复习题-1排序

1 Theorem 2.3（定理 2.3的证明）有m 个元素，r 个组合，可能有的组合数是多少？()()r r m C CR,1r m,-+=。

证明：假如m 个集合有元素，，，，m 21a a a ∙∙∙那么这些对象的r 个任意样本可以描述为其中1a 有多少个，2a 有多少个等。

例如，如果，，5m 7r ==代表性的样本是55421115443211a a a a a a a a a a a a a a 和。

我们也可以通过在最后的i a ，i=1,2，、、、，m-1之后画一条竖线表示这些样本。

这样，上面的两个样本可以写成55421115443211a a a a a a a a a a a a a a 和，其中，因为在第二章情况中没有3a ，我们画了两条连续的竖线。

现在，如果我们使用这一记法描述r 个对象的样本，那么我们可以省去下标。

例如aaa aaaa则表示5552211a a a a a a a 。

于是r 个对象的样本数量恰好等于r 个字母a 和m-1条不同排列的竖线的不同排列数量。

这样的排列有m+r-1个元素，而且我们通过为a 选择r 个位置来确定这个排列。

因此有()r r m C ,1-+种这样的排列。

2 Theorem 2.16定理2.16 给定一个有n 2+1个不同整数的序列，或者存在有n+1个项的递增子序列或者存在n+1个项的递减子序列。

证明：设这一序列是x 1,x 2,…x n 2+1,令t i 是开始于x i 的最长递增子序列的项数，如果任意t i 至少是n+1,那么定理得到证明，因此，假设每一个t i 在1与n 之间。

因此，我们有n 2+1只鸽子要被放入n 个鸽巢。

根据定理2.15，存在一个至少有111)1((2+=+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-+n n n n+1个相等的t i ，证明与这些t i 相关联的x i 形成一个递增子序列i<j 有t i =t j ,则x i >x j ,如果x i <=x j ,那么有x i <x j ,因为根据假设n 2+1个整数都不相同。

这时，x i 及其后开始于x j 的最长递增子序列形成一个长度为tj+1的递增子序列。

因此有t i >=t j +1。

这是一个矛盾。

3 Theorem 2.18定理2.18 假设在6个人中每两个人或者是朋友或者是敌人，那么或者有3个人互为朋友或者有3个人互为敌人。

证明：设a是其中的任意一个人。

根据鸽巢原理，剩余的5个人中，或者3个人或更多人是a的朋友，或者3个或更多人是a的敌人（在定理2.15中取m=5,k=2）。

首先假设d,c和d是a的朋友。

如果这些人中任意2个人是朋友，那么这2个人和a形成一个互为朋友的3人组。

如果b,c,d都不是朋友，那么b,c和d形成一个互为敌人的3人组。

假设b,c和d是a的敌人时的论证也类似。

4 E2.4例2.4开关函数：设Bn是所有长度为n的位串的集合。

是给每一个长度为n的位串指定一个数（0或1）的函数。

例如，设n=2，那么B2={00, 01，10, 11}。

在B2上定义的两个开关函数S和T如表2.2所示。

两开关函数集合Bn中有2的n次方个元素。

因此根据乘法规则，存在2*2*2*2……*2个不通的n的变量开关函数，在这个乘机中有2的n次方个项，即总共有n22个不同的n变量开关函数。

5 S2.15.2【2.15简单游戏中的势力】在游戏[51;40,30,15,15]中，可能的排列如表2.10所示，其中每一个排列中的中轴玩家都被标上圆圈。

玩家1是中轴的有12项，所以他的势力是12/4!=1/2，玩家2,3,4各位中轴的有4项，所以他们每一个的势力4/4!=1/6。

表2.10 游戏[51;40,30,15,15]中玩家的所有排列且中轴玩家被标上圆圈1 ② 3 42 ①34 3 ① 2 4 4 ① 2 3 1 ② 4 3 2 ① 4 3 3 ① 4 2 4 ① 3 2 1 ③ 2 4 2 3 ① 4 3 2 ① 4 4 2 ① 3 1 ③ 4 2 2 3 ④ 1 3 2 ④ 1 4 2 ③ 1 1 ④ 2 3 2 4 ① 3 3 4 ① 2 4 3 ① 2 1 ④ 3 2 2 4 ③ 1 3 4 ② 1 4 3 ② 1 6 E2.34【例题2.34制作个人计算机】个人计算机（PC ）的制造商在30天的期间内每天至少制作一台PC ，并在完成一台PC 后才能开始下一台PC 的制作工作，且每天制作的PC 平均不超过211台。

那么一定存在连续若干天，在这些天正好制作了14台PC ，试说明其理由。

解：设i a 是第i 天结束是PC 的累计制作数量。

因为至少每天生产一台PC ，而且30天内至多生产45台PC ，我们有3021a a a <<<11≥a4530≤a还有5914451414143021=+≤+<<+<+a a a现在考虑下面这些数：,14,,14,14,,,,30213021+++a a a a a a共有60个数，每一个数都在1和59之间，根据鸽巢原理，其中有两个数是相等的。

因为3021,,,a a a 都不相同且14,,14,143021+++a a a 也都不相同，所以存在i 和()j i j ≠使得14+=j i a a 。

因此，在日期i 和j 之间，制造商正好制作了14台PC 。

7 Theorem 3.10定理3.10 （两部分定理）假设我们把G 的顶点集合划分成互不相交的集合W 1和W 2，且设G 1和G 2分别是由W 1和W 2生成的子图。

假设在G 中，没有把W 1的顶点与W2的顶点连接起来的边，于是有：P（G，x）=P（G1，x）P（G2，x）证明：如果有x种颜色可用，G1的着色就存在P（G1，x）中选择；对于其中的每一种选择，G2的着色存在P（G2，x）种选择。

这是因为G1的着色不影响G2的着色，因为不存在连接两个部分的边，所以根据乘法规则这一定理成立。

8 Theorem 3.4 应用？？？（定理3.4）一个图是2可着色的当且仅当它没有长度为奇数的回路。

答：如图为四边形，它有一个长度为偶数(4)的回路.可以用2种颜色对其定点全部着色。

如图为一个三角形，它有一个长度为奇数（3）的回路，不能用2种颜色对其定点全部着色。

因此，一个2可着色的当且仅当它没有长度为奇数的回路。

9 FIGURE 3.86最优编码树——哈弗曼树需要传输下面的数据：15个A，4个B，10个C，15个D，11个及格和3个不及格，构建最优编码树，写出编码。

解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）A:01 B:0001C:001 及格:10D:11 不及格:000010 【定理3.21(Cayley定理)】：如果，那么存在棵不同的的有n个顶点的标签树。

设N(。

我们首先注意到下面的结果，如果且是非负整数，那么N(=在这一定理中，n个顶点的标签树的数量T(n)由下式给出：T(n)=这等同于T(n)=若p是一个正整数，那么因此，取k=n,p=n-2,,我们有T(n)=11 Theorem 3.2着色平面图问题??若一个图形在除这一图的顶点之外，没有相交的边。

具有这一性质的图或者又符合这一性质的等价重画（重构）图成为平面的，反之无论你如何定位这一平面中的五个点，都不可能使用直线把它们连接起来，且其中的任意两条直线都不能相交称为是不是平面的。

实例 我们知道平面图在印刷电路版，以及某些设备设计问题中经常使用。

请问如何判断一个图是平面图？并判断下面的图是不是平面图？为什么?解：一个图是平面图的当且仅当它没有同胚于K 5和K 3,3的子图。

所以，题中所给的图不是平面图因为它存在同胚于K 3,3的子图。

12 E 5.205.20假设对于i=1,2,3，b i ＞=0.下面的方程存在多少个整数解？ b 1+b 2+b 3=14因为每一个bi 可以取值0或1或2……,这一问题的答案由下面的普通生成函数中x 14的系数给出G （x ）=（1+x+x 2……）（1+x+x 2……）（1+x+x 2……） =（1+x+x 2……）3 =(1-x)-3x 14的系数为（131414-+）=120 13 E5.165．16假设我们有m 位男士和n 位女士，如果我们能够选取任意数量的女士，那么我们可以选K个人的方法数量由下面G（x）中的x k的系数给出:G(x)=(1+x+…..+x m)(1+x+…..+x n)14 E5.27【例5.27计算机系统评估】以不同的标准对可选择的计算机系统评估，每一个标准有整数1到6的评估分。

有多少种方法可使三个标准的总分数之和等于12？为回答这一问题，我们把每一标准上的分数看成是要选择的点数1,2,3,4,5或6.因此，要考虑的生成函数是G(x)=注意，我们开始于x而不是1（或），因为至少要选择一点。

我们取三次幂，因为有三个标准，我们想知道的系数。

如何确定这一系数呢？这一结果要恒等式：1+x++…+=那么我们注意到G(x)===(5.25)我们已经知道C(x)=是序列()的生成函数，其中=()这里=()使用二项展开式展开B(x)=，我们得到B(x)=[1-3+3-]=-3+3-因此，B(x)是下面序列的生成函数：()=(0,0,0,1,0,0,0,0,0,-3,0,0,0,0,0,3,0,0,0,0,0,-1,0,0,…)根据5.25式得到，G(x)是序列()和()的卷积的生成函数。

我们要确定的系数。

这可以通过如下计算得到：=+++…+=+=1()-3()=()-3()=25 15 E 5.145.14 如下图所示，求出其棋盘多项式？ 解图1 图2 图3第一个图1可以分解为图2和图3，利用分解定理可求出图1 的棋盘多项式为如下两式。

()()。

，，，22x 2x 413x x x 212x ++=++=B R B R 而()()()3x 2x 1x B R B R B R ，，，+=。

所以图1的棋盘多项式可以写成()()()()()43222x2x 8x11x 61x 2x 41xx 213x 2x 1x ++++=++++=+=B R B R B R ，，，所以()()()()种方案。

个棋子有，放种方案，个棋子有，放种方案，个棋子有，放种方案，，放一个棋子的有2424r 8383r 112112r 661r ====B B B B16 S 5.5.35.5.3 可区分球到不可区分盒子的分配把n 个可区分球分配到k 个可区分盒子里，且每一个盒子都不为空时的方法数量。

这里，我们证明 S(n,k)=nki ii k i k k )()1(!10-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=首先，我们考虑确定把n 个可区分球放入分别标有标签1,2，…,k 的可区分盒子里，且每一个盒子都不为空的方法数量T(n,k)=k!S(n,k),因为我们是通过下面的方法得到把n 个可区分球放入k 个不为空的可区分盒子的分配的：首先确定把n 个可区分球放入k 个不为空的不可区分盒子的分配，然后再标记（排序）这些盒子，接下来，计算T(n,k).假设球i 进入到盒子c(i).我们可以通过给出序列C(1)C(2)….C(n)编码把球放入可区分盒子里的分配。