牛顿插值法实验报告

牛顿插值法

一、实验目的：学会牛顿插值法，并应用算法于实际问题。

二、实验内容：给定函数 x x f =)(，已知：

414214.1)0.2(=f 449138.1)1.2(=f 483240.1)2.2(=f

516575.1)3.2(=f 549193.1)4.2(=f

三、实验要求：

（1）用牛顿插值法求4次Newton 插值多项式在2.15处的值，以此作为函数的近似值)15.2(15.2N ≈。在MATLAB 中用内部函数ezplot 绘制出4次Newton 插值多项式的函数图形。

（2）在MATLAB 中用内部函数ezplot 可直接绘制出以上函数的图形，并与作出的4次Newton 插值多项式的图形进行比较。

四、实验过程：

1、编写主函数。打开Editor 编辑器，输入Newton 插值法主程序语句： function [y,L]=newdscg(X,Y,x)

n=length(X); z=x; A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';s=0.0; p=1.0;

for j=2:n

for i=j:n

A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1));

end

end

C=A(n,n);

for k=(n-1):-1:1

C=conv(C,poly(X(k)));

d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k);

end

y(k)= polyval(C, z);

L(k,:)=poly2sym(C);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%

t=[2,2.1,2.2,2.3,2.4];

fx=sqrt(t);

wucha=fx-Y;

以文件名newdscg.m保存。

2、运行程序。

（1）在MATLAB命令窗口输入：

>> X=[2,2.1,2.2,2.3,2.4]; Y

=[1.414214,1.449138,1.483240,1.516575,1.549193];

x=2.15;[y,P]=newdscg(X,Y,x)

回车得到：

y =1.4663

wucha =1.0e-06 *

-0.4376 -0.3254 -0.3026 0.0888 0.3385

P = - (4803839603609061*x^4)/2305843009213693952 + (7806239355294329*x^3)/288230376151711744 - (176292469178709*x^2)/1125899906842624 + (1624739243112817*x)/2251799813685248 + 1865116246031207/4503599627370496

（2）在MATLAB命令窗口输入：

>> v=[0,6,-1,3];

>> ezplot(P),axis(v),grid

>> hold on

>> x=0:0.1:6;

>> yt=sqrt(x);plot(x,yt,':')

>> legend('插值效果','原函数')

>> xlabel('X')

>> ylabel('Y')

>>title('Newton插值与原函数比较')

回车即可得到图像1-1。

图1-1牛顿插值效果

五、实验结果分析：

由上运行（1）的程序可得，用牛顿插值法求4次Newton 插值多项式在2.15处函数的近似值)15.2(15.2N =1.4663。

由在MATLAB 中用内部函数ezplot 直接绘制出出的4次Newton 插值图形与原函数的图形知，4次Newton 插值图形在区间[0，1]与区间[4，5]内与原函数存在一定的偏差，而在区间[1,4]内误差在10的-6次方，这个精度是非常高的。因此，在计算区间[1,4]内的值时结果是比较准确的。