03_第二章222,223牛顿插值法

三阶差商 四阶差商
f [x0 , x1 , x2 , x3 ]
f [x0 , x1 , , x4 ]
f [x1 , x2 , x3 , x4 ]
华长生制作
规定函数值为零阶差商
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例1 值
求
f(xi)=
x3在节点
x=0,
2,
3,
5,
6上的各阶差商
解: 计算得如下表
xi f[xi] f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+2]
i j
j 0,1,2, ,n
形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多
由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成
1, x x0 , (x x0 )( x x1 ), , (x x0 )( x x1 ) (x xn1 )
共n+1个多项式的线性组合
那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？
Ax b
§ 2.2.2 Newton插值法
§
a11
A
a21
2.2.3
a12 a22
等距节点插值公式
a1n a2n
xi
bi
i1
lij x j
j1
lii
an1
an2
ann
i 2,3, , n
我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为
l j(x)
n i0
(x xi ) (x j xi )
(i j k)
为f (x)关于xi , x j , xk的二阶差商
依此类推
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5
f [ xi0 , xi1 , , xik1 , xik ]
f [xi0 , xi1 , , xik1 ] f [xi1 , xi2 , , xik ] xi0 xik
为f ( x)关于节点 xi0 , xi1 , , xik1 , xik的k阶差商
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2
显然，多项式组
1, x x0 , (x x0 )( x x1 ), , (x x0 )( x x1 ) (x xn1 )
线性无关，因此，可以作为插值基函数
设插值节点为 xi , 函数值为 fi f (xi ) , i 0,1,L , n
hi xi1 xi , i 0,1,2, , n 1
an f [x0 , x1 , , xn ]
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定义3. 称 Nn(x) a0 a1(x x0 ) a2(x x0 )(x x1 )
an(x x0 )(x x1 ) (x xn1 )
k 1
k (x) (x xj ) j 0 为k次多项式
n
k 1
f0 f [x0 , x1 , , xk ] (x xj )
x1 f ( x1 )
f [ x0 , x1 ] f [x1 , x2 ]
x2 f ( x2 )
f [ x2 , x3 ]
x3 f ( x3 )
f [ x3 , x4 ]
x4 f (x4 )
二阶差商
f [x0 , x1 , x2 ] f [x1 , x2 , x3 ] f [x2 , x3 , x4 ]
为此引入差商和差分的概念
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一、差商(均差)
定义1. 设f (x)在互异的节点 xi 处的函数值为 fi ,i 0,1, , n
称
f [xi , xj ]
fi xi
fj xj
(i j)
为f (x)关于节点 xi , x j 一阶差商(均差)
f [xi , x j , xk ]
f [xi , x j ] f [x j , xk ] xi xk
设插值多项式
P(x) a0 a1(x x0 ) a2(x x0 )(x x1 ) an(x x0 )(x x1 ) (x xn1 )
满足插值条件
P(xi ) fi , i 0,1, , n
则待定系数为
a0 f0
a1 f [x0 , x1 ]
a2 f [x0 , x1 , x2 ]
(3) 当f（k )(x)在包含节点 x0 , x1 , , xk的区间存在时 ,
在x0 , x1 , , xk之间必存在一点 ,使得
f [x0 , x1 ,
, xk ]
f (k )( )
k!
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用余项的 相同证明
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差商的计算方法(表格法):
差商表 Chashang.m
xk f (xk ) 一阶差商 x0 f ( x0 )
00
28
80 4 20
3 27 5 125 6 华长生2制1作6
27 8 19 32 125 27 49 53 216 125 91 65
19 4 5 30
49 19 10 52
10 5 1 50
91 49 14 63
14 10 1 9
62
二、Newton基本插值公式
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6
f [x0 , x1 , , xk 1 , xk ]
k
f ( xi )
i0 ( xi x0 ) ( xi xi1 )( xi xi1 ) ( xi xk )
(2) 差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变
如
f [x0 , x1 , x2 ] f [x0 , x2 , x1 ] f [x2 , x1 , x0 ]
显然
f [x0 , x1 , , xk 1 , xk ] f [ x0 , x1 , , xk 1 ] f [ x0 , x1 , , xk 2 , xk ] xk 1 xk
差商具有如下性质(请同学们自证)：
(1) f (x)的k阶差商f [x0 , x1 , , xk1 , xk ]可由函数值 f (x0 ), f (x1 ), , f (xk )的线性组合表示,且
有 P(x0 ) f0 a0
a0 f0
P(x1 ) f1 a0 a1(x1 x0 )
a1
f1 x1
f0 x0
P(x2 ) f2 a0 a1(x2 x0 ) a2(x2 x0 )( x2 x1 )
f2 f0 f1 f0
a2
x2
x0 x2
x1 x0 x1
再继续下去待定系数的形式将更复杂
h
max i
hi
插值条件为wk.baidu.comP(xi ) fi , i 0,1, , n
设插值多项式 P(x)具有如下形式
P(x) a0 a1(x x0 ) a2(x x0 )(x x1 ) an(x x0 )(x x1 ) (x xn1 )
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P(x)应满足插值条件 P(xi ) fi , i 0,1, , n