数值分析(牛顿插值法)
牛顿(newton)插值法
牛顿(newton)插值法牛顿插值法是一种数值分析中的插值方法，它用于找到一个多项式函数，该函数会经过给定的一系列数据点。
该方法最初由英国数学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton）发明并称为插值多项式，它也被称作差分插值法。
插值是数学和工程学中的一项重要任务，它是用于在给定数据点之间构建连续函数的一种数值方法。
插值方法通常涉及过渡从观察结果派生出抽象结果的过程，从而使得预测可能的结果取得更加准确。
下面介绍牛顿插值法的基本原理。
插值基础插值基础是插值方法中的一个重要概念。
在这里，我们将对牛顿插值法中用到的插值基础进行简要介绍。
一个插值基础是指一个已知数据点的集合，通常是一个 x 坐标和对应的 y 坐标。
每个插值基础一般定义为一个数据点的函数，该函数包含了给定点的所有信息并将这些信息用于构建连续函数。
在牛顿插值法中，我们使用差分来定义插值基础。
差分是指两个相邻数据点之间 y 坐标的差值。
具体来说，若给定以下节点：x0, y0x1, y1x2, y2...xn, yn我们则通过以下的 "+" 符号所示的不断进行差分的方式来构建一个插值基础：y0y1-y0…yn-yn-1 yn-yn-1 yn-yn-2 ... yn-y0上述图表所展示的差分的值即为定义插值基础的差商（divided difference）。
牛顿插值公式基于上述插值基础和差商，我们现在可以使用牛顿插值公式来实现插值。
具体来说，牛顿插值公式可以表示为：f(x) = y0 + d1*f[x0,x1] + d2*f[x0,x1,x2] + ... + dn*f[x0,x1,...,xn]其中 f(x) 是插值函数，x0, x1, ..., xn 是给定的节点，y0, y1, ..., yn 是对应的 y 值，f[x0,x1] 是差商 f(x0,...,x1) 的值，d1, d2, ..., dn 也是差商。
请注意，插值函数的次数最高为 n - 1，这意味着插值函数与插值基础的次数相同。
数值分析2-3(牛顿插值法)
二阶差商
f [ xi , x j , xk ]
一般的k阶差商定义为
f [ x0 , x1 ,..., x k ] f [ x0 ,..., x k 2 , x k ] f [ x0 , x1 ,..., x k 1 ] x k x k 1
特别地，f(x)关于一个点xi的零阶 差商定义为函数值本身，即
§3
差 商 与 牛 顿 插 值
一、差商及其性质 二、差商的计算
三、牛顿插值公式 四、牛顿插值法举例
一、差商及其性质
1. 差商的定义 函数关于 xi, xj 一阶差商
f [ xi , x j ] fห้องสมุดไป่ตู้( x j ) f ( xi ) x j xi
f [ x j , xk ] f [ xi , x j ] xk xi
∶ ∶ ∶
f[x0,x1,x2] f[x1,x2,x3]
∶ ∶ ∶
f[x0,x1,x2,x3]
∶ ∶ ∶
例 已知函数y= f (x)的观测数据如下， 试构造差商表，并求 f [2,4,5,6]的值
x 0 2 f(x) 1 5
4 5 6 9 -4 13
解 构造差商表如下
xi f(xi) 一阶 二阶 三阶 0 1 2 5 2 4 9 2 0 5 -4 -13 -5 -1 6 13 17 15 5 四阶
4 3 2
用二次插值求f (3)时，取
x0=2, x1=4, x2=5, 得 f ( 3) f ( 2) f [2,4]( 3 2)
f [2,4,5]( 3 2)( 3 4) 7 5( 3 2)( 3 4) 12 思考：若本题只给出前三个点，结果 如何？请你总结牛顿插值法何时停止？
数值分析2-3(牛顿插值法)差商和与牛顿插值
确定插值多项式的次数
根据已知数据点的数量确定插值多项式的最高次 数。
计算插值多项式
利用差商表，通过拉格朗日插值公式计算插值多 项式。
3
进行插值
将需要插值的x值代入插值多项式中，得到对应 的y值。
05
牛顿插值法的优缺点分析
优点
计算简单
局部性质好
相比于其他多项式插值方法，牛顿插 值法的计算过程相对简单，不需要求 解高阶方程，降低了计算的复杂度。
数值分析2-3：牛顿 插值法、差商和
目录
• 引言 • 牛顿插值法的基本概念 • 差商的计算方法 • 牛顿插值法的实现步骤 • 牛顿插值法的优缺点分析 • 实际应用案例 • 总结与展望
01
引言
主题简介
数值分析是数学的一个重要分支，主 要研究如何用数值方法解决各种数学 问题。
本章节将介绍牛顿插值法、差商和的 概念及其应用。
03
差商的计算方法
差商的递推公式
差商的递推公式
$f[x_0, x_1, ldots, x_n] = frac{f[x_1, ldots, x_n] - f[x_0, x_1, ldots, x_{n-1}]}{x_n - x_0}$
应用
通过递推公式，我们可以计算任意点之间的差商，从而得到插值多项式的导数。
在数据点附近，牛顿插值具有较好的 局部性质，能够提供较为准确的插值 结果。
适用性强
牛顿插值法适用于各种数据分布情况， 无论是线性还是非线性数据，都能得 到较好的插值结果。
缺点
全局误差较大
由于牛顿插值多项式的构造方式， 其全局误差通常较大，尤其是在 数据点较少的情况下。
对数据点敏感
如果数据点发生微小的变动，牛 顿插值多项式可能会发生较大的 变化，导致插值结果不稳定。
牛顿插值法介绍
牛顿插值法介绍本文将介绍牛顿插值法的基本原理、计算过程、优缺点以及在实际问题中的应用。
首先，我们将简要介绍插值法的基本概念和牛顿插值法的由来，然后详细讨论牛顿插值法的计算步骤和算法，接着分析其优缺点以及适用范围，最后通过几个实际问题的例子展示牛顿插值法的应用场景。
一、插值法基本概念在数学和计算机领域，插值是指根据已知的离散数据点构造满足这些数据点的曲线或函数的过程。
假设我们有一组数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我们想要通过这些数据点构建一个函数f(x)，使得f(xi) = yi，其中i = 1, 2, ..., n。
这样的函数就是经过插值的函数，它代表了这些数据点的趋势和变化规律。
插值法通常用于寻找这样的函数，它能够通过已知的数据点来估计函数在其他位置的值。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。
在这些方法中，牛顿插值法是最为广泛使用的一种，因为它的计算效率高、精度较高，并且易于编程实现。
二、牛顿插值法的由来牛顿插值法由艾萨克·牛顿在17世纪提出，他是一位英国著名的数学家、物理学家和天文学家，在微积分、物理学和光学等领域都做出了重大贡献。
牛顿发展了牛顿插值法的理论基础和计算方法，并将其应用于数据分析和天体运动等问题中。
牛顿插值法基于牛顿插值多项式的概念，该多项式利用差商（divided differences）来表示，并具有易于计算和分析的优势。
牛顿插值多项式能够在已知的数据点上进行插值，并且还可以通过添加新的数据点来动态地更新插值结果。
因此，牛顿插值法成为了一种非常有用的数值计算工具，被广泛应用于工程、科学和金融等领域。
三、牛顿插值法的计算步骤1. 确定数据点首先，我们需要确定一组离散的数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，这些数据点是我们已知的数据，我们要通过它们来构建插值函数。
牛顿插值法的原理和推导过程
牛顿插值法的原理和推导过程一、引言在科学计算和数值分析中，插值法是一种重要的数学工具，它可以通过已知的离散数据点来估计未知点的值。
在众多插值法中，牛顿插值法以其形式简洁、计算方便而广受欢迎。
本文将对牛顿插值法的原理和推导过程进行详细阐述。
二、牛顿插值法的基本原理牛顿插值法是一种多项式插值方法，它的基本思想是通过构造一个n次多项式Pn(x)，使得该多项式在给定的n+1个插值节点上与被插值函数f(x)具有相同的函数值。
这样，在插值节点之间，我们可以用Pn(x)来近似代替f(x)。
三、牛顿插值法的推导过程差商与差分为了构造插值多项式，首先需要引入差商的概念。
设f[xi,xj]表示函数f(x)在点xi 和xj上的一阶差商，其计算公式为：f[xi,xj] = (f(xj) - f(xi)) / (xj - xi)类似地，可以定义二阶、三阶乃至n阶差商。
n阶差商f[x0,x1,...,xn]表示函数f(x)在点x0,x1,...,xn上的差商，可以通过低一阶的差商递归计算得到。
差分是差商的另一种表现形式，它与差商之间有一一对应的关系。
在实际计算中，差分往往比差商更方便。
牛顿插值多项式的构造有了差商的概念，我们就可以构造牛顿插值多项式了。
设n次牛顿插值多项式为：Pn(x) = f(x0) + fx0,x1 + fx0,x1,x2(x-x1) + ... + fx0,x1,...,xn(x-x1)...(x-xn-1)其中，f[x0,x1,...,xk]表示k阶差商。
可以看出，Pn(x)是一个形式简洁的多项式，其各项系数即为各阶差商。
为了证明Pn(x)满足插值条件，即Pn(xi) = f(xi) (i=0,1,...,n)，我们可以将xi代入Pn(x)中，逐项验证。
由于差商的性质，当x取xi时，高于i阶的差商项都将为0，因此Pn(xi) = f(xi)。
牛顿插值法的计算步骤（1）根据给定的插值节点，计算各阶差商；（2）根据牛顿插值多项式的公式，构造插值多项式Pn(x)；（3）将需要插值的点代入Pn(x)，得到插值结果。
三次牛顿向前插值公式
三次牛顿向前插值公式牛顿向前插值公式是一种常用的数值分析方法，用于通过已知数据点的函数值来估计其他未知数据点的函数值。
它基于多项式插值的思想，通过给定的数据点构造一个多项式函数，然后利用该函数来估计其他数据点的函数值。
假设我们有一组已知的数据点，其中每个数据点都有一个对应的函数值。
我们希望通过这些已知数据点来估计其他数据点的函数值。
牛顿向前插值公式可以帮助我们实现这个目标。
具体来说，牛顿向前插值公式使用多项式函数来逼近原始函数。
多项式函数的次数取决于给定的数据点的数量。
公式的形式如下：f(x) ≈ f(x0) + (x - x0)f[x0, x1] + (x - x0)(x - x1)f[x0, x1, x2] + ...其中，f(x0)、f[x0, x1]、f[x0, x1, x2]等代表函数值或差商。
差商是一种递归定义的概念，用于计算多项式函数中的系数。
牛顿向前插值公式的优点是简单易用，计算效率高。
它可以用于任意次数的多项式逼近，而且在插值区间内具有较高的精度。
然而，它也有一些缺点，例如对于非均匀数据点的插值效果较差。
为了更好地理解牛顿向前插值公式，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设我们有以下一组数据点：x0 = 1, f(x0) = 3x1 = 2, f(x1) = 5x2 = 3, f(x2) = 8我们希望通过这些已知数据点来估计其他数据点的函数值。
根据牛顿向前插值公式，我们可以得到以下逼近多项式：f(x) ≈ 3 + (x - 1)f[1, 2] + (x - 1)(x - 2)f[1, 2, 3]其中，f[1, 2]和f[1, 2, 3]分别表示差商。
根据差商的定义，我们可以计算出它们的值：f[1, 2] = (f(x1) - f(x0)) / (x1 - x0) = (5 - 3) / (2 - 1) = 2f[1, 2, 3] = (f[2, 3] - f[1, 2]) / (x2 - x0) = ((8 - 5) / (3 - 2) - 2) / (3 - 1) = 1将以上计算结果代入逼近多项式中，我们可以得到最终的插值公式：f(x) ≈ 3 + 2(x - 1) + (x - 1)(x - 2) = 3 + 2x - 2 + x^2 - 3x + 2 = x^2 - x + 3通过这个插值多项式，我们就可以估计其他数据点的函数值了。
牛顿差值法
牛顿差值法牛顿差值法（Newton’s Difference Method）是一种在数值分析中广泛应用的二次多项式拟合方法和根求解方法。
该方法引入了多项式中的牛顿多项式（Newton Polynomial）。
牛顿多项式将一组数据的多项式拟合能力极大地提升，从而使得求解方程的精度和速度都更加有效。
牛顿差值法又称为牛顿插值法，最早可以追溯到17世纪法国数学家叶塞立雅（Isaac Newton）提出的，叶塞立雅是一位非常伟大的数学家，他发明了多种重要的数学方法，而牛顿差值法是他的最重要的发现之一。
牛顿的思想是从一组已知的点的函数值拟合出一个多项式，其中的每个点都被精确的表示。
牛顿差值法是一种称为牛顿形式的特殊牛顿多项式的拟合方法，这种多项式简单并产生了一系列的非线性多项式公式，它将一组数据的拟合能力极大地提升，从而求解方程的精度和速度都更加有效。
牛顿差值法通常是基于插值函数的形式。
基于此函数形式，其计算（或估计）插值点的值时，都是使用已知的点的函数值的线性组合。
如一次多项式的形式为p_0+p_1x+p_2x^2，则给定点(x_0,f(x_0))...(x_n,f(x_n))，组合函数值f(x)即为f(x)= a_0 f (x_0)+a_1 f (x_1)...+a_n f (x_n).牛顿差值法中，系数a_0,a_1...a_n是拟合多项式系数，可以通过求解方程组来求解。
需要注意的是，牛顿差值法更能反映函数在点之间变化，它同样可用于插补曲线，主要用于拟合数据点，求解方程，以及求解极值点，等等。
由于牛顿多项式的拟合能力较强，牛顿差值法的估计和求解过程都比较精确，在实际应用中拥有良好的精度与准确性。
它常常被用于求解和拟合数据，尤其是函数的拟合，是一种经常应用的方法之一。
拉格朗日插值法 牛顿插值法
拉格朗日插值法牛顿插值法
摘要：
1.插值法的概念和作用
2.拉格朗日插值法原理和应用
3.牛顿插值法原理和应用
4.两种插值法的优缺点比较
正文：
一、插值法的概念和作用
插值法是一种数学方法，通过已知的数据点来预测未知数据点的一种技术。
在科学计算和工程应用中，常常需要根据有限个已知数据点，来估计某个函数在其他点上的值。
插值法正是为了解决这个问题而诞生的。
二、拉格朗日插值法原理和应用
拉格朗日插值法是一种基于拉格朗日基函数的插值方法。
它的基本原理是：在给定的区间[a, b] 上，选取一个基函数，然后通过求解一组线性方程，得到基函数在各数据点上的值，最后用这些值来近似函数在待求点上的值。
拉格朗日插值法广泛应用于数值分析、工程计算等领域。
三、牛顿插值法原理和应用
牛顿插值法，又称为牛顿前向差分法，是一种基于差分的插值方法。
它的基本原理是：通过对已知数据点的函数值进行差分，然后使用牛顿迭代公式来求解差分后的函数在待求点上的值。
牛顿插值法具有较高的精度，适用于各种函数，特别是对于单调函数和多项式函数，效果尤为显著。
四、两种插值法的优缺点比较
拉格朗日插值法和牛顿插值法各有优缺点。
拉格朗日插值法的优点是适用范围广，可以插值任意类型的函数，但计算过程较为复杂；牛顿插值法的优点是计算简便，精度高，但对于非线性函数或多峰函数，效果可能不佳。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的插值方法。
牛顿插值法的应用
牛顿插值法的应用
牛顿插值法是一种插值多项式的方法，它可以在给定一些数据点的情况下，通过插值多项式来估算不存在的数据点的值。
这种方法的应用非常广泛，例如在数值分析、统计学、工程学、金融学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
在数值分析中，牛顿插值法可以用来近似函数的值或者导数值，进而用来解决一些数值计算问题。
例如在数值微积分中，可以利用牛顿插值法来计算积分的近似值。
在函数拟合中，牛顿插值法可以用来拟合数据点，进而得到一个合适的函数模型。
在金融学中，牛顿插值法可以用来计算证券价格或者利率的近似值。
在计算机科学中，牛顿插值法可以用来优化图像处理算法或者计算机图形学应用。
总的来说，牛顿插值法是一种非常重要的数值计算方法，它可以用来解决许多实际问题。
无论是在学术研究还是实际工程应用中，牛顿插值法都有着广泛的应用前景。
- 1 -。
拉格朗日和牛顿插值法的C 方法实现(数值分析上机实验)
数值分析上机实验实验一一．上机题目：已知： 4 =2,9 =3,16 =4分别用二次Lagrange和Newton插值法求7 的近似值。
二．解题方法：1．lagrange方法：设x0=4，y0=2，x1=9，y1=3，x2=16，y2=4代入方程:(x1-X)(x2-X)/(x1-x0)(x2-x0)*y0+(x0-X)(x2-X)/(x0-x1)(x2-x1)*y1+(x1-X)(x0-X)/(x1-x2)(x0-x2)*y2令X=7代入方程得 Y=2.628572．Newton方法：设x0=4，y0=2，x1=9，y1=3，x2=16，y2=4建表4 29 3 0.216 4 0.14286 -0.00476f(x)=f(x0)+f[x0,x1](X-x0)+f[x0,x1,x2](X-x0)(X-x1)(X-x2)令X=7代入方程得Y=2.62857三．算法公式步骤：grange方法：通过公式写出算法并得出最后的值Y：for(b=0;b<m;b++)//完成公式f(Xn)外层嵌套循环f[b]=i//{double l=1;//保证每次跳出内层循环将L置1 不会将第一项的值带入下一项//for(a=0;a<m;a++)//完成公式f(Xn)内层嵌套循环f[a]=j//{if(a!=b)//完成定义i=1,i!=j//l=(f[a]-F)/(f[a]-f[b])*l;//完成(j-m)/(j-i)//la=l*g[b];//完成公式的F(X0)=f(X0)*Y0并累乘输出结果// }Y=la+Y;//累加x0y0+x1y1+...得最后结果//}2．Newton方法：先建表，通过二维数组的思想建表for(l=2;l<m+2;l++)//外层循环控制y阶数//{for(k=1;k<m+1;k++)//内层循环控制x个数//{a[k][l]=(a[k][l-1]-a[k-1][l-1])/(a[k][0]-a[k-l+1][0]);//完成f(x0,x1,...,xn)并存表//}}填表。
拉格朗日插值公式和牛顿插值公式
拉格朗日插值公式和牛顿插值公式拉格朗日插值公式和牛顿插值公式是数值分析中常用的插值方法，用于通过已知数据点推导出未知数据点的近似值。
本文将分别介绍这两个插值方法的原理和应用，并比较它们的特点和优劣。
一、拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式是由法国数学家拉格朗日于18世纪提出的，它通过构造一个多项式来逼近给定的数据点集合。
具体而言，拉格朗日插值多项式的形式为：P(x) = Σ(yi * Li(x))其中，P(x)表示待求的多项式，yi表示已知数据点的函数值，Li(x)称为拉格朗日基函数，它代表了每个数据点的贡献度。
拉格朗日插值公式的优点在于其简单易懂，计算过程相对简单快速。
但是，该方法的缺点是对于较大规模的数据集合，计算量会变得很大，同时当数据点之间的间距不均匀时，插值结果可能出现较大误差。
二、牛顿插值公式牛顿插值公式是由英国数学家牛顿于17世纪提出的，它采用了多项式的差商形式进行插值。
具体而言，牛顿插值多项式的形式为：P(x) = f[x0] + (x - x0)f[x0, x1] + (x - x0)(x - x1)f[x0, x1,x2] + ...其中，f[x0]表示已知数据点的函数值，f[x0, x1]表示x0和x1两个点之间的差商，以此类推。
牛顿插值公式的优点在于可以通过递推的方式计算差商，避免了重复计算，因此对于较大规模的数据集合，计算效率较高。
此外，牛顿插值公式对于不均匀间距的数据点也能够较好地逼近。
然而，牛顿插值公式的缺点在于其计算过程较为繁琐，需要额外计算差商。
三、比较与应用拉格朗日插值公式和牛顿插值公式都是常见的插值方法，它们在实际应用中各有优劣。
下面将对它们进行比较和应用分析。
1. 计算复杂度从计算复杂度的角度来看，牛顿插值公式在计算差商时需要递推计算，每次计算需要O(n)的复杂度，因此总的计算复杂度为O(n^2)。
而拉格朗日插值公式直接计算每个基函数，每次计算都需要O(n)的复杂度，因此总的计算复杂度也为O(n^2)。
数值分析中常用的插值方法
数值分析中常用的插值方法在数值计算中，许多问题都可以用插值方法来近似求解，比如曲线拟合、函数逼近和图像重建等。
插值方法是指在已知数据点的情况下，通过一些数值计算技巧，在每个数据点处构造一个多项式函数，使得该函数在每个数据点处都能通过数据点。
在数据点之间计算函数值时，就可以使用这个多项式函数进行估算。
接下来，我们就来详细介绍一些常见的插值方法。
一、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一个经典的插值方法，它的思想是通过给定的数据点，构造一个经过这些点的多项式函数进行逼近。
具体来讲，拉格朗日插值法会首先构造一个基函数，该函数满足只在其对应的数据点处等于1，其余的数据点处等于0。
然后，根据基函数和数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在每个数据点处都能通过数据点。
最终得到的多项式函数就是插值函数。
优点：简单易懂，使用较为广泛。
缺点：多项式次数较高时造成的误差会较大，且在数据点密集的区域可以出现龙格现象，使得插值函数在某些区间内呈现大幅度振荡。
二、牛顿插值法牛顿插值法是一种递推式的插值方法，它通过利用已知的数据点和前面已经计算出来的差商，得到一个逐步逼近的插值函数。
具体来讲，牛顿插值法会先将已知的数据点连成一条曲线，然后逐个向这条曲线添加新的数据点，每次添加一个新的数据点后，将差商计算出来并加入到之前的差商序列中，最终得到一个多项式函数，它在每个数据点处都能通过数据点。
牛顿插值法的优缺点与拉格朗日插值法相似，但是由于牛顿插值法是递推式的，可以方便的添加新的数据点，因此在数据点多变的情况下，牛顿插值法具有很大的优势。
三、分段插值法分段插值法是一种将插值区间划分为多个子区间的插值方法，在每个子区间内使用插值方法进行插值，然后将所有子区间内的插值函数拼接起来，得到最终的插值函数。
分段插值法主要分为两种：线性分段插值和三次样条插值。
1.线性分段插值线性分段插值的思路很简单，即在每个数据点处构造两条直线，在数据点之间的区间内使用一条直线作为插值函数。
数值分析实验报告Newton插值法
用 Newton 插值法计算出 x1=0:0.1:1.2 处的值为表 3-2：
0 0.1 0.2 Pn 1 0.995005 0.980067 x 0.7 0.8 0.9 Pn 0.764843 0.696707 0.62161
x
表 3-2 0.3 0.4 0.955337 0.921061 1 1.1 0.540302 0.453596
对于例 3 要画出图像，则应在上述代码中做出改动：
function [A,Pn] = Newton(X,x) %请输入 2*n 矩阵 X，X 中第一行每个元素都是插值节点，X 中第二行每个元素都是插值节点对应的函 数值； %第二章 P36 例三牛顿插值 n=size(X,2); Pn=zeros(1,size(x,2));%存放插值 t=1;s=size(x,2) for k=1:1:s A=zeros(n,n+1);%存放差商表 A(:,1:2)=X'; if x(1,k)==X(1,t); Pn(1,k)=X(2,t); t=t+1; else for i=3:1:n+1 m=1; for j=i-1:1:n A(j,i)=(A(j,i-1)-A(j-1,i-1))/(A(j,1)-A(m,1)); m=m+1; end
xi
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
f(xi )
1 0.980067 0.921061 0.825336 0.696707 0.540302 0.362358 -0.09966 -0.29503 -0.47863 -0.64315 -0.78203 -0.88972
i 阶差商
t(•) t(0) t(1)
>> X=[0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2;1 0.980067 0.921061 0.825336 0.696707 0.540302 0.362358]; >> x=0.3; >> format long >> [A,Pn,B]=Newton1(X,x) Pn = 0.955336593750000 表 3-1 差商表
数学考研数值分析基础知识点
数学考研数值分析基础知识点数值分析是数学的一个分支，主要研究利用计算机进行数值计算的方法和算法。
在数学考研中，数值分析是一个重要的考点，本文将介绍数值分析的基础知识点，帮助考生能够更好地应对数值分析的考试。
一、插值与逼近1. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种常用的插值方法，用于根据已知数据点推测出未知点的值。
其基本思想是构造一个满足已知数据点的条件的拉格朗日多项式，并通过该多项式求解未知点的值。
2. 牛顿插值牛顿插值是另一种常用的插值方法，与拉格朗日插值相比具有更高的精度。
牛顿插值利用差商的概念，通过已知数据点的差商构造插值多项式，并利用该多项式求解未知点的值。
3. 最小二乘逼近最小二乘逼近是一种通过最小化残差平方和的方法，用于找到一个函数来近似已知数据点。
该方法常用于求解数据拟合问题，通过最小二乘逼近可以得到最优的拟合曲线。
二、数值积分1. 梯形公式梯形公式是一种常用的数值积分方法，通过将待积函数在积分区间上用一系列梯形逼近，从而求解积分的近似值。
梯形公式简单易懂，但精度比较低。
2. 辛普森公式辛普森公式是一种更高精度的数值积分方法，通过将待积函数在积分区间上用一系列二次曲线逼近，从而求解积分的近似值。
辛普森公式相比于梯形公式，在相同节点数的情况下有更高的精度。
三、常微分方程数值解法1. 欧拉法欧拉法是一种常用的常微分方程数值解法，通过将常微分方程转化为差分方程，从而近似求解方程的解。
欧拉法简单易懂，但对于某些情况下可能存在的数值不稳定性需要注意。
2. 修正的欧拉法和改进的欧拉法修正的欧拉法和改进的欧拉法是欧拉法的改进版，通过引入更高阶的项来提高精度和数值稳定性。
3. 4阶龙格-库塔法4阶龙格-库塔法是一种更高精度的常微分方程数值解法，通过迭代求解不同的插值点，并利用加权平均的方式来提高解的精度。
四、线性代数方程组的数值解法1. 直接法直接法是解线性代数方程组的一种常用方法，包括高斯消元法和LU分解法。
数值分析插值法
实验报告专用纸实验项目名称插值法课程名称计算机数值方法教师评语及成绩：实验成绩：教师签字：（请按照实验报告的有关要求书写，一般必须包括：1、实验目的；2、实验内容；3、实验步骤与方法；4、实验数据与程序清单；5、出现的问题及解决方法；6、实验结果、结果分析与体会等内容。
）1、实验目的（1）学会Lagrange插值、Newton插值、分段线性插值等基本插值方法；（2）讨论插值的Runge现象，掌握分段线性插值方法；（3）学会用Matlab或C等实现多项式拟合。
2、实验内容（1）用Newton插值多项式及分段线性插值函数对数据进行插值；（2）比较牛顿插值与分段线性插值法；（3）函数f(x)的多项式拟合；输入：拟合数据序列{x i，y i}，i=0,1,2,…,m；输出：多项式拟合函数，并画出拟合曲线和f(x)。
3、实验步骤（1）用MATLAB编写独立的拉格朗日插值多项式的函数（2）用MATLAB编写独立的牛顿插值多项式（3）利用编写好的函数计算实际问题（4）记录实验数据（5）对运行结果进行分析（6）根据实验情况和结果撰写并提交实验报告。
4、实验原理（1）拉格朗日插值多项式（2）牛顿插值多项式（3）分段线性插值5、实验程序(MATLAB)6、实验结果与分析（1）实验结果图1龙格函数图形图2Runge(10)的图形图3Runge(12)的图形图4Runge(20)的图形输入：拟合数据序列{x i，y i}，i=0,1,2,…,m；01491625364964xi012345678yi输出：多项式拟合函数，并画出拟合曲线和f(x)。
图5拟合曲线图（2）结果分析在本题中，据Runge图形可知，在区间两端点附近，节点等距的条件下，n越大，插值多项式的值与f(x)的偏离程度越大。
因此，Runge现象说明，并非插值多项式的次数越高，其近似代替f(x)的精度就越高。
分段线性插值法可以解决Runge现象。
牛顿插值法克服了拉格朗日插值法不具有继承性的缺点。
数值分析牛顿插值法
m fim m!hm
f [x0 , x1 ,
, xk ]
k f0 k!hk
k fk k!hk
华长生制作
19
1.Newton向前(差分)插值公式
如果节点 x0 , x1 , , xn是等距节点 ,即
xk
x0
k h, k
0,1,
,n,h
b
a n
Newton插值基本公式为
n
Nn(x) f0 f [x0 , x1 , , xk ]k (x) k 1
fk fk 1 fk k 0,1, ,n 1 为f (x)在 xk 处的一阶向前差分
fk fk fk1 k 1,2, ,n 为f (x)在 xk 处的一阶向后差分
2 fk fk 1 fk 为f (x)在 xk 处的二阶向前差分
2 fk fk fk 1 为f (x)在 xk 处的二阶向后差分
x1 f ( x1 )
f [ x0 , x1 ] f [x1 , x2 ]
x2 f ( x2 )
f [ x2 , x3 ]
x3 f ( x3 )
f [ x3 , x4 ]
x4 f (x4 )
二阶差商
f [x0 , x1 , x2 ] f [x1 , x2 , x3 ] f [x2 , x3 , x4 ]
若将x xi ,(i 0,1, , n)视为一个节点 ,则
f [x0 , x1 ,
, xk , x]
f [ x0 , x1 ,
, xk ] f [x0 , x1 , xk x
, xk 1 , x]
f [x0 , x1 , , xk 1 , x] f [x0 , x1 , , xk ] f [x0 , x1 , , xk , x]( x xk )
newton插值法matlab
newton插值法matlab一、引言在数值分析中，插值法可以用于在已知的一组数据中，根据数据间的数值规律推断出在某些未知数据点处的数值。
牛顿插值法是一种常用的插值方法，适用于等距节点及非等距节点问题。
二、牛顿插值法的原理假设已经有一组已知的n个节点(x0,y0)、(x1,y1)、...、(xn,yn)，其中x0<x1<...<xn，牛顿插值法的思想是通过构造一个n次多项式，使得多项式在节点处与函数的值一致，从而在节点之间对函数进行插值。
具体算法如下：1. 假设插值多项式为f(x)，则f(x)=b0+b1(x-x0)+...+bn(x-x0)(x-x1)...(x-x(n-1))其中，b0=y0，bi为差商。
2. 首先计算0阶差商：f[x0]=y0，1阶差商：f[x0,x1]=(y1-y0)/(x1-x0)，以此类推。
3. 计算2阶差商，需要用到1阶差商，因此：f[x0,x1,x2]=(f[x0,x1]-f[x1,x2])/(x0-x2)，以此类推，直到完成n-1阶差商。
4. 将差商代入插值公式，即可得到牛顿插值多项式。
三、Matlab代码实现假设已知节点(xi,yi)为(0,1)、(1,2)、(3,1)、 (4,3)，要求在x=2处的插值结果。
代码如下：```% 定义节点数据x = [0 1 3 4];y = [1 2 1 3];% 计算差商表n = length(x);F = zeros(n,n);F(:,1) = y';for j=2:nfor i=j:nF(i,j) = (F(i,j-1)-F(i-1,j-1))/(x(i)-x(i-j+1));endend% 计算插值结果x0 = 2;result = F(1,1);for k=2:nresult = result + F(k,k)*prod(x0-x(1:k-1));end% 输出结果fprintf('f(%g)= %g\n',x0,result);```输出结果为f(2)= 1.28571428571428。
geligeli牛顿插值法
牛顿插值法是数值分析中常用的一种插值方法，它可以通过已知的数据点来构造一个多项式函数，从而实现对未知数据点的预测和估计。
该方法由著名的英国数学家牛顿发现，并被广泛运用于科学计算、工程技术等领域。
牛顿插值法的核心思想是利用差商和差分表来简化插值多项式的计算，从而提高插值过程的效率，同时也便于对数据点进行动态更新和修改。
在本文中，我将详细介绍牛顿插值法的原理、公式推导和具体应用，希望能够对读者有所帮助。
一、牛顿插值法的原理牛顿插值法的基本原理是利用已知的数据点来构造一个多项式函数，使得该函数经过这些数据点，并且可以在这些数据点上取得给定的函数值。
假设我们有n+1个不同的数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中xi表示自变量的取值，yi表示因变量的取值。
我们的目标是构造一个n次多项式函数Pn(x)来近似表示已知数据点之间的关系，即Pn(xi) = yi，i=0,1,...,n。
为了达到这个目标，我们可以使用以下的插值多项式形式：Pn(x) = f[x0] + f[x0,x1](x-x0) + f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) + ... + f[x0,x1,...,xn](x-x0)(x-x1)...(x-xn)其中，f[x0]表示零阶差商，f[x0,x1]表示一阶差商，f[x0,x1,x2]表示二阶差商，以此类推。
通过递推的方式，我们可以利用已知的数据点来求解出这些差商，从而得到插值多项式Pn(x)。
牛顿插值法的关键在于计算这些差商的值，并将其代入插值多项式中，从而得到最终的插值函数。
二、牛顿插值法的公式推导为了更清晰地理解牛顿插值法的公式推导过程，我们可以从零阶差商开始逐步推导各阶差商的表达式。
首先，零阶差商f[x0]就是已知数据点(x0, y0)的函数值，即f[x0] = y0。
然后，一阶差商f[x0,x1]可以表示为：f[x0,x1] = (f[x1] - f[x0]) / (x1 - x0)其中，f[x1]表示已知数据点(x1, y1)的函数值。
数值分析实验报告
数值分析实验报告实验目的：通过数值分析实验，掌握常用的插值方法，包括拉格朗日插值法和牛顿插值法，并对比它们的优缺点。
实验原理：插值法是一种在已知数据点的基础上，通过构造一个函数来逼近给定数据集以及这个函数本身。
其中，拉格朗日插值法采用一个多项式来逼近数据集，而牛顿插值法则采用一个多项式和差商来逼近。
实验步骤：1.使用拉格朗日插值法：a)根据给定的n+1个数据点，构造一个n次的插值多项式。
b)计算插值多项式在给定点x处的值。
2.使用牛顿插值法：a)根据给定的n+1个数据点，计算差商的递归表达式。
b)利用递归表达式计算插值多项式在给定点x处的值。
3.通过实验数据进行验证，并对比两种插值方法的优缺点。
实验结果与分析：以一个具体的实验数据为例，假设已知数据点为{(0,1),(1,3),(2,5)}，要求在给定点x=0.5处进行插值。
1.拉格朗日插值法：a)构造插值多项式：L(x)=1*(x-1)(x-2)/(1-0)(1-2)+3*(x-0)(x-2)/(1-0)(1-2)+5*(x-0)(x-1)/(2-0)(2-1)=(x^2-3x+2)/2+(3x^2-6x)/(-1)+5x^2/2=-3x^2/2+7x/2+1b)计算L(0.5)=-3(0.5)^2/2+7(0.5)/2+1=22.牛顿插值法：a)计算差商表：f[x0]=1f[x1]=3f[x2]=5f[x0,x1]=(f[x1]-f[x0])/(x1-x0)=(3-1)/(1-0)=2f[x1,x2]=(f[x2]-f[x1])/(x2-x1)=(5-3)/(2-1)=2f[x0,x1,x2]=(f[x1,x2]-f[x0,x1])/(x2-x0)=(2-2)/(2-0)=0b)计算插值多项式：N(x)=f[x0]+f[x0,x1]*(x-x0)+f[x0,x1,x2]*(x-x0)(x-x1)=1+2(x-0)+0(x-0)(x-1)=1+2xc)计算N(0.5)=1+2(0.5)=2对比结果可得到拉格朗日插值法和牛顿插值法得到的插值点的值都为2，验证了所使用方法的正确性。
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f [2,4,5](3 2)(3 4)
7 5(3 2)(3 4) 12
思考：若本题只给出前三个点，结果 如何？请你总结牛顿插值法何时停止？
牛顿插值法的特点
特点 1.计算量省，便于程序设计 2.具有承袭性的插值公式， 便于理论分析
四、牛顿插值法举例
例 已知函数y=f(x)的观测数据如下， 试用全部节点构造牛顿差商插值多 项 式 ， 并 用 二 次 插 值 求 f(3) 的 近 似 值。
x 02 456 f(x) 1 5 9 -4 13
解 构造差商表如下
xi f(xi) 一阶 二阶 三阶
01 25 2 49 2 0 5 -4 -13 -5 -1 6 13 17 15 5
二、差商的计算
xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商
x0 f(x0)
x1 f(x1) f[x0,x1]
x2 f(x2) f[x1,x2] f[x0,x1,x2]
x3 f(x3) f[x2,x3] f[x1,x2,x3] f[x0,x1,x2,x3]
∶
∶
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∶∶∶Fra bibliotek∶∶
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例 已知函数y= f (x)的观测数据如下， 试构造差商表，并求 f [2,4,5,6]的值
L1(x) f (x0 )l0 (x) f (x1)l1(x)
n=2 N2 (x) f (x0 ) f [x0 , x1]( x x0 )
f [x0 , x1, x2 ]( x x0 )( x x1)
L2 (x) f (x0 )l0 (x) f (x1)l1(x) f (x2 )l2 (x)
2.高阶差商可由低阶差商反复作一 阶差商得到，计算具有递推性
3.若f(x)在[a, b]上存在n阶导数，则
f [x0 , x1,, xn ]
f (n) ( )
, n!
[a,b]
思考题：设f(x)=x3，则
f[x0, x1, x2, x3 ]= ? ,
f[x0, x1, x2, x3, x4 ]= ? 答：1,0
注：牛顿插值只需增加一项，
拉氏插值需要重新计算！
两点说明：
1.由插值多项式的唯一性，两余项 是等价的，即
Rn ( x)
f (
(n1) (
n 1)!
)
n1
(
x
)
f [ x, x0 ,..., xn ]n1( x)
2.牛顿插值法由差商表中的差商值 可判断出插值多项式的次数，而 拉氏插值法则要计算到最后。
一般的k阶差商定义为
f [x0 , x1,..., xk ] f [ x0 ,..., xk2 , xk ] f [ x0 , x1,..., xk1]
xk xk1
特别地，f(x)关于一个点xi的零阶 差商定义为函数值本身，即
f [xi ] f (xi )
性质：
1.差商与节点的排列次序无关，称 为差商的对称性
四阶 1
由表可知
P4 ( x) 1 2( x 0) 0( x 0)( x 2) (1)( x 0)( x 2)( x 4) ( x 0)( x 2)( x 4)( x 5) x4 12 x3 44 x2 46 x 1
用二次插值求f (3)时，取
x0=2, x1=4, x2=5, 得
可得 f ( x) f ( x0 ) f [ x, x0 ]( x x0 )
又 f [ x, x0 ] f [ x0 , x1] f [ x, x0 , x1]( x x1 )
f [ x, x0 , x1 ,, xn1 ] f [ x0 , x1 ,, xn ] f [ x, x0 ,, xn ]( x xn )
x 02 456 f(x) 1 5 9 -4 13
解 构造差商表如下
xi f(xi) 一阶 二阶 三阶 四阶 01 25 2 49 2 0 5 -4 -13 -5 -1 6 13 17 15 5 1
由表可知 f[2,4,5,6] =5
二、牛顿差商插值多项式
由差商定义
f [x, x0]
f (x) f (x0 ) x x0
作业： 习题 7,8
代入得
f (x)
f ( x0 ) f [x0, x1]( x x0 ) ... f [x0,...xn ]( x x0 )...( x xn1) f [x, x0,...xn]( x x0 )...(x xn )
Nn ( x) Rn ( x)
牛顿插值 多项式
插值余项
牛顿插值与拉氏插值的比较： n=1 N1(x) f (x0 ) f [x0 , x1](x x0 )
§3
差 一、差商及其性质 商 二、差商的计算
与 三、牛顿插值公式
牛 顿
四、牛顿插值法举例
插
值
一、差商及其性质
1. 差商的定义
函数关于 xi, xj 一阶差商
f [xi , x j ]
f (x j ) f (xi ) x j xi
二阶差商
f [xi , x j , xk ]
f [x j , xk ] f [xi , x j ] xk xi