有限制条件的排列组合问题

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由分类计数原理，甲不站两端， 由分类计数原理，甲不站两端，乙不站中间的排法 共有： 共有：
6 1 1 5 A6 + C4C5 A5 = 3120（种）
练习1 练习1：
要排出我们班一天中语文、数学、英语、物理、 要排出我们班一天中语文、数学、英语、物理、 化学、政治、美术、体育8门课的课程表， 化学、政治、美术、体育8门课的课程表，要求数学排 在上午（ ），体育排在下午 体育排在下午（ ），求共有 在上午（前5节），体育排在下午（后3节），求共有 多少种不同的排法？ 多少种不同的排法？ 解：C5C3 A6
变式：甲不能站两端，乙不能站中间； 变式：甲不能站两端，乙不能站中间； 解：甲、乙为特殊元素，应分两类完成： 乙为特殊元素，应分两类完成： 第一类：甲站在中间位置，有 A6 种排法； 第一类：甲站在中间位置， 种排法；
1 1 5 第二类：甲不站在中间位置， 种排法； 第二类：甲不站在中间位置，有 C4C5 A5 种排法；
1 1 6
= 1080（种）
四名男生和三名女生按要求排成一排， 例1 四名男生和三名女生按要求排成一排，在下列条 件下分别有多少种不同的站法？ 件下分别有多少种不同的站法？ 三名女生各不相邻； （2）三名女生各不相邻； 三名女生各不相邻， 解：三名女生各不相邻， 第一步，先排四名男生， 种排法； 第一步，先排四名男生，有 A 种排法； 第二步，将女生插入到男生之间的空挡，共有5 第二步，将女生插入到男生之间的空挡，共有5个 3 空档， 种排法； 空档，有 A5 种排法； 由分步计数原理，三名女生各不相邻的排法共有： 由分步计数原理，三名女生各不相邻的排法共有：
2 第二步， 种排法； 第二步，甲、乙内部再作排列，有 A2 种排法； 乙内部再作排列，
6
由分步计数原理， 由分步计数原理，甲、乙必须相邻的排法共有： 乙必须相邻的排法共有：
6 2 （ A6 A2 = 1440 种）
小结： 小结： 捆绑法， 捆绑法，对于相邻问题或者要求几个元素必须排在一 起的问题，一般用捆绑法， 起的问题，一般用捆绑法，即将需要相邻的元素合并 为一个元素，再与其他元素一起做排列， 为一个元素，再与其他元素一起做排列，同时要注意 合并元素内部也作排列。 合并元素内部也作排列。
2 5 1 方法二： 方法二： A2 A5 A4 = 960 （种）
四名男生和三名女生按要求排成一排， 例1 四名男生和三名女生按要求排成一排，在下列条 件下分别有多少种不同的站法？ 件下分别有多少种不同的站法？ 三名女生按从高到矮（从左往右看， （4）三名女生按从高到矮（从左往右看，且三名 女生的身高均不一样）； 女生的身高均不一样）； 解： 分两步完成： 分两步完成： 3 第一步，从7个位置种选出 个位置排女生，有 C7 第一步， 个位置种选出3个位置排女生， 个位置种选出 个位置排女生 种排法； 种排法； 4 第二步，剩下的4个位置让男生排列 个位置让男生排列， 种排法； 第二步，剩下的 个位置让男生排列，有 A4 种排法； 由分步计数原理，三名女生按从高到矮的排法共有： 由分步计数原理，三名女生按从高到矮的排法共有： 方法二： 方法二：
课后作业： 课后作业：
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有限制条件的排列 组合问题
数学组:欧思妙
四名男生和三名女生按要求排成一排， 例1 四名男生和三名女生按要求排成一排，在下列条 件下分别有多少种不同的站法？ 件下分别有多少种不同的站法？ 甲乙不能站两端； （1）甲乙不能站两端； 因为甲乙不能站在两端，甲、乙为特殊元素，应分两 解： 因为甲乙不能站在两端， 乙为特殊元素， 步完成： 步完成：
第二步， 第二步，在4名男生之间的三个空档中安排女生 3 A3 种排法； 的位置， 种排法； 的位置，有 由分步计数原理，男女相互间隔开的排法共有： 由分步计数原理，男女相互间隔开的排法共有：
4 3 A4 A3 = 144（种）
四名男生和三名女生按要求排成一排， 例1 四名男生和三名女生按要求排成一排，在下列条 件下分别有多少种不同的站法？ 件下分别有多少种不同的站法？ 乙必须相邻； （3）甲、乙必须相邻； 把甲、乙两人看成一个整体，当作一个元素来看待， 把甲、乙两人看成一个整体，当作一个元素来看待， 解： 再与其他5个元素一起做排列。可分两步完成： 再与其他5个元素一起做排列。可分两步完成： 第一步， 个元素全排列， 种排法； 第一步，6个元素全排列，有 A6 种排法；
练习2: 练习2:
（07北京高考）记者要为5名志愿者和他们 07北京高考）记者要为5 北京高考 帮助的2位老人照相，要求排成一排， 帮助的2位老人照相，要求排成一排，2位老人相 邻但不排在两端，求共有多少种不同的排列方法？ 邻但不排在两端，求共有多少种不同的排列方法？ 解： 方法一： A2 A1 A5 = 960 （种） 方法一： 2 4 5
4 4
A44 A53 = 1440（种）
小结： 插空法，对于各不相邻问题，一般采用插空法。 小结： 插空法，对于各不相邻问题，一般采用插空法。
变式： 变式： 男女相互间隔开； 男女相互间隔开； 解： 可以考虑先排男生，分为两步： 可以考虑先排男生 种排法； 第一步，先排4名男生，有 A4 种排法；
7 A7 = 840（种） 3 A3
3 4 （ C7 A4 = 840 种）
小结： 小结： 定序问题，对于已经规定某几个元素的顺序问题， 定序问题，对于已经规定某几个元素的顺序问题，一 般采用先组合后排列的方法。 般采用先组合后排列的方法。
思考题： 思考题：
（06湖北高考）某工程有6项工程需要 06湖北高考）某工程有6 湖北高考 先后单独完成， 先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲 完成后才能进行， 完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完 成后立即进行，那么安排这6 成后立即进行，那么安排这6项工程的不同 排法有多少种？ 排法有多少种？ 解： 方法一： 方法一：
第二步，除了甲、乙这个元素和丙之外，其余4个元 第二步，除了甲、乙这个元素和丙之外，其余4 4 素先排列，有 A4 种排法； 素先排列， 种排法； 第三步：再将甲、乙这个元素和丙分别插入到4 第三步：再将甲、乙这个元素和丙分别插入到4个元 素之间的5个空档之中， 种排法。 素之间的5个空档之中，有 A52 种排法。 由分步计数原理，共有： 由分步计数原理，共有： 2 4 （ A2 A4 A52 = 960 种）
2 第一步，先排甲、 种排法； 第一步，先排甲、乙，有 A5 种排法；
5 第二步，排其余剩下的5个元素，有 A5 种排法。 种排法。 第二步，排其余剩下的5个元素，
由分步计数原理， 由分步计数原理，甲、乙不能站两端的排法有： 乙不能站两端的排法有：
5 A52 A5 = 2400（种）
小结： 元素分析法，特殊元素应优先考虑。 小结： 元素分析法，特殊元素应优先考虑。
变式： 、乙必须相邻，但不能与丙相邻； 变式： 甲 乙必须相邻，但不能与丙相邻； 甲 乙相邻就先捆绑，把甲、乙合并为一个元素。 解： 、乙相邻就先捆绑，把甲、乙合并为一个元素。 此元素又不能和丙相邻，属于不相邻问题， 此元素又不能和丙相邻，属于不相邻问题，可考虑 用插空法。 用插空法。
2 第一步， 种排法； 第一步，甲、乙相邻，先捆绑，有 A2 种排法； 乙相邻，先捆绑，
3 2 C5 A2 = 20 （种）
方法二： 方法二：
5 A5 = 20 （种） 3 A3
课堂小结: 课堂小结:
本节课我们学习了排列组合问题的一些 解题方法,具体有元素分析法 插空法, 元素分析法, 解题方法,具体有元素分析法,插空法,捆绑 定序问题（先组后排） 法，定序问题（先组后排）;对于不同的题 根据它们的条件, 目,根据它们的条件,我们就可以选取不同的 方法来解决问题.对于一些比较复杂的问题, 方法来解决问题.对于一些比较复杂的问题, 我们可以将几种方法结合起来应用, 我们可以将几种方法结合起来应用,便于我 们迅速准确地解题. 们迅速准确地解题.