中考专题复习——最短路径问题

A B C D

A

B

A

B

L A B

C

D

图(3)

D

O C

P

中考专题复习——路径最短问题一、具体内容包括：

蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；

线段（之和）最短问题；

二、原理：

两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化）

三、例题：

例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点

A沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是。

②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。

②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。

③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为。四、练习题（巩固提高）

（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值

为。

3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm，底面圆的周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为。

4、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN

＋MN的最小值

第2题

张村李庄

A

A

B

B

第1题第3题

图(2)

E

B

D

A

C

P

为 。

第4题 第5题 第6题 第7题 5、在菱形ABCD 中，AB=2， ∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 。

6、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边

上一动点，则EC ＋ED 的最小值为____ ___。

7、AB 是⊙O 的直径，AB=2，OC 是⊙O 的半径，OC ⊥AB ，点D 在AC 上，AD = 2CD ，点P 是半径OC 上的一个动点，则AP+PD 的最小值为____ ___。

（二）8、如图，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为C 、D ，连接CD ，交OA 于M ，

交OB 于N ，若CD ＝18cm ，则△PMN 的周长为________。

9、已知，如图DE 是△ABC 的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交BC 于E ，且AC ＝5，BC ＝8，则△AEC 的周长为__________。

10、已知，如图，在△ABC 中，AB ＜AC ，BC 边上的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AC 于点E ，AC ＝8，△ABE 的周长为14，则AB 的长 。

11、如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4

2，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点

D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____．

12、在平面直角坐标系中，有A （3，－2），B （4，2）两点，现另取一点C （1，n ），当n = 时，AC + BC 的值最小．

C

D

A

B

E

F

P

第11题 第14题 第15题

13、△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC=6,BC=8,过AB 边上一点P 作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于 F ，E 、F 是垂足，则EF 的最小值等于 ．

14、如图，菱形ABCD 中，AB=2, ∠BAD=60°，点E 、F 、P 分别是AB 、BC 、AC 上的动点，则PE+PF 的最小值为___________.

15、如图，村庄A 、B 位于一条小河的两侧，若河岸a 、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD ，问桥址应如何选择，才能使A 村到B 村的路程最近？ 16、一次函数y=kx+b 的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）．

⌒

⌒

⌒

（1）求该函数的解析式；

（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为

OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P

点坐标．

（三）16、如图，已知∠AOB内有一点P，试分别在边OA和

OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。试画出图形，并

说明理由。

17、如图，直线l是第一、三象限的角平分线．

实验与探究：

（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；归纳与发现：

（2）结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标

平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的

角平分线l的对称点P′的坐标为；

运用与拓广：

（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），

试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两

点的距离之和最小，并求出Q点坐标．

18、几何模型：

条件：如图，A、B是直线L同旁的两个定点．问题：在直线L上确定一点P，使PA+PB 的值最小．

方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于点P，则PA PB A B'

+=的值最小（不必证明）．

模型应用：

（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则PB PE

+的最小值是___________；

（2）如图2，O

⊙的半径为2，点A B C

、、在O

⊙上，OA OB

⊥，60

AOC

∠=°，P 是OB上一动点，求PA PC

+的最小值；

（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB 上的动点，求△PQR周长的最小值．

19、问题探究

（1）如图①，四边形ABCD是正方形，10

AB cm

=，E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PC PE

+的最小值；

（2）如图②，若四边形ABCD是菱形，10

AB cm

=，45

ABC

∠=°，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC PE

+的最小值；

O A

B

P

R

Q

图3

A

B

E

C

B

图1

O

A

B

C

图2 P

A

B

A'

P

l