离散数学练习题(含答案)

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离散数学试题及答案

离散数学试题及答案

离散数学试题及答案一、选择题1. 设A、B、C为三个集合,下列哪个式子是成立的?A) \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)B) \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)C) \(A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup (A \cup C)\)答案:B2. 对于一个有n个元素的集合S,S的幂集中包含多少个元素?A) \(n\)B) \(2^n\)C) \(2 \times n\)答案:B二、判断题1. 对于两个关系R和S,若S是自反的,则R ∩ S也是自反的。

答案:错误2. 若一个关系R是反对称的,则R一定是反自反的。

答案:正确三、填空题1. 有一个集合A,其中包含元素1、2、3、4和5,求集合A的幂集的大小。

答案:322. 设a和b是实数,若a \(\neq\) b,则a和b之间的关系是\(\__\_\)关系。

答案:不等四、解答题1. 证明:如果关系R是自反且传递的,则R一定是反自反的。

解答:假设关系R是自反的且传递的,即对于集合A中的任意元素x,都有(x, x) ∈ R,并且当(x, y) ∈ R和(y, z) ∈ R时,(x, z) ∈ R。

反证法:假设R不是反自反的,即存在一个元素a∈A,使得(a, a) ∉ R。

由于R是自反的,所以(a, a) ∈ R,与假设矛盾。

因此,R一定是反自反的。

答案完整证明了该结论。

2. 已知集合A={1, 2, 3},集合B={2, 3, 4},求集合A和B的笛卡尔积。

解答:集合A和B的笛卡尔积定义为{(a, b) | a∈A,b∈B}。

所以,集合A和B的笛卡尔积为{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}。

(完整版)离散数学题目及答案

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数理逻辑习题判断题1.任何命题公式存在惟一的特异析取范式 ( √ ) 2. 公式)(q p p →⌝→是永真式 ( √ ) 3.命题公式p q p →∧)(是永真式 ( √ ) 4.命题公式r q p ∧⌝∧的成真赋值为010 ( × ) 5.))(()(B x A x B x xA →∃=→∀ ( √ )6.命题“如果1+2=3,则雪是黑的”是真命题 ( × ) 7.p q p p =∧∨)( ( √ )8.))()((x G x F x →∀是永真式 ( × ) 9.“我正在撒谎”是命题 ( × ) 10. )()(x xG x xF ∃→∀是永真式( √ )11.命题“如果1+2=0,则雪是黑的”是假命题 ( × ) 12.p q p p =∨∧)( ( √ )13.))()((x G x F x →∀是永假式 ( × )14.每个命题公式都有唯一的特异(主)合取范式 ( √ ) 15.若雪是黑色的:p ,则q →p 公式是永真式 ( √ ) 16.每个逻辑公式都有唯一的前束范式 ( × ) 17.q →p 公式的特异(主)析取式为q p ∨⌝ ( × ) 18.命题公式 )(r q p →∨⌝的成假赋值是110 ( √ ) 19.一阶逻辑公式)),()((y x G x F x →∀是闭式( × )单项选择题1. 下述不是命题的是( A )A.花儿真美啊! B.明天是阴天。

C.2是偶数。

D.铅球是方的。

2.谓词公式(∀y)(∀x)(P(x)→R(x,y))∧∃yQ(x,y)中变元y (B)A.是自由变元但不是约束变元B.是约束变元但不是自由变元C.既是自由变元又是约束变元D.既不是自由变元又不是约束变元3.下列命题公式为重言式的是( A )A.p→ (p∨q)B.(p∨┐p)→qC.q∧┐q D.p→┐q4.下列语句中不是..命题的只有(A )A.花儿为什么这样红?B.2+2=0C.飞碟来自地球外的星球。

离散数学练习题(含答案)

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离散数学试题第一部分选择题一、单项选择题1.下列是两个命题变元p,q的小项是( C )A.p∧┐p∧q B.┐p∨qC.┐p∧q D.┐p∨p∨q2.令p:今天下雪了,q:路滑,则命题“虽然今天下雪了,但是路不滑”可符号化为( D )A.p→┐q B.p∨┐qC.p∧q D.p∧┐q3.下列语句中是命题的只有( A )A.1+1=10 B.x+y=10C.sinx+siny<0 D.x mod 3=24.下列等值式不正确的是( C )A.┐(∀x)A⇔(∃x)┐AB.(∀x)(B→A(x))⇔B→(∀x)A(x)C.(∃x)(A(x)∧B(x))⇔(∃x)A(x)∧(∃x)B(x)D.(∀x)(∀y)(A(x)→B(y))⇔(∀x)A(x)→(∀y)B(y)5.谓词公式(∃x)P(x,y)∧(∀x)(Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)中量词∀x的辖域是( C )A.(∀x)Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z))B.Q(x,z)→(∀y)R(x,y,z)C.Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)D.Q(x,z)6.设A={a,b,c,d},A上的等价关系R={<a,b>,<b,a>,<c,d>,<d,c>}∪I A,则对应于R的A的划分是( D )A.{{a},{b,c},{d}} B.{{a,b},{c},{d}}C.{{a},{b},{c},{d}} D.{{a,b},{c,d}}7.设A={Ø},B=P(P(A)),以下正确的式子是( A )A.{Ø,{Ø}}∈B B.{{Ø,Ø}}∈BC.{{Ø},{{Ø}}}∈B D.{Ø,{{Ø}}}∈B8.设X,Y,Z是集合,一是集合相对补运算,下列等式不正确的是( A )A.(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)B.(X-Y)-Z=(X-Z)-YC.(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)D.(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)9.在自然数集N上,下列定义的运算中不可结合的只有( D )A.a*b=min(a,b)B.a*b=a+bC.a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数)02324# 离散数学试题第1 页共4页02324# 离散数学试题 第 2 页 共4页D .a*b=a(mod b)10.设R 和S 是集合A 上的关系,R ∩S 必为反对称关系的是( A ) A .当R 是偏序关系,S 是等价关系; B .当R 和S 都是自反关系; C .当R 和S 都是等价关系; D .当R 和S 都是传递关系11.设R 是A 上的二元关系,且R ·R ⊆R,可以肯定R 应是( D ) A .对称关系; B .全序关系; C .自反关系; D .传递关系 12.设R 为实数集,函数f :R →R ,f(x)=2x ,则f 是( B ) A .满射函数 B .单射函数 C .双射函数 D .非单射非满射第二部分 非选择题二、填空题1.设论域是{a,b,c},则(∀x)S(x)等价于命题公式 S(a)∧S(b)∧S(c) ;(x ∃)S(x)等价于命题公式 S(a)∨S(b) ∨S(c) 。

离散数学练习题(含答案)

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离散数学练习题(含答案)题目1. 对于集合 $A={1,2,3,...,10}$ 和 $B={n|n是偶数,2<n<8}$,求 $A \cap B$ 的元素。

2. 存在三个可识别的状态A,B,C。

置换群 $S_3$ 作用在状态集上。

定义四个动作:$α: A → C, β: A → B, γ: C→ A, δ: B→ C$。

确定式子,描述 $\{α,β,γ,δ\}$ 的乘法表。

3. 证明 $\forall n \in \mathbb{N}$,合数的个数不小于$n$。

4. 给定一个无向带权图,图中每个节点编号分别是$1,2,...,n$,证明下列结论:a. 如果从节点$i$到$j$只有一条权值最小的路径,则这条路径的任意子路径都是最短路径。

b. 如果从节点$i$到$j$有两条或两条以上权值相等的路径,则从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。

答案1. $A \cap B = \{2,4,6\}$。

2. 乘法表:3. 对于任意$n$,我们可以选择$n+1$个连续的自然数$k+1,k+2,...,k+n,k+n+1$中的$n$个数,其中$k \in \mathbb{Z}$。

这$n$个数构成的$n$个正整数均为合数,因为它们都至少有一个小于它自身的因子,所以不是质数。

所以合数的个数不小于任意$n$。

4.a. 根据题意,从$i$到$j$只有一条权值最小的路径,即这条最短路径已被确定。

如果从这条路径中任意取出一段子路径,假设这段子路径不是这个节点到$j$的最短路径,那么存在其他从$i$到$j$的路径比这段子路径更优,又因为这条路径是最短路径,所以这段子路径也一定不优于最短路径,矛盾。

所以从这条路径中任意取出的子路径都是最短路径。

b. 如果从节点$i$到$j$有多条权值相等的路径,则这些路径权值都是最短路径的权值。

因为所有最短路径的权值相等,所以这些路径的权值就是最短路径的权值。

所以从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。

离散数学考试题及详细参考答案

离散数学考试题及详细参考答案

离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化(共6小题,每小题3分,共计18分)1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨,我去看电影,否则就在家里读书或看报。

b)我今天进城,除非下雨。

c)仅当你走,我将留下。

2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数b)对于所有非零实数x,总存在y使得xy=1。

c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B,使得f(a)=b.二、简答题(共6道题,共32分)1.求命题公式(P→(Q→R)) (R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式,并写出所有成真赋值。

(5分)2.设个体域为{1,2,3},求下列命题的真值(4分)a)x y(x+y=4)b)y x (x+y=4)3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。

(4分)4.判断下面命题的真假,并说明原因。

(每小题2分,共4分)a)(A B)-C=(A-B) (A-C)b)若f是从集合A到集合B的入射函数,则|A|≤|B|5.设A是有穷集,|A|=5,问(每小题2分,共4分)a)A上有多少种不同的等价关系?b)从A到A的不同双射函数有多少个?6.设有偏序集<A,≤>,其哈斯图如图1,求子集B={b,d,e}的最小元,最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界,(5分)f g图17.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合,R为实数集合,求下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N(写出即可)(6分)三、证明题(共3小题,共计40分)1.使用构造性证明,证明下面推理的有效性。

(每小题5分,共10分)a)A→(B∧C),(E→ F)→ C, B→(A∧ S) B→Eb)x(P(x)→ Q(x)), x(Q(x)∨R(x)),x R(x) x P(x)2.设R1是A上的等价关系,R2是B上的等价关系,A≠ 且B≠ ,关系R满足:<<x1,y1>,<x2,y2>>∈R,当且仅当< x1, x2>∈R1且<y1,y2>∈R2。

离散数学习题集(十五套含答案)

离散数学习题集(十五套含答案)

离散数学试题与答案试卷一一、填空20% (每小题2分)1.设}7|{)},5()(|{<∈=<∈=+xExxBxNxxA且且(+=⋃BA{0,1,2,3,4,6} 。

2.A,B,C表示三个集合,文图中阴影部分的集合表达式为。

3R,S的真值为1,则)()))(((SRPRQP⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 1 。

4.公式PRSRP⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为)()(RSPRSP∨⌝∨⌝∧∨∨⌝。

5.若解释I的论域D仅包含一个元素,则)()(xxPxxP∀→∃在I下真值为1 。

6.设A={1,2,3,4},A上关系图为则R2 = {<a.b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d> 。

7.设A={a,b,c,d},其上偏序关系R的哈斯图为则R= {<a.b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d>} I A。

8.图的补图为9.设A={a,b,c,d} ,A上二元运算如下:那么代数系统<A,*>的幺元是 a ,有逆元的元素为a , b , c ,d,它们的逆元分别为 a , d , c , d 。

10.下图所示的偏序集中,是格的为 c 。

二、选择20% (每小题2分)1、下列是真命题的有(CD)A.}}{{}{aa⊆;B.}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ;C.}},{{ΦΦ∈Φ;D.}}{{}{Φ∈Φ。

2、下列集合中相等的有(BC )A.{4,3}Φ⋃;B.{Φ,3,4};C.{4,Φ,3,3};D.{3,4}。

3、设A={1,2,3},则A上的二元关系有( C )个。

A.23 ;B.32 ;C.332⨯;D.223⨯。

4、设R,S是集合A上的关系,则下列说法正确的是(A )A.若R,S 是自反的,则SR 是自反的;B.若R,S 是反自反的,则SR 是反自反的;C .若R ,S 是对称的, 则S R是对称的;D .若R ,S 是传递的, 则S R 是传递的。

(完整版)离散数学试题及答案,推荐文档

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11 设 A,B,R 是三个集合,其中 R 是实数集,A = {x | -1≤x≤1, xR}, B = {x | 0≤x < 2, xR},则
A-B = __________________________ , B-A = __________________________ ,
A∩B = __________________________ , . 13. 设集合 A={2, 3, 4, 5, 6},R 是 A 上的整除,则 R 以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式 G = xP(x)xQ(x),则 G 的前束范式是__________________________
二、选择题
1. C. 2. D. 3. B. 4. B.
5. D. 6. C. 7. C.
8. A. 9. D. 10. B. 11. B.
第 5 页 共 18 页
13. {(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}.
14. x(P(x)∨Q(x)). 15. 21.
16. (R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)). 17. {(1, 3),(2, 2)}; {(1, 1),(1, 2),(1, 3)}.
8. 设命题公式 G=(P(QR)),则使公式 G 为真的解释有
__________________________,_____________________________,
__________________________.

离散数学练习题(含答案)

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离散数学练习题(含答案)离散数学试题第一部分选择题1.下列命题变元p,q的小项是(C)。

A。

p∧┐p∧qB。

┐p∨qC。

┐p∧qD。

┐p∨p∨q2.命题“虽然今天下雪了,但是路不滑”可符号化为(D)。

A。

p→┐qB。

p∨┐qC。

p∧qD。

p∧┐q3.只有语句“1+1=10”是命题(A)。

A。

1+1=10B。

x+y=10___<0D。

x mod 3=24.下列等值式不正确的是(C)。

A。

┐(x)A(x)┐AB。

(x)(B→A(x))B→(x)A(x)C。

(x)(A(x)∧B(x))(x)A(x)∧(x)B(x)D。

(x)(y)(A(x)→B(y))(x)A(x)→(y)B(y) 5.量词x的辖域是“Q(x,z)→(x)(y)R(x,y,z)”(C)。

A。

(x)Q(x,z)→(x)(y)R(x,y,z))B。

Q(x,z)→(y)R(x,y,z)C。

Q(x,z)→(x)(y)R(x,y,z)D。

Q(x,z)6.设A={a,b,c,d},A上的等价关系R={。

}∪IA则对应于R的A的划分是(D)。

A。

{{a},{b,c},{d}}B。

{{a,b},{c},{d}}C。

{{a},{b},{c},{d}}D。

{{a,b},{c,d}}7.设A={Ø},B=P(P(A)),以下正确的式子是(A)。

A。

{Ø,{Ø}}∈BB。

{{Ø,Ø}}∈BC。

{{Ø},{{Ø}}}∈BD。

{Ø,{{Ø}}}∈B8.集合相对补运算中,不正确的等式是(A)。

A。

(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)B。

(X-Y)-Z=(X-Z)-YC。

(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)D。

(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)9.在自然数集N上,不可结合的定义的运算是(D)。

A。

a*b=min(a,b)B。

a*b=a+bC。

a*b=GCD(a,b) (a,b的最大公约数)D。

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离散数学试题
第一部分选择题
一、单项选择题
1.下列是两个命题变元p,q的小项是( C )
A.p∧┐p∧q B.┐p∨q
C.┐p∧q D.┐p∨p∨q
2.令p:今天下雪了,q:路滑,则命题“虽然今天下雪了,但是路不滑”可符号化为( D )A.p→┐q B.p∨┐q
C.p∧q D.p∧┐q
3.下列语句中是命题的只有( A )
A.1+1=10 B.x+y=10
C.sinx+siny<0 D.x mod 3=2
4.下列等值式不正确的是( C )
A.┐(∀x)A⇔(∃x)┐A
B.(∀x)(B→A(x))⇔B→(∀x)A(x)
C.(∃x)(A(x)∧B(x))⇔(∃x)A(x)∧(∃x)B(x)
D.(∀x)(∀y)(A(x)→B(y))⇔(∃x)A(x)→(∀y)B(y)
5.谓词公式(∃x)P(x,y)∧(∀x)(Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)中量词∀x的辖域是( C )A.(∀x)Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z))
B.Q(x,z)→(∀y)R(x,y,z)
C.Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)
D.Q(x,z)
6.设A={a,b,c,d},A上的等价关系R={<a,b>,<b,a>,<c,d>,<d,c>}∪I A,则对应于R的A的划分是( D )
A.{{a},{b,c},{d}} B.{{a,b},{c},{d}}
C.{{a},{b},{c},{d}} D.{{a,b},{c,d}}
7.设A={Ø},B=P(P(A)),以下正确的式子是( A )
A.{Ø,{Ø}}∈B B.{{Ø,Ø}}∈B
C.{{Ø},{{Ø}}}∈B D.{Ø,{{Ø}}}∈B
8.设X,Y,Z是集合,一是集合相对补运算,下列等式不正确的是( A )
A.(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)
B.(X-Y)-Z=(X-Z)-Y
C.(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)
D.(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)
9.在自然数集N上,下列定义的运算中不可结合的只有( D )
A.a*b=min(a,b)
B.a*b=a+b
C .a*b=GCD(a,b)(a,b 的最大公约数)
D .a*b=a(mod b)
10.设R 和S 是集合A 上的关系,R ∩S 必为反对称关系的是( A ) A .当R 是偏序关系,S 是等价关系; B .当R 和S 都是自反关系; C .当R 和S 都是等价关系; D .当R 和S 都是传递关系
11.设R 是A 上的二元关系,且R ·R ⊆R,可以肯定R 应是( D ) A .对称关系; B .全序关系; C .自反关系; D .传递关系
第二部分 非选择题
二、填空题
1.设论域是{a,b,c},则(∀x)S(x)等价于命题公式 S(a)∧S(b)∧S(c)
;(x ∃)S(x)等价于
命题公式 S(a)∨S(b) ∨S(c) 。

2.设R 为A 上的关系,则R 的自反闭包r(R)= _R ∪A I _ ,对称闭包s(R)= _R ∪R ~。

3.某集合A 上的二元关系R 具有对称性,反对称性,自反性和传递性,此关系R 是 A I _ ,其关系矩阵是 只有主对角线上元素为1 。

三、计算题 1.(4分)如果论域是集合{a,b,c},试消去给定公式中的量词:)0y x )(x )(y (=+∀∃。

2.用等值演算求下面公式的主析取范式。

)
()(P Q Q P ∨⌝→→⌝
3.用等值演算法求公式
)
(
)
(Q
P
Q
P⌝



⌝的主合取范式。

4.(6分)在偏序集<Z,≤>中,其中Z={1,2,3,4,6,8,12,14},≤是Z中的整除关系,求集合D={2,3,4,6}的极大元,极小元,最大元,最小元,最小上界和最大下界。

5.设集合A={1,2,3,4,5},A上的划分为π={{1,2,3},{4,5}},试求:
1)写出划分π诱导的等价关系R;
M;
2)写出关系矩阵R
3)画出关系图。

6. 设A={a,b,c,d},R是A上的二元关系,且R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>},求r(R)、s(R)和t(R)。

解r(R)=R∪I A={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>}
s(R)=R∪R-1={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<c,b>,<d,c>}
R 2
={<a ,a >,<a ,c >,<b ,b >,<b ,d >} R 3
={<a ,b >,<a ,d >,<b ,a >,<b ,c >} R 4
={<a ,a >,<a ,c >,<b ,b >,<b ,d >}=R 2
t (R )=i i R ∞
=1 ={<a ,b >,<b ,a >,<b ,c >,<c ,d >,<a ,a >,<a ,c >,<b ,b >,<b ,d >,<a ,
d >}
四、证明题
1.设R 和S 是二元关系,证明1
11)(---=S R S R
2.设A={a,b,c},R={(a,a),(a,b),(b,c)},验证rs(R)=sr(R)。

3.设R 是A 上的二元关系,试证:R 是传递的当且仅当
R R ⊆2
,其中2R 表示R R •。

4.证明下列结论:
(1)R



P→

Q
P
R
Q
(2)D

→),
(

)

(
(
),
B
C
D
A
C
A

A⇒
B

解:(1)1 P∧Q P附加前提
2 P T,1,I
2
3 P∨Q T,2,I
1
4 P∨Q→R P
5 R T,3,4,I
3
6 P∧Q→R CP
(2)1 ⌝D P假设前提
2 D∨A P
3 A T,1,2,I
5
4 (A→B)∧(A→C) P
5 A→B T,4,I
2
6 B T,3,5,I
3
7 A→C T,4,I
2
8 C T,3,7,I
3
9 B∧C T,6,8 ,合取式
10 ⌝(B∧C)P
11 (B∧C)∧⌝(B∧C) T,9,10,合取式,矛盾
5.已知R和S是非空集合A上的等价关系,试证:1)R∩S是A上的等价关系;2)对a∈A,
[a]R∩S=[a]R∩[a]S。

解:∀x∈A,因为R和S是自反关系,所以<x,x>∈R、<x,x>∈S,因而<x,x>∈R∩S,故R∩S是自反的。

∀x、y∈A,若<x,y>∈R∩S,则<x,y>∈R、<x,y>∈S,因为R和S是对称关系,所以因<y,x>∈R、<y,x>∈S,因而<y,x>∈R∩S,故R∩S是对称的。

∀x、y、z∈A,若<x,y>∈R∩S且<y,z>∈R∩S,则<x,y>∈R、<x,y>∈S且<y,z>∈R、
<y,z>
∈S,因为R和S是传递的,所以因<x,z>∈R、<x,z>∈S,因而<x,z>∈R∩S,故R∩S 是传递的。

总之R∩S是等价关系。

2)因为x∈[a]R∩S⇔<x,a>∈R∩S⇔
<x,a>∈R∧<x,a>∈S⇔ x∈[a]R∧x∈[a]S⇔ x∈[a]R∩[a]S
所以[a]R∩S=[a]R∩[a]S。

五、应用题
1.所有的主持人都很有风度。

李明是个学生并且是个节目主持人。

因此有些学生很有风度。

请用谓词逻辑中的推理理论证明上述推理。

(论述域:所有人的集合)
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