数学建模B题：人员安排问题

数学建模B 题：人员安排问题问题综述：该问题主要是为了求解在客户的要求下公司每天收益的最大化，属于优化问题；我们在对这个问题建模时，主要是基于客户的两个要求来建立的： （1）客户对员工的人数要求； （这个要求是本来题目有的） （2）客户对工期的要求； （这个要求是我们进一步假设的）对于第一个要求我们建立了基本模型，而对于第二个要求，我们在第一个要求的基础上，进一步改进了基本模型，从而建立了某个项目先完工的模型。

具体的解题思路如下图所示：一．模型基本假设：1．假设客户对项目的工期没有限制，项目的工期由公司决定，且四个项目同时开工，同时完工，中间也不停工。

2． 假设所有人员总能在岗位上工作，不考虑由于生病或是其他意外事件而造成人员的缺席。

3．假设四个项目同时需要的最多人数不超过现有公司工作人员的人数，即使超过，也只分配公司现有的工作人员。

4．假设C 、D 两个项目的管理费由公司支付；5．假设所有工作人员都安排完毕，即每个人都有工作。

6．假设同等级别的工作人员的技术水平是相同的，即他们可以接受任意等同的任务。

二．符号说明：i ：用i ＝1,2,3,4分别表示高级工程师，工程师，助理工程师和技术员。

j ：用j ＝1,2,3,4分别表示项目A,B,C 和D 。

ij X ：公司分配第i 级别工作人员到第j 个项目上的人数。

例如23X 表示公司分配工程师到项目C 上的人数。

ij a ：第i 级别工作人员分配到第j 个项目上的收费。

ij b : 第i 级别工作人员分配到第j 个项目上时公司的开支（包括工资和管理费）。

ij A : 表示到项目j 工作的第i 级别工作人员为公司贡献的纯利润收入。

j ： 表示第j 个项目的总工时（即项目j 的总工作量）。

j T ： 表示第j 个项目客户所要求的工期（即项目j 所需要的完工时间）。

Max ：公司一天的直接收益 只考虑客户对员工的人数要求 基本模型 进一步考虑客户对工期的要求 某个项目先完工的模型改进j M ： 表示客户要求第j 个项目一天所必须完成的工作量。

j m ： 表示公司分配给第j 个项目的所有工作人员一天能够完成的工作量。

三．模型的建立：1．基本模型：公司每天的直接收益等于公司每天对各个项目的总收费减去公司每天的总支出，公司每天的总收费为：ij i j ijX a∑∑==4141，每天的总开支为：ij i j ij X b ∑∑==4141，于是公司每天的直接收益为：ij i j ij ij X a X f ∑∑===4141)(－ij i j ij X b ∑∑==4141=ij i j ij ij X b a )(4141∑∑==- （1）在客户的人数要求下，可得基本模型为： Max ：ij i j ij ijij X b aX f )()(4141∑∑==-=s.t.10411≤∑=i i X； （2）16412≤∑=i i X； （3）11413≤∑=i i X； （4）18414≤∑=i i X； （5）9411=∑=j jX； （6）17412=∑=j jX； （7）10413=∑=j jX； （8）5414=∑=j jX； （9）3111≤≤X ; （10） 17221≤≤X ; （11）10231≤≤X ; （12） 5141≤≤X ; （13） 5212≤≤X ; （14） 17222≤≤X ; （15）10232≤≤X ; （16） 5342≤≤X ; （17）213=X ; （18） 17223≤≤X ; （19） 10233≤≤X ; （20） 5143≤≤X ; （21） 2114≤≤X ; （22） 8224≤≤X ; （23）10134≤≤X ; （24） 044=X ; （25）ij X 为整数；（j i ,=1,2,3,4） (26) 此模型即为在这些约束条件下对公司一天的收益求解最大值，属于整数线性规划模型。

2．基本模型的求解：为了便于数据的对照和模型的求解，我们先把题目所提供的表2的结构改成与表3相同的结构，如表1所示： 表1收费（元/天） A B C D 高级工程师 1000 1500 1300 1000 工程师 800 800 900 800 助理工程师 600 700 700 700 技术员500600400500利用Matlab 和Lingo 软件求解基本模型得出解如表2所示：（具体解法与源程序请见附录1和附录2，至于我们为什么两个软件都用，请务必看附录2中的注3的解释，谢谢！）表2分配（人） A B C D 高级工程师 1 5 2 1 工程师 6 3 6 2 助理工程师 2 5 2 1 技术员131并解得公司一天直接收益最大值为：27150(元) 3．结果分析：在符合模型基本假设的条件下，该模型的解既满足了客户的人员要求，又实现了公司每天收益的最大化。

另外，从解中可以知道，公司的人员分配满足了项目A,B,C 的最大人员要求，然而项目D 的人员却只有4人，显然这个解是符合公司利益的，因为从收费表中知道，项目D 的收费相对较低，而且公司还要付出一定的管理费，从公司的收益来考虑，当然希望把最少的人分配到项目D 上，而把更多的人分配到其他项目上去，但是这种情况也恰恰从另一方面反映了这个模型的简单与不足，那就是这个模型更多的是基于公司的利益来考虑问题的，虽然满足了客户对人员的要求，但并没有考虑到现实中客户对项目的工期等其他方面的要求，所以需要进一步改进。

四：模型的改进：1．某个项目j 先完工的模型：在基本模型中，我们主要是基于模型基本假设1来建立模型的，为了更加符合现实情况，我们将基本假设1修改为：（1）假设各项目同时开工，但客户要求某项目j 先完工，而其他项目可以后完工，而且同时完工。

并进一步假设如下：（2）假设不同级别的工作人员的工作能力与其工资水平成正比。

（3）假设客户对项目的工期要求是合理的。

在这三个假设下，我们令一个技术员一天能够完成的工作量为一个标准工时，由于不同等级的工作人员的工作能力（即一天能完成的工作量）与其工资水平成正比，所以一个高级工程师，工程师和助理工程师一天能够完成的工作量分别相当于：250/110,200/110,170/110 个工时，假设项目j 完工总共需要的工时为j λ，而客户要求项目必须在j T 天内完成，则项目j 每天的工时为：jjj T M λ=（27）而该项目所分配人员一天所能完成的工作量记为：j j j j j X X X X m 4321110170110200110250+++=（28） 对于客户给定的j λ和j T ，我们可以确定j M ，于是得到模型为：Max ：ij i j ij ijij X b aX f )()(4141∑∑==-=s.t. （2）～（26）式，j j j j j j M X X X X m ≥+++=4321110170110200110250 (29) 因此某项目j 先完工的模型就是在基本模型上加多一条约束式（29）。

2．j M 的确定：由于公司所分配给每个项目的工作人员是有限制的，所以他们在一天内所能完成的工作量也是有限制的，这样，在项目j 的总工作量j λ一定的情况下，如果客户要求的工期j T 过短，那么每天所要求完成的工作量j M 有可能超过公司分配给该项目的工作人员一天能够完成的工作量j m ，这就涉及到客户要求的工期的合理性的问题，在总的工作量j λ一定时，如果客户所要求的工期j T 使得每天的工作量j M 在j m 的范围[min j m max j m ]内，那么就是合理的，如果超出这个范围那么就是不合理的。

为此，我们先求出在客户所要求的人数限制条件下，公司所分配给该项目的工作人员一天所能完成的工作量j m 的范围[min j mmax j m ]，具体如下：注1：j m 的范围[min j m max j m ]表示max min j j j m m m ≤≤，以下同。

我们所要求的就是在约束条件（2）～（26）下j m 的范围，例如对于项目D （4m ），现在求4m 的范围，具体求解时可依照基本模型的解法，只需将目标函数Max ：ij i j ij ijij X b aX f )()(4141∑∑==-= 改为Max ：443424144110170110200110250X X X X m +++=和 Min ：443424144110170110200110250X X X X m +++= 即可以求出4m 的范围在最小值min 4m 和最大值max 4m 之间，解得：27.2545.74≤≤m （30）依照该方法可求出其他三个项目所分配人员一天所完成的工作量的范围，将得到的解表示在表3中：表3项目（j m ）A （1m ）B （2m ）C （3m ）D （4m ） 范围[10.00 18.18][14.27 28.36][12.27 19.54][7.45 25.27]从表3知道，要确定j M ，只需要给定的值j M 在这些范围内即可。

3．模型的求解：在这个模型中，我们具体求解的是项目D 先完成的模型，并在满足(30)式的范围内，给定项目D 客户每天要求的工作量4M 。

但由于如果单取4M 为一个值时，该模型可能没有整数解，所以这里具体取4M 在满足（30）式下的更小的范围14124≤≤M ,那么依照基本模型的解法，可解得新的人员安排如表4所示： 表4 分配（人） A B C D 总计（各级别人员）高级工程师 1 5 2 1 9 工程师 3 3 6 5 17 助理工程师 2 5 2 1 10 技术员 1 3 1 0 5 总计（各项目）71611741并解得公司一天直接收益最大值为：27000(元) 而取24224≤≤M 时的解如表5： 表5 分配（人） A B C D 总计（各级别人员）高级工程师 1 5 2 1 9 工程师 2 2 5 8 17 助理工程师 2 2 2 4 10 技术员 1 3 1 0 5 总计（各项目）612101341并解得公司一天直接收益最大值为：26650（元)取4M 在满足（30）式下的不同范围内，将得到公司每天收益不同的最优解，具体如表6所示：（这里只列出收益最优解，不列出新的人员安排解） 表64M 的范围[12 14] [14 16] [16 18] [18 20] [20 22] [22 24] 公司每天收益最优解270002695026900268502675026650在实际中4M 取值的变化则表现为如果客户对工期的要求不同，将导致公司对各个项目人员的分配发生改变，来维持公司每天收益的最大化。

4．项目D 完成后公司一天的收益求解：项目D 完成后，根据基本假设6，公司将重新对A,B,C 三个项目进行人员分配,当然，在分配的时候，原先在各自的项目工作的人员，只要该项目人员不减少，那么在实际中仍然保留这些人员。