算法竞赛入门经典授课教案第7章 暴力求解法

第7章暴力求解法【教学内容相关章节】7.1简单枚举 7.2枚举排列 7.3子集生成7.4回溯法 7.5隐式图搜索【教学目标】（1）掌握整数、子串等简单对象的枚举方法；（2）熟练掌握排列生成的递归方法；（3）熟练掌握用“下一个排列”枚举全排列的方法；（4）理解解答树，并能估算典型解答树的结点数；（5）熟练掌握子集生成的增量法、位向量法和二进制法；（6）熟练掌握回溯法框架，并能理解为什么它往往比生成-测试法高效；（7）熟练掌握解答树的宽度优先搜索和迭代加深搜索；（8）理解倒水问题的状态图与八皇后问题的解答树的本质区别；（9）熟练掌握八数码问题的BFS实现；（10）熟练掌握集合的两种典型实现——hash表和STL集合。

【教学要求】掌握整数、子串等简单对象的枚举方法；熟练掌握排列生成的递归方法；熟练掌握用“下一个排列”枚举全排列的方法；理解子集树和排列树；熟练掌握回溯法框架；熟练掌握解答树的宽度优先搜索和迭代搜索；熟练掌握集合的两种典型实现——hash表和STL集合。

【教学内容提要】本章主要讨论暴力法（也叫穷举法、蛮力法），它要求调设计者找出所有可能的方法，然后选择其中的一种方法，若该方法不可行则试探下一种可能的方法。

介绍了排列生成的递归方法；在求解的过程中，提出了解答树的概念（如子集树和排列树）；介绍了回溯法的基本框架；介绍了集合的两种典型实现——hash表和STL集合。

【教学重点、难点】教学重点：（1）熟练掌握排列生成的递归方法；（2）理解解答树，并能估算典型解答树的结点数；（3）熟练掌握子集生成的增量法、位向量法和二进制法；（4）熟练掌握回溯法框架，并能理解为什么它往往比生成-测试法高效；（5）熟练掌握解答树的宽度优先搜索和迭代搜索；（6）熟练掌握集合的两种典型实现——hash表和STL集合。

教学难点：（1）熟练掌握子集生成的增量法、位向量法和二进制法；（2）熟练掌握回溯法框架，并能理解为什么它往往比生成-测试法高效；（3）熟练掌握解答树的宽度优先搜索和迭代搜索；（4）熟练掌握集合的两种典型实现——hash表和STL集合。

【课时安排】7.1简单枚举 7.2枚举排列 7.3子集生成7.4回溯法 7.5隐式图搜索引言暴力法也称为穷举法、蛮力法，它要求调设计者找出所有可能的方法，然后选择其中的一种方法，若该方法不可行则试探下一种可能的方法。

暴力法也是一种直接解决问题的方法，常常直接基于问题的描述和所涉及的概念定义。

暴力法不是一个最好的算法，但当我们想不出更好的办法时，它也是一种有效的解决问题的方法。

暴力法的优点是逻辑清晰，编写程序简洁。

在程序设计竞赛时，时间紧张，相对于高效的、巧妙的算法，暴力法编写的程序简单，能更快地解决问题。

同时蛮力法也是很多算法的基础，可以在蛮力法的基础上加以优化，得到更高效的算法。

而且，某些情况下，算法规模不大，使用优化的算法没有必要，而且某些优化算法本身较复杂，在规模不在时可能因为复杂的算法浪费时间，反而不如简单的暴力搜索。

使用暴力法常用如下几种情况：（1）搜索所有的解空间；（2）搜索所有的路径；（3）直接计算；（4）模拟和仿真。

7.1 简单枚举在枚举复杂对象之前，先尝试着枚举一些相对简单的东西，如整数、子串等。

暴力枚举对问题进行一定的分析往往会让算法更加简洁、高效。

7.1.1 除法输入正整数n，按从小到大的顺序输出所有形如abcde/fghij=n的表达式，其中a～j 恰好为数字0～9的一个排列，2≤n≤79。

样例输入：62样例输出：79546/01283=6294736/01528=62【分析】只需要枚举fghij就可以计算出abcde，然后判断是否所有数字都不相同即可。

不仅程序简单，而枚举量也从10!=3628800降低至不到1万。

由此可见，即使采用暴力枚举，也是需要认真分析问题。

完整的程序如下：#include <iostream>using namespace std;bool test(int i,int j){ //用数组t存放i，j的各位数字int t[10]={0}; //初始化数组t，使得各位数字为0，好处是使得fghij<10000时f位置为0int ia = 0;while(i) { //取i中各位数字存放在数组t中t[ia++] = i % 10;i = i / 10;}while(j) { //取j中各位数字存放在数组t中t[ia++] = j % 10;j = j / 10;}//判断a～j是否恰好为数字的0～9的一个排列for(int m = 0; m < 10; ++m)for(int n = m+1; n < 10; ++n)if(t[n] == t[m]) return false;return true;}int main(){int n;int k;while(cin >> n && n >=2 && n <= 79) {k = 1234;while(k <= 98765) {int j = k * n;if(j < 100000) { //若fghij<10000，满足题目的条件，f位置输出0if(test(j,k)) {cout << j << "/" ;if(k < 10000) cout <<"0";cout << k << "=" << n <<endl;}}++k;}}return 0;}7.1.2 最大乘积输入n个元素组成的序列S，你需要找出一个乘积最大的连续子序列。

如果这个最大的乘积不是正整，应输出-1（表示无解）。

1≤n≤18，-10≤S i≤10。

样例输入：32 4 -352 5 -1 2 -1样例输出：820【分析】连续子序列有两个要素：起点和终点，因此只需要枚举起点和终点即可。

由于每个元素的绝对值不超过10，一共又不超过18个元素，最大可能的乘积示会超过1018，可以用long long存下。

完整的程序如下：#include <stdio.h>int main(){int a[20]; //存放输入序列的每一个元素__int64 ans = 0; //存放最大的乘积int n; //输入元素的个数__int64 tmp； //存放乘积的中间结果while(scanf("%d",&n)!=EOF){ //输入序列中元素的个数nfor(int i = 0;i < n; i++) //输入序列中的元素scanf("%d",&a[i]);for(i = 0; i < n; i++) {//从序列中的第0个元素开始，枚举最大连续乘积，并用ans存储 tmp = 1;for(int j = i; j < n; j++) {tmp *= a[j];if(tmp > ans) ans = tmp;}}if(ans>0)printf("%I64d\n",ans);elseprintf("%d\n",-1);}return 0;}7.1.3 分数拆分输入正整数k，找到所有的正整数x≥y，使得111k x y =+。

样例输入：212样例输出：21/2=1/6+1/31/2=1/4+1/481/12=1/156+1/131/12=1/84+1/141/12=1/60+1/151/12=1/48+1/161/12=1/36+1/181/12=1/30+1/201/12=1/28+1/211/12=1/24+1/24【分析】找出所有有x，y，枚举完成了就行了。

但是从1/12=1/156+1/13可以看出，x可以比y大很多。

由于x≥y，有11x y≤，因此111k y y-≤，即y≤2k。

这样，只需要在2k范围内枚举y，然后根据y尝试计算出x即可。

完整的程序如下：#include <stdio.h>int main(){int k;int x, y, count = 0;//变量count统计等式的个数while(scanf("%d", &k) != EOF) {for(y = k+1;y <= 2 * k; y++){ //判断1/k=1/x+1/y等式的个数， x=(k * y) / (y - k);if(x * (y-k) == k * y){count++;}}printf("%d\n",count); //输出满足条件的等式的个数for(y = k+1; y <= 2 * k; y++){ //输出满足条件的等式x=(k * y) / (y - k);if(x * (y - k) == k * y){printf("1/%d=1/%d+1/%d\n",k,x,y);}}}return 0;}7.1.4 双基回文数如果一个正整数n至少有两个不同的进位制b1和b2下都是回文数（2≤b1,b2≤10），则称n是双基回文数（注意，回文数不以包含前导零）。

输入正整数S<106，输出比S大的最小双基回文数。

样例输入：1600000样例输出：1632995【分析】最自然的想法是：从n+1开始依次判断每个数是否为双基回文数，而在判断时要枚举所有可能的基数（2～10）。

意外的是：对于S<106的“小规模数据”来说是足够快的——双基回文数太多太密。

完整的程序如下：#include <iostream>using namespace std;bool huiwen(int n){int i,j,a[30],s;int total = 0; //存放数s是回文数的基数个数for(int base = 2; base <= 10; base++) {i = 1;s = n;while(s) {a[i] = s % base;s = s / base;i++;}i--;for(j = 1; j <= i/2; j++) //判断数s在基base下是否是回文数if(a[j] != a[i-j+1]) break;if(j > i/2) total++; //数s在基base下是回文数，则total++ if(total >= 2) return true;}return false;}int main(){int s;while(scanf("%d",&s) == 1) {for(s = s+1; ; s++) {if(huiwen(s)) {cout << s << endl; break;}}}return 0;}7.2 枚举排列输入整数n，按字典序从大到小的顺序输出前n个数的所有排列。