各类型二叉树例题说明
二叉树相关的面试题
二叉树相关的面试题一、二叉树面试题常见类型1. 二叉树的概念二叉树就是每个节点最多有两个子树的树结构，这两个子树被分别称为左子树和右子树。
比如说，我们可以想象成一棵家族树，一个爸爸最多有两个孩子，左孩子和右孩子，这就是二叉树的基本概念啦。
2. 二叉树的遍历有前序遍历、中序遍历和后序遍历哦。
前序遍历就是先访问根节点，再访问左子树，最后访问右子树。
就像我们去旅游先到一个景点的大门（根节点），然后去左边的小景点（左子树），最后去右边的小景点（右子树）。
中序遍历是先左子树，再根节点，最后右子树，这就好比先看左边的小景色，再看大门，最后看右边的小景色。
后序遍历是先左子树，再右子树，最后根节点，就像把两边小景色都看完了，最后再看大门整体的感觉。
3. 二叉树的高度计算二叉树的高度就是从根节点到叶节点最长路径上的节点数。
计算的时候要一层一层地去数，从根开始，一直到最深的叶子那里。
4. 二叉树的平衡判断一棵二叉树是平衡二叉树的话，它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右子树都是平衡二叉树。
这就像两边的孩子不能长得太不均衡啦，一边特别高，一边特别矮可不行。
5. 二叉树的构建可以根据给定的遍历序列来构建二叉树。
比如说给了前序遍历和中序遍历的序列，我们就可以通过分析先确定根节点，再根据中序遍历确定左右子树，然后逐步构建出二叉树。
这就像是根据一些线索去拼凑出一个完整的图形一样有趣。
二、二叉树面试题实例1. 题目：给定一个二叉树的前序遍历序列为[1, 2, 4, 5, 3, 6, 7]，中序遍历序列为[4, 2, 5, 1, 6, 3, 7]，构建出这个二叉树。
解答：首先从前序遍历知道根节点是1，然后在中序遍历中找到1，1左边的[4, 2, 5]就是左子树的中序遍历，右边的[6, 3, 7]就是右子树的中序遍历。
再根据前序遍历中左子树节点的顺序[2, 4, 5]，可以确定2是左子树的根节点，然后继续这样分析下去就可以构建出二叉树啦。
二叉树算法题
二叉树算法题
题目一：二叉树的深度
给定一个二叉树，找出其最大深度。
示例：
输入：
# 定义二叉树节点
class TreeNode:
def __init__(self, x):
self.val = x
self.left = None
self.right = None
# 创建二叉树
root = TreeNode(3)
root.left = TreeNode(9)
root.right = TreeNode(20)
root.right.left = TreeNode(15)
root.right.right = TreeNode(7)
输出：
4
解释：二叉树的深度为4，分别是 [3], [9, 20], [15, 7] 和 []。
提示：递归深度优先搜索 (DFS) 是一个有效的解决方案。
对于每个节点，我们可以递归地计算其左子树和右子树的深度，然后返回最大的深度。
为了避免重复计算，我们可以使用一个队列来存储已访问的节点。
在计算深度的过程中，我们需要跟踪当前的深度。
当我们到达一个节点的深度时，我们就可以从队列中删除它，因为我们不需要再次计算它。
为了避免进入无限循环，我们需要在算法中使用一个变量来记录访问过的节点数量，如果超过了树中的节点数量，我们可以提前返回结果。
各类型二叉树例题说明
各类型二叉树例题说明5.1树的概念树的递归定义如下：（1）至少有一个结点（称为根）（2）其它是互不相交的子树1.树的度——也即是宽度，简单地说，就是结点的分支数。
以组成该树各结点中最大的度作为该树的度，如上图的树，其度为3;树中度为零的结点称为叶结点或终端结点。
树中度不为零的结点称为分枝结点或非终端结点。
除根结点外的分枝结点统称为内部结点。
2.树的深度——组成该树各结点的最大层次，如上图，其深度为4；3.森林——指若干棵互不相交的树的集合，如上图，去掉根结点A，其原来的二棵子树T1、T2、T3的集合{T1,T2,T3}就为森林；4.有序树——指树中同层结点从左到右有次序排列，它们之间的次序不能互换，这样的树称为有序树，否则称为无序树。
5.树的表示树的表示方法有许多，常用的方法是用括号：先将根结点放入一对圆括号中，然后把它的子树由左至右的顺序放入括号中，而对子树也采用同样的方法处理；同层子树与它的根结点用圆括号括起来，同层子树之间用逗号隔开，最后用闭括号括起来。
如上图可写成如下形式： (A(B(E(K,L),F),C(G),D(H(M),I,J)))5. 2 二叉树1.二叉树的基本形态：二叉树也是递归定义的，其结点有左右子树之分，逻辑上二叉树有五种基本形态：(1)空二叉树——(a)；(2)只有一个根结点的二叉树——(b)；(3)右子树为空的二叉树——(c)；(4)左子树为空的二叉树——(d)；(5)完全二叉树——(e)注意：尽管二叉树与树有许多相似之处，但二叉树不是树的特殊情形。
2.两个重要的概念：(1)完全二叉树——只有最下面的两层结点度小于2，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树；(2)满二叉树——除了叶结点外每一个结点都有左右子女且叶结点都处在最底层的二叉树,。
如下图：完全二叉树1页满二叉树3.二叉树的性质(1) 在二叉树中，第i层的结点总数不超过2^(i-1)；(2) 深度为h的二叉树最多有2h-1个结点(h>=1)，最少有h个结点；(3) 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1；(4) 具有n个结点的完全二叉树的深度为int（log2n）+1(5)有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储，则结点之间有如下关系：若I为结点编号则如果I<>1，则其父结点的编号为I/2；如果2*I<=N，则其左儿子（即左子树的根结点）的编号为2*I；若2*I>N，则无左儿子；如果2*I+1<=N，则其右儿子的结点编号为2*I+1；若2*I+1>N，则无右儿子。
CRR二叉树模型及例题
CRR 二叉树模型CRR 二叉树模型(Cox-Ross-Rubinstein 模型)，简称CRR 模型。
第1步：确定p,u,d 参数。
tt t r e d e u d u d e p ∆-∆∆==--=σσ其中, t ∆为把时间分成的许多小的时间段; 上升的比率为u,它的概率为p; 下降的比率为d,它的概率为1-p; r 为利率;σ为标准差;第2步：二叉树结构。
当时间为0时，证券价格为S ，时间为t ∆时，证券价格要么上涨到Su ，要么下跌到Sd;时间为2t ∆时，证券价格就有3种可能，分别为22,,Sd Sud Su ，以此类推，在时间i t ∆，证券价格有i+1种可能，用公式表示为j i j d Su -其中，j=0,1,2,3,…,i=1,2,3,…。
第3步：根据二叉树进行倒推定价。
在二叉树模型中，期权定价从树形图末端开始，采用倒推定价法进行。
由于在T 时刻欧式看跌期权现金流为max(K-S T ,0)，求解T-t ∆时刻每一节点上的期权价格时都可以通过将T 时刻齐全现金流预期值以无风险收益率进行贴现求出。
假设将欧式看跌期权的存续期分成N 个长度为t ∆的小区间，设)0,0(i j N i f j i ≤≤≤≤-表示在时刻i t ∆第j 个节点处的欧式看跌期权价格，也称j i f -为节点（i,j ）的期权价值，同时j i j d Su -表示节点（i,j ）处的标的价格，欧式看跌期权到期价值是max(K-S T ,0),所以有)0,max(,j N j j N d Su K f --=其中，j=0,1,2,3,…,N 。
当时间从i t ∆变到（i+1）t ∆时，从节点（i,j ）移动到（i+1,j+1）的概率为p,移动到（i+1,j ）的概率为（1-p ）,则在风险中性情况下i j N i f p pf e f j i j i t r j i ≤≤-≤≤-+=+++∆-0,10],)1([,11,1,当我们选择的时间间隔足够小时，就可以求出欧式看跌期权的精确值。
二叉树的几个经典例题
⼆叉树的⼏个经典例题⼆叉树遍历1题⽬描述编⼀个程序，读⼊⽤户输⼊的⼀串先序遍历字符串，根据此字符串建⽴⼀个⼆叉树（以指针⽅式存储）。
例如如下的先序遍历字符串： ABC##DE#G##F### 其中“#”表⽰的是空格，空格字符代表空树。
建⽴起此⼆叉树以后，再对⼆叉树进⾏中序遍历，输出遍历结果。
输⼊描述:输⼊包括1⾏字符串，长度不超过100。
输出描述:可能有多组测试数据，对于每组数据，输出将输⼊字符串建⽴⼆叉树后中序遍历的序列，每个字符后⾯都有⼀个空格。
每个输出结果占⼀⾏。
输⼊abc##de#g##f###输出c b e gd f a思路：递归建树。
每次都获取输⼊字符串的当前元素，根据题⽬要求（先序、中序、后序等+其他限制条件）建树。
再根据题⽬要求输出即可。
1 #include<bits/stdc++.h>2using namespace std;3struct node{4char data;5 node *lchild,*rchild;6 node(char c):data(c),lchild(NULL),rchild(NULL){}7 };8string s;9int loc;10 node* create(){11char c=s[loc++];//获取每⼀个字符串元素12if(c=='#') return NULL;13 node *t=new node(c);//创建新节点14 t->lchild=create();15 t->rchild=create();16return t;17 }18void inorder(node *t){//递归中序19if(t){20 inorder(t->lchild);21 cout<<t->data<<'';22 inorder(t->rchild);23 }24 }25int main(){26while(cin>>s){27 loc=0;28 node *t=create();//先序遍历建树29 inorder(t);//中序遍历并输出30 cout<<endl;31 }32return0;33 }⼆叉树遍历2题⽬描述⼆叉树的前序、中序、后序遍历的定义：前序遍历：对任⼀⼦树，先访问跟，然后遍历其左⼦树，最后遍历其右⼦树；中序遍历：对任⼀⼦树，先遍历其左⼦树，然后访问根，最后遍历其右⼦树；后序遍历：对任⼀⼦树，先遍历其左⼦树，然后遍历其右⼦树，最后访问根。
树与二叉树典型例题讲解
练习
• 设树T的度为4，其中度为1，2，3和4的结 点个数分别为4，2，1，1 则T中的叶子数 为
证明：
• 二叉树度为0的结点总比度为2的结点多1个 因为二叉树所有结点滴个数都不大于2，所以结点总数 n=n0+n1+n2 (1) 又因为度为1和度为2的结点分别有1个子树和2个子树，所以， 二叉树中子树结点就有n(子）=n1+2n2 二叉树中只有根节点不是子树结点，所以二叉树结点总数n=n(子） +1 即 n=n1+2n2+1 (2) 结合（1）式和（2）式就得n0=n2+1
E
而由二叉树转化为森林的步骤得到对应的森林。
A B C F I
E G J H
D
例题6.8 证明n0个叶子结点的哈夫曼树共有2n0-1个结点。 证明：设度为1和2的结点个数分别为n1和 n2，二叉树结点总数为n，则 有：n=n0+n1+n2 根据二叉树的性质知：n0=n2+1 此外，由哈夫曼树的构造原理可知：哈夫曼树不存在度为1的结点，即 n1=0；所以由①②可得： n=n0+0+n2=n0+n0-1=2n0-1
二叉树的先序线索二叉树如下左图所示，后序线索二叉树如下右图所示。
A
NIL
A C B C
B
D
F H
E
NIL
D
F HE GIG来自I先序线索二叉树
后序线索二叉树
例题6.7 如果已知森林的前序序列和后序序列分别为ABCDEFIGJH和 BDCAIFJGHE，请画出该森林。 【解】由于森林的前序序列与其对应的二叉树前序序列相同，而森林的 后序序列与其对应的二叉树中序序列相同。因此，根据二叉树前序序 列ABCDEFIGJH和中序序列BDCAIFJGHE可画出二叉树如下图所示。 A B C D I J F G H
二叉树例题
二叉树例题摘要：一、二叉树的基本概念1.二叉树的定义2.二叉树的特点3.二叉树的重要性质二、二叉树的重要操作1.插入节点2.删除节点3.遍历二叉树三、二叉树的应用场景1.数据结构2.算法设计3.实际应用案例正文：一、二叉树的基本概念1.二叉树定义二叉树是一种特殊的树形数据结构，其中每个节点最多只有两个子节点，通常分别称为左子节点和右子节点。
由于每个节点最多只有两个子节点，因此二叉树具有很好的分支特性，可以实现高效的数据查找、插入和删除操作。
2.二叉树的特点二叉树的主要特点如下：（1）每个节点最多只有两个子节点；（2）子节点有左右之分，顺序不能颠倒；（3）二叉树具有很好的分支特性，方便进行数据操作。
3.二叉树的重要性质二叉树有许多重要的性质，如：（1）二叉树的节点总数n=2^k - 1，其中k为非负整数；（2）完全二叉树的节点总数n=2^k - 1，其中k为非负整数，并且除了最后一层外，其他层都是满的；（3）满二叉树的节点总数n=2^k - 1，其中k为非负整数，并且每一层都是满的。
二、二叉树的重要操作1.插入节点在二叉树中插入一个新节点的过程称为插入操作。
插入操作需要遵循以下原则：（1）若新节点的值小于当前节点的值，将新节点插入到当前节点的左子树中；（2）若新节点的值大于当前节点的值，将新节点插入到当前节点的右子树中；（3）若新节点的值等于当前节点的值，根据具体需求进行处理，如插入到右子树或创建一个新的平衡二叉树。
2.删除节点在二叉树中删除一个节点的过程称为删除操作。
删除操作需要遵循以下原则：（1）若要删除的节点无子节点，直接将该节点从树中移除；（2）若要删除的节点只有一个子节点，将该节点的值赋予子节点，然后删除子节点；（3）若要删除的节点有两个子节点，找到该节点的右子树中的最小节点，将该节点的值赋予最小节点，然后删除最小节点。
3.遍历二叉树遍历二叉树是指按照某种顺序访问二叉树的每个节点。
常见的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历。
二叉排序树的例题
二叉排序树的例题一、二叉排序树的例题二叉排序树呢，可有趣啦。
我给你多来点例题哈。
例1：有这么一组数，12，5，18，2，9，15，19。
让你构建二叉排序树。
那咱就开始呗。
先把12当作根节点，5比12小，就放在12的左子树位置，18比12大，就放在12的右子树位置。
然后2比5小，放在5的左子树，9比5大比12小，放在5的右子树。
15比12大比18小，放在18的左子树，19比18大，放在18的右子树。
答案和解析：答案就是构建出来的二叉排序树（这里你可以自己画一下哈，根节点12，左子树5，右子树18，5的左子树2，右子树9，18的左子树15，右子树19）。
解析呢，二叉排序树的构建规则就是，左子树的节点值都小于根节点值，右子树的节点值都大于根节点值。
按照这个规则，一个一个数去放就好啦。
例2：已知一个二叉排序树的前序遍历序列是30，20，10，25，23，39，35，42。
求这个二叉排序树的中序遍历序列。
我们先根据前序遍历序列构建二叉排序树。
30是根节点，20比30小，是左子树，10比20小，是20的左子树，25比20大，是20的右子树，23比25小，是25的左子树，39比30大，是30的右子树，35比39小，是39的左子树，42比39大，是39的右子树。
然后求中序遍历序列。
中序遍历就是先左子树，再根节点，再右子树。
那就是10，20，23，25，30，35，39，42。
答案和解析：答案：10，20，23，25，30，35，39，42。
解析：先根据前序遍历构建二叉排序树，然后按照中序遍历的规则得到序列。
前序遍历第一个数就是根节点，然后根据大小关系构建树，中序遍历的顺序就是左子树、根节点、右子树。
例3：给你一个二叉排序树，根节点为50，左子树节点有30、20、40，右子树节点有70、60、80。
现在要删除节点30。
那我们得按照二叉排序树删除节点的规则来。
因为30有左子树20，我们要找30的中序后继，也就是40。
二叉查找树 例题
二叉查找树例题
二叉查找树（Binary Search Tree）是一种特殊的二叉树，每个节点的键值都大于左子树任意节点的键值，小于右子树任意节点的键值。
这种结构使得在二叉查找树中查找、插入和删除元素的操作都变得相对简单。
以下是一个简单的二叉查找树的例题：
题目：给定一个未排序的整数数组，检查是否存在重复元素。
解题思路：
这道题可以使用二叉查找树解决。
我们可以遍历数组中的每个元素，并将它们插入到二叉查找树中。
如果存在重复元素，则插入操作会失败，我们就可以提前返回结果。
如果不存在重复元素，则插入所有元素后，我们遍历二叉查找树即可验证结果。
具体实现如下：
1. 定义一个二叉查找树节点类，包含键值和左右子节点。
2. 定义一个二叉查找树类，包含根节点和插入、查找、遍历等方法。
3. 遍历给定的未排序整数数组，将每个元素插入到二叉查找树中。
如果插入失败（即该元素已存在于二叉查找树中），则说明存在重复元素，返回true。
4. 如果插入所有元素后都没有返回true，则遍历二叉查找树中的所有节点，检查它们的键值是否在给定的未排序整数数组中出现过。
如果出现过，则说明存在重复元素，返回true；否则返回false。
时间复杂度：O(nlogn)，其中n 是给定数组的长度。
空间复杂度：O(n)，其中n 是给定数组的长度。
画出中序线索二叉树简单例题
画出中序线索二叉树简单例题
假设有一个二叉树如下：
A
/ \
B C
/ \ / \
D E F G
根据中序遍历的顺序，节点的访问顺序应该为 D -> B -> E -> A -> F -> C -> G。
我们可以通过添加线索化标记，将每个节点的左右空指针改为指向其前驱和后继节点。
这样，递归遍历中序线索二叉树时不再需要通过递归调用访问左右子树，而可以直接跳转到前驱或后继节点。
线索化后的二叉树如下：
D
\
B
/ \
E A
\
F
/ \
G C
在中序线索二叉树中，对于每个节点，其指向前驱节点的指针称为"前驱线索"，指向后继节点
的指针称为"后继线索"。
这样，我们可以通过线索化标记快速找到任意节点的前驱和后继节点，而不需要遍历整棵树。
例如，节点 A 的后继节点为 F，前驱节点为空。
节点 C 的后继节点为尚未线索化的节点 G，
前驱节点为节点 A。
节点 D 的后继节点为节点 B，前驱节点为尚未线索化的节点 E。
通过线索化，我们可以利用中序线索二叉树实现快速查找任意节点的前驱和后继节点，而不需要进行递归遍历。
这样，我们可以在时间复杂度为O(1) 的情况下完成前驱和后继节点的查找，大大提高了效率。
总结起来，中序线索二叉树可以在原有二叉树的基础上添加线索化标记，从而实现快速查找任意节点的前驱和后继节点。
这一特性在某些需要频繁查找节点前驱和后继的应用场景中具有重要意义。
二叉树遍历例题
二叉树遍历例题
摘要：
1.二叉树的基本概念
2.二叉树的遍历方式
3.二叉树遍历的例题
正文：
二叉树是计算机科学中常见的数据结构，由一个根节点和两个子树组成。
二叉树的遍历是指访问树中每个节点的过程。
二叉树的遍历方式有三种：前序遍历、中序遍历和后序遍历。
前序遍历是指先访问根节点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。
中序遍历是指先遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树。
后序遍历是指先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根节点。
下面是一个二叉树遍历的例题:
```
1
/
2 3
/
4 5
/
6
```
根据上述二叉树，按照前序遍历、中序遍历和后序遍历的顺序，分别输出节点的值。
前序遍历的顺序是:1, 2, 4, 6, 3, 5。
中序遍历的顺序是:4, 2, 6, 5, 3, 1。
后序遍历的顺序是:4, 5, 2, 6, 3, 1。
在实际编程中，可以使用递归或迭代的方式实现二叉树的遍历。
递归方式比较简单，但是效率较低;迭代方式效率较高，但是实现较为复杂。
二叉树模型课后习题详解
13.2课后习题详解一、问答题1．股票的当前价格为40美元，已知在1个月后股票的价格将可能变为42美元或38美元，无风险利率为每年8%（连续复利），执行价格为39美元、1个月期限的欧式看涨期权价值是多少？答：（1）考虑下面这个组合：-1：看涨期权，＋Δ：股票如果股票价格上升到42美元，组合价值为42Δ-3。
如果股票价格下降到38美元，组合价值为38Δ。
当42Δ-3=38Δ，即Δ=0.75（美元）时，两种情况下组合价值相等，此时1个月后的组合价值为28.5美元，当前的价值必定等于28.5美元的现值，即28.5e-0.08×0.08333=28.31。
这意味着：-f+40Δ=28.31其中，f是看涨期权价格。
由于Δ=0.75，看涨期权价格为40×0.75－28.31=1.69（美元）。
（2）使用另一种方法，可以计算出风险中性世界中上升概率p，必定有下式成立：42p+38（1-p）=40e0.08×0.08333得到：4p=40e0.08×0.08333-38即p=0.5669。
此时期权价值等于按无风险利率折现后的期望收益：（3×0.5669+0×0.4331）e-0.08×0.08333=1.69（美元）这与前一种方法的计算结果相同。
2．用一步二叉树说明无套利方法与风险中性定价方法对于欧式期权的定价过程。
答：在无套利方法中，需要设定一个由期权头寸和股票头寸构成的无风险组合。
通过令该组合的收益率等于无风险利率，可以为期权定价。
在风险中性定价方法中，首先计算出二叉树中每个分支的概率，这样期权的期望收益率就等于无风险利率，然后通过计算出期权的期望收益并按无风险利率将其贴现，就可以获得期权的价值，实现定价。
3．股票期权Delta的含义是什么？答：股票期权的Delta衡量了期权价格对于股票价格小幅变动的敏感性。
具体而言，Delta是股票期权价格变动与标的股票价格变动之间的比率。
先序中序后序遍历二叉树例题
先序中序后序遍历二叉树例题二叉树的先序、中序和后序遍历是树的三种常见遍历方式。
假设我们有以下二叉树作为例题：
A.
/ \。
B C.
/ \ \。
D E F.
1. 先序遍历（Preorder Traversal），先访问根节点，然后递归地先序遍历左子树，最后递归地先序遍历右子树。
遍历顺序为根-左-右。
对于上述例题，先序遍历的结果为，A, B, D, E, C, F。
2. 中序遍历（Inorder Traversal），先递归地中序遍历左子树，然后访问根节点，最后递归地中序遍历右子树。
遍历顺序为左-根-右。
对于上述例题，中序遍历的结果为，D, B, E, A, C, F。
3. 后序遍历（Postorder Traversal），先递归地后序遍历左子树，然后递归地后序遍历右子树，最后访问根节点。
遍历顺序为左-右-根。
对于上述例题，后序遍历的结果为，D, E, B, F, C, A。
需要注意的是，先序、中序和后序遍历的结果都是唯一的，即给定一棵二叉树，它们的遍历结果是确定的。
希望以上例题能够帮助你理解二叉树的先序、中序和后序遍历方式。
如果还有其他问题，请继续提问。
二叉树习题及答案
1.设一棵完全二叉树共有699 个结点，则在该二叉树中的叶子结点数？1根据二叉树的第i层至多有2A(i - 1)个结点；深度为k的二叉树至多有2A k - 1 个结点(根结点的深度为1)”这个性质：因为2A9-1 < 699 < 2A10-1 , 所以这个完全二叉树的深度是10，前9 层是一个满二叉树，这样的话，前九层的结点就有2A9-1=511 个；而第九层的结点数是2A(9-1)=256 所以第十层的叶子结点数是699-511=188 个；现在来算第九层的叶子结点个数。
由于第十层的叶子结点是从第九层延伸的，所以应该去掉第九层中还有子树的结点。
因为第十层有188 个，所以应该去掉第九层中的188/2=94 个；所以，第九层的叶子结点个数是256-94=162，加上第十层有188 个，最后结果是350 个2完全二叉树：若二叉树中最多只有最下面两层的结点的度可以小于2，并且最下面一层的结点 (叶结点) 都依次排列在该层最左边的位置上，这样的二叉树为完全二叉树。
比如图：完全二叉树除叶结点层外的所有结点数(叶结点层以上所有结点数)为奇数，此题中，699 是奇数，叶结点层以上的所有结点数为保证是奇数，则叶结点数必是偶数，这样我们可以立即选出答案为B！如果完全二叉树的叶结点都排满了，则是满二叉树，易得满二叉树的叶结点数是其以上所有层结点数+1 比如图：此题的其实是一棵满二叉树，我们根据以上性质，699+1=700，700/2=350，即叶结点数为350，叶结点层以上所有结点数为350-1=349。
3完全二叉树中，只存在度为2 的结点和度为0 的结点，而二叉树的性质中有一条是：nO=n2+1 ; nO指度为0的结点，即叶子结点，n2指度为2的结点，所以2n2+1=699 n2=349 ;n0=3502.在一棵二叉树上第 5 层的结点数最多是多少一棵二叉树，如果每个结点都是是满的，那么会满足2A(k-1)1 。
二叉树的遍历及例题
⼆叉树的遍历及例题⼆叉树的遍历及例题前序遍历就是根在前，中序是根在根在中，前序遍历根 --> 左 --> 右中序遍历左 --> 根 --> 右后序遍历左 --> 右 --> 根如图是⼀颗⼆叉树前序(根左右)，中序(左根右)，后序(左右根)它的前序遍历结果为： A B D F G H I E C 代表的含义为A( B ( D ( F ,G( H ,I ) ) ,E ) , C )所以第⼀个点⼀定是根节点它的中序遍历结果为： F D H G I B E A C它代表的含义，A（已知它不是叶⼦节点）在中间说明A的左边是左⼉⼦，A的右边是他的右⼉⼦它的后序遍历结果为：F H I G D E B C A解题：如果有前序和中序或者中序和后序可以得到⼆叉树，从⽽得到后序。
如果有前序和后序⽆法的得到⼆叉树。
1.已知前序、中序遍历求后序遍历例：前序遍历：A B G D E C F H中序遍历：G B E D A F C H构建⼆叉树的步骤：1.根据前序遍历特点，得到根节点A2.观察中序遍历结果：根节点左边节点为G B E D，根节点的右边节点为 F C H。
同时，两段也是左右⼦树的中序遍历的结果。
B G D E也是左⼦树前序遍历的结果。
C F H也是右⼦树前序遍历的结果。
3.重复 1 2的步骤，直到找到叶⼦结点就可以得到最后的⼆叉树。
例题：题意：给出中序遍历和前序遍历，让你找到后序遍历的结果。
#include <iostream>using namespace std;const int maxn = 105;int pre[maxn],in[maxn],pos[maxn];int infind(int root,int l,int r){//在中序遍历中找到当前根节点的位置for(int i=l;i<r;i++){if(in[i]==root){return i;}}}int cnt;void posorder(int prel,int prer,int inl,int inr){if(prel==prer) return ;int root=infind(pre[prel],inl,inr);//找当前的根的位置int len=root-inl;posorder(prel+1,prel+1+len,inl,inl+len);//prel的位置是root的位置，删去posorder(prel+1+len,prer,inl+1+len,inr);//inl+len+1的位置是root的位置，删去//进⾏完左边和右边的遍历之后，进⾏赋值。
二叉树例题分析
6.9 例题分析例6.9.1 写出二叉树的中根遍历非递归算法。
思路：为实现中根遍历LDR，(1)从根开始沿左分支找出最左边的结点L，访问L。
(2)若L有右子树R，则按(1)处理子树R。
(3)若L无右子树，则根据搜索路径从L后退一步得到一结点，访问它并作为新的L继续处理即到(2)。
直到所有结点都被访问。
按上述方式遍历，显然需要保存搜索路径，而从路径中取点是依后进先出原则。
因此，用栈来保存搜索路径。
C语言实现的算法如下：见[..\例题源代码\例题分析\EG6_9_1.cpp]/* EG6_9_1.cpp (6.9 例题分析--例6.9.1) *///定义二叉链表类型BiTree typedef struct BiTNode {char data; //数据域(元素类型以char为例)struct BiTNode *lchild; //左指针struct BiTNode *rchild; //右指针}BiTNode, *BiTree;//以上定义了树结点类型BiTNode及指向结点的指针类型(二叉链表)BiTree。
#include "..\\BiTree\\BiTUtil.h" //工具包(用其中CBT2BT,ShowBT)void InTrav3(BiTree &bt) {//中序遍历二叉树-非递归BiTNode *q, *s[20]; //s:保存结点指针的栈int top = 0; //栈顶"指针"int bTrav = 1; //继续遍历标志q = bt; //根do {//记当前树q为T，//从T的根开始寻找最左边的结点并保存路径于栈中：while(q != NULL) {s[++top] = q; //q入栈q = q->lchild; //继续搜索左子树}//end while//此时若T非空树则栈顶为其最左结点。
if(top == 0) //栈空bTrav = 0; //结束else {q = s[top--]; //出栈到qprintf("%c", q->data); //访问q结点q = q->rchild;//继续搜索右子树}//end if}while(bTrav);//end do}//end InTrav3//测试：void main(void) {/* 二叉树：A/ \B C/ \D E\F*/char *cbt = "@ABCDE^^^F";BiTree bt;CBT2BT(cbt, bt); //由cbt生成二叉链表btShowBT(bt); //显示二叉链表bt对应的二叉树printf("中序: "); InTrav3(bt);printf("\n");getchar();}//end main/* 输出结果：AB CD E ^ ^^ F中序: DFBEAC*/例 6.9.2 已知一棵二叉树的中序序列为ABCDEFG，先序序列为DBACFEG，试画出这棵二叉树。
排序二叉树例题
排序二叉树例题摘要：1.介绍排序二叉树的基本概念和特点2.分析排序二叉树的应用场景和优势3.详解排序二叉树的插入和删除操作4.给出排序二叉树的代码实现及示例5.总结排序二叉树的特点和适用范围正文：一、介绍排序二叉树的基本概念和特点排序二叉树（Sorting Binary Tree）是一种特殊的二叉树，它的每个节点都按照键值大小有序排列。
在这种树中，左子树的节点值都小于根节点的值，右子树的节点值都大于根节点的值。
排序二叉树具有以下特点：1.每个节点都具有唯一的键值，不存在重复节点。
2.左子树的节点值都小于根节点的值。
3.右子树的节点值都大于根节点的值。
4.左右子树也分别为排序二叉树。
二、分析排序二叉树的应用场景和优势排序二叉树在以下场景中具有优势：1.快速查找：由于排序二叉树具有有序特点，可以快速查找特定值。
2.排序和筛选：通过对树进行操作，可以实现对数据的排序和筛选。
3.动态数据结构：排序二叉树可以动态调整结构，适应数据变化。
三、详解排序二叉树的插入和删除操作1.插入操作：在排序二叉树中插入一个新节点，需要按照键值大小进行排序。
如果新节点的键值小于当前节点的键值，将新节点插入到当前节点的左子树；如果新节点的键值大于当前节点的键值，将新节点插入到当前节点的右子树。
重复递归进行插入操作，直到找到合适的位置。
2.删除操作：在排序二叉树中删除一个节点，需要采用“中序遍历”方式。
首先找到要删除节点的后继节点，然后根据后继节点的键值调整删除节点的位置。
如果后继节点在删除节点的左子树，则删除节点变为右子树的空节点；如果后继节点在删除节点的右子树，则删除节点变为左子树的空节点。
最后，将删除节点从树中删除，并递归调整相邻节点的键值。
四、给出排序二叉树的代码实现及示例以下是一个简单的排序二叉树代码实现（以Python为例）：```pythonclass TreeNode:def __init__(self, key):self.key = keyself.left = Noneself.right = Noneclass SortingBinaryTree:def __init__(self):self.root = Nonedef insert(self, key):self.root = self._insert(self.root, key) def _insert(self, node, key):if not node:return TreeNode(key)if key < node.key:node.left = self._insert(node.left, key) else:node.right = self._insert(node.right, key) return nodedef inorder_traversal(self):return self._inorder_traversal(self.root, []) def _inorder_traversal(self, node, result):if node:self._inorder_traversal(node.left, result)result.append(node.key)self._inorder_traversal(node.right, result) return result# 示例tree = SortingBinaryTree()tree.insert(5)tree.insert(3)tree.insert(7)tree.insert(1)tree.insert(4)tree.insert(6)tree.insert(8)print(tree.inorder_traversal()) # 输出：[1, 3, 4, 5, 6, 7, 8]```五、总结排序二叉树的特点和适用范围排序二叉树是一种具有有序特点的二叉树，适用于需要快速查找、排序和筛选的场景。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
树的概念树的递归定义如下：（1）至少有一个结点（称为根）（2）其它是互不相交的子树1.树的度——也即是宽度，简单地说，就是结点的分支数。
以组成该树各结点中最大的度作为该树的度，如上图的树，其度为3;树中度为零的结点称为叶结点或终端结点。
树中度不为零的结点称为分枝结点或非终端结点。
除根结点外的分枝结点统称为内部结点。
2.树的深度——组成该树各结点的最大层次，如上图，其深度为4；3.森林——指若干棵互不相交的树的集合，如上图，去掉根结点A，其原来的二棵子树T1、T2、T3的集合{T1,T2,T3}就为森林；4.有序树——指树中同层结点从左到右有次序排列，它们之间的次序不能互换，这样的树称为有序树，否则称为无序树。
5.树的表示树的表示方法有许多，常用的方法是用括号：先将根结点放入一对圆括号中，然后把它的子树由左至右的顺序放入括号中，而对子树也采用同样的方法处理；同层子树与它的根结点用圆括号括起来，同层子树之间用逗号隔开，最后用闭括号括起来。
如上图可写成如下形式： (A(B(E(K,L),F),C(G),D(H(M),I,J)))5. 2 二叉树1.二叉树的基本形态：二叉树也是递归定义的，其结点有左右子树之分，逻辑上二叉树有五种基本形态：(1)空二叉树——(a)；(2)只有一个根结点的二叉树——(b)；(3)右子树为空的二叉树——(c)；(4)左子树为空的二叉树——(d)；(5)完全二叉树——(e)注意：尽管二叉树与树有许多相似之处，但二叉树不是树的特殊情形。
2.两个重要的概念：(1)完全二叉树——只有最下面的两层结点度小于2，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树；(2)满二叉树——除了叶结点外每一个结点都有左右子女且叶结点都处在最底层的二叉树,。
如下图：完全二叉树9满二叉树3.二叉树的性质(1) 在二叉树中，第i层的结点总数不超过2^(i-1)；(2) 深度为h的二叉树最多有2h-1个结点(h>=1)，最少有h个结点；(3) 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1；(4) 具有n个结点的完全二叉树的深度为int（log2n）+1(5)有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储，则结点之间有如下关系：若I为结点编号则如果I<>1，则其父结点的编号为I/2；如果2*I<=N，则其左儿子（即左子树的根结点）的编号为2*I；若2*I>N，则无左儿子；如果2*I+1<=N，则其右儿子的结点编号为2*I+1；若2*I+1>N，则无右儿子。
4.二叉树的存储结构：(1）顺序存储方式type node=recorddata:datatypel,r:integer;end;var tr:array[1..n] of node;(2)链表存储方式，如：type btree=^node；node=recorddata:datatye;lchild,rchild:btree;end;5.普通树转换成二叉树：凡是兄弟就用线连起来，然后去掉父亲到儿子的连线，只留下父母到其第一个子女的连线。
96.二叉树的遍历运算（递归定义）(1)先序遍历（根左右）访问根；按先序遍历左子树；按先序遍历右子树(2)中序遍历（左根右）按中序遍历左子树；访问根；按中序遍历右子树(3)后序遍历（左右根）按后序遍历左子树；按后序遍历右子树；访问根例1.用顺序存储方式建立一棵有31个结点的满二叉树，并对其进行先序遍历。
program erchashu1;var b:array[1..31] of char;e:array[1..63] of byte;n,h,i,k:integer;procedure tree(t:integer);beginif e[t]=0 then exitelsebeginwrite(b[t]);e[t]:=0;t:=2*t;tree(t);t:=t+1;tree(t);end;end;beginrepeatwrite('n=');readln(n);until (n>0) and (n<6);fillchar(e,sizeof(e),0);k:=trunc(exp(n*ln(2)))-1;for i:=1 to k do e[i]:=1;for i:=1 to 26 do b[i]:=chr(64+i);for i:=1 to 5 do b[26+i]:=chr(48+i);h:=1 ;tree(h);writeln;end.例2.用顺序存储方式建立一棵如图所示的二叉树，并对其进行先序遍历。
9program tree1;const n=15;type node=recorddata:char;l,r:0..n;end;var tr:array[1..n] of node;e:array[1..n] of 0..1;i,j:integer;procedure jtr;var i:integer;beginfor i:=1 to n dowith tr[i] doreadln(data,l,r);end;procedure search(m:integer);beginwith tr[m] dobeginwrite(data);if l<>0 then search(l);if r<>0 then search(r);end;end;beginjtr;search(1);writeln;end.例3 用链表存储方式生成上述二叉树，中序遍历之。
1.将上述二叉树用广义表表示为A(B(D,E(G)),C(F(,H)))2.根据广义表串（以#结束）生成二叉树。
program ltree;const n=8;type trlist=^node;node=recordda:char;l,r:trlist;end;9var s:array[1..n] of trlist;p,root:trlist;ch:char;top,k:integer;procedure creat(var head:trlist);beginread(ch);top:=0;while ch<>'#' dobegincase ch of'A'..'Z':begin new(p);p^.da:=ch;p^.l:=nil;p^.r:=nil; if top<>0 thencase k of1:s[top]^.l:=p;2:s[top]^.r:=p;endend;'(':begin top:=top+1;s[top]:=p;k:=1;end;')': top:=top-1;',': k:=2;end;read(ch);end;head:=s[1];end;procedure inorder(head:trlist);beginif head^.l<>nil then inorder(head^.l);write(head^.da);if head^.r<>nil then inorder(head^.r);end;beginwrite('Input tree string:');creat(root);inorder(root);end.二叉树的应用1. 哈夫曼树与哈夫曼码树的路径长度：一棵树的每一个叶结点到根结点的路径长度的和。
9带权二叉树：给树的叶结点赋上某个实数值（称叶结点的权）。
带权路径长度：各叶结点的路径长度与其权值的积的总和。
哈夫曼树（最优二叉树）：带权路径长度最小的二叉树。
如何构建哈夫树：（思想是：权越大离跟越近）program gojiantree;const n=4;m=7;type node=recordw:real;parent,lchild,rchild:0..mend;htree=array[1..m] of node;var htree1:htree;procedure gjtree(var ht:htree);var i,j:integer;small1,small2:real;p1,p2:0..m;beginfor i:=1 to m dowith ht[i] dobeginw:=0;lchild:=0;rchild:=0;parent:=0;end;for i:=1 to n do read(ht[i].w);for i:=n+1 to m dobeginp1:=0;p2:=0;small1:=1000;small2:=1000;for j:=1 to i-1 doif ht[j].parent=0 thenif ht[j].w<small1 thenbegin small2:=small1;small1:=ht[j].w;p2:=p1;p1:=j endelse if ht[j].w<small2 then begin small2:=ht[j].w;p2:=j end; ht[p1].parent:=i;ht[p2].parent:=i;ht[i].lchild:=p1;ht[i].rchild:=p2;ht[i].w:=ht[p1].w+ht[p2].w;end;9end;begingjtree(htree1);end.哈夫曼码：哈夫曼树的非叶结点到左右孩子的路径分别用0，1 表示，从根到叶的路径序列即为哈夫曼码。
哈夫曼码是不会发生译码多义性的不等长编码，广泛应用实际中。
（原因是任何一字符的编码不是更长编码的前缀部分，为什么？）2.排序二叉树排序二叉树：每一个参加排列的数据对应二叉树的一个结点，且任一结点如果有左（右）子树，则左（右）子树各结点的数据必须小（大）于该结点的数据。
中序遍历排序二叉树即得排序结果。
程序如下：program pxtree;consta:array[1..8] of integer=(10,18,3,8,12,2,7,3);type point=^nod;nod=recordw:integer;right,left:point ;end;var root,first:point;k:boolean;i:integer;procedure hyt(d:integer;var p:point);beginif p=nil thenbeginnew(p);with p^ do begin w:=d;right:=nil;left:=nil end;if k then begin root:=p; k:=false end;endelse with p^ do if d>=w then hyt(d,right) else hyt(d,left);end;procedure hyt1(p:point);beginwith p^ dobeginif left<>nil then hyt1(left);write(w:4);9if right<>nil then hyt1(right);endend;beginfirst:=nil;k:=true;for i:=1 to 8 do hyt(a[i],first);hyt1(root);writeln;end.3.堆排序堆：设有数据元素的集合（R1,R2,R3,...Rn)它们是一棵顺序二叉树的结点且有Ri<=R2i 和Ri<=R2i+1(或>=)堆的性质：堆的根结点上的元素是堆中的最小元素，且堆的每一条路径上的元素都是有序的。