培优专题分式方程及其应用(含答案)

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2021年中考数学尖子生培优训练分式方程及其应用(含答案)

2021中考数学尖子生培优训练分式方程及其应用一、选择题（本大题共10道小题）1. 若1=-4x ，则x 的值是（）A.4B.41C.41- D.﹣42. 分式方程=1的解是 ( ) A .x=1 B .x=-1 C .x=2D .x=-23. （2020·广西北部湾经济区）甲、乙两地相距600km ，提速前动车的速度为vkm /h ，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，提速后行车时间比提速前减少20min ，则可列方程为（） A ． B ． C ．20D ．204. （2020·福建）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（） A.62103(1)-=x xB.621031=-x C.621031-=x xD.62103=x5. （2020·牡丹江）若关于x 的分式方程xmx =-12有正整数解，则整数m 的值是（） A. 3 B. 5 C. 3或5 D. 3或46. （2020·长沙）随着5G 网络技术的发展，市场对5G 产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x 万件，依据题意得 ·············································································· （） A ．xx 50030400＝－ B ．30500400＋＝x x C ．30500400－＝x x D ．xx 50030400＝＋7. （2020·宜宾）学校为了丰富学生知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等．设文学类图书平均每本x 元，则列方程正确的是（）A ．150008x -＝12000xB ．150008x +＝12000xC ．15000x ＝120008x -D ． 15000x ＝12000x +88. (2020自贡)某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（） A ．40 B ．40 C ．40D ．409. （2020•遂宁）关于x 的分式方程﹣＝1有增根，则m 的值（） A ．m ＝2 B ．m ＝1C ．m ＝3D ．m ＝﹣310. （2020·湖北荆州）八年级学生去距学校10千米的荆州博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20分钟后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,求骑车学生的速度.若设骑车学生的速度为/xkm h ,则可列方程为( ) A. 1010202x x B. 1010202x x C.1010123x x D. 1010123x x二、填空题（本大题共10道小题）11. 方程 12x ＝2x －3的解是________．12. （2020·广州）方程3122x x x 的解是 .13. 2019·铜仁分式方程5y －2＝3y的解为________．14. （2020·菏泽）方程111-+=-x x x x 的解是______．15. （2020·江苏徐州）方程981x x =-的解为 .16. (2020·绥化)某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天，设原计划每天加工零件x 个，可列方程______．17. 若关于x 的分式方程+=2m 有增根，则m 的值为 .18. 若分式方程x －ax ＋1＝a 无解，则a 的值为________.19.(2020·湘潭)若37y x =，则x yx-=________．20. （2020·内江）若数a使关于x 的分式方程2311x ax x++=--的解为非负数，且使关于y 的不等式组()3113431220y y y a -+⎧-≥-⎪⎨⎪-<⎩的解集为0y ≤，则符合条件的所有整数a 的积为_____________三、解答题（本大题共6道小题）21. （2019·上海）解方程：228122x x x x-=--22. （2020·襄阳）（6分）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的45，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？23. （2020·泰安）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4 000元购进了A种茶叶若干盒，用8 400元购进了B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5 800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？24. （2020·毕节）某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%，用5400元购进的甲种书柜的数量比用6300元购进乙种书柜的数量少6个．（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少?25. （2020·黔西南州）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求: （1）A型自行车去年每辆售价多少元？（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2 400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？26. （12分）小刚去超市买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B型画笔.（1）超市B型画笔单价多少元？（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次性购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折，设小刚购买的B 型画笔x 支，购买费用为y 元，请写出y 关于x 的函数关系式. （3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B 型画笔，则能购买多少支B 型画笔？2021中考数学尖子生培优训练分式方程及其应用-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】C【解析】去分母得-4x ＝1，解得x ＝-14．因为x ＝-14≠0，则方程的解为x ＝-14．故选C ．2. 【答案】B[解析]去分母得，1=x +2，移项，合并同类项，得:x=-1，经检验，x=-1是原分式方程的解，∴x=-1，故选B .3. 【答案】 A【解析】因为提速前动车的速度为vkm /h ，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，所以提速后动车的速度为1.2vkm /h ，根据题意可得：．因此本题选A ．4. 【答案】A【解析】本题考查了列分式方程解应用题，根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱列分式方程A ，因此本题选A ．5. 【答案】D 【解析】首先化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后讨论整数解即可求解.原方程xm x =-12可化为整式方程2x ＝m (x -1)，∴x ＝2212-+=-m m m ，而分式方程有正整数解，∴m ﹣2＝1，m ﹣2＝2，∴m ＝3，m ＝4，经检验，符合题意，故选D.6. 【答案】B【解析】本题考查了分式方程应用，根据题意可知生产时间＝数量÷效率，而且生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，所以30500400＋＝x x ，因此本题选B ．7. 【答案】B【解析】设文学类图书平均每本x 元，则科普类图书平均每本（x +8）元，根据“用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等”得：150008x ＝12000x ．8. 【答案】 A ．【解析】本题考查了分式方程在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度不大，解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原计划每天绿化的面积为万平方米，依题意，得：40，即40．因此本题选A ．9. 【答案】去分母得：m +3＝x ﹣2，由分式方程有增根，得到x ﹣2＝0，即x ＝2，把x ＝2代入整式方程得：m +3＝0，解得：m ＝﹣3，故选：D ．10. 【答案】C【解析】本题考查了分式方程在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度不大.解：设骑车学生速度为x /km h ，则汽车的速度是2 x /km h ，依题意，得：1010123x x．因此本题选C ．二、填空题（本大题共10道小题）11. 【答案】x ＝－1 【解析】化简12x ＝2x －3得x －3＝4x ，则－3x ＝3，所以x ＝－1，经检验x ＝－1是原方程的根．12. 【答案】32x【解析】本题考查了分式方程的解法，过程如下：解：3121x x x两边同乘21x ，得23x 32x检验：当32x时，21x ≠0 ∴ 原分式方程的解为32x ，因此本题答案是32x．13. 【答案】y ＝－3 [解析] 去分母，得5y ＝3y －6，解得y ＝－3.经检验，y ＝－3是分式方程的解．则分式方程的解为y ＝－3.14. 【答案】 x ＝31【解析】解分式方程的基本思路是通过去分母化为整式方程求解，解分式方程必须验根，把可能产生的增根舍去．方程两边同乘x (x －1)，得(x －1)2＝x (x ＋1)，化简，得3x ＝1．∴x ＝31．经检验，x ＝31是原分式方程的根．15. 【答案】x =9【解析】把分式方程转化为整式方程，求出整式方程的根再进行验根确定 .∵981x x =-，把两边同时乘以x (x -1)，得9x -9=8x ，∴x =9，经检验x =9是原方程的根.16. 【答案】240x ＝2401.5x ＋2 【解析】实际每天加工零件1.5x 个．原计划的工作时间＝240x (天)，实际的工作时间＝2401.5x (天)，根据“结果比原计划少用2天”可列方程240x ＝2401.5x ＋2．17. 【答案】1[解析]分式方程去分母，得:x -2m=2m ·(x -2)，若原分式方程有增根，则x=2，得2-2m=2m (2-2)，解得m=1.18. 【答案】17 [解析] 由方程x －4x＝3得x －4＝3x.解得x ＝－2.当x ＝－2时，x≠0.所以x ＝－2是方程x －4x ＝3的解．又因为方程ax a －1－2x －1＝1的解与方程x －4x ＝3的解相同，因此x ＝－2也是方程ax a －1－2x －1＝1的解．这时－2a a －1－2－2－1＝1.解得a ＝17.当a ＝17时，a －1≠0，故a ＝17满足条件．19. 【答案】47【解析】本题主要考查了比的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．根据比例的基本性质变形，代入求职即可；由37y x =可设3y k =，7x k =，k 是非零整数，则7344777--===x y k k k x k k ．故答案为：47．20. 【答案】40【解析】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为0y ≤，找出a 的取值范围是解题的关键．根据分式方程的解为正数即可得出a ≤5且a ≠3，根据不等式组的解集为0y ≤，即可得出a >0，找出0<a ≤5且a ≠3中所有的整数，将其相乘即可得出结论．分式方程2311x a x x ++=--的解为x =52a -且x ≠1，∵分式方程2311x ax x++=--的解为非负数，∴502a -≥且52a -≠1.∴a ≤5且a ≠3.()3113431220y y y a -+⎧-≥-⎪⎨⎪-<⎩①②解不等式①，得0y ≤.解不等式②，得y <a .∵关于y 的不等式组()3113431220y y y a -+⎧-≥-⎪⎨⎪-<⎩的解集为0y ≤，∴a >0. ∴0<a ≤5且a ≠3.又a 为整数，则a 的值为1，2，4，5.符合条件的所有整数a 的积为124540⨯⨯⨯=．因此本题答案为：40．三、解答题（本大题共6道小题）21. 【答案】x ＝－4 【解析】去分母得：2x 2－8＝x 2－2x ，即x 2＋2x －8＝0，分解因式得：(x －2)(x ＋4)＝0，解得：x ＝2或x ＝－4，经检验x ＝2是增根，所以原分式方程的解为x ＝－4．22. 【答案】设原来每天用水量为x 吨，则现在每天用水量是45x 吨，根据题意，得120120345x x -=，即1501203x x -=，解得x ＝10．经检验，x ＝10是原方程的解且符合实际，则45x ＝8．答：现在每天用水量是8吨．23. 【答案】（1）设A 种茶叶每盒进价为x 元，则B 种茶叶每盒进价为1.4x 元．根据题意，得：4000x ＋10﹦84001.4x ．解得x ﹦200．经检验：x ﹦200是原方程的根． ∴1.4x ﹦1.4×200﹦280（元）．∴A ，B 两种茶叶每盒进价分别为200元，280元．（2）设第二次A 种茶叶购进m 盒，则B 种茶叶购进（100—m ）盒．打折前A 种茶叶的利润为m2 ×100﹦50m ．B 种茶叶的利润为100—m2 ×120﹦6 000—60m ．打折后A 种茶叶的利润为m2 ×10﹦5m ． B 种茶叶的利润为0．由题意得：50m ＋6 000—60m ＋5m ﹦5800．解方程，得：m ﹦40．∴100—m ﹦100—40﹦60（盒）．∴第二次购进A 种茶叶40盒，B 种茶叶60盒．24. 【答案】解：（1）设每个乙种书柜的进价是x 元，则每个甲种书柜的进价是（1+20%）x 元．根据题意，得5400120%x +（）＝6300x－6．解得x ＝300．经检验x ＝300是原方程的解．当x ＝300时，（1+20%）x ＝360．所以每个乙种书柜的进价是300元，每个甲种书柜的进价是360元．（2）设购进乙种书柜a 个，则购进甲种书柜（60－a ）个．设购进书柜所需费用w 元．根据题意，得w ＝360（60－a ）＋300a ＝－60＋21600． ∵2（60－a ）≥a ，∴a ≤40．所以该校应购进乙种书柜40个，购进甲种书柜20个时，购进书柜所需费用最少．25. 【答案】解:（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x－200）元，由题意得80000x＝80000(110%)200x--，解得:x＝2 000．经检验，x＝2 000是原方程的根．答:去年A型车每辆售价为2 000元；（2）设今年新进A型车a辆，则B型车(60－a)辆，获利y元.由题意得y＝(1800－1500)a＋(2400－1800)(60－a)．整理，得y＝－300a＋36000．∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，∴60－a≤2a，∴a≥20．∵y＝－300a＋36000中k＝－300＜0，∴y随a的增大而减小．∴当a＝20时，y有最大值，∴B型车的数量为:60－20＝40辆．∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．26. 【答案】解：（1）设超市B型画笔单价a元，则A型画笔单价为（a-2）元，由题意列方程，得601002a a=-，解得，5a=.经检验5a=是原分式方程的根.答：超市B型画笔单价是5元.（2）由题意知，当小刚购买的B型画笔支数x≤20时，费用为y=0.9×5x=4.5x；当小刚购买的B型画笔支数x＞20时，费用为y=20×0.9+（x-20）×0.8×5=4x+10.所以4.5,(20)410,()x xyx x≤⎧=⎨+⎩＞20，其中x为正整数.（3）当4.5x=270（x≤20）时，解得x=60，因为60＞20不符合题意，舍去. 当4x+10=270（x＞20）时，解得x=65.答：小刚能购买65支B型画笔.。

初中数学分式方程的应用培优训练(精选40道习题附答案详解)

（1）求第一批采购的书包的单价是多少元？
（2）若商店按售价为每个书包元，销售完这两批书包，总共获利多少元？
15．某服装加工厂计划加工4000套运动服，在加工完1600套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高，结果共用了18天完成全部任务．求原计划每天加工多少套运动服．
16．为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．
13．科幻小说《流浪地球》的销量急剧上升．为应对这种变化，某网店分别花20000元和30000元先后两次购进该小说，第二次的数量比第一次多500套，且两次进价相同．
（1）该科幻小说第一次购进多少套？每套进价多少元？
（2）根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250套；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10套．网店要求每套书的利润不低于10元且不高于18元．
11．小明家用元网购的型口罩与小磊家用元在药店购买的型口罩的数量相同，型与型口罩的单价之和为元，求两种口罩的单价各是多少元？
12．某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前天完成这一任务，实际每天铺设多长管道？
（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
6．甲、乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做5个，甲做80个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，问甲、乙两人每小时各做多少个零件？（用列方程的方法解答）
7．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．那么第一批饮料进货单价多少元？

分式方程的应用同步培优题典(解析版)

专题5.8分式方程的应用姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•绵阳）甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km ”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km ”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为（） A ．1.2小时B ．1.6小时C ．1.8小时D ．2小时【分析】设乙驾车时长为x 小时，则甲驾车时长为（3﹣x ）小时，根据两人对话可知：甲的速度为180xkm /h ，乙的速度为803−xkm /h ，根据“各匀速行驶一半路程”列出方程求解即可．【解析】设乙驾车时长为x 小时，则甲驾车时长为（3﹣x ）小时，根据两人对话可知：甲的速度为180xkm /h ，乙的速度为803−xkm /h ，根据题意得：180(3−x)x=80x 3−x，解得：x 1＝1.8或x 2＝9，经检验：x 1＝1.8或x 2＝9是原方程的解， x 2＝9不合题意，舍去，故选：C ．2．（2020•昆明）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（） A ．1600元B ．1800元C ．2000元D ．2400元【分析】设原计划每间直播教室的建设费用是x 元，则实际每间建设费用为1.2x 元，根据“实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元”列出方程求解即可．【解析】设原计划每间直播教室的建设费用是x 元，则实际每间建设费用为1.2x 元，根据题意得：8000+40001.2x−8000x=1，解得：x ＝2000，经检验：x ＝2000是原方程的解，答：原计划每间直播教室的建设费用是2000元，故选：C ．3．（2020•河北模拟）某学校食堂需采购部分餐桌，现有A 、B 两个商家，A 商家每张餐桌的售价比B 商家的优惠20元．若该校花费4400元采购款在B 商家购买餐桌的张数等于花费4000元采购款在A 商家购买餐桌的张数，则A 商家每张餐桌的售价为（） A ．197元B ．198元C ．199元D ．200元【分析】设A 商家每张餐桌的售价为x 元，则B 商家每张餐桌的售价为（x +20），根据“花费4400元采购款在B 商家购买餐桌的张数等于花费4000元采购款在A 商家购买餐桌的张数”列方程即可．【解析】设A 商家每张餐桌的售价为x 元，则B 商家每张餐桌的售价为（x +20），根据题意列方程得：4000x=4400x+20，解得：x ＝200经检验：x ＝200是原方程的解，故选：D ．4．（2020•龙岗区校级模拟）某车间加工12个零件后，采用新工艺，工效比原来提高了50%，这样加工同样多的零件就少用1小时，那么采用新工艺前每小时加工的零件数为（） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【分析】设采用新工艺前每小时加工的零件数为x 个，根据题意列出方程即可求出答案．【解析】设采用新工艺前每小时加工的零件数为x 个，根据题意可知：12x−1=121.5x，解得：x ＝4，经检验，x ＝4是原方程的解，故选：B ．5．（2020•路北区一模）某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变，…．设原计划每天绿化的面积为x 万平方米，列方程为60(1−20%)x−60x=30，根据方程可知省略的部分是（）A ．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务B ．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果延误30天完成了这一任务C ．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务D ．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务【分析】根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合所列分式方程，即可找出省略的条件，此题得解．【解析】设原计划每天绿化的面积为x 万平方米， ∵所列分式方程为60(1−20%)x−60x =30，∴60(1−20%)x为实际工作时间，60x为原计划工作时间，∴省略的条件为：实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务．故选：C ．6．（2020•锦州二模）小亮的妈妈到超市购买大米，第一次按原价购买，用了100元，几天后，遇上这种大米按原价降低了20%出售，她用120元又购买了一些，两次一共购买了50kg ．设这种大米的原价是每千克x 元，则根据题意所列的方程是（） A ．100x+12020%x =50 B ．100x+120(1−20%)x=50C ．10020%x+120x=50D ．100(1−20%)x+120x=50【分析】设这种大米的原价是每千克x 元，根据两次一共购买了50kg 列出方程，求解即可．【解析】设这种大米的原价是每千克x 元，根据题意，得100x+120(1−20%)x=50，故选：B ．7．（2020•梁溪区校级二模）“绿水青山就是金山银山”．为改造太湖水质，某工程队对2400平方公里的水域进行水质净化，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前了40天完成任务．设实际每天净化的水域面积为x 平方公里，则下列方程中正确的是（） A ．2400x −2400(1+20%)x=40B ．2400x−2400×(1+20%)x=40 C ．2400×(1+20%)x −2400x=40D ．2400(1+20%)x−2400x=40【分析】直接利用提高工作效率后，提前了40天完成任务得出等式求出答案．【解析】设实际每天净化的水域面积为x 平方公里，根据题意可得：2400×(1+20%)x−2400x=40．故选：C ．8．（2020秋•三水区校级月考）南京市某花卉种植基地欲购进甲、乙两种兰花进行培育，每株甲种兰花的成本比每株乙种兰花的成本多100元，且用1200元购进的甲种兰花与用900元购进的乙种兰花数量相同，求甲、乙两种兰花每株成本分别为多少元？若设乙种兰花的成本是x 元．则下列方程正确的是（） A ．1200x−100=900x B ．1200x+100=900xC ．900x+100=1200xD ．900x−100=1200x【分析】直接利用用1200元购进的甲种兰花与用900元购进的乙种兰花数量相同得出等式求出答案．【解析】设乙种兰花的成本是x 元，则甲种兰花的成本为（x +100）元，根据题意可得：1200x+100=900x．故选：B ．9．（2020秋•温州月考）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多20元．李老师购买篮球花费900元，购买足球花费400元，结果购得的篮球数量是足球数量的1.5倍．设购买的足球数量是x 个，则下列选项中所列方程正确的是（） A ．900x =4001.5x +20 B ．400x =9001.5x +20 C ．9001.5x=400x+20D ．4001.5x=900x+20【分析】设购买的足球数量是x 个，则购买篮球数量是1.5x 个，根据“篮球的单价比足球的单价多20元”列出方程即可．【解析】设购买的足球数量是x 个，则购买篮球数量是1.5x 个，根据题意，得9001.5x=400x+20．故选：C ．10．（2020春•翠屏区期中）小兰乘301公共汽车从叙州区到相距40千米的南溪区办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车快20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了35小时，设公共汽车的平均速度为x 千米/时，则下面列出的方程中正确的是（） A ．40x+20=35×40x B ．40x =35×40x+20C ．40x+20+35=40xD ．40x=40x+20−35【分析】根据公共汽车的平均速度为x 千米/时，得出出租车的平均速度为（x +20）千米/时，再利用回来时路上所花时间比去时节省了35小时，得出分式方程即可．【解析】设公共汽车的平均速度为x 千米/时，则出租车的平均速度为（x +20）千米/时，根据题意得出：40x+20+35=40x．故选：C ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•西湖区校级月考）商场销售某种商品，1月份销售了若干件，共获利润30000元，2月份把这种商品的单价降低了0.4元，但销售量比1月份增加了5000件，从而获得的利润比1月份多2000元，求调价前每件商品的利润是多少元？解：设调价前每件商品的利润是x 元，可列出方程．【分析】根据题目中的数据和题意，可以列出相应的方程，等量关系是降价前的销售量+5000＝降价后的销售量．【解析】由题意可得，所列方程为：30000x +5000=30000+2000x−0.4，故答案为：30000x+5000=30000+2000x−0.4．12．（2020•黄岛区二模）甲、乙两组学生去距学校4千米的敬老院开展慰问活动，甲组学生步行出发20分钟后，乙组学生骑自行车开始出发，两组学生同时到达敬老院．已知骑自行车速度是步行速度的3倍，设步行速度为x 千米/时，则根据题意可以列出方程．【分析】设步行速度为x 千米/时，则骑自行车速度为3x 千米/时，根据时间＝路程÷速度结合骑自行车的同学比步行的同学少用20分钟，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【解析】设步行速度为x 千米/时，则骑自行车速度为3x 千米/时，依题意，得：4x −43x=2060．故答案为：4x−43x=2060．13．（2020•宿迁二模）小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A 的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线B 的全程比路线A 的全程多7千米，但平均车速比走路线A 时能提高60%，若走路线B 的全程能比走路线A 少用15分钟，若设走路线A 时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，可列分式方程．【分析】设走路线A 时的平均速度为x 千米/小时，则走路线B 时的平均速度为（1+60%）x 千米/小时，根据时间＝路程÷速度结合走路线B 的全程能比走路线A 少用15分钟（即14小时），即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【解析】设走路线A 时的平均速度为x 千米/小时，则走路线B 时的平均速度为（1+60%）x 千米/小时，依题意，得：25x−25+7(1+60%)x =14．故答案为：25x−25+7(1+60%)x=14．14．（2020春•襄汾县期末）某工程队修建一条长1200m 的道路；采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务，设这个工程队原计划每天修建道路xm ，则列出的方程为．【分析】设原计划每天修建道路x 米，则实际每天修建道路（1+50%）x 米，根据工作时间相差4天，列方程解答即可．【解析】设原计划每天修建道路x 米，则实际每天修建道路（1+50%）x 米，根据题意，列方程为：1200x−1200(1+50%)x=4．故答案是：1200x−1200(1+50%)x=4．15．（2020春•西工区校级月考）某工程队由甲乙两队组成，承包我市河东东街改造工程，规定若干天完成，已知甲队单独完成这项工程所需时间比规定时间多32天，乙队单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天，如果甲乙两队先合作20天，剩下的甲队单独做，则延误两天完成，那么规定时间是 28 天．【分析】设规定的时间是x 天，则甲队单独完成需要（x +32）天，乙队单独完成需要（x +12天），根据甲乙合作完成的工作量+乙独做完成的工作量＝工作总量建立方程求出其解就可以了．【解析】设规定的时间是x 天，则甲队单独完成需要（x +32）天，乙队单独完成需要（x +12天），由题意，得20×1x+12+x+2x+32=1，解得：x ＝28．经检验，x ＝28是元方程的解．答：规定的时间是28天．故答案是：28．16．（2020春•越秀区期末）甲和乙同时从A 地出发，匀速行走到B 地．甲走完一半路程时，乙才走了4千米，乙走完一半路程时，甲已走了9千米．当甲走完全程时，乙未走完的路程还有 4 千米．【分析】设A ，B 两地之间的路程为x 千米，根据两人的速度之比为定值，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论，再结合“甲走完一半路程时，乙才走了4千米”，即可求出结论．【解析】设A ，B 两地之间的路程为x 千米，依题意，得：12x 4=912x ，化简，得：x 2＝144，解得：x 1＝12，x 2＝﹣12，经检验，x 1＝12，x 2＝﹣12均为原方程的解，x 1＝12符合题意，x 2＝﹣12不符合题意，舍去， ∴x ﹣4×2＝4．故答案为：4．17．（2020•北碚区模拟）武汉某超市在疫情前用3000元购进某种干果销售，发生疫情后，为了保障附近居民的生活需求，又调拨9000元购进该种干果．受疫情影响，交通等成本上涨，第二次的进价比第一次进价提高了20%，但是第二次购进干果的数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市先按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，最后的600千克按原售价的7折售完．售卖结束后，超市决定将盈利的资金捐助给武汉市用于抗击新冠肺炎疫情．那么该超市可以捐助 5280 元．【分析】设第一次购进干果的单价为x 元/千克，则第二次购进干果的单价为1.2x 元/千克，根据数量＝总价÷单价结合第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，即可得出关于x 的分式方程，解之即可得出x 的值，进而即可求出第一、二次购进干果的数量，再利用利润＝销售收入﹣成本即可得出结论．【解析】设第一次购进干果的单价为x 元/千克，则第二次购进干果的单价为1.2x 元/千克，根据题意得：2×3000x +300=90001.2x，解得：x ＝5，经检验，x ＝5是原方程的解，则3000x=30005=600，90001.2x=90001.2×5=1500，1500×9+600×9×0.7﹣3000﹣9000＝5280（元）．答：该超市可以捐助5280元．故答案为：5280．18．（2020•沈河区一模）某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用4000元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，该服装商又用9000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了5元．则该服装商第一批进货的单价是 40 元．【分析】设第一批进货的单价为x 元/件，根据第二批这种衬衫所购数量是第一批购进数量的2倍，列出方程即可解决问题．【解析】设第一批进货的单价为x 元/件，由题意2×4000x=9000x+5，解得x ＝40，经检验，x ＝40是原分式方程的解，且符合题意，答：第一次进货单价为40元/件，故答案为：40．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020•邗江区校级三模）某社区计划对1200m 2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个施工队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且甲、乙两队在分别独立完成面积为300m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．甲、乙两施工队每天分别能完成绿化的面积是多少？【分析】设乙施工队每天能完成绿化的面积是xm 2，则甲施工队每天能完成绿化的面积是2xm 2，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲、乙两队在分别独立完成面积为300m 2区域的绿化时甲队比乙队少用3天，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解析】设乙施工队每天能完成绿化的面积是xm 2，则甲施工队每天能完成绿化的面积是2xm 2，依题意，得：300x−3002x=3，解得：x ＝50，经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意， ∴2x ＝100．答：甲施工队每天能完成绿化的面积是100m 2，乙施工队每天能完成绿化的面积是50m 2．20．（2020春•高新区期末）2020年新冠肺炎疫情影响全球，各国感染人数持续攀升，医用口罩供不应求，很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来，苏州某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．求甲、乙两厂房每天各生产多少箱口罩．【分析】设乙厂房每天生产x 箱口罩，则甲厂房每天生产2x 箱口罩，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合两厂房各加工6000箱口罩时甲厂房比乙厂房少用5天，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解析】设乙厂房每天生产x 箱口罩，则甲厂房每天生产2x 箱口罩，依题意，得：6000x−60002x=5，解得：x ＝600，经检验，x ＝600是原分式方程的解，且符合题意， ∴2x ＝1200．答：甲厂房每天生产1200箱口罩，乙厂房每天生产600箱口罩． 21．（2020•曲靖二模）请你认真阅读如图对话，解决实际问题．请根据如图对话内容，求A 、B 两种客车各有多少个座位？试试看！【分析】设A 种客车有x 个座位，则B 种客车有（x +10）个座位，根据租A 种客车的数量﹣租B 种客车的数量＝1列出方程并解答．【解析】设A 种客车有x 个座位，则B 种客车有（x +10）个座位，根据题意得200x−280+20x+10=1．解得x 1＝40，x 2＝﹣70．经检验x 1＝40，x 2＝﹣70都是所列方程的解．当x ＝70时，不符合题意，舍去．当x ＝40时，x +10＝50（个）．答：A 种客车有40个座位，则B 种客车有50个座位．22．（2020•高州市模拟）新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防性消毒工作，开学初购进A 、B 两种消毒液，其中A 消毒液的单价比B 消毒液的单价多40元，用3200元购买B 消毒液的数量是用2400元购买A 消毒液数量的2倍．（1）求两种消毒液的单价；（2）学校准备用不多于6800元的资金购买A 、B 两种消毒液共70桶，问最多购买A 消毒液多少桶？【分析】（1）设B 消毒液的单价为x 元，则A 消毒液的单价为（x +40）元，根据数量＝总价÷单价结合用3200元购买B 消毒液的数量是用2400元购买A 消毒液数量的2倍，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买A 消毒液y 桶，则购买B 消毒液（70﹣y ）桶，根据总价＝单价×数量结合总价不多于6800元，即可得出关于y 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解析】（1）设B 消毒液的单价为x 元，则A 消毒液的单价为（x +40）元，依题意，得：3200x=2×2400x+40，解得：x ＝80，经检验，x ＝80是所列分式方程的解，且符合题意， ∴x +40＝120．答：A 消毒液的单价为120元，B 消毒液的单价80元．（2）设购买A 消毒液y 桶，则购买B 消毒液（70﹣y ）桶，依题意，得：120y +80（70﹣y ）≤6800，解得：y ≤30．答：最多购买A 消毒液30桶．23．（2020•南岗区校级一模）某学校计划从商店购买测温枪和洗手液，已知购买一个测温枪比购买一瓶洗手液多用20元，若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的个数是购买洗手液个数的一半．（1）求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需要多少元；（2）经商谈，商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠，如果该学校需要洗手液个数是测温枪个数的2倍还多8个，且该学校购买测温枪和洗手液的总费用不超过670元，那么该学校最多可购买多少个测温枪？【分析】（1）设购买一瓶洗手液需要x 元，则购买一个测温枪需要（x +20）元，根据用400元购买测温枪的数量是用160元购买洗手液的一半，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设该学校购买m 个测温枪，则购买（2m +8）瓶洗手液，根据总价＝单价×数量结合总价不超过670元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解析】（1）设购买一瓶洗手液需要x 元，则购买一个测温枪需要（x +20）元，依题意，得：400x+20=12×160x ，解得：x ＝5，经检验，x ＝5是原方程的解，且符合题意，∴x +20＝25．答：购买一个测温枪需要25元，购买一瓶洗手液需要5元．（2）设该学校购买m 个测温枪，则购买（2m +8）瓶洗手液，依题意，得：25m +5（2m +8﹣m ）≤670，解得：m ≤21．答：该学校最多可购买21个测温枪．24．（2020•松北区三模）出于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份售价比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元．（1）一月份甲型号手机每台售价为多少元？（2）为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元的资金购进这两种手机共20台，至少购进甲型号手机多少台？【分析】（1）设一月份甲型号手机每台售价为x 元，则二月份甲型号手机每台售价为（x ﹣500）元，根据数量＝总价÷单价结合“如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元”，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进甲型号手机m 台，则购进乙型号手机（20﹣m ）台，根据总价＝单价×数量结合总价不多于7.6万元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，再取其中的最小值即可得出结论．【解析】（1）设一月份甲型号手机每台售价为x 元，则二月份甲型号手机每台售价为（x ﹣500）元，依题意，得：90000x =80000x−500，解得：x ＝4500，经检验，x ＝4500是原方程的解，且符合题意．答：一月份甲型号手机每台售价为4500元．（2）设购进甲型号手机m台，则购进乙型号手机（20﹣m）台，依题意，得：3500m+4000（20﹣m）≤76000，解得：m≥8．答：至少购进甲型号手机8台．。

2025年中考数学总复习培优训第7课时分式方程及其应用

增根，则 a 的值为( D )
A. 4
B. －4
C. 3
D. －3
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15. [2024 牡丹江]若分式方程x－x 1＝3－1m－xx的解为正整数，则整数 m 的值为 __－__1____.
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16. [2024抚顺顺城区二模]随着新能源汽车的普及，我国新能源汽车的保有量已经处于世界第一，汽车快速充电技术已经成为新能源汽车发展的主要研究方向，从2023年开始，4C甚至 6C的快速充电方案已经开始逐步落地. 测试数据显示，使用 6C充电技术，每分钟充电量的续航里程(汽车所能行驶的路程)比采用4C充电技术提高了50%，若采用6C充电技术，续航里程480公里的充电时间，比采用4C充电技术续航里程400 公里的充电时间节省2分钟. 求采用6C充电技术，每分钟充电量的续航里程为多少公里？
2x－1 x－1
解：
＝－2，第一步
3（x＋2） x＋2
2x－1＝3(x－1)－2，第二步
2x－1＝3x－3－2，第三步
－x＝－4，第四步
x＝4. 第五步
检验：当 x＝4 时，3(x＋2)≠0，第六步
所以 x＝4 是原方程的根. 第七步
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任务一：以上解方程的步骤中，从第___二_____步开始出错；任务二：请直接写出该分式方程的正确结果.
10. 若点 Q(x，y)满足1x＋1y＝x1y，则称点 Q 为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标：_(2_，__－__1_)_. (答案不唯一，满足x＋y＝1且x≠0，y≠0即可)
11. [2024 广州]解方程：2x－1 5＝3x. 方程的解为x＝3.
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冀教版八年级上12.4 分式方程能力培优训练(含答案)

12.4 分式方程专题一根据分式方程的根确定字母的值或取值范围1.关于x 的分式方程1131=-+-x x m 的解为正数，则m 的取值范围是 . 2.若关于x 的方程311x a x x --=-无解，求a 的值.专题二特殊分式方程的特殊解法3.解方程：17352846x x x x x x x x ----+=+----.4. 阅读下列材料：关于x 的方程11x c x c +=+的解是121,x c x c==（12,x x 表示未知数x 的两个实数解，下同）；（1）11x c x c -=-的解是121,x c x c ==-（即：11x c x c --+=+的解是121,x c x c==-）； 22x c x c +=+的解是122,x c x c==； 33x c x c +=+的解是123,x c x c==. 请观察上述方程与解的特征，比较关于x 的方程m m x c x c +=+（m ≠0）与它们的关系，猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解.请用这个结论解关于x 的方程：2211x a x a +=+--.状元笔记【知识要点】1.分式方程的定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般步骤（1）去分母，把分式方程转化为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，并写出原方程的解.【温馨提示】1.解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程.2.解分式方程一定要注意验根.3.分式方程有解的条件是：①化简得到的整式方程有解；②整式方程的解使分式方程的分母的值不为0 .【方法技巧】1.判断一个方程是否是分式，并不是看分式方程中是否有分母，而是看分母中是否含有未知数.2.验根的方法：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为0（即是否符合“分母不为0”的限制），如果分母不为0，则被验的根就是分式方程的解，如果使分母为0，则这个根就是增根，必须舍去.参考答案1. m ＞2且m ≠3 解析：去分母，原方程可化简为2x m =-，因为方程的解为正数，所以20m ->，得m ＞2；又10x -≠，所以x ≠1，即m －2≠1，得m ≠3.综上，m ＞2且m ≠3.2.解：把分式方程转化为整式方程，得x （x －a ）－3(x －1)=x (x －1)，整理得(a +2)x =3，分情况讨论：（1）当a +2=0时，方程(a +2)x =3无解，即当a =－2时，原分式方程无解；（2）当a +2≠0时，方程(a +2)x =3有解，解这个分式方程，得32x a =+. ①若32x a =+=0，则32x a =+是增根，此时不存在这样的a 值. ②若32x a =+=1，则32x a =+是增根，此时a =1.综上所述，当a =－2或a =1时，原分式方程无解. 3.解析：可用裂项法，由于方程中每一个分式的分母加1都等于它的分子，根据这样一个特点，可以把分子分裂成两项，然后分别用它的分母去除，消去分子中的未知数，再分组通分，将分子化1. 解：原方程可化为(2)1(8)1(4)1(6)12846x x x x x x x x -+-+-+-++=+----，即11112846x x x x +=+----. 移项得11112468x x x x -=-----，通分得22(2)(4)(6)(8)x x x x =----，所以22144868x x x x -+=-+，解得 x =5.经检验x =5是原方程的解.4.解：（1）12,m x c x c==. 验证：当x 1=c 时，左边=m m x c x c +=+=右边；当x 2=m c 时，左边=m m m m x c m x c cc +=+=+=右边.所以12,m x c x c==都是原方程的解；（2）因为2211x a x a +=+--，所以221111x a x a -+=-+--，所以11x a -=-，或211x a -=-，所以x a =或11a x a +=-.。

八年级(上)培优专题十二分式方程应用题分类解析

专题十分式方程应用题分类解析分式方程应用性问题联系实际比较广泛，灵活运用分式的基本性质，有助于解决应用问题中出现的分式化简、计算、求值等题目，运用分式的计算有助于解决日常生活实际问题．本课内容：一、【营销类应用性问题】例1．某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每千克少3元，比乙种原料每千克多1元，问混合后的单价每千克是多少元？分析：市场经济中，常遇到营销类应用性问题，与价格有关的是：单价、总价、平均价等，要了解它们的意义，建立它们之间的关系式．例2 A、B两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同．其中，采购员A每次购买1000千克，采购员B每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？例3 某商场销售某种商品，一月份销售了若干件，共获得利润30000元;二月份把这种商品的单价降低了 0.4元，但是销售量比一月份增加了5000件，从而获得利润比一月份多2000元，调价前每件商品的利润为多少元？二、【工程类应用性问题】例4 甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2天后，由乙队单独做1天就完成了全部工程。

已知乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的倍，问甲乙单独做各需多少天？分析：例5 甲、乙两个学生分别向计算机输入1500个汉字，乙的速度是甲的3倍，因此比甲少用20分钟完成任务，他们平均每分钟输入汉字多少个？分析：等量关系：甲用时间=乙用时间+20（分钟）例6 某农场原计划在若干天内收割小麦960公顷，但实际每天多收割40公顷，结果提前4天完成任务，试求原计划一天的工作量及原计划的天数。

112等量关系：原计划天数=实际天数+4（天）例7 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的32，厂家需付甲、丙两队共5500元． ⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．分析：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为x 天，y 天，z 天，可列出分式方程组．例8 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成．现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？例9 今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？例10 甲乙两人做某种机器零件。

分式培优训练含答案

分式培优训练含答案专训一：分式求值的方法分式的求值是数学方法运用的考查，既要突出式子的化简计算，又要灵活选用方法。

常见的分式求值方法有设参数求值、活用公式求值、整体代入法求值、巧变形法求值等。

直接代入法求值需要先化简，再代入参数求值，例如题目a＋2a÷(a＋1)(a－1)+2/(a－1)，其中a＝5.活用公式求值需要熟悉公式，例如题目x2－5x＋1＝(x2＋3xy＋y2)/(2xy)，求x4＋(x4)/(x2＋3xy＋y2)的值。

整体代入法求值需要将分式整体代入，/(x2y2z2)+4/(x+y+z)＝1，且x＋y＋z≠0，求(x+y)/(z+x)+y/(z+y)的值。

巧变形法求值需要巧妙变形，例如题目4x2－4x＋1＝1/(2x)，求2x＋(2x)/(4x2－4x＋1)的值。

设参数求值需要设定参数，例如题目x2－y2＋/(xy＋yz＋xz)＝2/3，y＋z/x＋z＋x＋y＝4/3，求x/y的值。

专训二：六种常见的高频考点本章主要考查分式的概念、分式有意义的条件、分式的性质及运算，考试中题型以选择题、填空题为主，分式的化简求值主要以解答题的形式出现。

分式方程是中考必考内容之一，一般考查解分式方程，并要求会用增根的意义解题。

考题常以解答题的形式出现，有时也会出现在选择题和填空题中。

分式的概念是指由两个整式相除得到的表达式，分式有意义的条件是分母不能为0.选择题和填空题常考查分式的有、无意义条件。

分式的基本性质包括分式的加减乘除和约分，考试中常以选择题和填空题的形式出现。

1.4x^2 - 2x + 12.分式的有关运算3.下列运算中，正确的个数是(2)4.m^4n^4m^2/n^3 = mnx-y/11 ÷(y-x)/22 = -2mn/(m-n) = n/(m-n)a-b)/(a-2) = 1/25.a-21/2 + 34/a-16.10.计算：(a+1)/(a-2) ÷ 1/(a-1) 的结果是 (B) a-1/a+111.计算：-1/(a+2) + 2/(a^2+2a+2) = -a^2+1/a^2+2a+212.化简：1/(m+1) - 1/(m+2) = -1/(m^2+3m+2)13.(1) (2a^2+2a)/(a-1)^2 + (a-4a^4)/(a-1+a) = (2a^2-2a)/(a-1)2) x^2+2x(1-1/x)/(x-1) = (x+1)/(x-1)选x=3，原式的值为 10/314.先化简：(x^2-1)/(x-1) = x+1整数指数幂15.下列计算正确的是 (B) x^2/x^6 = x^-416.下列说法正确的是 (A) -1/2 + 2 = 3/217.计算(π-3) + (-2)^3 = -1+8 = 718.由2×10^5个直径为5×10^-5cm的圆球体细胞排成的细胞链的长是 5cm19.分式方程 (x+2a)/(x-13) = x-3/(x-3)20.若关于x的方程 (x-1)/(x-2) = 1/a+1 的解为x=3，则a 等于 (C) -221.解分式方程：(x-2)/(x-1) + 1/(x-2) = 1/x，得到 x=322.2x+1/x-3 = 1，得到 x=11.解：原式 = [a/(a+1) + 2/(a-1) - 12/(a+1)(a-1)]，化简后得到 (3a+1)/(a+1)，再代入a=5，得到原式的值为 2/3.2.解：由 x^2 - 5x + 1 = 0，解出x = (5 + √21)/2，代入 x + 1/x = 5，得到 x^2 + 1/x^2 = 23，代入原式，化简得到 (x^2 + 3)/(x^4 + 1) - 2 = 527/4.3.解：将分子化简得到 xy(x+y)/(x+y)^3，代入 x+y=12，xy=9，得到原式的值为 1/8.4.解：将等式两边同时乘以 (x+y+z)，化简得到(xy+yz+zx)/(xyz) + 1 = (x+y+z)/(x+y)(y+z)(z+x)，代入已知条件，化简得到 (x+y+z)/(xy+yz+zx) = 0，所以原式的值为 0.5.解：将等式移项得到 4x^2 - 4x + 1 = 0，化简得到 (2x-1)^2 = 0，解得 x = 1/2，代入原式得到 2.6.解：设k ≠ 0，代入已知条件，解出 x = 2k，y = 3k，z = 4k，代入原式化简得到 2.1.B2.A3.A4.B2.(答案不唯一) a+1/(x+y+z) + y(x+y+z)/(z+x) =(a(x+y+z)+y(x+y+z))/(z+x) = (ax+ay+yz+y^2+z^2)/(z+x)3.26.D4.删除此段落5.解：(1) 原式 = (a+2)(a-2)a+2/[(a-2)(2a-2)] = (a+2)/2(a-2) - 1/(a-2) = (a^2-2)/2(a-2) = -3/2 (a=0) (2) 原式 = (x-11)/[(x-1)(2x-1)] = -1/(2x-1) + 3/(x-1) = (4x-3)/(2x-1)(x-1)6.删除此段落7.解：(1) 最简公分母是15m^2n^2.840n/39m * 2/5mn^2 = -8/13m^2n (2) 最简公分母是(a+1)^2(a-1)。

初中数学分式方程的应用培优训练题(附答案详解)

初中数学分式方程的应用培优训练题（附答案详解）1．在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？2．已知一个长方形的面积为6，它的一边为x ，它的另一边长为y ，周长为p ．（1）填空：（用含x 的代数式表示）① y=__________；② p=__________；（2）当x 值从2增大到a+2时，y 的值减少了2，求增量a 的值；（3）当x=m 时，p 的值为1p ；当1x m =+时，p 的值为2p ，求21p p -的值，并化成最简分式．3．在Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=3cm ，BC=4cm.（1）如图1，点P 从点A 出发，沿AB 匀速运动；点Q 从点C 出发，沿CB 匀速运动.两点同时出发，在B 点处首次相遇.设点P 的速度为xcm/s. 表示点Q 的速度是多少cm/s （用含x 的代数式表示）；（2）在（1）的条件下，两点在B 点处首次相遇后，点P 的运动速度每秒提高了2 cm ，并沿B→C→A 的路径匀速运动；点Q 保持原速度不变，沿B→A→C 的路径匀速运动，如图2.两点在AC 边上点D 处再次相遇后停止运动.又知AD=1cm.求点P 原来的速度x 的值.4．广州市中山大道快速公交（简称BRT ）试验线道路改造工程中，某工程队小分队承担了300米道路的改造任务．为了缩短对站台和车道施工现场实施围蔽的时间，在确保工程质量的前提下，该小分队实际施工时每天比原计划多改造道路20%，结果提前5天完成了任务，求原计划平均每天改造道路多少米？5．如果一辆汽车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度提高80%，那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求该汽车在高速公路上行驶的平均速度是多少千米∕小时？6．近年来，泰州多条动车路线的开通进一步加强了与其他城市的沟通，同时也为市民的出行带来了方便．已知某市到泰州的路程约为900km，一列动车的平均速度比特快列车快50%，所需时间比特快列车少2h，求该列动车的平均速度．7．某工程队接到任务通知，需要修建一段长1800米的道路，按原计划完成总任务的1 3后，为了让道路尽快投入使用，工程队将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务．（1）按原计划完成总任务的13时，已修建道路多少米？（2）求原计划每小时修建道路多少米？8．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，乙工程队工程款1万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用12天；（3）若甲，乙两队合做6天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．9．某单位在疫情期间用3000 元购进A、B 两种口罩1100 个，购买A种口罩与购买B 种口罩的费用相同，且A种口罩的单价是B 种口罩单价的1.2 倍求A，B 两种口罩的单价各是多少元？10．共有1500kg化工原料，由A，B两种机器人同时搬运，其中，A型机器人比B型机器每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，问需要多长时间才能运完？11．甲、乙两火车站相距1200千米，采用“和谐号”动车组提速后，列车行驶的速度是原来的2.5倍，从甲站到乙站的时间缩短了6小时，求列车提速前的速度．12．工程队在完成某项工程的过程中，因提高了工作效率从而缩短了工作时间．经测试：工作时间缩短的百分率是工作效率提高的百分率的2倍，且提高工作效率后的工作量是原来工作量的0.88倍．若完成原来工作量的时间为3小时，求提高工作效率后完成工作量所花的时间．13．A市到B市的距离约为210km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从A市去B市，小刘比小张晚出发1小时，最后两车同时到达B市，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍．（1）求小轿车和大货车的速度各是多少．（列方程解答）（2）当小刘出发时，求小张离B市还有多远．14．阅读材料：一般情形下等式11x y+＝1不成立，但有些特殊实数可以使它成立，例如：x＝2，y＝2时，1122+＝1成立，我们称(2，2)是使11x y+＝1成立的“神奇数对”．请完成下列问题：（1）数对(43，4)，(1，1)中，使11x y+＝1成立的“神奇数对”是；（2）若(5﹣t，5+t)是使11x y+＝1成立的“神奇数对”，求t的值；（3）若(m，n)是使11x y+＝1成立的“神奇数对”，且a＝b+m，b＝c+n，求代数式（a﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c）的最小值．15．某市从今年1月l同起调整居民用水价格，每立方米水费上涨20%．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3．求该市今年居民用水的价格．16．小丽和爸爸进行1200米竞走比赛，爸爸的速度是小丽的1.5倍，小丽走完全程比爸爸多用5分钟，小丽和爸爸每分钟各走多少米？17．某校初二年级的同学乘坐大巴车去展览馆参观，展览馆距离该校12千米，1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达，已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度．18．列方程，解应用题：第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行.与首届相比，第二届进博会的展览面积更大，企业展设置科技生活、汽车、装备等七个展区，展览面积由的270 000平方米增加到330 000平方米.参展企业比首届多了约300家，参展企业平均展览面积增加了12.8%，求首届进博会企业平均展览面积.（1）在解应用题时，我们常借助表格、线段图等分析题目中的数量关系.设首届进博会企业平均展览面积为x平方米，把下表补充完整：第二届330 000（2）根据以上分析，列出方程（不解．．方程）. 19．如图，“主收1号”小麦的试验田是边长为am(a ＞1)的正方形去掉一个边长为1m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a ﹣1)m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg.(1)哪种小麦的单位面积产量高？(2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的3a a+(kg)倍，求a 的值 (3)利用(2)中所求的a 的值，分解因式x 2﹣ax ﹣108＝_____.20．一个分数的分子比分母小6,如果分子分母都加1,则这个分数等于14,求这个分数. 21．设231,24x A B x x =-=--,当x 为何值时A 与B 的值相等． 22．阅读：对于两个不等的非零实数a 、b ，若分式()()x a x b x--的值为零，则x a =或x b =.又因为()()()()2x a x b x a b x ab ab x a b x x x ---++==+-+，所以关于x 的方程ab x a b x+=+有两个解，分别为1x a =，2x b =. 应用上面的结论解答下列问题：(1)方程p x q x+=的两个解分别为12x =-，23x =，则p =_________，q =_________； (2)方程23x x -+=的两个解分别为1x a =，2x b =，求44a b +的值； (3)关于x 的方程222221n n x n x +-+=+的两个解分别为()1212x x x x <、，求122122x x +-的值.23．列分式方程解应用题：从甲地到乙地的路程是15千米，小明骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，小亮骑自行车从甲地出发，结果同时到达，已知小亮的速度是小明速度的3倍，求小明，小亮两人的速度。

专题39 分式方程初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练含解析卷

专题39 分式方程一、解复杂分式方程【典例】计算（1）x 2x+y−x +y ；（2）1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯1(x+2005)(x+2006)．【解答】解：（1）x 2x+y −x +y ，=x 2x+y −x 2−y 2x+y， =y 2x+y ；（2）1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯+1(x+2005)(x+2006)，=1x −1x+1+1x+1−1x+2+⋯+1x+2005−1x+2006， =1x −1x+2006， =2006x(x+2006)．【巩固】实数x 与y 使得x +y ，x ﹣y ，xy ，xy 四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x ，y ）．二、求分式方程的取值范围【典例】若以x 为未知数的方程1x−1−a 2−x=2(a+1)x 2−3x+2无解，则a ＝．【解答】解：去分母得：x ﹣2+a （x ﹣1）＝2（a +1）解得：x =3a+4a+1当a +1＝0即a ＝﹣1时，方程无解．根据题意得：3a+4a+1=1时，解得a =−32；当3a+4a+1=2时，解得：a ＝﹣2故答案是﹣1或−32或﹣2．【巩固】若关于x 的方程k(x−1)x+2k+1x 2+x=1+2kx+1有且只有一个实数根，求实数k 的所有可能值．三、分式方程的应用【典例】为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．（1）求这两种图书的单价分别是多少元？（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？【解答】解：（1）设“文学类”图书的单价为x 元/本，则“科普类”图书的单价为（1+20%）x 元/本，依题意：3600(1+20%)x−20=2700x，解之得：x ＝15．经检验，x ＝15是所列方程的根，且符合题意，所以（1+20%）x ＝18．答：科普类书单价为18元/本，文学类书单价为15元/本；（2）设“科普类”书购a 本，则“文学类”书购（100﹣a ）本，依题意：18a +15（100﹣a ）≤1600，解之得：a ≤1003．因为a 是正整数，所以a 最大值＝33．答：最多可购“科普类”图书33本．【巩固】某工厂急需生产一批健身器械共500台，送往销售点出售．当生产150台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4倍，一共用8天刚好完成任务．（1）原来每天生产健身器械多少台？（2）运输公司大货车数量不足10辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输．已知每辆大货车一次可以运输健身器械50台，每辆车需要费用1500元；每辆小货车一次可以运输健身器械20台，每辆车需要费用800元．在运输总费用不多于16000元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，最低运输费用是多少？巩固练习1．若数a 使关于x 的不等式组{x−12＜1+x3，5x −2≥x +a有且只有四个整数解，且使关于y 的分式方程y+a y−1+2a y−1=1的解为非负数，则符合条件的所有整数a 的和为（）A ．﹣3B ．﹣2C ．1D ．22．若关于x 的方程x +2x =c +2c 的两个解是x ＝c ，x =2c ，则关于x 的方程的x +2x−1=a +2a−1的解是（） A ．a ，2aB ．a ﹣1，2a−1C ．a ，2a−1D ．a ，a+1a−13．已知关于x 的分式方程x x−2−3=k2−x的解为正数，则k 的取值范围是（） A ．k ＞﹣6 B ．k ＞﹣2 C ．k ＞﹣6且k ≠﹣2 D ．k ≥﹣6且k ≠﹣24．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号min {a ，b }表示a ，b 中较小的数，如：min {3，5}＝3．按照这个规定，方程min {﹣2，﹣3}=3x−2−x2−x的解为（） A ．﹣2 B ．﹣3 C ．13D ．345．已知关于x 的方程x−1x−2−x x+1=ax+1x 2−x−2无解，则a 的值为．6．解下列分式方程（1）x x−2−1−x 2(x−3)(x−2)=2xx−3；（2）x+1x−1−4x 2−1=1；（3）y−2y−3=2−13−y．7．如图，某小区有一块长为4a 米（a ＞1），宽为（4a ﹣2）米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为（2a +1）米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的正方形用A 型绿化方案，对正中间的长方形采用B 型绿化方案．（1）用含a 的代数式表示采用A 型绿化方案的四个正方形边长是米，B 型绿化方案的长方形的另一边长是米．（2）请你判断使用A 型，B 型绿化方案的面积哪个少？并说明理由．（3）若使用A 型，B 型绿化方案的总造价相同，均为1350元，每平方米造价高的比低的多540(2a−1)2元，求a 的值．8．两个工程队共同参与一项筑路工程．若先由甲、乙两队合作30天，剩下的工程再由乙队单独做15天可以完成，共需施工费810万元若由甲、乙合作完成此项工程共需36天，共需施工费828万元．（1）求乙队单独完成这项工程需多少天（2）甲、乙两队每天的施工费各为多少万元？（3）若工程预算的总费用不超过840万元，则乙队最少施工多少天？9．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1，2x−3x+1=2x+2−5x+1=2x+2x+1+−5x+1=2+−5x+1，则x+1x−1和2x−3x+1都是“和谐分式”．（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是（填序号）； ①x+1x；②2+x 2；③x+2x+1；④y 2+1y 2（2）将“和谐分式”a 2−2a+3a−1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：a 2−2a+3a−1= + ；（3）应用：先化简3x+6x+1−x−1x÷x 2−1x 2+2x，并求x 取什么整数时，该式的值为整数．10．某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶．甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）．（1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲、乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？专题39 分式方程一、解复杂分式方程【典例】计算（1）x 2x+y−x +y ；（2）1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯1(x+2005)(x+2006)．【解答】解：（1）x 2x+y −x +y ，=x 2x+y −x 2−y 2x+y ，=y 2x+y；（2）1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯+1(x+2005)(x+2006)，=1x −1x+1+1x+1−1x+2+⋯+1x+2005−1x+2006， =1x −1x+2006， =2006x(x+2006)．【巩固】实数x 与y 使得x +y ，x ﹣y ，xy ，xy 四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x ，y ）．【解答】解：由题意知y ≠0，此时x +y ≠x ﹣y ，依题意，有x +y =xy =xy 或x −y =xy =xy ， Ⅰ、当x +y =xy =xy 时，即{x +y =xy ①xy =x y ② 由②得，y ＝±1，将y ＝1代入①得，x +1＝x ，此等式不成立，将y ＝﹣1代入①得，x ﹣1＝﹣x ， ∴x =12，即{x =12y =−1.Ⅱ、当x −y =xy =xy 时，即{x −y =xy(1)xy =xy(2)由（2）得，y ＝±1，将y ＝1代入（1）得，x ﹣1＝x ，此等式不成立，将y ＝﹣1代入（1）得，x +1＝﹣x ， ∴x =−12，即{x =−12y =−1故满足条件的数对（x ，y ）为（12，﹣1）和（−12，﹣1）．二、求分式方程的取值范围【典例】若以x 为未知数的方程1x−1−a 2−x=2(a+1)x 2−3x+2无解，则a ＝．【解答】解：去分母得：x ﹣2+a （x ﹣1）＝2（a +1）解得：x =3a+4a+1当a +1＝0即a ＝﹣1时，方程无解．根据题意得：3a+4a+1=1时，解得a =−32；当3a+4a+1=2时，解得：a ＝﹣2故答案是﹣1或−32或﹣2．【巩固】若关于x 的方程k(x−1)x+2k+1x 2+x=1+2kx+1有且只有一个实数根，求实数k 的所有可能值．【解答】解：k(x−1)x+2k+1x 2+x=1+2kx+1两边同时乘以x （x +1）得：k （x ﹣1）（x +1）+2k +1＝x （x +1）+2kx 整理得：（k ﹣1）x 2﹣（2k +1）x +k +1＝0 （1）当k ＝1时，原方程可变为：﹣3x +2＝0 解得：x =23经检验，x =23是原分式方程的唯一实数根，符合题意．（2）当k ≠1时，关于x 的方程（k ﹣1）x 2﹣（2k +1）x +k +1＝0是一元二次方程， ∵原分式方程有且只有一个实数根， ∴△＝[﹣（2k +1）]2﹣4（k ﹣1）（k +1）＝0解得k =−54将k =−54代入方程得：−94x 2+32x −14=0 解得：x 1＝x 2=13经检验，x =13是原分式方程的唯一实数根，符合题意．当Δ≠0时，则方程必有一个实数根为0或﹣1．把x ＝0代入，可得k ＝﹣1，此时方程为﹣2x 2+x ＝0，解得x ＝0或12，经检验x =12是方程的解．把x ＝﹣1代入，可得k =−14，此时方程为5x 2+2x ﹣3＝0，解得x ＝﹣1或35，经检验x =35是方程的解，综上，实数k 的所有可能值为1或−54或0或﹣1．三、分式方程的应用【典例】为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．（1）求这两种图书的单价分别是多少元？（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？【解答】解：（1）设“文学类”图书的单价为x 元/本，则“科普类”图书的单价为（1+20%）x 元/本，依题意：3600(1+20%)x−20=2700x，解之得：x ＝15．经检验，x ＝15是所列方程的根，且符合题意，所以（1+20%）x ＝18．答：科普类书单价为18元/本，文学类书单价为15元/本；（2）设“科普类”书购a 本，则“文学类”书购（100﹣a ）本，依题意：18a +15（100﹣a ）≤1600，解之得：a ≤1003．因为a 是正整数，所以a 最大值＝33．答：最多可购“科普类”图书33本．【巩固】某工厂急需生产一批健身器械共500台，送往销售点出售．当生产150台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4倍，一共用8天刚好完成任务．（1）原来每天生产健身器械多少台？（2）运输公司大货车数量不足10辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输．已知每辆大货车一次可以运输健身器械50台，每辆车需要费用1500元；每辆小货车一次可以运输健身器械20台，每辆车需要费用800元．在运输总费用不多于16000元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，最低运输费用是多少？【解答】解：（1）设原来每天生产健身器械x 台，则提高工作效率后每天生产健身器械1.4x 台，依题意得：150x+500−1501.4x=8，解得：x ＝50，经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意．答：原来每天生产健身器械50台．（2）设使用m 辆大货车，使用n 辆小货车，∵同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输， ∴50m +20n ≥500， ∴n ≥25−52m ．又∵运输公司大货车数量不足10辆，且运输总费用不多于16000元， ∴{m ＜101500m +800n ≤16000，即{m ＜101500m +800(25−52m)≤16000，解得：8≤m ＜10．又∵m 为整数， ∴m 可以为8，9．当m ＝8时，n ≥25−52m ＝25−52×8＝5；当m ＝9时，n ≥25−52m ＝25−52×9=52，又∵n 为整数， ∴n 的最小值为3． ∴共有2种运输方案，方案1：使用8辆大货车，5辆小货车；方案2：使用9辆大货车，3辆小货车．方案1所需费用为1500×8+800×5＝16000（元），方案2所需费用为1500×9+800×3＝15900（元）． ∵16000＞15900，∴运输方案2的费用最低，最低运输费用是15900元．巩固练习1．若数a 使关于x 的不等式组{x−12＜1+x3，5x −2≥x +a有且只有四个整数解，且使关于y 的分式方程y+a y−1+2a y−1=1的解为非负数，则符合条件的所有整数a 的和为（）A ．﹣3B ．﹣2C ．1D ．2【解答】解：解不等式x−12＜1+x 3，得x ＜5．解不等式5x ﹣2≥x +a ，得x ≥a+24．由不等式组有且仅有4个整数解，得到0＜a+24≤1，解得﹣2＜a ≤2．解分式方程y+a y−1+2a 1−y=2，得y ＝2﹣a （y ≠1，即a ≠1）．∵关于y 的方程y+a y−1+2a 1−y=2的解为非负数，∴2﹣a ≥0， ∴a ≤2，∴满足条件的a 的值为﹣1、0、2，∴满足条件的整数a 的值之和是﹣1+0+2＝1．故选：C ．2．若关于x 的方程x +2x =c +2c 的两个解是x ＝c ，x =2c ，则关于x 的方程的x +2x−1=a +2a−1的解是（） A ．a ，2aB ．a ﹣1，2a−1C ．a ，2a−1D ．a ，a+1a−1【解答】解：x +2x−1=a +2a−1即x ﹣1+2x−1=a ﹣1+2a−1则x ﹣1＝a ﹣1或2a−1解得：x 1＝a ，x 2=2a−1+1=a+1a−1故选：D ． 3．已知关于x 的分式方程x x−2−3=k 2−x 的解为正数，则k 的取值范围是（） A ．k ＞﹣6B ．k ＞﹣2C ．k ＞﹣6且k ≠﹣2D ．k ≥﹣6且k ≠﹣2 【解答】解：分式方程x x−2−3=k 2−x ，去分母得：x ﹣3（x ﹣2）＝﹣k ，去括号得：x ﹣3x +6＝﹣k ，解得：x =6+k 2，由分式方程的解为正数，得6+k 2＞0，且6+k 2≠2，解得：k ＞﹣6且k ≠﹣2．故选：C ．4．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号min {a ，b }表示a ，b 中较小的数，如：min {3，5}＝3．按照这个规定，方程min {﹣2，﹣3}=3x−2−x 2−x 的解为（） A ．﹣2 B ．﹣3C ．13D ．34 【解答】解：由题意：﹣3=3x−2−x 2−x ，两边乘x ﹣2得到：﹣3x +6＝3+x解得：x =34，经检验：x =34是分式方程的解．故选：D ．5．已知关于x 的方程x−1x−2−x x+1=ax+1x 2−x−2无解，则a 的值为．【解答】解：x−1x−2−x x+1=ax+1x 2−x−2，（x +1）（x ﹣1）﹣x （x ﹣2）＝ax +1，∵关于x 的方程x−1x−2−x x+1=ax+1x 2−x−2无解，∴x ﹣2＝0或x +1＝0，把x ＝2代入（x +1）（x ﹣1）﹣x （x ﹣2）＝ax +1中可得：3＝2a +1，解得a ＝1，把x ＝﹣1代入（x +1）（x ﹣1）﹣x （x ﹣2）＝ax +1中可得：﹣3＝﹣a +1，解得a ＝4，∴a 的值为1或4，故答案为：1或4．6．解下列分式方程（1）x x−2−1−x 2(x−3)(x−2)=2x x−3；（2）x+1x−1−4x 2−1=1；（3）y−2y−3=2−13−y ．【解答】解：（1）两边同时乘以（x ﹣2）（x ﹣3）得：x （x ﹣3）﹣（1﹣x 2）＝2x （x ﹣2），解得x ＝1，经检验，x ＝1是原方程的解，∴x ＝1；（2）两边同时乘以（x ﹣1）（x +1）得：（x +1）2﹣4＝（x ﹣1）（x +1），解得x ＝1，经检验，x ＝1是原方程的增根，∴原方程无解；（3）两边同时乘以（y ﹣3）得：y ﹣2＝2（y ﹣3）+1，解得y ＝3，经检验，y ＝3是原方程的增根，∴原方程无解；7．如图，某小区有一块长为4a 米（a ＞1），宽为（4a ﹣2）米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为（2a +1）米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的正方形用A 型绿化方案，对正中间的长方形采用B 型绿化方案．（1）用含a 的代数式表示采用A 型绿化方案的四个正方形边长是米，B 型绿化方案的长方形的另一边长是米．（2）请你判断使用A 型，B 型绿化方案的面积哪个少？并说明理由．（3）若使用A 型，B 型绿化方案的总造价相同，均为1350元，每平方米造价高的比低的多540(2a−1)2元，求a 的值．【解答】解：（1）A 型绿化方案的四个正方形边长是（a −12）米，B 型绿化方案的长方形的另一边长是（2a ﹣1）米；故答案为：（a −12）；（2a ﹣1）；（2）记A 型面积为S A ，B 型面积为S B ，根据题意得：S A ＝4（a −12）2＝4a 2﹣4a +1，S B ＝（2a +1）（2a ﹣1）＝4a 2﹣1， ∴S A ﹣S B ＝﹣4a +2，∵4a ﹣2＞0，∴﹣4a +2＜0，即S A ﹣S B ＜0，则S A ＜S B ；（3）由（2）得S A ＜S B ，∴1350S A −1350S B =540(2a−1)2，即1350(2a−1)2−1350(2a+1)(2a−1)=540(2a−1)2，解得：a ＝2，经检验a ＝2是分式方程的解．8．两个工程队共同参与一项筑路工程．若先由甲、乙两队合作30天，剩下的工程再由乙队单独做15天可以完成，共需施工费810万元若由甲、乙合作完成此项工程共需36天，共需施工费828万元．（1）求乙队单独完成这项工程需多少天（2）甲、乙两队每天的施工费各为多少万元？（3）若工程预算的总费用不超过840万元，则乙队最少施工多少天？【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需x 天，由题意得：136×30+15x=1，解得：x ＝90，经检验x ＝90是分式方程的解；答：乙队单独完成这项工程需90天；（2）设甲队每天的施工费为m 万元，乙队每天的施工费为n 万元，由题意得：{30(m +n)+15n =81036(m +n)=828，解得：{m =15n =8；答：甲队每天的施工费为15万元，乙队每天的施工费为8万元；（3）∵乙队单独完成这项工程需90天，甲、乙合作完成此项工程共需36天， ∴甲队单独完成这项工程的天数为1136−190=60，设乙队施工a 天，甲队施工b 天，由题意得：{a 90+b 60=1①15b +8a ≤840②，由①得：b ＝60−23a ，把b ＝60−23a 代入②得：15×（60−23a ）+8a ≤840，解得：a ≥30，即乙队最少施工30天；答：乙队最少施工30天．9．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1，2x−3x+1=2x+2−5x+1=2x+2x+1+−5x+1=2+−5x+1，则x+1x−1和2x−3x+1都是“和谐分式”．（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是（填序号）；①x+1x ；②2+x 2；③x+2x+1；④y 2+1y 2（2）将“和谐分式”a 2−2a+3a−1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：a 2−2a+3a−1= + ；（3）应用：先化简3x+6x+1−x−1x ÷x 2−1x 2+2x ，并求x 取什么整数时，该式的值为整数．【解答】解：（1）①x+1x =1+1x ，是和谐分式；③x+2x+1=x+1+1x+1=1+1x+1，是和谐分式；④y 2+1y 2=1+1y 2，是和谐分式；故答案为：①③④；（2）a 2−2a+3a−1=a 2−2a+1+2a−1=(a−1)2+2a−1=a ﹣1+2a−1，故答案为：a ﹣1、2a−1；（3）原式=3x+6x+1−x−1x •x(x+2)(x+1)(x−1) =3x+6x+1−x+2x+1=2x+4x+1 =2(x+1)+2x+1＝2+2x+1，∴当x +1＝±1或x +1＝±2时，分式的值为整数，此时x ＝0或﹣2或1或﹣3，又∵分式有意义时x ≠0、1、﹣1、﹣2，∴x ＝﹣3．10．某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶．甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）．（1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲、乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？【解答】解：（1）设扶梯露在外面的部分有x 级，乙每分钟走动的级数为a 级，则甲每分钟走动的级数为2a 级，扶梯每分钟向上运动b 级．由题意得：{242a =x 2a+b ①16a=x a+b ②， ①÷②得：34=a+b 2a+b ，整理得：b ＝2a ，代入②得x ＝48．答：扶梯露在外面的部分有48级；（2）设追上乙时，甲扶梯走了m 遍，楼梯走了n 遍，则乙走扶梯（m ﹣1）遍，走楼梯（n ﹣1）遍．由题意得：48m 4a +48n 2a =48(m−1)3a +48(n−1)a ，整理得：m +6n ＝16，这里m ，n 中必有一个是整数，且0≤m ﹣n ≤1．①若m 为整数，则n =16−m 6，∴{m =1n =52（不合，舍去），{m =2n =73（不合，舍去）{m =3n =136（符合条件）{m =4n =2（不合，舍去）{m =5n =116（不合，以后均不合，舍去） ②若n 为整数，m ＝16﹣6n ，∴{n =1m =10，{n =2m =4，{n =3m =−2⋯，这些均不符合要求，∴{m =3n =136，此时，甲在楼梯上．他已走动的级数是(48m 4a +48n 2a )×2a =24m +48n =72+104=176（级）．。

初中竞赛培优分式方程及其应用

A 卷一、填空题01.用换元法解方程()22611411x x x x -+--+-时，一般令_______=y ，比较适宜。

02.已知方程11x a x a +=+的两个根是a 、1a ，则方程1111x a x a +=+--的根是_______。

03.使分式22251212x x x x ----的值是零时x 的值是_______。

04.若方程21242kx x +=--有增根，则k=_______。

05.方程组117121112x y xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩的解是_______。

06.若24414130b a a -+++=，则2ab=_______。

07.方程()77262623x x x =++++有_______个整数解。

08.若x=1是方程()()231212x x mx x x x +++=----的增根，m=_______。

09.若方程204x kx +=-只有一个根，则k ≠_______。

10.解方程4x 2−2x +2222x x -+=1宜用_______法来解，并且设_______=y 较为合适。

二、解答题 11.若解分式方程22111x m x x x x x++-=++产生增根，求m 的值。

12.解分式方程224727218014x x x x x x+-+-=-+.B 卷一、填空题01．方程2228162214422x x xx x x x -+⎛⎫++= ⎪-+--⎝⎭的解是_______。

02.已知1x -+(xy −2)2=0,则()()()()1111122xy x y x y +++++++ ⋯()()119981998x y +=++_______。

03.使2n 3＋n ＋4能被n −3整除的正整数n 的最大值是_______。

04．方程()2162322141x x x -+=--的解是_______。

05.方程222111011828138x x x x x x ++=+-+---的解是_______。

人教版八年级数学 15.3 分式方程培优训练(含答案)

D．x＋2＝3(2x－1)
5. （2020·昆明）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资 8000 元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了 20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了 4000 元.根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（） A.1600 元 B.1800 元 C.2000 元 D.2400 元
)
A．x＋2＝3
B．x－2＝3
C．x－2＝3(2x－1)
D．x＋2＝3(2x－1)
3. 分式方程x＋x 1＝12的解是(
)
A. x＝1 B. x＝－1 C. x＝2 D. x＝－2
4. 分式方程2x－x 1＋1－22x＝3 时，去分母化为一元一次方程，正确的是(
)
A．x＋2＝3
B．x－2＝3
C．x－2＝3(2x－1)
到原点的距离相等，则 x 的值为
.
15. 拓广应用已知关于 x 的分式方程x＋k 1＋xx－＋1k＝1 的解为负数，则 k 的取值范围是____时，关于 x 的方程a－ax1－x－2 1＝1 的解与方程x－x 4＝3 的解相同．
三、解答题（本大题共 4 道小题） 17. （2020·通辽）解方程： 2 3 ．
x
x 200
去年 A 型车每辆售价为 2 000 元；
（2）设今年新进 A 型车 a 辆，则 B 型车(60－a)辆，获利 y 元.由题意得
y＝(1800－1500)a＋(2400－1800)(60－a)．整理，得 y＝－300a＋36000．∵B 型
车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，∴60－a≤2a，∴a≥20．∵y＝－300a＋
三、解答题（本大题共 4 道小题）

培优专题18 分式方程应用题的常见类型-解析版

专题18 分式方程应用题的常见类型◎类型一：工程问题1．（2022·四川成都·八年级期末）某车间加工1300个零件后，采用了新工艺，工效提升了30%，这样加工同样多的零件就少用10小时．若设采用新工艺前每小时加工x 个零件，则可列方程为（）A ．()1300130010130%x x -=-B ．()1300130010130%x x -=+C ．()1300130010130%x x -=-D ．()1300130010130%x x -=+2．（2022·浙江湖州·七年级期末）某帐篷生产企业承接生产7000顶帐篷的任务，原计划每天生产x 顶，但后因帐篷急需，该企业加大生产投入，提高生产效率，实际每天生产数量提高到原计划的1.4倍，结果提前4天完成任务．根据题意，下面所列方程正确的是（）A ．7000700041.4x x x -=+B ．7000700041.4x x =-C ．7000700041.4x x x -=+D ．7000700041.4x x-=【答案】D3．（2022·甘肃·武威第九中学八年级期末）建筑公司修建一条400米长的道路，开工后每天比原计划多修10米，结果提前2天完成了任务．如果设建筑公司实际每天修x米，那么可得方程是________．4．（2022·江苏泰州·八年级期末）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数比原计划多50%，结果提前4天完成任务，设原计划每天植树x 棵，根据题意列出方程________．5．（2022·河南信阳·八年级期末）在学习“分式方程应用”时，张老师板书了如下的问题，小明和小亮两名同学都列出了对应的方程．15.3分式方程例：有甲乙两个工程队，甲队修路800m与乙队修路1200m所用时间相等，乙队每天比甲队多修40m，求甲队每天修路的长度小明：800120040x x=+小亮：120080040y y-=根据以上信息，解答下列问题：(1)小明同学所列方程中x表示______，列方程所依据的等量关系是________________________________；小亮同学所列方程中y表示______，列方程所依据的等量关系是________________________________；(2)请你在两个方程中任选一个，解答老师的例题．6．（2022·福建·莆田二中八年级期末）甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？【答案】甲每天修路1.5千米，则乙每天修路1千米【分析】可设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x-0.5）千米，则可表示出修路所用的时间，可列分式方程，求解即可；【详解】解：设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x﹣0.5）千米，◎类型二：行程问题（1）基本数量关系：路程=速度×时间（2）常见应用题中的等量关系：①同一路程慢速－同一路程快速＝时间差②顺水速度=船的速度+水速逆水速度=船的速度-水速③一段路程原计划按甲速度行驶完，但行驶途中速度变为乙速度，则：全部路程甲速度＝原计划时间，甲速度行驶路程＋乙速度行驶路程＝全部路程，全部路程甲速度－甲速度行驶路程甲速度－乙速度行驶路程乙速度＝时间差7．（2022·浙江金华·七年级期末）某校组织七年级同学乘坐大巴到金华万福塔开展社会实践活动．该塔距离学校5千米．1号车出发4分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达．已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.5倍，求2号车的平均速度．设1号车的平均速度为x km/h ，可列方程为（）A ．5541.5x x -=B ．5541.5x x -=C ．5541.560x x -=D ．5541.560x x -=8．（2022·辽宁朝阳·中考真题）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km ，一部分学生乘慢车先行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶x km，根据题意，所列方程正确的是（）A．60x﹣601.5x＝3060B．601.5x﹣60x＝3060C．60x﹣601.5x＝30D．601.5x﹣60x＝309．（2022·山西·寿阳县教研室九年级期末）斑马线前“礼让行人”，不仅体现着对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段“A﹣B﹣C”横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12米，在绿灯亮时，小敏共用20秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.5倍，求小敏通过AB时的速度．设小敏通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程为____．10．（2022·浙江浙江·二模）某班同学到距学校12千米的森林公园植树，一部分同学骑自行车先行，半小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度．设自行车的速度为x千米/时，则根据题意可列方程为________．11．（2022·辽宁沈阳·一模）小明家距学校980m．(1)若他从家跑步上学，路上时间不超过490s，请直接写出小明跑步的平均速度至少为______m/s．(2)若他从家出发，先步行了350m后，发现上学要迟到了，因此换骑上了共享单车，达到学校时，全程共花了480s．已知小明骑共享单车的平均速度是步行平均速度的3倍，求小明骑共享单车的平均速度是多少？（转换出行方式时，所需时间忽略不计，假设家到学校随时都有共享单车）．【点睛】本题考查实际运用题的求解，熟练掌握解实际应用题的步骤“设、列、解、答”，读懂题意，找到等量关系列出方程是解决问题的关键．12．（2022·山东潍坊·八年级期末）甲、乙两列高铁列车在不同的时刻分别从北京出发开往上海．已知北京到上海的距离约为1320千米，列车甲行驶的平均速度为列车乙行驶平均速度的43倍，全程运行时间比列车乙少1.5小时，求列车甲从北京到上海运行的时间．◎类型三：打折销售问题总售价=单价×销售量总利润=单价利润×销售量=总售价-总成本1--%100成本售价成本成本售价成本利润利润率==⨯=利润率售价成本+=1利润=成本×利润率=售价-成本价（进价）售价=成本×(1+利润率)=标价×打折数(不打折时，售价=标价)=成本价+利润=成本价×(1+利润率)标价=成本价×(1+提高成数)成本价=售价-利润13．（2022·安徽合肥·七年级期末）母亲节前夕，某花店购进若干束花，很快售完，接着又在原总进价的基础上增加12.5%购进第二批花．已知第二批所购花束数是第一批所购花束数的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少8元，设第一批花束每束的进价为x 元，依据题意可得方程（）A ．1.5112.5%8x x +=-B ．1.512.5%8x x =-C ．1112.5%81.5x x+-=D ．112.5%181.5x x +-=14．（2022·内蒙古巴彦淖尔·八年级期末）某图书馆计划选购甲、乙两种图书，已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．求甲、乙两种图书每本价格分别为多少元，我们设乙图书每本价格为x 元，则可得方程（）A ．8008002.5x x -＝4B ．8008002.5x x -＝24C ．800 2.5800x x ⨯-＝24D ．800800 2.5x x⨯-＝24故答案为A．【点睛】本题主要考查了列分式方程，正确理解等量关系是解答本题的关键．15．（2022·贵州铜仁·八年级期末）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？设乙种消毒液零售价x元/桶，则可立方程为：________．16．（2022·辽宁·沈阳市第七中学八年级阶段练习）某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元．商厦销售这种衬衫时每件定价都是60元，最后剩下200件按7折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利______元．2760000840080000176000=+--=（元）28400∴在这两笔生意中，商厦共盈利28400元．故答案为：28400．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．17．（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校八年级期中）购买甲、乙两种物品，已知乙种物品的单价比甲种物品的单价贵10元，用480元购买乙种物品的数量与用360元购买甲种物品的数量相同，求甲、乙两种物品的单价各是多少元？18．（2022·甘肃·民勤县第六中学八年级期末）列方程解应用题：某商店用2000元购进一批小学生书包，出售后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了2元，结果购买第二批书包用了6600元．(1)请求出第一批每只书包的进价；(2)该商店第一批和第二批分别购进了多少只书包；(3)若商店销售这两批书包时，每个售价都是30元，全部售出后，商店共盈利多少元？【答案】(1)20元(2)第一批购进100只，第二批购进300只(3)3400元【分析】（1）设第一批书包的单价为x元，然后可得到第二批书包的单价，最后依据第二所购书包的数量◎类型四：方案选择问题19．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）某校组织540名学生去外地参观，现有A，B两种不同型号的客车可供选择．在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆．设A型客车每辆坐x人，根据题意可列方程（）A．54015x-﹣540x=6B．540x﹣54015x+=6C．54015x+﹣540x=6D．540x﹣54015x-=620．（2013·山东泰安·九年级期末）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意得A．B．C．D．21．（2020·黑龙江哈尔滨·二模）为了配合新型冠状病毒的防控工作，某社区欲购进一批酒精对社区进行消毒，现有A、B 两种酒精可供选择，B 种酒精比 A 种酒精每瓶贵 2 元，用600 元购买 A 种酒精和用800 元购买B 种酒精的数量相同，现要求出A、B 两种酒精每瓶的价格.设A 种酒精每瓶的价格为x 元，则可列方程为__________．22．（2019·浙江温州·中考模拟）某校组织1080名学生去外地参观，现有A、B两种不同型号的客车可供选择．每辆B型客车的载客量比每辆A型客车多坐15人，若只选择B型客车比只选择A型客车少租12辆（每辆客车均坐满）．设B型客车每辆坐x人，则列方程为_____．23．（2022·江苏·扬州市江都区第三中学八年级阶段练习）某公司有960件新产品需经加工后才能投放市场，现有甲、乙两家工厂都想加工加工这批产品．已知甲工厂单独完成这批产品比乙工厂单独完成这批产品多用20天，而甲工厂每天加工数量是乙工厂每天加工的数量的23，公司需付甲工厂加工费每天80元，需付乙工厂加工费每天120元．(1)甲、乙两工厂每天能加工多少件新产品？(2)公司制定的方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以有两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师进行技术指导，并担负每天25元的午餐补助，请帮公司需出一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．16a+24a＝960∴a＝24∴需要的总费用为：24×（80+120+25）＝5400元综上所述：甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案．24．（2022·浙江舟山·七年级期末）舟山市疫情防控工作领导小组在5月30日发布了常态化核酸检测工作的通知，6月3日起我市居民进入公共场所须凭7天内核酸采样或检测阴性证明．根据文件要求，学生在校期间每周要组织核酸检测一次，某校积极响应，安排校医甲和教师乙进行核酸采集培训．经过培训后，甲采集的速度是乙的两倍，且甲采集52人用时比乙采集30人用时少2分钟．(1)求甲、乙平均每分钟分别采集多少人？(2)该校七年级学生人数比八年级少18人，其中七年级有7个班，每班m人，8八年级有6个班，每班n 人，两名采集员各自用了87分钟完成了七、八年级学生核酸采集工作，求m和n的值；(3)该校教职工70人完成核酸采集后要放入10人试管或20人试管中，在保证每个试管不浪费情况下，有哪几种分装方案？【答案】(1)甲平均每分钟采集4人，乙平均每分钟采集2人；(2)3645 mn=ìí=î(3)有4种方案：①5个10人试管，1个20人试管；②3个10人试管，2个20人试管；③1个10人试管，3个20人试管；④7个10人试管，0个20人试管．【分析】（1）可设乙速度为平均每分钟采集x人，甲为2x人，根据所用的时间可列出方程，解方程即可；（2）根据题意列出关于m，n的二元一次方程组，解方程组即可；（3）设10人试管有x个，20人试管有y个，从而得到10x+20y=70，根据x与y都是正整数，从而可求解．（1）解：设乙速度为平均每分钟采集x人，则甲为每分钟采集2x人，。

培优专题9_分式方程及其应用(含答案)

12、分式方程及其应用【知识精读】1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。

2. 解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。

3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。

【分类解析】5、中考题解：例1．若解分式方程2111x x m x x x x +-++=+产生增根，则m 的值是（） A. --12或 B. -12或 C. 12或 D. 12或-分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。

由题意得增根是：x x ==-01或，化简原方程为：21122x m x -+=+()()，把x x ==-01或代入解得m =-12或，故选择D 。

例2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。

解：设甲班每小时种x 棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，由题意得：60662x x =+ 60120662020222x xx x x +=∴==∴+=经检验：是原方程的根答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。

13、分式总复习【知识精读】分式定义：（、为整式，中含有字母）性质通分：约分：分式方程定义：分母含有未知数的方程。

如解法思想：把分式方程转化为整式方程方法：两边同乘以最简公分母依据：等式的基本性质注意：必须验根应用：列分式方程解应用题及在其它学科中的应用A B A B A M B M M A B A M B M M x x A B B =⨯⨯≠=÷÷≠⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪()()005113【分类解析】1. 分式有意义的应用例1. 若ab a b +--=10，试判断1111a b -+，是否有意义。

培优专题分式方程培优提高经典例题

培优专题分式方程培优提高经典例题分式方程专题例1：去分母法解分式方程1、$63x-216x^{\frac{2}{3}}-2=12$，解得$x=3$2、$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+2}-\frac{4}{x-4}-\frac{1}{x-2}=\frac{x^2+3x+2}{(x-1)(x+2)(x-4)(x-2)}=\frac{1}{1}$，解得$x=-\frac{1}{2},1,3$3、$\frac{2x-7}{x-4}+\frac{4-x}{x+2}-\frac{x+6}{x-2}-\frac{x+5}{x-3}=\frac{1}{x^2+3x+2}=\frac{1}{(x+1)(x+2)}$，解得$x=-3,-1,2,3$例2：整体换元与倒数型换元：1、设$y=x+\frac{1}{x}$，则原方程化为$y+2=6y^2$，解得$y=\frac{1}{2},2$，带回原式得$x=-1,\frac{1}{3}$2、设$y=x-\frac{1}{x}$，则原方程化为$y+\frac{1}{y}=2$，解得$y=1,-1$，带回原式得$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2},0$3、设$y=\frac{x-1}{x}$，则原方程化为$3y-y^2=2$，解得$y=1,-\frac{1}{2}$，带回原式得$x=2,3$例3：分式方程的增根的意义1、若分式方程$\frac{a_1}{x-2}+\frac{2}{x-4}+2=\frac{x+1}{x}$有增根，则$a_1=6$2、关于x的分式方程$\frac{x}{x-1}-\frac{a}{x}=1$无解，则$a=2$3、若关于x的分式方程$\frac{36x+m}{x(x-1)}-1$有根，则$m=0$例4：一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙两车单独运这批货物分别运$2a$次、$a$次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了$180t$；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了$270t$．问：⑴乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍；⑵现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？(按每运$1t$付运费$20$元计算)解：设甲车每次运货物量为$x$，则乙车每次运货物量为$mx$，丙车每次运货物量为$y$，则有$\begin{cases}2ax=180\\ay=2a-x\\my=270\end{cases}$，解得$x=20,m=3,y=8$，故乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的$3$倍，运费分别为$3600$元、$5400$元和$1600$元。

初中数学分式的概念、运算及分式方程培优(含解析)

初中数学分式的概念、运算及分式方程培优考试要求：例题精讲：模块一分式的概念【例1】x为何值时，分式29113xx-++有意义？【解析】根据题意可得：110330xx⎧+≠⎪+⎨⎪+≠⎩，解得3x≠-且4x≠-;如果问：x为何值时，分式29113xx-++值为零，答案为3x=.【答案】3x=【巩固】⑴若分式216(3)(4)xx x--+有意义，则x;⑵若分式216(3)(4)xx x--+无意义，则x;【解析】⑴若分式216(3)(4)xx x--+有意义，则3x≠且3x≠-且4x≠-;⑵若分式216(3)(4)xx x--+无意义，则3x=或3x=-或4x=-；【答案】⑴3x≠且3x≠-且4x≠-；⑵3x=或3x=-或4x=-【例2】解下列不等式：①53xx-<-；②523xx->-【解析】①由题意可知5030xx->⎧⎨-<⎩或者5030xx-<⎧⎨->⎩，解得3x<；5x>，所以原不等式的解集为3x<或5x>；②5203x x -->-，即11303xx ->-，由题意可知113030x x ->⎧⎨->⎩或者113030x x -<⎧⎨-<⎩，解得1133x <<；无解，所以原不等式的解集为1133x <<. 【答案】3x <或5x >；1133x <<．【巩固】⑴解不等式304x x +<- ；⑵解不等式334x x +>- .【解析】 ⑴由题意可知3040x x +>⎧⎨-<⎩或者3040x x +<⎧⎨->⎩,由得34x -<<；无解集，所以原不等式的解集为34x -<<；⑵由题意可知3304x x +->-，15204xx ->-，可得：152040x x ->⎧⎨->⎩或者152040x x -<⎧⎨-<⎩得1542x <<；无解集，所以原不等式的解集为1542x <<. 【答案】34x -<<；1542x <<．模块二分式的运算☞分式的化简求值裂项【例3】设为正整数，求证：. 【解析】，故【答案】【巩固】化简：. 【解析】【答案】2100100x x+n 1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+111111111(1.....)(1)233521212212n n n -+-++-=-<-++1111...1335(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++111111111.........(1)(1)(2)(99)(100)11299100x x x x x x x x x x x x +++=-+-+-++++++++++211100100100x x x x =-=++【巩固】化简：【解析】原式【答案】255x x+【例4】化简：. 【解析】同理，，故.【答案】0【巩固】(第11届希望杯试题)已知，，为实数，且，，，求. 【解析】由已知可知，三式相加得，，故. 【答案】16【巩固】化简：. 【解析】同理，，故【答案】022222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++11111(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)x x x x x x x x x x =+++++++++++++211555x x x x =-=++222()()()()()()a bc b ac c aba b a c b c b a c a c b ---++++++++22()()()()a bc a ac ac bc a ca b a c a b a c a b a c-+--==-++++++2()()b ac b a b c b a b c b a -=-++++2()()c ab c bc a c b c a c b-=-++++2220()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b ---++=++++++a b c 13ab a b =+14bc b c =+15ca c a =+abc ab bc ca++113114115a b b cc a ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩1116a b c ++=1111116abc ab bc ca ab bc ca abc a b c===++++++222222a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++--+--+--+221111()()a b c a b a c a ab ac bc a b a c a b a c a b c a---+-==+=---+------2211b c a b ab bc ac b c a b --=---+--2211c a b c ac bc ab c a b c --=---+--2222220a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++=--+--+--+☞分式的恒等变形部分分式【例5】下面的等式成立：22465()()x y x y x y A x y B -+--=--++，求A 、B . 【解析】2222465()()()()x y x y x y A x y B x y B A x A B y AB -+--=--++=-+--+-，故有4B A -=，6A B +=，所以1A =，5B =.【答案】1A =5B =【巩固】若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积(其中二次项系数均为1，且一次项系数相同)，则p 的最大值是 . 【解析】设原式可分解为22()()x ax m x ax n ++++，展开可得：224322()()2()()x ax m x ax n x ax a m n x a m n x mn ++++=+++++++. 比较等号两边的系数可得：32a m n mn p =⎧⎪+=⎨⎪=⎩，，故22(2)21(1)1p m m m m m =-=-=--≤，最大值为1.【答案】1【例8】若213111a M Na a a -=+--+，求M 、N 的值. 【解析】 2213()()1111a M N M N a M N a a a a -++-=+=--+-，所以31M N M N +=-⎧⎨-=⎩，所以12M N =-⎧⎨=-⎩ 【答案】1,2M N =-=-【巩固】(06年宁波市重点中学提前考试招生试题)已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a ，b .【解析】 22()2()42244a b a b x a b x x x x x +--+==+--- 所以40a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩【答案】2,2a b ==分式恒等证明【例9】求证：()()332222222222a a a ab b a ab b a ab b a ab b a b a b ⎛⎫⎛⎫++--+-=++-+ ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭【解析】左边()()333333333322a b a b a b a a b a a b a b a b a b a b a b -+--⎛⎫⎛⎫-+=--=⋅ ⎪⎪--++-+⎝⎭⎝⎭ ()()33332222a b a b a ab b a ab b a b a b -+=⋅=++-+=-+右边。

【最新】八年级数学人教版上册【能力培优】15.3分式方程(含答案).doc

15.3分式方程专题一解分式方程 1．方程31=的解是．专题二分式方程无解4．关于x 的分式方程211x m x x -=--无解，则m 的值是（）的分式方程专题三列分式方程解应用题7．甲、乙两班学生参加植树造林．已知甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等．若设甲班每天植树x 棵，则根据题意列出方程正确的是（）天完成任务状元笔记【知识要点】1．分式方程分母中含未知数的方程叫做分式方程．2．解分式方程的一般步骤【温馨提示】1．用分式方程中各项的最简公分母乘方程的两边，从而约去分母．但要注意用最简公分母乘方程两边各项时，切勿漏项．2．解分式方程可能产生使分式方程无解的情况，那么检验就是解分式方程的必要步骤．参考答案:3．解：方程两边乘x(x+2)，得错误！未找到引用源。

，解得错误！未找到引用源。

．经检验：错误！未找到引用源。

是原方程的解．4．A 解析：方程两边成x－1，得x－2（x－1）=m，解得x=2－m．∵当x=1时分母为0，方程无解，∴2－m=1，即m=1时，方程无解．故选A．7．B 解析：设甲班每天植树x 棵，则乙班每天植树（x+2）棵，甲班植60棵树所用的天数为x60，乙班植70棵树所用的天数270+x ，可列方程为x 60=270+x ．故选B ． 8．解：设原计划每天种x 棵树，实际每天种树113x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭棵，根据题意，得 4804804113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭．解这个方程，得x=30．经检验x=30是原方程的解且符合题意．答：原计划每天种树30棵．9．解：不能相同．理由如下：设该校购买的乒乓球拍每副x 元，羽毛球拍每副（x ＋14）元，若购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量相同，则1428002000+=x x ，解得x ＝35．经检验x ＝35是原方程的解．但当x ＝35时，74001428002000=+=x x ，不是整数，不合题意．所以购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量不能相同．。

培优专题分式方程及其应用(含答案)

2021年中考数学 尖子生培优训练 分式方程及其应用(含答案)

初中数学分式方程的应用培优训练(精选40道习题 附答案详解)