高三数学 双曲线

第二节 双曲线

一、基本知识概要： 1.双曲线的定义

第一定义：平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于

|)|2(221F F a a <的点的轨迹，即点集{}

a PF PF P 2|21=-。（212F F a =为两

射线；221F F a >无轨迹。）无外面的绝对值则为半条双曲线，左-右为右支，上-下为下支等。

第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。即点集⎭⎬⎫⎩⎨⎧

>=1|

1

1e d PF P =⎭

⎬⎫⎩⎨⎧>=1|2

2

e d PF P ，一个

比产生整条双曲线。

2.双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 )0,0(12

2

22>>=-b a b y a x )0,0(12

2

22>>=-b a b x a y 图形

焦点 F 1（-)0,c ，F 2（)0,c F 1（),0c -，F 2（),c o

焦距 | F 1F 2|=2c 222c b a =+一个Rt ∆

范围

R y a x ∈≥,||

R x a y ∈≥,||

对称性

关于x 轴，y 轴和原点对称

说明：(1)双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和求双曲线方程的两个有力工具，所以要对双曲线的两个定义有深刻的认

识。

(2)双曲线方程中的p e c b a ,,,,与坐标系无关，只有焦点坐标，顶点坐标，准线及渐近线方程与坐标系有关，因此确定一个双曲线的标准方程需要三个条件：两个定形条件b a ,，一个定位条件，焦点坐标或准线，渐近线方程。

求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹方程法。 (3)直线和双曲线的位置关系，在二次项系数不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公式，求解问题的类型也相同。唯一不同的是直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切。

利用共渐近线的双曲线系k b y a x =-2222或)0(22

22≠=-k k b

x a y 方程解题，常

使解法简捷。

(4)双曲线的焦半径，当点P 在右支（或上支）上时，为);(,00a ey a ex ±±当点P 在左支（或下支）上时，为)];([),(00a ey a ex ±-±-利用焦半径公式，解题简洁明了，注意运用，

3.重点、难点：深刻理解确定双曲线的形状，大小的几个主要特征量，

掌握定义，性质，掌握直线与双曲线的位置关系。

4.思维方式：方程的思想，数形结合的思想；待定系数法，参数思想等。

二、例题：

例1：根据下列条件，求双曲线方程：

(1) 与双曲线116

92

2=-y x 有共同渐近线，且过点)32,3(-；

(2) 与双曲线14

162

2=-y x 有公共焦点，且过点)2,23(。

【解】：（1）设所求双曲线方程为)0(16

92

2≠=-λλy x ，将点)32,3(-代入

得4

1=λ，

所以双曲线方程为4

1

16922=-y x 。

（2）设双曲线方程为

14162

2=+--k

y k x ，将点)2,23(代入得4=k ， 所以双曲线方程为18

122

2=-y x 。

【思维点拨】利用共渐近线的双曲线系方程解题简捷明了。要善于选择恰当的方程模型。

例2：在双曲线19

162

2=-y x 上求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右

焦点距离的两倍。

【解】：设P 点的坐标为),(y x ，21,F F 分别为双曲线的左，右焦点。

∵双曲线的准线方程为5

16

±=x 。 ∴|

5

16||||516|||21-=+x PF x PF ∵||2||21PF PF = ∴P 在双曲线的右支上。 ∴

5

16|

|516||222-

=+x PF x PF ∴548=x 。把548=x 代入方程191622=-y x 得1195

3

±=y 。 所以，P 点的

坐标为（

548，1195

3

±） 【思维点拨】运用焦半径公式，解题简洁明了.

例3．（2019年全国，19）设点P 到点M （－1，0），N （1，0）距离

之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围。 解：设点P 的坐标为（x,y ），依题意得

)0(2,2≠±==x x y x

y 即。 （1）

因此，点P （x.y ）,M(-1,0),N(1,0)三点不共线，得

2=<-MN PN PM

10,02<<∴>=-m m PN PM ，

因此，点P 在以M ，N 为焦点，实轴长为2m 的双曲线上，故

1122

22=--m

y m x （2） 将（1）代入（2），并解得2

222

51)1(m

m m x --=，051,0122>-∴>-m m 解得0＜5

5

<

m ，即m 的取值范围为)55,0()0,55( -。

【思维点拨】本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查

了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力。解决此题的关键是用好双曲线的定义。

例4：已知双曲线122

22=-b y a x 的离心率21+>e ，左，右焦点分别的为

21,F F ，左准线为1l ，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使得||1PF 是

P 到l 的距离d 与||2PF 的等比中项。

【解】：设在左半支上存在点P ，使d PF PF ||||221=，由双曲线的第二定义知

e PF PF d PF ==|

|||||121，即||||12PF e PF = ① 再由双曲线的第一定义，得a PF PF 2||||12=- ② 由①②，解得： 1

2||,12||21-=

-=

e ae

PF e a PF