函数解析式的几种基本方法及例题

求函数解析式的几种基本方法及例题：

1、凑配法：

已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式。（注意定义域） 例1、（1）已知f(x+1)=x 2+2x,求f(x)及f(x-2).

（2） 已知221)1

(x

x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：（1）f(x+1)=(x+1)2-1,∴f （x ）=x 2-1.f(x-2)=(x-2)2-1=x 2-4x+3.

（2） 2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x

x

2)(2-=∴x x f )2(≥x 2、换元法：

已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。（注意所换元的定义域的变化）

例2 （1） 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f

(2)如果).(,,)(x f x x

x x f 时，求则当1011≠-= 解：（1）令1+=x t ，则1≥t ，2

)1(-=t x x x x f 2)1(+=+

∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f

1)(2-=∴x x f )1(≥x

x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x

(2)设.)(,,,1111111

11-=∴-=-===x x f t t

t f t x t x t ）（代入已知得则

3、待定系数法:

当已知函数的模式求解析式时适合此法。应用此法解题时往往需要解恒等式。

例3、已知f(x)是二次函数，且满足f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解：设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c +a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x,

则应有.)(1212102242222--=∴⎪⎩

⎪⎨⎧-=-==∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-==x x x f c b a c a b a

四、构造方程组法：

已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例4 设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f

解 x x f x f =-)1(2)( ①

显然,0≠x 将x 换成x

1，得： x

x f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：

x

x x f 323)(--=

五、赋值法：

当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例5 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式

)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f 解对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，

不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2

+-=-+=+--=-y y y y y y f y f

再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f 课堂练习：

1、已知f(x+1)=x 2-2x,求f(x)及f(x-2).

2、已知f （x +1）=x+2x +1,求f(x)的解析式。

3、已知f(x)为二次函数，f(x+1)+f(x-1)=2x 2-2x+4.求f(x)的解析式。

4、已知f(x)=2x+a,ϕ(x)=

4

1(x 2+3),且ϕ[f(x)]=x 2+x+1,则a= .

5、如果函数f(x)满足方程,0,)1()(≠∈=+x R x ax x f x af 且a 为常数，且a ≠±1,求f(x)的解析式。

解：∵af(x)+f(x 1)=ax ① 将x 换成x 1，x

1换成x 得， af(x 1)+f(x)=x a

② 由①、②得f(x)=).()()(01112222≠∈--=--

x R x x a ax a a x a

ax 且 6、已知函数f(x)对任意正数m,n 均有f(mn)=f(m)+f(n)成立，且f(8)=3,试求f(2)的值。