2019-2020武汉起点考试数学试题
2019年湖北省武汉市部分学校高三上学期起点质量监测数学(文)试题(教师版)
2019～2020学年度武汉市部分学校新高三起点质量监测文科数学一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设11iz i+=-，则z =（ ）A. 0B. 1D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法运算法则化简复数，利用模长定义求得结果.【详解】()()()2111i z i i i +==-+Q 1z∴=本题正确选项：B【点睛】本题考查复数模长的求解，属于基础题.2.已知集合{}2|20A x x x =--≤，{}1B x =>-，则AB =（ ）A. {}|12x x -<<B. {}|12x x x <->或 C. {}|12x x -<≤ D. {}|12x x x ≤-≥或【答案】C 【解析】 【分析】解出集合A ，根据交集的定义得到结果. 【详解】()(){}{}21012A x x x x x =-+≤=-≤≤ {}12A B x x ∴⋂=-<≤本题正确选项：C【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.3.已知双曲线222:116x y E m-=的离心率为54，则双曲线E 的焦距为（） A. 4 B. 5C. 8D. 10【答案】D 【解析】 【分析】通过离心率和a 的值可以求出c ，进而 可以求出焦距。
【详解】有已知可得54c a =，又4a =，5c ∴=，∴焦距210c =，故选：D 。
【点睛】本题考查双曲线特征量的计算，是一道基础题。
4.已知α，β是两个不重合的平面，直线a α⊂，:p a β，:q αβ，则p 是q 的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】通过面面平行的判定定理以及面面平行的性质，可以得到:p a β不能推出:q αβ，:q αβ可以推出:p aβ。
【详解】一个面上有两相交直线都和另一个面平行，则这两个面平行，所以:p a β不能推出:q αβ。
湖北省武汉市东西湖2019-2020学年度上学期第一阶段测试九年级数学试卷
2019—2020学年度上学期九年级第一阶段测试题数学试卷一、选一选，比比谁细心（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列方程是一元二次方程的是（ ）①20t =，②12x x =，③22(2)x x =-，④223x x -=， A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④2．下列对一元二次方程230x x +-=根的情况的判断，正确的是（ ）A ．有两个不相等实数根B ．有两个相等实数根时C ．有且只有一个实数根D ．没有实数根3．抛物线22(1)y x =-的顶点坐标是（ ）A ．()1,0-B ．()1,0C ．()0,1D ．()0,1-4．下列对二次函数2y x x =-的图象的描述，正确的是（ ）A ．开口向下B ．对称轴是y 轴C ．经过原点D ．在对称轴右侧部分是下降的5．已知1x =-是一元二次方程23x mx +=的一个解，则m 的值是（ ）A ．0或2B ．2C ．0D ．2-6．已知方程2325x x -+=的两根分别为1x 、2x ，则12x x +的值是（ ）A ．3B ．3-C ．5D ．5-7．用配方法解方程2304x x --=，下列变形正确的是（ ）A ．21(1)4x -=B ．2112x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．2(1)1x -=D ．21724x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 8．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同数目小分支，支干和小分支总数共90．若设主干长出x 个支干，则所列方程正确的是（ ）A ．2(1)90x +=B ．2190x +=C ．(1)90x x +=D ．1290x x ++=9．无论x 为何值，关于x 的多项式212x x a -++的值都为负数，则常数a 的取值范围是（ ） A ．1a <-B ．12a <-C ．1a <D ．12a < 10．如图，二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，且0a ≠）的图象经过点()1,0A -、()3,0B ，则下列结论：①0abc >；②20a b +=；③4b c >；④对于任意x 均有20ax a bx b -+-≥，正确结论的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填一填，看看谁仔细（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将你的答案写在“________”处）11．方程2x x =的解为_____________．12．篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打21场比赛．设一共有x 个球队参赛，根据题意，所列方程为_______________．13．将抛物线2(1)2y x =-+向左平移1个单位，得到的抛物线与y 轴的交点坐标是______________．14．如果关于x 的一元二次方程210kx +=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是______________．15．当x m =或x n =()m n ≠时，代数式223x x --的值相等，则x m n =+时，代数式223x x -+的值为______________．16．设()f x 表示关于x 的函数，若()()()f m n f m f n mn +=++，且()84f =，那么()5f =_____________．三、解一解，试试谁更棒（本大题共8小题，共72分）17．请按指定的方法解方程，否则不得分．（1）24120x x --=．（配方法）（2）260x x +-=（公式法）（3）3(21)42x x x +=+（因式分解法）18．一个直角三角形的两条直角边的和为14cm ，面积是224cm ，求两条直角边的长．19．在一块长16m 、宽12m 的矩形荒地上，小明要建造一个花园，并使花园所占的面积为荒地面积的一半，其中花园四周小路的宽度都相等，求小路的宽．20．已知二次函数21432y x x =-+．（1）求函数图象顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向；（2）在平面直角坐标系直接画出此函数的图象．21．已知关于x 的一元二次方程2(2)20mx m x -++=．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根．（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．22．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，武汉市某快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司今年每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的20名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能请问至少需要增加几名业务员？23．已知，四边形AOBC 在平面直角坐标系中，点(0,3)A a ，(,5)C b ，且CB x ⊥轴于点B ．图（1） 图（2）（1）如图1，若a 、b 是方程2760x x -+=的两根，且a b <．①求点A ，C 两点的坐标；②若点M 从O 点开始以每秒1个单位的速度向点B 运动，同时点N 从B 点开始以每秒2个单位的速度向点C 运动，当一个点停止运动时另一个点也随之停止运动，连接AM ，AN ，MN ，当AMN ∆的面积最小时，求点M 的坐标；（2）如图2，若2a =，点P 是线段OB 边上一动点，若90APC ∠=︒，并且这样的点P 有且只有一个，求OB 的长．24．已知二次函数2y x bx c =++（b 、c 为常数）（1）当2b =，3c =-时，求二次函数的最小值；（2）当5c =时，且函数值1y =的情况下，自变量x 有唯一的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（3）当2c b =时，若在自变量x 的值满足3b x b ≤≤+的情况下，与其对应函数值y 的最小值为21，求此时二次函数的解析式．参考答案一、选一选比比谁细心1-5：CABCD 6-10：ABCBC二、填一填，看看谁仔细11．10x =，211x =12．1(1)212x x ⋅-= 13．()0,2 14．1122k -≤<且0k ≠ 15．3 16．5-三、解一解，试试谁更棒（本大题共8小题，共72分）17．（1）12x =-，26x =：（2）13x =-，22x =（3）112x =-，223x = 18．解：设直角三角形一条直角边的长为xcm ，则另一条直角边长为()14x cm -．根据题得1(14)242x x -= 解之得16x =，28x =(14)8x ∴-=或6答：直角三角形的两条边分别为6cm 和8cm ．19．解：设小路宽为xm ，由于花园四周小路的宽度相等 则根据题意，可得1(162)(122)16122x x --=⨯⨯， 即214240x x -+=，解之得12x =，212x =，由于矩形荒地的宽是12m ，故舍去12x =答：花园四周小路宽为2m ．20．解：（1）配方，得21(4)52y x =-- 102a =>，∴图象的开口向上， 对称轴为4x =，顶点坐标为()4,5-（2）函数的图象如下：图象主要看四点一线的大致位置，顶点坐标用公式求的，参照给分．21解及证：（1）2(2)8m m ∆=+- 244m m =-+()22m =-不论m 为何值时，()220m -≥ 0∴∆≥ ∴方程总有实数根；（2）解方程得，2(2)2m m x m+±-= 12x m=；21x =，方程有两个不相等的正整数根1m ∴=或2，2m =不合题意舍去，1m ∴=．22．解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x ，根据题意得210(1)12.1x +=解得10.1x =，2 2.2x =-（不合题意舍去）答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%．（2）今年6月份的快递投递任务是12.1(110%)13.31⨯+=（万件）平均每人每月最多可投递0.6万件，20∴名快递投递业员能完成的快递投递任务是：0.6201213.31⨯=<∴该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务∴需要增加业务员11(13.3112)0.62360-÷=≈（人）． 答：该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递业务，至少需要加3名业务员．23．解：（1）①解2760x x -+=．可得，11x =，26x = a 、b 是方程2760x x -+=的两根，且a b <1a ∴=，6b =A ，C 两点的坐标为()0,3A ，()6,5C ．②设运动时间为t 秒，则(),0M t ，()6,2N t ，AOM NBM A MN OBN A S S S S ∆∆∆=--梯形111(32)632(6)222t t t t =+⋅-⨯⋅-⋅- 223313592416t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ 又502t ≤≤，∴当34t =时，13516AMN S ∆=最小值，此时3,04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）2a =，6OA ∴=，设OP x =，过C 作CH OA ⊥于H ，在Rt AHC ∆中，CH OB b ==，可求出221AC b =+，在Rt AOP ∆、Rt CBP ∆、Rt AHC ∆中分别用勾股定理得222226()51x b x b ++-+=+．化间得2300x bx -+=，根据题意得0∆=，即241300b -⨯⨯=．1b ∴=2b =-即OB =24．解：（1）2223(1)4y x x x =+-=+-当1x =-时，y 有最小值为4-（2）当5c =时，25y x bx =++令1y =，则251x bx ++=，整理得240x bx ++=．函数值1y =的情况下，只有一个自变量x 的值与其对应（相切的意义） 2160b ∴∆=-=，解得4b =±245y x x ∴=++或245y x x =-+．（3）当2c b =，则22y x bx b =++ 10a =>∴抛物线开口向上抛物线的对称轴为2b x =-． ①当2b b -<即0b > 在3b x b ≤≤+时，y 随着x 的增大而增大当x b =时，2max 321y b ==，b =②当32b b b ≤-≤+时，即20b -≤≤ 当2b x =-时，2min 3214y b ==b =± ③当32b b ->+时，即2b <- 在3b x b ≤≤+时，y 随x 的增大而减小当3x b =+时，2min 39921y b b =++=，解得14b =-，21b =（舍去）综上所述：b =4b =-∴二次函数的解析式为27y x =+或2416y x x =-+．此问属于对称轴和区间同时在动，但解题方法没有变，只不过抽象了一点答案如有错误，请自己改正一下。
2019~2020学年度武汉市部分学校九年级质量检测数学试卷
2019~2020学年度武汉市部分学校九年级质量检测数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．将一元二次方程5x 2－1＝4x 化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ） A ．5、－1B ．5、4C ．5、－4D ．5、12．下列四张扑克牌的牌面，不是中心对称图形的是（ ）3．抛物线y ＝2x 2与y ＝－2x 2相同的性质是（ ） A ．开口向下B ．对称轴是y 轴C ．有最低点D ．对称轴是x 轴4．一个不透明的袋子中只有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ） A ．至少有1个球是黑球 B ．至少有1个球是白球 C ．至少有2个球是黑球D ．至少有2个球是白球 5．已知⊙O 的半径等于3，圆心O 到点P 的距离为5，那么点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 外C ．点P 在⊙O 上D ．无法确定6．要将抛物线y ＝x 2平移后得到抛物线y ＝x 2＋2x ＋3，下列平移方法正确的是（ ）A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位7．如图，将△ABC 绕顶点C 逆时针选择角度α得到△A ′B ′C ，且点B 刚好落在A ′B ′上．若∠A ＝28°，∠BCA ′＝43°，则α等于（ ） A ．36°B ．37°C ．38°D ．39°8．小明上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红灯、绿灯的可能性都相等．他上学经过三个路口时，不全是红灯的概率是（ ） A ．83B ．21 C ．85 D ．87 9．如果m 、n 是一元二次方程x 2＋x ＝4的两个实数根，那么多项式2n 2－mn －2m 的值是（ ） A ．16B ．14C ．10D ．610．如图，△ABC 的两个顶点A 、B 在半径是3的⊙O 上，∠A ＝60°，∠B ＝30°．若固定点A ，点B 在⊙O 上运动，则OC 的最小值是（ ） A ．233- B ．23C ．33D ．4132-二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．在平面直角坐标系中，点P (1，2)关于原点对称的点的坐标是___________12．一个盒中有10枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中．不断重复上述过程，一共取了300次，其中有100次取到黑棋子，由此估计盒中约有___________枚白棋子13．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠BOD ＝100°，∠BCD ＝_________°14．为响应全民阅读活动，某校面向社会开放图书馆．自开放以来，进馆人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆872人次．若进馆人次的月增长率相同，为求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x ，依题意可列方程为______________________________15．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （c ＜0）的图像开口向上，对称轴为直线x ＝1，下列结论中一定正确的是____________（填序号即可）① b ＜0；② 4a ＋2b ＋c ＜0；③ a ＋c ＞b ；④ a ＋b ≤t (at ＋b )（t 是一个常数）16．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的周长，进而确定圆周率．某圆的半径为R ，其内接正十二边形的周长为C ．若R ＝26+，则C ＝________，RC2≈_________（结果精确到0.01，参考数据：449.26≈，414.12≈） 三、解答题（共8题，共72分）17．（本题8分）若关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0有两个相等的实数根，求m 的值及此时方程的根18．（本题8分）如图，A 、B 、C 三点在半径为1的⊙O 上，四边形ABCO 是菱形，求AC 的长19．（本题8分）在5件同型号的产品中，有1件不合格和4件合格品 (1) 从这5件产品中随机抽取1件，直接写出抽到合格品的概率 (2) 从这5件产品中随机抽取2件，求抽到的都是合格品的概率20．（本题8分）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）(1) 如图1，P 是平行四边形ABCD 边上一点，过点P 画一条直线把这个四边形分成面积相等的两部分(2) 如图2，五边形ABCDE 是正五边形，画一条直线把这个五边形分成面积相等的两部分 (3) 如图3，△ABC 的外接圆的圆心是点O ，D 是AC 的中点，画一条直线把△ABC 分成面积相等的两部分21．（本题8分）如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，AC 是⊙O 的直径，AC ＝AP ，连接OP 交AB 于点D ，连接PC 交⊙O 于点E ，连接DE (1) 求证：△ABC ≌△PDA (2) 求DEBD的值22．（本题10分）某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x 天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为20元/件，设销售该商品的日销售利润为y 元(1) 求y 与x 的函数关系式(2) 问销售该商品第几天时，日销售利润为2250元(3) 问在当月有多少天的日销售利润不低于2400元，请直接写出结果23．（本题10分）问题背景：如图1，在四边形ABCD 中．若BC ＝CD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，则AC 平分∠BAD ．小明为了证明这个结论，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，请帮助小明完成他的作图迁移应用：如图2，在五边形ABCDE 中，∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝BC ，AE ＋CD ＝DE ，求证：BD 平分∠CDE联系拓展：如图3，在AC ＝BC ，若点D 满足AD ＝1310AB ，BD ＝AB ，点P 是AD 的中点，直接写出ABPC的值24．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，圆心为P (x ，y )的动圆经过点A (m ，2m ＋4) （m ＞－2），且与x 轴相切于点B ，y 与x 之间存在一种确定的函数关系，其图像是一条常见 的曲线，记作曲线F (1) 如图1 ① y ＝23时，直接写出⊙P 的半径 ② 当m ＝－1，x ＝－2时，直接写出⊙P 的半径 (2) 求曲线F 最低点的坐标（用含有m 的式子表示） (3) 如图2，若曲线F 最低点总在直线y ＝21x ＋3的下方，点C (－2，y 1)，D (1，y 2)都在曲线F 上，试比较y 1与y 2的大小。
2019—2020学年度武汉市部分学校九年级调研测试数学试卷(含答案)
2019—2019—2020学年度武汉市部分学校九年级调研测试数学试卷(含答案)考试时间：2019年1月17日14：00~16：00一、选择题（共10小题；每小题3分；共30分）1．将下列一元二次方程化成一般形式后；其中二次项系数是3；一次项系数是－6；常数项是1的方程是（ ）A ．3x 2＋1＝6xB ．3x 2－1＝6xC ．3x 2＋6x ＝1D ．3x 2－6x ＝12．下列图形中；是中心对称图形的是（ ）3．若将抛物线y ＝x 2先向右平移1个单位长度；再向上平移2个单位长度；就得到抛物线（ ）A ．y ＝(x －1)2＋2B ．y ＝(x －1)2－2C ．y ＝(x ＋1)2＋2D ．y ＝(x ＋1)2－24．投掷两枚质地均匀的骰子；骰子的六个面上分别刻有1到6的点数；则下列事件为随机事件的是（ ）A ．两枚骰子向上一面的点数之和大于1B ．两枚骰子向上一面的点数之和等于1C ．两枚骰子向上一面的点数之和大于12D ．两枚骰子向上一面的点数之和等于125．已知⊙O 的半径等于8 cm ；圆心O 到直线l 的距离为9 cm ；则直线l 与⊙O 的公共点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定6．如图；“圆材埋壁”和我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材；埋在壁中；不知大小；以锯锯之；深一寸；锯道长一尺；问径几何”用几何语言可表述为：CD 为⊙O 的直径；弦AB ⊥CD 于点E ；CE ＝1寸；AB ＝10寸；则直径CD 的长为（ ）A ．12．5寸B ．13寸C ．25寸D ．26寸7．假定鸟卵孵化后；雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果3枚鸟卵全部成功孵化；那么3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是（ ）A ．61B ．83C ．85D ．32 8．如图；将半径为1；圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转一个角度；使点O 的对应点D 落在弧AB 上；点B 的对应点为C ；连接BC ；则图中CD 、BC 和弧BD 围成的封闭图形面积是（ ）A ．63π-B ．623π-C ．823π-D ．33π- 9．古希腊数学家欧几里得的《几何原本》记载；形如x 2＋ax ＝b 2的方程的图解法是：如图；画Rt △ABC ；∠ACB ＝90°；BC ＝2a ；AC ＝b ；再在斜边AB 上截取BD ＝2a ；则该方程的一个正根是（ ） A ．AC 的长 B ．BC 的长 C ．AD 的长 D ．CD 的长10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0）的对称轴为x ＝－1；与x 轴的一个交点为(2；0)．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝p （p ＞0）有整数根；则p 的值有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题（本大题共6个小题；每小题3分；共18分）11．已知3是一元二次方程x 2＝p 的一个根；则另一根是___________．12．在平面直角坐标系中；点P 的坐标是(－1；－2)；则点P 关于原点对称的点的坐标是_____．13．一个口袋中有3个黑球和若干个白球；在不允许将球倒出来数的前提下；童威为估计其中的白球数；采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球；记下颜色；然后把它放回口袋中；摇匀后再随机摸出一球；记下颜色……；不断重复上述过程；童威共摸了100次；其中20次摸到黑球；根据上述数据；可估计口袋中的白球大约有___________个．14．第七届世界军人运动会将于2019年10月18日至27日在中国武汉矩形；小郑幸运获得了一张军运会吉祥物“兵兵”的照片．如图；该照片（中间的矩形）长29 cm 、宽为20 cm ；她想为此照片配一个四条边宽度相等的镜框（阴影部分）；且镜框所占面积为照片面积的41．为求镜框的宽度；他设镜框的宽度为x cm ；依题意列方程；化成一般式为____________________．15．如图是抛物线型拱桥；当拱顶离水面2 m 时；水面宽4 m ．水面下降2．5 m ；水面宽度增加___________m ．16．如图；正方形ABCD 的边长为4；点E 是CD 边上一点；连接AE ；过点B 作BG ⊥AE 于点G ；连接CG 并延长交AD 于点F ；则AF 的最大值是___________．三、解答题（共8题；共72分）17．（本题8分）解方程：x 2－3x －1＝0．18．（本题8分）如图；A 、B 、C 、D 是⊙O 上四点；且AD ＝CB ；求证：AB ＝CD ．19．（本题8分）武汉的早点种类丰富；品种繁多；某早餐店供应甲类食品有：“热干面”、“面窝”、“生煎包”、“锅贴饺”（分别记为A 、B 、C 、D ）；乙类食品有：“米粑粑”、“烧梅”、“欢喜坨”、“发糕”（分别记为E 、F 、G 、H ）；共八种美食．小童和小郑同时去品尝美食；小童准备在“热干面”、“面窝”、“米粑粑”、“烧梅”（即A 、B 、E 、F ）这四种美食中选择一种；小郑准备在“生煎包”、“锅贴饺”、“欢喜坨”、“发糕”（即C 、D 、G 、H ）这四种美食中选择一种；用列举法求小童和小郑同时选择的美食都会甲类食品的概率．20．（本题8分）如图；在边长为1的正方形网格中；A (1；7)、B (5；5)、C (7；5)、D (5；1)．(1) 将线段AB 绕点B 逆时针旋转；得到对应线段BE ．当BE 与CD 第一次平行时；画出点A 运动的路径；并直接写出点A 运动的路径长；(2) 线段AB 与线段CD 存在一种特殊关系；即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段；直接写出这个旋转中心的坐标．21．（本题8分）如图；在四边形ABCD中；AD∥BC；AD⊥CD；AC＝AB；⊙O为△ABC的外接圆(1) 如图1；求证：AD是⊙O的切线；(2) 如图2；CD交⊙O于点E；过点A作AG⊥BE；垂足为F；交BC于点G．①求证：AG＝BG；②若AD＝2；CD＝3；求FG的长．22．（本题10分）某商家销售一种成本为20元的商品；销售一段时间后发现；每天的销量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足一次函数关系；并且当x＝25时；y＝550；当x＝30时；y＝500．物价部门规定；该商品的销售单价不能超过48元/件．(1) 求出y与x的函数关系式；(2) 问销售单价定为多少元时；商家销售该商品每天获得的利润是8000元？(3) 直接写出商家销售该商品每天获得的最大利润．23．（本题10分）如图；等边△ABC与等腰三角形△EDC有公共顶点C；其中∠EDC＝120°；AB＝CE ＝62；连接BE；P为BE的中点；连接PD、AD．(1) 为了研究线段AD与PD的数量关系；将图1中的△EDC绕点C旋转一个适当的角度；使CE与CA重合；如图2；请直接写出AD与PD的数量关系；(2) 如图1；(1)中的结论是否仍然成立？若成立；请给出证明；若不成立；请说明理由；(3) 如图3；若∠ACD＝45°；求△P AD的面积．24．（本题12分）如图；在平面直角坐标系中；抛物线y＝x2＋(1－m)x－m交x轴于A、B两点（点A在点B的左边）；交y轴负半轴于点C．(1) 如图1；m＝3．①直接写出A、B、C三点的坐标；②若抛物线上有一点D；∠ACD＝45°；求点D的坐标．(2) 如图2；过点E(m；2)作一直线交抛物线于P、Q两点；连接AP、AQ；分别交y轴于M、N两点；求证：OM·ON是一个定值．。
武汉市部分重点中学2020届新高三起点考试数学(理)试题(PDF版有答案)
湖北省部分重点中学2019-2020学年度上学期新高三起点考试理科数学参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.全集U=R，A={)1(log |2018-=x y x },B={84|2++=x x y y },则 A （）A.[1,2]B.[1,2)C.(1,2]D.(1,2)【解析】D 略2.y x ,互为共轭复数，且i xyi y x 643)(2-=-+，则=+||||y x A.2 B.22 C.1 D.4【解析】选B 设,x a bi y a bi =+=-，代入得()()2222346a a b i i -+=-，所以()()22224,36a a b =+=，解得1,1a b ==，所以22x y +=.3.是表示空气质量的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地3月1日到12日指数值的统计数据，图中点A 表示3月1日的指数值为201．则下列叙述不正确．．．的是（）A.这12天中有6天空气质量为“优良”B.这12天中空气质量最好的是4月9日C.这12天的指数值的中位数是90.5D.从3月4日到9日，空气质量越来越好【答案】C【详解】由3月1日到12日指数值的统计数据，指数值不大于100的共有6天，故A 正确；由3月1日到12日指数值的统计数据，4月9日的指数值为67，空气质量最好，故B 正确；由3月1日到12日指数值的统计数据，这12天的指数值的中位数是90，故C 错误；由3月1日到12日指数值的统计数据，从3月4日到9日，指数值逐渐变小，空气质量越来越好，故D 正确.故选C.4.下列说法中，正确的是（）A.命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题B.命题“存在2000,0x R x x ∈->”的否定是“对任意的2,0x R x x ∈-≤”C.命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D.已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件答案：B 5.已知2121,21ln -==e x x ，3x 满足33ln x e x -=，则（）A.123x x x << B.132x x x << C.213x x x << D.312x x x <<【答案】A 解：∵0x e ->；∴3ln 0x >；∴31x >；又1021ln ln10,012e e -<=<<=；∴123x x x <<．故选：A ．6．函数f(x)＝e x ＋1x （1－e x ）(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为(A)【解】当x>0时，e x >1，则f(x)<0；当x<0时，e x <1，则f(x)<0，所以f(x)的图象恒在x 轴下方，选A.7.已知向量与的夹角为，=2，=5，则在方向上的投影为()A. B. C. D.【答案】B 【解】∵=2，=5，向量与的夹角为，∴，∴在方向上的投影为．8．函数f(x)＝2x －14的图象的一个对称中心的坐标是(A)【解析】f(x)＝2x －14＝32cos 2x ＋12sin 2x sin 2x －14＝32sin 2xcos 2x ＋12sin 22x －14＝34sin 4x ＋12·1－cos 4x 2－14＝12sin令4x －π6＝k π，求得x ＝k π4＋π24，＋π24k ∈Z ，当k ＝1时，故选A.9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是__________．A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】2222223412log log log ......log log 34522n S n n +=++++=++，当22log 22n =-+时，6n =，7n =时，2S <-，此时18n n =+=，故填：8.10.如图，点为双曲线的右顶点，点为双曲线上一点，作轴，垂足为，若为线段的中点，且以为圆心，为半径的圆与双曲线恰有三个公共点，则的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】A【详解】由题意可得A （a ，0），A 为线段OB 的中点，可得B （2a ，0），令x ＝2a ，代入双曲线的方程可得y ＝±b ，可设P （2a ，b ），由题意结合图形可得圆A 经过双曲线的左顶点（﹣a ，0），即|AP |＝2a ，即有2a，可得a ＝b ，e ，故选：A ．10.在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且，若，则tanB 的值为（）A.31- B.31 C.3- D.3【答案】-3【详解】∵，∴,即，又，由余弦定理可得,解得，,,解得,故答案为-3.11.如图，在四棱锥中，顶点在底面的投影恰为正方形的中心且，设点分别为线段、上的动点，已知当取最小值时，动点恰为的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】B 【分析】在上取与点对应的点，显然当为的中点时，，计算棱锥的高，利用勾股定理计算出球的半径，进而可得出结果.【详解】在上取点，使得，则，当时，取得最小值，即的最小值为，因为此时，恰为的中点，所以，因此，，设外接球的半径为，则，解得，因此，外接球的表面积为.故选B二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在的展开式中的系数为_____.【答案】-8414.已知实数x ，y 满足210102x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪<⎩，则2z x y =-的取值范围是______．【答案】[0,5)【详解】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，做直线:20l x y -=，平移l 可知过C 时z 最小，过B 时z 最小，联立21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得C 12,33⎛⎫⎪⎝⎭，同理B(2,-1)即z 的取值范围是[0,5).15.已知点()0,1A ，抛物线()2:0C y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M，延长FA ，,与抛物线C 的准线相交于点N ，若:1:2FM MN =，则实数a 的值为______．【答案】433【详解】依题意得焦点F 的坐标为,04a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过M 作抛物线的准线的垂线且垂足为K ，连接MK ，由抛物线的定义知MF MK =，因为||:||1:2FM MN =，所以||:||3:1KN KM =，又01404FN k a a -==--，N ||3||F KN k KM =-=，所以43a -=，解得433a =.故答案为43316.设函数，若函数有4个零点，则的取值范围为______．【答案】【详解】由题意可知，函数的定义域，，即，∴函数为偶函数，若函数有4个零点，即函数在有2个零点，当x＞0时，,易知：函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，且时，，故只需：的最小值∴，解得∴的取值范围为.故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文明说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17．(本题满分12分)已知数列是等比数列，为数列的前项和，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，且为递增数列，若，求证：.【答案】（1）或.（2）详见解析【解析】（1）设数列的公比为，当时，符合条件，，，当时，，所以，解得，.，综上：或.注：列方程组求解可不用讨论.（2）证明：若，则，与题意不符；，，，.18.(本题满分12分)在五边形AEBCD中，，C，，，（如图）.将△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，线段AB的中点为O(如图）.（1）求证：平面ABE⊥平面DOE；（2）求平面EAB与平面ECD所成的锐二面角的大小.【答案】（1）见解析（2）45°【详解】（1）由题意，O是线段AB的中点，则.又，则四边形OBCD为平行四边形，又，则，因，，则.，则AB⊥平面EOD.又平面ABE，故平面ABE⊥平面EOD.（2）由（1）易知OB，OD，OE两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，△EAB为等腰直角三角形，且AB=2CD=2BC，则，取，则O（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1），则，，设平面ECD的法向量为，则有取，得平面ECD的一个法向量，因OD⊥平面ABE.则平面ABE的一个法向量为，设平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为θ，则，因为，所以，故平面ECD与平面ABE所成的镜二面角为45°.19．(本题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝22，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线x ＋y －2＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同的交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【解析】(1)由椭圆的离心率e ＝22，得c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝12，得b ＝c.上顶点为(0，b)，右焦点为(b ，0)，以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程为x －b 22y －b 22a 2＝b 22，∴|b －2|2＝22b ，即|b －2|＝b ，得b ＝c ＝1，a ＝2，∴椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1..........................5分(2)椭圆C 上不存在这样的点Q ，理由如下：设直线的方程为y ＝2x ＋t ，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，P x 3，53Q(x 4，y 4)，MN 的中点为D(x 0，y 0)，y ＝2x ＋t ，x 22＋y 2＝1，消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0，所以y 1＋y 2＝2t9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)＞0，....7分故y 0＝y 1＋y 22＝t9，且－3＜t ＜3.由PM →＝NQ →，得x 1－x 3，y 1－53＝(x 4－x 2，y 4－y 2)，所以有y 1－53＝y 4－y 2，y 4＝y 1＋y 2－53＝29t －53..........................9分(也可由PM →＝NQ →知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此，D 也为线段PQ 的中点，所以y 0＝53＋y 42＝t 9，可得y 4＝2t －159.)又－3＜t ＜3，所以－73＜y 4＜－1，.........................11分与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1，1]矛盾．故椭圆C 上不存在这样的点Q.12分20.(本题满分12分)为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅单位（一套住宅为一户）.阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围（度）某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：（1）若规定第一阶梯电价每度元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度元，第三阶梯超出第二阶梯每度元，式计算居民用电户用电度时应交电费多少元？（2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的用户数的分布与期望；（3）以表中抽到的10户作为样本估计全是居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到户用电量为第一阶梯的可能性最大，求的值.【答案】（1）227元（2）（3）【解析】分析：（1）10户共有3户为第二阶梯电量用户，所以可取0,1,2,3，分别求其概率，即可列出分布列，计算期望；（2）由题意抽到的户数符合二项分布，设抽到K 户概率最大，解不等式组，再根据即可求出.试题解析：（1）元设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有3户，则可取0,1,2,3居民用电编号12345678910用电量（度）538690124132200215225300410故的分布列是123所以可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足，可知,解得，所以当时，概率最大，所以21.(本题满分12分)已知函数（为自然对数的底数，为常数，并且）.（1）判断函数在区间内是否存在极值点，并说明理由；（2）若当时，恒成立，求整数的最小值.【答案】（1）无极值点；（2）0.【详解】（1），令，则f'（x）＝e xg（x），恒成立，所以g（x）在（1，e）上单调递减，所以g（x）＜g（1）＝a﹣1≤0，所以f'（x）＝0在（1，e）内无解．所以函数f（x）在区间（1，e）内无极值点．（2）当a＝ln2时，f（x）＝e x（﹣x+lnx+ln2），定义域为（0，+∞），，令，由（Ⅰ）知，h（x）在（0，+∞）上单调递减，又，h（1）＝ln2﹣1＜0，所以存在，使得h（x 1）＝0，且当x∈（0，x 1）时，h（x）＞0，即f'（x）＞0，当x∈（x 1，+∞）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0．所以f（x）在（0，x 1）上单调递增，在（x 1，+∞）上单调递减，所以．由h（x 1）＝0得，即，所以，令，则恒成立，所以r（x）在上单调递增，所以，所以f（x）max ＜0，又因为，所以﹣1＜f（x）max ＜0，所以若f（x）＜k（k∈Z ）恒成立，则k 的最小值为0．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做和，则按所做的第一题记分。
湖北省武汉市部分重点中学2020学年度新高三起点考试数学试卷(理科)
湖北省武汉市部分重点中学2020学年度新高三起点考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知n 为等差数列Λ,0,2,4--中的第8项，则二项式nxx )2(2+展开式中常数项是（ ）A ． 第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项 2．设),(~p n B ξ，3=ξE ，49=ξD ，则n 与p 的值为（ ）A ．41,12==p nB ．43,12==p n C ．41,24==p nD ．43,24==p n 3．下列电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的必要不充分条件的是 （ ）4．下列函数在x ＝0处连续的是 （ ）A ．f （x ）＝⎩⎨⎧>-≤-.0,1,0,1x x x B ．f （x ） ＝lnxC ．f （x ）＝xx || D ．f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧<=>-.0,1,0,0,0,1x x x5．已知函数ba b f a f x f x f x11,4)()()(2)(111+=+=---则满足的反函数的最小值为（ ）A ．1B ．31 C ．21 D ．41 6．ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边长分别是c b a ,,，设向量),sin ,(C b a +=)sin sin ,3(A B c a -+=，若//，则角B 的大小为 （ ）A ．6π B ．65π C ．3π D ．32π 7．如果以原点为圆心的圆经过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点，而被该双曲线的右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，则该双曲线的离心率等于 （ ）A ．5B ．25 C ．3 D ． 28．有两个同心圆，在外圆周上有相异6个点，内圆周上有相异3个点，由这9个点决定的直线至少有 （ ） A ．36条 B ．30条 C ．21条 D ．18条9．记满足下列条件的函数f （x ）的集合为M:当|x 1|≤1,|x 2|≤1时, |f （x 1）－f （x 2）|≤4|x 1－x 2|．若有函数g （x ）＝x 2＋2x －1, 则g （x ）与M 的关系是（ ） A ．g （x ）⊂M B ．g （x ）∈M C ．g （x ）∉M D ．不能确定 10．已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[]b a ,),(z b a ∈值域是[0，1]，则满足条件的整数数对),(b a 共有 （ ） A ．2个 B ．5个 C ．6个 D ．无数个二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应的位置上） 11．已知某人投篮的命中率为34，则此人投篮4次，至少命中3次的概率是 。
理)试题金卷10套：【全国校级联考】湖北省武汉市部分学校2019届高三上学期起点考试理数试题解析(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 设集合{}||2|3A x x =-<，N 为自然数集，则A N 中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】考点：集合的运算． 2.i 是虚数单位，则11i=+（ ） A ．12i- B ．12i +-C ．12i+ D ．12【答案】A 【解析】 试题分析：1111(1)(1)2i ii i i --==++-．故选A ． 考点：复数的运算．3. 已知a ,b 是空间两条直线，α是空间一平面，b α⊂，若p ：//a b ；q ：//a α，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】D 【解析】试题分析：//,a b b α⊂时，可能有a α⊂，所以p 不是q 的充分条件，同样当//a α时，a与b 可能平行也可能异面．所以p 也不是q 的必要条件．故选D ． 考点：充分必要条件的判断．4.设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则43S S =（ ） A ．5 B ．152C ．73 D ．157【答案】D考点：等比数列的通项公式与前n 项和． 5. 要得到函数sin(4)4y x π=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图象（ ）A ．向左平移16π个单位B ．向右平移16π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4π个单位【答案】B 【解析】试题分析：sin(4)sin 4()416y x x ππ=-=-，所以可把sin 4y x =的图象向右平移16π个单位，故选B ．考点：三角函数的图象平移．6. 函数213()log (9)f x x =-的单调递增区间为（ ）A ．()0,+∞B ．(),0-∞C ．()3,+∞D ．(),3-∞-【答案】D 【解析】试题分析：29033x x x ->⇒<->或，当3x <-时，29t x =-递减，当3x >时，29t x =-递增，又13log y t =是减函数，所以()f x 的增区间是(,3)-∞-，故选D ．考点：函数的单调性．7. 若向量(1,2)a =-，(1,1)b =--，则42a b +与a b -的夹角等于（ ）A ．4π-B ．6πC ．4πD ．34π 【答案】C 【解析】试题分析：42(6,6)a b +=-，(0,3)a b -=，设所求夹角为θ，则(42)()cos (42)()a b a b a b a b θ+⋅-=+-==，因为[0,]θπ∈，所以4πθ=．故选C ． 考点：平面向量的夹角．8. 若二次项8()ax x-的展开式中常数项为280，则实数a =（ ）A ．2B ．2±C ．D【答案】C考点：二项式定理的应用．【名师点睛】二项式()na b +展开式的通项公式为1r n r rr n T C a b -+=，由这个通项公式可求展开式中的特定项，求某一项的系数，二项式系数等等，这个公式是解题的关键之一．9. 可采用如图所示的算法，则图中①处应填的语句是（ ）A ．T T =B ．T T a =⋅C ．T a =D ．T =【答案】B【解析】=B．考点：程序框图．10. 如图，网格之上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，若该几何体的体积为20，则该几何体的表面积为（）A．72 B．78 C．66 D．62【答案】A【解析】考点：三视图，体积与表面积．11. 连续地掷一枚质地均匀的骰子4次，正面朝上的点数恰有2次为3的倍数的概率为（）A ．116B ．827C ．281D ．481【答案】B 【解析】考点：独立重复试验恰好发生k 次的概率．【名师点睛】概率问题理解角度不同选用公式就不一样，本题中记事件A 为“掷一枚质地均匀的骰子1次，正面朝上的点数恰为3的倍数”，则21()63P A ==，而题中事件能够看是抛掷骰子4次，事件A 恰好发生2次，显然每次抛掷都是相互独立的，所以可选用独立重复试验恰好发生k 次的概率公式求解，而这类问题也可用古典概型概率公式求解，抛掷骰子4次，向上一面的点可能是46种可能，恰有2次为3的倍数即4次是有2次是3的倍数，另2次不是3的倍数，这样共有222424C ⨯⨯中可能，从而可计算概率．12. 已知双曲线Γ：22221y x a b -=（0a >0b >）的上焦点为(0,)F c （0c >），M 是双曲线下支上的一点，线段MF 与圆2222039c a x y y +-+=相切于点D ，且||3||MF DF =，则双曲线Γ的渐进线方程为（ ） A ．40x y ±= B ．40x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=【答案】D 【解析】试题分析：设下焦点为1(0,)F c -，圆2222039c a x y y +-+=的圆心为(0,)3cQ ，易知圆的半径为3b QD =，易知122333cF F c QF ==⨯=，又3MF DF =，所以1//F M QD ，且13F M QD b ==，又QD MF ⊥，所以1F M MF ⊥，则112MO F F c ==，设(,)M x y ，由222222()x y c x y c b⎧+=⎪⎨++=⎪⎩得考点：直线与圆的位置关系，双曲线的几何性质．【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出,a b 之间的关系．解决解析几何问题还能纯粹地实行代数计算，那样做计算量很大，事倍功半，事倍功半，而是借助几何性质实行简化计算．本题中直线MF 与圆相切于D ，且3MF DF =，通过引入另一焦点1F ，圆心Q ，从而得出1F M MF ⊥，1F M b =，这样易于求得M 点坐标（用,,a b c 表示），代入双曲线方程化简后易得结论．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若实数x 、y 满足约束条件2,2,2,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最大值是 ．【答案】6 【解析】试题分析：作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作出线:20l x y +=，平移直线l ，当它过点(2,2)B时，z 取得最大值6．考点：简单的线性规划． 14. 曲线1x y x =+在点1(1,)2处的切线方程为 ． 【答案】410x y -+= 【解析】 试题分析：2211'(1)(1)x x y x x +-==++，1x =时，1'4y =，所以切线方程为11(1)24y x -=-，即410x y -+=． 考点：导数的几何意义．15. 已知抛物线Γ：22x y =，过点(0,2)A -和(,0)B t 的直线与抛物线没有公共点，则实数t 的取值范围是 ． 【答案】(,1)(1,)-∞-+∞考点：直线与抛物线的位置关系．【名师点睛】直线与抛物线位置关系有相交，相切，相离三种，判断方法是：把直线方程与抛物线方程联立方程组，消去一个未知数后得一个一元二次方程，Δ0>⇔相交，有两个交点，Δ0=⇔相切，有一个公共点，Δ0<⇔相离，无公共点，注意有一个公共点时不一定是相切，也能与对称轴平行，为相交．16. 已知2,0,()ln(1),0x ax x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩，()2()F x f x x =-有2个零点，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】试题分析：由题意，()F x 有两个零点，即函数()y f x =的图象与直线2xy =有两个交点，直线2x y =过原点，又(0)0f =，所以一个交点为原点，又记()ln(1)g x x =+，1'()1g x x =+，1'(0)12g =>，即ln(1)y x =+在原点处切线斜率大于12，并随x 的增大，斜率减小趋向于0，可知()f x 的图象与直线2x y =在0x >还有一个交点，所以22xx ax +=没有负实数根．所以102a -≥，12a ≤． 考点：函数的零点．【名师点睛】函数的零点，是函数图象与x 轴交点的横坐标，零点个数就是方程解的个数，对于较复杂的函数零点问题一般要转化为两函数图象的交点问题，这样能够应用数形结合思想，借助函数图象观察寻找方法与结论．在转化时要注意含有参数的函数最好是直线，或者是基本初等函数，这样它们的变化规律易于掌握，交点个数易于判断．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为2．对任意的*n N ∈，n b 是n a 和1n a +的等比中项．221n n n c b b +=-，*n N ∈． （1）求证：数列{}n c 是等差数列； （2）若116c =，求数列{}n a 的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）2n a n =． 【解析】试题解析：（1）证明：∵21n n n b a a +=，∴2222111()()n n n n n n c c b b b b -+--=---12111()()n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=---1211()()n n n n n n a a a a a a +++-=---122n n a d a d +=⋅-⋅12()n n d a a +=-228d ==（常数），∴数列{}n c 是等差数列．（2）解：116c =，则22218b b -=，∴231216a a a a ⋅-=，231()16a a a -=，1()216a d d +⋅=， 解得12a =，∴2(2)22n a n n =+-⋅=．考点：等差数列的判断，等差数列的通项公式． 【名师点睛】等差数列的判断方法． 在解答题中常用：（1）定义法，对于任意的2n ≥，证明1n n a a --为同一常数； （2）等差中项法，证明122n n n a a a --=+（3,*n n N ≥∈）； 在选择填空题中还可用：（3）通项公式法：证n a pn q =+（,p q 为常数）对任意的正整数n 成立； （4）前n 项和公式法：证2n S An Bn =+（,A B 是常数）对任意的正整数n 成立．18．△ABC 的内角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，已知222()2cos a b ac B bc -=+．（1） 求角A ；（2）若点D 为边BC 上一点，且2BD DC =，BA ⊥AD ，求角B ． 【答案】（1）23A π=；（2）6B =π． 【解析】试题解析：（1）由222cos 2a c b B ac +-=，得222222()22a c b a b ac bc ac+--=⋅+， 即222b c a bc +-=-．∴2221cos 22b c a A bc +-==-，∵0A π<<，∴23A π=． （2）设DC 为1个单位长度，则2BD =． 在Rt ABD ∆中，cos 2cos AB BD B B ==． 在△ADC 中，由正弦定理sin sin CD AC DAC ADC =∠∠，即12sin()sin()322ACB πππ=-+． ∴2cos AC B =，∴AB AC =，故6B C π==．考点：余弦定理，正弦定理．19. 如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=︒，2BC AD =，△PAB 与△PAD 都是等边三角形．（1）证明：CD ⊥平面PBD ；（2）求二面角C PB D --的平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】解三角形可得此角．试题解析：（1）证明：过P 作PO ⊥平面ABCD 于O ，连OA ． 依题意PA PB PD ==，则OA OB OD ==．又△ABD 为Rt ∆，故O 为BD 的中点．∵PO ⊂面PBD ，∴面PBD ⊥面ABCD ．在梯形ABCD 中，222CD DB CB +=，考点：线面垂直的判断，二面角．20. 某学校甲、乙两个班各派10名同学参加英语口语比赛，并记录他们的成绩，得到如图所示的茎叶图．现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”．（1）记甲班“口语王”人数为m ，乙班“口语王”人数为n ，比较m ，n 的大小．（2）随机从“口语王”中选择2人，记X 为来自甲班“口语王”的人数，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）m n <；（2）分布列见解析，期望为89． 【解析】 试题分析：（1）由茎叶图求出甲乙的平均数，从而得出4,5m n ==，所以得结论m n <；（2）从9人取任取2人，而甲班“口语王”有4人，所以随机变量X 的取值可能为0,1,2，由古典概型概率公式计算出概X 的分布列为∴5()01218969E X =⨯+⨯+⨯=． 考点：茎叶图，随机变量的分布列，数学期望．21. 如图，已知椭圆Γ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 、2F 分别作两条平行直线AB 、CD 交椭圆Γ于点A 、B 、C 、D ．（1）求证：||||AB CD =；（2）求四边形ABCD 面积的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）ABCD S 的最大值为6．【解析】试题分析：（1）圆锥曲线中证明两线段相等，一般要用解析法，计算这两条线段的长度得相等结论，直线AB 斜率不可能为0，所以可设设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB l ：1x my =-．所1x my =-代入椭圆方程得出y 的一元二次方程，从而得1212,y y y y +，由圆锥曲线上的弦长2y -，同理CD 方程为1x my =+，并设33(,)C x y ，44(,)D x y ，最后计算出CD ，它们相等；（2）原点O 实质上是平行四边形ABCD 对角线的交点，而112121122AOB S OF y y y y ∆=-=-，从而可得ABCD S =211t m =+≥，所以只要求得1()96h t t t=++的最小值，即可得结论，此最小值可用函数的单调性得出（可先用基本不等式求解，发现基本不等式中等号不能取到）．试题解析：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB l ：1x my =-． 联立221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得22(34)690m y my +--=． ∴122634m y y m +=+，122934y y m =-+．（2）由（1）知四边形ABCD 为平行四边形，4ABCD S S AOB =∆，且121||||2AOB S OF y y ∆=⋅-．∴1242||ABCD AOB S S y y ∆==-==考点：直线与圆锥曲线相交综合问题．【名师点睛】若直线y kx b =+与椭圆相交于两点1122(,),(,)A x y B x y ，则2x2y =-，由直线方程与椭圆方程联立方程组消元后，应用韦达定理可得1212,x x x x +（或1212,y y y y +），这实质上解析几何中的是“设而不求”法． 22. 已知函数3()3||2f x x x a =+-+（a R ∈）．（1）当0a =时，讨论()f x 的单调性；（2）求()f x 在区间[]0,2上的最小值．【答案】（1）()f x 的增区间为(,1)-∞-，(0,)+∞，减区间为(1,0)-；（2）当0a ≤时，()f x 的最小值为32a -+；当01a ≤≤时，()f x 的最小值为32a +；当1a ≥时，()f x 的最小值为3a ．【解析】试题分析：(1)研究单调性，可求出导函数'()f x ，然后解不等式'()0f x >得单调增区间，解不等式'()0f x <得减区间，注意绝对值，要分类求解；（2）因为[0,2]x ∈，所以先分类0a ≤，2a ≥，02a <<，前两种情形，绝对值符号直接去掉，所以只要用导数'()f x 研究单调性可得最值，第三种情形同样要去绝对值符号，仅仅此时是分段函数，333()2,2,()3()2,0.x x a a x f x x x a x a ⎧+-+≤≤⎪=⎨--+≤≤⎪⎩，2233,2,'()33,0.x a x f x x x a ⎧+≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩，能够看出这时又要分类：01a <<，12a ≤≤，得单调性再得最小值．试题解析：（1）当0a =时，3()3||2f x x x =++．① 当0x ≥时，3()32f x x x =++，2'()330f x x =+>，②②0a ≤时，3()3()2f x x x a =+-+，02x ≤≤， 2'()330f x x =+>，()f x 在[]0,2单调递增，∴min ()(0)32f x f a ==-+．③02a <<时，而02x ≤≤，333()2,2,()3()2,0.x x a a x f x x x a x a ⎧+-+≤≤⎪=⎨--+≤≤⎪⎩ ∴2233,2,'()33,0.x a x f x x x a ⎧+≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩ （i ）01a <<时，()f x 在[],2a 上单增，()f a 为最小值．2'()3(1)0f x x =-<在0x a ≤≤上恒成立， ∴()f x 在[]0,a 上单调递减，∴3min ()()2f x f a a ==+．（ii ）12a ≤≤时，()f x 在[],2a 上单调递增，3min ()()2f x f a a ==+． 在0x a ≤≤时，2'()3(1)f x x =-，考点：分段函数，用导数研究函数的单调性、最值．。
湖北省武汉市2019-2020学年高考数学一模考试(理科)试卷Word版含解析
湖北省武汉市2019-2020学年高二下学期开学考试数学（理科）试题一、选择题1.设全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|x﹣1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{x|x≤﹣1或x≥3} B．{x|x＜1或x≥3} C．{x|x≤1} D．{x|x≤﹣1}2．已知i是虚数单位，（1+2i）z1=﹣1+3i，，z1、z2在复平面上对应的点分别为A、B，则|AB|=（）A．31 B．33 C．D．3．“m＜0”是“方程x2+my2=1表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．下列命题中的假命题是（）A．log23＜log35 B．∀x∈（﹣∞，0），e x＞x+1C．D．∀x＞0，x＞sinx5．李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步B．20步、60步C．30步、70步D．40步、80步6．已知α，β均为锐角，且sin2α=2sin2β，则（）A．tan（α+β）=3tan（α﹣β）B．tan（α+β）=2tan（α﹣β）C．3tan（α+β）=tan（α﹣β）D．3tan（α+β）=2tan（α﹣β）7．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．48．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（）A．B．C．D．9．六名大四学生（其中4名男生、2名女生）被安排到A、B、C三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不到同一学校，也不到C学校，男生甲不到A学校，则不同的安排方法共有（）A．24 B．36 C．16 D．1810．如图，在△ABC中，AB=BC=，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P﹣BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．πB．3π C．5π D．7π11．已知圆O的半径为定长r，点A是平面内一定点（不与O重合），P是圆O上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹可能是下列几种：①椭圆，②双曲线，③抛物线，④直线，⑤点（）A．①②⑤B．①②③C．①④⑤D．②③④12．设函数f（x）=x•e x，g（x）=x2+2x，，若对任意的x∈R，都有h （x）﹣f（x）≤k[g（x）+2]成立，则实数k的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题13.已知实数x，y满足，则3x2+y2最小值为．14．若，则在的展开式中，x的幂指数不是整数的项共有项．15．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．则当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为．16．对于正整数n，设xn 是关于x的方程nx3+2x﹣n=0的实数根，记an=[（n+1）xn]（n≥2），其中[x]表示不超过实数x的最大整数，则（a2+a3+…+a2015）= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，D是BC中点，已知∠BAD+∠C=90°．（1）判断△ABC的形状；（2）若△ADC的三边长是连续三个正整数，求∠BAC的余弦值．18．（12分）随着社会发展，襄阳市在一天的上下班时段也出现了堵车严重的现象．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围为[0，10]，分别有5个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T ∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．早高峰时段（T≥3 ），从襄阳市交通指挥中心随机选取了一至四马路之间50个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：（I）据此直方图估算交通指数的中位数和平均数；（II）据此直方图求出早高峰一至四马路之间的3个路段至少有2个严重拥堵的概率是多少？（III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟，中度拥堵为45分钟，严重拥堵为60分钟，求此人用时间的数学期望．19．（12分）如图，在△ABC中，∠C为直角，AC=BC=4．沿△ABC的中位线DE，将平面ADE 折起，使得∠ADC=90°，得到四棱锥A﹣BCDE．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积；（Ⅲ）M是棱CD的中点，过M作平面α与平面ABC平行，设平面α截四棱锥A﹣BCDE所得截面面积为S，试求S的值．20．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F（1，0），过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△ABF2的周长为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（4，0）作与直线l平行的直线m，且直线m与抛物线y2=4x交于P、Q两点，若A、P在x轴上方，直线PA与直线QB相交于x轴上一点M，求直线l的方程．21．（12分）设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（1）若函数f（x）的图象与直线y=x﹣1相切，求a的值；（2）当1＜x＜2时，求证：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相同的单位长度，已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρcos2θ=2sinθ．（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，点M为AB的中点，点P的极坐标为，求|PM|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|（x∈R，实数a＜0）．（Ⅰ）若f（0）＞，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x）≥．湖北省武汉市2019-2020学年高二下学期开学考试数学（理科）试题参考答案一、选择题1.设全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|x﹣1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{x|x≤﹣1或x≥3} B．{x|x＜1或x≥3} C．{x|x≤1} D．{x|x≤﹣1}【考点】1J：Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由阴影部分表示的集合为∁U（A∪B），然后根据集合的运算即可．【解答】解：由图象可知阴影部分对应的集合为∁U（A∪B），由x2﹣2x﹣3＜0得﹣1＜x＜3，即A=（﹣1，3），∵B={x|x≥1}，∴A∪B=（﹣1，+∞），则∁U（A∪B）=（﹣∞，﹣1]，故选D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图确定集合的关系是解决本题的关键．2．已知i是虚数单位，（1+2i）z1=﹣1+3i，，z1、z2在复平面上对应的点分别为A、B，则|AB|=（）A．31 B．33 C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z1，z2，求出z1、z2在复平面上对应的点的坐标A、B，则答案可求．【解答】解：∵（1+2i）z1=﹣1+3i，∴z1===1+i，∵，∴z2=1+（2i）5=1+32i，∴z1、z2在复平面上对应的点的坐标分别为A（1，1）、B（1，32），则|AB|=．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．“m＜0”是“方程x2+my2=1表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据双曲线的方程，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：方程x2+my2=1表示双曲线，则m＜0，则“m＜0”是“方程x2+my2=1表示双曲线”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用双曲线的定义是解决本题的关键．4．下列命题中的假命题是（）A．log23＜log35 B．∀x∈（﹣∞，0），e x＞x+1C．D．∀x＞0，x＞sinx 【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】对于A．log23＞=，log35＜=，即可判断出真假．对于B．∀x∈（﹣∞，0），令f（x）=e x﹣x﹣1，利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可判断出真假．对于C．根据＜0＜=＜1=，即可判断出真假．对于D．令f（x）=x﹣sinx，x∈（0，+∞），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：对于A．∵log23＞=，log35＜=，∴log23＞log35，因此是假命题．对于B．∀x∈（﹣∞，0），令f（x）=e x﹣x﹣1，f′（x）=e x﹣1＜0，因此函数f（x）单调递减，∴f（x）＞f（0）=0，∴e x＞x+1，因此是真命题．对于C．∵＜0＜=＜1=，因此是真命题．对于D．令f（x）=x﹣sinx，x∈（0，+∞），则f′（x）=1﹣cosx≥0，因此函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（0）=0，因此是真命题．故选：A．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步B．20步、60步C．30步、70步D．40步、80步【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，即方田面积减去水池面积为13.75亩，方田的四边到水池的最近距离均为二十步，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．从而建立关系求解即可．【解答】解：由题意，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．方田面积减去水池面积为13.75亩，∴（40+m）2﹣=13.75×240．解得：m=20．即圆池直径20步那么：方田边长为40步+20步=60步．故选B．【点评】本题考查了对题意的理解和关系式的建立．读懂题意是关键，属于基础题．6．已知α，β均为锐角，且sin2α=2sin2β，则（）A．tan（α+β）=3tan（α﹣β）B．tan（α+β）=2tan（α﹣β）C．3tan（α+β）=tan（α﹣β）D．3tan（α+β）=2tan（α﹣β）【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】利用sin2α=2sin2β，得到sin[（α+β）+（α﹣β）]=2sin[（α+β）﹣（α﹣β）]，化简计算即可．【解答】解：∵sin2α=2sin2β，∴sin[（α+β）+（α﹣β）]=2sin[（α+β）﹣（α﹣β）]，∴sin（α+β）cos（α﹣β）+cos（α+β）sin（α﹣β）=2sin（α+β）cos（α﹣β）﹣2cos（α+β）sin（α﹣β），∴3cos（α+β）sin（α﹣β）=sin（α+β）cos（α﹣β），∴tan（α+β）=3tan（α﹣β），故选：A【点评】本题考查了三角函数的化简，以及两角和与差的正弦公式和同角的三角函数的关系，属于基础题7．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD．【解答】解：如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD．连接BD．其体积V=VB﹣PAD +VB﹣PCD= =．故选：B．【点评】本题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】7C：简单线性规划；7D：简单线性规划的应用；9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得=（3m+n，m﹣3n），再由向量模的计算公式可得=，可以令t=，将m+n∈[1，2]的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得t的取值范围，又由=t，分析可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，=（3m+n，m﹣3n），则==，令t=，则=t，而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：≤t＜2，又由=t，故≤＜2；故选：B．【点评】本题考查简单线性规划问题，涉及向量的模的计算，关键是求出的表达式．9．六名大四学生（其中4名男生、2名女生）被安排到A、B、C三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不到同一学校，也不到C学校，男生甲不到A学校，则不同的安排方法共有（）A．24 B．36 C．16 D．18【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分4步进行分析：①、2名女生在A、B学校个一人，②、A学校除男生甲之外选男生一人，③、B学校在剩余男生中选一人，④、C学校2名男生，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求六名学生被安排到A、B、C三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不到同一学校，也不到C学校，男生甲不到A学校，2=2种安排方法，只能安排2名女生在A、B学校各一人，有A21=3种安排方法，A学校除男生甲之外选男生一人，有C31=3种安排方法，B学校在剩余男生中选一人，有C3C学校选剩余的2名男生，有1种情况，则不同的安排方法有2×3×3×1=18种安排方法；故选：D．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意分析题目中的限制条件，注意受到限制的元素的处理方法．10．如图，在△ABC中，AB=BC=，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P﹣BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．πB．3π C．5π D．7π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形，且BD⊥平面PCD，求出三棱锥P ﹣BDC外接球半径R=，由此能示出该球的表面积．【解答】解：由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形，且BD⊥平面PCD，设三棱锥P﹣BDC外接球的球心为O，△PCD外接圆的圆心为O1，则OO1⊥面PCD，∴四边形OO1DB为直角梯形，由BD=，O1D=1，及OB=OD，得OB=，∴外接球半径为R=，∴该球的表面积S=4πR2=4=7π．故选：D．【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三棱锥的外接球的性质的合理运用．11．已知圆O的半径为定长r，点A是平面内一定点（不与O重合），P是圆O上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹可能是下列几种：①椭圆，②双曲线，③抛物线，④直线，⑤点（）A．①②⑤B．①②③C．①④⑤D．②③④【考点】J3：轨迹方程．【分析】对A的位置进行讨论，利用中垂线的性质即可得出QO和QP的关系，根据圆锥曲线的定义得出结论．【解答】解：∵线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，∴QA=QP，（1）若A在圆外，则|QO﹣OP|=OP，即|QO﹣QA|=r＜OA，此时Q点轨迹为双曲线；（2）若A在圆内，则|QA+QO|=|QP+QO|=r＞OA，此时Q点轨迹为椭圆；（3）若A在圆上，则AP的中垂线经过圆心O，过Q点轨迹为圆心O，故选A．【点评】本题考查了圆锥曲线的定义，属于中档题．12．设函数f（x）=x•e x，g（x）=x2+2x，，若对任意的x∈R，都有h （x）﹣f（x）≤k[g（x）+2]成立，则实数k的取值范围是（）A．B． C．D．【考点】2H：全称命题．【分析】由题设h（x）﹣f（x）≤k[g（x）+2]恒成立等价于f（x）+kg（x）≥h（x）﹣2k；构造函数H（x）=f（x）+kg（x），利用导数H'（x）判断H（x）的单调性，求出H（x）的最值，判断不等式是否恒成立，从而求出k的取值范围．【解答】解：由题设h（x）﹣f（x）≤k[g（x）+2]恒成立，等价于f（x）+kg（x）≥h（x）﹣2k①；设函数H（x）=f（x）+kg（x），则H'（x）=（x+1）（e x+2k）；（1）设k=0，此时H'（x）=e x（x+1），当x＜﹣1时H'（x）＜0，当x＞﹣1时H'（x）＞0，故x＜﹣1时H（x）单调递减，x＞﹣1时H（x）单调递增，故H（x）≥H（﹣1）=﹣e﹣1；而当x=﹣1时h（x）取得最大值2，并且﹣e﹣1＜2，故①式不恒成立；（2）设k＜0，注意到，，故①式不恒成立；（3）设k＞0，H'（x）=（x+1）（e x+2k），此时当x＜﹣1时H'（x）＜0，当x＞﹣1时H'（x）＞0，故x＜﹣1时H（x）单调递减，x＞﹣1时H（x）单调递增，故；=2，故若使①式恒成立，而当x=﹣1时h（x）max则，解得．【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了构造函数思想与等价转化问题，是综合题．二、填空题13.已知实数x，y满足，则3x2+y2最小值为．【考点】7D：简单线性规划的应用．【分析】确定不等式表示的平面区域，求出特殊点位置，3x2+y2的值，比较即可得到结论．【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示设z=3x2+y2，则由，可得x=，y=，此时z=由，可得x=，y=，此时z=；当直线与z=3x2+y2相切时，可得∴△=12﹣15（4﹣z）=0，∴z=，此时x=＜，不在可行域内，不满足题意∵＜∴3x2+y2最小值为故答案为：【点评】本题考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．若，则在的展开式中，x的幂指数不是整数的项共有15项．【考点】67：定积分；DB：二项式系数的性质．=，0≤k 【分析】根据定积分求得a的值，利用二项式定理，求得其通项公式，Tk+1≤18，分别代入，当k=6，k=12，k=18，x幂指数是整数，则x的幂指数不是整数的项15项．【解答】解： =2（xdx+丨x丨dx）=4xdx=18，=（）18﹣k（）k，=（﹣）18，则Tk+1=，0≤k≤18，则当k=0，k=6，k=12，k=18，x幂指数是整数，∴x的幂指数不是整数的项共19﹣4=15，故答案为：15．【点评】本题考查定积分的运算，考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于中档题．15．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．则当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为．【考点】CM：条件概率与独立事件．【分析】由题意知这是一个条件概率，做这种问题时，要从这样两步入手，一是做出蓝色骰子的点数为3或6的概率，二是两颗骰子的点数之和大于8的概率，再做出两颗骰子的点数之和大于8且蓝色骰子的点数为3或6的概率，根据条件概率的公式得到结果．【解答】解：设x为掷红骰子得的点数，y为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件与（x，y）建立对应，显然：P（A）==，P（B）==，P（AB）=．P（B|A）===．故答案为：【点评】本题考查条件概率，条件概率有两种做法，本题采用概率来解，还有一种做法是用事件发生所包含的事件数之比来解出结果，本题出现的不多，以这个题目为例，同学们要认真分析．16．对于正整数n，设xn 是关于x的方程nx3+2x﹣n=0的实数根，记an=[（n+1）xn]（n≥2），其中[x]表示不超过实数x的最大整数，则（a2+a3+…+a2015）= 2017 ．【考点】8E：数列的求和．【分析】根据条件构造f（x）=nx3+2x﹣n，求函数的导数，判断函数的导数，求出方程根的取值范围进行求解即可．【解答】解：设f（x）=nx3+2x﹣n，则f′（x）=3nx2+2，当n是正整数时，f′（x）＞0，则f（x）为增函数，∵当n≥2时，f（）=n×（）3+2×（）﹣n=•（﹣n2+n+1）＜0，且f（1）=2＞0，∴当n≥2时，方程nx3+2x﹣n=0有唯一的实数根xn 且xn∈（，1），∴n＜（n+1）xn ＜n+1，an=[（n+1）xn]=n，因此（a2+a3+a4+…+a2015）=（2+3+4+…+2015）==2017，故答案为：2017．【点评】本题考查递推数列的应用以及函数的单调性的应用函数的零点，数列求和的基本方法，考查分析问题解决问题以及计算能力，综合性较强，难度较大．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2017•襄城区校级一模）在△ABC中，D是BC中点，已知∠BAD+∠C=90°．（1）判断△ABC的形状；（2）若△ADC的三边长是连续三个正整数，求∠BAC的余弦值．【考点】GZ：三角形的形状判断．【分析】（1）设∠BAD=α，∠DAC=β，则由α+C=90°，可得β+B=90°，△ABD中，由正弦定理得： =， =，结合BD=DC，可得sin2C=sin2B，结合范围B，C∈（0，π），即解得B=C或B+C=90°，从而得解．（2）当B+C=90°时，，与△ADC的三边长是连续三个正整数矛盾，可得∠B=∠C，在直角三角形ADC中，设两直角边分别为n，n﹣1，斜边为n+1，由勾股定理得n=4，由余弦定理或二倍角公式即可求得cos∠BAC的值．【解答】解：（1）设∠BAD=α，∠DAC=β，则由α+C=90°，∴β+B=90°，△ABD中，由正弦定理得：，即=，同理得： =，…（2分）∵BD=DC，∴，∴sinαsinC=sinβsinB，∵α+C=90°，β+B=90°，∴sinCcosC=sinBcosB，…（4分）即sin2C=sin2B，因为B，C∈（0，π）即B=C或B+C=90°…（6分）∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．…（7分）（2）当B+C=90°时，，与△ADC的三边长是连续三个正整数矛盾，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形．…（8分）在直角三角形ADC中，设两直角边分别为n，n﹣1，斜边为n+1，由（n+1）2=n2+（n﹣1）2得n=4，…（10分）由余弦定理或二倍角公式得cos∠BAC=或cos∠BAC=﹣（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）（2017•襄城区校级一模）随着社会发展，襄阳市在一天的上下班时段也出现了堵车严重的现象．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围为[0，10]，分别有5个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．早高峰时段（T≥3 ），从襄阳市交通指挥中心随机选取了一至四马路之间50个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：（I）据此直方图估算交通指数的中位数和平均数；（II）据此直方图求出早高峰一至四马路之间的3个路段至少有2个严重拥堵的概率是多少？（III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟，中度拥堵为45分钟，严重拥堵为60分钟，求此人用时间的数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图能估算交通指数的中位数和平均数．（Ⅱ）设事件A为“1条路段严重拥堵”，则P（A）=0.1，由此能求出3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率．（Ⅲ）由题意，求出所用时间X的分布列，由此能求出此人上班路上所用时间的数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由直方图知：T∈[3，5）时，频率为0.1+0.20=0.30，T∈[5，6）时，频率为0.24，∴交通指数的中位数为 5+1×=．…（2分）交通指数的平均数为：4.5×0.2+5.5×0.24+6.5×0.2+7.5×0.16=4.72．…（4分）（Ⅱ）设事件A为“1条路段严重拥堵”，则P（A）=0.1，则3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为：P=C32×（）2×（1﹣）+C33×（）3=，所以3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为．…（8分）（Ⅲ）由题意，所用时间X的分布列如下表：X30354560P0.10.440.360.1则E（X）=30×0.1+35×0.44+45×0.36+60×0.1=40.6，所以此人上班路上所用时间的数学期望是40.6分钟．…（12分）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．19．（12分）（2017•石景山区一模）如图，在△ABC中，∠C为直角，AC=BC=4．沿△ABC的中位线DE，将平面ADE折起，使得∠ADC=90°，得到四棱锥A﹣BCDE．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积；（Ⅲ）M是棱CD的中点，过M作平面α与平面ABC平行，设平面α截四棱锥A﹣BCDE所得截面面积为S，试求S的值．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由DE∥BC，∠C=90°，得DE⊥AD，同时DE⊥DC，又AD∩DC=D，可得DE⊥平面ACD，又DE∥BC，可证得BC⊥平面ACD；（Ⅱ）由BC⊥平面ACD，又AD⊂平面ADC，得AD⊥BC，又∠ADC=90°，可得AD⊥DC，又BC∩DC=C，可证得AD⊥平面BCDE，利用等积法即可求出三棱锥E﹣ABC的体积；（Ⅲ）分别取AD，EA，AB的中点N，P，Q，并连接MN，NP，PQ，QM，由平面α∥平面ACD，得平面α与平面ACD的交线平行于AC，由M是中点，可得平面α与平面ACD的交线是△ACD，由（Ⅰ）的中位线MN，同理可证，四边形MNPQ是平面α截四棱锥A﹣BCDE的截面，即S=SMNPQ可知，BC⊥平面ACD，可得BC⊥AC，又QM∥AC，MN∥BC，可得QM⊥MN，即可得到四边形MNPQ 是直角梯形，在Rt△ADC中，AD=CD，求出AC，进一步求出MN，NP，MQ，则S的值可求．【解答】（Ⅰ）证明：∵DE∥BC，∠C=90°，∴DE⊥AD，同时DE⊥DC，又AD∩DC=D，∴DE⊥平面ACD．又∵DE∥BC，∴BC⊥平面ACD；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，BC⊥平面ACD，又AD⊂平面ADC，∴AD⊥BC．又∵∠ADC=90°，∴AD⊥DC．又∵BC∩DC=C，∴AD⊥平面BCDE．∴=；（Ⅲ）解：分别取AD，EA，AB的中点N，P，Q，并连接MN，NP，PQ，QM，∵平面α∥平面ACD，∴平面α与平面ACD的交线平行于AC，∵M是中点，∴平面α与平面ACD的交线是△ACD的中位线MN，同理可证，四边形MNPQ是平面α截四棱锥A﹣BCDE的截面，即S=SMNPQ．由（Ⅰ）可知，BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC，又∵QM∥AC，MN∥BC，∴QM⊥MN．∴四边形MNPQ是直角梯形．在Rt△ADC中，AD=CD=2，∴AC=．MN=AC=2，NP=，MQ=．∴S=（1+3）×．【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查利用等积法求体积，考查平面α截四棱锥A﹣BCDE所得截面面积的求法，考查空间想象能力及思维能力，是难题．20．（12分）（2015•吉林三模）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F（1，0），过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△ABF2的周长为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（4，0）作与直线l平行的直线m，且直线m与抛物线y2=4x交于P、Q两点，若A、P在x轴上方，直线PA与直线QB相交于x轴上一点M，求直线l的方程．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）求椭圆C的方程即是求a和b，根据△ABF2的周长为4a，求出a，在根据焦点坐标求出c，那么b就可以求出．（Ⅱ）设出ABPQ四点的坐标，根据三角形的相似比得它们纵坐标的关系，根据直线l与椭圆方程得到式①，再根据直线m与抛物线方程得到式②，最终得到l方程．【解答】解：（Ⅰ）依题意，4a=4，a2﹣b2=1 …（2分）所以a=，b=1 …（3分）故椭圆C的方程为…（4分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），PQ与x轴的交点记为点N直线l的方程为x=ty﹣1，直线m的方程为：x=ty+4依题意得==则=，可得，令=λ（λ＜0），…由消去x，得（t2+2）y2﹣2ty﹣1=0，…（6分）则，把y1=λy2代入整理得： =﹣①…（8分）由消去x，得y2﹣4ty﹣16=0，…（9分）则，把y3=λy4代入，整理得： =﹣t2②…（10分）由①②消去λ，得=t2，解得t=0或t=…（11分）故直线l的方程为：x=﹣1或x﹣y+1=0 或x+y+1=0 …（12分）故答案为：直线l的方程为：x=﹣1或x﹣y+1=0 或x+y+1=0【点评】本题考查了椭圆的基本性质、直线方程、直线与椭圆的交点、直线与抛物线交点、平行直线的性质，对学生的综合能力有很高的要求．21．（12分）（2017•襄城区校级一模）设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（1）若函数f（x）的图象与直线y=x﹣1相切，求a的值；（2）当1＜x＜2时，求证：．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1），设切点为（x0，y），则切线为y﹣y=f'（x）（x﹣x），又切线为y=x﹣1，可得，消a，再利用函数的单调性即可得出x，a．（2）令，所以，可得其单调性．g（x）min=g（x）极小值=g（1）=2﹣a，当a≤2时，即2﹣a≥0时，g（x）≥g（1）≥0，即f'（x）≥0，故a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，进而证明结论．【解答】（1）解：，设切点为（x0，y），则切线为y﹣y0=f'（x）（x﹣x），即，又切线为y=x﹣1，所以，消a，得，设，易得g（x）为减函数，且g（1）=0，所以x=1，a=1（2）证明：令，所以，当x＞1时，g'（x）＞0，函数g（x）在（1，+∞）为单调递增；当0＜x＜1时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，1）为单调递减；所以g（x）min =g（x）极小值=g（1）=2﹣a，当a≤2时，即2﹣a≥0时，g（x）≥g（1）≥0，即f'（x）≥0，故a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x∈（1，2）时，f（x）＞f（1）=0，即（x+1）lnx＞2（x﹣1），所以，①因为1＜x＜2，所以，所以，即，②①+②得：，故当1＜x＜2时，．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、研究切线方程、证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•襄城区校级一模）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相同的单位长度，已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρcos2θ=2sinθ．（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，点M为AB的中点，点P的极坐标为，求|PM|的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）消去参数t得直线l的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化方法求曲线C的直角坐标方程；（2）求出M，P的直角坐标，即可求|PM|的值．【解答】解：（1）因为直线的参数方程是（t为参数），消去参数t得直线l的普通方程为x﹣y+3=0…（2分）由曲线C的极坐标方程ρcos2θ=2sinθ，得ρ2cos2θ=2ρsinθ，…（3分）所以曲线C的直角坐标方程为x2=2y．…（2）由，消去y得x2﹣2x﹣6=0…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB的中点．因为 x1+x2=2，∴M（1，4）…（8分）又点P的直角坐标为（1，1），…（9分）所以…（10分）【点评】本题考查了直角坐标方程化为参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•榆林一模）设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|（x∈R，实数a＜0）．（Ⅰ）若f（0）＞，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x）≥．【考点】R5：绝对值不等式的解法；5B：分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）去掉绝对值号，解关于a的不等式组，求出a的范围即可；（Ⅱ）通过讨论x 的范围，结合基本不等式的性质求出求出f（x）的最小值即可．【解答】（Ⅰ）解：∵a＜0，∴f（0）=|a|+|﹣|=﹣a﹣＞，即a2+a+1＞0，解得a＜﹣2或﹣＜a＜0；（Ⅱ）证明：f（x）=|2x+a|+|x﹣|=，当x≥﹣时，f（x）≥﹣﹣；当＜x＜﹣时，f（x）＞﹣﹣；当x≤时，f（x）≥﹣a﹣，∴f（x）min=﹣﹣≥2=，当且仅当﹣=﹣即a=﹣时取等号，∴f（x）≥．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查解绝对值不等式问题，是一道中档题．。
文)试题金卷10套：【全国校级联考】湖北省武汉市部分学校2019届高三上学期起点考试文数试题解析(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 设集合{}||2|3A x x =-<，N 为自然数集，则A N 中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】试题分析：2332315x x x -<⇒-<-<⇒-<<，即{|15}A x x =-<<，则{0,1,2,3,4}A N =，共有5个元素．故选C ．考点：集合的运算． 2.i 是虚数单位，则11i=+（ ） A ．12i- B ．12i +-C ．12i+ D ．12【答案】A 【解析】 试题分析：1111(1)(1)2i ii i i --==++-．故选A ． 考点：复数的运算．3. 命题“*n N ∀∈，x R ∃∈，使得2n x <”的否定形式是（ ） A ．*n N ∀∈，x R ∃∈，使得2n x ≥ B ． *n N ∀∈，x R ∀∈，使得2n x ≥ C ．*n N ∃∈，x R ∃∈，使得2n x ≥ D ．*n N ∃∈，x R ∀∈，使得2n x ≥【答案】D考点：命题的否定．4.设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则43S S =（ ） A ．5 B ．152C ．73 D ．157【答案】D考点：等比数列的通项公式与前n 项和． 5. 要得到函数sin(4)4y x π=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图象（ ）A ．向左平移16π个单位B ．向右平移16π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4π个单位【答案】B 【解析】试题分析：sin(4)sin 4()416y x x ππ=-=-，所以可把sin 4y x =的图象向右平移16π个单位，故选B ．考点：三角函数的图象平移．6. 函数213()log (9)f x x =-的单调递增区间为（ ）A ．()0,+∞B ．(),0-∞C ．()3,+∞D ．(),3-∞-【答案】D 【解析】试题分析：29033x x x ->⇒<->或，当3x <-时，29t x =-递减，当3x >时，29t x =-递增，又13log y t =是减函数，所以()f x 的增区间是(,3)-∞-，故选D ．考点：函数的单调性．7. 若向量(1,2)a =-，(1,1)b =--，则42a b +与a b -的夹角等于（ ） A ．4π-B ．6πC ．4πD ．34π【答案】C考点：平面向量的夹角． 8. 已知平面α⊥平面β，l αβ=，若直线a ，b 满足//a α，b β⊥，则（ ）A ．//a lB ．//a bC ．b l ⊥D ．a b ⊥【答案】C 【解析】 试题分析：l αβ=l β⇒⊂，b b l β⊥⇒⊥，所以C 是准确的，故选C ．考点：空间线面的位置关系，线面垂直的性质．9. 可采用如图所示的算法，则图中①处应填的语句是（ ）A ．T T =B ．T T a =⋅C ．T a =D ．T =【答案】B 【解析】=B ．考点：程序框图．10. 如图，网格之上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，若该几何体的体积为20，则该几何体的表面积为（ ） A ．72B ．78C ．66D ．62【答案】A 【解析】试题分析：该几何体是棱长为3a 的正方体沿前后、左右、上下三个方向各挖云一个长方体，所以该几何体的体积为333(3)72020V a a a =-⨯==．1a =，则222636164172S =⨯-⨯+⨯⨯=表．故选A ．考点：三视图，体积与表面积．11. 连续地掷一枚质地均匀的骰子2次，则出现向上的点数之和小于4的概率为（ ） A ．118B ．112C ．19D ．16【答案】B考点：古典概型．【名师点睛】在古典概型条件下,当基本事件总数为n 时,每一个基本事件发生的概率均为1n,要求事件A 的概率,关键是求出基本事件总数n 和事件A 中所含基本事件数m,再由古典概型概率公式P(A)=mn求出事件A 的概率. 对于古典概型与统计的综合问题,要注意认真审题,将问题成功转化为古典概型.而确定基本事件(试验结果)数时,常用枚举法.12. 已知双曲线Γ：22221y x a b -=（0a >0b >）的上焦点为(0,)F c （0c >），M 是双曲线下支上的一点，线段MF 与圆2222039c a x y y +-+=相切于点D ，且||3||MF DF =，则双曲线Γ的渐进线方程为（ ） A ．40x y ±= B ．40x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=【答案】D 【解析】考点：直线与圆的位置关系，双曲线的几何性质．【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出,a b 之间的关系．解决解析几何问题还能纯粹地实行代数计算，那样做计算量很大，事倍功半，事倍功半，而是借助几何性质实行简化计算．本题中直线MF 与圆相切于D ，且3MF DF =，通过引入另一焦点1F ，圆心Q ，从而得出1F M MF ⊥，1F M b =，这样易于求得M 点坐标（用,,a b c 表示），代入双曲线方程化简后易得结论．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若实数x 、y 满足约束条件2,2,2,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最大值是 ．【答案】6 【解析】考点：简单的线性规划． 14. 曲线1x y x =+在点1(1,)2处的切线方程为 ． 【答案】410x y -+= 【解析】 试题分析：2211'(1)(1)x x y x x +-==++，1x =时，1'4y =，所以切线方程为11(1)24y x -=-，即410x y -+=． 考点：导数的几何意义．15. 已知抛物线Γ：22x y =，过点(0,2)A -和(,0)B t 的直线与抛物线没有公共点，则实数t 的取值范围是 ． 【答案】(,1)(1,)-∞-+∞【解析】试题分析：显然0t ≠，直线AB 方程为12x yt +=-，即220x ty t --=，由22202x ty t x y--=⎧⎨=⎩，消去y 得2440tx x t -+=，由题意22(4)160t ∆=--<，解得11t t <->或． 考点：直线与抛物线的位置关系．【名师点睛】直线与抛物线位置关系有相交，相切，相离三种，判断方法是：把直线方程与抛物线方程联立方程组，消去一个未知数后得一个一元二次方程，Δ0>⇔相交，有两个交点，Δ0=⇔相切，有一个公共点，Δ0<⇔相离，无公共点，注意有一个公共点时不一定是相切，也能与对称轴平行，为相交．16. 已知函数()sin cos f x x a x =-图象的一条对称轴为34x π=，记函数()f x 的两个极值点分别为1x ，2x ，则12||x x +的最小值为 ． 【答案】2π【解析】考点：函数的极值，三角函数图象的对称性．【名师点睛】因为正弦函数sin y x =的对称轴是,2x k k Z ππ=+∈，对称轴与函数图象交点为最低点或者是最高点，即对应的函数值最大或最小，反之亦成立．（余弦函数也如此），所以()sin()f x A x ωϕ=+的对称轴对应的x 值就是函数的极值点，反之亦成立．利用此结论能够容易地解与三角函数的极值或对称轴相关的问题．类似地，函数()sin()f x A x ωϕ=+的对称中心就是函数的零点．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为2．对任意的*n N ∈，n b 是n a 和1n a +的等比中项．221n n n c b b +=-，*n N ∈． （1）求证：数列{}n c 是等差数列；（2）若116c =，求数列{}n a 的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）2n a n =． 【解析】试题分析：（1）要证明数列{}n c 是等差数列，就是要证1n n c c --是常数，为此通过n b 可把1n n c c --用n a 表示出来，利用{}n a 是等差数列证明；（2）求通项公式，关键是求1a ，由已知22121231216c b b a a a a =-=-=，再由等差数列的定义就可求得1a ，从而得通项公式．考点：等差数列的判断，等差数列的通项公式． 【名师点睛】等差数列的判断方法． 在解答题中常用：（1）定义法，对于任意的2n ≥，证明1n n a a --为同一常数； （2）等差中项法，证明122n n n a a a --=+（3,*n n N ≥∈）； 在选择填空题中还可用：（3）通项公式法：证n a pn q =+（,p q 为常数）对任意的正整数n 成立； （4）前n 项和公式法：证2n S An Bn =+（,A B 是常数）对任意的正整数n 成立． 18．某学校甲、乙两个班各派10名同学参加英语口语比赛，并记录他们的成绩，得到如图所示的茎叶图．现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”．（1）记甲班“口语王”人数为m ，乙班“口语王”人数为n ，比较m ，n 的大小． （2）求甲班10名同学口语成绩的方差．【答案】（1）m n <；（2）方差为86.8 【解析】∴m n <．（2）甲班10名同学口语成绩的方差22221[(6080)(7280)(7580)10s =-+-+-+222(7780)(8080)(8080)-+-+-+2(8480)-+2(8880)-+22(9180)(9380)]-+-222222221(20853481113)10=+++++++ 86.8=．考点：茎叶图，方差．19．△ABC 的内角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，已知222()2cos a b ac B bc -=+．（1） 求角A ；（2）若点D 为边BC 上一点，且2BD DC =，BA ⊥AD ，求角B ． 【答案】（1）23A π=；（2）6B =π． 【解析】试题分析：（1）本题是解三角形中的求角问题，已知条件是边角混合的关系，观察等式，先由余弦定理化“角”为“边”，整理后正好可得cos A ，从而求得A 角；（2）由已知可设DC x =，则2BD x =，试着,AB AC 用x 表示，一个是直角三角形中2cos AB x B =，另一个在ADC ∆中应用正弦定理2sin()sin()232AC DCB πππ=+-，也得出2cos AC x B =，从而知这是等腰三角形．从而得角B ．∴2cos AC B =，∴AB AC =，故6B C π==．考点：余弦定理，正弦定理．20. 如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=︒，22BC AD ==，△PAB 与△PAD 都是等边三角形． （1）证明：CD ⊥平面PBD ； （2）求四棱锥P ABCD -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】试题分析：（1）要证明线面垂直，就是要证线线垂直，要证CD 与平面PBD 中两条相交直线垂直，由平面几何知识易得CD BD ⊥，另一条垂线不易找到，考虑到PA PB PD ==，所以P 在平面ABCD 上的射影O 是ABD ∆的外心，从而O 是BD 中点，那么可得PO CD ⊥，第二个垂直也得到了，从而证得结论；（2）棱锥的体积公式是13V Sh =，由（1）可知PO 就是四棱锥的高，求出底面梯形ABCD 面积，高PO ，可得体积．∵22BC AD ==，90ABC BAD ∠=∠=︒， ∴(12)1322ABCD S +⨯==．又1PA =，AO =，∴PO ==．∴13P ABCD ABCD V S PO -=⋅=．考点：线面垂直的判断，棱锥的体积．21. 如图，已知椭圆Γ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 、2F 分别作两条平行直线AB 、CD 交椭圆Γ于点A 、B 、C 、D ．（1）求证：||||AB CD =；（2）求四边形ABCD 面积的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）ABCD S的最大值为6．【解析】试题解析：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB l ：1x my =-． 联立221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得22(34)690m y my +--=． ∴122634m y y m +=+，122934y y m =-+． 设33(,)C x y ，44(,)D x y ，由//AB CD ，得CD l ：1x my =+．联立221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(34)690m y my ++-=． ∴342634m y y m +=-+，342934y y m =-+． ∴1234()y y y y +=-+，1234y y y y =．∴1234||||y y y y -=-．而12||||AB y y =-，34|||CD y y =-，∴()f t 在[1,)+∞上单调递增，∴min ()(1)10f t f ==．故ABCD S 的最大值为6，此时0m =．考点：直线与圆锥曲线相交综合问题．【名师点睛】若直线y kx b =+与椭圆相交于两点1122(,),(,)A x y B x y，则2x2y =-，由直线方程与椭圆方程联立方程组消元后，应用韦达定理可得1212,x x x x +（或1212,y y y y +），这实质上解析几何中的是“设而不求”法．22. 已知函数3()3||2f x x x a =+-+（a R ∈）．（1）当0a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当1a ≤时，求()f x 在区间[]0,2上的最小值．【答案】（1）()f x 的增区间为(,1)-∞-，(0,)+∞，减区间为(1,0)-；（2）当0a ≤时，()f x 的最小值为32a -+；当01a <≤时，()f x 的最小值为32a +．【解析】试题分析：(1)研究单调性，可求出导函数'()f x ，然后解不等式'()0f x >得单调增区间，解不等式'()0f x <得减区间，注意绝对值，要分类求解；（2）因为[0,2]x ∈，所以先分类0a ≤，01a <≤，前一种情形，绝对值符号直接去掉，所以只要用导数'()f x 研究单调性可得最值，后一种情形同样要去绝对值符号，仅仅此时是分段函数，333()2,2,()3()2,0.x x a a x f x x x a x a ⎧+-+≤≤⎪=⎨--+≤≤⎪⎩，2233,2,'()33,0.x a x f x x x a ⎧+≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩，易得函数的单调性，（2）①0a ≤时，3()3()2f x x x a =+-+，02x ≤≤， 2'()330f x x =+>，()f x 在[]0,2单调递增，∴min ()(0)32f x f a ==-+．②01a <≤时，而02x ≤≤，333()2,2,()3()2,0.x x a a x f x x x a x a ⎧+-+≤≤⎪=⎨--+≤≤⎪⎩ ∴2233,2,'()33,0.x a x f x x x a ⎧+≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩ ()f x 在[],2a 上单调递增，()f a 为最小值．考点：分段函数，用导数研究函数的单调性、最值．。
武汉市名校2019-2020学年七年级第二学期期末统考数学试题含解析
武汉市名校2019-2020学年七年级第二学期期末统考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，在ABC ∆中，AC BC =，若有一动点P 从A 出发，沿A C B A →→→匀速运动，则CP 的长度s 与时间t 之间的关系用图像表示大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】该题属于分段函数：点P 在边AC 上时，s 随t 的增大而减小；当点P 在边BC 上时，s 随t 的增大而增大；当点P 在线段BD 上时，s 随t 的增大而减小；当点P 在线段AD 上时，s 随t 的增大而增大．【详解】解：如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ．∵在△ABC 中，AC=BC ，∴AD=BD ．①点P 在边AC 上时，s 随t 的增大而减小．故A 、B 错误；②当点P 在边BC 上时，s 随t 的增大而增大；③当点P 在线段BD 上时，s 随t 的增大而减小，点P 与点D 重合时，s 最小，但是不等于零．故C 错误； ④当点P 在线段AD 上时，s 随t 的增大而增大．故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．2．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字小于3的概率是（）A．12B．16C．13D．23【答案】C【解析】分析：根据概率公式计算即可．详解：∵一共有6种情况，只有3或4可以与3，4构成等腰三角形三边的长，∴概率P=21 63 ．故选C．点睛：本题考查了简单概率的计算．解题的关键是明确要构成等腰三角形只有两种情况．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④△ABD边AB上的高等于DC.其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB 的中垂线上；④利用角平分线上的一点到线段两端点的距离相等，因此判断出△ABD边AB上的高等于DC.【详解】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确；②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAD=12∠CAB=30°，∴∠ADC=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确；③∵∠BAD =∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上．故③正确；④角平分线上的一点到线段两端点的距离相等, 因此判断出△ABD边AB上的高等于DC.故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．故选D．【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．4．为了调查班级中对新班主任老师的印象，下列更具有代表性的样本是( )A．调查前十名的学生B．调查后十名的学生C．调查单号学生D．调查全体男同学【答案】C【解析】【分析】根据随机抽样的意义分析即可，随机抽样应使总体中每个个体都有相同的被抽取机会.【详解】A、B、D都不具有随机性，故不具有代表性；C具有随机性，每个同学都可能被抽调，故C具有代表性. 故选C.【点睛】本题考查了随机抽样，为了获取能够客观反映问题的结果，通常按照总体中每个个体都有相同的被抽取机会的原则抽取样本，这种抽样的方法叫做随机抽样.样本的选取应具有随机性、代表性、容量应足够大. 5．正六边形的对称轴有（）A．1条B．3条C．6条D．12条【答案】C【解析】【分析】轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可求解．【详解】如图所示：正六边形的对称轴有6条．故选：C．【点睛】此题考查正多边形对称性，关键是正确找到对称轴的位置．6．如图，从位置P到直线公路MN有四条小道，其中路程最短的是（）A．PA B．PB C．PC D．PD【答案】B【解析】【分析】根据垂线的性质即可得到结论．【详解】解：根据垂线段最短得，能最快到达公路MN的小道是PB，故选：B．【点睛】本题考查了垂线段最短，熟记垂线的性质是解题的关键．7．如图，直线AB和CD相交于点O，∠AOD和∠BOC的和为202°，那么∠AOC的度数为( )A．89°B．101°C．79°D．110°【答案】C试题分析：根据对顶角相等及∠AOD和∠BOC的和为202°，即可求得结果.由图可知∠AOD=∠BOC，而∠AOD+∠BOC=202°，∴∠AOD=101°，∴∠AOC=180°-∠AOD=79°，故选C.考点：本题考查的是对顶角，邻补角点评：解答本题的关键是熟练掌握对顶角相等，邻补角之和等于180°.8．下列运用平方差公式计算，错误的是（）A．(b+a)(a-b)=a2-b2B．(m2+n2)(m2-n2)=m4-n4C．(2x+1)(2x-1)=2x2-1 D．(2-3x)(-3x-2)=9x2-4【答案】C【解析】【分析】根据平方差公式逐项分析即可.【详解】A. (b+a)(a-b)=a2-b2，故正确；B. (m2+n2)(m2-n2)=m4-n4，故正确；C. (2x+1)(2x-1)=4x2-1，故不正确；D. (2-3x)(-3x-2)=9x2-4，故正确；故选C.【点睛】本题主要考查平方差公式，(a+b)(a-b)=a2-b2，其特点是：①两个二项式相乘，②有一项相同，另一项互为相反数，③a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式.熟记公式结构是解题的关键.9．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（）A．∠A+∠2=180°B．∠1=∠A C．∠1=∠4 D．∠A=∠3【答案】B【解析】利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论．【详解】A选项：∵∠2+∠A=180°，∴AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行）；B选项：∵∠1=∠A，∴AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF；C选项：∵∠1=∠4，∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行）．D选项：∵∠A=∠3，∴AB∥DF（同位角相等，两直线平行）故选B．【点睛】考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．10．甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（）A．甲超市的利润逐月减少B．乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C．8月份两家超市利润相同D．乙超市在9月份的利润必超过甲超市【答案】D【解析】【分析】根据折线图中各月的具体数据对四个选项逐一分析可得．【详解】A、甲超市的利润逐月减少，此选项正确，不符合题意；B、乙超市的利润在1月至4月间逐月增加，此选项正确，不符合题意；C、8月份两家超市利润相同，此选项正确，不符合题意；D、乙超市在9月份的利润不一定超过甲超市，此选项错误，符合题意，故选D．【点睛】本题主要考查折线统计图，折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．二、填空题11．为了考察某区3500名毕业生的数学成绩，从中抽出20本试卷，每本30份，在这个问题中，样本容量是________．【答案】3500【解析】【分析】根据样本容量的定义可直接作答.【详解】样本容量指数据中提取的总量，要考察某区3500名毕业生的数学成绩，则样本容量就是3500.【点睛】此题重点考察学生对样本容量的理解，掌握其定义是解题的关键.12．已知13x y =⎧⎨=-⎩是方程2x ﹣ay =3的一个解，那么a 的值是 _____ 【答案】13 【解析】【分析】将13x y =⎧⎨=-⎩，代入方程2x-ay=3得到关于a 的方程，解之可得. 【详解】解：将13x y =⎧⎨=-⎩，代入方程2x-ay=3，得：2+3a=3，解得：a=13， 故答案为13. 【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.13．如图，在直角三角尺ACD 与BCE 中，90ACD BCE ∠=∠=︒，60A ∠=︒，45B ∠=︒.三角尺ACD 不动，将三角尺BCE 的CE 边与CA 边重合，然后绕点C 按顺时针方向任意转动一个角度.当ACE ∠(090ACE ︒<∠<︒)等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，写出ACE ∠所有可能的值是_______.【答案】30°，45°，75°【解析】【分析】根据CE⊥AD,CD⊥BE,AD⊥BE,分别即可求出.【详解】如图所示当CE⊥AD，∠ACE=90°-60°=30°，当CD⊥BE，所以∠E=∠ECD=45°，所以∠ACE=90°-45°=45°，当AD⊥BE，所以∠E=∠EFD=45°，又因为∠EFD=∠AFC,∠A=60°，所以∠ACE=180°-45°-60°=75°，故答案是30°，45°，75°.【点睛】本题考察了余角的定义和三角形的内角和定理，学生需要认真分析即可求解.14．一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD=150°，则∠ABC=_____度．【答案】1【解析】分析：先过点B作BF∥CD，由CD∥AE，可得CD∥BF∥AE，继而证得∠1+∠BCD=180°，∠2+∠BAE=180°，又由BA垂直于地面AE于A，∠BCD=150°，求得答案．详解：如图，过点B作BF∥CD，∵CD∥AE，∴CD∥BF∥AE，∴∠1+∠BCD=180°，∠2+∠BAE=180°，∵∠BCD=150°，∠BAE=90°，∴∠1=30°，∠2=90°，∴∠ABC=∠1+∠2=1°．故答案为：1．点睛：此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．15．观察下列有规律的点的坐标：12345(1,1),(2,4),(3,4),(4,2),(5,7),A A A A A --646,,3A ⎛⎫- ⎪⎝⎭78(7,10),(8,1)A A -……，依此规律，11A 的坐标为________，12A 的坐标为_________.【答案】（11，16） （12，-23） 【解析】【分析】观察所给点的坐标的规律得到各点的横坐标与该点的序号数相等；当序号数为奇数时，前面一个点的纵坐标加上3得到其后面一个点的纵坐标；当序号数为偶数时，从A 2开始，前面一个点的纵坐标延长乘以12、23、34、45等得到其后面一个点的纵坐标，按此规律易得A 11的坐标为（11，16）；A 12的坐标为（12，-23）． 【详解】∵A 1(1,1);A 2(2,−4);A 3(3,4);A 4(4,−2);A 5(5,7);A 6(6,−43);A 7(7,10);A 8(8,−1)…，∴A 11的横坐标为11,A 12的横坐标为12；∵A 1(1,1);A 3(3,4);A 5(5,7);A 7(7,10)；…，∴A 9的坐标为(9,13),A 11的坐标为(11,16)；∵A 2(2,−4);A 4(4,−2);A 6(6,− 43);A 8(8,−1)…， ∴−4×12=−2,−2×23=−43,−43×34=−1， ∴A 10的纵坐标为−1×45=−45， ∴A 12的纵坐标为−45×56=−23,即A 12的坐标为(12,− 23). 故答案为(11,16);(12,− 23). 16．如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，∠ACG 是△ABC 的外角，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，记∠ADC=α，∠ACG=β，∠AEF=γ，则：α、β、γ三者间的数量关系式是______.【答案】2∠α=∠β+∠γ.【解析】分析：根据两直线平行，同位角相等可得∠B=γ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BAD 、∠CAD ，再根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD ，然后列出方程整理即可得解． 详解：∵EF ∥BC ，∴∠B=γ，由三角形的外角性质得，∠BAD=α-∠B=α-γ，∠CAD=β-α，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD=∠CAD ，∴α-γ=β-α，∴β+γ=2α．故答案为：β+γ=2α．点睛：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关键．17．在下列各数 中无理数有________个.16-π，-32，，0，0.5757757775……（相邻两个5之间的7的个数逐次加1）．【答案】7【解析】，-π，，0，0.5757757775……是无理数， 故填：7.点睛：本题考查了无理数，解答本题的关键是掌握无理数的三形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数.注意：判断一个数是不是无理数，不能只看形式，要看化简的结果.三、解答题18．某市为提倡节约用水，准备实行自来水阶梯计算方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费，为了更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图，（每组数据包括在右端点但不包括左端点），请你根据统计图解答下列问题：（1）此次抽样调查的样本容量是___________（2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数．（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区10万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格？【答案】（1）100 （2）见解析，72°（3）6.8万【解析】【分析】（1）根据统计图可知“10吨~15吨的用户为10户，占到总数的10%”，从而可求得此次调查的总数.（2）先利用总数求得“15吨～20吨”的用户数，再用360°乘以它所占的百分比即可求得“15吨～20吨”部分的圆心角的度数．（3）用10万户乘以样本中用水量小于25吨的用户所占的比即可.【详解】解：（1）此次调查的总数为：10÷10%=100（户），∴此次抽样调查的样本容量是100.（2）用水量在“15吨～20吨”的用户数为：100-10-38-24-8=20（户），补全频数分布直方图如下：扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数为：360°×20100=72°，（3）少于25吨的用户数为：10203810100++⨯=6.8（万户）答：该地区10万用户中约有6.8万用户享受基本价格.【点睛】本题考查了抽样调查及频数分布直方图.理解各统计图中数据的意义是解题关键.19．若323250x y y y ++-+=，试求x 与y 的值. 【答案】1035x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩【解析】【分析】根据几个非负性相加，各自为零，列出方程组，解方程组求出x 和y 的值，【详解】解：依题可得：32032y 50x y y +=⎧⎨-+=⎩ 方程组的解为：1035x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩【点睛】考查了二元一次方程组的解法，解题关键是运用了绝对值非负性得出x 、y 的值.20．织里某品牌童装在甲、乙两家门店同时销售A,B 两款童装，4月份甲门店销售A 款童装60件，B 款童装15件，两款童装的销售总额为3600元，乙门店销售A 款童装40件，B 款童装60件，两款童装的销售总额为4400元.（1）A 款童装和B 款童装每件售价各是多少元？（2）现计划5月将A 款童装的销售额增加20％，问B 款童装的销售额需增加百分之几，才能使A,B 两款童装的销售额之比为4：3？【答案】（1）A 款童装每件售价为50元，B 款每件40元（2）50％【解析】分析:(1)设出甲、乙两家门店A 款童装和B 款童装每件售价分别为x 、y 元，根据销售量与销售金额列出方程组求解即可；（2）先求出5 月份A 款销售额为6000元，再求出5月B 款销售额为4500元，根据A,B 两款童装的销售额之比为4：3可求出结论.详解：（1）解 设A 款童装每件售价为x 元，B 款每件y 元由题意得6015360040604400x y x y +=⎧⎨+=⎩解得5040x y =⎧⎨=⎩即：A 款童装每件售价为50元，B 款每件40元.（2）5月 A 款销售额为（60+40）⨯50⨯（1+20%）=6000元.由题意得5月B款销售额为3 600045004⨯=元.4月B款销售额为（15+60）⨯40=3000元.∴B款销售额增加45003000100%50% 3000-⨯=.点睛：本题考查分式方程的应用，二元一次方程组的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．21．计算：（m-n）（m2+mn+n2）．【答案】m3-n3【解析】【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则即可求出答案．【详解】（m-n）（m2+mn+n2）=m3+m2n+ mn2- m2n- mn2-n3= m3-n3【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题22．已知xy2=1，先化简，再求（2xy2）2-（-2xy）2•xy4的值．【答案】4（xy2）2-4（xy2）3，1【解析】【分析】先算乘方，再算乘法，最后变形后代入，即可求出答案．【详解】解：（2xy2）2-（-2xy）2•xy4=4x2y4-4x2y2•xy4=4x2y4-4x3y6=4（xy2）2-4（xy2）3，当xy2=1时，原式=4-4=1．【点睛】本题考查整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解题的关键．23．某大学计划为新生配备如图1所示的折叠凳.图2是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长相等,O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm,由以上信息能求出CB的长度吗?请你说明理由.【答案】能求出CB的长度.理由见解析.【解析】试题分析：根据O为中点得出OA=OB，OC=OD，从而得出△AOD和△BOC全等，从而得出CB=AD得出答案．试题解析：由以上信息能求出CB的长度,理由如下:因为O是AB,CD的中点,所以OA=OB,OC=OD.在△AOD和△BOC中, OA=OB,∠AOD=∠BOC,OC=OD, 所以△AOD≌△BOC(SAS).所以CB=AD. 因为AD=30cm, 所以CB=30cm.24．如图所示，一个大正方形中剪下一个长方形，留下“L”型的图形（阴影部分），请你根据图中所给的数据，用x，y的代数式表示阴影部分的面积并化简.【答案】2x【解析】【分析】用大正方形的面积减去长方形的面积即可.【详解】2=(2)4()S x y y x y+-+阴影22224444x xy y xy y x=++--=.【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键. 混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算；如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行；有时也可以根据运算定律改变运算的顺序.25．解方程组或不等式组（1）3 236 x yx y-=⎧⎨+=⎩（2）338213(1)8xx x -⎧-≥⎪⎨⎪--<+⎩【答案】①3xy=⎧⎨=⎩②x≥25【解析】分析：（1）用②-①的两边都乘以2，消去x,求出y的值，然后把求得的y的值代入①，求出x的值；（2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可.详解：①解：由（2）－（1）×2得5y=0y=0把y=0代入（1）得x=3所以原方程组的解为30 xy=⎧⎨=⎩②解：由（1）得x≥25由（2）得x＞-1所以原不等式组的解是：x≥25点睛：本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法是解答本题的关键.。
湖北省武汉市硚口区2019-2020学年上学期期末考试七年级数学试卷
2019～2020学年度第一学期期末考试七年级数额学试卷一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，从左面看这个几何体，所看到的平面图形是（ ）A ．B ．C ．D ．2.-15的倒数为（ ）A ．15B ．-15C ．151D ．151- 3.如图，把一个蛋糕分成n 等份，要使每份中的角是45°，则n 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．94.若2=x 是关于x 的方程24-=+ax 的解，则a 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．-3D ．35.下列运算正确的是（ ）A ．xy y x =+B ．x x x 82012-=-C ．53243x x x =+D ．14522=-y x y x6.如图，货轮O 航行过程中，同时发现灯塔A 和轮船B ，灯塔A 在货轮O 北偏东40°的方向，BOW AOE ∠=∠，则轮船B 在货轮O 的方向是（ ）A ．西北方向B ．北偏西60°C ．北偏西50°D ．北偏西40°7.我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，良马数日追及之”.其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x 天可以追上慢马，则由题意，可列方程为（ ）A ．()12240150-=x xB ．()x x 24012150=-C ．()x x 24012150=+D ．()12240150+=x x8.一商店在某一时间以每件a 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总共亏损4元，则a 的值为（ ）A ．30B ．40C ．50D ．609.如图，用火柴棍分别拼成一排三角形组成的图形和一排正方形组成的图形，如果搭建三角形和正方形一共用了2020根火柴，且三角形的个数比正方形的个数多4个，则搭建三角形的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．10.如图，数轴上点C B A ，，所对应的数分别为c b a ，，，且都不为0，点C 是线段AB 的中点，若c a c b c b a b a 222---+++=+，则原点O 的位置（ ）A ．在线段AC 上B ．在线段CA 的延长线上C ．在线段BC 上D ．在线段CB 的延长线上二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11.单项式2xy 的系数是 ，次数是 ．12.α∠的补角是它的4倍，则α∠的度数是 ．13.整理一批图书，有一个人做要30h 完成.现计划x 人先做1h ，然后增加6人与他们一起做2h ，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，则=x ．14.观察下列图形，2条直线相交，有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，…，像这样，10条直线相交最多有 个交点.15.如图，长方形纸片ABCD ，将CBD ∠沿对角线BD 折叠得BD C '∠，B C '和AD 相交于点E ，将ABE ∠沿BE 折叠得BE A '∠，若α='∠BD A ，则CBD ∠度数为 ．（用含α的式子表示）16.在9点至10点之间的某时刻，钟表的时针与分针构成的夹角是110°，则这时刻是9点 分.三、解答题：共8小题，共72分.17.计算：（1）()248-÷+-（2）2332942⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷- 18.先化简下式，再求值： ⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-22312331221y x y x x ，其中2-=x ，32=y 19.解下列方程：（1）()203327=-+x x（2）6751413-=--x x 20.如图，已知点D C B A ，，，.（1）试要求画图：①连接AD ，作射线BC ；②画点P ，使PD PC PB PA +++的值最小；③画点E ，使点E 既在直线CD 上又在直线AB 上.（2）填空：若点B 是线段AE 的中点，点F 在直线AB 上.1=BF ，3=AB ，则EF 的长为 .21.蛋糕点厂生产大小两种月饼，下表是A 型、B 型、C 型三种月饼礼盒中装有大小两种月饼数量和需要消耗的面粉总重量的统计表.（1）直接写出制作1个大月饼要用 g 面粉，制作1个小月饼要用 g 面粉；（2）直接写出=a ，=b ；（3）经市场调研，该糕点厂要制作一批C 型月饼礼盒，现共有面粉63000g ，问制作大小两种月饼各用多少面粉，才能生产最多的C 型月饼礼盒？22.下表中有两种移动电话计费方式：说明：月使用费固定收取，主叫不超限定时间不再收费，主叫超时部分加收超时费，被叫免费. （1）若李明某月主叫通话时间为700分钟，则他按方式一计费需 元，按方式二计费需 元（用含a 的代数式表示）；若他按方式一计费需60元，则主叫通话时间为 分钟；（2）若方式二中主叫超时费2.0=a （元/分钟），是否存在某主叫通话时间t （分钟），按方式一和方式二的计费相等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）若主叫时间为750分钟时，两种方式的计费相等，直接写出a 的值为 ；请你通过计算分析后，直接给出当月主叫通话时间t （分钟）满足什么条件时，选择方式二省钱？23.点O 在直线AD 上，在直线AD 的同侧，作射线OM OC OB ，，平分AOC ∠.（1）如图1，若 40=∠AOB ， 60=∠COD ，直接写出BOC ∠的度数为 ，BOM ∠的度数为 ；（2）如图2，若COD BOM ∠=∠21，求BOC ∠的度数； （3）若AOC ∠和AOB ∠互为余角且 604530，，≠∠AOC ，ON 平分BOD ∠，试画出图形探究BOM ∠与CON ∠之间的数量关系，并说明理由.24.点B A ，分别对应数轴上的数b a ，，且b a ，满足()01022=-++b a ，点P 是线段AB 上一点，AP BP 2=.（1）直接写出=a ，=b ，点P 对应的数为 ；（2）点C 从点P 出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，点D 从点B 出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为()4≠t t 秒. ①在运动过程中，ACPD 的值是否发生变化？若不变求出其值，若变化，写出变化范围； ②若PD PC 4=，求t 的值；③若动点E 同时从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，与点D 相遇后，立即以同样的速度返回，t 为何值时，E 恰好是CD 的中点.硚口区七年级数学期末考试答案一、选择题1-5:DDCCB 6-10:DCABA二、填空题11.1 3 12.36° 13.6 14.45 15.30°+3α 16.1140或11320 三、解答题17.（1）解：原式⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+-=2148 ()28-+-=10-（2）解：原式94498⨯⨯-= 8-=18.解：原式22312332221y x y x x -+-+-= 23y x -=①将2-=x ，32=y 代入①得：958946-=-- 19.（1）解：()203327=-+x x20667=-+x x2613=x2=x（2）解：6751413-=--x x 14101239-=--x x1=-x1-=x20.（2）213=-=EF 或413=+=EF21.解（1）50 30（2）6 4（3）设能够生产x 盒C 型礼盒63004306050=⨯+⨯x x6300420=x150=xg 45000150650=⨯⨯g 180********=⨯⨯∴用g 45000制作大月饼，g 18000制作小月饼.22.解：（1）75 45100+a 600（2）当600400<<t 时，()40015.03045-+=t 500=t当t ≤600时，()()40015.0306002.045-+=-+t t 900=t500和900分钟时，两种方式费用一样.（3）25.0=a当750500<<t 时，方式二更省钱.23.解：（1）80° 20°（2）设x COM ADM =∠=∠()x x BDM -=-=∠ 90218021 90=+∠=∠x BDM BOC（3）当 300<∠<AOB 时，即OB 在OM 下方时 设x AOB =∠∴x AOC -=∠ 90 ∴x AOM 2145-=∠ ∴x x x BOM 23452145-=--=∠ x DOB DOA 219021-==∠ . ∴x x x DON DOC CON 23219090=+-+=∠-∠=∠ ∴ 45=∠+∠CON BOM②当9030<∠<AOB ，即OB 在OM 上方时x AOB =∠∴x AOC -=∠ 90 ∴x AOM 2145-=∠∴ 4523-=∠x BOM ∵x x DOC +=+-=∠ 9090180x BOD DON 219021-=∠=∠ ∴x CON 23=∠ 24.（1）2-=a 10=b 2：P（2）①t C -2： t D 210-： 2：P 82-=t PD 4-=t AC ∴2=ACPD ②t PC =，82-=t PD732824=⇒-=t t t 或932. ∴ 45=∠-∠BOM CON③t C -2:，t D 210:-⎩⎨⎧>-<<-2,41420,24:t t t t E ∴482102-=-+-t t t 或t 828- 1116=t 或516=t。
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1 是否能构成一个
锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，只需将每个人的结论记录下来就能算出圆周率的近似值。假设有 而有 m 个人说 “不能 ”，那么应用你学过的知识可算得圆周率 π的近似值为
n 个人说 “能 ”，
m A.
mn
n B.
mn
4m C.
mn
4n D.
mn
新高三起点理科数学试卷
1
18.设 △ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为
A.1
B.2
C.1 或 16
D.2 或 8
11. 设同时抛掷两个质地均匀的四面本别标有
1,2,3,4 的正四面体一次。记事件 A=｛第一个四面体向下的一面出现偶数｝ ；
事件 B=｛第二个四面体向下的一面出现奇数｝ ；事件 C=｛两个四面体向下的一面或者同时出现奇数， 或者同时出现偶数｝ 。
给出下列说法：
a，b，c，已知 a cos B
c
b ，且 a 2
23
第1页 共2页
（ 1）求 A；
（ 2）若 △ ABC 的面积为 2 3 ，求 △ ABC 的周长。
19.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形，且 BA BP BD AP 2, DA DP 2 （ 1）求证： PA⊥ BD ； （ 2）求二面角 P-BD-C 的余弦值。
2.设 z 1 i 2i ，则 z 1i
A. 0
B. 1
C. 5
D. 3
2
2
xy
5
3.已知双曲线 E : 16
m2
1 的离心率为
，则双曲线 4
E 的焦距为
A.4
B.5
4.已知 , 是两个不重合的平面，直线
A. 充分不必要条件
C.充要条件
C.8 a , pq 的
B.必要不充分条件
2019-2020 学年度武汉市部分学校新高三起点质量监测
理科数学
一．选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1.已知集合 A x x2 x 2 0 ，则 eR A
A. x 1 x 2 B. x 1 x 2 C. x x 1或x 2 D. x x 1或 x 2
A. 16 3
B. 8 3
C. 4 3
D. 2 3
（ 2）设 bn
1 ，求数列的前 n 项和 Tn 。
anan 2
9.圆周率 π是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数，它既常用又神秘，古今中外很多数学家曾研究它的计算方法。
下面做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于
1 的正数，然后请他们各自检查一下，所得的两个数与
②在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已经调查过的累计得分恰为
n 分的概率为 Bn ，探讨 Bn 与 Bn 1 之间的关系，
并求数列 Bn 的通项公式。
20.已知动点 P 到直线 l : x 2 的距离比它到定点 F (1,0) 的距离多 1。
（ 1）求动点 P 的轨迹 E 的方程； （ 2）若 A 为（ 1）中的曲线 E 上的一点，过点 A 作直线 l 的垂线，垂足为 C，过坐标原点 O 的直线 OC 交曲线 E 于另外一 点 B，证明直线 AB 过定点，并求出定点的坐标。
新高三起点理科数学试卷 第 2 页 共 2 页
现对已游览黄鹤楼的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记
1 分，若继续游玩东湖记
1 景点的概率均为 ，游客之间选择意愿相互独立。
2 （ 1）从游客中随机抽取 3 人，记总得分为随机变量
X，求 X 的分布列与期望；
2 分，每位游客选择是否游览东湖
（ 2）①若从游客中随机抽取 m 人，记总分恰为 m 分的概率为 Am ，求数列 Am 的前 10 项和；
14.已知数列 an 满足 an a +1 n an 1, a1 2 ，则 a2019 = __________
A. 把曲线 C1 向右平移 个单位，得到曲线 C2 8
B.把曲线 C1 向左平移 个单位，得到曲线 C2 4
C.把曲线 C2 向左平移
个单位，得到曲线 4
C1
D.把曲线 C2 向右平移 个单位，得到曲线 C1 8
D. 既不充分也不必要条件
5.已知函数 f ( x) ax sin x xcos x 为奇函数，则 f ( ) 3
A. 6
3 B.
6
C. 6
3 D.
6
x2 10.已知 P 是椭圆 E :
4
y2 1 上任意一点， M,N 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线
m
PM ，PN 的斜率分别为
k1 , k2 k1 , k2 0 ，若 k1 k2 的最小值为 1，则实数 m 的值为
① P( A) P(B) P(C) ；
② P( AB ) P( AC) P(BC ) ；
1 ③ P(ABC) ；
8
1 ④ P(A)P(B)P(C) ，其中正确的有
8
A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.3 个
12.已知 a 4ln3 , b 3ln 4 , c 4ln 3 ，则 a,b, c 的大小关系是
1
m
22.已知函数 f ( x) x sin x ln x 1, f ( x) 是 f ( x) 的导数。
2
2
（ 1）证明：当 m 2 时， f (x) 在 0, 上有唯一零点；
（ 2）若 x1, x2 0,
，且 x1 x2 时 f ( x1) f (x2 ) ，证明： x1 x2 m2 。
21.武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着 众多名胜古迹与旅游景点， 每年来武汉参观旅游的人数不胜数， 其中黄鹤楼和东湖被称为两张名片。 为合理配置旅游资源，
A. c b a
B. b c a
C. b a c
D. a b c
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
10
11
12
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
n
1 13.若 2 x 3 x 的展开式中所有项系数和为
81，则展开式中的常数项为 _________
6.已知曲线 C1 : y 2 sin 2x,C2 : y sin 2x cos 2x ，则下面结论正确的是
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.已知数列 an 的前 n 项和为 Sn n2 。
A. 0, e
B. 0,1
C. 0, e
D. 0,1
（ 1）求数列 an 的通项公式；
8.已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上， PA PB PC 2 ，且 PA, PB, PC 两两垂直，则球 O 的体积为
x
e
7.已知函数 f ( x)
a 没有零点，则实数 a 的取值范围是
x
15.已知平面向量 a,b,e 满足 a e 1,e b 1, e 1, a b 4 ，则 a b 的最小值为 ________
16.若直线 y
kx b 是曲线 y
ln x 的切线，也是曲线
y
ex
2
的切线，则
k=__________