专题复习五、求最短路径问题

专题三、求最短路径问题

最短路径问题在中考中出现的频率很高，这类问题一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密切．

类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题

如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D两个用水点，现有两种铺设

管道的方案．方案一：分别过C，D作AB的垂线，垂足分别为E，F，沿CE，DF铺设管道；方案二：连接CD交AB于点P，沿PC、PD铺设管道．问：这两种铺设管道的方案中哪一种更节省材料，为什么？

【思路点拨】方案一管道长为CE＋DF，方案二管道长为PC＋PD，利用垂线段最短即可比较出大小．

本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点．1．(2015·保定一模)如图，点A的坐标为(－1，0)，点B(a，a)，当线段AB最短时，点B 的坐标为( )

A．(0，0) B．(

2

2

，－

2

2

)

C．(－

2

2

，－

2

2

) D．(－

1

2

，－

1

2

)

2．(2015·杭州模拟)在直角坐标系中，点P落在直线x－2y＋6＝0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为( )

A.35

2

B．3 5 C.

65

5

D.10

3．(2013·内江)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆

过点A(13，0)，直线y＝kx－3k＋4与⊙O交于B、C两点，则弦

BC的长的最小值为________．

4．(2015·碑林区期中)如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为

解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．

(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；

(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．

类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题

(2015·乐陵模拟)(1)如图1，直线同侧有两点A，B，在直线MN上求

一点C，使它到A、B之和最小；(保留作图痕迹不写作法)

(2)知识拓展：如图2，点P在∠AOB内部，试在OA、OB上分别找出两点E、F，使

△PEF周长最短；(保留作图痕迹不写作法)

(3)解决问题：①如图3，在五边形ABCDE中，在BC，DE上分别找一点M，N，使

得△AMN周长最小；(保留作图痕迹不写作法)

②若∠BAE＝125°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，∠AMN＋∠ANM的度数为

________．

【思路点拨】(1)根据两点之间线段最短，作A关于直线MN的对称点E，

连接BE交直线MN于C，即可解决；

(2)作P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD交OA、OB于E、F，此时△PEF

周长有最小值；

(3)①取点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，

与DE相交于点N，PQ的长度即为△AMN的周长最小值；

②根据三角形的内角和等于180°求出∠P＋∠Q，再根据三角形的外角以及三角

形内角和知识运用整体思想解决．

“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点的和最短时，利用轴对称的知

识作一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点与直线的交点就是所求的点；“一点两线型”求三角形周长最短问题，作点关于两直线的对称点，连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形；“两点两线型”求四边形的周长最短类比“一点两线型”即可．

1．(2015·内江)如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，

点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这

个最小值为( )

A. 3 B．2 3 C．2 6 D. 6

2．(2015·遵义)如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为( )

A．50°B．60° C．70° D．80°

3．(2015·攀枝花)如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为________．

4．(2015·鄂州)如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为________．

5．(2015·凉山)菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P的坐标为____________．

6．(2015·广元改编)如图，已知抛物线y＝－1

m

(x＋2)(x－m)(m＞0)与x轴相交于点A，B，

与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．

(1)若抛物线过点G(2，2)，求实数m的值；

(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使AH＋CH最小，并求出点H的坐标．

7．(2015·成都改编)如图，一次函数y ＝－x ＋4的图象与反比例y ＝3x

(k 为常数，且k≠0)的图象交于A ，B 两点．在x 轴上找一点P ，使PA ＋PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标．

8．如图所示，已知点A 是半圆上的三等分点，B 是AN ︵的中点，P 是直径MN 上的一动点，⊙O

的半径为1，请问：P 在MN 上什么位置时，AP ＋BP 的值最小？并给出AP ＋BP 的最小值．

9．(2015·达州)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，∠AOC 的平分线交AB 于点D ，E 为BC 的中点，已知A(0，4)、C(5，0)，二次

函数y ＝45

x 2＋bx ＋c 的图象抛物线经过A ，C 两点． (1)求该二次函数的表达式；

(2)F 、G 分别为x 轴，y 轴上的动点，顺次连接D 、E 、F 、G 构成四边形DEFG ，求四边形DEFG 周长的最小值；

(3)抛物线上是否在点P ，使△ODP 的面积为12？若存在，求出点P 的坐标；

若不存在，请说明理由．