清华大学 信号与系统 考研辅导

重点知识点汇总分析（大纲）清华大学电子工程专业基础知识点框架梳理及其解析第一章 绪论本章节包括4个知识点，1. 信号分类（周期信号，周期信号的和与积，随机信号，伪随机信号，模拟信号，阶梯信号，抽样信号，数字信号，六种典型确定性信号，四种奇异信号）；2. 四种冲激函数定义，冲激函数性质，冲激偶，冲激偶性质，信号的脉冲分解（与冲激函数卷积）；3. 弱极限，广函，广函导数；4. 线性系统，非线性系统，本质非线性，因果系统，因果信号，零状态LTI 系统输出，积分环节与微分环节的零状态单位冲激响应。

其中必须掌握的知识点是3个，1. 信号分类；2. 四种冲激函数定义，冲激函数性质，冲激偶，冲激偶性质， 信号的脉冲分解（与冲激函数卷积）；4. 线性系统，非线性系统，本质非线性，因果系统，因果信号，零状态LTI 系统输出，积分环节与微分环节的零状态单位冲激响应。

基础阶段，复习时间是从5月份至8月份，需要掌握的知识点4个，1. 信号分类；2. 四种冲激函数定义，冲激函数性质，冲激偶，冲激偶性质，信号的脉冲分解（与冲激函数卷积）；4. 线性系统，非线性系统，本质非线性，因果系统，因果信号，零状态LTI 系统输出。

在复习每一个知识点的过程中，首先要了解知识点，通过仔细的阅读参考书，课堂讲义和笔记，推敲课本中典型例题所蕴含的技巧，对应的课后题要有选择性的去做，并且对于一些课后题要学会总结出其中的拔高性内容，以便熟悉相应知识点，最后再通过本讲义如下内容对应的例题，从分析、解题、注意易错点到完成老师布置的作业完成相应知识点的掌握过程。

【知识点1】信号分类这一部分内容相对比较基础，只需理解基本概念即可。

历年考题中并无单独在这一个知识点上命题。

可以参考郑君里《信号与系统》的课后习题1-1作业：《信号与系统》P37~ P37页第1-4、1-5、1-9、1-12、1-18题【知识点2】四种冲激函数定义，冲激函数性质，冲激偶，冲激偶性质， 信号的脉冲分解（与冲激函数卷积）【例题1】（1998年清华信号与系统考研真题）()()(){}()'313tLe u d ττδτττ--∞⎡⎤-*=⎣⎦⎰a.1b. 1sc. 21sd. 1s e s-分析：这是一道关于()t δ函数和()'t δ函数性质的应用题，需要对这两个函数性质的熟练掌握才能正确解答。

要用到如下几个性质：1. ()()()f t t f t δ*=；2.()''()()f t t f t δ*=；3.()()()'''()(0)(0)f t t f t f t δδδ=-+g g ，推广()()()()()()()()()1(0)(1)nn n kn k k k nk f t t Cft δδ-==--∑g ；4. ()()td u t δττ-∞=⎰。

解题：利用以上性质3，则有()()()()''133τδτδτδτ-=+则()()()()()()()()''333333[3]333e u e u e u e u e u e ττττττδτδττττττδτ------⎡⎤+*=+=-+⎣⎦()δτ=故()()()()'313()tte u d d u t ττδτττδττ--∞-∞⎡⎤-*==⎣⎦⎰⎰ 所以{}1()L u t s=，即答案选b 。

易错点：（1）对()t δ函数和()'t δ函数性质的不熟悉；（2）对()t δ函数和()'t δ函数相乘性质和卷积性质的混淆。

作业：《信号与系统》P39页第1-14题，P84页第2-13题习题：（2000年清华信号与系统考研真题）1. ()()()t f t dt δα+∞-∞-=⎰，其中()f t 为有阶连续函数，(),,0t α∈-∞+∞>。

（2000年清华信号与系统考研真题）2.()()0()t f t t δα*--=，其中()f t 为有阶连续函数，(),t ∈-∞+∞，*表示卷积。

【知识点3】线性系统，非线性系统，本质非线性，因果系统，因果信号，零状态LTI 系统输出【例题2】有一线性时不变系统，当激励1()()e t u t =时，响应1()()tr t e u t α-=，试求当激励()2()e t t δ=时，响应2()r t 的表示式。

（假定起始时刻系统无储能）分析：（1）线性（Linearity ）：基本含义为叠加性和均匀性即输入12(),()x t x t 得到的输出分别为12(),()y t y t ， [][]1122()(),()()T x t y t T x t y t ==，则[]11221122()()()()T c x t c x t c y t c y t +=+（12,c c 为常数）。

线性系统是指系统的全响应可以分解为零输入响应和零状态响应，并且二者均分别具有线性性质。

未说明初始条件，可认为系统起始状态为零（“松弛”的），故零输入响应为零，只需判断系统的输入——输出是否满足线性。

（2）时不变性（Time-Invariblity ）：是指当激励延迟一段时间0 t 时，其响应也同样延迟0 t ，波形形状不变。

（3）因果性（Causality ）：是指系统在0t 时刻的响应只与0t t =和0t t <的时刻有关，与未来的时刻无关。

满足因果性的系统又称为物理可实现系统。

解题：利用线性时不变系统得微分特性 因为21()()de t e t dt =，所以 ()()21()()()t t t td d r t r te u t e e t t e dt dtαααααδδα----⎡⎤===-+=-⎣⎦易错点：没有深入理解线性系统的性质的话，做本题的时候可能会较难入手。

作业：《信号与系统》P40~ P41页第1-20、1-21题习题：（2000年清华信号与系统考研真题）判断正误：1.一个系统T ，对其输入信号f(t)的运算规则为{}()(,)()T f t K x t f t dt +∞-∞=⎰，(,)K x t 是已知函数，则系统T 必为线性系统。

本章重要公式：()Sa t dt π∞-∞=⎰；()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()100000()()()00'''1sin 1lim 02,, 1, 10()()000j tk nnn n n k kt t e d t f t t f t at t kt at t t t t t dt t f x f x x x x x x x t t f t dt f t d dx f x f x f x t t t dt dtξδξδδδδδππδφδφφδδδφδφφδδδδδφφδ+∞-∞→∞-Ω+∞-∞===='--==-⎡⎤⎣⎦''=-=--=-=-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰g @；；；；； ； ()()()()011t at t a aφδδδ'=''=⋅第二章 连续时间线性定常系统时域分析本章节包括2个知识点，1. R 、L 、C 电压电流模型及s 参数模型，系统状态空间模型（Kalman ∑（ABCD ）模型）及框图描述，LTI 系统的微分方程/算子方程及其求解，LTI 系统响应的三种分解方式，正确认识电容上电压与电感上电流不能跳变的条件，经典解法：齐解+特解，图2-5，会做例2-5类型题；分析2-8，深刻领会书P57（2-34）式各项来历，()()()()()()()()di t de t e t Ri t e t LLpi t i t C Cpe t dt dt=====；；；2. 卷积的性质（代数性质、拓扑性质），冲激与冲激偶函数的卷积运算，其中必须掌握的知识点是2个，以上列出的两个知识点都需要掌握。

基础阶段，复习时间是从5月份至8月份，需要掌握的知识点2个，以上列出的两个知识点都需要掌握。

在复习每一个知识点的过程中，首先要了解知识点，通过仔细的阅读参考书，课堂讲义和笔记，推敲课本中典型例题所蕴含的技巧，对应的课后题要有选择性的去做，并且对于一些课后题要学会总结出其中的拔高性内容，熟悉相应知识点，最后再通过本讲义如下内容对应的例题，从分析、解题、注意易错点到完成老师布置的作业完成相应知识点的掌握过程。

【知识点1】LTI 系统的微分方程/算子方程及其求解，LTI 系统响应的三种分解方式，正确认识电容上电压与电感上电流不能跳变的条件，经典解法：齐解+特解【例题1】给定系统微分方程22()3()2()()3()d d dr t r t r t e t e t dt dt dt++=+，若激励信号和起始状态为：'()(),(0)1,(0)2e t u t r r --===，试求其完全响应，并指出其零输入响应、零状态响应，自由响应、强迫响应各分量。

分析：LTI 系统的系统算子模型（郑书：2.8）：♦令：d d p p d d n nn t t==，...，，则微分方程模型化为算子模型：()()111010p p ...p p ...p n n mn m a a a y t b b b v t --⎡⎤⎡⎤++++=+++⎣⎦⎣⎦令：()1110p p p ...p n n n D a a a --++++@()10p p ...p m m N b b b +++@有：()()()()()()p p p N y t v t H v t D =@ （1）其中，()()()p p p N H D = 称为系统算子。

♦注意三点：• ()p N 与()p D 的公因式一般不可相消• p 与1p的顺序一般不可交换•不同的物理系统，输入—输出方程可能相同，但含义不同♦可对()p H 进行因式分解，其基本单元为1p α+：()()()()01d p tt t v t e v e v t αταττα---=*+=⎰零状态（2）只需对（2）两端施以p+α 运算，即可验证等式成立。

♦零输入（zero input ）响应()zi y t ：没有外加激励信号的作用，即()v t ≡0，由起始状态y (0-)≠0所产生的响应；此时， (0+)= (0-)。

♦零状态（zero state ）响应()zs y t ：起始时刻系统储能为0，即 (0-)≡0，由系统的外加激励信号()()()0v t v t u t =≠所产生的响应；此时，系统储能瞬间发生了跳变， (0+)≠ (0-)=0。

系统响应：()()()zi zs y t y t y t =+ 自由响应、强迫响应： 系统响应＝齐次解1i nti i A e α=∑＋特解()B t |带入 (0+)≠ (0-)＝0 (t ≥0)自由响应 强迫响应（受迫响应）系统的自由响应由特征根（第五章会学到就是系统的极点）决定，是系统自身的属性，故亦可形象地称为自有响应。