第4章插值法第2讲

n 1 2 ai x 1 2 x xi li x k 0 xi xk k i
计算方法
第四章 函 数 插 值
同理可得βi(x)=(x－xi)l2i(x)，将ai(x)，βi(x)代入(4.27)式，得
n n 1 2 H 2 n1 x 1 2 x xi li x f xi x xi li 2 x f xi i 0 k 0 xi xk t 0 k i
的次数不高于3的埃尔米插值多项式，具体表达如(4.28)式中
n=1的情形。显然，有
H4(xi)=f(xi)，
H4′ (xi)=f(xi)
(i=0，1)
通过条件H4(x2)=f(x2)，求得c后，即可得H4(x)。
计算方法
第四章 函 数 插 值
例4.9 确定一个次数不高于4的多项式p(x)，使得p(x) 满足条件p(0)=p′(0)=0, p(1)=p′(1)=1, p(2)=1。 解 方法一 设
2 2
2
2
计算方法 例1.
第四章 函 数 插 值
已知f ( x)在节点1， 2处的函数值为 f (1) 2 , f ( 2 ) 3 f ( x)在节点1， 2处的导数值为 f (1) 0 , f ( 2 ) 1
求f ( x)的两点三次插值多项式 , 及f ( x)在x 1.5,1.7处的函数值 .
H 2 n1 ( xi ) f ( xi ) (i 0,1, n1 ( xi ) f ( xi ) H2
, n)
(4.24)
这个多项式H2n+1(x)称为埃尔米插值多项式。
计算方法
第四章 函 数 插 值
注：(4.24)式给出了(2n+2)个条件，可唯一确定一个次
数不超过2n+1次的多项式，形式为H2n+1(x)=a0+a1x+…
计算方法 4.5.2
第四章 函 数 插 值
特殊情况的埃尔米插值问题
下面以特例说明此种方法。
已知f(x)在三个节点上的函数值及导数值如表4.12所示，
求次数不高于4的多项式H4(x)，使之满足条件：
计算方法
第四章 函 数 插 值
计算方法
第四章 函 数 插 值
方法一 以牛顿插值多项式为基础。 设
H 4 x f x0 f x0 x1 x x0 f x0 , x1 , x2 x x0 x x1 ax b x x0 x x1 x x2
即
H2n1 x H2n1 x ，唯一性得证。
仿照拉格朗日插值余项的讨论方法，可得出埃尔米插值
多项式的插值余项。
计算方法 定理4.5
第四章 函 数 插 值
若f(x)在区间［a, b］上存在2n+2阶导数，则
2n+1次埃尔米插值多项式的余项为
f 2 n 2 2 R2 n 1 x f x H 2 n 1 x n 1 x 2n 2 !
+a2n+1x2n+1。但若直接用条件(4.24)式来求H2n+1(x)中2n+2个系
数a0，a1，…，a2n+1，计算将非常复杂，所以我们用类似于
拉格朗日插值多项式的构造方法来构造埃尔米插值多项式。
计算方法
第四章 函 数 插 值
设ai(x)，βi(x)(i=0，1，…，n)为次数不超过2n+1次的多
计算方法
第四章 函 数 插 值
第四章 函数插值
计算方法
第四章 函 数 插 值
4.5 埃尔米(Hermit)插值公式
在前面讨论的插值问题中，插值条件仅要求被插值函数
y=f(x)及插值函数y=φ(x)在互异的n+1个节点处满足 f(xi)=φ(xi)(i=0, 1, …，n)，而实际问题中，有时不仅要求节 点处函数值相同，而且还要求它们在节点处某些阶的导数值 相同，如f′(xi)=φ′(xi)等。此类含有导数条件的插值称为埃尔
ai x ax b li 2 x
计算方法 其中，a，b (4.25)式得
第四章 函 数 插 值
li x
j 0 j i n
x xj xi x j
，由条件
ai xi axi b li 2 xi 1 ai xi li xi ali xi 2 axi b li xi 0
(ξ∈(a, b)) 其中, ωn+1(x)=(x－x0)(x－x1)…(x－xn)。 埃尔米插值多项式的几何意义是：曲线y=f(x)与曲线 y=H2n+1(x)在插值节点处有公共切线。
计算方法
第四章 函 数 插 值
例4.8 已知f(x)在两个节点上的函数值及导数值如表
4.11所示，求f(x)的三次埃尔米插值多项式。
2 2 2 2
计算方法
第四章 函 数 插 值
x 2 x 12
2 H 3 ( x) 21 2( x 1) x 2 2 31 2( x 2) x 1
3 x 3 13x 2 17x 9
f (1.5) H 3 (1.5) 2.625 f (1.7 ) H 3 (1.7 ) 2.931
计算方法
第四章 函 数 插 值
把x0=1，x1=2代入ai(x)，βi(x)(i=0，1)中，
解 方法一
再将其代入(4.28)式, 得
H3 x 2a0 x 3a1 x 1 x 3x3 13x2 17x 9
方法二 令所求三次埃尔米插值多项式为
计算方法 解得
第四章 函 数 插 值
a3 3 a 13 2 a1 17 a0 9
计算方法
第四章 函 数 插 值
故
H3(x)=－3x3+13x2－17x+9
注：埃尔米插值多项式求解方法很多，不要简单套用公
式(4.28)，应根据具体问题建立埃尔米求解公式。 在含导数的插值问题中，当函数值个数与导数值个数不 相等时，可在牛顿插值多项式或一般埃尔米插值多项式基础 上，用待定系数法求满足条件的插值多项式。
n
(4.28)
(4.28)式称为埃尔米插值多项式。
计算方法
第四章 函 数 插 值
由此得三次Hermite 插值多项式：
H ( x) h0 ( x) f ( x0 ) h1( x) f ( x1) h0 ( x) f ( x0 ) h1( x) f ( x1) --(12)
x x0 x x1 2 h0 ( x) (1 2 )( ) x1 x0 x0 x1 x x1 x x0 2 h1 ( x) (1 2 )( ) x0 x1 x1 x0
由此得
axi b 1 a 2li ( xi ) 0
计算方法
第四章 函 数 插 值
解之得
a 2l x i i b 1 2 xi li xi
而 li xi
k 0 k i
n
1 xi xk
，故
项式，且满足：
(4.25)
(4.26)
计算方法 记
第四章 函 数 插 值
x j i x H 2 n1 x a x f x f i j
i 0
n
(4.27)
由条件(4.25)、(4.26)式显然可知，(4.27)式满足插值条件 H2n+1(xk)=f(xk)， H′2n+1(xk)=f′(xk)(k=0, 1, …，n)，且为次数不 超过2n+1次的多项式，由此说明H2n+1(x)是满足插值条件 (4.24)式的埃尔米插值多项式的。其中，ai(x)、βi(x)称为埃尔
米(Hermit)插值，它是代数插值问题的推广。
计算方法
第四章 函 数 插 值
4.5.1 一般情形的埃尔米插值问题
已知函数y=f(x)在区间［a, b］上n+1个互异节点x0，
x1，…，xn处的函数值为yi=f(xi)(i=0, 1, 2, …，n)，导数值为 f′(xi)(注意：函数值个数与导数值个数相同)，现要求做一个 次数不超过2n+1次的多项式H2n+1(x)，使其满足下述2n+2个 插值条件:
多项式(12)常用作分段低次插值， 称为分段三次 Hermite 插值.
x x1 2 h0 ( x) ຫໍສະໝຸດ Baidu x x0 )( ) x0 x1 x x0 2 h1 ( x) ( x x1 )( ) x1 x0
计算方法
第四章 函 数 插 值
x x1 x x0 x x0 x x 1 H 3(x ) y0 1 2 x x x0 x1 y1 1 2 x x x x 0 1 0 0 1 1 x x0 x x1 x x1 x x0 y1 y0 x x x x 0 1 1 0
米插值基函数。
计算方法
第四章 函 数 插 值
下面利用拉格朗日插值基函数li(x)(i=0，1，…，n)来构
造ai(x)和βi(x)。
因关于节点x0，x1，…，xn的拉格朗日基函数li(x)满足：
(j≠i, j=0, 1, …，n) 且l2i(x)是2n次多项式，由条件(4.25)式，可设ai(x)为
计算方法
第四章 函 数 插 值
定理4.4 满足插值条件(4.24)式的埃尔米插值多项式是
唯一的。 证明 设H2n+1(x)和 H 2n1 x 都是满足条件(4.24)式的埃 尔米插值多项式，令
x H2n1 x H2n1 x
则每个节点xi(i=0，1，…，n)均为φ(x)的二重根，即φ(x)有 2n+2个根，但φ(x)是个不高于2n+1次的多项式，所以φ(x)≡0，
其中，a，b为待定常数。显然，有
H4(xi)=f(xi)
(i=0，1，2)
由条件H′4(xi)=f′(xi)(i=0, 1)，可求得a，b，即可得H4(x)。
计算方法 方法二
第四章 函 数 插 值
以埃尔米插值多项式为基础。 设
H4(x)=H3(x)+c(x－x0)2(x－x1)2
(c为待定常数)
H3(x)为满足条件H3(xi)=f(xi)，H3′(xi)=f′(xi)(i=0，1)
H3 x a0 a1x a2 x2 a3 x3
计算方法
第四章 函 数 插 值
由插值条件知
H 3 1 a3 a2 a1 a0 2 H 3 2 8a3 4a2 2a1 a0 3 1 3a3 2a2 a1 0 H3 H 2 12a 4a a 1 3 2 1 3
解:
x0 1, x1 2
y0 2 , y1 3
0, y1 1 y0
h0 ( x) y1 h1( x) H3 ( x) y0h0 ( x) y1h1( x) y0
x x1 x x0 x x0 x x 1 y0 1 2 y 1 2 1 x0 x1 x x x x x x 0 1 0 0 1 1 x x0 x x1 x x1 x x0 y1 y0 x x x x 0 1 1 0