弹性与塑性应力应变关系

ez
1 2G
sz
xy
1
G
xy
e xy
1
2
xy
1
2G
xy
e yz
1
2G
yz
ezx
1 2G
zx
ex
1 2G
sx
e xy
1 2G
xy
➢偏量形式的广义虎克定律
1 e y 2G s y
1 ez 2G sz
e yz
1 2G
yz
ezx
1 2G
zx
eij
1 2G
sij
ex e y ez xy yz zx 1 sx s y sz 2 xy 2 yz 2 zx 2G
2 xy
2 yz
2 zx
x
y
2
y
z
2
z
x
2
6
2 xy
2 yz
2 zx
2
2 s
三、Mises 屈服条件
❖ Mises条件的常用形式： （2）应力强度形式：
1
2 2
2
3 2
3
1 2
2
2 s
1
2
1
2 2
2
3 2
3
1 2
s
i s
❖ 应力强度达到单伸时材料的屈服极限时，材料便进入 塑性状态。（A.A.Ilinshin）
s
s
3
1
6
1 2 2 2 3 2 3 1 2
k22
3
1 2 2 2 3 2 3 1 2 6k22
单向拉伸时： 1 , 2 3 0 s
k2
s
3
纯剪切时： 1 , 2 0, 3 s k2 s
三、Mises 屈服条件
1 , 2 0, 3 max s k
二、Tresca 屈服条件
2. 主应力次序未知时：
1 3 2k 1 2 2k 2 3 2k
❖ 六个式子中，只要一 个式子取等号，材料
便进入塑性状态。
几何表示： 正六棱柱面
3
将1 ，2 ，3向平面投影
2
n
0
1
1 2 3 0
1. 屈服曲线是一条封闭曲线，并且坐标原点被包围在内。
2. 由原点O向外作的射线与屈服曲线必相交，且只相交一次（材料的初 始屈服强度是唯一的）。
3. 屈服曲线关于1、2、3轴及与其垂直的直线对称（材料是各向同性的，
初始拉伸与压缩屈服强度相同）。 4. 屈服曲线对坐标原点为外凸曲线。
3
3
GA D
F
B C
D
验，可确定从弹性阶段进入
E
塑性阶段的分界面。
分界面 ij
屈服曲面：区分弹性区和塑性区的分界面（超曲面）。
屈服条件：描述分界面的数学表达式。（屈服函数）
F ( ij ) 0 F( x , y , z , xy , yz , zx ) 0
❖ 屈服函数： F ( ij ) 0
3
对于各向同性材料：坐标轴的转动不影响屈服
C ( 1, 2 , 3 )
n
F ( 1, 2 , 3 ) 0
建立主应力空间（三维空间）：
应力球张量不影响材料的屈服，屈服 面一定是是一个与坐标轴呈等倾斜的 柱体表面，其母线垂直于平面。
O
1
N ( m , m , m )
2 1 2 3 0
屈服面与 平面的交线称为屈服轨迹或屈服曲线。
❖ 屈服曲线的性质：
2
2 2k
1 2 2k
1 2k
0 1 2k
2 2k
1 1 2 2k
三、Mises 屈服条件（1913，德国）
2
y
1
2
3
1
2
2
3
2
3
2
3
3
x 1 2 sin30o 3 sin30o
0
2k 2
3
1 x
1 6
2
1
2
3
x
y 2 cos30o 3 cos30o
3
x2 y2 R2 8k 2 3
y
2 2
2
3
1 2 2 2 3 2 3 1 2 8k 2
三、Mises 屈服条件
2
y
1 2 2 2 3 2 3 1 2 8k 2
❖ Mises条件的常用形式：
0
2k 2
3
（1）应力张量第二不变量形式：
1
x
J2 k22
E1
s
§3–3 弹性应力应变关系——广义虎克定律
一、单拉下的应力--应变关系
y
x
x
x
E
y
E
x
z
E
x
ij 0 (i,j x,y,z)
z
x
二、纯剪的应力--应变关系
y
xy
xy
G
i 0 (i x,y,z)
yz zx 0
z
G：剪切弹性模量
E：弹性模量
：泊松比
G
E
21
xy
x
三、空间应力状态下的应力 --- 应变关系
❖ Mises条件的常用形式： （1）应力张量第二不变量形式：
J2 k22
1 2 2 2 3 2 3 1 2 6k22
单向拉伸时：
k2
s
3
纯剪切时： k2 s1Βιβλιοθήκη 2 223 2
3
1 2
2
2 s
J2
1 6
x y 2 y z
2
z x
2
6
xy
E
xx
yy G1z xy
y y x z x
z x y
平
面应
xy
力 xy
G
2平(1EE面 )应 xy变
yz
E yz 21(1
G
E
)2
yz
zx
zx
G
21(1E)
zx
§3–4 常用的屈服条件
一、塑性力学的基本概念
1. 塑性力学的研究内容：
❖ 研究材料塑性变形和作用力之间关系（本构关系）。 ❖ 研究在塑性变形后物体内部应力分布规律。
(1
)
x
1 2
E
x
1 E
(1
) x
1
E 2
x
E
1
x
(1
E )(1
2 )
x 2G x
y 2G y
z
2G z
xy
G
xy
yz
G
yz
zx G zx
E
(1 )(1 2 )
Lame′常数
(2G 3 )
五、主应力 --- 主应变关系
1
1 E
（3）弹性形变比能形式： （Hencky）
（4）等倾面上的剪应力形式： （A.L.Nadai）
三、Mises 屈服条件
❖ 平面应力问题的Mises条件：
2
1
2 2
2
3 2
3
1 2
2
2 s
2k
2 1
2 2
22
2 s
0
x , y , z 0, xy , yz zx 0
1
2
3
2
1 E
2
3
1
3
1 E
3
2
1
x
1 E
x
y
z
y
1 E
y
z
x
z
1 E
z
x
y
xy
xy
G
2(1 E
) xy
yz
yz
G
2(1 E
)
yz
zx
zx
G
2(1 E
)
zx
六、平面应力状态下的应力---应变关系:
z yz zx 0
T
P A
A'
TA
B A
A
o'
o
1
A
材料不可压缩： Al A0l0
T
P A0
l l0
T (1 )
§3–2 弹塑性力学常用的简化模型
力学模型的要求：
❖符合材料的实际情况。 ❖数学表达式足够简单。
1. 理想弹性力学模型
E
2. 理想弹塑性力学模型
s
E s
s s
s
§3–2 弹塑性力学常用的简化模型
y
y
yz
xy
xz z
z
x
x
依叠加原理,得:
x
x
E
y
E
z
E
1 E
x
y
z
x
1 E
x
y
z
广
y
1 E
y
z
x
义 虎 克 定 律
z
1 E
z
x
y
xy
xy
G
2(1 E
) xy
yz
yz
G
2(1 E
)
yz
zx
zx
G
2(1 E
)
zx
体积应力与体积应变
2. 塑性力学的特点： ❖ 应力与应变的关系是非线性的。（与材料有关） ❖ 应力与应变之间没有一一对应的关系。（与加载历史有关） ❖ 在变形体中有弹性变形区和塑性变形区。（分界面、线） ❖ 区分加载和卸载过程。（加载使用塑性应力应变关系，卸 载使用广义胡克定律。）
3. 塑性条件（屈服条件）：
❖ 材料处于弹性状态或塑性状态的判断准则。
o
o 1
1