2022-2023学年天津市高考数学试卷(含解析)
2022-2023学年天津市高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年天津市第一中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．若{}24xA x =<，{}12B x x =∈-<N ，则A B =（ ）A ．{}12x x -<<B ．{}0,1C ．{}1D ．{}13x x -<<【答案】B【分析】分别解指数不等式与绝对值不等式，列举法写出集合B ，再求交集可得结果. 【详解】∵242x x <⇒<，|1|213x x -<⇒-<< ∴{|2}A x x =<，{0,1,2}B = ∴{0,1}A B =. 故选：B.2．命题“x ∃∈R ，210x x ++<”的否定为（ ） A ．x ∃∈R ，210x x ++≥ B ．x R ∃∉，210x x ++≥ C ．x ∀∈R ，210x x ++≥ D ．x R ∀∉，210x x ++≥【答案】C【分析】将存在量词改为全程量词，结论中范围改为补集即可得解. 【详解】“x ∃∈R ，210x x ++<”的否定为“x ∀∈R ，210x x ++≥”， 故选：C.3．已知3cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．35B ．45C ．35 D ．45-【答案】C【分析】利用诱导公式化简所求表达式，结合已知条件得出正确选项. 【详解】因为23sin sin cos cos 362665πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：C.【点睛】本小题主要考查利用诱导公式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题4．已知在三角形ABC 中，1sin 3A =，则()cosBC +的值等于（ ）A B ．C ．D ．89【答案】C【分析】利用三角形内角和定理、诱导公式和同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】因为在三角形ABC 中，πA B C ++=，则πC B A +=-， 所以()cos =cos(π)cos B C A A +-=-，又1sin 3A =，所以cos A ==所以()cos =B C +± 故选：C .5．若0.62a =，πlog 3b =，22πlog sin 3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A【分析】利用指数、对数的单调性，以及三角函数特殊值，即可得出结果. 【详解】解：0.60221a =>=， πππ0log 1log 3log π1=<<=，01b <<，2222log sin πlog log 103c ==<=，∴a b c >>， 故选：A.6．要得到函数()sin(2)4f x x π=+的图象，可将函数()cos2g x x =的图象（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向左平移8π个单位 C ．向右平移4π个单位D ．向右平移8π个单位【答案】D【分析】先将cos2x 转化为sin[2()]4x π+，由此根据三角函数图像变换的知识判断出正确选项.【详解】()cos2sin(2)sin[2()]24g x x x x ππ==+=+，()sin[2()]8f x x π=+，因为()()848x x πππ+=+-，所以需要将()g x 的图象向右平移8π个单位. 故选：D【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.7．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，0πϕ≤<2，若对x ∀∈R ，()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，则ϕ=（ ）A ．π6B ．5π6C ．7π6D ．11π6【答案】D【分析】根据题意可知，函数()()sin 2f x x ϕ=+在π3x =时取最大值，所以2ππ22π,Z 3k k ϕ⨯+=+∈，根据0πϕ≤<2即可求得ϕ的值.【详解】由函数()()sin 2f x x ϕ=+对x ∀∈R ，()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可知函数()()sin 2f x x ϕ=+在π3x =时取最大值，即ππsin 2133f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，2ππ22π,Z 3k k ϕ⨯+=+∈，即π2ππ2π2π,Z 236k k k ϕ=-+=-+∈ 又因为0πϕ≤<2， 所以1k =时，π611ϕ= 故选：D 8．函数()sin 2cos x xf x x=-的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意的x ∈R ，2cos 0x ->，则函数()f x 的定义域为R ，()()()()sin sin 2cos 2cos x x x xf x f x x x---===---，则函数()f x 为偶函数，排除BC 选项，当02x π<<时，sin 0x >，则()sin 02cos x xf x x=>-，排除D 选项.故选：A.9．已知函数()()πsin 2cos 206f x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．411,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．411,36⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．513,36⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】先化简函数式，然后根据x 的范围求出π23x ω+的范围，()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，再利用正弦函数相关知识求ω的范围．【详解】πππ3π()sin(2)cos2sin 2cos cos2sin cos 2cos2)66623f x x x x x x x x ωωωωωωωω=++=++++，因为当[]0,πx ∈时，πππ2,2π333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又因为()f x 在[]0,π上有且仅有3个零点，所以π3π2π4π3ω+<，综上：43611ω<， 故选：A10．已知函数()11,02lg ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在不相等的实数a ，b ，c ，d 满足()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围为（ ） A ．()0,+∞B ．812,10⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．612,10⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．810,10⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】将问题转化为y m =与|()|f x 图象的四个交点横坐标之和的范围，应用数形结合思想，结合对数函数的性质求目标式的范围.【详解】由题设，将问题转化为y m =与|()|f x 的图象有四个交点，1,221,20|()|2lg ,01lg ,1xx xx f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪+-<≤=⎨⎪-<≤⎪⎪>⎩，则在(,2]-∞-上递减且值域为[0,)+∞；在(2,0]-上递增且值域为(0,1]；在(0,1]上递减且值域为[0,)+∞，在(1,)+∞上递增且值域为(0,)+∞；|()|f x 的图象如下：所以01m <≤时，y m =与|()|f x 的图象有四个交点，不妨假设a b c d <<<， 由图及函数性质知：142011010a b c d -≤<-<≤<≤<<≤，易知：4a b +=-，101(2,]10c d +∈， 所以61(2,]10a b c d +++∈-. 故选：C二、填空题11．120318(π1)lg2lg52-⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭___________.【答案】4【分析】根据指数对数运算性质化简计算即可【详解】120318(π1)lg2lg52-⎛⎫+--++ ⎪⎝⎭()()()21313212lg 25--=+-+⨯4121=+-+ 4=故答案为：4.12．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm ，内弧线的长为20cm ，连接外弧与内弧的两端的线段均为18cm ，则该扇形的中心角的弧度数为____________．【答案】209【分析】根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为α的关系，可求得9cm OC =，进而可得该扇形的中心角的弧度数. 【详解】解：如图，依题意可得弧AB 的长为60cm ，弧CD 的长为20cm ，设扇形的中心角的弧度数为α 则,AB OA CD OC αα=⋅=⋅，则60320OA OC ==，即3OA OC =． 因为18cm AC =，所以9cm OC =，所以该扇形的中心角的弧度数209CD OC α==． 故答案为：209. 13．已知tan 2θ=，则2sin cos sin sin θθθθ++的值为______.【答案】2310【分析】进行切弦互化即可求值【详解】22222sin sin tan 4cos 1sin θθθθθ===-，∴24sin 5θ=，∴22sin cos 11423sin 1sin 1sin tan 2510θθθθθθ++=++=++=.故答案为：231014．函数()2sin cos f x x x =+在区间2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是______.【答案】14##0.25【分析】由题得()2cos cos 1f x x x =-++，转化为求函数()21g t t t =-++，12[]2t ∈-的最小值得解.【详解】解：()221cos cos cos cos 1f x x x x x =-+=-++，设π212cos ,[,π],[432t x x t =∈∴∈-，所以()21g t t t =-++，12[2t ∈-.二次函数抛物线的对称轴为112(1)2t =-=⨯-, 由于111112424g ⎛⎫-=--+= ⎪⎝⎭，212211124g +=-=>⎝⎭.所以函数的最小值是14.故答案为：1415．已知函数()()21ln 11f x x x=+-+，若实数a 满足()()313log log 21f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是______． 【答案】1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据奇偶性定义可判断出()f x 为定义在R 上的偶函数，从而将所求不等式化为()()32log 21f a f ≤；根据复合函数单调性的判断以及单调性的性质可确定()f x 在[)0,∞+上单调递增，由偶函数性质可知()f x 在(],0-∞上单调递减，由此可得3log 1a ≤，解不等式即可求得结果. 【详解】()f x 的定义域为R ，()()()21ln 11f x x f x x-=+-=+， f x 为定义在R 上的偶函数，()()()()313333log log log log 2log f a f a f a f a f a ⎛⎫∴+=+-= ⎪⎝⎭；当0x ≥时，21y x =+单调递增，()2ln 1y x ∴=+在[)0,∞+上单调递增；又11y x=+在[)0,∞+上单调递减，f x 在[)0,∞+上单调递增，()f x 图象关于y 轴对称，f x 在(],0-∞上单调递减；则由()()32log 21f a f ≤得：3log 1a ≤，即31log 1a -≤≤，解得：133a ≤≤，即实数a 的取值范围为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16．已知关于x 函数()322253sin x tx x x tf x x t++++=+在[]2022,2022-上的最大值为M ，最小值N ，且2022+=M N ，则实数t 的值是______.【答案】1011【分析】先利用常数分离法化得函数3253sin ()x x x f x t x t ++=++，再构造函数()3253sin x x xg x x t++=+，判断得()g x 为奇函数，从而利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为()()233222253sin 53sin t x t x x x x tx x x t f x x t x t++++++++==++3253sin x x x t x t ++=++，[]2022,2022x -∈，令()3253sin x x xg x x t++=+，[]2022,2022x -∈，则()()f x g x t =+，因为()g x 定义域关于原点对称，()33225()3()sin()53sin ()()x x x x x xg x g x x t x t-+-+-----===--++， 所以()g x 是在[]2022,2022-上的奇函数， 故由奇函数的性质得()()max min 0g x g x +=，所以()()max min max min ()()2022M N f x f x g x t g x t +=+=+++=， 所以22022t =，则1011t =. 故答案为：1011.【点睛】关键点睛：由于奇函数的图像关于原点对称，所以其最大值与最小值也关于原点对称，这一性质是解决本题的关键所在.三、解答题17．已知0,022ππαβ<<<<，且3cos ,cos()510ααβ=+=. (1)求sin 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求β的值.【答案】 (2)4πβ=.【分析】（1）由同角平方关系可得4sin 5α，再由二倍角正余弦公式有7cos 225α=-、24sin 225α=，最后利用和角正弦公式求值.（2）由题设可得sin()αβ+=，根据()βαβα=+-，结合差角余弦公式求出β对应三角函数值，由角的范围确定角的大小. 【详解】（1）由02πα<<，3cos 5α=，则4sin 5α， 所以27cos 22cos 125αα=-=-，24sin 22sin cos 25ααα==，而17sin 22cos 2)425αααπ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭（2）由题设0αβ<+<π，而cos()αβ+=sin()10αβ+=，而cos cos[()]cos()cos 3sin (45)si 5n βαβααβααβα=+-=+++==又02βπ<<，则4πβ=.18．已知函数ππ())cos()sin(2π)(0)44f x x x x ωωωω=+⋅+-+>，且函数()f x 的最小正周期为π．(1)求函数()f x 的解析式； (2)若将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值，并指出此时x 的值．【答案】(1)()2sin(2)3f x x π=+(2)0x =时，最小值为 512x π=时，最大值为 2．【分析】（1）利用三角恒等变换可得π()2sin(2)3f x x ω=+，再由最小正周期可得解；（2）利用三角函数的图象变换可得π()2sin(2)3g x x =-，再利用整体法可得解.【详解】（1）∵函数ππ())cos()sin(2π)44f x x x x ωωω=+⋅+-+ππ)sin 22sin 22sin(2)23x x x x x ωωωωω=++=+=+的最小正周期为π，∴2ππ2ω=，解得1ω=，π()2sin(2)3f x x ∴=+. （2）将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度， 得到函数πππ()2sin 2()2sin(2)333g x x x ⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦的图象，由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得ππ2π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当233x ππ-=-，即当0x =时，函数()g x 取得最小值为当ππ232x -=，即当5π12x =时，函数()g x 取得最大值为 2．19．已知函数()2cos 2cos f x x x x =+. (1)求函数()f x 的周期和单调递减区间；(2)将()f x 的图象向右平移6π个单位，得到()g x 的图象，已知()02313g x =，0,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 值.【答案】(1)π，()2,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z(2)【分析】（1）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）首先根据三角函数的平移变换规则求出()g x 的解析式，根据()02313g x =，得到05sin 2613x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再根据同角三角函数的基本关系求出0cos 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，最后根据两角和的余弦公式计算可得；【详解】（1）解：∵()2cos 2cos f x x x x =+2cos 21x x =++122cos 212x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期22T ππ==， 令()3222262k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ，解得()263k x k k ππππ+≤≤+∈Z . 故函数()y f x =的单调递减区间为()2,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）解：由题意可得()2sin 212sin 216666g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∵()002sin 2163231g x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，∴05sin 2613x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵0,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以052266x πππ≤-≤，则012cos 2613x π⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，因此0000cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦125113132=-⨯=. 20．已知函数2()1mx nf x x +=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =．（1）求()f x 的解析式；（2）已知0a >，0b >，且128a b+=，若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，求实数t 的取值范围．【答案】（Ⅰ）22()1x f x x =+；（Ⅱ）(2⎤⎦． 【解析】（1）根据题意分析可得()()0011f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解可得m 、n 的值，则可得出函数()f x 的解析式； （2）因为128a b +=，所以112282b b a a a b ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，展开利用基本不等式可得122b a +≥， 则只需使1()2f t >，然后求解不等式即可解得实数t 的取值范围． 【详解】解：（1）根据题意，函数2()1mx n f x x +=+是定义在[]1,1-上的奇函数， 则(0)0f =，可得0n =，则2()1mx f x x =+， 又由()11f =得，则12m =，可得2m =， 则22()1x f x x =+． （2）因为0a >，0b >，且128a b+=，所以1121211222828282b b b a a a a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当22b a a b =，即14a =，12b =时，等号成立， 若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，则1()2f t >，即22112t t >+，解得：22t <[]1,1t ∈-，所以实数t 的取值范围是(2⎤⎦．【点睛】本题主要考查根据函数奇偶性求解函数的解析式，考查基本不等式的运用，解答本题时注意以下几点：（1）当奇函数()f x 在0x =处有意义时，则有()00f =；（2）若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，只需使min ()2b f t a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，然后根据128a b +=，利用基本不等式求解2b a +的最小值．。
2022-2023学年天津市河北区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年天津市河北区高二（上）期末数学试卷1. 直线3x +2y +6=0的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则有( ) A. k =−23，b =3 B. k =−23，b =−2 C. k =−32，b =3 D. k =−32，b =−3 2. 圆x 2+y 2+4x −6y −3=0的圆心和半径分别为( )A. (4,−6)，r =16B. (2,−3)，r =4C. (−2,3)，r =4D. (2,−3)，r =163. 椭圆x 225+y 216=1的离心率是( )A. 35B. 45C. 53D. 344. 双曲线x 29−y 216=1的渐近线方程是( )A. y =±34x B. y =±43x C. y =±169x D. y =±916x 5. 抛物线y 2=2x 的准线方程是( )A. y =−12B. y =−1C. x =−12D. x =−16. 在等比数列{a n }中，若a 1=12，a 4=4，则公比q 的值等于( ) A. 12B. √2C. 2D. 47. 等比数列1，12，14，18，…的前n 项和为( ) A. 2−12n+1B. 1−12nC. 12nD. 2−12n−18. 若双曲线C 与椭圆y 249+x 224=1有公共焦点，且离心率e =54，则双曲线C 的标准方程为( )A. y 216−x 29=1B. x 216−y 29=1C.x 24−y 2=1 D.y 24−x 2=19. 如图，长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB =2BC =2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.√1010B. 35 C.√105D. 4510. 若直线l：mx+ny=4和圆O：x2+y2=4没有交点，则过点(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1的交点个数为( )A. 0个B. 至多有一个C. 1个D. 2个11. 在数列{a n}中，a1=−14，a n=1−1a n−1(n≥2)，则数列{a n}的第5项为______.12. 已知两点P1(9,4)，P2(3,6)，则以线段P1P2为直径的圆的标准方程为______.13. √2+1与√2−1的等比中项是______.14. 已知倾斜角为45∘的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，则焦点F的坐标为______；线段AB的长为______.15. 已知数列{a n}的前n项和公式为S n=3n−2，则a1=______；数列{a n}的通项公式a n=______.16. 已知等差数列{a n}中，a3=2，a4+a6=20.(1)求首项a1和公差d；(2)求该数列的前10项的和S10的值．17. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为√22，过点B(0,−2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.(1)求椭圆的方程；(2)求△CDF2的面积．18. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=A1D1=2，AB=2√2，A1C与BD1交于点N，CD的中点为M.(Ⅰ)求证：AN⊥平面BMN；(Ⅰ)求直线D1C与平面ABN所成角的正弦值；(Ⅰ)求平面CBN与平面ABN夹角的余弦值．19. 已知数列{a n}是等差数列，{b n}是公比不等于1的等比数列，且b1=2a1=2，a1+a3= b2，b3=a2+a6.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)设c n=(2a n−1)b n，n∈N∗，求数列{c n}的前n项和S n.答案和解析1.【答案】D【解析】解：方程3x+2y+6=0变形为：y=−32x−3，∴此直线的斜率k=−32，直线在y轴上的截距b=−3.故选：D.把直线的一般式方程化为斜截式方程y=kx+b，即可找出直线的斜率k及与y轴的截距b即可．此题考查了直线的一般式方程，把直线的一般式方程化为斜截式方程是解本题的关键．2.【答案】C【解析】解：将圆x2+y2+4x−6y−3=0的方程化成标准形式，得(x+2)2+(y−3)2=16∴圆x2+y2+4x−6y−3=0的圆心为C(−2,3)，半径r=4故选：C.将圆的方程配方成标准形式，结合圆心和半径的公式，即可得到本题答案．本题给出圆的一般式方程，求圆的圆心和半径，着重考查了圆的一般方程、标准方程及其互化等知识，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由椭圆x 225+y216=1，可得a=5，b=4，则c=√a2−b2=3，所以椭圆x 225+y216=1的离心率为e=ca=35，故选：A.由椭圆方程得出a，b，c，可求出离心率．本题考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：双曲线x 29−y216=1的渐近线方程是x29−y216=0，即y=±43x，故选：B.把双曲线的标准方程中的1换成0，即得其渐近线的方程．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1换成0，即得渐近线方程．【解析】解：由抛物线y 2=2x ，可得准线方程x =−24， 即x =−12. 故选：C.利用抛物线y 2=2px 的准线方程是x =−p2即可得出． 本题考查了抛物线的准线方程，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：在等比数列{a n }中，由a 1=12，a 4=4， 所以a 4=a 1q 3，即4=12q 3，解得q =2. 故选：C.直接利用等比数列的通项公式计算．本题考查了等比数列的通项公式，是基础的会考题型．7.【答案】D【解析】解：设该数列为{a n }，数列{a n }的公比为q ，由已知a 1=1，a 2=12， 所以q =a 2a 1=12，所以数列{a n }的前n 项和S n =a 1(1−q n )1−q=2[1−(12)n]=2−12n−1.故选：D.由条件求出等比数列的公比q ，利用等比数列求和公式求其前n 项和． 本题主要考查了等比数列的前n 项和，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由y 249+x 224=1可知，该椭圆的焦点在y 轴，且半焦距为√49−24=5，设双曲线的方程为：y 2a 2−x 2b2=1(a >0,b >0)，所以该双曲线的半焦距为c =5，因为该双曲线的离心率e =54，所以有5a=54⇒a =4，所以b =√c 2−a 2=√25−16=3，因此双曲线C 的标准方程为y 216−x 29=1， 故选：A.根据椭圆方程求出焦点坐标，结合双曲线离心率公式进行求解即可． 本题考查椭圆及双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．【解析】解：连接BC1，A1C1，则AD1//BC1，∴∠A1BC1为异面直线A1B与AD1所成角或其补角，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，∵AA1=2AB=2BC=2，∴A1B=BC1=√5，A1C1=√2，在△A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1=5+5−22×√5×√5=45.故选：D.连接BC1，A1C1，则∠A1BC1为所求角或其补角，在△A1BC1中，由余弦定理求出cos∠A1BC1即可得出答案．本题考查了异面直线所成角的计算，构造平行线作出要求的角是关键，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：由题意可得：|0+0−4|√m2+n2>2，即m2+n2<4，∴点P(m,n)是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，∵椭圆的长半轴3，短半轴为2，∴圆m2+n2=4内切于椭圆，∴点P是椭圆内的点，∴过点P(m,n)的一条直线与椭圆的公共点数为2，故选：D.通过直线与圆、圆与椭圆的位置关系可得点P(m,n)在椭圆内，进而可得结论．本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．11.【答案】5【解析】解：因为a1=−14，a n=1−1a n−1(n≥2)，所以a2=1−1a1=1−1−14=5，a3=1−1a2=1−15=45，a4=1−1a3=1−145=−14，a5=1−1a4=1−1−14=5.故答案为：5.根据a1及递推公式计算可得结果．本题考查数列递推关系的运用，考查运算求解能力，属于基础题．12.【答案】(x−6)2+(y−5)2=10【解析】解：依题意可得圆心坐标为(6,5)，半径为12√(9−3)2+(4−6)2=12√40=√10，所以以线段P 1P 2为直径的圆的标准方程为：(x −6)2+(y −5)2=10. 故答案为：(x −6)2+(y −5)2=10.根据中点坐标公式求出圆心坐标，根据两点间距离公式求出半径，再代入圆的标准方程可得结果． 本题主要考查了圆的标准方程，属于基础题．13.【答案】±1【解析】解：设√2+1与√2−1的等比中项是X ， 则X 2=(√2+1)(√2−1)， 即X 2=1， 解得：X =±1， 故答案为：±1.利用等比数列的定义即可求解．本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．14.【答案】(1,0)8【解析】解：因为y 2=4x ， 所以2p =4，所以p =2，y 2=4x 的焦点为(p2,0)，即为(1,0). 倾斜角为45∘的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点F ， 所以直线的方程为y −0=1(x −1)， 联立{y =x −1y 2=4x ，所以x 2−6x +1=0，所以x 1+x 2=6，x 1⋅x 2=1，|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2=√1+12√62−4=8. 故答案为：(1,0)；8.根据焦点坐标公式即可求解；根据弦长公式即可求解． 本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．15.【答案】1{1,n =12⋅3n−1,n ≥2,n ∈N ∗【解析】解：在S n =3n −2中，令n =1中，得a 1=S 1=31−2=1；当n ≥2，n ∈N ∗时，a n =S n −S n−1=3n −2−3n−1+2=2⋅3n−1，显然a 1=1不适合， 因此数列{a n }的通项公式a n ={1,n =12⋅3n−1,n ≥2,n ∈N ∗，故答案为：1；{1,n =12⋅3n−1,n ≥2,n ∈N ∗.利用代入法，结合a n 与S n 之间的关系进行求解即可．本题考查数列通项与前n 项和的关系，考查运算求解能力，属于基础题．16.【答案】解：(1)因为在等差数列{a n }中，a 3=2，a 4+a 6=20，所以有{a 1+2d =2a 1+3d +a 1+5d =20⇒a 1=−6,d =4；(2)因为在等差数列{a n }中，a 1=−6，d =4， 所以S 10=10×(−6)+12×10×9×4=120. 【解析】(1)根据等差数列通项公式进行求解即可； (2)根据等差数列前n 项和公式进行求解即可．本题主要考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题．17.【答案】解：(1)∵椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为√22，∴b =√a 2−c 2=1，且c a=√22，解之得a =√2，c =1可得椭圆的方程为x 22+y 2=1；…(4分)(2)∵左焦点F 1(−1,0)，B(0,−2)，得F 1B 直线的斜率为−2 ∴直线F 1B 的方程为y =−2x −2由{y =−2x −2x 22+y 2=1，化简得9x 2+16x +6=0. ∵Δ=162−4×9×6=40>0，∴直线与椭圆有两个公共点，设为C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)， 则{x 1+x 2=−169x 1⋅x 2=23∴|CD|=√1+(−2)2|x 1−x 2|=√5⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√5⋅√(−169)2−4×23=109√2 又∵点F 2到直线BF 1的距离d =√5=4√55， ∴△CDF 2的面积为S =12|CD|×d =12×109√2×4√55=4√109. 【解析】(1)根据椭圆的基本概念和平方关系，建立关于a 、b 、c 的方程，解出a =√2，b =c =1，从而得到椭圆的方程；(2)求出F 1B 直线的斜率得直线F 1B 的方程为y =−2x −2，与椭圆方程联解并结合根与系数的关系算出|x 1−x 2|=2√29，结合弦长公式可得|CD|=109√2，最后利用点到直线的距离公式求出F 2到直线BF 1的距离d ，即可得到△CDF 2的面积．本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并求三角形的面积．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆角曲线的位置关系等知识，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得A(0,0,0)，B(2√2,0,0)，D(2,0,0)，A 1(0,0,2)，C(2√2,2,0)，因为A 1C 与BD 1交于点N ，在长方体中可得N 为A 1C 的中点，所以N(√2,1,1)，M 为CD 的中点，所以M(√2,2,0)，所以AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,1,1)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,2,0)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)， 所以{AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2⋅(−√2)+1×2+1×0=0AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2×0+1×(−1)+1×1=0，即AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即AN ⊥BM ，AN ⊥MN ，而BM ∩MN =M ， 所以AN ⊥平面BMN ；(Ⅰ)由(Ⅰ)可得CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2,0,2)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,1,1)， 设面ABN 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x 1=0√2x 1+y 1+z 1=0，令y 1=1， 则n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−1)，所以cos <CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 1⃗⃗⃗⃗ >=CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗ |CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|n⃗ |=−2√8+4⋅√2=−√66，设直线D 1C 与平面ABN 所成角为θ，则sinθ=|coscos <CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 1⃗⃗⃗⃗ >|=√66，所以直线D 1C 与平面ABN 所成角的正弦值为√66；(Ⅰ)设面CBN 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,1,1)， 则{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2y 2=0−√2x 2+y 2+z 2=0，令x 2=√2，可得n 2⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,2)，所以cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ >=n1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=−2√2⋅√2+4=−√33，设平面CBN 与平面ABN 夹角为α，则cosα=|cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ >|=√33，所以平面CBN 与平面ABN 夹角的余弦值为√33.【解析】(Ⅰ)建立空间直角坐标系，由题意求出点的坐标，用空间向量的数量积为0，可证得线面的存在；(Ⅰ)求出CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，求出面ABN 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ 的坐标，进而求出CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 1⃗⃗⃗⃗ 的夹角的余弦值，进而求出线面角的正弦值；(Ⅰ)求出面BCN 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ 的坐标，进而求出n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ 的夹角的余弦值，进而求出平面夹角的余弦值．本题考查用空间向量的方法证明线面的垂直，线面所成角的正弦值及面面夹角的余弦值，属于中档题．19.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q(q ≠1)，由b 1=2a 1=2，a 1+a 3=b 2，b 3=a 2+a 6， 所以{a 1+a 1+2d =b 1q b 1q 2=a 1+d +a 1+5d ⇒{1+d =q q 2=1+3d ，解得{d =1q =2或{d =0q =1(舍去)，所以等差数列{a n }的通项公式为：a n =a 1+(n −1)d =1+(n −1)=n ，(n ∈N ∗)， 等比数列{b n }的通项公式为：b n =b 1q n−1=2×2n−1=2n ，(n ∈N ∗). (2)由(1)a n =n(n ∈N ∗)，b n =2n (n ∈N ∗)， 所以c n =(2a n −1)b n =2n ⋅(2n −1)，所以S n =1⋅21+3⋅22+5⋅23+⋯+(2n −1)⋅2n ，① 所以2S n =1⋅22+3⋅23+5⋅24+⋯+(2n −1)⋅2n+1，② ①-②：−S n =2+23+24+⋯+2n+1−(2n −1)⋅2n+1， 即−S n =2+22+23+24+⋯+2n+1−4−(2n −1)⋅2n+1， 即−S n =2×(1−2n+1)1−2−4−(2n −1)⋅2n+1， 即−S n =2×2n+1−2−4−(2n −1)⋅2n+1， 即−S n =−(2n −3)⋅2n+1−6， 即S n =(2n −3)⋅2n+1+6，(n ∈N ∗).【解析】(1)设出公差与公比，利用等差数列与等比数列通项公式化简方程，组成方程组解出公差和公比后，利用通项公式即可解决问题；(2)将a n ，b n 代入c n =(2a n −1)b n 中化简，然后利用错位相减法求解即可．本题考查等差数列与等比数列的综合运用，考查错位相减法的运用，考查运算求解能力，属于中档题．第11页，共11页。
天津市七校2022-2023学年数学高一上期末教学质量检测试题含解析
f
x
2 x 1 1 2x
1 3
，则函数
y
[
f
(x)]的值域是
A.0,1
B.1,1
C. 1, 0
D. 1, 0,1
10．四面体 S ABC 中，各个侧面都是边长为 a 的正三角形，E, F 分别是 SC 和 AB 的中点，则异面直线 EF 与 SA 所
成的角等于（ ）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
所以 2 A， 4 A ，3 A，0,3 A，
故选：C 6、A
【解析】
f
2
1 2
2
4，
f
4
log2
4
2.
7、B
【解析】原式
故选
8、C
【解析】由对数函数的性质以及根式的性质列不等式组，即可求解.
【详解】由题意可得
解得
，
所以原函数的定义域为 ，
故选：C 9、D
【解析】化简函数
f
x
2 x 1 1 2x
∴ 31 cosA 1 ，∴ cosA 1 ，
3
9
∵ AD
AB
AC
且 D 在 BC 上，
AB AC
∴线段
AD
为
ABC
的角平分线，∴
AB AC
BD CD
3，
CB
4CD
以
A
为原点，如图建立平面直角坐标系，则
B
3,
0，C
1 9
，4
5 9
，D
2 3
，5 3
∴ AD
2 3
2
e
1 2
2
5 2
故选 D
2022-2023学年天津市部分区人教版三年级上册期末考试数学试卷答案
【分析】（1）（2）（4）（5）1分＝60秒，1厘米＝10毫米，1吨＝1000千克，1时＝60分，不同单位 名数比较大小，先化成统一的单位，再根据数值的大小进行比较得解；
（3）（6）先求出算式的结果，再比较大小。
【详解】1分＝60秒，60秒＋25秒＝85秒，85秒＝85秒，所以1分25秒＝85秒；
【解析】
【分析】把整体“l”平均分成6份，每份是 ；把一个整体平均分成7份，每份是 ，3个 是表示其中3份，即 ，依此解答即可。
【详解】把整体“l”平均分成6份，每份是 ，所以，1里面有6个 ；
把一个整体平均分成7份，每份是 ，所以，3个 是 。
【点睛】此题是考查分数的意义。把一个整体平均分成若干份，用分数表示，分母是平均分成的份数，分子是要表示的份数。
2厘米＝20毫米，8毫米＜20毫米，所以8毫米＜2厘米；
72×6＝432，432＞420，所以72×6＞420；
3吨＝3000千克，3500千克＞3000千克，所以3500千克＞3吨；
4时＝240分，240分＞24分，所以4时＞24分；
405＋389＝794，794＜800，所以405＋389＜800
【答案】55
【解析】
【分析】经过时间＝结束时刻－开始时刻，据此可知，用到终点站 时刻减去发车时刻，求出全程行驶时间。
【详解】8：00－7：05＝55（分钟）
这辆公交车全程用了55分钟。
【点睛】本题考查经过时间 计算，关键是熟记经过时间的计算公式。
6.1里面有（）个 ，3个 是（）。
【答案】①.6②.
数学书厚约是6毫米 一个苹果约重230克
【点睛】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。
天津市南开中学2022-2023学年高三上学期数学统练试卷(含答案)
2022-2023学年天津市南开中学高三（上）统练数学试卷（11）一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={1,2,3}，B={2,5,6}，则A∩(∁U B)=( )A. {4}B. {1,3}C. {1,2,3,4}D. {1,3,4,5,6}>0”的( )2.设x∈R，则“|x|>1”是“xx−1A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数y=sinx+4x的图象大致为( )e|x|A. B.C. D.4.某市为了解全市环境治理情况，对本市的200家中小型企业的污染情况进行了摸排，并把污染情况各类指标的得分综合折算成标准分100分，统计并制成如图所示的直方图，则标准分不低于70分的企业数为( )A. 30B. 60C. 70D. 1305.已知a=20.1，b=2ln1，c=ln2，则a，b，c的大小关系为( )2A. c>a>bB. a>c>bC. b>a>cD. b>c>a6. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x +6)=f(x)，y =f(x +3)为偶函数，若f(x)在(0,3)内单调递减.则下面结论正确的是( )A. f(10)<f(e 12)<f(ln2) B. f(e 12)<f(ln2)<f(10) C. f(ln2)<f(10)<f(e 12)D. f(ln2)<f(e 12)<f(10)7. 已知函数f(x)=4cos(ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π，将其图象沿x 轴向右平移m(m >0)个单位，所得函数为奇函数，则实数m 的最小值为( )A. π12B. π6 C. 5π12D. π48. 若将函数g(x)图象上所有的点向右平移π6个单位长度得到函数f(x)的图象，已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列说法错误的是．( )A. f(x)在[0,π4]上的最小值是12 B. (4π3,0)是f(x)的一个对称中心 C. g(x)在(π4,π2)上单调递减D. g(x)的图象关于点(π6,0)对称9. 已知函数f(x)={2x 2−4|x|+4,x >1e 1−x +x,x ≤1，若不等式12f(x)−|x −m 2|<0的解集为⌀，则实数m 的取值范围为( )A. [14,5−2ln3]B. [13,5−3ln3] C. [14,6−2ln3] D. [12,6−3ln3]二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 若复数z 满足z(1−i)=1+2i(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部是______．11. 已知(x 2−2x )n 的展开式的二项式系数之和为64，则展开式第三项的系数是______．12. 各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S 3=7a 3，则使S n >12764成立的n 的最小值为______．13. 已知x >0，y >0，x +y =1，则3yx +1x +1y 的最小值为______．14. 为了抗击新冠肺炎疫情，现在从A 医院200人和B 医院100人中，按分层抽样的方法，选出6人加入“援鄂医疗队”，再从此6人中选出3人作为联络员，则这3名联络员中甲乙两所医院均有人员入选的条件下，恰有2人来自B 医院的概率是______.设3名联络员中A 医院的人数为X ，则随机变量X 的数学期望为______． 15. 如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠BAD =60°，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若线段EF 上存在一点M ，使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (x ∈R)，则|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=______；若AN −=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分。
2023新高考I卷数学试卷及答案(含解析)
2023新高考I卷数学试卷及答案(含解析)2023年新课标I卷数学高考试题及答案解析2023年全国新高考1卷哪几个省2023年使用新高考1卷的省份有8个,分别是广东、福建、湖北、河北、山东、湖南、江苏、浙江。
新高考1卷的语文、数学、外语三门考试由教育部考试中心统一命题; 物理、历史、化学、政治、生物、地理由各省自行命题。
至于广东、福建、江苏、湖南、湖北、河北6个省是3+1+2模式的高考省份，山东省和浙江省是综合改革3+3省份。
2023高考数学答题技巧有哪些1、恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏;2、圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法;使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式;3、求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简(注意去掉不符合条件的特殊点);4、求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可;5、三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答;解三角形的题目，重视内角和定理的使用;与向量联系的题目，注意向量角的范围。
2023高考数学万能解题套路1、高考中数学函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。
首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
2、如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法。
3、高考数学的选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法。
4、求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法。
5、恒成立问题或是它的反面，能够转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏。
天津市2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试卷(含解析)
天津市2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试卷考试时间：120分钟；满分：120分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共14小题，共56.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知{|01}M x x =，{|}N x x p =，若M N ⋂=∅，则p 满足( ) A. 1p >B. 0p <C. 01p <<D. 1p <2. 给出下列命题：①若命题“p 或q 为真命题，则命题p 或命题q 均为真命题” ②命题p ：x R ∀∈，sin 1.x 则p ⌝：0x R ∃∈，使0sin 1x >；③已知函数()f x '是函数()f x 在R 上的导数，若()f x 为偶函数，则()f x '是奇函数； ④已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件； 其中真命题的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3. 已知集合{|10}A x N x =∈<，则( ) A. 0A ∉B. A ∅∈C. {0}A ⊆D. {}A ∅⊆4. 已知集合{|||2}A x x =，2{|30}B x x x =->，则A B ⋂=( ) A. ∅B. {|3,x x >或2}x -C. {|3,x x >或0}x <D. {|3,x x >或2}x5. 设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知集合{0,1}A =，{1,2}B =，则集合{|,,}C z z x y x A y B ==+∈∈的子集个数为( )A. 7B. 8C. 15D. 167. 已知集合1{|,}24k P x x k Z ==+∈，1{|,}22k Q x x k Z ==+∈，则( ) A. P Q =B. P QC. P QD. P Q ⋂=∅8. 设0b a >>，c R ∈，则下列不等式中不一定成立的是( ) A. 1122a b <B.11c c a b->- C.22a ab b+>+ D. 22ac bc <9. 满足关系{1,2}{1,2,3,4,5}A ⊆⊆的集合的个数是( ) A. 4B. 6C. 8D. 910. 若关于x 的不等式210ax bx +->的解集是{|12}x x <<，则不等式210bx ax +-<的解集是( )A. 2{|1}3x x -<<B. {|1x x <-或2}3x >C. 2{|1}3x x -<<D. 2{|3x x <-或1}x >11. 已知集合2{|60}A x x x =+-=，{|10}B x mx =+=，且B A ⊆，则实数m =( )A. 11{0,,}23-B. 11{,}23-C. 11{,}23-D. 11{0,,}23-12. 使不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是( ) A. 0x >B. 1x >-C. 1x <-或0x >D. 10x -<<13. 已知命题“x R ∃∈，214(2)04x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A. (,0)-∞B. [0,4]C. [4,)+∞D. (0,4)14. 已知a ，b R ∈，2215a b ab +=-，则ab 最大值是( ) A. 15B. 12C. 5D. 3第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）15. 已知a R ∈，b R ∈，若集合2{,,1}{,,0}b a a a b a=-，则“20172018ab +”的值为______. 16. 当1x <-时，1()1f x x x =++的最大值为______.17. 若集合2{|320}A x ax x =++=中至多有一个元素，则a 的取值范围是______. 18. 已知集合{|12}A x x =-<<，{|11}B x x m =-<<+，若x A ∈是x B ∈成立的一个充分不必要条件，则实数m 的取值范围是______.19. 已知2{|10}x ax ax -+<=∅，则实数a 的取值范围为__________. 20. 已知正数x ，y 满足5x y +=，则1112x y +++的最小值为______. 三、解答题（本大题共4小题，共40.0分。
2022-2023学年天津市天津中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年天津市天津中学高二上学期期末数学试题一、单选题 1．直线tan 4x π=-的倾斜角是（ ）A ．0B ．2πC ．34π D ．4π 【答案】B【分析】由倾斜角的概念求解 【详解】tan 4x π=-，即=1x -，直线的倾斜角为2π． 故选：B2．两直线3430x y +-=与810mx y ++=平行，则它们之间的距离为（ ） A ．4 B ．75C ．710D ．1710【答案】C【分析】先根据直线平行求得m ，再根据平行线间的距离公式求解即可.【详解】因为直线3430x y +-=与810mx y ++=平行，故3840m ⨯-=，解得6m =.故直线6860+-=x y 与810mx y ++=710=. 故选：C3．设椭圆2222x y m n+=1(0,0)m n >>的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为A ．2211216x y +=B ．2211612x y +=C ．2214864x y +=D ．2216448x y +=【答案】B【分析】先根据抛物线的方程求得焦点坐标,进而求得椭圆的半焦距c,根据椭圆的离心率求得m,最后根据m 、n 和c 的关系求得n. 【详解】∴抛物线28y x =,4p ∴=,焦点坐标为(2,0)∴椭圆的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同 ∴椭圆的半焦距2c =,即224m n -=212e m ==，4m n ∴==，∴椭圆的标准方程为2211612x y +=，故选B.本题主要考查了椭圆的标准方程的问题.要熟练掌握椭圆方程中a,b 和c 的关系,求椭圆的方程时才能做到游刃有余.【解析】椭圆与抛物线的标准方程，及性质.点评：由抛物线的焦点，可得椭圆的半焦距c,再由离心率可知m,从而n 因而椭圆方程确定.4．已知点(3,1)P --，向量(5,1)m =-，过点P 作以向量m 为方向向量的直线L ，则点(3,1)A -到直线L 的距离为（ ）A ．0 BCD 【答案】B【分析】根据题意得直线L 为30x +，再由点到直线距离公式解决即可. 【详解】由题知点(3,1)P --，向量(5,1)m =-，过点P 作以向量m 为方向向量的直线L ， 所以直线L 的斜率为k =所以直线L 为13)y x +=+，即30x ++， 因为(3,1)A -所以A L d -== 故选：B5．已知三棱柱111ABC A B C ，点P 为线段11B C 上一点，且11113B P BC =，则AP =（ ）A ．11122AB AC AA ++B ．11122AB AC AA ++ C ．11233AB AC AA +-D ．12133AB AC AA ++ 【答案】D【分析】根据空间向量的运算，利用基底表示向量AP .【详解】由题意得11AP AB BP AB BB B P =+=++，因为11113B P BC =，11BB AA =，所以11111133AP AB AA B C AB AA BC =++=++()113AB AA AC AB =++-12133AB AA AC =++.故选：D.6．若点()1,1P 在圆22:0C x y x y k ++-+=的外部，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()2,-+∞ B ．12,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()2,2-【答案】C【分析】由于点()1,1P 在圆22:0C x y x y k ++-+=的外部，所以111101140k k ++-+>⎧⎨+->⎩，从而可求出k 的取值范围【详解】解：由题意得111101140k k ++-+>⎧⎨+->⎩，解得122k -<<，故选：C ．7．已知直线0x y m -+=与圆22:40C x y y ++=相交于A 、B 两点，若CA CB ⊥，则实数m 的值为（ ） A ．4-或0 B ．4-或4 C ．0或4 D ．4-或2【答案】A【分析】分析可知ABC 为等腰直角三角形，利用几何关系求出圆心C 到直线AB 的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于m 的等式，即可解得m 的值.【详解】圆C 的标准方程为()2224x y ++=，圆心为()0,2C -，半径为2r =，因为CA CB ⊥且2CA CB ==，故ABC 为等腰直角三角形，且222AB CA == 则圆心C 到直线AB 的距离为122d AB ==由点到直线的距离公式可为d ==4m =-或0.故选：A.8．已知空间中四点()1,1,0A -，()2,2,1B ，()1,1,1C ，()0,2,3D ，则点D 到平面ABC 的距离为（ ）A B C D ．0【答案】A【分析】根据题意，求得平面ABC 的一个法向量(1,1,2)n =--，结合距离公式，即可求解. 【详解】由题意，空间中四点()1,1,0A -，()2,2,1B ，()1,1,1C ，()0,2,3D ， 可得(3,1,1),(2,0,1),(1,1,3)AB AC AD ===，设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =，则3020n AB x y z n AC x z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，可得1,2y z =-=-，所以(1,1,2)n =--，所以点D 到平面ABC 的距离为111n AD n⋅-==+故选：A.9．使得“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”的充分不必要条件是（ ） A ．1a = B ．2a =C ．3a =D ．3a =或0a =【答案】C【分析】求得直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直时，a 的值，由此确定充分不必要条件.【详解】直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直时，()()1220a a a ++-=，230a a -=，解得0a =或3a =.所以使得“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”的充分不必要条件是C 选项. 故选：C10．若直线:420l kx y k -++=与曲线y k 的取值范围是（ ） A ．{}1k k =±B ．3{|}4k k <-C ．3{|1}4k k -≤<-D ．3{|1}4k k -≤<【答案】C【分析】根据直线l 和曲线方程在平面直角坐标系中画出图形，数形结合分析即可.【详解】由题意，直线l 的方程可化为(2)40x k y +-+=，所以直线l 恒过定点(2,4)A -，24y x =-，可化为224(0)x y y +=≥其表示以(0,0)为圆心，半径为2的圆的一部分，如图.当l 与该曲线相切时，点(0,0)到直线的距离24221kd k +==+，解得34k =-.设(2,0)B ，则40122AB k -==---.由图可得，若要使直线l 与曲线24y x -则314k -≤<-. 故选：C.11．若数列{}n a 的通项公式是()()132nn a n =--，则1220a a a +++=A ．30B ．29C ．-30D ．-29【答案】A【详解】试题分析：由数列通项公式可知()()12201219201010330a a a a a a a d +++=++++==⨯=【解析】分组求和12．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，过点F 且倾斜角为π4的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则AB =（ ）． A ．8 B ．82C ．16D ．32【答案】C【分析】根据过抛物线焦点的弦长公式求得正确答案. 【详解】焦点()2,0F ，直线l 的方程为2y x =-，由228y x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 并化简得21240,144161280x x -+=∆=-=>， 设()()1122,,,A x y B x y ，所以1212x x +=， 所以1212416AB x x p =++=+=. 故选：C13．设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足．如 果直线AF 的斜率为-3,那么|PF|= A ．43 B ．8 C ．83 D ．16【答案】B【详解】设A （-2，t ），∴，∴∴PF =814．若数列{}n a 满足12332n n a a a a ++++=-，则这个数列的通项公式为( )A ．123n n a -=⨯B ．113()2n n a -=⨯C ．32n a n =-D ．11,=1=2?3,2n n n a n -≥⎧⎨⎩ 【答案】D【分析】根据递推数列的性质，可以得到1123132n n a a a a --++++=-，两式相减，即可得到n a 的表达式；此时要注意首项是否符合通项公式． 【详解】因为12332n n a a a a ++++=-，所以11231++++=322n n a a a a n ---≥，，两式相减，得123n n a -=⨯，且当=1n 时，1=2a ，在原式中，首项11321a =-=，二者不相等，所以11,=1=2?3,2n n n a n -≥⎧⎨⎩ 故选：D15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点(3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x = 的准线上，则双曲线的方程为A．2212128x y-=B．2212821x y-=C．22134x y-=D．22143x y-=【答案】D【详解】试题分析：双曲线的一条渐近线是by xa=2ba=①，抛物线2y=的准线是x=c=2227a b c+==②，由①②联立解得2ab=⎧⎪⎨=⎪⎩22143x y-=．故选D．【解析】双曲线的标准方程．16．圆22:(1)(1)2C x y-+-=关于直线:1l y x=-对称后的圆的方程为（）A．22(2)2x y-+=B．22(2)2x y++=C．22(2)2x y+-=D．22(2)2x y++=【答案】A【分析】由题可得圆心关于直线的对称点，半径不变，进而即得.【详解】圆22:(1)(1)2C x y-+-=的圆心(1,1)，由:1l y x=-得1lk=，设圆心关于直线对称点的坐标为(,)m n，则111111022nmm n-⎧=-⎪⎪-⎨++⎪--=⎪⎩，解得2mn=⎧⎨=⎩,所以对称圆的方程为22(2)2x y-+=.故选：A.17．设n S为等比数列{}n a的前n项和，若4212a a-=，316a a-=，则63SS=（）A．665B．2 C．9 D．72【答案】C【分析】根据已知先求出数列的首项和公比，即可利用求和公式求出.【详解】设等比数列{}n a的公比为q，则1231113421612aaa a qa a a qa q⎧-=-=-=-=⎪⎨⎪⎩，解得122aq=⎧⎨=⎩，则()6621212612S ⨯-==-，()332121412S ⨯-==-，所以63126914S S ==. 故选：C.18．已知1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点，过2F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，若11:||:3:4:5AF AB BF =，则该椭圆的离心率为（ ） A ．32B ．23-C ．312- D ．22【答案】D【分析】利用勾股定理得出1290F AF ∠=，利用椭圆的定义求得1AF 、2AF ，利用勾股定理可得出关于a 、c 的等量关系，由此可解得该椭圆的离心率.【详解】如下图所示，设13AF t =，则4AB t =，15BF t =，所以，22211AF AB BF +=， 所以，1290F AF ∠=，由椭圆定义可得11124AF AB BF t a ++==，3at ∴=，13AF t a ∴==， 所以，212AF a AF a =-=，所以，12AF F △为等腰直角三角形，可得2221212AF AF F F +=，2224a c ∴=， 所以，该椭圆的离心率为2c e a ==. 故选：D.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.19．若双曲线经过点()，且它的两条渐近线方程是3y x =±，则双曲线的方程是（ ）．A ．2219y x -=B ．2219x y -=C ．221273y x -=D ．221273x y -=【答案】A【分析】由渐近线方程可设双曲线为229y x m -=且0m ≠，再由点在双曲线上，将点代入求参数m ，即可得双曲线方程.【详解】由题设，可设双曲线为229y x m -=且0m ≠，又()在双曲线上，所以36319m =-=-，则双曲线的方程是2219y x -=. 故选：A20．在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2110(2)n nn a a a n +--+=≥， 则214n S n --= A ．2- B ．0 C ．1 D ．2【答案】A【详解】试题分析：根据等差数列{}n a 性质可知()1122n n n a a a n +-+=≥，所以220n n a a -=，因为0n a ≠，所以2n a =，则()21421242n S n n n --=-⨯-=-，故选A. 【解析】等差数列. 21．数列{}n a 满足123n na n +++⋅⋅⋅+=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）A ．1nn + B ．2nn + C ．21nn + D ．22nn + 【答案】D【分析】利用等差数列的前n 项和公式得到n a ，进而得到1111412n n a a n n +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，利用裂项相消法求和.【详解】依题意得：()1122n n n n a n ++==， ()()1141141212n n a a n n n n +⎛⎫∴==- ⎪++++⎝⎭，12231111n n a a a a a a +∴++⋯+ 1111114233412n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1124222n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， 故选：D ．22．已知抛物线24y x =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为（ ） A2+ B1C1D1【答案】D【分析】由抛物线24y x =可得双曲线的右焦点为()1,0F ，根据题意列式求解a ，即可得双曲线离心率.【详解】由抛物线24y x =可得焦点()1,0F ，则双曲线22221x y a b-=的右焦点为()1,0F ，即1c =，若AF x ⊥轴，可设()01,A y ，则204y =，由题意可得：22221141a b a b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1a =，∴双曲线的离心率为1c e a ==. 故选：D.23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且满足132nn n a a ++=⋅，则11S 的值为（ ）A ．4093B ．4094C ．4095D ．4096【答案】A【详解】由递推公式确定通项公式(1)2n nn a =-+，再求11S 即可.【解答】132nn n a a ++=⋅，故111232221222n n n n n n nn n nn n n a a a a a a +++-⋅---===----，又121a -=-， 所以{}2n n a -是首项为1-，公比为1-的等比数列，所以(1)2n nn a =-+，则()1112111112112121212121409312S a a a ⨯-=+++=-++++-+=-+=-故选：A24．已知函数()113sin 22f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，数列{}n a 满足2023n n a =，则()()()122022f a f a f a ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．2022 B ．2023 C ．4044 D ．4046【答案】A【分析】先求得()()12f x f x +-=，然后利用倒序相加法求得正确答案. 【详解】∵()11113sin 22f x x x ⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭，∴()()12f x f x +-=． ∵20232023120232023n n n na a --+=+=， ∴()()20232n n f a f a -+=．令()()()122022S f a f a f a =++⋅⋅⋅+， 则()()()202220211S f a f a f a =++⋅⋅⋅+，两式相加得222022S =⨯， ∴2022S =． 故选:A25．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)1n n a a n n n+=+++，则n a 等于（ ） A ．2ln n n + B ．2(1)ln n n n +- C ．2ln n n n + D ．1ln n n n ++【答案】C【分析】将给定的递推公式变形，再借助累加法计算作答. 【详解】因11ln(1)1n n a a n n n +=+++，则有1(1)ln 1ln n n a n n a nn +-=+-+， 于是得，当2n ≥时，23111223()()()1121n n n a a a a n an a a a n -++++=---- ()()()2ln 2ln1ln3ln 2ln ln 12ln n n n ⎡⎤=+-+-++--=+⎣⎦，因此，2ln n a n n n =+，显然，12a =满足上式， 所以2ln n a n n n =+. 故选：C26．过点()2,3M 作圆224x y +=的两条切线，设切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为（ ） A ．220x y +-= B ．2340x y +-=C ．2340x y --=D ．3260x y +-=【答案】B【分析】根据题意，可知圆224x y +=的圆心为()0,0O ，半径2r =，由切线长公式求出MA 的长，进而可得以M 为圆心，MA 为半径为圆，则AB 为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两方程作差后计算可得答案．【详解】解：根据题意，可知圆224x y +=的圆心为()0,0O ，半径2r =， 过点()2,3M 作圆224x y +=的两条切线，设切点分别为A 、B ，而MO =3MA =，则以M 为圆心，MA 为半径为圆为()()22239x y -+-=，即圆224640x y x y +--+=，所以AB 为两圆的公共弦所在的直线，则有222244640x y x y x y ⎧+=⎨+--+=⎩， 作差变形可得：4680x y +-=； 即直线AB 的方程为2340x y +-=. 故选：B.27．若函数()1n n a f a +=，则称f （x ）为数列{}n a 的“伴生函数”，已知数列{}n a 的“伴生函数”为()21f x x =+，11a =，则数列{}n na 的前n 项和n T =（ ）A ．(1)222n n n n +⋅+-B ．()11222n n n n ++⋅+-C ．()()111222n n n n ++-⋅+- D ．()()11222n n n n +-⋅+-【答案】C【分析】由已知可得数列{}1n a +为等比数列，其首项为112a +=，公比也为2，从而可求得21nn a =-，则2nn na n n =⋅-，从而可表示出n T ()121122222n n n n +=⨯+⨯++⋅-，令()1212222n H n n =⨯+⨯++⋅，利用错位相减法可求出()H n ，从而可求得结果【详解】依题意，可得*121()n n a a n N +=+∈，所以()11210n n a a ++=+>，即1121n n a a ++=+， 故数列{}1n a +为等比数列，其首项为112a +=，公比也为2， 所以11222n n n a -+=⋅=，所以21nn a =-，所以2n n na n n =⋅-，所以1112222(12)n n T n n =⨯+⨯++⋅-+++()121122222n n n n +=⨯+⨯++⋅-.令()1212222n H n n =⨯+⨯++⋅，则()21H n =()211222122n n n n +⨯+⨯++-⋅+⋅，两式相减，得()121112222222n n n n H n n n +++-=+++⋅=--⋅-，所以()()1122n H n n +=-⋅+，所以()()11()1222n n n T n n ++=-⋅+-.故选：C.28．点M 为抛物线214y x =上任意一点，点N 为圆223204x y y +-+=上任意一点，若函数()()()log 221a f x x a =++>的图象恒过定点P ，则MP MN +的最小值为（ ）A ．52B ．114C ．3D ．134【答案】A【解析】计算()1,2P -，则1122MP MN MP MF PD +≥+-≥-，计算得到答案. 【详解】函数()()()log 221a f x x a =++>的图象恒过定点1,2，故()1,2P -.214y x =，即24x y =，焦点为()0,1F ，准线为1y =-， 223204x y y +-+=，即()22114x y +-=. 111532222MP MN MP MF PD +≥+-≥-=-=，当PMD 共线时等号成立. 故选：A .【点睛】本题考查了对数函数过定点问题，抛物线的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.29．正项数列{}n a 的前n 项的乘积2621()(N ),log 4n n n n n T n b a -+=∈=，则数列{}n b 的前n 项和n S 中的最大值是 （ ） A ．6S B ．5S C ．4S D ．3S【答案】D【分析】由已知，求得{}n a 的通项公式，再求得数列{}n b 的通项公式，继而求得n S 中的最大值．【详解】由已知当1n =时，55111()44a T -===，当2n ≥时，2711()4n nn n Ta T --==，1n =时也适合上式，数列{}n a 的通项公式为2721()log 44,14n n n n a b a n -=∴==-， 数列{}n b 是以10为首项，以4-为公差的等差数列,22(1)(4)102122[(3)9]2n n n S n n n n -⨯-=+=-+=---，当3n =时取得最大值, 即n S 中的最大值是3S 故选：D30．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则下述结论中正确的个数为（ ）①MN ∥平面ABCD ； ②平面1A ND ⊥平面1D MB ；③直线MN 与11B D 所成的角为45︒； ④直线1D B 与平面1A ND 所成的角为45︒． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2，111(0,0,0),(2,0,2),(2,2,0),(0,0,2),(2,2,2),(1,0,1),(1,1,1)D A B D B M N ，由正方体的性质可知：1D D ⊥平面ABCD ，则平面ABCD 的法向量为1(0,0,2)DD =， (0,1,0)MN =，因为10D D MN ⋅=，所以1D D MN ⊥，而MN ⊄平面ABCD ，因此MN ∥平面ABCD ，故①对；设平面1A ND 的法向量为(,,)m x y z =，(1,1,1)DN =，1(2,0,2)DA =， 所以有1100(1,0,1)2200m DN m DN x y z m x z m DA m DA ⎧⎧⊥⋅=++=⎧⎪⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨+=⊥⋅=⎩⎪⎪⎩⎩， 同理可求出平面1D MB 的法向量(1,0,1)n =，因为110m n ⋅=-=，所以m n ⊥，因此平面1A ND ⊥平面1D MB ，故②正确； 因为(0,1,0)MN =，11(2,2,0)B D =--， 所以1111112cos ,144MN B D MN B D MN B D ⋅〈〉===⨯+⋅，因为异面直线所成的角范围为(0,90]，所以直线MN 与11B D 所成的角为45︒，故③正确； 设直线1D B 与平面1A ND 所成的角为θ，因为1(2,2,2)D B =-，平面1A ND 的法向量为(1,0,1)m =-， 所以11162sin cos ,11444D B m D B m D B mθ⋅=〈〉===≠+⨯++⋅ 所以直线1D B 与平面1A ND 所成的角不是45︒，因此④错误， 一共有3个结论正确， 故选：C。
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2022-2023学年天津市高考数学试卷题号一二三总分得分一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知全集，集合，，则( )A. B. C. D.2.“或”是“”的条件( )A. 必要不充分B. 充分不必要C. 充要D. 既不充分又不必要3.函数的图象为( )A. B.C. D.4.某工厂抽取件产品测其重量单位：其中每件产品的重量范围是数据的分组依据依次为，，，，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在内的产品件数为( )A. B. C. D.5.已知，，，则( )A. B. C. D.6.化简的值为( )A. B. C. D.7.已知抛物线，，分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点，若，则双曲线的标准方程为( )A. B. C. D.8.如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，，，与平面的距离为，则该多面体的体积为( )A. B. C. D.9.已知，关于该函数有下列四个说法：的最小正周期为；在上单调递增；当时，的取值范围为；的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.已知是虚数单位，化简的结果为．11.的展开式中的常数项为．12.若直线与圆相交所得的弦长为，则．13.张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到的概率为；已知第一次抽到的是，则第二次抽取的概率为．14.在中，，，是中点，，试用，表示为，若，则的最大值为．15.设，对任意实数，记若至少有个零点，则实数的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.本小题分在中，角，，所对的边分别为，，已知，，．求的值；求的值；求的值．17.本小题分直三棱柱中，，，，为中点，为中点，为中点．求证：平面；求直线与平面的正弦值；求平面与平面夹角的余弦值．18.本小题分设是等差数列，是等比数列，且．求与的通项公式；设的前项和为，求证：；求．19.本小题分椭圆的右焦点为、右顶点为，上顶点为，且满足．求椭圆的离心率；直线与椭圆有唯一公共点，与轴相交于异于记为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．20.本小题分已知，，函数，．求函数在处的切线方程；若和有公共点，当时，求的取值范围．答案和解析1.【答案】【解析】【分析】本题考查集合的并集和补集的混合运算．求出与的并集，在求补集即可．【解答】解：集合，，，全集，．故选A．2.【答案】【解析】【分析】本题考查了充分必要条件，是一道基础题，结合充分必要条件的定义进行判断，从而得到结论．【解答】解：或不能推出，例如，；能推出或，故“或”是“”的必要不充分条件．故选A．3.【答案】【解析】【分析】本题考查函数图象的识别，判断函数的奇偶性，属于较易题．根据函数的奇偶性和区间内函数值的正负，即可判断．【解答】解：函数的定义域为，，该函数为奇函数，故A错误；当时，，故C错误；当时，，且，当增大时，的值也越来越大，故B错误，故D正确．故本题选D．4.【答案】【解析】【分析】本题考查产品件数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．由频率分布直方图得重量在内的频率为由此能求出重量在内的产品件数．【解答】解：由频率分布直方图得：重量在内的频率为：．所以重量在内的产品件数为．故选：．5.【答案】【解析】【分析】本题考查了根据指数函数和对数函数的图象与性质判断函数值的大小，属于较易题．根据指数函数和对数函数的图象与性质，可判断．【解答】解：是定义在上的单调递增函数，，即，是定义在上的单调递减函数，，即，是定义在上的单调递增函数，，即，所以．故本题选C．6.【答案】【解析】【分析】本题考查了对数的换底公式的应用，以及对数式的化简，属于较易题．利用对数的换底公式计算即可．【解答】解：．故选B．7.【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线的标准方程，抛物线的焦点、准线，以及双曲线的渐近线，属于较易题．先由抛物线方程得出准线方程，从而得双曲线的半焦距，再联立抛物线准线方程与双曲线的渐近线方程解得，接着由，可得，从而得，最后再通过建立方程即可求解．【解答】解：由题意可得抛物线的准线为，又抛物线的准线过双曲线的左焦点，，双曲线的渐近线方程为，设直线与直线相交于点，则，解得，又，，，，，又，，，，双曲线的标准方程为．故选C．8.【答案】【解析】【分析】本题考查多面体的体积的求法，是中档题．取中点，中点，连结、、，该多面体的体积，由此能求出结果．【解答】解：取中点，中点，连结、、，在多面体中，四边形是边长为的正方形，，，且点到平面的距离为，该多面体的体积：．故选D．9.【答案】【解析】【分析】本题主要考查正弦型函数的图象和性质，属于较易题．由题意，利用正弦函数的图象和性质，即可得出结论．【解答】解：，最小正周期为，故错误；当时，，函数在上单调递增，故正确；当时，，的取值范围为，故错误；函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，故错误．故选A．10.【答案】【解析】【分析】本题考查了复数的除法运算，属于较易题．利用复数代数形式的乘除运算化简即可．【解答】解：，故答案为．11.【答案】【解析】【分析】本题考查二项展开式及其通项，属于较易题．先写出二项式的展开式的通项，整理出最简形式，根据要求只要使得变量的指数等于，求出的值，代入系数即可求出结果．【解答】解：的展开式的通项是要求展开式中的常数项只要使得，即常数项是．故答案为．12.【答案】【解析】【分析】本题考查直线与圆的交点坐标、弦长，点到直线的距离公式，属于较易题．先求出圆心到直线的距离，再根据圆中的弦长公式建立方程，最后解方程即可得解．【解答】解：由题知，圆心为，半径为，圆心到直线的距离，又直线与圆相交所得的弦长为，，解得或舍．故答案为．13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查概率的乘法公式，以及条件概率公式，属于中档题．由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到的条件下，第二次抽到的概率．【解答】解：由题意，设第一次抽到的事件为，第二次抽到的事件为，则，，．故答案为；．14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查向量的加减与数乘混合运算，利用向量的数量积求向量的夹角，由基本不等式求最值，以及向量的数量积与向量的垂直关系，属于中档题．由题意，利用两个向量加减法及其几何意义即可求，利用两个向量的数量积公式，以及基本不等式，可求出的最小值，即可得的最大值．【解答】解：中，，，是中点，，如图，，又，，即，，即，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故C的最大值为，即的最大值为．故答案为；．15.【答案】【解析】【分析】本题考查了函数的零点、方程的根的个数，属于较难题．设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围．【解答】解：设，，当时，，又函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，，解得或，当时，，作出函数、的图象如下图所示：此时函数只有两个零点，不符合题意，故舍，当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，所以，无解，故舍去，当时，，作出函数、的图象如下图所示：由图可知，函数的零点个数为，符合题意，当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，可得，解得，即，综上所述，实数的取值范围是．故答案为．16.【答案】解因为，，，由余弦定理可得，解得；因为，，所以，因为，所以，由正弦定理可得，即，可得，所以；因为，，所以，，因为，可得，所以，所以的值为．【解析】本题考查利用余弦定理和正弦定理解三角形，三角恒等变换的综合应用，以及由一个三角函数值求其他三角函数值，属于中档题．由余弦定理及题中条件可得边的值；由正弦定理可得的值，再由及正弦定理可得的值；求出及的正余弦值，由两角差的正弦公式可得的正弦值．17.【答案】解：证明：取的中点，连接，，又为中点，为中点，为中点，，，又平面，平面，平面，同理可得，平面，又，平面平面，平面，在直三棱柱中，，则可建立如图所示的空间直角坐标系，又，为中点，为中点，为中点．故B，，，，，则，，，设是平面的法向量，则有：，，即，令，则，，所以，设直线与平面的夹角为，则，，则，，设平面的法向量为，则有，，即，令，则，，故，设平面与平面的夹角为，所以．【解析】本题考查了利用空间向量求线面角以及二面角的大小，属于较难题．利用中位线可证，建立空间直角坐标系设是平面的法向量，平面的法向量为，可解．18.【答案】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，，，解得，，；证明：由知，等比数列的公比为，，，为数列的前项和，，；，，设．则，，，得：，，．【解析】本题考查等差数列与等比数列的通项公式与前项和公式，错位相减法求和，以及数列中前项和与第项的关系，属于较难题．设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，可得，，解得，，即可得出数列与的通项公式；由等比数列的性质及通项公式与前项和的关系即可证明；先求出，利用并项求和，结合错位相减法即可求出结果．19.【答案】解：，，，，，；由可知椭圆为，即，设直线：，联立，消去得：，又直线与椭圆只有一个公共点，，，，，又，，解得，则，又的面积为，，解得，又，，，椭圆的标准方程为．【解析】本题考查求椭圆的离心率，椭圆中三角形的面积，以及椭圆的标准方程，属于较难题．根据建立，的等式，再转化为，的等式，从而得离心率的值；先由将椭圆方程转化为，再设直线为，联立椭圆方程求出点的坐标，再由及，且的面积为建立方程组，再解方程组即可得解．20.【答案】解：，，，，函数在处的切线方程为；，，又和有公共点，方程有解，即有解，且，在上有解，设，，，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，，的取值范围为．【解析】本题考查导数的几何意义及直线的斜截式方程，利用导数解不等式，以及利用导数研究恒成立与存在性问题，属于较难题．利用导数的几何意义及直线的斜截式方程即可求解；将和有公共点转化为在上有解，构造函数，，接着利用导数求出的值域，从而得的取值范围．。