数值计算方法插值法讲解

1
从而，P1(x) yklk (x) yk1lk1(x), 此形式称之为 拉格朗日型插值多项式。其中，插值基函数与
yk、yk
1无关，而由插值结点xk、xk
决定
1
例子
例1：已知lg10 1 , lg 20 1.3010，利用插值一次 多项式求 lg12的近似值。 解：f (x) lg x，f (x) lg x，f (10) 1，f (20) 1.3010 设x0 10，x1 20，y0 1，y1 1.3010， 则插值基本多项式为：
插值多项式本质上是同一个）

当
{xi
}n i0
互异时，
，即行列试不为0，
由克莱默法则得知，线性方程组的解存在且惟一。即f(x)关
于
{的xi }nin次0插值多项式
存Pn (x) ao a1x a2 x2 an xn存在而且惟一。
注：（这同时也说明了不同形式的插值多项式本质n上是同
（2）li (xi ) 1,而在其它n个li (xk ) 0,k i。
n次拉格朗日型插值多项式Pn(x)
Pn (x)是n 1个n次插值基本多项式l0 (x),l1(x), ,ln (x) 的线性组合，相应的组合系数是y0 , y1, , yn。即
n
Pn (x) y0l0 (x) y1l1(x) ynln (x) yklk (x) k 0
n 1个点 x0, y0 , x1, y1 , , xn , yn ,同时在其他x a,b
上要估计误差R(x) f (x) P(x)
n1
个点
x0 , y0 , x1, y1 , , xn, yn ,
同时在其它
插值问题 上要估计误差
R(x) f (x) P(x)
从而Pn (x)是一个次数不超过n的多项式，且满足
Pn (xi ) yi，i 0,1, , n
以下就是拉格朗日基本多项式：
拉格朗日型n次插值多项式
已知函数y f (x)在n+1个不同的点x0, x1, , xn上 的函数值分别为y0, y1, , yn，求一个次数不超过n次 的多项式Pn (x)，使其满足
插值法的概念
已知函数在n+1个点x0 ,x1 ,…,xn 上的函数值 yi=f(xi ), (i=0,1,…,n) ，求一个简单函数y=P(x),使其满 足: P(xi )=yi ,(i=0,1,…,n) 。即要求该简单函数的 曲线要经过y=f(x)上已知的这个n+1个 点： (x0 ,y0 ),(x1 ,y1 ),…,(xn ,yn ),同时在其它 x∈[a,b]上要估计误差: R(x) = f(x) - P(x)
又因为lk1(xk1) 1，故a(xk1 xk )(xk1 xk1) 1，得：
a

(xk 1

xk
1 )( xk 1

xk1) ，从而lk1(x)

(x (xk 1

xk xk
)(x xk1) ， )(xk1 xk1)
lk
(x)

(x ( xk

有三个插值结点xk
1
,
xk
,
xk
，构造三个插值
1
基本多项式，要求满足： lxkk(1x1()x)
（1）基本多项式为二次多项式；
（2）它们的函数值满足下表：
xk 1
lk 1 ( x)
1
lk (x)
0
lk 1 ( x)
0
xk
xk 1
0
0
1
0
0
1
拉格朗日型二次插值多项式
由前述，拉格朗日型二次插值多项式： P2 (x) yk1lk1(x) yklk (x) yk1lk1(x)，P2 (x)是 三个二次插值多项式的线性组合，因为它是次数 不超过二次的多项式，且满足：
y
f(x)
y0 x0
y1 x1
y2 x2
P1(x)
x
拉格朗日插值公式
线性插值（一次插值）
已知函数f (x)在区间 xk , xk1的端点上的函数值
yk f (xk ), yk1 f (xk1)，求一个一次函数y P1(x) 使得yk P1(xk ), yk1 P1(xk1)。其几何意义是已知
y
。
f(x)
P(x)
y0
y1
y2
x0
x1
x2
当 n1 时,求一次多项式
yn-1 xn-1
yn
xn
x
插值法的分类
一，拉格朗日插值法 二，牛顿插值法 三，埃尔米特插值法 四，分段多项式插值法 五，样条插值法
一，拉格朗日插值法
流程：线性插值（一次插值）→二次插值→ n次拉格朗日插值法的方程组法证明→用中国
由li (xi ) 1，可以定出a，进而得到：
li
(x)

(x x0 ) (xi x0 )
(x xi1)(x xi1) (xi xi1)(xi xi1)
(x xn ) (xi xn )
插值基函数
过n 1个不同的点分别决定n 1个n次插值函数 l0 (x),l1(x), ,ln (x)。每个插值基本多项式li (x)满足： （1）li (x)是n次多项式；
yk

x xk xk 1 xk
yk
，
1
记l k (x)

x xk1 xk xk 1
, lk1(x)

x xk xk 1 xk
，
称它们为一次插值基函数。
线性插值
基函数的特点： lk1(x)

lxkk(x1 )
xk
lk (x)
1
xk 1
0
lk 1 ( x)
0
其中P(x)为f(x)的插值函数，x0 ,x1 ,…,xn 称为插值节 点，包含插值节点的区间[a,b] 称为插值区间，求插值 函数P(x)的方法称为插值法。若P(x)是次数不超过n的 代数多项式，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法 称为多项式插值。若P(x)是分段的多项式，就是分段 插值。若P(x)是三角多项式，就称三角插值。
平面上两点 xk , yk , xk1, yk1 ，求一条直线过该已
知两点。
线性插值
插值函数和插值基函数
由直线的点斜式公式可知：
P1(x)

yk

yk 1 xk 1

yk xk
(x
xk )，把此式按照
yk和yk1写成两项:P 1(x)
x xk1 xk xk 1
25
50
所以：P2
(12)

1 50
12

20
12
15

1.1761 25
12
10
12

20
1.3010 12 1012 15 1.0766
50 利用三个点进行抛物线插值得到的 lg 12的值，与精确值
lg12 1.0792相比，具有3位有效数字。
插值基函数
1 10
(12

20)

1.3010 10
(12
10)

1.0602
即lg12由lg10 和lg 20 两个值的线性插值得到，且
具有两位有效数字（精确解 lg12 1.0792).
二次插值多项式
已知函数y

f
(
x)在点xk
1
,
xk
,
xk
上的函数值
1
yk1 f (xk1) , yk f (xk )，yk1 f (xk1)。
P2 (xi ) yi , i k 1, k, k 1
二次插值基本多项式
因为lk1(xk ) 0, lk1(xk1) 0，故lk1(x)有因子
(
x

xk
)(
x

lxkk(1x1()x)
xk 1
)，而其已经是一个二次多项式，仅
相差一个常数倍，可设lk1(x) a(x xk )(x xk1)，
l
0 ( x)

x 20 10 20

1 10
(x

20)，l1 ( x)

x 10 20 10

1 10
(x
10)
例子
于是，拉格朗日型一次插值多项式为：
P1 ( x)

y0l0 (x)

y1l1 ( x)

1 10
(x

20)

1.3010 10
(x
10)
故P1 (12)


剩余定理证明拉格朗日插值多项式。
一次插值
当n 1时，求一次多项式P1(x),要求通过 x0, y0 , x1, y1
两点
y
y0 x0
y1 x1
P1(x) f(x)
二次插值
当n 2时，求二次多项式P2 (x),要求通过 x0, y0 , x1, y1 , x2, y2 三点
Pn (xi ) yi，i 0,1, , n
即n 1个不同的点可以唯一决定一个n次多项式。
存在性 唯一性
给定平面上n+1个互不相同的插值点
（xi, f (xi )), (i 0，1，2n），互不相同是指 xi互不
相等，是否有且仅有一条不高于n次的插值 多项式曲线，如果曲线存在，那么如何简单 地作出这条n次插值多项式曲线？
求一个次数不超过二次的多项式P2 (x)，使其满足
P2 (xk1)

yk1，P2 (xk )

yk，P2 (xk1)

yk
。
1
其几何意义为：已知平面上的三个点：
xk1, yk1 ， xk , yk , xk1, yk1 ，求一个二次
抛物线，使得该抛物线经过这三点。
二次插值基本多项式
问题的提出
插值问题的数学提法：已知函数y f (x)在n 1个 点x0 , x1, , xn上的函数值yi f (xi ), (i 0,1, , n), 求一 个多项式y P(x)，使其满足P(xi ) yi , (i 0,1, , n). 即要求该多项式的函数曲线要经过y f (x)上已知的
由于li (xk ) 0,k i，故li (x)有因子：
(x x0 ) (x xi1)(x xi1) (x xn )，因其已经是n 次多项式，故而仅相差一个常数因子。令：
li (x) a(x x0 ) (x xi1)(x xi1) (x xn )
xk xk
1 1
)( )(
x xk1) xk xk1
)
，lk
1
(
x)

(x ( xk 1

xk1)(x xk ) xk1)(xk1 xk )
例子
例2：已知
xi xyii lg xi
10
yi lg xi 1
15
20
1.1761 1.3010
利用此三值的二次插值多项式求 lg12的近似值

(x (20
10)(x 15) 10)(20 15)

1 50

x
10

x
15
例2（续）
故P2 (x)

y0l0源自文库
(
x
)
xyii
y l lg xi 11
(
x
)

y2l2 (x)

1 50
x 20
x 15
1.1761 x 10 x 20 1.3010 x 10 x 15
一个，即 Pn (x) ao a1x a2 x2 an xn与 pn (x) li (x) f (xi )
是同一个多项式，前者是插值型式，后者是Lagranig0 e型式）
二，牛顿插值
流程：均差→牛顿插值公式→例子求解→拉 格朗日插值与牛顿插值的比较
解：设x0 10，x1 15，x2 20，则
l0
(x)

(x (10
15)(x 20) 15)(10 20)

1 50

x
15
x

20
l1 ( x)

(x (15
10)(x 20) 10)(15 20)


1 25

x
10
x

20
l2
(x)
为什么要插值
1.在工程技术和科学研究中，有时对一个函数 f(x)只能通过实验或观测的手段得到它在某个 区间[a,b]上的有限个不同点上的函数值，也就 是只知道一张函数表，却没有明确的表达式。
2.虽然函数有明确的表达式，但由于形式复杂， 不便于计算和使用，所以人们往往希望做出一 个既能反映函数的特性，又便于计算的简单函 数P(x)去近似替代f(x)。
将(xi , f (xi )) 依次代入Pn (x ) ao a1x a2 x2 an xn 中
得到线性方程组
方程组的系数行列式是范德蒙（Vandermonde） 行列式：
当 xi 互异时，
，所以
线性方程组的解存在且惟一。即这样的插值
多项式Pn (x) ao a1x a2 x2 an xn 存 在而且惟一。（这同时也说明了不同形式的