算法竞赛入门经典授课教案第7章 暴力求解法

第7章暴力求解法

【教学内容相关章节】

7.1简单枚举 7.2枚举排列 7.3子集生成

7.4回溯法 7.5隐式图搜索

【教学目标】

（1）掌握整数、子串等简单对象的枚举方法；

（2）熟练掌握排列生成的递归方法；

（3）熟练掌握用“下一个排列”枚举全排列的方法；

（4）理解解答树，并能估算典型解答树的结点数；

（5）熟练掌握子集生成的增量法、位向量法和二进制法；

（6）熟练掌握回溯法框架，并能理解为什么它往往比生成-测试法高效；

（7）熟练掌握解答树的宽度优先搜索和迭代加深搜索；

（8）理解倒水问题的状态图与八皇后问题的解答树的本质区别；

（9）熟练掌握八数码问题的BFS实现；

（10）熟练掌握集合的两种典型实现——hash表和STL集合。

【教学要求】

掌握整数、子串等简单对象的枚举方法；熟练掌握排列生成的递归方法；熟练掌握用“下一个排列”枚举全排列的方法；理解子集树和排列树；熟练掌握回溯法框架；熟练掌握解答树的宽度优先搜索和迭代搜索；熟练掌握集合的两种典型实现——hash表和STL集合。【教学内容提要】

本章主要讨论暴力法（也叫穷举法、蛮力法），它要求调设计者找出所有可能的方法，然后选择其中的一种方法，若该方法不可行则试探下一种可能的方法。介绍了排列生成的递归方法；在求解的过程中，提出了解答树的概念（如子集树和排列树）；介绍了回溯法的基本框架；介绍了集合的两种典型实现——hash表和STL集合。

【教学重点、难点】

教学重点：

（1）熟练掌握排列生成的递归方法；

（2）理解解答树，并能估算典型解答树的结点数；

（3）熟练掌握子集生成的增量法、位向量法和二进制法；

（4）熟练掌握回溯法框架，并能理解为什么它往往比生成-测试法高效；

（5）熟练掌握解答树的宽度优先搜索和迭代搜索；

（6）熟练掌握集合的两种典型实现——hash表和STL集合。

教学难点：

（1）熟练掌握子集生成的增量法、位向量法和二进制法；

（2）熟练掌握回溯法框架，并能理解为什么它往往比生成-测试法高效；

（3）熟练掌握解答树的宽度优先搜索和迭代搜索；

（4）熟练掌握集合的两种典型实现——hash表和STL集合。

【课时安排】

7.1简单枚举 7.2枚举排列 7.3子集生成

7.4回溯法 7.5隐式图搜索

引言

暴力法也称为穷举法、蛮力法，它要求调设计者找出所有可能的方法，然后选择其中的一种方法，若该方法不可行则试探下一种可能的方法。

暴力法也是一种直接解决问题的方法，常常直接基于问题的描述和所涉及的概念定义。

暴力法不是一个最好的算法，但当我们想不出更好的办法时，它也是一种有效的解决问题的方法。

暴力法的优点是逻辑清晰，编写程序简洁。在程序设计竞赛时，时间紧张，相对于高效的、巧妙的算法，暴力法编写的程序简单，能更快地解决问题。同时蛮力法也是很多算法的基础，可以在蛮力法的基础上加以优化，得到更高效的算法。

而且，某些情况下，算法规模不大，使用优化的算法没有必要，而且某些优化算法本身较复杂，在规模不在时可能因为复杂的算法浪费时间，反而不如简单的暴力搜索。

使用暴力法常用如下几种情况：

（1）搜索所有的解空间；

（2）搜索所有的路径；

（3）直接计算；

（4）模拟和仿真。

7.1 简单枚举

在枚举复杂对象之前，先尝试着枚举一些相对简单的东西，如整数、子串等。暴力枚举对问题进行一定的分析往往会让算法更加简洁、高效。

7.1.1 除法

输入正整数n，按从小到大的顺序输出所有形如abcde/fghij=n的表达式，其中a～j 恰好为数字0～9的一个排列，2≤n≤79。

样例输入：

62

样例输出：

79546/01283=62

94736/01528=62

【分析】

只需要枚举fghij就可以计算出abcde，然后判断是否所有数字都不相同即可。不仅程序简单，而枚举量也从10!=3628800降低至不到1万。由此可见，即使采用暴力枚举，也是需要认真分析问题。

完整的程序如下：

#include

using namespace std;

bool test(int i,int j){ //用数组t存放i，j的各位数字

int t[10]={0}; //初始化数组t，使得各位数字为0，好处是使得fghij<10000

时f位置为0

int ia = 0;

while(i) { //取i中各位数字存放在数组t中

t[ia++] = i % 10;

i = i / 10;

}

while(j) { //取j中各位数字存放在数组t中

t[ia++] = j % 10;

j = j / 10;

}

//判断a～j是否恰好为数字的0～9的一个排列

for(int m = 0; m < 10; ++m)

for(int n = m+1; n < 10; ++n)

if(t[n] == t[m]) return false;

return true;

}

int main(){

int n;

int k;

while(cin >> n && n >=2 && n <= 79) {

k = 1234;

while(k <= 98765) {

int j = k * n;

if(j < 100000) { //若fghij<10000，满足题目的条件，f位置输出0

if(test(j,k)) {

cout << j << "/" ;

if(k < 10000) cout <<"0";

cout << k << "=" << n <

}

}

++k;

}

}

return 0;

}

7.1.2 最大乘积

输入n个元素组成的序列S，你需要找出一个乘积最大的连续子序列。如果这个最大的乘积不是正整，应输出-1（表示无解）。1≤n≤18，-10≤S i≤10。

样例输入：

3

2 4 -3

5

2 5 -1 2 -1

样例输出：

8

20

【分析】

连续子序列有两个要素：起点和终点，因此只需要枚举起点和终点即可。由于每个元素的绝对值不超过10，一共又不超过18个元素，最大可能的乘积示会超过1018，可以用long long存下。

完整的程序如下：

#include

int main(){

int a[20]; //存放输入序列的每一个元素

__int64 ans = 0; //存放最大的乘积

int n; //输入元素的个数

__int64 tmp； //存放乘积的中间结果

while(scanf("%d",&n)!=EOF){ //输入序列中元素的个数n

for(int i = 0;i < n; i++) //输入序列中的元素

scanf("%d",&a[i]);

for(i = 0; i < n; i++) {