ的最小值是．
三．解答题（共2小题）
12．如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．
13．如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=10，点M、N分别在OA、OB 上，求△PMN周长的最小值．
2018.04.15最小值的问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）
A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5
【解答】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP．
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴EF的最小值为2.4，
故选：C．
2．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）
A．2 B．2 C．4 D．4
【解答】解：连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB=2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2．
故所求最小值为2．
故选：B．
3．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB ⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
∵AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，
∴BE=AB=4，CF=CD=3，
∴OE===3，
OF===4，
∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在Rt△BCH中根据勾股定理得到BC===7，即PA+PC的最小值为7．
故选：A．
4．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（）
A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．2
【解答】解：如图，连接CD．
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF=CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S
=BC•AC=AB•CD，
△ABC
即×4×3=×5•CD，
解得CD=2.4，
∴EF=2.4．
故选：B．
5．如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）
A．10 B．8 C．5 D．6
【解答】解：过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EF 垂直AB交AB于F点，
AC=5，
AC边上的高为==2，所以BE=4．
∵△ABC∽△EFB，
∴=，即=
EF=8．
故选：B．
6．如图圆O直径AB上一点P，AB=2，∠BAC=20°，D是弧BC中点，则PD+PC 的最小值为（）