全国初中数学竞赛模拟试题(一)
全国初中数学联赛模拟试卷(含答案解析)
全国初中数学联赛模拟训练第一试一、选择题（共6题，每题7分）1. 设则a,b,c的大小关系为（）A. c > a > bB. c > b > aC. a > b > cD. a > c > b2. 如图，在△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，满足∠AED = 90°+ ∠C. 则BC +2AE等于（）A. ABB. ACC. ABD. AC3. 设函数, 若使得y = k 成立的x恰有三个，则k的值为（）A. 3B. 2C. 1D. 04. 设I是锐角△ABC的内心，I1,I2,I3分别是点I关于BC, CA, AB的对称点. 若I1,I2,I3,B四点共圆，则∠ABC等于（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 在凸四边形ABCD中，AB = 2AD, BC = 1, ∠ABC =∠BCD = 60°, ∠ADC = 90°, 则AB的长为（）A. B. C. D.6. 在一个两位数中间插入一个数码（包含0）得到一个三位数，例如35中间插入数码6得到365. 若得到的三位数是原来连位数的n倍，其中n是正整数，则n的最大值为（）A. 13 B. 15 C. 16 D. 19二、填空题（共4题，每题7分）7. 已知x = , 则= .8. 设正实数x, y, z满足x + y + z = 6 + min{} , 则xyz= .9. 在等腰梯形ABCD中，AD∥BC, AB=CD,∠ABC = 67.5°. 若以CD为直径的圆与AB切于点E、与BC交于点F，则BF:FC= .10. 如果2017能写成n个正整数之和，则称正整数n是“好数”. 则好数有个.第二试一、（共20分）已知二次函数y1 = ax2 + 4x + b 与y2 = bx2 + 4x + a 都有最小值，记它们的最小值分别为m, n. 若m + n =0 , 求证：对任意实数x, 均有y1 + y2≥ 0，并求出当y1 + y2 = 0是x的值.二、（共25分）如图，在锐角△ABC中，H是垂心，过H作BH的垂线与AC交于点E. 过C作BC的垂线与DE的延长线交于点F，求证：FH = FC.三、（共25分）设a, b, c 是大于100的正整数，满足(a, b, c) = 1, 且a| b + c, b | a + c. 求c 的最小值.参考答案第一试1. A解析：对a, b, c进行分子有理化处理., 比较分母大小可知c > a > b. 故选A.注解：一定要记住这三个数值。
最新版初中数学竞赛模拟试题4套含答案及压轴题2题
初中数学竞赛模拟试题(1)一、选择题（每小题6分，共30分）1．方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）个 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）52．设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且31=AB AD ．若在边AC 上取一点E ， 使四边形DECB 的面积为43，则EACE 的值为（ ） （A ）21 （B ）31 （C ）41 （D ）513．如图所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC ＝2，DA ＝3，则AB 的长（ ） （A ）等于4 （B ）等于5 （C ）等于6 （D ）不能确定4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。
设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（ ）个 （A ）8个 （B ）9个 （C ）7个 （D ）6个5．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分． （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 二、填空题（每小题6分，共30分） 6．当x 分别等于20051，20041，20031，20021，20011，20001，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式221xx +的值，将所得的结果相加，其和等于 ．7．关于x 的不等式x b a )2(-＞b a 2-的解是x ＜25，则关于x 的不等式b ax +＜0的解为 ．8．方程02=++q px x 的两根都是非零整数，且198=+q p ，则p ＝ ．9．如图所示，四边形ADEF 为正方形，ABCD 为等腰直角三角形，D 在BC 边上，△ABC 的面积等于98，BD ∶DC ＝2∶5．则正方形ADEF 的面积等于 ．ABFCED·DCOBA10．设有n 个数1x ，2x ，…，n x ，它们每个数的值只能取0，1，－2三个数中的一个，且++21x x …5-=+n x ，++2221x x …192=+n x ，则++5251x x …5n x +的值是 ．三、解答题（每小题15分，共60分）11．如图，凸五边形ABCDE 中，已知S △ABC ＝1，且EC ∥AB ，AD ∥BC ，BE ∥CD ， CA ∥DE ，DB ∥EA ．试求五边形ABCDE 的面积．12．在正实数范围内，只存在一个数是关于x 的方程k x x kx x +=-++3132的解，求实数k 的取值范围．13．如图，一次函数的图象过点P （2，3），交x 轴的正半轴与A ，交y 轴的正半轴与B ，求△AOB 面积的最小值．DA BCEF14．预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元．又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（1）求x、y的关系式；（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x、y的值．参考答案一、选择题1．C 2．B 3．B 4．A 5．C 二、填空题6．6 7．8-<x 8．－202 9．116 10．－125 三、解答题11．∵ BE ∥CD ，CA ∥DE ，DB ∥EA ，EC ∥AB ，AD ∥BC ，∴ S △BCD ＝S △CDE ＝S △DEA ＝S △EAB ＝S △ACB ＝S △ACF ＝1． 设S △AEF ＝x ，则S △DEF ＝x -1，又△AEF 的边AF 与△DEF 的边DF 上的高相等， 所以，xxAF DE -=1，而△DEF ∽△ACF ，则有 x xx AF DF S S ACF DEF -=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆1)1(222． 整理解得 215-=x ． 故S ABCDE ＝3S △ABC ＋S △AEF ＝255+． 12．原方程可化为0)3(322=+--k x x ，①（1）当△＝0时，833-=k ，4321==x x 满足条件；（2）若1=x 是方程①的根，得0)3(13122=+-⨯-⨯k ，4-=k ．此时方程①的另一个根为21，故原方程也只有一根21=x ；（3）当方程①有异号实根时，02321<+-=k x x ，得3->k ，此时原方程也只有一个正实数根；（4）当方程①有一个根为0时，3-=k ，另一个根为23=x ，此时原方程也只有一个正实根。
全国初中数学竞赛试题
全国初中数学竞赛试题【试题一】：代数基础1. 已知 \( a, b, c \) 是一个三角形的三边长，且满足 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，求证 \( a + b \geq c \)。
【试题二】：几何问题2. 给定一个圆，圆心为 \( O \)，半径为 \( r \)。
在圆上任取两点\( A \) 和 \( B \)，连接 \( OA \) 和 \( OB \)。
求证 \( \angle AOB \) 的度数小于 \( 180^\circ \)。
【试题三】：数列与级数3. 一个等差数列的首项是 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)。
求这个数列的第 \( n \) 项 \( a_n \) 的表达式，并计算前 \( n \) 项的和 \( S_n \)。
【试题四】：函数与方程4. 已知函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求该函数的最小值。
【试题五】：概率统计5. 一个袋子里有 \( 5 \) 个红球和 \( 3 \) 个蓝球。
随机抽取两个球，求两个球颜色相同的概率。
【试题六】：组合数学6. 有 \( 8 \) 个不同的球，需要将它们放入 \( 3 \) 个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球。
求不同的放法有多少种。
【试题七】：逻辑推理7. 在一个逻辑推理题中，有三个人分别说了以下的话：- 甲说：“乙是说谎者。
”- 乙说：“丙是说谎者。
”- 丙说：“甲和乙都是说谎者。
”如果三个人中只有一个人说谎，那么谁说的是真话？【试题八】：创新问题8. 一个正方体的体积是 \( 8 \) 立方厘米，求这个正方体的表面积。
【试题九】：应用题9. 一个水池可以以恒定的速率 \( r \) 进水，同时也以另一个恒定的速率 \( s \) 出水。
如果水池开始时是空的，求水池被填满的时间\( t \)。
【试题十】：综合题10. 一个圆的半径是 \( 5 \) 厘米，圆内接一个等边三角形。
初中数学竞赛模拟试题
初中数学竞赛模拟试题文／安振平苟春鹏第一试（共70分）一、选择题（每小题7分，共42分）1.ａ、ｂ、ｃ、ｄ都是实数．若｜ａ＋ｂ｜＝4，｜ｃ＋ｄ｜＝2，且｜（ａ－ｃ）＋（ｂ－ｄ）｜＝（ｃ－ａ）＋（ｄ－ｂ），则ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ的最大值是（）．Ａ．6 Ｂ．2 Ｃ．－2 Ｄ．－62．若实数ｘ、ｙ满足ｘ２＋ｙ２－ｘｙ－ｙ＋ｘ＜0，则有（）．Ａ．ｘ２＋ｙ２＜1 Ｂ．ｘ２＋ｙ２＝1Ｃ．ｘ２＋ｙ２＞1 Ｄ．ｘ２＋ｙ２≥13．如图1，ＡＢＣＤＥ是正五边形，ＡＰ、ＡＱ和ＡＲ是由Ａ向ＣＤ、ＣＢ和ＤＥ（或延长线）所引的垂线．设Ｏ是正五边形的中心，ＯＰ＝1，则ＡＯ＋ＡＱ＋ＡＲ等于（）．图1Ａ．3 Ｂ．1＋Ｃ．4 Ｄ．2＋4．已知△ＡＢＣ的两边长分别为2和4，且有一个内角等于30°，则这个三角形是（）．Ａ．锐角三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．直角三角形或钝角三角形5.正三角形ＡＢＣ的高等于⊙Ｏ的半径，⊙Ｏ在ＡＢ上滚动，切点为Ｔ，⊙Ｏ交ＡＣ、ＢＣ于Ｍ、Ｎ则（）．图1Ａ．在0°～30°变化Ｂ．在30°～60°变化Ｃ．在60°～90°变化Ｄ．保持60°不变6．已知实数ａ、ｂ、ｃ满足ａ２＋ａｂ＋ａｃ＜0，则关于ｘ的方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝0（）． Ａ．有两个不同的实根Ｂ．有两个相等的实根Ｃ．无实数根Ｄ．以上都不对二、填空题（每小题7分，共28分）1．设ｘ、ｙ、ｚ为3个非零实数，则（ｘ／｜ｘ｜）＋（｜ｙ｜／ｙ）＋（ｚ／｜ｚ｜）＋（ｘｙ／｜ｘｙ｜）＋（｜ｙｚ｜／ｙｚ）＋（ｚｘ／｜ｚｘ｜）＋（｜ｘｙｚ｜／ｘｙｚ）＝_______．2．折叠矩形纸片ＡＢＣＤ，先折出折痕（对角线）ＢＤ，再折叠使ＡＤ边与对角线ＢＤ重合，得折痕ＤＧ（图3）．若ＡＢ＝2，ＢＣ＝1，则ＡＧ＝_________．图33．某种商品，当出售价格是15元时卖出500个，价格每上涨1元，卖出的个数就要减少20个，要使售货金额取得最大值，价格应定为__________元．4．在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝75°，Ｐ点是ＢＣ边上的一点，且ＰＣ＝2ＢＰ，∠ＡＰＣ＝60°，则∠ＡＢＣ＝_________．第二试（共70分）一、（本题满分20分）如，ＯＭ是⊙Ｏ的半径，ＡＢ切⊙Ｏ于Ｍ，连结ＯＡ、ＯＢ交⊙Ｏ于Ｃ、Ｄ两点，且ＡＣ＝ＢＤ，求证：ＡＭ＝ＢＭ．图4二、（本题满分25分）解方程组＝10，①＝10．② 三、（本题满分25分）设ｘ、ｙ、ｚ为任意实数，求证：≥．参考答案第一试一、选择题1．选Ｃ．由｜ａ＋ｂ｜＝4，得ａ＋ｂ＝±4，由｜ｃ＋ｄ｜＝2，得ｃ＋ｄ＝±2．∴｜（ａ－ｃ）＋（ｂ－ｄ）｜＝（ｃ－ａ）＋（ｄ－ｂ），即｜（ａ＋ｂ）－（ｃ＋ｄ）｜＝（ｃ＋ｄ）－（ａ＋ｂ），∴ｃ＋ｄ＞ａ＋ｂ，则ｃ＋ｄ必等于±2，ａ＋ｂ必等于－4，∴ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ等于－2或－6．故ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ的最大值为－2．2．选Ａ．对已知不等式两边乘以2，得0＞2ｘ２＋2ｙ２－2ｘｙ－2ｙ＋2ｘ＝（ｘ２＋ｙ２－1）＋［ｘ２＋ｙ２＋1２－2ｘｙ－2ｙ＋2ｘ］＝（ｘ２＋ｙ２－1）＋（ｘ－ｙ＋1）２，即ｘ２＋ｙ２－1＜－（ｘ－ｙ＋1）２≤0．∴ｘ２＋ｙ２＜1．3．选Ｃ．∵Ｓ△ＡＣＤ＋Ｓ△ＡＢＣ＋Ｓ△ＡＤＥ＝Ｓ正五边形ＡＢＣＤＥ＝5Ｓ△ＣＯＤ，即（1／2）ＣＤ²ＡＰ＋（1／2）ＢＣ²ＡＱ＋（1／2）ＥＤ²ＡＲ＝5²（1／2）ＣＤ²ＯＰ．由ＣＤ＝ＢＣ＝ＤＥ，有ＡＰ＋ＡＱ＋ＡＲ＝5ＯＰ．又ＯＰ＝1，ＡＰ＝ＡＯ＋ＯＰ，∴ＡＯ＋1＋ＡＲ＋ＡＱ＝5，即ＡＯ＋ＡＱ＋ＡＲ＝4．4．选Ｄ．不妨设ＡＣ＝2，ＢＣ＝4，此题没有明确哪一个内角等于30°，因此三个内角都有可能等于30°，所以分以下三种情况：（第4题）①如图（1），当∠Ａ＝30°时，由ＢＣ＞ＡＣ得∠Ｂ＜∠Ａ，∴∠Ｂ＜30°，而且∠Ｃ＞120°，即△ＡＢＣ是钝角三角形；②如图（2），当∠Ｂ＝30°时，过点Ｃ作ＣＡ⊥ＡＢ，垂足为Ａ′，在Ｒｔ△Ａ′ＢＣ中，∵∠Ｂ＝30°，∴ＢＣ＝2Ａ′Ｃ，∵ＢＣ＝4，ＡＣ＝2，即ＢＣ＝2ＡＣ，∴ＡＣ＝Ａ′Ｃ，即Ａ′与Ａ重合．故∠Ａ＝90°，∴△ＡＢＣ是直角三角形．③如图（3），当∠Ｃ＝30°时，∵ＡＢ＞ＢＣ－ＡＣ，ＢＣ－ＡＣ＝2＝ＡＣ，∴ＡＢ＞ＡＣ，∴∠Ｂ＜∠Ｃ，于是有∠Ｂ＜30°，∴∠Ａ＞120°，即△ＡＢＣ是钝角三角形． 综合①、②、③得这个三角形是直角三角形或钝角三角形．5．选Ｄ．延长ＢＣ交⊙Ｏ于Ｇ，过Ｃ、Ｏ作⊙Ｏ的直径ＥＦ交⊙Ｏ于Ｅ、Ｆ，设ＣＡ交⊙Ｏ于M，连ＭＧ交ＥＦ于Ｐ（参看右图）．（第5题）由已知得ＥＦ∥ＡＢ，∠ＥＣＭ＝∠Ａ＝60°，∠ＥＣＧ＝∠Ｂ＝60°，∴∠ＥＣＭ＝∠ＥＣＧ＝60°．由于ＥＦ是⊙Ｏ的直径，由轴对称性质得ＥＧ＝ＥＭ，ＧＭ⊥ＣＥ．从而∠ＢＧＭ＝30°，∴＝60°．6．选Ａ．Δ＝ｂ２－4ａｃ，当ｃ＝0时，Δ＞0显然成立．下设ｃ≠0，将已知变形为ａ（ａ＋ｂ＋ｃ）＜0，即说明ａ与ａ＋ｂ＋ｃ异号．构造函数ｆ（ｘ）＝ｃｘ２＋ｂｘ＋ａ．∵ｆ（0）＝ａ，ｆ（1）＝ａ＋ｂ＋ｃ，∴ｆ（ｘ）的图象（抛物线）与ｘ轴有两个交点，故判别式Δ＝ｂ２－4ａｃ＞0．综上知，ｂ２＞4ａｃ．二、填空题1．填－1或7．设所求代数式的值为Ｓ，则Ｓ＝（ｘ／｜ｘ｜）＋（｜ｙ｜／ｙ）＋（ｚ／｜ｚ｜）＋（ｘ／｜ｘ｜）²（ｙ／｜ｙ｜）＋（｜ｙ｜／ｙ）²（｜ｚ｜／ｚ）＋（ｚ／｜ｚ｜）²（ｘ／｜ｘ｜）＋（｜ｘ｜／ｘ）²（｜ｙ｜／ｙ）²（｜ｚ｜／ｚ）＝（ｘ／｜ｘ｜）＋（ｙ／｜ｙ｜）＋（ｚ／｜ｚ｜）＋（ｘ／｜ｘ｜）²（ｙ／｜ｙ｜）＋（ｙ／｜ｙ｜）²（ｚ／｜ｚ｜）＋（ｚ／｜ｚ｜）²（ｘ／｜ｘ｜）＋（ｘ／｜ｘ｜）²（ｙ／｜ｙ｜）²（ｚ／｜ｚ｜）＝（（ｘ／｜ｘ｜）＋1）（（ｙ／｜ｙ｜）＋1）（（ｚ／｜ｚ｜）＋1）－1 （∵（ａ／｜ａ｜）＝｜ａ｜／ａ）．因为对任意实数ａ≠0，有ａ／｜ａ｜1 （ａ＞0），－1 （ａ＜0），所以当ｘ、ｙ、ｚ中至少有一个为负数时，Ｓ的值是－1；当ｘ、ｙ、ｚ均为正数时，Ｓ的值是7． 2．填（＋1）／2．（第2题）如图，设折叠后点Ａ落在ＢＤ上Ａ′点的位置，并设ＡＧ＝ｘ，则Ａ′Ｇ＝ｘ，ＤＡ′＝ＤＡ＝ＢＣ＝1，ＧＢ＝2－ｘ，且ＧＡ′⊥ＢＤ．∵ＢＤ＝＝，∴Ａ′Ｂ＝－1．在Ｒｔ△ＢＧＡ′中，Ａ′Ｇ２＋Ａ′Ｂ２＝ＧＢ２．解得ＡＧ＝ｘ＝（＋1）／2．3．填8000．设每个提价ｘ元，总金额为ｙ，则有ｙ＝500（15＋ｘ）－20ｘ（15＋ｘ）＝－20ｘ２＋200ｘ＋7500＝－20（ｘ－5）２＋8000．显然当ｘ＝5时，ｙ有最大值8000．因此要使销售金额最大，售出价格应定为15＋5＝20元，此时最大金额为8000元．4．填45°．（第4题）如图，过点Ｃ作ＣＱ⊥ＡＰ，连结ＢＱ．由∠ＡＰＣ＝60°，∠ＡＣＢ＝75°，得∠ＣＡＱ＝45°．∵ＡＱ＝ＣＱ，又∠ＰＣＱ＝30°，∴ＰＱ＝（1／2）ＰＣ＝ＢＰ．则∠ＱＢＰ＝∠ＰＱＢ＝∠ＰＣＱ＝30°．∴ＢＱ＝ＡＱ＝ＣＱ，∠ＡＢＱ＝∠ＢＡＱ＝15°，则∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＱ＋∠ＱＢＰ＝15°＋30°＝45°．第二试一、如图，设ＡＭ＝ｘ，ＢＭ＝ｙ，ＯＭ＝ｒ，延长ＡＯ交⊙Ｏ于Ｅ，延长ＢＯ交⊙Ｏ于Ｆ．由切割线定理，得ＡＭ２＝ＡＣ²ＡＥ，ＢＭ２＝ＢＤ²ＢＦ，即（第一题）ｘ２＝ＡＣ（ＡＯ＋ＯＥ）＝ＡＣ（＋ＯＥ）＝ＡＣ（＋ｒ），①ｙ２＝ＢＤ（ＢＯ＋ＯＦ）＝ＢＤ（＋ＯＦ２）＝ＢＤ（＋ｒ）．② ∵ＡＣ＝ＢＤ，∴由①÷②，得ｘ２／ｙ２＝（＋ｒ）／（＋ｒ），即ｘ２－ｙ２＝（ｙ２－ｘ２）ｒ．两边平方，整理得ｘ２＋2ｒ２＋ｙ２＝2．将上式两边平方，整理得（ｘ２－ｙ２）２＝0．∴ｘ２－ｙ２＝0，ｘ＝ｙ，故ＡＭ＝ＢＭ．二、由①得－5＝－＋5，分子有理化，得16（ｘ－1）／（＋5）＝－9（ｙ－1）／（＋5）．③对①－②的变形式－＝－，作分子有理化，得（ｘ－1）／（＋）＝（ｙ－1）／（＋）．④ 由③³④，得16（ｘ－1）２／（＋5）（＋）＝－9（ｙ－1）２／（＋5）（＋）．⑤注意到⑤的左端非负，而右端非正，故有ｘ－1＝0，且ｙ－1＝0，∴ｘ＝ｙ＝1．三、在平面上建立坐标系ｘＯｙ，并取三个点Ａ（ｘ，0），Ｂ（－ｙ／2，－（／2）ｙ），Ｃ（－ｚ／2，（／2）ｚ），则｜ＡＢ｜＝＝，｜ＡＣ｜＝＝，｜ＢＣ｜＝＝．∵｜ＡＢ｜＋｜ＡＣ｜≥｜ＢＣ｜，∴≥．。
2023年全国初中生数学奥赛模拟题目
2023年全国初中生数学奥赛模拟题目一、选择题1. 下面哪个数是2的倍数？A. 7B. 8C. 9D. 102. 在直角三角形ABC中，∠ABC = 90°，AB = 5 cm，BC = 12 cm。
求AC的长度。
A. 5 cmB. 7 cmC. 13 cmD. 17 cm3. 将12分之1写成小数。
A. 0.1B. 0.2C. 0.5D. 0.94. 若a + b = 15，a - b = 5，求a和b的值。
A. a = 10, b = 20B. a = 10, b = 5C. a = 15, b = 0D. a = 20, b = 105. 将1.25写成最简分数。
A. 1/2B. 5/8C. 25/20D. 125/100二、填空题6. 36 ÷ 12 = ____7. 15 × 0.5 = ____8. 8 × 7 ÷ 4 = ____9. 若x = 3，求2x² - 5的值：____10. A店某商品原价为180元，现打8折出售，折扣后的价格为____元。
三、解答题11. 某班级有40名学生，其中男生占总人数的35%，女生有多少人？（解答：设女生人数为x，则男生人数为0.35 * 40 = 14，女生人数为40 - 14 = 26）12. 小明和小红一起去商场吃饭，账单共计48元。
小明付了28元，小红应该支付多少钱？（解答：小红应该支付48 - 28 = 20元）13. 一桶装满水的容积为36升。
小李用了一壶1000毫升的水后，桶内还剩下多少升水？（解答：1000毫升 = 1升，剩下的水量为36 - 1 = 35升）14. 某水果摊上有3种水果，苹果、橙子和香蕉的价格比例为2:3:4。
若苹果的价格为10元，求香蕉的价格。
（解答：设香蕉的价格为x元，则10 / 2 = x / 4，解方程可得x = 20元）15. 某座山峰海拔高度为1200米。
初中数学竞赛模拟题50题-含参考答案
初中数学竞赛模拟题50题含答案一、单选题1．已知2πx <，x 是整数，则符合条件的x 的值有（ ）A ．5个B ．6个C ．11个D ．13个 2．已知a ，b 为正整数，满足2240ab b a ---=，则a b +的最大值为（ ） A ．7 B ．18 C ．29 D ．30 3．若x a =，代数式22x x +的值为1-，则当x a =-时，代数式22x x +的值为（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．3 4．在实数范围内，方程x 4﹣16＝0的实数根的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5．若a ，b ，c ，d 为整数，且a ＜2b ，b ＜3c ，c ＜4d ，d ＜100，则a 可能取的最大值是（ ）A ．2367B ．2375C ．2391D ．2399 6．关于x的方程1x x -=的根的个数为（ ）． A ．0个 B ．1个C ．3个D ．4个 7．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根1x ，2x 满足()232311224x x x x +=-+，则实数p 的所有可能的值之和为（ ）A ．0B ．34-C ．-1D ．54- 8．已知22211148()34441004A =⨯+++---，则3A 的整数部分[]3A 是（ ） A ．72 B ．73 C ．74D ．75 9．已知a ，b 满足（a +1）2﹣（b ﹣2c ﹣3|＝0，则a +b +c 的值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 10．若2(3)(5)15x x x mx -+=+-，则m 的值为（ ）A ．-8B ．2C ．-2D ．-511x 的取值范围是（ ）A ．>4xB ．x ≥5x ≠C ．>4x 且5x ≠D ．45x << 12．已知a ，b 满足|a ﹣3|+（b +2）2＝0，则单项式﹣5axa ﹣by 的系数和次数分别是（ ）A ．﹣15，6B ．﹣15，5C ．﹣5，6D ．﹣5，5 13．已知333411112212221A =++++++-，则A 与1的大小关系是（ ）． A ．1A >B ．1A =C ．1A <D ．无法确定 14．111100011000100011000n n n n ---⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=个个个个（ ） A ．10n B ．210n + C ．210n D ．2210n +15．在11,,0.2020,722πn 是大于3的整数）这5个数中，分数的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．516．点D 、E 、F 分别在ABC 的三边BC 、AB 、AC 上，且AD 、BF 、CE 相交于一点M ，若5AB AC BE CF+=，则AM MD =（ ） A ．72 B ．3 C ．52 D ．217．计算=（ ）A 1B ．1CD ．218．有2014个数排成一行，其中任意相邻三个数中，中间的数等于它前后两数的和，若第一个数和第二个数都是1，则这2014个数的和等于（ ）A ．2014B ．1C ．0D ．-119．若p 为质数，33p +仍为质数，则3333p +的末位数字是（ ）．A ．5B ．7C ．9D ．不能确定 20．若1059，1417，2312分别被自然数x 除时，所得余数都是y ，则x y -=（ ）． A ．15 B ．1 C ．164 D ．179二、填空题21．能使2256n +是完全平方数的正整数n 的值为__________．22．在一张冬景照片上，人们分别戴着帽子、系着围巾和戴着手套．只戴帽子的人数等于只系围巾和只戴手套的人数之和；只有4人没有戴帽子；戴着帽子和系着围巾，但没有戴手套的有5人；只戴帽子的人数两倍于只系围巾者；未戴手套有8人，未系围巾有7人；三样东西都用的人数比只戴帽子的人数多一个．那么：（1）有______人同时用上了帽子、围巾和手套；（2）有______人只戴了手套；（3）有______人只系了围巾；（4）有______人既戴了帽子，又戴了手套，但没有系围巾；（5）有______人戴着手套．23．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，D 、E 分别在AC 、BC 边上，BE AD =，AE 、BD 相交于点F ，且4tan 3AFD ∠=，若13AE =，15BD =，则AD 的长为______．24．如图所示，正方形ABCD 的边长为10cm ，点E 在边CB 的延长线上且10cm EB =，点P 在边CD 上运动，EP 与AB 的交点为F ．设cm DP x =，EFB △与四边形AFPD 的面积和为2cm y ，那么y 与x 之间的函数关系式是________．25．若方程219990x x a -+=有两个质数根，则=a ______．26．若实数,x y 满足333333331,134365456x y x y +=+=++++，则x y +=_____． 27．一组同学被分派去给1775棵小树苗浇水，每位同学每小时浇完30棵小树苗．1小时后，一些同学被分派去做其它工作；2小时后，相同数量的同学被分派去做其它工作；3小时后，又有相同数量的同学被分派去做其它工作；浇完这些小树苗共用3小时10分钟．则在开始的1.5小时内浇完的小树苗数为______．28．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球．按这种要求摆放，最多可以摆放____个球．29．如果某数可以表示成91的某个倍数的数字和，就把这个数叫做“和谐数”那么，在1，2，…，2008中，和谐数的个数是_________．30．边长为整数，周长为12的三角形的面积的最大值是_________．31．如图，正方形ABCD 中，点E 在AB 边上且2AE BE =．连接CE ，取CE 边上中点G ，作GH CG ⊥且CG GH =，连接.CH 将CGH 绕着点C 逆时针旋转得到''.CG H当'H 恰好落在AH 的延长线上时，连接'.'HG CG 与'HH 交于F ，若AH =FH =______．32．有8个整数，它们都不是5的倍数，那么它们的4次方的和被5除，得到的余数是__________．33．4444412319901991+++++的个位数字是_________．34．已知k 为不超过50的正整数，使得对任意正整数n ，6312321n n k +⨯+⨯-都能被7整除．则这样的正整数k 有______个．35．如图，在△ABC 中，△B ＝△CAD ，32BD AC =，则ABD CADS S ∆∆=______36．1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是__________岁．37．若a ，b ，c ，d 为非负整数，且()()22221993a b c d ++=，则a b c d +++=_________．38．已知19921991199031555522A =+⋅+⋅+为自然数，则A 被3除的余数为______． 39．已知整数13456ab （a ，b 各表示一个数字）能被198整除，那么=a ______，b =_____．三、解答题40．分解因式：222222()()x x a a x a x a ++++．41．某项工程，甲工程队先做20天后，由于另有任务不做，由乙工程队接替，结果乙队再做50天就恰好完成任务．已知乙队单独完成任务的时间是甲队的2.5倍．请问：(1)甲队单独做需要多少天才能完成任务？(2)若甲工程队先做x 天后，由乙工程队接替，结果乙队再做y 天就恰好完成任务．其中x ，y 都是正整数，且甲队做的时间不到15天，乙队做的时间不到70天，那么两队实际各做了多少天？42．如图（1），大正方形的面积可以表示为()2a b +，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即222a ab b ++．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：()2222a b a ab b +=++．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．(1)用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个等式：______；(2)如图（3），Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3CA =，4CB =，5AB =，CH 是斜边AB 边上的高．用上述“面积法”求CH 的长；(3)如图（4），等腰ABC 中，AB AC =，点O 为底边BC 上任意一点，OM AB ⊥，ON AC ⊥，CH AB ⊥，垂足分别为点M ，N ，H ，连接AO ，用上述“面积法”求证：OM ON CH +=．43．设,,,a b x y 满足2233443,7,16,42ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=，求55ax by +的值．44．试比较1111(1)13521x n n =+++++-与1111()242y n n =+++的大小． 45．已知()1n n >个整数（可以相同）12,,,n x x x ，满足12129111n n x x x x x x +++==．求当n 取最小值时，12,,,n x x x 中的最大值． 46．计算：（1）2222123n +++⋯+；（2）3333123n +++⋯+．47．将8个数14，30，33，75，143，169，4445，4953分成两组，每组4个数，使一组中4个数的乘积与另一组中4个数的乘积相等，应该怎样分组？48．任给20个互不相等的正整数，每一个数都不大于100．证明：把这20个正整数两两相减（大减小）所得的差中至少有三个相等．49．如图．已知ABC 为等腰直角三角形，90A ∠=︒，D 、E 分别为AC BC 、上的两点，CD ，连接DE ，将DE 绕点E 逆时针旋转90︒得EF ，连接DF 与AB 交于点M ．(1)如图1，当30DEC ∠=︒时，若2BC =AD 的长；(2)如图2，连接CF ，N 为CF 的中点，连接MN ，求证：MN =； (3)如图3，连接AF ，将AF 绕点A 顺时针旋转60︒得AG ，连接FG 、BG 、CG ，若4AC =，当ACG 周长取得最小值时，直接写出BCG 的面积．参考答案：1．D【分析】利用去绝对值符号，得出关于x 的解集范围，再根据整数的定义，求出符合条件的值的个数．【详解】解：||2x π<，22x ππ∴-<<，3.14π≈，6.28 6.28x ∴-<<， x 是整数，x ∴可取6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6------有13个，故选：D ．【点睛】本题考查了去绝对值符号及无理数，解题的关键是：会去绝对值符号求解不等式的解集．2．D【详解】由2240ab b a ---=得2426122a b a a +==+--． a ，b 为正整数，226a ∴-∣． △3a =，27b = △4a =，14b = △15a =，3b = △28a =，2b =a b ∴+最大为30．3．D【分析】将等式变形可得()210a +，然后利用非负数性质得出12a n =-=，，然后将当1x =时，代入代数式求值即可．【详解】解：△x a =，代数式22x x +的值为1-，△221a a +=-，△()210a +=，△()210a +≥，△1020a n +=-=，，解得12a n =-=，， 当1x =时，代数式22123x x +=+=．故选择D ．【点睛】本题考查完全平非负数性质，算术平方根非负性质，完全平方公式，代数式求值，掌握完全平非负数性质，算术平方根非负性质，完全平方公式，代数式求值是解题关键．4．B【分析】先移项得出x 4=16，再根据四次方根的定义求出方程的解即可．【详解】解：x 4-16=0，x 4=16，x =±2，即方程x 4-16=0的实数根的个数是2，故选：B ．【点睛】本题考查了解高次方程，能求出x5．A【分析】需要根据题意确定d 的取值，然后依次可得出c 、b 、a 的最大值，继而可得出答案．【详解】解：△d ＜100，d 为整数，△d 的最大值为99，△4499396c d <=⨯=，c 为整数，△c 的最大整数为395，△333951185b c <=⨯=，b 为整数，△b 的最大整数为1184，△2211842368a b <=⨯=，a 为整数，△a 的最大整数为2367．故选：A【点睛】本题考查了整数问题，解答本题的关键是根据题意确定d 的值．6．B【详解】依题意0x ≥且2x ≥，故2x ≥，原方程化为1x x -1，所以3x =．故选B ．7．B【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系可得122x x p +=-，1232x x p ⋅=--．△()22221212122464x x x x x x p p +=+-⋅=++， ()()()23321212121232496x x x x x x x x p p p ⎡⎤+=++-⋅=-++⎣⎦． △()232311224x x x x +=-+得()223312124x x x x +=-+，△()2246442496p p p p p ++=+++， △(43)(1)0p p p ++=，△10p =，234p =-，31=-p ． 代入检验可知：以10p =，234p =-均满足题意，31=-p 不满足题意． 因此，实数p 的所有可能的值之和为1233044p p ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭． 故选B ．8．B 【详解】因211111()4(2)(2)422n n n n n ==---+-+， 所以11111111148()()()()415263798102A ⎡⎤=⨯-+-+-++-⎢⎥⎣⎦ 1111111112()123499*********=⨯+++----11125121001011021()99=-⨯+++． 若设111112()99100101102B =⨯+++，则4163312 1.59911B <⨯⨯=<，且4243312 1.410217B >⨯⨯=>，故375373.5A B =->，且375373.6A B =-<，所以[]373A =．故选B9．C【分析】根据完全平方和算术平方根以及绝对值都是非负数，列出方程求解即可．【详解】解：根据题意，得，2(1)|3|0a c +-=，△a +1＝0，2﹣b ＝0，c ﹣3＝0，解得a ＝﹣1，b ＝2，c ＝3，所以a +b +c ＝﹣1+2+3＝4．故选：C ．【点睛】本题考查了完全平方和算术平方根以及绝对值都是非负数，非负数的性质：几个非负数的和为0，那么这几个数都为0，掌握非负数的性质是解题的关键．10．B【分析】利用多项式乘以多项式法则展开，再根据对应项的系数相等列式求解即可．【详解】解：△22(3)(5)21515x x x x x mx -+=+-=-+，△2m =．故选：B ．【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，恒等原理等，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，恒等的两个代数式对应项系数相等，是求解的关键．11．C【详解】依题意得270321544x x x x x x x x ⎧⎧-≥≤≥⎪⎪-≠⇒≠≠⎨⎨⎪⎪>>⎩⎩且，4x ⇒>且5x ≠．故选C ． 12．A【分析】先根据绝对值和偶次方的非负数的性质得出a ﹣3=0，b +2＝0，解方程求出a 与b ，然后代入单项式得出单项式，根据单项式的系数与次数定义求解即可．【详解】解：△|a ﹣3|+（b +2）2＝0，|a ﹣3|≥0，（b +2）2≥0，△根据绝对值与偶次方非负数性质可得a ﹣3=0，b +2＝0，解得a =3，b =-2，△单项式﹣15x5y 的系数为-15，次数为5+1=6次．故选择A ．【点睛】本题考查绝对值与偶次方非负数性质，单项式的次数与系数，解一元一次方程，掌握非负数性质，和单项式相关定义是解题关键．13．C【详解】解 因11111818910158A =++++<⨯=．故选C 14．C 【详解】原式()()221011011010n n n n =+-+-= 15．B【分析】先把12【详解】解：1111222==-，当(3)n n >n 与2n -不可能同时取到完全平方数，设2n s =，22n t -=，有222s t -=，()()21s t s t +-=⨯， △2s t +=，1s t -=， △32s =，12t =不是整数解，不是分数． 2π是无理数，不是分数， 故分数有三个：17，0.2020，12． 故选：B ．【点睛】本题考查的是实数的分类，把12进行化简是解答此题的关键．16．B 【详解】设AM t MD =，由题设可得AMC DMC BMC BMC S tS AE EB S S ==△△△△，AMB BMD BMCBMC S tS AF FC S S ==△△△△， 所以22DMC BMD BMC BMC tS tS AB AC AE AF BE CF EB FC S S ∆∆+=++=++△△ ()222DMC BMD BMC BMC BMCt S S tS t S S +=+=+=+△△△△△， 又已知5AB AC BE CF +=，所以25t +=，所以3t =，即3AM MD=． 17．B【详解】1)(31=-+=．18．B【详解】由已知可知，前n 个数的排列顺序为1，1，0，-1，-1，0，1，1，0，…由此可见，从第7个数开始循环，即每隔6个数循环，这6个数的和等于0．又因为201463354=⨯+，所以这2014个数的和等于1，故选B ．19．A【详解】由33p +为质数可知p 为偶数，又p 为质数，则2p =．故()833334332332233p +=+=⨯+． 因为()842的末位数字为6，故()8422⨯的末位数字为2.因此，3333p +的末位数字为5． 20．A【详解】设三数除以x 的商分别为a ，b ，c ，则可得1059,1417,2312.ax y bx y cx y +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③ △-△得()3582179b a x -==⨯，△-△得()8955179c b x -==⨯，△-△得()12537179c a x -==⨯．即179,164x y ==．故15x y -=．21．11【详解】当8n <时，()82256212n n n -+=+，若它是完全平方数，则n 必为偶数．若2n =，则22256265n +=⨯；若4n =，则42256217n +=⨯；若6n =，则6225625n +=⨯；若8n =，则8225622n +=⨯．所以，当8n ≤时，2256n +都不是完全平方数．当8n >时，()882256221n n -+=+，若它是完全平方数，则821n -+为一奇数的平方．设8221(21)n k -+=+（k 为自然数），则102(1)n k k -=+．由于k 和1k +一奇一偶，所以1k =，于是1022n -=，故11n =．22． 3 1 1 4 10【详解】如图，按题目中条件顺序依次可列方程：（1）A C F =+；（2）4C E F ++=；（3）5B =；（4）2A C =；（5）8A B C ++=；（6）7A G F ++=；（7）1D A =+．可求出2,5,1,3,2,1,4A B C D E F G =======．于是，题目中各空白区应填入的数依次是△3，△1，△1，△4，△10．23．【分析】作出辅助线，由AAS 证明△ADM ≅△BEH ，再由4tan tan 3DM BH AFD BFH FM FH ∠∠====，设DM =4x ，FM =3x ，BH =4y ，FH =3y ，利用勾股定理列式计算即可求解．【详解】解：过B 作BH △AE 交AE 的延长线于H ，过D 作DM △AE 于M ，△△ACB =△AHB =90︒，△A 、C 、H 、B 四点共圆，△△CAH =△CBH ，即△DAM =△EBH ，△BE =AD ，△DMA =△EHB =90︒，△△ADM ≅△BEH (AAS )，△DM =EH ，AM =BH ， △4tan tan 3DM BH AFD BFH FM FH ∠∠====， 设DM =4x ，FM =3x ，BH =4y ，FH =3y ，△DM =EH =4x ，AM =BH =4y ，EF =FH -EH =3y -4x ，AE =AM +MF +FE =4y +3x +(3y -4x )=7y -x =13，△BD =DF +BF 5515x y +=，△由△△解得：1x =，2y =，△DM =4，AM =8，△AD=故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，24．550(010)y x x =+<<【详解】解 由DP x =得10PC x =-． 又12BF BE PC EC ==，即11(10),10(10)22BF x AF BF x =-=-=+， 所以EFB AFPD y S S =+四边形11()22BE BF AF DP AD =⨯⨯++⨯ 111110(10)(10)102222x x x ⎡⎤=⨯⨯-+++⨯⎢⎥⎣⎦550(010)x x =+<<．故应填550(010)y x x =+<<．25．3994【详解】设219990x x a -+=的两根为12,x x ，则12121999,x x x x a +==．因1999必是一个偶数与一个奇数之和，且偶数中只有2为质数，故12,x x 中必有一个为2，另一个为199921997-=，所以219973994a =⨯=．故填3994．26．432【详解】解 因题目中条件去分母整理后可写为：()()()223323333346364460x y x y -+--⋅-+-⋅=， （()()()223323333546564460x y x y -+--⋅-+-⋅=，故依题目条件知33t =或35t =是关于t 的方程()()23333334664460t x y t x y -+---+-⋅=的两根．由韦达定理，得33333546x y +=+--，所以33333456432x y +=+++=．27．945【详解】设开始有n 位同学，每次有k 位同学被分派去做其它工作．因为每位同学浇完一棵小树苗需要2分钟，所以10分钟内每位同学浇完5棵小树苗．因此，3030()30(2)5(3)1775n n k n k n k +-+-+-=即21355.19k n +=． 因为n 和k 都是正整数，所以21355k +必须是19的倍数．并且使得n ，n k -，2n k -和3n k -也是正整数的k 值仅有一个，即3k =，从而22n =．故在开始的1.5小时内浇完的小树苗数为30221519945.⨯+⨯=28．15个球【详解】解：先画一个“初始图”：○ A B C D E ○ A B C D E ○按照题目要求，逐一确定各个字母的颇色，得到：○ ○ ○ ○ D ○ ○ ○ ○ ○ D ○显然，D 应为黑色．即：○ ○ ○ ○ ● ○ ○ ○ ○ ○ ● ○再按要求尝试增加小球，确定最后结果如下：○ ○ ○ ○ ● ○ ○ ○ ○ ○ ● ○ ○ ○ ○29．2007【详解】理由：注意到91713=⨯．数字和为1的数不是91的倍数．1001，10101，10011001，101011001，100110011001，1010110011001，…都是91的倍数，而它们的数字和依次是2，3，4，5，6，7，…因此，在1，2，…，2008中，能够表示成91的某个倍数的数字和的数的个数是2007．故答案为：2007．30．【详解】设三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a b c ≤≤，则12a b c ++=．可得312c ≥，即4c ≥．又因为a b c +>，所以212c <，即6c <．故46c ≤<，c 可取4或5．当4c =时，4,8a b a b ≤≤+=，所以4a b ==．此时三角形面积为214S == 当5c =时，7a b +=．当1a =时，6b =．此时a c b +=，不合题意．当2a =时，5b =．此时三角形面积为2122S =⋅ 当3a =时，4b =． 此时三角形为直角三角形，三角形面积为313462S =⋅⋅=．显然132S S S >>，所以所求最大面积为31【分析】连接BH ，EH ，设CG 、BH 交于点O ，证明B 、C 、H 、E 四点共圆，CBH △ABH ，求得BC 、AE 的长，过点E 作EM AH ⊥于点M ，作G 关于CH 的对称点J ，连接CJ 交AH 于点T ，过点T 作TN CH ⊥于点N ，则四边形CGHJ 是正方形，设AM a =，则HM AH a ==，由勾股定理及全等三角形的判定与性质即可得到答案．【详解】连接BH ，EH ，设CG 、BH 交于点O ，四边形ABCD 是正方形，90ABC ∴∠=︒，BA BC =，GH CG ⊥且CG GH =，CGH ∴是等腰直角三角形， G 是CE 边上的中点，CG GE ∴=，HC HE ∴=，CHE ∴是等腰直角三角形，B ∴、C 、H 、E 四点共圆，△CH CH =，45CBH CEH ∴∠=∠=︒，45HBA HBC ∴∠=∠=︒，在CBH 和ABH 中，CB AB CBH ABH BH BH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CBH ∴≌()ABH SAS ，CH AH ∴=，正方形ABCD 中，点E 在AB 边上且2AE BE =，3BC BE ∴=，CE ∴，CHE △是等腰直角三角形，CH ∴==，CH AH ==，2BE ∴=，36BC BE ∴==，4AE =，过点E 作EM AH ⊥于点M ，作G 关于CH 的对称点J ，连接CJ 交AH 于点T ，过点T 作TN CH ⊥于点N ，则四边形CGHJ 是正方形，设AM a =，则HM AH a ==，在Rt AME 中，222EA AM EM -=，在Rt HME 中，222HE HM EM -=，2222EA AM HE HM ∴-=-，即22224)a a -=-，MA ∴=HM∴==EM∴==3tan4HMHEMEM∴∠==，3sin5HMHEMHE∠==，90CHE∠=︒，90CHJ EHM∴∠+∠=︒，90EHM HEM∠+∠=︒，CHJ HEM∴∠=∠，CJ AH⊥，EM AH⊥，90EMH HJC∴∠=∠=︒，在CJH和HME中，EMH HJCCHJ HEMCH HE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CJH∴≌()HME AAS，JH EM∴=，THN THC HEM∴∠=∠=∠，3tan4THN∴∠=，3sin5THN∠=，3tan4TNTHNNH∴=∠=，3sin5TNTHNTH=∠=，设3TN b=，则4NH b=，353sin5TN bTH bTHN===∠，45HCG∠=︒，四边形CGHJ是正方形，45TCN∴∠=︒，3CN TN b==，7CH b∴=，b∴=，JT JH TJ ∴=-== 将CGH 绕着点C 逆时针旋转得到''CG H ，'CH CH ∴=，'45HCG HCG ∠=∠=︒，45FCH TCH ∴∠=∠=︒，'CH CH =，'FH C THC ∴∠=∠，在THC 和'FH C 中，''FH C THC CH CH FCH TCH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， THC ∴≌()'FH C ASA ，'H F HT ∴=，'CH CH =，'CJ HH ⊥，'JH JH ∴=，''JH TH JH FH ∴-=-，即FJ TJ JH =+==【点睛】此题考查了直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，添加辅助线并求得正方形的边长是解题的关键．32．3【详解】一个整数不是5的倍数，它的个位数字可能是1，2，3，4，6，7，8，9，把它们4次方后，研究它们的个位数字，分别是：444411;216;381;4256====；444461296;72401;84096;96561====．即它们的个位数字不是1就是6，并且6被5除也是余1．所以一个不是5的倍数的整数，它的4次方被5除一定余1．这8个整数，它们的4次方的和被5除所得余数为3．33．8【详解】理由：4444123101616561613(mod10)++++≡++++++++≡， 4441112203(mod10)+++≡，……4441981198219903(mod10)+++≡，从而4444123199031997(mod10)++++≡⨯≡，则4444412319901991718(mod10)+++++≡+≡． 所以4444412319901991+++++的个位数字是8．34．7 【详解】填7.理由：6312321n n k +⨯+⨯-2227281n n k =⨯+⨯-22(1)21n k ≡⨯-+-21(mod7)k ≡+．但63123210(mod 7)n n k +⨯+⨯-≡，则210(mod7)k +≡，即217k m +=（m 为奇数）．因为150k ≤≤，所以，37101m ≤≤． 故1,3,,13m =，相应的3,10,,45k =，共7个．35．3【分析】由题中条件可得△ACD △△BCA ，得出AC 2=CD •BC ，利用等式的性质进行恒等变式，可得221=0DC BD DC AC AC AC+⋅-，设DC x AC =，建立方程，解方程可求得1=2DC AC ，再根据相似三角形的性质，可求得1=4ADC ABC S S △△，可得3=4ABD ABC S S △△，据此即可求得． 【详解】解：△△B =△CAD ，△C =△C ， △△ACD △△BCA ， △=AC DC BC AC，即AC 2=DC •BC ，得()22==AC BD DC DC BD DC DC +⋅⋅+， 可得222=1BD DC DC AC AC⋅+， 得221=0DC BD DC AC AC AC+⋅-， 设DC x AC=， 32BD AC =， 23102x x ∴+-=， 解得112x =，22x =-(舍去)， 1=2DC AC ∴， 2==4ABC ADC S AC S DC ⎛⎫ ⎪⎝⎭△△， 1=4ADC ABC S S ∴△△， 3==4ABD ABC ADC ABC S S S S ∴-△△△△， 34314ABC ABDCAD ABC S S S S ∆∆==△△， 故答案为：3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等式的恒等变式，利用方程求解，解题的关键是利用等式的性质进行恒等变式．36．18【详解】设某人出生于19xy 年，则他的年龄应为1910x y x y +++=++（岁）．所以19981910xy x y -=++，即981010x y x y --=++，得11288x y +=，则88112x y -=． 又易知x 只能取偶数取0,2,4,6,8x =，相应地，44,33,22,11,0y =．只有8,0x y ==满足条件．所以所求年龄为18岁．37．56【详解】因为1993是质数，22a b +与22c d +都是正整数，所以22a b +与22c d +分别取值1与1993．若22221,1993a b c d +=+=．（1）221a b +=．可知0,1a b ==或1,0a b ==．因此1a b +=．（2）221993c d +=．若31,31c d ≤≤，则22223119921993c d +≤⨯=<．所以c ，d 中至少有一个大于31．又由于24520251993=>．因此，若设c 为c ，d 中较大的一个，则3244c ≤≤．依次取32,33,,43,44c =，可得只有2199343-是完全平方数．所以43,12c d ==或12,43c d ==，则55c d +=．因此，15556a b c d +++=+=．当22221993,1a b c d +=+=，同样可得所求和为56．38．2【详解】填2.理由：199219901990199219903155555585522A =+⋅⋅+⋅+=+⋅+． 因为45被3除余数为1，所以199219905252A ≡+⋅+()()49849744252522≡+⋅⋅+498349712112≡+⋅⋅+5≡2(mod3)≡．所以A 被3除的余数为2.39． 8 0【详解】解 设13456n ab =．因为1982911=⨯⨯，所以n 被9整除，即1345619a b a b ++++++=++能被9整除，所以8a b +=或17a b +=．因为n 能被11整除，所以(146)(35)3a b a b +++-++=-+能被11整除．所以8a b -=或3a b -=-．联立方程组8,8a b a b +=⎧⎨-=⎩；8,3;a b a b +=⎧⎨-=-⎩17,8;a b a b +=⎧⎨-=⎩17,3.a b a b +=⎧⎨-=-⎩ 可得只有第1个和第4个方程组有整数解8,0,a b =⎧⎨=⎩和7,10.a b =⎧⎨=⎩ 而10b =不合题意，所以8,0a b ==．40．222()x ax a ++【详解】解法一 原式222222[()()]x x a a x a a x =++++22222()()x a x a a x ++=+222222()(2)x a x ax a a x =++++222222()2()()x a ax x a ax =++++222()x a ax =++222()x ax a =++．解法二 原式22222[()]()x x a a a x a =++++22222(22)()x x ax a a x a =++++2222()2()[()]x x a x a a x a =++++⋅22[()]x a x a =++222()x ax a =++．41．(1)甲队单独做需要40天才能完成任务；(2)甲队实际做了14天，乙队做了65天．【分析】（1）甲队单独做需要x 天才能完成任务，则乙队单独做需要2.5x 天才能完成任务，总任务量为1，根据题意列分式方程，求解即可得到答案；（2）根据题意列分式方程，整理得到51002y x =-，再根据x 、y 的取值范围得不等式，求整数解即可得到答案．【详解】（1）解：甲队单独做需要x 天才能完成任务，则乙队单独做需要2.5x 天才能完成任务，由题意得：11205012.5x x⨯+⨯=， 解得：40x =，2.5100x =， 经检验，40x =是原方程的解，答：甲队单独做需要40天才能完成任务；（2）解：由题意得：11140100x y +=， 整理得：51002y x =-，70y <，5100702x ∴-<， 12x ∴>，15x <且为整数，13x ∴=或14，当13x =时，51100136722y =-⨯=，不是整数，不符合题意，舍去，当14x =时，510014652y =-⨯=，答：甲队实际做了14天，乙队做了65天．【点睛】本题考查了分式方程的应用，不定方程求特殊解。
2023初中数学培优竞赛例题+练习 专题51 全国初中数学竞赛模拟卷(一)(学生版+解析版)
专题51全国初中数学竞赛模拟卷〈一〉一－－一＿a -b+.J nh I.设。
＞O.b>O ，且va(../a +vb)= 3vb(../a + Svb），贝l 卜一一一」示干的值是（〉2a+3b+vao A.21－4日u c .-31 D .-582.如阁，正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC上的点，DE交AC于M,AF 交BD于点N，若AF平BE CF BN 分L'.BAC,DE_l_Af，记x ＝百M 'y =AE ’z ＝百万，则有〈A [)EB F c A.x>y>z B.x=y=z C.x=y>z D.λ·＞y=zfγx-y ＝、x+y 3.关于x、y的方程组γ产f 有组解．LY\IX = 1 4.若关于x的方程（x -4) (x 2 -6x+m) =O的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为-k 5.虫［｜医l正方形ABCD的顶点A在第一象限y ＝－图象上，点B、点C分别在λ输、y轴负半例上，点D在x 第一剑ll�直线内的图象上，若S WJ片，则k的值为yx6.如｜图，如eJ括ABCD中，AB=10,BC=l2, M为AB中点，N为BC边上一动点，将6MNB沿MN折叠，得到6MNB’，则CB’的最小值为DB'. __ ---------N57.如图，6ABC中，ζACB=90。
，sinA--AC=l2，将6ABC绕点C)I段时针旋转90。
得到6A’B’C,-13’P为线段A’B’上的动点，以点P为圆心，PA’长为半径作。
P，当。
P与6ABC的边相切时，。
P的半径为AB A’8.设互不相等的非零实数。
，b,c满足α＋i=b+%=c＋；，对（α＋i)2 + (b + %)2 + (c + !)2的值9.如图，tE6ABC中，D是BC的中点，过D的直线交AC于E，交AB的延长线于F,AB=mAF, AC=nAE.求：(1)m切的健：(2）�的取值范围．拧t+lAcJO. 如图，在平商直角坐标系中己失［｜囚边形ABCD为菱形，且A(0, 3), B ( -4, 0).(I）求过点C的反比例函数表达式：(2）设直线l与（I）中所求i羽数图象相切，旦与λ划，y轴的交点分别为M,N，。
全国初中数学竞赛模拟试题及答案
全国初中数学竞赛模拟试题班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x ，y 满足：4x 4－2x 2＝3，y 4＋y 2＝3，则4x4＋y 4的值为（ ）（A ）7 （B ）1＋132 （C ）7＋132（D ）52．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）（A ）512（B ）49（C ）1736（D ）123．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确定的不同直线最少有 （ ）（A ）6条（B ）8条（C ）10条（D ）124．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为 （ ）（A ）52a （B ）1（C ）32（D ）a5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有 （ ）（A ）2种（B ）3种（C ）4种（D ）5种二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u *v ＝uv ＋v ．若关于x 的方程x *（a *x ）＝－14有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是_______． 7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_____分钟． 8．如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为______． 9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为______．10．关于x ，y 的方程x 2＋y 2＝208(x －y )的所有正整数解为________．三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）FMDBA11．在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于｜OA｜＋｜OB｜＋3．（1）用b表示k；（2）求△OAB面积的最小值．12．是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程px2－qx＋p＝0有有理数根？13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论．14．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值．简答：一．选择题 ACBBD ；二．填空题 6. a ＞ 0 或 a ＜－1； 7. 4； 8. 9； 9.163； 10. x ＝48， x ＝160， ＝32； y ＝32． 三．解答题：11. （1）k ＝2b －b 22(b ＋3)，b ＞ 2； （2）当 b ＝2＋10， k ＝－1时，△OAB 面积的最小值为7＋210； 12. 存在满足题设条件的质数p ，q . 当p ＝2，q ＝5时，方程2x 2－5x ＋ 2＝0 的两根为 x 1＝12， x 2＝2. 它们都是有理数； 13. 存在满足条件的三角形. △ABC 的边 a ＝6，b ＝4，c ＝5，且∠A ＝2∠B ，证明略. 14. n 的最小值是5，证明略．。
全国初中数学竞赛初[1]..
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全国初中数学竞赛初赛模拟试题一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．某校学生100人参加数学竞赛，其中至少有女生9人，又知参赛者中任何10人中至少有1名男生，则参赛男生人数为（ ）（A ）89 （B ）91 （C ）82 （D ）632．记()()()()()24825612121212121x x =++++⋅⋅⋅++，则是（ ） （A ）一个奇数 （B ）一个质数 （C ）一个整数的平方 （D ）一个整数的立方3．已知|2|||2|1|++--=x x x y ，且12≤≤-x ，则y 的最大值与最小值的和是（ ）（A ）–1 （B ）2 （C ）4 （D ）54．在△ABC 中，AB=AC=7，BC=4，点M 在AB 上，且BM=31AB ，过M 做EF ⊥AB ，交BC 于E ，交CA 延长线于F ，则EF 的长为（ ）（A ） 55 （B ）3335 （C ）54 （D ）56 5．抛物线2ax y =与直线1=x ，2=x ，1=y ，2=y 围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是( )（A ）141≤≤a （B ）221≤≤a （C ）121≤≤a （D ）241≤≤a 6．如图，直线l1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻两条平行线间的距离都等于h ，若正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（ ）（A ）24h （B ）25h （C ）224h （D ）225h7．一个正方体的表面涂满了颜色，按如图所示将它切成27个大小相等的小立方块，设其中仅有i 个面（i=1，2，3）涂有颜色的小立方块的个数为x i 则x 1, x 2 , x 3之间的关系为（ ）（A ）x 1－x 2 + x 3 = 1 （B ）x 1+ x 2－x 3 = 1（C ）x 1 + x 2－x 3 = 2 （D ）x 1－x 2 + x 3 = 28．已知x 是无理数，且()()31++x x 是有理数，在上述假设下，有人提出了以下四个结论：（1）2x 是有理数；（2）()()31--x x 是无理数；（3）()21+x 是有理数；（4）()21-x 是无理数并说它们中有且只有n 个正确的，那么n 等于（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）2 （D ）4二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．从－2，－1，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数b kx y +=的系数k ，b ，则一次函数b kx y +=的图象不经过第四象限的概率是________；10．有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ；11．已知012=-+x x ，则2008223++x x ＝ ；12．已知ＡＢ是半径为1的圆Ｏ的直径,ＣＤ是过ＯＢ中点的弦,且ＣＤ⊥ＡＢ,以ＣＤ为直径的圆交ＡＢ于Ｅ,ＤＥ的延长线交圆Ｏ于Ｆ,连结ＣＦ,则ＣＦ=. ； 13．设⎪⎭⎫ ⎝⎛≠≠=++21012a a a x x x 且，则1242++x x x 的值为 ； 14．已知四边形的四个顶点为A （8,8），B （－4,3），C （－2，－5），D （10，－2），则四边形在第一象限内的部分的面积是 。
[数学]-专项51 全国初中数学竞赛模拟卷(一)-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛
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专题51 全国初中数学竞赛模拟卷（一）1．设a ＞0，b ＞0，且√a(√a +√b)=3√b(√a +5√b)，则√ab 2a+3b+√ab 的值是（ ） A ．2 B ．14 C ．12 D ．31582．如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 上的点，DE 交AC 于M ，AF 交BD 于点N ，若AF 平分∠BAC ，DE ⊥AF ，记x =BE OM ，y =CF AE ，z =BNON ，则有（ ）A ．x ＞y ＞zB ．x ＝y ＝zC ．x ＝y ＞zD ．x ＞y ＝z3．关于x 、y 的方程组{x x−y =y x+yy √x =1有 组解．4．若关于x 的方程（x ﹣4）（x 2﹣6x +m ）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m 的值为 ．5．如图正方形ABCD 的顶点A 在第二象限y =k x 图象上，点B 、点C 分别在x 轴、y 轴负半轴上，点D 在第一象限直线y ＝x 的图象上，若S 阴影=25，则k 的值为 ．6．如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，M为AB中点，N为BC边上一动点，将△MNB沿MN折叠，得到△MNB'，则CB'的最小值为．7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sin A=513，AC＝12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为．8．设互不相等的非零实数a，b，c满足a+3b=b+3c=c+3a，求√(a+3b)2+(b+3c)2+(c+3a)2的值．9．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D的直线交AC于E，交AB的延长线于F，AB＝m AF，AC ＝n AE．求：（1）m+n的值；（2）nm+1的取值范围．10．如图，在平面直角坐标系中已知四边形ABCD为菱形，且A（0，3），B（﹣4，0）．（1）求过点C的反比例函数表达式；（2）设直线l与（1）中所求函数图象相切，且与x轴，y轴的交点分别为M，N，O为坐标原点．求证：△OMN的面积为定值．11．如图，已知抛物线y＝x2+2bx+2c（b，c是常数，且c＜0）与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）点B的坐标为（结果用含c的代数式表示）；（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y＝x2+2bx+2c交于点E，点D是x轴上的一点，其坐标为（2，0）．当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）条件下，点P是BC下方的抛物线上的一个动点，连接PB，PC，设所得△PBC的面积为S．求S的取值范围．12．如图1，P为第一象限内一点，过P、O两点的⊙M交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，∠OPA＝45°．（1）求证：PO平分∠APB；（2）作OH⊥PA交弦PA于H；①若AH＝2，OH+PB＝8，求BP的长；②若BP＝m，OH＝n，把△POB沿y轴翻折，得到△P'OB（如图2），求AP'的长．。
全国初中数学竞赛试题(含答案)-20220207144625
全国初中数学竞赛试题（含答案）20220207144625一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是质数？A. 2B. 3C. 4D. 52. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，那么这个三角形的周长可能是多少？A. 7B. 10C. 11D. 123. 下列哪个分数可以化简为最简分数？A. 2/4B. 3/6C. 4/8D. 5/104. 一个正方形的面积是36平方厘米，那么这个正方形的边长是多少厘米？A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题（每题5分，共20分）1. 7的平方根是______。
2. 0.25的小数点向右移动两位后是______。
3. 一个等边三角形的边长是10厘米，那么这个等边三角形的周长是______厘米。
4. 下列哪个数是立方数？A. 2B. 3C. 4D. 5三、解答题（每题10分，共30分）1. 解方程：2x 5 = 11。
2. 计算下列表达式的值：3(2 + 4) 7。
3. 一个长方形的长是8厘米，宽是4厘米，求这个长方形的面积。
四、答案部分一、选择题1. A2. B3. A4. D二、填空题1. ±√72. 253. 304. C三、解答题1. x = 82. 133. 32平方厘米全国初中数学竞赛试题（含答案）20220207144625四、应用题（每题15分，共30分）1. 小明家有一块长方形的地，长是12米，宽是8米。
小明计划将这块地分成两个相同大小的正方形区域。
请问每个正方形的边长是多少米？2. 小红有一笔钱，她将其中的1/3用于购买书，剩下的钱再将其中的1/2用于购买文具。
她剩下的钱是100元。
请问小红最初有多少钱？五、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：对于任意实数a和b，如果a < b，那么a² < b²。
2. 证明：等腰三角形的底角相等。
六、答案部分四、应用题1. 每个正方形的边长是6米。
2. 小红最初有300元。
全国初中数学联赛模拟试题1以及答案详细解析
全国初中数学联赛模拟试题(1)一、选择题（每小题5分，共30分）1．56145614--+的值是( )(A) 1 (B)5 (C) 25 (D) 5 2 已知,1||1=-a a 那么代数式||1a a+的值为( ) 25)(A 25)(-B 5)(-C 5)(D 3 P 是半径为2的圆O 外一点，P A 、PB 是圆O 的两条切线，A ，B 是切点，且,60︒=∠APB 则四边形OAPB 的面积是( ) (A) 43 (B) 4 (C) 83 (D) 124 不定方程124=+nm 的正整数解(m ，n )的个数是( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个5如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-08,09b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式的整数a ，b 的有序数对（a ，b ）共有 ( )(A) 17个 (B) 64个 (C) 72个 (D)81个6． 设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且,cb a b a b a +++= 则它的内角A ∠与B ∠的关系是( )A B A ∠>∠2)( A B B ∠=∠2)( A B C ∠<∠2)( )(D 不确定二、填空题（每小题5分，共30分）7 已知实数x ， y 满足：,2,122=+=+y x y x 则=+77y x 。
8 在梯形ABCD 中，,2,3,//====BC AD AC AB DC AB 则BD = 。
9 已知.012=--a a 且,1129322322324-=-++-a xa a xa a 则=x 10．已知实数a ，b ，c 满足⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,1,1,1a ca c bc b ab 则=+++)1)(1)(1(c b a11．一次函数y =f (x )的图象与直线49545+=x y 平行，并且经过点（-1，- 25），y =f (x )与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，则在线段AB 上（包括端点A ，B ），纵横坐标都是整数的点有 个。
全国初中数学竞赛模拟试题十套
全国初中数学竞赛模拟试题十套全国初中数学竞赛模拟试题(1)班级编号、学生编号、姓名、分数、选择题(该题满分为30分，每题5分)-1。
将A、B和C设置为实数，abc≠0，值为(A)-1(二)1那么，B2+C2-a2a+b = c2bcc2+a2-b2+2ca+a2+b2-c22ab()(三)2(四)3( )Z2。
如果x，y，z是实数并且x > y > z，那么正确的公式是(a) x+y > y+z (b) x-y > y-z (c) xy > yz3。
在△ABC中，BC = 3，内切圆半径r = (a) 3232(D)x>yZ2，cotB+cotC的值是()2323-1-23+1-2(B)23(三)3(四)23( )4.称为a =，1+a的值为1-a(A)3-2 (B)3+2 (C)2-3 (D)-2-35.已知m和n是平面上的两个不同点。
有m条直线穿过m但不穿过n(称为m型直线)，有n条直线穿过n但不穿过m(称为n型直线)。
如果每条m型直线与每条n型直线相交，并且每条直线通过其交点与m点或n点一起被分成若干段，则m+n条直线被分成的段的总数为(A)2mn(B)(m+1)(n+1) (D)2(m+1)(n+1)ab()(C)2(mn+m+n)6.如果ab≠1，并且存在到期日为5a2+XXXX的某一债券，则XXXX 债券将在到期后从本金利息总额中提取。
如果该债券的利率不变，到期后的本金利息总额为3498元，则该债券的年利率为_ _ _ _ _ _。
5.圆内接的凸四边形的边ab: BC: CD: da等于1: 9: 9: 8。
如果交流电与直流电相交于p，那么S△PAB∶S△PBC∶S△PCD∶S△PDA = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。
如果一种商品的单价增加10%，销售量就会减少.M.为了经销商150产品的总销售额最大，则m的值应确定为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。
全国初中数学联赛模拟试题1
线段（如上图），则x可取值的个数为（ ）.
(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D) 6个
5．某校初三两个班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前少后多的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，则满足上述要求的排法的方案有( ).
10．方程|xy |+|x+y|=1的整数解的组数为（ ）。 （A）8 (B) 6 (C) 4 (D) 2
二、填空题（本题满分20分，每小题5分）
11．若实数x，y，z满足，，，则xyz的值为 .
12．设分式不是最简分数，那么正整数n的最小值可能是 .
14. 对于一切不小于2的整数，关于的一元二次方程的两个根记
作()，则= .
三、解答题（本题满分50分，每小题25分）
15．设关于的二次方程的两根都是整数，
求满足条件的所有实数的值。
16．EFGH是正方形ABCD的内接四边形，∠BEG与∠CFH都是锐角，已知EG=3，FH=4，
13．如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45?，∠A=60?，
CD=4m，BC=m，则电线杆AB的长为_______m.
14．如图，矩形ABCD，AB=2，BC=4，M为BC上任一点，N为AD上任一点，则AM+MN+NC的最小值为 .
(A)1∶2 (B)2∶3 (C)2∶5 (D)3∶5
6．直线与轴的交点分别为A、B，如果S△AOB≤1，那么的取值范围是( ).
（A）≤1 （B）0＜≤1 （C）－1≤≤1 （D）≤－1或≥1
初中数学竞赛模拟试题
初中数学竞赛模拟试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 若a、b、c是三角形的三边，下列哪个条件可以判断a、b、c能构成直角三角形？A. a^2 + b^2 = c^2B. a + b = cC. a * b * c = 1D. a = b + c2. 一个数的平方根等于这个数本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 以上都不是3. 以下哪个分数是最简分数？A. 4/8B. 5/10C. 3/4D. 7/144. 如果一个圆的半径是r，那么它的面积是多少？A. πrB. πr^2C. 2πrD. 4πr^25. 一个数的立方根是它本身，这个数可以是：A. 1B. -1C. 0D. A和B6. 以下哪个是二次方程？A. x + 2 = 0B. x^2 + 3x + 2 = 0C. x^3 - 5x^2 + 6x = 0D. x^2 - 4 = 07. 以下哪个是等差数列？A. 2, 4, 6, 8B. 1, 3, 5, 7C. 2, 3, 5, 7D. 以上都是8. 一个直角三角形的两个直角边分别是3和4，斜边是多少？A. 5B. 6C. 7D. 89. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可以是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 都不是10. 以下哪个是不等式？A. 3x + 4 > 7B. 2x = 4C. 5x + 3 = 0D. 以上都不是二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的相反数是-5，这个数是______。
12. 如果一个数的平方等于25，那么这个数可以是______。
13. 一个数的立方等于-27，这个数是______。
14. 一个等差数列的首项是2，公差是3，第5项是______。
15. 如果一个三角形的底边是10，高是6，那么它的面积是______。
16. 一个圆的直径是14，那么它的半径是______。
17. 一个直角三角形的斜边是13，一个直角边是5，另一个直角边是______。
全国初中数学竞赛试题及答案大全
全国初中数学竞赛试题及答案大全试题一：代数基础题目：若\( a \), \( b \), \( c \)为实数，且满足\( a + b + c = 3 \)，\( ab + ac + bc = 1 \)，求\( a^2 + b^2 + c^2 \)的值。
解答：根据已知条件，我们可以使用配方法来求解。
首先，我们知道\( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) \)。
将已知条件代入，得到\( 3^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 \times 1 \)。
简化后，我们得到\( a^2 + b^2 + c^2 = 9 - 2 = 7 \)。
试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，求斜边BC的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边BC的平方等于两直角边的平方和，即\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)。
代入已知数值，得到\( BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)。
因此，\( BC = \sqrt{100} = 10 \)。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项是2，公差是3，求第10项的值。
解答：等差数列的第n项可以通过公式\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)来计算，其中\( a_1 \)是首项，d是公差，n是项数。
将已知条件代入公式，得到\( a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 = 2 + 9 \times 3 = 29 \)。
试题四：概率问题题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出2个球，求取出的两个球颜色相同的概率。
解答：首先计算总的可能情况，即从8个球中取2个球的组合数，用组合公式C(8,2)计算。
然后计算取出两个红球或两个蓝球的情况。
两个红球的情况有C(5,2)种，两个蓝球的情况有C(3,2)种。
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全国初中数学竞赛模拟试题（一）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．设a 、b 、c 为实数，abc ≠0，且a ＋b ＝c ，则bca cb 2222－＋＋cab ac 2222－＋＋abc b a 2222－＋的值为 （ ）（A ）－1（B ）1（C ）2（D ）32．设x ，y ，z 为实数，且有x ＞y ＞z ，那么下列式子中正确的是 （ ）（A ）x ＋y ＞y ＋z （B ）x －y ＞y －z （C ）xy ＞yz （D ）z x ＞zy3．在△ABC 中，BC ＝3，内切圆半径r ＝23，则cot 2B ＋cot 2C 的值为 （ ）（A ）23（B ）32（C ）233（D ）324．已知a ＝213213－＋－－，则aa －＋11的值为（ ）（A ）3－2 （B ）3＋2 （C ）2－3 （D ）－2－35．已知M 、N 为平面上相异的两点，有m 条直线过M 而不过N （称为M 类直线），有n 条直线过N 而不过M （称为N 类直线）．若每条M 类直线与每条N 类直线均相交，又每条直线被其上的交点连同M 点或N 点分成若干段，则这m ＋n 条直线被分成的总段数是 （ ）（A ）2mn（B ）(m ＋1)(n ＋1) （C ）2(mn ＋m ＋n )（D ）2(m ＋1)(n ＋1)6．若ab ≠1，且有5a 2＋2001a ＋9＝0及9b 2＋2001b ＋5＝0，则ba的值是（ ）（A ）59（B ）95（C ）－52001（D ）－92001二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 1．化简11111122－＋－－＋－－＋＋a a a aa a （0＜｜a ｜＜1）的结果是____________．2．梯形ABCD 中，AD ∥BC （AD ＜BC ），AD ＝a ，BC ＝b ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，则PQ 的长为____________． 3．如图，梯形ABCD 的对角线交于O ，过O 作两底的平行线分别交两腰于M 、N ．若AB ＝18，CD ＝6，则MN 的长为____________．4．设m 2＋m －1＝0，则m 3＋2m 2＋1999＝__________．5．已知整数x 、y 满足15xy ＝21x ＋20y －13，则xy ＝__________． 6．已知x ＝2323+-，y ＝2323-+，那么22y x x y ＋＝__________．ABCDM NO三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1．某新建储油罐装满油后发现底部匀速向外漏油，为安全并减少损失，需将油抽干后进行维修．现有同样功率的小型抽油泵若干台，若5台一起抽需10小时抽干，7台一起抽需8小时抽干．需在3小时内将油罐抽干，至少需要多少台抽油泵一起抽？2．求二次函数y＝x2＋mx＋n在－3≤x≤－1的最大值和最小值．3．从1到n的n个连续自然数之积称为n的阶乘，记为n！（如5！＝5×4×3×2×1）．问：1999！的尾部有多少个连续的零？说明你的理由．全国初中数学竞赛模拟试题（二）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．方程19＋x ＋395＋x ＝12的实数解个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 2．设a ＝531，b ＝341，c ＝451，则a ，b ，c 的大小关系是 （ ）（A ）a ＜b ＜c （B ）a ＜c ＜b （C ）c ＜b ＜a （D ）b ＜c ＜a3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分如图．则a 的取值范围是 （ ） （A ）－1≤a ＜0 （B ）a ＞－1（C ）－1＜a ＜0 （D ）a ≤－14．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120º，D 点在BC 边上，且BD ＝1，DC ＝2，则AD 的值为 （ ） （A ）0.5 （B ）1 （C ）1.5 （D ）2 5．已知α、β是方程x 2－7x ＋8＝0的两根，且α＞β，则2＋3β2的值为（ ）（A ）81(403－8517)（B ）41(403－8517)（C ）95 （D ）176．如果a ，b ，c 是三个任意整数，那么2ba ＋，2c b ＋，2a c ＋（ ）（A ）都不是整数 （B ）至少有两个整数（C ）至少有一个整数 （D ）都是整数 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．若a 、b 为整数，且x 2－x －1是ax 17＋bx 16＋1的因式，则a ＝__________． 2．我国古算经《九章算术》上有一题：有一座方形的城（见右图），城的各边的正中央有城门，出南门正好20步的地方有一棵树．如果出北门走14步，然后折向东走1775步，刚好能望见这棵树，则城的每边的长为____________． 3．设△ABC 的内切圆⊙O 切BC 于点D ，过D 作直径DE ，连AE ，并延长交BC 于点F ．若BF ＋CD ＝1998，则BF ＋2CD ＝__________．4．如右图，设△ABC 为正三角形，边长为1，P ，Q ，R 分别在AB ，BC ，AC 边上，且AR ＝BP ＝CQ ＝31．连AQ ，BR ，CP两两相交得到△MNS ，则△MNS 的面积是____________． 5．如图，正方形ABCD 的边AB ＝1， 和都是以1为半径的圆弧．则无阴影的两部分面积之差为____________．6．若x 2＋xy ＋y ＝14，y 2＋xy ＋x ＝28，则x ＋y的值为ABPQRMNSD__________．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1．如图，矩形ABCD 中，DE ＝BG ，且∠BEC ＝90º，EFGHABCD S S ＝n （S ABCD 表示四边形ABCD的面积，下同），ABBC ＝λ，已知n 为自然数，λ为有理数．求证：λ也为自然数．2．A 、B 、C 三人各有苹果若干，要求互相赠送，先由A 给B 、C ，所给的苹果数等于B 、C 原来各有的苹果数；依同法再由B 给A ，C 现有个数，后由C 给A 、B 现有个数．互送后每人恰好各有64个，问原来A 、B 、C 三人各有多少个苹果？3．设S 是由1，2，3，…，50中的若干个数组成的一个数集（数的集合），S 中任两数之和不能被7整除．试问S 中最多能由1，2，3，…，50中的几个数组成（S 中含数的个数的最大值）？证明你的结论．AC DEFGH全国初中数学竞赛模拟试题（三）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．若1))(())(())((＝＋＋＋＋＋＋＋＋y x z y zxx z y x yz z y x z xy ，则x 、y 、z 的取值情况是 （ ）（A ）全为零（B ）只有两个为零（C ）只有一个为零（D ）全不为零2．若x ，y ，x －y 都是有理数，则x ，y的值是 （ ）（A ）二者均为有理数（B ）二者均为无理数（C ）仅有一个为有理数（D ）以上均有可能3．设n 为自然数，则n 2＋n ＋2的整除情况是 （ ）（A ）既不能被2整除，也不能被5整除 （B ）能被2整除，但不能被5整除（C ）不能被2整除，但能被5整除 （D ）既能被2整除，又能被5整除 4．某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用一个半小时；若往返都坐车，全部行程则只需半个小时．如果往返都步行，那么需用的时间是 （ ）（A ）1小时（B ）2小时（C ）2.5小时（D ）3小时5．如图，正方形ABCD 及正方形AEFG ，连接BE 、CF 、DG ．则BE ∶CF ∶DG 等于 （ ）（A ）1∶1∶1 （B ）1∶2∶1（C ）1∶3∶1（D ）1∶2∶16．如果a ，b 是质数，且a 2－13a ＋m ＝0，b 2－13b ＋m ＝0，那么ab ＋ba 的值为（ ）（A ）22123（B ）22125或2（C ）22125（D ）22123或2二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 1．已知实数x 满足xx x x －＝－132⋅，则x 的取值范围是____________．2．如果对于一切实数x ，有f (x ＋1)＝x 2＋3x ＋5，则f (x －1)的解析式是________________．3．已知实数x 、y 满足条件2x 2－6x ＋y 2＝0，则x 2＋y 2＋2x 的最大值是____________． 4．方程332-＝3x －3y 的有理数解x ＝__________，y ＝__________．5．如图，从直角△ABC 的直角顶点C 作斜边AB 的三等分点的连线CE 、CF ．已知CE ＝sin α，CF ＝cos α（α为锐角），则AB ＝__________．ABCDEFG CAF6．用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于______________．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1．如图，D 为等边△ABC 的BC 边上一点，已知BD ＝1，CD ＝2，CH ⊥AD 于点H ，连结BH ．试证：∠BHD ＝60º．2．已知函数y ＝－21x 2＋213的自变量在a ≤x ≤b 时，2a ≤y ≤2b ，试求a 、b 之值．3．一个自然数若能表示成两个自然数的平方差，则称这个自然数为“聪明数”．例如，16＝52－32就是一个“聪明数”．试问： （1）1998是不是“聪明数”？说明理由．（2）从小到大排列，第1998个“聪明数”是哪一个自然数？A H全国初中数学竞赛模拟试题（四）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分）1．99个连续自然数之和等于abcd ．若a 、b 、c 、d 皆为质数，则a ＋b ＋c ＋d 的最小值等于 （ ）（A ）63 （B ）70（C ）86（D ）972．设P 、Q 分别是单位正方形BC 、CD 边上的点，且△APQ 是正三角形，那么正三角形的边长为 （ ）（A ）26－ （B ）326＋ （C ）25－ （D ）325＋3．实数a 、b 、c 两两不等，且三点的坐标分别为：A （a ＋b ，c ），B （b ＋c ，a ），C （c ＋a ，b ），则这三点的位置关系是 （ ）（A ）组成钝角三角形 （B ）组成直角三角形 （C ）组成等边三角形（D ）三点共线4．对任意给定的△ABC ，设它的周长为l ，外接圆半径为R ，内切圆的半径为r ，则（ ）（A ）l ＞R ＋r（B ）l ≤R ＋r（C ）6l ＜R ＋r ＜6l （D ）以上均不对5．平面上有P 、Q 两点，以P 为外心、Q 为内心的三角形的数量为 （ ）（A ）只能画出一个 （B ）可以画出2个 （C ）最多画出3个（D ）能画无数个6．如图，若将正方形分成k 个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k 的值为 （ ）（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ∶AB ＝1∶2，MN ∥BD 且平分AC ．若梯形ABCD 的面积等于ab ，S △AMN ＝ba ，则ab ＋ba ＝__________． 2．不等式｜x ＋7｜－｜x －2｜＜3的解是____________． 3．若自然数n 能使［n］整除n ，则n 的所有表达式为_____________．4．小李用5000元买了一年期的某种债券，到期后从本利和中支取2000元用于购物，把剩下的钱又买了这种一年期债券，若这种债券的利率不变，到期后得本利和为3498元，那么这种债券的年利率是__________．5．圆内接凸四边形ABCD 的边AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝1∶9∶9∶8，AC 交BD 于P ，则S △PAB ∶S △PBC ∶S △PCD ∶S △PDA ＝____________．6．销售某种商品，如果单价上涨m %，则售出的数量就将减少150m ．为了使该商2 134 … … BAMCDN品的销售总金额最大，那么m 的值应该确定为____________． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1．如图，∠CAB ＝∠ABD ＝90º，AB ＝AC ＋BD ，AD 交BC 于P ，作⊙P 使其与AB 相切．试问：以AB 为直径作出的⊙O 与⊙P 是相交？是内切？还是内含？请作出判断并加以证明．2．设α、β是整系数方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根，且α2＋β2＜4，试求整数对（a ，b ）的所有可能值．3．a 、b 、c 为互不相等的数，若以下三个等式中有任意两个等式成立，求证：第三个等式也成立．(b 2＋bc ＋c 2)x 2－bc (b ＋c )x ＋b 2c 2＝0； (c 2＋ca ＋a 2)x 2－ca (c ＋a )x ＋c 2a 2＝0； (a 2＋ab ＋b 2)x 2－ab (a ＋b )x ＋a 2b 2＝0．D全国初中数学竞赛模拟试题（五）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分）1．边长都是质数的凸四边形ABCD ，且AB ∥CD ，AB ＋BC ＝AD ＋CD ＝20，AB ＞BC ，则BC ＋AD ＝ （ ） （A ）6或14 （B ）6 （C ）14 （D ）102．直角梯形的一条对角线将它分成两个三角形，其中一个是等边三角形，如果它的中位线的长为123，那么它的下底的长为 （ ） （A ）163 （B ）183 （C ）203 （D ）2233．在等腰Rt △ABC 的斜边AB 所在的直线上有点P 满足S ＝AP 2＋BP 2，则 （ ）（A ）对P 有无限多个位置，使得S ＜2CP 2（B ）对P 有有限个位置，使得S ＜2CP 2（C ）当且仅当P 为AB 的中点，若P 与顶点A ，B 之一重合时，才有S ＝2CP 2 （D ）对直线AB 上的所有点P ，总有S ＝2CP 2 4．若14＋＋x x ＜3＜xx 3＋，则正整数x 的值是 （ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）65．若方程3x ＋by ＋c ＝0与cx －2y ＋12＝0的图形重合，设n 为满足上述条件的（b ，c ）的组数，则n 等于 （ ）（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）有限多个但多于26．如图，若PA ＝PB ，∠APB ＝2∠ACB ，AC 与PB 交于点D ，且PB ＝4，PD ＝3，则AD ·DC 等于 （ ）（A ）6 （B ）7 （C ）12 （D ）16 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．若自然数a ，x ，y 满足62－a ＝x －y ，则a 的最大值是____________． 2．如右图，已知ABCDEF 是正六边形，M ，N 分别是边CD 和DE 的中点，线段AM 与BN 相交于P ，则PNBP ＝____________．3．关于自变量x 的二次函数y ＝x 2－4ax ＋5a 2－3a 的最小值m 是a 的函数，且a 满足不等式0≤a 2－4a －2≤10，则m 的最大值等于________．4．方程xy ＋3x ＋2y ＝10的正整数解为__________．5．甲、乙二人在圆形跑道上从同一点A 同时出发，并按相反方向跑步，甲的速度为每秒5m ，乙的速度为每秒7m ，到他们第一次在A 点处再度相遇时跑步就结束，则从他们开始相遇到结束共相遇了n 次，这里n ＝__________． 6．在直角坐标系xOy 中，x 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5），Q （2，1）ABCD PA BE FPN的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP ＋MQ 取最小值时，点M 的横坐标x ＝__________．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1．在锐角三角形ABC 中，∠BAC ，∠ABC ，＜ACB 的平分线分别与△ABC 的外接圆交于D ，E ，F ．连EF ，FD ，DE 分别交AD ，BE ，CF 于A 1，B 1，C 1．求证：△ABC 的内心I 也是△A 1B 1C 1的内心．2．设有三个相似三角形，且较小的两个三角形可以互不重合地放在大三角形的内部．试证明，两个小三角形的周长之和不超过大三角形的周长的2倍．3．若不等式组⎩⎨⎧05)25(20222＜＋＋＋，＞－－k x k x x x 的整数解只有x ＝－2，求实数k 的取值范围．AB CD E F I A 1B1C 1全国初中数学竞赛模拟试题（六）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．某校初三（1）班的同学打算在星期天去登山，他们计划上午8∶30出发，尽可能去登图中最远处的山，到达山顶后开展1个半小时的文娱活动，于下午3点以前必须回到驻地．如果去时的平均速度是3.2千米／时，返回时的平均速度是4.5千米／时，则能登上的最远的那个山顶是 （ ） （A ）A （B ）B （C ）C （D ）D 2．方程2x 2＋7x ＋21＝515722＋＋x x 的有所实根之和为 （ ） （A ）－11（B ）－7（C ）－211（D ）－273．设a ＞0，则方程2x a －＝2－｜x ｜有不等实根，那么a 的取值范围是 （ ） （A ）a ＞0 （B ）0＜a ＜1 （C ）a ＝1 （D ）a ≥14．三角形ABC 的三条边长为连续的自然数，且它的最大角是最小角的两倍，那么它的最大边与最小边的比值是 （ ） （A ）2（B ）35（C ）23（D ）575．某厂一只计时钟要69分钟才能使分针与时针相遇一次．如果每小时付给工人计时工资4元，超过规定时间的加班每小时应付计时工资6元，工人按此钟做完规定的8小时工作，应付工资 （ ） （A ）34.4元 （B ）34.6元 （C ）34.8元 （D ）35元6．若a ，b 是正数，且满足12345＝(111＋a )(111－b )，则a 与b 之间的大小关系是 （ ） （A ）a ＞b （B ）a ＝b （C ）a ＜b （D ）不能确定 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＞0，且x ＝｜｜a a＋｜｜b b ＋｜｜c c ，y ＝a (b1＋c1)＋b (c1＋a1)＋c (a1＋b1)，则代数式x 19－96xy ＋y 3＝__________．2．如图，在长为9，宽为8的矩形纸片上紧贴三条边剪下一个圆，在剩下的纸片上如果再剪两个小圆O 1，O 2，那么这两个小圆的最大直径d ＝__________．3．已知α，β是方程x 2＋x －1＝0的两个实根，则α4－3β＝________．4．如图，四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，AE 与BD 相交于F ，若DF ＝BF ，AF ＝2EF ，则S △ACD ∶S △ABC ∶S △ABD ＝__________． 5．已知抛物线y ＝x 2＋kx ＋4－k 交x 轴于整点A ，B ，与y 轴交于点C ，则S △ABC＝__________．驻地M 9千ABCDEF6．已知实数a，b满足a2＋ab＋b2＝1，且t＝ab－a2－b2，那么t的取值范围是____________．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1．四边形ABCD中，O是AB的中点，以O为圆心的半圆（其直径小于AB）与边AD，DC，CB分别相切于E，F，G．求证：AB2＝4AD·BC．A2．设直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边为c，且a，b，c均为自然数，a 为质数．证明：2(a＋b＋1)必是一个完全平方数．3．19支足球队举行单循环赛，已知每支球队至少和其余13支球队进行过比赛，求证：必可找到四个球队，它们之间任何两队都已赛过．全国初中数学竞赛模拟试题（七）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．已知a －a1＝b1－b ＝3，且a ＋b ≠0，则3b a －3a b 的值是 （ ）（A ）521 （B ）1321 （C ）533 （D ）13332．在△ABC 中，F 分AC 为1∶2，G 是BF 的中点，E 是AG 与BC 的交点，那么E 分BC 所成的比为 （ ） （A ）83 （B ）52 （C ）41 （D ）313．如图，△ABC 为锐角三角形，BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，则S △AEF ∶S △ABC 的值为 （ ）（A ）sin A （B ）cos A （C ）sin 2A （D ）cos A4．⊙O 1和⊙O 2的半径分别是R 和r ，O 1O 2＝d ，若关于x 的方程x 2－2Rx ＋r 2－2rd ＋d 2＝0有两个相等的实根，那么此两圆 （ ） （A ）相交 （B ）内切 （C ）外切 （D ）内切或外切 5．P 为△ABC 内一点，连结PA ，PB ，PC ，把三角形的面积三等分，则P 点是△ABC 的 （ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）垂心 （D ）重心 6．某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元，则其中500元按第②条给予优惠，超过500元部分则给予八折优惠．某人两次去购物，分别付款168元与423元．如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是 （ ） （A ）522.8元 （B ）510.4元 （C ）560.4元 （D ）472.8元 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．已知四个实数的乘积为1，其中任意一个数与其余三个数的积的和都等于1000．则此四数的和是__________．2．某学校新造5个教室后，每个班级的平均人数减少6人，再造5个教室后，每个班级的平均人数又减少4人．在这个变化过程中，学校人数保持不变，这个学校有__________名学生．3．如果xy ＝a ，xz ＝b ，yz ＝c ，而且它们都不等于0，那么x 2＋y 2＋z 2＝__________． 4．已知二次函数y ＝2x 2－4mx ＋m 2的图像与x 轴有两个交点A ，B ，顶点为C ．若△ABC 的面积为42，那么m ＝__________． 5．如图，圆与正三角形ABC 的三边交于六个点，如果AG ＝2，GF ＝13，FC ＝1，HI ＝7，则DE ＝__________．6．一个正整数，若分别加上100与168，则可得到两个完全平方数．这个正整数为__________．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）1．如图，已知AB ，CD 是半径为5的⊙O 中互相垂直的弦，垂足为P ，E 为AB 的AB C EF ABCDE F GH I中点，PD＝AB，且OE＝3，试求CP＋CE的值．2．试问周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？请说出你的理由．3．证明：在任意11个整数中必有6个整数的和能被6整除，但任意10个整数未必有此性质．全国初中数学竞赛模拟试题（八）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．若x ＝546923＋，则25x 4－1996x 2＋144＝ （ ）（A ）0 （B ）1 （C ）469 （D ）19962．作两条直线将正方形分成四个全等的图形的作法有 （ ） （A ）1种 （B ）2种 （C ）3种 （D ）无穷多种 3．已知cb a abcc b a ＋＋－＋＋3333＝3，则(a －b )2＋(b －c )2＋(a －b )(b －c )的值为 （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44．凸五边形ABCDE 中，有∠A ＝∠B ＝120º，EA ＝AB ＝BC ＝2，CD ＝DE ＝4，则五边形的面积为 （ ） （A ）10（B ）73（C ）15（D ）935．梯形ABCD 的对角线相交于O ，OA ＞OC ，OB ＞OD ．在AO 上取点E ，使AE ＝OC ，又在BO 上取点F ，使BF ＝OD ，则△AFC 的面积S 1与△BED 的面积S 2的关系为 （ ）（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2 （C ）S 1＜S 2（D ）不能确定6．①在实数范围内，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为x ＝aac b b 242－－±；②在△ABC 中，若AC 2＋BC 2＞AB 2，则△ABC 是锐角三角形；③在△ABC 和△A 1B 1C 1中，a 、b 、c 分别为△ABC 的三边，a 1、b 1、c 1分别为△A 1B 1C 1的三边．若a ＞a 1、b ＞b 1、c ＞c 1，则△ABC 的面积S 大于△A 1B 1C 1的面积S 1．以上三个命题中，假命题的个数是 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 二、填空题（本题满分30分，每小题5分）1．n （n ≥3）边形的内角中，锐角最多有__________个．2．在凸四边形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝1，∠ABC ＝30º，∠BCD ＝60º．如果四边形ABCD 的面积是2313，那么AB ＝________．3．正数a ，b ，c 满足⎩⎨⎧22210c b a c b a ＝＋＝＋＋，则ab 的最大值为__________．4．正三角形ABC 内接于圆O ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，延长MN 交圆O 于点D ，连结BD 交AC 于点P ，则PAPC ＝__________．5．有两条公路OM ，ON 相交成30º角，沿公路OM 方向80米A 处有一所小学，当拖拉机沿ON 方向行驶时，路两旁50米以内会受到噪音的影响．已知拖拉机的速度为18千米／小时，那么拖拉机沿ON 方向行驶将给小学带来噪音影响时间为__________秒． 6．已知x ，y 是正整数，并且xy ＋x ＋y ＝23，x 2y ＋xy 2＝120，则x 2＋y 2＝__________． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）ABC DOEFA1．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝125，CD ＝DA ＝80．问对角线BD 能否把梯形分成两个相似的三角形？若不能，给出证明；若能，求出BC ，BD 的长．2．已知关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0有两个不相等的实根，证明：当k ≠0时，方程x 2＋px ＋q ＋k (2x ＋p )＝0也有两个不等实根，且有一根在x 2＋px ＋q ＝0的两根之间．3．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点，而顶点均为整点的多边形称为整点多边形．求证：整点凸五边形上必可找到一个四边形至少覆盖5个整点．AB CD 125 80 80全国初中数学竞赛模拟试题（九）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．19961996的十位上的数字是 （ ） （A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9 2．如果凸n 边形F （n ≥4）的所有对角线都相等，那么 （ ） （A ）F 是四边形 （B ）F 是五边形 （C ）F 是四边形或五边形 （D ）F 是边相等或内角相等的多边形3．已知a ，b ，c 为不全相等的实数，那么关于x 的方程x 2＋(a ＋b ＋c )x ＋(a 2＋b 2＋c 2)＝0 （ ） （A ）有两个负根 （B ）有两个正根 （C ）有两个同号实根 （D ）无实根 4．使得正n 边形的每个内角都是整数度数的n 的个数是 （ ） （A ）16 （B ）18 （C ）20 （D ）225．在｛1，2，…，100｝这100个整数中，任取k 个数，使得在这k 个数中，总有两个数字之和等于另两个不同的数字之和．那么，满足条件的最小的k 的取值是 （ ） （A ）21 （B ）24 （C ）27 （D ）306．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上一点．下面四种情况中，△ABD ∽△ACB 不一定成立的情况是 （ ）（A ）AD ·BC ＝AB ·BD （B ）AB 2＝AD ·AC （C ）∠ABD ＝∠ACB （D ）AB ·BC ＝AC ·BD二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 1．若360x＝3，360y＝5，则)1(32172y yx －－－＝__________． 2．如图所示，□ABCD ，A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥A 4B 4∥BC ，C 1D 1∥C2D 2∥AB ，把□ABCD 共划分成15个小平行四边形，若四边形C 2A 4D 1B 1面积为S 1，S □MNPQ ＝S 0，则S □ABCD ＝__________． 3．若x ＝21－x41，1－2x ＋22x 2－23x 3＋24x 4－…－21995x 1995的值为____________．4．在Rt △ABC 中，∠B ＝90º，AB ＝4，BC ＝2，D 为Rt △ABC 内任意一点，过D 分别作三角形三边的平行线EF 、MN 、PT ，设S 为△DEP 、△DMF 和△DNT 的面积之和，则S 的最小值是__________．5．如图，B 是半径为3的⊙O 的直径AC 上的一点，BC ＝2，以AB ，BC 为直径作⊙O 1，⊙O 2，⊙P 分别与⊙O 1，⊙O 2，⊙O 相切，则⊙P 的半径r 的长为__________． 6．已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P ．则点P到两圆外公切线的距离为__________． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 1．如图，O 是△ABC 内任意一点，直线AO ，BO ，CO 分别与三边相交于P ，Q ，R ．若a ＞b ＞c ，求证：OP ＋OQ ＋OR ＜a ．A BCD E FA A 1 A 2 A 3 A 4A1 22．设方程x2＋ax＋1＝b的两个根均是自然数，证明：a2＋b2是合数．3．在一个8×8即棋子A B，跳入3B．所有棋子只有这一种走法，但可以向上，向左，向右跳动棋子．按以下要求设计一种初始状态：（1）走棋之前，前4行无棋子；（2）经过一系列走步后，只有第一行剩一枚棋子；（3）初始状态所用的棋子数最少．请画出初始状态所用的棋子分布图，并做简要的走步说明．全国初中数学竞赛模拟试题（十）班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题（本题满分30分，每小题5分）1．在△ABC 中，∠C ＝90º，∠A 的平分线交BC 于D ，则CDAC AB －等于（ ）（A ）sin A （B ）cos A （C ）tan A （D ）cot A2．若x 0是方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根，则△＝b 2－4ac 与Q ＝(2ax 0＋b )2的关系是 （ ）（A ）△＜Q （B ）△＝Q （C ）△＞Q （D ）不确定3．若x －y ＝2，x 2＋y 2＝4，则x 2000＋y 2000的值是（ ）（A ）4（B ）20002（C ）22000（D ）420004．若⊙O 内切于△ABC 的三边，切点为X ，Y ，Z ，则△XYZ 满足 （ ）（A ）每个角都等于60º （B ）有一个角是钝角（C ）与△ABC 相似（D ）每个角等于△ABC中另两个角和的一半5．将从19到96的两位数依次写下组成一个自然数N ，N ＝19202122…949596．如果N 的质因数分解式中3的最高次幂是3k ，那么k ＝ （ ）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）36．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90º，∠ABC ＝15º，BC ＝1，则AC 的长为 （ ） （A ）2＋3（B ）－3 （C ）0.3 （D ）3－2二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 1．162001199919971995＋•••＝__________．2．正△ABC 的边长为1，P 是AB 边上的一点，PQ ⊥BC ，QR ⊥AC ，RS ⊥AB （Q 、R 、S 为垂足），若SP ＝41，则AP ＝__________．3．如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝∠ADC ＝120º，则BD ＝__________． 4．设t 是与332121＋－最接近的整数，则t23－等于__________．5．在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝20º，在AB 边上取一点M ，使得BM ＝AC ，则∠AMC 的度数等于__________．6．已知点P 在直角坐标系中的坐标为（0，1），O 为坐标原点，∠QPO ＝150º，且P 到Q 的距离为2，则Q 的坐标为__________． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）ACD1．已知正整数p ，q 都是质数，并且7p ＋q 与pq ＋11也都是质数，计算(p 2＋q p )(q 2＋p q )之值．2．如图，设H 是等腰△ABC 之垂心，在底边BC 保持不变的情况下让点A 到底边BC 的距离变小，这里乘积S △ABC ·S △BHC 的值怎样变化（变大？变小？不变？），试说明理由．3．将平面上每一点都以红蓝两色之一着色．证明：存在着斜边长为2000、一个锐角为30º的直角三角形，三个顶点同色．A B C H。