第4章插值法第2讲
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插值法(共7张PPT)
( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), , ( x n , y n ), 有
n
[ y k ( x k )] 2
k 1
n
[ y k ( a 0 a 1 x k )] 2 k 1
f (a 0,a1)
可见 , f ( a 0 , a 1 )的极大值点
即为所待定的常数
(a 0,a1)
由a0,a1) 0 a0
f (a0,a1) 0 a1
2
n
(yk
a0
a1xk )
0
k 1
n
2 ( y k a 0 a 1 x k ) x k 0
k 1
na
0
n
xk
a1
n
yk
k 1
k 1
n k 1
x
k
a
0
n x k 2 a 1 k 1
g(x) f(x)
xx
0
1
x
x
2
第一页，共7页。
x
x
3
4
拟合曲线：从数据中找出的趋势性、规律性曲线。消除了数据 的 局部波动。
y
(xi , yi) , i = 1, 2, …, m
x
这时不是取 P(xi) = yi , 而要使 P(xi) yi 总体上尽可能小。
常见做法：
太复杂
➢ 使 m 1im a|P x(xi)yi |最小 /* mini(max()) problem? */
m
m
2
aj
y x
j i
k
＝
xk
ii
j0
i1
i 1
m
m
记 bk xik , ck yi xik
计算方法第四章 插值法
《 计 算 方 法 》
4
3
xi 4 yi 2
9 16 3 4
2
0
4
7
9
16
第4章 插值法
应用背景
造函数表：三角函数、对数 预测：鸡蛋价格、城市用水量
《 计 算 方 法 》
数控加工：造船、飞机机翼骨架、服装 样片、模具加工、刀具 计算机辅助设计：潜水艇、汽车造型
服装样片
第4章 插值法
实际问题中，f (x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散 数据；或者f (x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数 φ(x)来逼近f (x)。
《 计 算 方 法 》
φ (x)= y0
第4章 插值法
§2 线性插值与二次插值
2.1 线性插值
线性插值是代数多项式插值的最简单的形式。假设
《 计 算 方 法 》
给定了函数f (x)在两个互异点x0，x1的值,即
x x0值）
y y0 x0
y1
x1
x
第4章 插值法
现要用一线性函数
满足插值条件：
y( xi ) = yi , i = 0,1, 2
22
第4章 插值法 例：已知函数 y=f (x)的观测数据为
x
《 计 算 方 法 》
1 0
2 -5
3 -6
4 3
y
试求拉格朗日插值多项式。
第4章 插值法
《 计 算 方 法 》
( x 2)( x 3)( x 4) 解 ：p3 ( x ) = 0 (1 2)(1 3)(1 4) ( x 1)( x 3)( x 4) ( 5) (2 1)(2 3)(2 4) ( x 1)( x 2)( x 4) ( 6) (3 1)(3 2)(3 4) ( x 1)( x 2)( x 3) 3 (4 1)(4 2)(4 3) = x3 4 x2 3
4
3
xi 4 yi 2
9 16 3 4
2
0
4
7
9
16
第4章 插值法
应用背景
造函数表：三角函数、对数 预测：鸡蛋价格、城市用水量
《 计 算 方 法 》
数控加工：造船、飞机机翼骨架、服装 样片、模具加工、刀具 计算机辅助设计：潜水艇、汽车造型
服装样片
第4章 插值法
实际问题中，f (x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散 数据；或者f (x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数 φ(x)来逼近f (x)。
《 计 算 方 法 》
φ (x)= y0
第4章 插值法
§2 线性插值与二次插值
2.1 线性插值
线性插值是代数多项式插值的最简单的形式。假设
《 计 算 方 法 》
给定了函数f (x)在两个互异点x0，x1的值,即
x x0值）
y y0 x0
y1
x1
x
第4章 插值法
现要用一线性函数
满足插值条件：
y( xi ) = yi , i = 0,1, 2
22
第4章 插值法 例：已知函数 y=f (x)的观测数据为
x
《 计 算 方 法 》
1 0
2 -5
3 -6
4 3
y
试求拉格朗日插值多项式。
第4章 插值法
《 计 算 方 法 》
( x 2)( x 3)( x 4) 解 ：p3 ( x ) = 0 (1 2)(1 3)(1 4) ( x 1)( x 3)( x 4) ( 5) (2 1)(2 3)(2 4) ( x 1)( x 2)( x 4) ( 6) (3 1)(3 2)(3 4) ( x 1)( x 2)( x 3) 3 (4 1)(4 2)(4 3) = x3 4 x2 3
插值多项式
由插值条件
Pn ( xi ) yi
i 0, 1, , n
得到如下线性代数方程组：
1
a0
1
a0
x0a1 x1a1
x0nan x1nan
y0 y1
1 a0 xna1 xnnan yn
7
存在唯一性定理证明(续)
此方程组的系数行列式为
且 ( x0 ) ( x1 ) 0 存在 (x0, x1)使得 。
( ) 0
推广：若 ( x0 ) ( x1 ) ( x2 ) 0 0 ( x0 , x1 ), 1 ( x1, x2 )
使得 (0 ) (1 ) 0
函数值：
x x0 x1
xn1 xn
y y0 y1
yn1 yn
• 插值问题：根据这些已知数据来构造函数
y f (x) 的一种简单的近似表达式,以便于计算 点 x xi ,i 0,1,L , n 的函数值 f (x) ，或计算函数 的一阶、二阶导数值。
3
多项式插值定义
在众多函数中,多项式最简单、最易计算，已知函数 y f (x)在n 1
0
0L
0
l1 ( x)
0
1
0
L
0
L
L
L
L
LL
ln (x)
0
0
0
L
1
24
N次插值多项式4
求n次多项式 lk ( x) ， k = 0, 1,…, n
1, lk ( xi ) 0,
则
ki ki
n
第4章 福大科学工程与计算-插值法PPT课件
x0 , x1, x2 ,要求一个二次插值多项式L2 (x)，使它满足 L2 (x j ) y j ( j 0,1, 2)
y L2 (x)在几何上就是通过三点(x0 , y0 ), (x1, y1), (x2, y2 )的抛物线
L2 (x) y0l0 (x) y1l1(x) y2l2 (x) 显然它应满足L2 (x j ) y j ( j 0,1, 2)
其插值函数的图象如图
y yy
11 0.09.9 0.08.8 0.07.7 0.06.6 0.05.5 0.04.4 0.03.3 0.02.2 0.01.1
00 00
0.05.5
ssininxx的的的的的的
11
11.5..55
222
222..5.55
对于被插函数f (x)和插值函数P(x) 在节点xi处的函数值必然相等 但在节点外P(x)的值可能就会偏离f (x) 因此P(x)近似代替f (x)必然存在着误差
(x 169)(x 225) 2025
l1 ( x)
(x x0 )(x x2 ) ( x1 x0 )(x1 x2 )
(x 144)(x 225) 1400
l2 ( x)
(x ( x2
x0 )(x x1 ) x0 )(x2 x1 )
(x 144)(x 169) 4536
插值基函数计算复杂
低次插值
高次插值的精度不一定高
175 13.228756555322952...
但绝对不是次数越 高就越好，嘿 嘿……
三、插值余项Remainder
从上节可知, y f (x)的Lagrange插值
满足
n
Ln(x) y jl j (x) j0
Ln (xi ) f (xi ) i 0,1,, n
第四章插值方法_计算方法
节点上的线性 l ( x) x x1 , 0 x0 x1 插值基函数： 满足
l0(x) l1(x) x0 1 0
x x 0 l1( x) x1 x0
x1 0 1
16
n = 2 已知 使得
x0 , x1 , x2 y0 , y1 , y2
, 求 L2 ( x) ，
L2(x1) = y1 L2(x2) = y2
L2(x0) = y0
显然,
L2(x)是过 (x0, y0) 、 ( x1 , y1 )
、( x2 , y2 ) 三点的一条
抛物线。
y
y=L2(x) y0 O x0 y1 x1 y1 x2 y=f(x) x
17
先求 插值基函数 l 0(x), l1 (x), l 2(x) ,
它们满足
(1) 都是二次函数；
以下的问题：如何分析插值的余项？
24
算例1 已知连续函数 f (x) 的函数表如下： x f (x) -1 0 1 2 -2 -2 1 2
求方程 f (x)=0 在(-1,2)内的近似根。
25
算例1
已知连续函数f (x)的函数表如下：
x f(x)
-1 0 1 2 -2 -2 1 2
求方程 f (x)=0 在(-1,2)内的近似根。
y1 y0 L1 ( x) y0 ( x x0 ) x1 x0
1 x x1 x x0 y0 y1 li ( x) yi i 0 x0 x1 x1 x0
L1(x)是两个线性函数 的线性组合
l0(x)
l1(x)
线性插值 基函数
15
L1( x) y0 l0 ( x) y1 l1( x)
l0(x) l1(x) x0 1 0
x x 0 l1( x) x1 x0
x1 0 1
16
n = 2 已知 使得
x0 , x1 , x2 y0 , y1 , y2
, 求 L2 ( x) ，
L2(x1) = y1 L2(x2) = y2
L2(x0) = y0
显然,
L2(x)是过 (x0, y0) 、 ( x1 , y1 )
、( x2 , y2 ) 三点的一条
抛物线。
y
y=L2(x) y0 O x0 y1 x1 y1 x2 y=f(x) x
17
先求 插值基函数 l 0(x), l1 (x), l 2(x) ,
它们满足
(1) 都是二次函数；
以下的问题：如何分析插值的余项？
24
算例1 已知连续函数 f (x) 的函数表如下： x f (x) -1 0 1 2 -2 -2 1 2
求方程 f (x)=0 在(-1,2)内的近似根。
25
算例1
已知连续函数f (x)的函数表如下：
x f(x)
-1 0 1 2 -2 -2 1 2
求方程 f (x)=0 在(-1,2)内的近似根。
y1 y0 L1 ( x) y0 ( x x0 ) x1 x0
1 x x1 x x0 y0 y1 li ( x) yi i 0 x0 x1 x1 x0
L1(x)是两个线性函数 的线性组合
l0(x)
l1(x)
线性插值 基函数
15
L1( x) y0 l0 ( x) y1 l1( x)
计算方法—插值法
2018/10/20
lk ( x) lk 1 ( x) 1
13
2.2 拉格朗日插值
Chapter2 插值法
L1(X)
L1(X)
∴ lg2.718 ≈L1 (2.718)=0.43428
2018/10/20 14
2.2 拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值
利用线性插值法对函数y=f(x) 进行逼近时，即用直线y=L1(x)代替 曲线y=f(x)。
Chapter2 插值法
显然当插值区间较大或曲线[x0,x1]凸凹变化大时，线 性插值的误差很大。 为了减小这种误差，我们用简单的曲线(抛物线)去近似
代替复杂曲线y=f(x) 。二次多项式函数的曲线为抛物线， 所以我们构造插值函数L2(x) ，即n=2。
2018/10/20 15
2.2 拉格朗日插值
5
2018/10/20
2.1 引言
多项式插值
Chapter2 插值法
对于n+1个基点的插值问题，如果要求插值函数是次 数不超过n的多项式，记为Pn(x)，则相应的问题就是多项 式插值，并且把Pn(x)称为插值多项式。 实际上，我们所考虑的插值函数通常都是多项式函数
或分段多项式函数。由于次数不超过n的多项式的一般形 式为： Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn
当n=20,在109次/秒的计算机上计算需几万年！
2018/10/20 12
2.2 拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值 已知函数y=f(x)的函数 插值法
y yk
yk+1
求次数不超过1的多项式L1(x)=a0+a1x 满足插值条件L1(xk)=yk, L1(xk+1)=yk+1。
插值法：原理与应用ppt课件
• 1. 插值：曲线依次通过n个点
• 2. 逼近：曲线最接近n个点
• （接近：在某种意义下） • 例：最小二乘法
• 3. 拟合：插值 + 逼近
.
3
泰勒展开
• 在某一点x0处展开 • 只在x0处近似性较好 • 远离x0的点误差较大 • 需要n个点近似性较好
• 插值可以胜任
.
4
一次插值
• 用一次函数近似表示
• 输出：
• n个三次多项式，作为Bezier曲线
.
51
Bezier曲线：形状
.
52
Bezier曲线：特点
• 改变某一段，不会对其他段产生影响 • 常用于工业设计
• 设计汽车外形 • Adobe illustrator可以方便绘制
• 缺点：
• 不方便进行误差分析 • B样条曲线可以更好地进行误差分析
.
5
二次插值
• 用二次函数来表示
.
6
多项式插值 ：示例
• 给定的n+1个不同的点
• 找到一个n次多项式，
• 依次通过这n+1个点
• n次多项式必然唯一
.
7
多项式插值：唯一性
•
.
8
多项式插值：唯一性
•
.
9
拉格朗日插值
•
.
10
拉格朗日插值：2点情形
•
.
11
基函数的构建：2点情形
•
.
12
基函数的构建：n+1点情形
•
.
13
拉格朗日插值：n+1点情形
•
.
14
拉格朗日插值：误差估计
•
.
• 2. 逼近：曲线最接近n个点
• （接近：在某种意义下） • 例：最小二乘法
• 3. 拟合：插值 + 逼近
.
3
泰勒展开
• 在某一点x0处展开 • 只在x0处近似性较好 • 远离x0的点误差较大 • 需要n个点近似性较好
• 插值可以胜任
.
4
一次插值
• 用一次函数近似表示
• 输出：
• n个三次多项式，作为Bezier曲线
.
51
Bezier曲线：形状
.
52
Bezier曲线：特点
• 改变某一段，不会对其他段产生影响 • 常用于工业设计
• 设计汽车外形 • Adobe illustrator可以方便绘制
• 缺点：
• 不方便进行误差分析 • B样条曲线可以更好地进行误差分析
.
5
二次插值
• 用二次函数来表示
.
6
多项式插值 ：示例
• 给定的n+1个不同的点
• 找到一个n次多项式，
• 依次通过这n+1个点
• n次多项式必然唯一
.
7
多项式插值：唯一性
•
.
8
多项式插值：唯一性
•
.
9
拉格朗日插值
•
.
10
拉格朗日插值：2点情形
•
.
11
基函数的构建：2点情形
•
.
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基函数的构建：n+1点情形
•
.
13
拉格朗日插值：n+1点情形
•
.
14
拉格朗日插值：误差估计
•
.
线性插值与二次插值公式ppt课件
11
MATLAB计算程序
1
x=0:.6:1.8; y=erf(x);
0 .8
x=x';y=y';
A=[ones(4,1) x x.^2 x.^3]; 0.6
p=A\y;
0 .4
a0=p(1);a1=p(2); 0 .2
a2=p(3);a3=p(4);
t=0:.2:2;
0
0
0 .5
1
1 .5
2
u=a0+a1*t+a2*t.^2+a3*t.^3;
plot(x,y,'o',t,u)
12
拉格朗日插值的基函数构造法
n=1 线性插值问题 x
x0
x1
已知函数表 f(x)
y0
y1
求满足: L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1的线性插值多项式 L1(x)
由过两点直线方程,得
L1( x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
化为等价形式
L1( x)
当 x∈(0.5, 1)时
Erf ( x) 1 [( x 0.5) 0.8427 (1 x) 0.5205] 1 0.5
当 x∈(1, 1.5)时
Erf ( x) 1 [( x 1) 0.9661 (1.5 x) 0.8427] 1.5 1
3
实际问题中遇到的函数f(x)有的表达式复杂，有 的只提供了离散点上的函数值或导数值。为了进 一步分析问题的性质和变化规律，自然希望找到 一种简单函数p(x)，能近似描述函数f(x)的变化规 律，又便于处理。把这个函数p(x)称作f(x)的近似 函数。
MATLAB计算程序
1
x=0:.6:1.8; y=erf(x);
0 .8
x=x';y=y';
A=[ones(4,1) x x.^2 x.^3]; 0.6
p=A\y;
0 .4
a0=p(1);a1=p(2); 0 .2
a2=p(3);a3=p(4);
t=0:.2:2;
0
0
0 .5
1
1 .5
2
u=a0+a1*t+a2*t.^2+a3*t.^3;
plot(x,y,'o',t,u)
12
拉格朗日插值的基函数构造法
n=1 线性插值问题 x
x0
x1
已知函数表 f(x)
y0
y1
求满足: L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1的线性插值多项式 L1(x)
由过两点直线方程,得
L1( x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
化为等价形式
L1( x)
当 x∈(0.5, 1)时
Erf ( x) 1 [( x 0.5) 0.8427 (1 x) 0.5205] 1 0.5
当 x∈(1, 1.5)时
Erf ( x) 1 [( x 1) 0.9661 (1.5 x) 0.8427] 1.5 1
3
实际问题中遇到的函数f(x)有的表达式复杂，有 的只提供了离散点上的函数值或导数值。为了进 一步分析问题的性质和变化规律，自然希望找到 一种简单函数p(x)，能近似描述函数f(x)的变化规 律，又便于处理。把这个函数p(x)称作f(x)的近似 函数。
4插值法
4.1 函数插值的基本问题
4.1.1 插值问题的基本概念 函数插值的必要性
使复杂函数简单化 使无解析式的函数（离散型、图形图像）获得解析式
为其他数值方法提供支持手段（如数值积分、微分）
插值问题
定义4-1
4.1 函数插值的基本问题
4.1.1 插值问题的基本概念 代数多项式插值问题
由于多项式有其优良的特性，所以通常都是用多项式作为 插值函数。还有其它类型的插值函数，如有理函数插值、 三角函数插值等
4.1.3 插值多项式的误差估计
最大值估计
设 Max f
a x b ( n 1)
( x) M , 则 Rn ( x)
M n1 ( x) (n 1)!
事后估计
当 f
( n 1)
( ) 无法估计时，可作两次 插值，即
x 0 , x1 , , x n p n ( x )
i 0 n
拉格朗日插值的特点： 基函数整齐、对称,与被插函数无关,均为不超过n次的多项式 插值函数被表示为基函数与函数值的线性组合 不便于增加插值基点，因为基函数与插值基点和个数有关 公式的理论价值高于牛顿插值 例4-4 p70例3 例4-5 p71例4
例4-6 p71例5
4.2.4 拉格朗日插值在密钥管理中的应用
依赖于x的点 (a, b) ，使
f ( n 1) ( ) Rn ( x ) n 1 ( x) (n 1)!
n i 0
其中：
n 1 ( x) ( x x0 )(x x1 ) ( x x n ) ( x xi )
推论：当f(x)是次数不超过次的多项式时，pn(x)=f(x)。
函数插值涉及的基本问题
插值法概述PPT课件
则 Ln(x) yili(x) 即为
i0
拉格朗日(Lagrange) 插值多项式
若引入记号 n 1 ( x ) ( x x 0 )x (x 1 )x . .x n .)(
' n 1 ( x k ) （ x k x 0 ） .x . k . x k 1 ( ) x k ( x k 1 )x k . x . n ) ..
(3)
a0a1xna2xn2...anxnn yn
一般插值多项式的原理
令： 1
A
1
x0
x1
x0n x1n
1
xn
xnn
方程组的矩阵形式如下：
a 0
X
a
1
a
n
y0
Y
y
1
y
n
A Y X
( 4 )
n n1
由 于A (xi xj)0 i1 j0
所以方程组（4）有唯一解。
则 (x k ) 0 (k 0 ,1 ,2 ,.n )..
Lagrange插值余项与误差估计
注 R n ( x 意 ) f ( x ) L n ( 到 x ) K ( x ) n 1 ( x )
故 ( x k 有 ) 0( k 0 , 1 , 2 ,n . )且 .. ( x ) 0
插值引例
三、插值引例
实例1
标准正态分布函数 (x)
查
x0
1
2…
函
┇┇ ┇ ┇┇
数
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 … 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 …
表
┇┇ ┇ ┇┇
求(1.014)
实例2
插值引例
求机翼下轮廓线上一点的近似数值
i0
拉格朗日(Lagrange) 插值多项式
若引入记号 n 1 ( x ) ( x x 0 )x (x 1 )x . .x n .)(
' n 1 ( x k ) （ x k x 0 ） .x . k . x k 1 ( ) x k ( x k 1 )x k . x . n ) ..
(3)
a0a1xna2xn2...anxnn yn
一般插值多项式的原理
令： 1
A
1
x0
x1
x0n x1n
1
xn
xnn
方程组的矩阵形式如下：
a 0
X
a
1
a
n
y0
Y
y
1
y
n
A Y X
( 4 )
n n1
由 于A (xi xj)0 i1 j0
所以方程组（4）有唯一解。
则 (x k ) 0 (k 0 ,1 ,2 ,.n )..
Lagrange插值余项与误差估计
注 R n ( x 意 ) f ( x ) L n ( 到 x ) K ( x ) n 1 ( x )
故 ( x k 有 ) 0( k 0 , 1 , 2 ,n . )且 .. ( x ) 0
插值引例
三、插值引例
实例1
标准正态分布函数 (x)
查
x0
1
2…
函
┇┇ ┇ ┇┇
数
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 … 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 …
表
┇┇ ┇ ┇┇
求(1.014)
实例2
插值引例
求机翼下轮廓线上一点的近似数值
插值法(2)
例1 给定函数
1 f ( x) = , − 5 ≤ x ≤ 5, 2 1+ x
取其等距节点 xi = −1 +10 i n ( i = 0,1,L, n) ， 构 造的Lagrange插值多项式为
pn ( x ) =
∑
n
j=0
1 l x 2 i ( ) 1+ xj
当 n→∞ 时， n ( x ) 只能在 x ≤ 3.63内收敛，而 p 在这个区间以外是发散的。这种畸形现象 通常叫做Runge现象。如下图所示。
分段线性插值的余项
Mh 2 f ( x) − ϕ ( x) = R( x) ≤ 8 其中 M = max f ''( x ) a ≤ x ≤b
例
设 f ( x) =
1 ，-1 ≤x ≤1 1 + 25 x 2
将区间[-1，1] 10 等份，用分段线性插值近似计算f (−0.96)。 解：插值节点为 xi = −1 + i / 5, (i = 0,1,L10) ， 因为 -0.96∈[-1,-0.8],取此区间为线性插值区间，其上的插值 函数为 x + 0.8 x +1 ϕ ( x ) = f ( −1) + f ( −0.8)
0.2 − 0.2 = −0.1923( x + 0.8) + 0.2941( x + 1) − 1 ≤ x ≤ −0.8
所以 f ( −0.96) ≈ ϕ ( −0.96) = 0.04253
三、评价 分段线性插值简便易行，节点加密误差 变小，且插值函数只依赖于本段的节点 值，计算误差基本不扩大、稳定。但在 节点处插值函数不可微，光滑度不够。 分段三次Hermite插值函数是插值区间上 的光滑函数，总体是直至一阶导数连续， 它与函数在节点处密合程度较好。
《数值分析》第二讲插值法PPT课件
1 xn xn2 xnn Vandermonde行列式
即方程组（2）有唯一解 (a0, a1, , an)
所以插值多项式
P (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n
存在且唯一
第二章：插值
§2.2 Lagrange插值
y
数值分析
1、线性插值
P 即(x)ykx yk k 1 1 x yk k(xxk)
l k ( x k 1 ) 0 ,l k ( x k ) 1 ,l k ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k 1 ) 0 ,l k 1 ( x k ) 0 ,l k 1 ( x k 1 ) 1
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) lk(x)((xx k x xk k 1 1))((x xkxx k k1)1)
第二章：插值
数值分析
3、Lagrange插值多项式
令 L n ( x ) y 0 l 0 ( x ) y 1 l 1 ( x ) y n l n ( x )
其中，基函数
lk (x ) (x ( k x x x 0 ) 0 ) (( x x k x x k k 1 1 ) )x x k ( ( x x k k 1 ) 1 ) (( x x k x n x )n )
因此 P (x ) lk (x )y k lk 1 (x )y k 1
且
P (x k ) y k P (x k 1 ) y k 1
lk(x), lk1(x) 称为一次插值基函数
数值分析
第二章：插值
2、抛物线插值 令
y (xk , yk )
f (x)
lk1(x)(x(k x 1 x xk k))x x ((k 1x k x 1k )1) p( x) (xk1,yk1)
计算方法课件_插值法
P( x) an x an1 x
n
n1
a1 x a0
满足
P( xi ) f ( xi )
(i 0,1,2,, n)
计 则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。这种插值法通常 算 称为代数插值法。其几何意义如下图所示 方 法 课 件 y=p(x)
y=f(x)
2016/12/27
算 l0 ( x0 ) 1, l0 ( x1 ) 0 , l0 ( x2 ) 0 方 法 这个问题容易求解。由上式的后两个条件知 : 课 件 x1 , x 2 是 l0 ( x) 的两个零点。于是
1 再由另一条件 l0 ( x0 ) 1 确定系数 c ( x0 x1 )(x0 x2 ) ( x x1 )(x x2 ) 从而导出 l0 ( x) ( x0 x1 )(jkhh x0 x 2 ) 2016/12/27 14
直接由插值条件决定，
y
计 即 a0 , a1 , a 2 满足下面 y0 算 的代数方程组： 方 O x0 法 课 2 a a x a x 0 1 0 2 0 y0 件 该三元一
y=L2(x) y1 x1 y1 x2 y=f(x) x
2 a a x a x 0 1 1 2 1 y1 2 a a x a x 2 2 y2 0 1 2
(i=0,1,2,…,n )
的便于使用的插值多项式P(x),先考察几种简单情形,
线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数 近似地代替f(x)。选
x1 的值， f(x)在两个互异的点 x0 ， y0 f ( x0 ), y1 f ( x1 )
,现要求用线性函数 p( x) ax b 择参数a和b, 使 p( xi ) f ( xi )(i 0,1) P(x) 为f(x)的线性插值函数 2016/12/27 jkhh 。
插值法讲义
解三转角方程和解三弯矩方程得到的样条插值
多项式完全等价）。因为，它仍通过给定的函 数值，这类样条函数称为c样条。
m x m x 0
半截幂函数
,x0 ,x0
3
（5）利用节点上的一阶导数值mi 来表示插值多项式， 需要解关于mi 的方程组。因为，mi 在力学上解释
为细梁在节点截面处的转角，且与相邻节点的两
,
S' ( xn ) yn ' S" ( xn ) yn "
• 给定两个端点处的二阶导数值：
,
• 周期边界条件：y0 yn , S ' ( x0 0 ) S ' ( x n 0 ) , • 非结点边界条件：
S" ( x0 0) S" ( xn 0)
S"' ( x)在结点 x1和xn1处连续
7
平面上相邻的四个点 (xi-1 , yi-1 ) , (xi , yi ) ,
(xi+1 , yi+1 ) , (xi+2 , yi+2 ) 确定区间 [ xi , xi+1 ]上的
一个三次多项式 Pi (x ) ，使得（等距节点情况，
步长为1）：
yi 1 4 yi yi 1 y 4 yi 1 yi 2 , Pi ( x i 1 ) i 6 6 yi 1 yi 1 yi 2 yi ' ' Pi ( xi ) , Pi ( xi 1 ) , 2 2 yi 1 2 yi yi 1 yi 2 yi 1 yi 2 " " Pi ( x i ) , Pi ( x i 1 ) 2 2 Pi ( x i ) ,
c语言插值算法PPT课件02
插值算法
插值的定义 一维插值算法
最邻近插值 线性插值 拉格朗日插值 牛顿插值 埃尔米特插值 三次样条插值
二维插值算法
最邻近插值 双线性插值 三次卷积插值
插值的定义
设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义，且已知 在点a≤x0<x1<…<xn≤b上的值为 y0,y1,…,yn,若存在简单函数P(x)使得
P(xi)=yi (i=0,1,…,n) 成立，就称P(x)为f(x)的插值函数，
x0,x1,…,xn称为插值节点，包含插值节点的 区间[a,b]称为插值区间，求插值函数P(x)的 方法就是插值法。
最邻近插值
最邻近插值是最简单的插值方法，位置x上 的值被赋为离它最近的值i+1]内，则
最邻近插值结果
线性插值
线性插值即分段线性插值，是通过插值点 用折线段连接起来逼近 f(x),若x在区间 [xi,xi+1]内，则
线性插值结果
拉格朗日插值
若通过n+1个节点x0<x1<…<xn的n次插值多项
式 Ln(x)满足条件：
可以构造出满足此条件的插值多项式 Ln(x)
其中,lk(x)为n次插值基函数
拉格朗日插值结果
牛顿插值
利用插值基函数容易求出拉格朗日插值多 项式，但当插值节点增减时，计算要全部 重新进行，牛顿插值就是一种能够逐次生 成插值多项式的插值法。已知f在插值点 xi(i=0,1,…,n)上的值为f(xi),若n次插值多项 式 Pn(x)满足条件：
则插值多项式表示为： 其中，
三次样条插值
三次样条插值结果
二维图像插值算法
最邻近插值 双线性插值 三次卷积插值
二维最邻近插值
插值的定义 一维插值算法
最邻近插值 线性插值 拉格朗日插值 牛顿插值 埃尔米特插值 三次样条插值
二维插值算法
最邻近插值 双线性插值 三次卷积插值
插值的定义
设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义，且已知 在点a≤x0<x1<…<xn≤b上的值为 y0,y1,…,yn,若存在简单函数P(x)使得
P(xi)=yi (i=0,1,…,n) 成立，就称P(x)为f(x)的插值函数，
x0,x1,…,xn称为插值节点，包含插值节点的 区间[a,b]称为插值区间，求插值函数P(x)的 方法就是插值法。
最邻近插值
最邻近插值是最简单的插值方法，位置x上 的值被赋为离它最近的值i+1]内，则
最邻近插值结果
线性插值
线性插值即分段线性插值，是通过插值点 用折线段连接起来逼近 f(x),若x在区间 [xi,xi+1]内，则
线性插值结果
拉格朗日插值
若通过n+1个节点x0<x1<…<xn的n次插值多项
式 Ln(x)满足条件：
可以构造出满足此条件的插值多项式 Ln(x)
其中,lk(x)为n次插值基函数
拉格朗日插值结果
牛顿插值
利用插值基函数容易求出拉格朗日插值多 项式，但当插值节点增减时，计算要全部 重新进行，牛顿插值就是一种能够逐次生 成插值多项式的插值法。已知f在插值点 xi(i=0,1,…,n)上的值为f(xi),若n次插值多项 式 Pn(x)满足条件：
则插值多项式表示为： 其中，
三次样条插值
三次样条插值结果
二维图像插值算法
最邻近插值 双线性插值 三次卷积插值
二维最邻近插值
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米插值基函数。
计算方法
第四章 函 数 插 值
下面利用拉格朗日插值基函数li(x)(i=0，1，…，n)来构
造ai(x)和βi(x)。
因关于节点x0，x1，…，xn的拉格朗日基函数li(x)满足：
(j≠i, j=0, 1, …，n) 且l2i(x)是2n次多项式，由条件(4.25)式，可设ai(x)为
计算方法
第四章 函 数 插 值
定理4.4 满足插值条件(4.24)式的埃尔米插值多项式是
唯一的。 证明 设H2n+1(x)和 H 2n1 x 都是满足条件(4.24)式的埃 尔米插值多项式，令
x H2n1 x H2n1 x
则每个节点xi(i=0，1，…，n)均为φ(x)的二重根，即φ(x)有 2n+2个根，但φ(x)是个不高于2n+1次的多项式，所以φ(x)≡0，
米(Hermit)插值，它是代数插值问题的推广。
.5.1 一般情形的埃尔米插值问题
已知函数y=f(x)在区间［a, b］上n+1个互异节点x0，
x1，…，xn处的函数值为yi=f(xi)(i=0, 1, 2, …，n)，导数值为 f′(xi)(注意：函数值个数与导数值个数相同)，现要求做一个 次数不超过2n+1次的多项式H2n+1(x)，使其满足下述2n+2个 插值条件:
2 2
2
2
计算方法 例1.
第四章 函 数 插 值
已知f ( x)在节点1， 2处的函数值为 f (1) 2 , f ( 2 ) 3 f ( x)在节点1， 2处的导数值为 f (1) 0 , f ( 2 ) 1
求f ( x)的两点三次插值多项式 , 及f ( x)在x 1.5,1.7处的函数值 .
即
H2n1 x H2n1 x ，唯一性得证。
仿照拉格朗日插值余项的讨论方法，可得出埃尔米插值
多项式的插值余项。
计算方法 定理4.5
第四章 函 数 插 值
若f(x)在区间［a, b］上存在2n+2阶导数，则
2n+1次埃尔米插值多项式的余项为
f 2 n 2 2 R2 n 1 x f x H 2 n 1 x n 1 x 2n 2 !
计算方法 4.5.2
第四章 函 数 插 值
特殊情况的埃尔米插值问题
下面以特例说明此种方法。
已知f(x)在三个节点上的函数值及导数值如表4.12所示，
求次数不高于4的多项式H4(x)，使之满足条件：
计算方法
第四章 函 数 插 值
计算方法
第四章 函 数 插 值
方法一 以牛顿插值多项式为基础。 设
H 4 x f x0 f x0 x1 x x0 f x0 , x1 , x2 x x0 x x1 ax b x x0 x x1 x x2
2 2 2 2
计算方法
第四章 函 数 插 值
x 2 x 12
2 H 3 ( x) 21 2( x 1) x 2 2 31 2( x 2) x 1
3 x 3 13x 2 17x 9
f (1.5) H 3 (1.5) 2.625 f (1.7 ) H 3 (1.7 ) 2.931
其中，a，b为待定常数。显然，有
H4(xi)=f(xi)
(i=0，1，2)
由条件H′4(xi)=f′(xi)(i=0, 1)，可求得a，b，即可得H4(x)。
计算方法 方法二
第四章 函 数 插 值
以埃尔米插值多项式为基础。 设
H4(x)=H3(x)+c(x－x0)2(x－x1)2
(c为待定常数)
H3(x)为满足条件H3(xi)=f(xi)，H3′(xi)=f′(xi)(i=0，1)
计算方法
第四章 函 数 插 值
第四章 函数插值
计算方法
第四章 函 数 插 值
4.5 埃尔米(Hermit)插值公式
在前面讨论的插值问题中，插值条件仅要求被插值函数
y=f(x)及插值函数y=φ(x)在互异的n+1个节点处满足 f(xi)=φ(xi)(i=0, 1, …，n)，而实际问题中，有时不仅要求节 点处函数值相同，而且还要求它们在节点处某些阶的导数值 相同，如f′(xi)=φ′(xi)等。此类含有导数条件的插值称为埃尔
ai x ax b li 2 x
计算方法 其中，a，b (4.25)式得
第四章 函 数 插 值
li x
j 0 j i n
x xj xi x j
，由条件
ai xi axi b li 2 xi 1 ai xi li xi ali xi 2 axi b li xi 0
多项式(12)常用作分段低次插值， 称为分段三次 Hermite 插值.
x x1 2 h0 ( x) ( x x0 )( ) x0 x1 x x0 2 h1 ( x) ( x x1 )( ) x1 x0
计算方法
第四章 函 数 插 值
x x1 x x0 x x0 x x 1 H 3(x ) y0 1 2 x x x0 x1 y1 1 2 x x x x 0 1 0 0 1 1 x x0 x x1 x x1 x x0 y1 y0 x x x x 0 1 1 0
的次数不高于3的埃尔米插值多项式，具体表达如(4.28)式中
n=1的情形。显然，有
H4(xi)=f(xi)，
H4′ (xi)=f(xi)
(i=0，1)
通过条件H4(x2)=f(x2)，求得c后，即可得H4(x)。
计算方法
第四章 函 数 插 值
例4.9 确定一个次数不高于4的多项式p(x)，使得p(x) 满足条件p(0)=p′(0)=0, p(1)=p′(1)=1, p(2)=1。 解 方法一 设
由此得
axi b 1 a 2li ( xi ) 0
计算方法
第四章 函 数 插 值
解之得
a 2l x i i b 1 2 xi li xi
而 li xi
k 0 k i
n
1 xi xk
，故
H 2 n1 ( xi ) f ( xi ) (i 0,1, n1 ( xi ) f ( xi ) H2
, n)
(4.24)
这个多项式H2n+1(x)称为埃尔米插值多项式。
计算方法
第四章 函 数 插 值
注：(4.24)式给出了(2n+2)个条件，可唯一确定一个次
数不超过2n+1次的多项式，形式为H2n+1(x)=a0+a1x+…
计算方法
第四章 函 数 插 值
把x0=1，x1=2代入ai(x)，βi(x)(i=0，1)中，
解 方法一
再将其代入(4.28)式, 得
H3 x 2a0 x 3a1 x 1 x 3x3 13x2 17x 9
方法二 令所求三次埃尔米插值多项式为
项式，且满足：
(4.25)
(4.26)
计算方法 记
第四章 函 数 插 值
x j i x H 2 n1 x a x f x f i j
i 0
n
(4.27)
由条件(4.25)、(4.26)式显然可知，(4.27)式满足插值条件 H2n+1(xk)=f(xk)， H′2n+1(xk)=f′(xk)(k=0, 1, …，n)，且为次数不 超过2n+1次的多项式，由此说明H2n+1(x)是满足插值条件 (4.24)式的埃尔米插值多项式的。其中，ai(x)、βi(x)称为埃尔
+a2n+1x2n+1。但若直接用条件(4.24)式来求H2n+1(x)中2n+2个系
数a0，a1，…，a2n+1，计算将非常复杂，所以我们用类似于
拉格朗日插值多项式的构造方法来构造埃尔米插值多项式。
计算方法
第四章 函 数 插 值
设ai(x)，βi(x)(i=0，1，…，n)为次数不超过2n+1次的多
H3 x a0 a1x a2 x2 a3 x3
计算方法
第四章 函 数 插 值
由插值条件知
H 3 1 a3 a2 a1 a0 2 H 3 2 8a3 4a2 2a1 a0 3 1 3a3 2a2 a1 0 H3 H 2 12a 4a a 1 3 2 1 3
解:
x0 1, x1 2
y0 2 , y1 3
0, y1 1 y0
h0 ( x) y1 h1( x) H3 ( x) y0h0 ( x) y1h1( x) y0
x x1 x x0 x x0 x x 1 y0 1 2 y 1 2 1 x0 x1 x x x x x x 0 1 0 0 1 1 x x0 x x1 x x1 x x0 y1 y0 x x x x 0 1 1 0
计算方法 解得
第四章 函 数 插 值
a3 3 a 13 2 a1 17 a0 9
计算方法
第四章 函 数 插 值