分式方程及其应用
第06课时 分式方程及其应用PPT课件
根据题意得:26a+35(200-a)=6280,
(2)若两种芯片共购买了 200 条,且购买的总费用为 6280 元,求购
解得:a=80.
买了多少条 A 型芯片?
答:购买了 80 条 A 型芯片.
+3
例 1 [2017·宁夏] 解方程:
-
4
-3 +3
=1.
[方法模型] 解分式方程时易出现的错误:
(1)漏乘没有分母的项;
(2)没有验根;
(3)去分母时,没有注意符号的变化.
解:去分母,得 x2+6x+9-4x+12=x2-9,
移项、合并同类项,得 2x=-30,
系数化为 1,得 x=-15,
)
B.4
=1 的解为 x=2,则 m
C.3
D.2
-1
=1 的解
为 x=2,∴x=2 满足关于 x 的分式方程
-3
-1
-3
=1,∴
2-1
=1,解得 m=4.故选 B.
高频考向探究
探究三 分式方程的应用
例 3 [2018·岳阳] 为落实党中央“长江大保护”新发展理念,我
市持续推进长江岸线保护,还洞庭湖和长江水清岸绿的自然
完成的绿化面积的 2 倍,并且甲工程队完成 300 平方米的绿化
面积比乙工程队完成 300 平方米的绿化面积少用 3 小时.乙工
程队每小时能完成多少平方米的绿化面积?
解:设乙工程队每小时能完成 x 平方米的
300 300
绿化面积.根据题意,得
-
2
=3.
解得 x=50.
经检验,x=50 是分式方程的解且符合题意.
分式方程及其应用ppt
溶液平衡
分式方程可以描述溶质在溶液中的溶解平衡，为 分离和提纯提供理论指导。
环境化学
分式方程可以描述污染物在环境中的迁移和转化 ，为环境保护和污染治理提供依据。
04
分式方程与因式分解的联系
分式方程转化为整式方程
通过因式分解将分式方程转化为整式方程，可以简化计算， 提高解题效率。
分式方程的分类
简单的分式方程
只包含一个分式的方程，如 y = 5/x。
复杂的分式方程
包含多个分式的方程，如 (x² - 4)/(x² + x - 2) = 3。
分式方程的解法
转化成整式方程
通过数学方法将分式方程转化成整 式方程，然后求解未知数。
观察法
对于简单的分式方程，可以通过观 察分式的规律来求解。
验根的方法
将所求解代入最简公分母中，若最简公分母的值为0，则说明该解为增根，需要舍去；若 最简公分母的值为非0，则说明该解为有效解，保留。
注意分式方程的增根问题
增根的产生原因
分式方程求解时，若去分母后所得整式方程无解，或者求解 后所得的解代入最简公分母中使得最简公分母的值为0，则会 产生增根。
增根的解决方法
代数式的化简
分式可以用于代数式的化简，通过分式化简可以将复杂的 代数式化为简单的形式。
分式的化简方法包括约分、通分、分式的加减法等，可以 根据不同情况选择合适的方法进行化简。
方程组的解法
分式方程可以用于求解方程组，通过将方程组中的各个方程都转化为分式方程， 可以方便地求出方程组的解。
分式方程组的解法包括克莱姆法则、高斯消元法等，可以根据不同情况选择合适 的方法进行求解。
人教版八年级数学上册 15.3 分式方程及其应用
分式方程及其应用考点·方法·破译1．分式方程(组)的解法解分式方程的一般步骤:⑴去分母，将分式方程转化为整式方程;⑵解整式方程;⑶验根.有的分式方程也要依据具体的情况灵活处理.如分式中分子(整式)的次数高于等于分母(整式)的次数时，可利用分拆思想，把分式化为“整式＋分式”的形式，化简原方程再解;或将分式方程两边化为分子(或分母)相等的分式，再利用分母(或分子)相等构成整式方程求解;或利用换元法将分式方程化为整式方程，或利用倒数法使方程更简便.2．分式方程增根在解分式方程时，通常将分式方程两边同时乘以最简公分母(化为整式方程)，这就扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.因此，解分式方程时一定要验根.又如求分式方程的解的取值范围(解是正数，或解是负数)时，要注意剔除正数解或负数解中的增根(因为增根不是分式方程的根).3．列分式方程解应用题列分式方程解应用题同运用整式方程解应用题的方法和步骤是类似的，但要注意分式方程求出的未知数的解要双重检验，①检验是否是增根，②检验解是否符合实际意义.经典·考题·赏析【例1】解下列方程:⑴22xx-+－2164x-＝1⑵12x+－2244xx-－22x-＝4⑶45xx--＋89xx--＝78xx--＋56xx--【解法指导】对于方程⑴、⑵只需先将分母分解因式，找到最简公分母，然后将分式方程转化为整式方程，求解并验根.对于方程⑶如果按常规方法去分母则计算复杂，若注意到将这四个分式的分母均比分子小这个特点，先化简，如45xx--＝515xx-+-＝1＋15x-，按照上述变形，原方程可变为15x-＋19x-＝18x-＋16x-再移项后分组通分求解较简单.解: ⑴22xx-+－()()1622x x-+＝1(x－2) 2－16＝(x＋2) (x－2)x2－4x＋4－16＝x2－4x＝－2当x＝－2时(x＋2) (x－2)＝0，∴x＝－2是增根，原分式方程无解.⑵12x +＋()()2422x x x +-－22x -＝4 x －2＋4x 2－2(x ＋2)＝4(x ＋2) (x －2)∴x ＝10当x ＝10时， (x ＋2) (x －2) ≠0， ∴原分式方程的解为x ＝10. ⑶原方程变形为515x x -+-＋919x x -+-＝818x x -+-＋616x x -+- 1＋15x -＋1＋19x -＝1＋18x -＋1＋16x - ∴15x -＋19x -＝18x -＋16x - 15x -－16x -＝18x -－19x - 两边分别通分得: ()()156x x ---＝()()189x x --- ∴(x －5) (x －6)＝(x －8) (x －9)∴x ＝7 检验知x ＝7是原方程的解.【变式题组】 ⑴12x x --＝12x-－2⑵2x x -＋2＝3(2)x x-⑶14x -－23x -＝32x -－41x -⑷12x +＋242x x -＋22x-＝1【例２】当m 为何值时，分式方程1m x +－21x -＝231x -会产生增根? 【解法指导】我们很容易测出分式方程可能产生的增根是x ＝1或x ＝－1，只要把猜测的增根分别代入去分母后的整式方程，即可求出相应的字母的值.解:原方程去分母并整理得 (m －2) x ＝5＋m假设产生增根x ＝1，则有: m －2＝5＋m ，方程无解，所以不存在m 的值，使原方程产生增根x ＝1;。
分式方程的解法与应用
分式方程的解法与应用分式方程是含有至少一个分式的方程，其解法与整式方程有一定的区别。
本文将介绍分式方程的解法及其应用。
一、分式方程的解法解分式方程的关键在于将方程化简为整式方程，以下是常见的几种解法：1. 通分法：当分式方程中含有多个分母时，可以通过通分的方式将其转化为整式方程。
首先找到所有分母的公倍数，然后将方程两边都乘以公倍数，从而得到一个整式方程。
最后求解整式方程，即可得到分式方程的解。
2. 消去法：当分式方程中存在相同的因式时，可以通过消去的方式将其化简为整式方程。
首先找出方程中的公因式，然后将其约去，从而得到一个整式方程。
最后求解整式方程，即可得到分式方程的解。
3. 倒数法：当分式方程中含有一个分式的倒数时，可以通过倒数的方式将其转化为整式方程。
首先将方程两边的分式取倒数，然后将其化简为整式方程。
最后求解整式方程，即可得到分式方程的解。
二、分式方程的应用分式方程在实际问题中具有广泛的应用，以下是几个常见的例子：1. 比例问题：比例问题通常可以表示为分式方程。
例如，某商品的原价为x元，打折后的价格为x/2元，求折扣后的价格是多少。
可以建立分式方程x/2 = 折扣后的价格，然后通过解方程求得折扣后的价格。
2. 水箱问题：水箱问题中常涉及到进水速度、出水速度等概念，可以通过分式方程求解。
例如，一个水箱的进水口每小时进水1/3箱，出水口每小时排水1/4箱，求水箱在多长时间内装满。
可以建立分式方程1/3 - 1/4 =水箱装满的时间，然后通过解方程求得水箱装满的时间。
3. 工作效率问题：工作效率问题中常涉及到多个人或物共同工作时的效率关系，可以通过分式方程求解。
例如，甲、乙两人共同完成一项任务需要5小时，如果甲的效率是乙的2倍，那么甲独自完成此任务需要多长时间。
可以建立分式方程1/甲的效率 - 1/乙的效率 = 5，然后通过解方程求得甲独自完成任务的时间。
总之，分式方程的解法与整式方程有一定的区别，可以通过通分法、消去法、倒数法等方式来解决。
分式方程及其应用(含答案)
分式方程及其应用【分类解析】 例1. 解方程：x x x --+=1211分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以()()x x +-11，得x x x x x x xx x 22221112123232--=+---=--∴==()()()，即，经检验：是原方程的根。
例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。
解：原方程变形为：x x x x x x x x ++-++=++-++67562312方程两边通分，得167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即经检验：原方程的根是x =-92。
例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+--分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。
解：由原方程得：3143428932874145--++-=--++-x x x x即2892862810287x x x x ---=---于是，所以解得：经检验：是原方程的根。
1898618108789868108711()()()()()()()()x x x x x x x x x x --=----=--==例4. 解方程：61244444402222y y y y y y yy +++---++-=2分析：此题若用一般解法，则计算量较大。
八年级数学-分式方程及其应用
第一部分基础知识梳理详解点一、分式方程的观点分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
分式方程的重要特点是：①含分母；②分母里含未知数。
分式方程和整式方程的差别就在于分母中能否含有未知数。
比如： 1 1 0 ；x24是分式方程；x 2 4 x是整式方程，不是分式方程。
x x 3 32 3 5详解点二、分式方程的解法1、解分式方程的思想和方法2、解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在分式方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程，得出整式方程的根；（3）验根，把整式方程的根代入最简公分母（或原方程）查验，看结果是不是零，使最简分母为零的根是原方程的增根，一定舍去。
（4）写出分式方程的根。
详解点三、分式方程的增根1、分式方程的增根是适合去分母后的整式方程但不适合原方程的根；2、增根产生的原由：分式方程自己隐含着分母不为0 的条件，我们在解分式方程时，为去分母，要在方程两边同时乘以各分母的最简公分母，当最简公分母为0 时，就产生了增根。
3、清除增根的方法因为产生增根的原由是在方程的两边同时乘以了“隐形”的零——最简公分母，所以，判断是不是增根，应将整式方程的解代入最简公分母，假如最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方程的解；否则，这个解不是原分式方程的根。
详解点四、列分式方程解应用题1、列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题近似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、适合设未知数、确立主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等重点环节，进而正确列出方程，并进行求解．此外，还要注意从多角度思虑、剖析、解决问题，注意查验、解说结果的合理性．2、列分式方程解应用题的步骤：（1）审：审清题意，找出相等关系和数目关系（2）设：依据所找的数目关系设出未知数（3）列：依据所找的相等关系和数目关系列出方程（4）解：解这个分式方程（5）检：对所解的分式方程进行查验，包含两层，不单要对实质问题存心义，还要对分式方程存心义注：分式方程的应用与一元一次方程应用题近似，不一样的是要注意查验；（6）答：写出分式方程的解第二部分例题分析例题 1、以下对于 x 的方程x 1 2 ，9000 1500 ，300 - 480 4 ，x-2=0，xx -1 ， 2 3 ，x x x 3000 x2x 3 2 x - 1 x 4x-5=0 ，哪些是整式方程，哪些是分式方程例题 2、解分式方程：（1） 300 - 480 4 ；（2）2 - x 1-2；x2x x - 3 3 - x（ 3）x 5 1 （4）129 2 = 12x 5 5 2x x 2 x 3 x+3（ 5）x2 16 x 2 （ 6）x 1 x2 x x 2 x2 4 x 2 2 x 2 2 x2 5x 6 x 3【变式练习1】6x x 2（2）x+6 1解方程：（1）x 3 0x+3 2 =x 3 x 9 x 3例 2、a为什么值时，方程x2a会产生增根x 3 x 3【变式练习 2】（ 1）分式方程x23x 0 的增根是．x 3（ 2）若分式方程x 2 a 有增根，则 a ．4x x 4例 3．甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖. 甲进货的策略是：每次买1000 元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000 斤糖，近来他俩同去买进了两次价钱不一样的糖，问两人中谁的均匀价钱低一些【变式练习 3】甲开汽车，乙骑自行车，从相距 180 千米的 A 地同时出发到 B．若汽车的速度是自行车的速度的2 倍，汽车比自行车早到 2 小时，那么汽车及自行车的速度各是多少【变式练习4】 A 、 B 两地行程为150 千米，甲、乙两车分别从A、 B 两地同时出发，相向而行， 2 小时后相遇，相遇后，各以本来的速度持续行驶，甲车到达 B 后，立刻沿原路返回，返回时的速度是本来速度的2 倍，结果甲、乙两车同时到达 A 地，求甲车本来的速度和乙车的速度．【变式练习5】甲、乙两地相距50 千米， A 骑自行车， B 乘汽车同时从甲城出发去乙城，已知汽车的速度是自行车速度的倍,B 半途歇息了半个小时, 还比 A 早到 2 小时 , 求 A 和 B 两人的速度【变式练习6】、轮船顺流航行100 千米所需的时间和逆水航行80 千米所需的时间同样，已知水流速度为2 千米 / 小时，求船在静水中的速度。
分式方程的解法和应用
分式方程的解法和应用分式方程，又称有理方程，是指包含了分数的方程。
解决分式方程问题可以在数学中发挥很大的作用，因为它们可以用来描述实际问题，特别是在科学和工程领域中。
本文将介绍一些常见的分式方程的解法以及它们在实际应用中的应用。
一、一次分式方程的解法一次分式方程是指分式的分子和分母的次数均为1的方程。
例如，2/x + 3 = 1/2。
解决这类问题的一种常见方法是通过消去分母，使方程转化为线性方程。
在这种情况下，可以通过以下步骤来解决方程：1. 将分数转化为一个等于0的分式形式，例如将2/x转化为2/x - 1/2。
2. 通过求公倍数来消去分母，例如通过乘以2来消去分母。
3. 合并同类项并将方程转化为一元一次方程，例如2 - x = 1/2。
4. 将方程解题得到x的值，检查解的合法性。
二、二次分式方程的解法二次分式方程是指分式的分子或者分母的次数为2的方程。
例如，1/x^2 + 1/x = 2。
解决这类问题的一种常见方法是通过将方程转化为二次方程，然后使用二次方程的解决方法来求解。
在这种情况下，可以通过以下步骤来解决方程：1. 将分数转化为一个等于0的分式形式，例如将1/x^2转化为1/x^2 - 2。
2. 将方程中的分数转化为一个多项式方程，例如通过乘以x^2来消去分母。
3. 合并同类项并将方程转化为二次方程，例如x^2 - 2x + 1 = 0。
4. 使用求解二次方程的方法，例如配方法、因式分解法或者公式法，得到x的值。
5. 检查解的合法性。
三、分式方程的应用分式方程在实际应用中有广泛的用途，常见的应用包括以下几个方面：1. 比例问题：比例问题可以通过设置分式方程来解决。
例如，一个图书馆中有1000本书，其中有3/10是故事书，那么故事书的数目可以表示为(3/10)*1000=300本。
2. 涉及速度、距离和时间的问题：速度、距离和时间之间有一定的关系，可以通过设置分式方程来解决相关问题。
例如，一个人以每小时60公里的速度行驶，问他行驶1小时可以行驶多远，可以通过设置方程60/1=x/1解决。
分式方程及其应用课件
04
分式方程的练习题及解答
分式方程的练习题
总结词：巩固提高
练习题2：某种植物生长速度很快，已知它1天前的高 度，求现在的高度。
练习题1：小明打篮球，每场得分相同，已知他1场比 赛得分，求他打了多少场。
练习题3：已知一个矩形的面积和长，求宽。
分式方程的解答
总结词：解题技巧
解答1：通过观察， 发现分母可以约掉， 化简得分式方程即可 。
03
分式方程的注意事项
解分式方程的步骤
整理方程
将方程化为最简形式，以便后 续步骤。
确定根
通过交叉相乘等方法，确定方程 的根。
验根
通过代入法，验证方程的根是否正 确。
分式方程的局限性
适用范围有限
分式方程适用于可以化成分母 中带有未知数的形式的问题， 但有些问题可能无法使用分式
方程求解。
解法有限
分式方程的解法有限，常用的 只有几种，如部分分式、对数
超越分式方程：分母是超越式的分式方 程，如 $\frac{x}{e^x}$
分式方程的解法
约分法：将方程中的因子约掉， 化简方程
图象法：画出方程中变量的图象 ，通过交点求解方程
分式方程的求解方法包括以下几 种
换元法：引入新的变量，将方程 转化为容易求解的形式
逐步迭代法：通过逐步迭代，逼 近方程的解
02
2023
分式方程及其应用课件
目录
• 分式方程的基本概念 • 分式方程的应用 • 分式方程的注意事项 • 分式方程的练习题及解答 • 分式方程的应用实例
01
分式方程的基本概念
分式方程的定义
1
分式方程是一种描述两个变量之间关系的数学 模型
2
它的一般形式为 $f(x) = \frac{B}{A}$，其中A 和B是两个整式
分式方程及其应用
分式方程是一种常见的数学方程，用于描述两个有关的量之间的关系。
常见的分式方程的形式如下：
ax+b = cy+d
其中，a、b、c、d是常数，x、y是未知数。
分式方程的应用
解决实际问题：例如，你想知道跑步消耗卡路里的规律，可以通过分式方程来描述跑步距离与卡路里之间的关系。
计算不同条件下的结果：例如，你想知道不同温度下水的沸点，可以通过分式方程来描述温度与沸点之间的关系，并计算不同温度下的沸点。
绘制函数图像：分式方程可以用来描述函数的规律，通过绘制函数图像，可以更直观地理解函数的特征。
分式方程是一种重要的数学工具，能够帮助我们解决实际问题、计算结果、绘制图像等。
分式方程的求解
在解决分式方程时，需要注意以下几点：
先将分式方程化简，去掉分母，使得方程的形式更简单。
解决未知数的值，即求解未知数的数值解。
检查解的正确性，即将求得的解代回原方程，看是否满足原方程。
下面是一个具体的例子：
例如，求解方程：2x+3 = x+1。
解：
首先，将方程化简，得：x=1。
然后，代回原方程，得：2*1+3=1+1。
因此，x=1是方程的一个数值解。
注意，有些分式方程可能有多个解，因此需要计算多个解，并检查解的正确性。
希望以上内容能够帮助你更好地理解分式方程的求解方法。
分式方程的解法与应用
分式方程的解法与应用分式方程是数学中的一种常见形式，它包含有分数的方程。
解决分式方程的过程需要运用一些特定的方法和技巧，同时，分式方程在实际生活中也有着广泛的应用。
本文将介绍分式方程的解法以及其在实际问题中的应用。
一、分式方程的解法解决分式方程的关键是将其转化为简单的等式，然后求解。
下面将介绍几种常用的分式方程解法。
1. 通分法当分式方程中含有多个分母时，可以使用通分法来简化方程。
首先找到方程中所有分母的最小公倍数，然后将方程两边同时乘以最小公倍数，将分母消去，得到一个简化的等式。
最后，通过移项和化简，求得方程的解。
2. 倒数法倒数法是解决分式方程中含有倒数的情况。
首先将方程中的倒数部分转化为分数形式，然后通过移项和化简，求得方程的解。
3. 分解法对于一些特殊的分式方程，可以使用分解法来解决。
例如，对于形如$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$的方程，可以将其分解为$\frac{x+y}{xy}=1$，然后通过移项和化简，求得方程的解。
二、分式方程的应用分式方程在实际生活中有着广泛的应用。
下面将介绍几个典型的应用案例。
1. 比例问题比例问题是分式方程的一种常见应用。
例如，某商品原价为$x$元，现在打折后的价格为原价的$\frac{2}{3}$，求打折后的价格。
通过建立方程$\frac{2}{3}x=x-\frac{1}{3}x$，可以求得打折后的价格为$\frac{1}{3}x$。
2. 浓度问题浓度问题也是分式方程的一种常见应用。
例如，某种饮料中含有$30\%$的果汁，现在要制作$1$升含有$20\%$果汁的饮料，需要加入多少升的纯果汁？通过建立方程$\frac{x}{1+x}=0.2$，可以求得需要加入的纯果汁的升数。
3. 财务问题财务问题中也常常涉及到分式方程的应用。
例如，某人的年收入为$x$元，他的生活开销占年收入的$\frac{1}{4}$，求他的生活开销。
通过建立方程$\frac{1}{4}x=x-\frac{3}{4}x$，可以求得他的生活开销为$\frac{3}{4}x$。
分式方程及其应用
分式方程及其应用\frac{{a_1}}{{x_1}} + \frac{{a_2}}{{x_2}} +\frac{{a_3}}{{x_3}} + \frac{{a_4}}{{x_4}} + \frac{{a_5}}{{x_5}}+ \frac{{a_6}}{{x_6}} + \frac{{a_7}}{{x_7}} + \frac{{a_8}}{{x_8}} + \frac{{a_9}}{{x_9}} + \frac{{a_{10}}}{{x_{10}}} +\frac{{a_{11}}}{{x_{11}}} = 0\]其中，\(a_1,a_2,...,a_{11}\)是已知常数，\(x_1,x_2,...,x_{11}\)是待求解的未知数。
1.理财问题假设有一笔总金额为\(A\)的投资，其中分别向\(x_1,x_2,...,x_{11}\)等11种不同的投资渠道投资，每种投资渠道的投资额分别为\(y_1,y_2,...,y_{11}\)。
如果每种投资渠道的回报率分别为\(r_1,r_2,...,r_{11}\)，要求总回报为0，则可以建立以下方程：\frac{{r_1 \cdot y_1}}{{A}} + \frac{{r_2 \cdot y_2}}{{A}}+ ... + \frac{{r_{11} \cdot y_{11}}}{{A}} = 0\]通过求解这个方程可以确定每种投资渠道的投资额。
2.化学反应计量问题在化学反应中，不同物质参与反应的量之间存在着一定的比例关系。
假设化学方程如下：\(a_1A+a_2B+a_3C+a_4D+a_5E+a_6F+a_7G+a_8H+a_9I+a_{10}J+a_{11}K=0\)其中，A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K分别代表不同的物质，\(a_1,a_2,...,a_{11}\)代表它们之间的化学计量系数。
通过求解这个方程可以确定不同物质的质量比例。
第6讲 分式方程及其应用
经检验,x=40 是分式方程的根.
∴B 采样点送检车的平均速度为 40×1.5=60(km/h),
∴B 采样点送检车的行驶时间为 45÷60=0.75(h).
∵3.2+0.75=3.95<4,∴B 采样点采集的样本不会失效.
1.(2021 恩施)分式方程
A.x=1
C.x=
+1=
-
的解是( D )
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=
[变式 2](2021 连云港)解方程:
+
(x+1)2-4=(x+1)(x-1),
整理,得2x-2=0,解得x=1.
检验:当x=1时,(x+1)(x-1)=0,
∴原方程无解.
=1.
- -
解:方程两边同乘(x+1)(x-1),得
∴x=1是增根,应舍去.
-
8.(2021 潍坊)若 x<2,且
0
+|x-2|+x-1=0,则 x=
-
.
1 .
9.(2021 东营)某地积极响应“把绿水青山变成金山银山,用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念,开展
荒山绿化,打造美好家园,促进旅游发展.某工程队承接了 90 万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨
季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 25%,结果提前 30 天完成了任务.设原计划每
1.(2022 方城期中)给出下列方程:
-
+
+
分式方程的解法与应用
分式方程的解法与应用分式方程是指方程中含有分式的方程，通常形式为分子中含有未知数的方程。
解决分式方程问题的关键是找到其中的未知数的值，使等式成立。
本文将介绍常见的分式方程解法以及其在实际问题中的应用。
一、基本解法1. 消去分母将分数方程中的分母通过乘以最小公倍数或通分的方法消去，从而得到一个等式。
然后继续将未知数移到方程的一边，常数移到另一边，最终求得未知数的值。
2. 通分并整理将分式方程的分子进行通分，并整理为一个等式。
然后通过移项和整理，将未知数移到一边，常数移到另一边，继而求解未知数的值。
3. 求最小公倍数对于一些特殊的分式方程，我们可以先求出方程中分母的最小公倍数，然后将方程中的所有分式统一化。
接着，将分母消去，得到一个整式方程，进而解决。
二、分式方程的应用1. 比例问题分式方程经常用于解决比例相关的问题。
比如，A车和B车以不同的速度驶向一个目的地，已知A车比B车快1小时到达目的地，而A 车比B车慢1小时赶上B车。
求A车和B车单独行驶到达目的地所需的时间。
通过建立分式方程可得到两车的速度比，从而解决问题。
2. 涉及水池、容器等物理问题假设有一个水池，一根管子可以独立进行排水，另一根管子可以独立进行注水。
已知两根管子独立工作时分别需要6小时和8小时将水池排干或注满。
求填满一半的水池所需的时间。
通过建立分式方程可得到两根管子的工作效率，进而解决问题。
3. 财务问题分式方程在解决财务问题时也具有重要应用。
例如，某人通过两种不同的投资方式投资了一笔钱，两种方式的年利率分别为4%和6%。
已知一年后获得的总收益为800元。
求该人分别投资了多少钱。
通过建立分式方程可得到两种投资的金额比例，从而解决问题。
4. 混合液体问题当涉及到两种不同浓度的液体混合时，我们可以利用分式方程解决问题。
例如，混合含有30%盐的溶液和50%盐的溶液，已知混合后的溶液含有40%盐。
求两种溶液的混合比例。
通过建立分式方程可得到两种溶液的体积比例，进而解决问题。
分式方程及其应用
分式方程及其应用分式方程是带分母的方程，如x/(x+1)=2。
它是数字、字母及参加运算的符号所组成的算式之间的等式。
在分式方程中，有未知量的分子和分母一般都是多项式，其中分母不能为0。
下面我们来看一些关于分式方程的基本定义和应用。
一、分式方程的定义在一个方程中，如果方程中至少有一个未知数的系数、常数、系数常数的乘积以及未知数的幂等组成分数形式，那这个方程就是分式方程。
分式方程是一种比较特殊的方程，通常都含有分数，并且要求求解该方程中的未知数不能使分母为零。
二、分式方程的解法解分式方程的方法一般有以下几种：1. 通分消去法：将方程的分式部分转化为分母相同的形式，从而进行运算。
2. 消去法：把方程中的分式去掉，使方程变为整式方程，然后直接求解。
3. 代数法：通过代数计算，逐步化简等式，推导出未知数的值。
三、分式方程的应用分式方程在实际生活中有着广泛的应用，特别是在实际问题的解决过程中，我们经常会遇到各种涉及分式方程的情况。
以下是几个常见的应用示例：1. 比例问题：如两支笔的长度比是3：5，其中一支比另一支长12cm，则求这两支笔的长度。
设较短的笔的长度为x，则较长的笔的长度为5x，根据题意得到等式3/5=12/x，解此分式方程得x=20，因此较长的笔的长度为100cm。
2. 水泥拌合问题：如果两名工人A、B一起拌水泥，A每小时拌水泥的能力是B的1.5倍，第一小时两个人共拌水泥30kg，求每个人每小时拌水泥的能力。
设工人B每小时拌水泥x kg，则工人A每小时拌水泥为1.5x kg，根据题意得到等式1.5x+x=30，解此分式方程得x=10，因此工人B每小时拌水泥10kg，工人A每小时拌水泥15kg。
3. 赛跑问题：A、B两人进行百米赛跑，A比B领先10米跑完全程，若A的速度是B的1.5倍，求A和B的速度。
设B每小时的速度为x km/h，则A每小时的速度为1.5x km/h，根据题意得到等式100/(1.5x)-10/x=0，解此分式方程得x=20，A的速度为30 km/h，B的速度为20 km/h。
分式方程的应用与实际解题
分式方程的应用与实际解题分式方程是数学中一种常见的方程形式，它在实际问题的解决中起着重要的作用。
本文将探讨分式方程的应用，并介绍如何在实际解题中运用这一方法。
一、什么是分式方程分式方程是含有分式的方程，其中通常包含零个或多个未知数。
其一般形式为：$\frac{A(x)}{B(x)} = \frac{C(x)}{D(x)}$，其中$A(x)$、$B(x)$、$C(x)$、$D(x)$表示多项式。
二、分式方程的应用领域分式方程广泛应用于不同领域，包括数学、物理、化学、经济等。
以下列举几个常见的应用场景。
1.比例问题在比例问题中，分式方程可以用来表示两组数据的比例关系。
例如，在一个食谱中，需要用2杯面粉和3杯牛奶制作蛋糕。
如果要制作6杯蛋糕，需要多少杯面粉和牛奶？设面粉的量为$x$杯，牛奶的量为$y$杯，则可以建立如下的分式方程：$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{6}{2} = \frac{9}{3}$通过解这个分式方程，可以得到$x=4$和$y=6$，即制作6杯蛋糕需要4杯面粉和6杯牛奶。
2.速度问题在速度问题中，分式方程可以用来表示物体的速度和时间的关系。
例如，一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，需要2个小时才能到达目的地。
如果要在3个小时内到达目的地，汽车的速度应该如何调整？设新的速度为$x$公里/小时，则可以建立如下的分式方程：$\frac{x}{60} = \frac{3}{2}$通过解这个分式方程，可以得到$x=90$，即汽车需要以90公里/小时的速度行驶才能在3个小时内到达目的地。
3.混合物问题在混合物问题中，分式方程可以用来表示不同成分的比例关系。
例如，需要制作一种含有30%酒精的溶液，已知有20毫升含有50%酒精的溶液和30毫升的纯水，还需要加入多少毫升的纯酒精？设纯酒精的体积为$x$毫升，则可以建立如下的分式方程：$\frac{x}{20+30+x} = \frac{0.3}{1}$通过解这个分式方程，可以得到$x=15$，即需要加入15毫升的纯酒精。
分式方程及其应用
分式方程及其应用一、知识梳理1．分式方程:分母中含有 的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法：解分式方程的关键是 （即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程；3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。
验根的方法是将所求的根代人 或 ，若 的值为零或 的值为零，则该根就是增根。
4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．二、典例分析1、分式方程解法25211111 332552323x x x x x x x x x -+=+==+---++（）；（2）；（）；2222213(1)1142312211x x x x x x x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫+=+=+-+= ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭（4）；（5）；（6）2、分式方程增根问题若关于x 的分式方程226224m x x x x -+=+--有增根，求m 的值。
3、用分式方程解决问题就要毕业了，几位要好的同学准备中考后结伴到某地游玩，预计共需费用1200元，后来又有2名同学参加进来，但总费用不变，于是每人可少分摊30元，试求原计划结伴游玩的人数．2004年12月28日，我国第一条城际铁路一合宁铁路（合肥至南京）正式开工建设．建成后，合肥至南京的铁路运行里程将由目前的312 km 缩短至154 km ，设计时速是现行时速的2．5倍，旅客列车运行时间将因此缩短约3．13小时，求合宁铁路的设计时速．三、分式及根式运算中考题讲解1、（2013年苏州，9,3分）已知x －1x ＝3，则4－12x 2＋32x 的值为2、（2012年苏州，22,6分）解分式方程：231422x x x x +=++．3、（2011年苏州，22，6分） 已知120a b -++=，求方程1abx x +=的解。
分式方程及其应用
分式方程及其应用一、分式方程的基本解法：1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫作分式方程．2．可化为一元一次方程的分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程．（2）解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根．注意：（1）增根能使最简公分母等于0；（2）增根是去分母后所得整式方程的根．3．解分式方程产生增根的原因：增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0 ，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根．【例1】解下列分式方程：（1）131x x+=-（2）31244xx x-+=--（3）21122xx x=---（4）11222xx x-=---（5）212xx x+=+（6）2216124xx x--=+-【例2】（1）若关于x 的方程1233mx x=+--有增根，则m =________．（2）解关于x 的方程2224222x a a x x+-=--会产生增根，则a 的值是________．（3）若关于x 的分式方程11044a xx x---=--无解，则a 的值为________．（4）若关于x 的分式方程2111m x x+=--的解为整数，则m 的取值范围是________．（5）若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a =________．二、巧解分式方程： 【例3】（1）111141086x x x x +=+---- （2）2263503x x x x-++=-（3）()()()()()1111111220212022x x x x x x x +++=------…（4）方程222313x x x x-+=-中，如设23y x x =-，原方程可化为整式方程：________．【拓1】观察下列方程及其解的特征：①12x x+=的解为121x x ==； ②152x x +=的解为12x =，212x =；③1103x x +=的解为13x =，213x =；…… 解答下列问题： ①请猜想：方程1265x x +=的解为________； ②请猜想：关于x 的方程1x x +=________的解为1x a =，21x a=（0a ≠）； ③上题中的结论可以证明是正确的，请用该结论来解方程：315132x x x x -+=-．【拓2】24111181111x x x x +++=-+++．三、分式方程的应用：【例4】（20宝应模拟）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x 米，则根据题意所列的方程是（ ） A ．600060001520x x -=+ B ．600060001520x x -=+ C ．600060002015x x -=- D ．600060002015x x-=-【拓3】某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问原计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设原计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为（ ） A ．()16040018120%x x +=+ B ．()16040016018120%x x -+=+ C ．1604001601820%x x -+= D ．()40040016018120%x x-+=+【例5】一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度行驶，一小时后加速为原来的1.5倍，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小 时的平均速度．【拓4】有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独 完成此项工程少用10天．（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米？（2）如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队 先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超 过79000元，则两工程队最多可以合作施工多少天？四、真题演练：1．（21扬州三模）若关于x 的分式方程21mx x=-有正整数解，则整数m 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．3或5 D ．3或42．（19仪征期中）定义：如果一个关于x 的分式方程a b x=的解等于1a b -，我们就说这个方程叫差解方程．比如：243x =就是个差解方程．如果关于x 的分式方程2mm x =-是一个差解方程，那么m 的值是（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2-3．（20邗江月考）扬州轨道交通线网规划2020年由4条线路组成，其中1号线一期工程全长30千米，预计运行后的平均速度是原来乘公交车的1.5倍，行驶时间则缩短半小时．设原来公交车的平均速度为x 千米/时，则下列方程正确的是（ ） A ．30301.50.5x x +=B ．30301.50.5x x -= C ．30300.5 1.5x x +=D ．30300.5 1.5x x-=4．（21高邮期末）如果关于x 的不等式组521113()22m x x x -≥⎧⎪⎨-<+⎪⎩有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程28122my y y --=--有非负数解，则符合条件的所有整数m 的和是（ ） A ．13 B ．15 C ．20 D ．225．（21仪征期末）若关于x 的分式方程312mx -=+的解为负数，则m 的取值范围为________．6．（21邗江期末）关于x 的方程1122m x x-=--有增根，则m 的值为________．7．（19宝应月考）若关于x 的分式方程21011m x x -=-+无解，则m =________．8．（18高邮期中）已知关于x 的分式方程111x k kx x +-=+-的解为负数，则k 的取值范围是________．9．（19江都期中）若关于x 的方程4122ax x x =+--无解，则a 的值是________．10．（20广陵期中）要使方程121x x a=--有正数解，则a 的取值范围是________．11．（21仪征期末）若关于x 的分式方程12221(2)(1)x x x ax x x x --+-=-+-+的解为负数，则a 的取值范围是________．12．（19邗江月考）对于非零实数a 、b ，规定21a ab b a⊗=-．若(21)1x x ⊗-=，则x 的值为________．13．（20仪征期中）对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定{in }m h a b 、表示a 、b 中较小的数的一半，如min 2{}31h =、，那么方程22{i }m n h x x xx=-+、的解为________．14．（20仪征期中）定义运算“※”： , , aa b a ba b b a b b a⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩※，若52x =※，则x 的值为________．15．（20仪征期中）若32248168224816321111111a x x x x x x x =+++++--+++++，则a 的值是________．16．（2021·扬州）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问：原先每天生产多少万剂疫苗？17．（20邗江月考）疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染．某药店用4000元购进若干包次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，请解答下列问题： （1）求购进的第一批医用口罩有多少包？（2）政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持了一致，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？18．（21邗江期末）对于两个不等的非零实数a ，b ，若分式()()x a x b x--的值为0，则x a =或x b =．因为2()()()()x a x b x a b x ab abx a b x x x---++==+-+，所以关于x 的方程abx a b x+=+的两个解分别为1x a =，2x b =．利用上面建构的模型，解决下列问题： （1）若方程px q x+=的两个解分别为11x =-，24x =．则p =________，q =________；（2）已知关于x 的方程222221n n x n x +-+=+两个解分别为1x ，2x （12x x <）．求12223x x -的值．19．（21高邮期末）八年级学生去距学校12km 的珠湖小镇游玩，一部分学生骑自行车先走，其余学生20min 后乘汽车出发，结果他们同时到达、已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．（1）求骑车学生的速度；（2）游玩中八（4）班班主任为增强班级凝聚力决定让全班学生在户外拓展区参加一次户外拓展活动，班主任根据该项目收费标准支付了1575元，请根据该项目收费信息确定全班人数．户外拓展收费标准：人数 收费 不超过30人 人均收费50元超过30人每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于40元20．（2020·扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染． 进货单：商品 进价（元/件）数量（件）总金额（元）甲7200 乙3200李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．。
分式方程及其应用课件
分式方程及其应用课件xx年xx月xx日•分式方程的基本概念•分式方程的应用•分式方程的解题技巧目录•分式方程的应用题•分式方程的注意事项•分式方程与实际生活的联系•课后习题与答案01分式方程的基本概念分式方程是一种含有未知数和分母的方程，其未知数是分子，分母是常数。
定义例如，x/3=2就是一个简单的分式方程，其中x是未知数，3是分母。
示例分式方程的定义简单分式方程只有一个分式和一个未知数，且未知数在分母中。
复杂分式方程包含多个分式和未知数，或者未知数在分子或分母中。
分式方程的分类1分式方程的解法23将分式方程转化为整式方程，求解整式方程得到未知数的值。
转化法画出分式方程对应的函数图像，通过交点或切线求解未知数。
图像法联系实际应用问题，建立分式方程并求解，用于解决实际问题。
应用法02分式方程的应用总结词通过已知速度和时间，求路程详细描述在匀速直线运动中，速度与时间的关系可以用以下方程表示：速度 = 路程 / 时间。
已知速度和时间，就可以求出路程。
例如，已知速度为60公里/小时，行驶了10小时，那么行驶的路程是600公里。
速度与时间的关系总结词通过已知密度和质量，求体积详细描述密度是物质的质量除以其体积，可以用以下方程表示：密度 = 质量 / 体积。
已知密度和质量，就可以求出体积。
例如，已知水的密度是1克/立方厘米，质量为100克的水，其体积是100立方厘米。
密度与质量的关系效率与成本的关系总结词通过已知效率和成本，求产量或收益详细描述在生产或服务过程中，效率与成本的关系可以用以下方程表示：效率 = 产量 / 成本。
已知效率和成本，就可以求出产量或收益。
例如，已知一家工厂的生产效率是每小时生产100个产品，总成本为500元，那么每小时的产量是100个产品。
03分式方程的解题技巧换元法是一种常用的解分式方程的方法，通过引入新的变量来简化方程的形式，从而方便求解。
在解分式方程时，如果方程中存在复杂的分式或多项式，可以引入一个新的变量来代替这些复杂的表达式，从而将方程简化成更容易求解的形式。
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分式方程及其应用
一、知识要点
1. 分式方程的概念
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2. 如何解分式方程
（1）解分式方程的基本思想是“转化”的数学思想，即把分式方程的分母去掉，使分式方程转化成整式方程，就可以利用整式方程的解法求解了。
（2）解分式方程的步骤：
①转化：在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；
②解这个整式方程；
③检验：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。
（3）“增根”是怎样产生的？
把分式方程“转化”为整式方程时，需要用最简公分母乘方程的两边，如果所得的解恰好使最简公分母为零，那么这个根就是“增根”。
（4）注意的问题：
①把分式方程“转化”为整式方程的条件是去掉分式方程中的分母。
如何去掉分式方程中的分母是解分式方程的“关键”步骤。
②用分式方程中各式的最简公分母乘方程的两边，从而约去分母。
但要注意用最简公分母乘方程两边的每一分式或项，切勿漏项。
③解分式方程可能产生“增根”的情况，那么验根就是解分式方程必要的步骤。
3. 分式方程的应用
解分式方程应用题的分析方法，解题步骤与解一元一次方程或二元一次方程组应用题基本相同，不同之处在于它侧重于用分式表示数量关系列代数式和寻找等量关系列方程。
其方法和步骤可归纳如下：①审清题意，分清已知量和未知量；②设未知数；③根据题意寻找已知的或隐含的等量关系，列分式方程；④解方程，并验根；⑤写出答案。
二、问题举例
例1. 解方程 。
； 32651222-=+----x x x x x x x 例2. 解下列方程：
()()x x x x ++++=151
602 3. （2003年吉林省）如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上。
小
明家到王老师家的路程为3km ，王老师家到学校的路程为0.5km 。
由于小
明的父亲战斗在抗击“非典”第一线，为了使小明能按时到校，王老师每
天骑自行车接他上学。
已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每
天比平时步行上班多用20min 。
问王老师步行的速度及骑自行车的速度各
是多少？
例4. 有大、小两辆汽车，小车每天运p 吨贷物，大车比小车每天多运10
吨货物。
现在让大车完成运送120吨货物的任务，小车完成运送100吨货
物的任务，哪辆汽车完成任务用的时间少？
例5 甲、乙两个工程队各有20人，两队合做某项工程10天后，因甲队另有任务，乙队又单独做了2天才完成。
已知单独完成这项工程，甲队比乙队可以快4天，设厂家需付甲队每人每天100元，需付乙队每人每天90元，试从甲、乙两队中选出一个工程队来完成此项工程。
请你通过计算说明选哪个工程队节省费用。
课 堂 练 习
一、填空题(6分×7=42分)
1.、当x= 时，
5-x x 与62--x x 相等. 2.、方程1
13-=x x 的解是 . 3.、若关于x 的方程81=+x
mx 的解为x=41，则m . 4、.若方程42123=----x
x x 有增根，则增根是 . 5.、如果b a b a +=+111，则=+b
a a
b . 6、.已知23=-+y x y x ，那么xy
y x 2
2+= . 7.、全路全长m 千米，骑自行车b 小时到达，为了提前1小时到达，自行车每小时应多走 千米.
8.、关于x 的分式方程4
42212-=++-x x k x 有增根x=-2，则k= .(
二、解方程(12分×4=48分)
9 .
114112=---+x x x 10 .2
911213133131x x x x x -=-+++-
11 .32651222-=+----x x x x x x x 12 .86107125265222+--=---+-+x x x x x x x x x
13、6122x x x x +=++ 14、821312112222()()x x x x x x
+-+-+=.
15、243321
022x x x x -----= 16、 6356235602x x x x -+-+=2
三、应用题：
1、某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走45分钟后，乙班的师生乘汽车出发，结果两班师生同时到达.已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，求两种车的速度各是多少？
2 “丽园”开发公司生产的960件新产品，需要精加工后才能投放市场。
现有甲乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，公司需付甲工厂加工费每天80元，乙工厂加工费每天120元。
（1）求甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？
（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家同时合作完成。
在加工过程中，公司需派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天5元的误餐补助费，请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由。
3 近年来我国的高速公路建设有了较大的发展，有力地促进了经济建设。
正在修建的某段高速公路需要招标。
现有甲、乙两个工程队，若甲乙两队合作，24天可以完成，需费用98.4万元；若甲单独做20天后，剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样需费用98万元，若选一个工程队单独完成此项工程，从节约开支角度考虑，应选择甲工程队，还是乙工程队？
4.甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再有两队合作2天就完成全部
工程，已知甲队单独完成工程所需天数是乙队单独完成所需天数的32
，求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
5.某项工程，甲、乙合做8天可以完成需费用3520元；若甲单独做6天后，剩下的工程由乙独做，乙需12天才能完成，这样需费用3480元，问：
①甲、乙两人单独完成此项工程，各需多少天？
②甲、乙两人单独完成此项工程各需费用多少元？
6.某人骑自行车比步行每小时快8千米，坐汽车比骑自行车每小时快16千米，此人从A 地出发，先步行4千米，然后乘汽车10千米就到达B 地，他又骑自行车从B 地返回A 地，结果往返所用的时间相等，求此人步行的速度？
7.一水池有甲、乙两个进水管，同时打开甲乙两管4小时后，关闭乙管，甲管又用了6小时把空水池注满，乙知甲管开2小时30分与乙管开2小时的注水量相同，求单独开甲、乙两管分别需要几小时可以把空水池注满？
8、某校学生到离校15千米的森林公园春游，先遣队与学生队伍同时出发，先遣队行进速度是学生大队伍的1.2倍，以便提前半小时到达，求先遣队与学生队伍的速度.
9、甲、乙二人合做一件工作，10天可以完成；如果甲、乙二人共同工作7天剩下的由乙单独做9天完成，求甲、乙二人单独做各需几天可以完成.
10、某公司招聘打字员,要求每分至少打45个字.已知应聘者乙的打字工作效率比甲高25%,而甲打1800个字的时间比乙打2000个字的时间多5分.问甲､乙两人的打字速度是否能达到公司的要求?。