4函数

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4复合函数的求导法则

4复合函数的求导法则

求w , 2w . x xz 解: 令 u x y z , v x y z , 则
w , f1 , f2
uv
wf(u,v)
w x
f11f2yz
x y zx y z
f 1 ( x y z ,x y z ) y z f 2 ( x y z ,x y z )
z
uv
t 证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量
t
有增量△u ,△v ,
zzuzv o ( ) ( (u)2(v)2)
u v
zzuzv o ( ) ( (u)2(v)2)
t ut vt t
令t 0, 有 u 0 , v 0 ,
u
x r
r
ux
(2)

2u x2
(( uu ))cos
rx xx
(

u x
)
sin r
r(urcos usinr)cos
r
x yx y
注意利用 已有公式
(urcos
usin)sin
z ,
z .
x y
解:
z z u z v x u x v x
eusinv y eucovs1
z
e x y [y six n y ) (co x y s )( ]u v
z z u z v y u y v y
二、设 z f ( x 2 y 2 , e xy ),(其中f具有一阶连续偏导
为 x2简w z便 起f f1 1 见1 1, y 1 引( fx 入1 2 记z x) 号yf 1 f y1x 2 f2y 2 ufz y ,f z2 [ f1f 221y 2 1f u2 2fvf2,2 xy]

1-4复合函数,反函数,初等函数

1-4复合函数,反函数,初等函数
cosh 2 x cosh 2 x sinh 2 x .
数学分析
1-4复合函数,反函数,初等函数
反双曲余弦 y ar cosh x
y arcosh x ln( x x 2 1).
D : [1, )
y ar cosh x
在 [1,) 内单调增加.
数学分析
1-4复合函数,反函数,初等函数

10
e ( x ) , ( x ) 1 f [( x )] ( x ), ( x ) 1
当( x ) 1时,
x 1;
或 x 0, ( x ) x 2 1,
数学分析
2 或 x 0, ( x ) x 1 1,
1-4复合函数,反函数,初等函数
数学分析
1-4复合函数,反函数,初等函数
y
y tan x
y tan x的性质:
•周期为的周期函数 •无界函数:
lim tan x
x 0 2
y tan x

lim
x 0 2

tan x
2
O
2

x
•渐进线:x •特殊值:
tan(k ) 0 k 0,1,2,.
数学分析
1-4复合函数,反函数,初等函数
(3).对数函数
y loga x (a 0, a 1) y ln x
y log a x
(1,0)
(a 1)
y log 1 x
a
数学分析
y
1-4复合函数,反函数,初等函数
1
2
y sin x

3 2

高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质(解析版)

高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质(解析版)

高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质一、典型例型解题思维(名师点拨)知识点1 ()(0)af x x a x =+>的单调性知识点2 二次函数区间求最值知识点3 已知一半求另一半(奇偶性) 知识点4单调奇偶联袂 二、题型归类练专练一、典型例型解题思维(名师点拨)知识点1 ()(0)af x x a x=+>的单调性例1.(2021·宁夏·平罗中学高一期中)已知4()f x x x=+. (1)判断()f x 的奇偶性;(2)判断函数()f x 在(2,)+∞的单调性并用定义证明. 【答案】(1)函数()f x 为奇函数;(2)()f x 在区间()2,+∞上是增函数;证明见详解. (1)解:由题可知,4()f x x x=+,则函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠ ,关于原点对称,又44()()()f x x x f x x x-=--=-+=-, 所以函数()f x 为奇函数.(2)解:()f x 在区间()2,+∞上是增函数, 证明:12,(2,)x x ∀∈+∞且12x x <, 有12121244()()()()f x f x x x x x -=+-+ 121244()()x x x x =-+-121212(4)x x x x x x -=-, 122x x <<,1212124,40,0x x x x x x >->-<∴,121212(4)0x x x x x x -∴-<,即12()()f x f x <, ∴函数()f x 在区间()2,+∞上是增函数.名师点评:对于函数()(0)af x x a x =+>主要性质如下:①定义域(,0)(0,)-∞+∞; ②奇偶性:奇函数;③单调性:当0x >时;()(0)af x x a x =+>在上单调递减;在)+∞的单调增;④值域与最值:当0x >时;()(0)af x x a x =+>值域为)+∞,当x =小值特别提醒同学们函数()(0)af x x a x =+>我们称为对钩函数(耐克函数),注意需要0a >这个大前提,当0a ≤时都不再是对钩函数,此时不具有对钩函数的性质。

javascript字母大小写转换的4个函数详解

javascript字母大小写转换的4个函数详解

javascript字母⼤⼩写转换的4个函数详解js中实现字母⼤⼩写转换主要⽤到了四个js函数:1.toLocaleUpperCase2.toUpperCase3.toLocaleLowerCase4.toLowerCase下⾯就这四个实现⼤⼩写转换的js函数逐⼀做简单的分析。

1.toLocaleUpperCase将字符串中所有的字母字符都将被转换为⼤写的,同时适应宿主环境的当前区域设置。

2.toUpperCase将字符串中的所有字母都被转化为⼤写字母。

3.toLocaleLowerCase将字符串所有的字母字符都被转换为⼩写,同时考虑到宿主环境的当前区域设置。

4.toLowerCase将字符串中的字母被转换为⼩写字母。

以上四个函数的⽤法基本相同,下⾯只以 toLowerCase 举例说明:复制代码代码如下:var str='/ABC';document.write(str.toLowerCase());//将输出 /abc或者:复制代码代码如下:document.write('/ABC'.toLowerCase());我们可以看到 toLocaleUpperCase 和 toUpperCase 功能都是⼀样的,toLocaleLowerCase 和 toLowerCase 也是⼀样的功能,那么他们有什么区别呢?(1)toLocaleUpperCase toLocaleLowerCase 这两个函数在转换字符串中的字符时,同时将适应宿主环境的当前区域设置。

在⼤多数情况下,其结果与利⽤ toUpperCase toLowerCase 这两个函数所得到的结果是⼀样的。

但是如果语⾔规则与常规的Unicode ⼤⼩写映射⽅式冲突,那么结果就会不同。

(2)toUpperCase toLowerCase ⽅法不会转换字符串中的⾮字母字符。

4三角函数的图象与性质

4三角函数的图象与性质

1.4三角函数的图象与性质1.正弦函数、余弦函数的图象【课标要求】1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象.【核心扫描】1.利用“五点法”画正、余弦函数的图象.(重点)2.正、余弦函数图象的简单运用.(难点)3.正、余弦函数图象的区别与联系(易混点)新知导学正弦函数、余弦函数的图象函数y=sin x y=cos x图象图象画法五点法五点法关键五点温馨提示:五点法作图的关键是抓好三角函数中的最值点和与x轴的交点(即平稳位置点).互动探讨探讨点1 能够用哪几种方式作正弦函数的图象?探讨点2 如何由y=sin x,x∈R的图象取得y=cos x,x∈R的图象?方式唯一吗?类型一用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象【例1】用“五点法”作出以下函数的简图.(1)y=sin x-1,x∈[0,2π];(2)y=2+cos x,x∈[0,2π].【活学活用1】(1)作出函数y=-sin x,x∈[0,2π]的简图;(2)作出函数y=1-cos2x的图象.类型二正、余弦函数图象的应用【例2】(1)方程x2-cos x=0的实数解的个数是________.(2)方程sin x =lg x 的解的个数是________.【活学活用2】 函数f (x )=sin x +2|sin x |,x ∈[0,2π]的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,求k 的取值范围.类型三 利用三角函数图象求概念域【例3】 求函数y =log 21sin x æèçöø÷-1的概念域.【活学活用3】 求函数y =lg ⎝⎛⎭⎫22+cos x 的概念域.【例如】 画出y =sin x 的简图,并依照图象写出y ³12时x 的集合.课堂达标1. 画出函数y =-sin x ,x ∈⎣⎡⎦⎤-π2,3π2的简图。

2.关于余弦函数y =cos x 的图象,有以下三项描述: ①向左向右无穷伸展; ②与x 轴有无数多个交点;③与y =sin x 的图象形状一样,只是位置不同. 其中正确的有( ).A .0个B .1个C .2个D .3个3.函数y =sin x ,x ∈R 的图象向右平移π2个单位后所得图象对应的函数解析式是________.4.函数y =2cos x +1的概念域是________.5.利用“五点法”作出函数y =1-sin x (0≤x ≤2π)的简图.6.依照正弦函数、余弦函数的图像,写出使以下不等式成立的的取值范围。

四次函数

四次函数

四次函数形如y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e(a≠0,b,c,d,e为常数)的函数叫做四次函数。

四次函数的图像a*x^4+b*x^3+c*x^2+b*x+a=0的求解方法,对于一般的四次方程a*x^4+b*x^3+c*x^2 +d*x+e=0,先求解三次方程8y^3-4cy^2+(2bd-8e)y+e(4c-b^2)-d^2=0,得到的y的任一实根分别代入下面两个方程:x^2+(b+sqrt(8y+b^2-4c))x/2+(y+(by-d)/sqrt(8y+b^2-4c))=0及x^2+(b-sqrt(8y+b^2-4c))x/2+(y-(by-d)/sqrt(8y+b^2-4c))=0就可得到原方程的四个根。

在数学中, 四次方程是令一个四次函数等于零的结果.四次方程的一个例子如下&lt;math&gt;2x^4+4x^3-26x^2-28x+48=0;&lt;/math&gt;它的通式是&lt;math&gt;a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=0,\qquad\mboxa_0\ne0.&lt;/ math&gt;代数基本定理告诉我们, 一个四次方程总有四个解(根). 它们可能是复数而且可能有等根.[编辑]解决四次方程自然,人们为了找到这些根做了许多努力. 就像其它多项式, 有时可能对一个四次方程分解出因式;但更多的时候这样的工作是极困难的,尤其是当根是无理数或复数时.因此找到一个通式解法或运算法则(就像二次方程那样, 能解所有的一元二次方程)是很有用的. After much effort, such a formula was indeed found for quarti cs —but since then it has been proven (by Evariste Galois) that such an approach dead-ends with quartics; they are the highest-degree polynomial eq uations whose roots can be expressed in a formula using a finite number of arithmetic operators and n-th roots. From quintics on up, one requires more powerful methods if a general algebraic solution is sought, as explained u nder quintic equations.Given the complexity of the quartic formulae (see below), they are not often used. If only the real rational roots are needed, they can be found (a s is true for polynomials of any degree) via trial and error, using Ruffini's r ule (so long as all the polynomial coefficients are rational). In the modern a ge of computers, furthermore, good numerical approximations for the roots a re rapidly obtainable via Newton's method. But if the quartic must be solved entirely and precisely, the procedures are outlined below.特殊情况名义上的四次方程如果a4 = 0,那么其中一个根为x = 0,其它根可以通过消去四次项,并解产生的三次方程,&lt;math&gt;a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=0.&lt;/math&gt;双二次方程四次方程式中若a3 和a1 均为0 者有下列型态:&lt;math&gt;a_0x^4+a_2x^2+a_4=0\,\!&lt;/math&gt;因此它是一个双二次方程式。

4个消费函数

4个消费函数

凯恩斯的绝对收入假说(重定向自绝对收入理论)绝对收入假说(Absolute Income Hypothesis,简称AIH)——也称为绝对收入理论、绝对收入假设、绝对收入假设消费函数模型凯恩斯的绝对收入假说概述凯恩斯的绝对收入假说,认为,在短期中,收入与消费是相关的,即消费取决于收入,消费与收入之间的关系也就是消费倾向。

同时,随着收入的增加消费也将增加,但消费的增长低于收入的增长,消费增量在收入增量中所占的比重是递减的,也就是我们所说的边际消费倾向递减,这种理论被称为绝对收入假说。

绝对收入假说:收入的绝对水平决定消费(约翰·梅纳德·凯恩斯John Maynard Keynes)相对收入假说:收入的分配状况及消费者历史上最高的收入水平决定消费(詹姆斯·杜森贝里James Stemble Duesenberry)生命周期假说:消费者根据一生的收入流来优化一生的消费流(弗兰科·莫迪利安尼Franco Modigliani)持久收入假说:持久性(而非暂时性)收入水平决定消费(米尔顿·弗里德曼Milton Friedman)凯恩斯的绝对收入假说的公式凯恩斯的绝对收入假说是假定消费是人们收入水平的函数,其基本公式是:C= α + βYt(式中C为现期消费,α为自发性消费即必须要有的基本生活消费,β为边际消费倾向,Yt为即期收入,βYt表示引致消费),它的基本含义是消费是自发消费和引致消费的和,消费者的消费主要取决于即期收入。

凯恩斯的绝对收入假说的主要观点凯恩斯的绝对收入假说的其主要观点如下:第一,实际消费支出是实际收入的稳定函数。

第二,收入是指现期绝对实际收入水平。

第三,边际消费倾向是正值,但小于1。

第四,边际消费倾向随收入增加而递减。

第五,边际消费倾向小于平均消费倾向。

概括起来,绝对收入假说的中心是消费取决于绝对收入水平,以及边际消费的倾向递减。

相对收入假说(重定向自相对收入理论)相对收入假说(relative income hypothesis,简称RIH)也称杜森贝里的短期消费函数、“不可逆性”假设消费函数模型、相对收入假设什么是相对收入假说相对收入假说是1949年美国经济学家詹姆斯·杜森贝里(James Stemble Duesenberry)在《收入、储蓄和消费者行为理论》中提出来的。

专题4 函数的性质

专题4  函数的性质

专题4 函数的性质一、函数的定义域求法(1).分式的分母0≠; (2).偶次方根的被开方数0≥; (3).对数函数的真数0>; (4).0次幂的底数0≠; (5).正切函数的自变量不等于2k ππ+; (6).满足几个条件求不等式组的解集;1、(2004全国)函数)1(log 221-=x y 的定义域为( )A.[)(]2,11,2 -- B.)2,1()1,2( -- C.[)(]2,11,2 -- D.)2,1()1,2( -- 2、(2006广东)函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是A.),31(+∞-B. )1,31(-C. )31,31(-D. )31,(--∞二、分段函数求值问题3、(全国理)设1a>,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12,则a = AB .2C .D .4 4、(北京)已知函数,分别由下表给出的值为;当2=时,x =.5、(2009山东)定义在R上的函数f (x )满足f (x )= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ,则f (3)的值为( )A.-1B. -2C.1D. 2三、函数的单调性与奇偶性 (一)单调性的快速法1、增+增→增;增—减→增;2、减+减→减;减—增→减;3、乘正加常,单调不变:例如3log ,log 322+==x y x y 与x y 2log =的单调性相同;4、乘负取倒,单调改变:例如x xey e y 1,3=-=与xe y =的单调性相反; (二)奇偶性快速法1、奇±奇→奇;偶±偶→偶;2、奇()⨯÷奇→偶;偶()⨯÷偶→偶;奇()⨯÷偶→奇;6、(2015全国2)下列函数中,最小正周期为π的奇函数是( ).A cos(2)2y x π=+.B sin(2)3y x π=+.C sin 2cos 2y x x =+ .D s i n c o sy x x =+ 7、 (2015广东)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )A.sin2y x x =+ 2B.cos y x x =-1C.22x xy =+2D.sin y x x =+ 四、比较大小8.(北京文)若372log πlog 6log 0.8a b c ===,,,则( )A .a b c >>B .b a c >>C .c a b >>D .b c a >>9.(全国2)若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===,,,,,则( ) A .a <b <c B .c <a <b C .b <a <c D .b <c <a习题4 函数的性质1、(湖南文)下面不等式成立的是( )A .322log 2log 3log 5<<B .3log 5log 2log 223<<C .5log 2log 3log 232<<D .2log 5log 3log 322<< 2、(江西文)若01x y <<<,则( )A .33y x< B .log 3log 3x y < C .44log log x y < D .11()()44x y <3、(辽宁文)已知01a <<,log log a a x =1log 52a y =,log log a a z = )A .x y z >>B .z y x >>C .y x z >>D .z x y >>4、(2009北京文)已知函数3,1,(),1,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩若()2f x =,则x = .5、(2009北京理)若函数1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为___________.6、(2009江西文)函数y =的定义域为A .[4,1]-B .[4,0)-C .(0,1]D .[4,0)(0,1]-7、(2009江西理)函数y =的定义域为A .(4,1)--B .(C .(1,1)-D .(1,1]-8、(江西卷3)若函数()y f x =的值域是1[,3]2,则函数1()()()F x f x f x =+的值域是A .1[,3]2B .10[2,]3C .510[,]23D .10[3,]3。

大学数学_3_4 函数的最大值与最小值

大学数学_3_4 函数的最大值与最小值

例5 3 甲船以 20nmile / h 的速度向东行驶,同一时间 乙船在甲船的正北 82nmile 处以16nmile / h 的速度向南行 驶,问经过多少时间,甲乙两船相距最近. y 82 解 设在时刻 t 0 时甲船位于 O 点, 16t 乙船位于甲船正北82nmile 处,在时刻 t B (单位:h)甲船由点 O 出发向东行驶了 20t (单位:nmile)至A点,乙船向南行驶 O 20t A x 了16t (单位:nmile)至B点(图 3-7) 图3-7 甲乙两船的距离为
内容小结
1. 最值点应在极值点和边界点上找
2. 应用题可根据问题的实际意义判别
作业
P134 1(1), (5), 2, 3, 4
由这个例子看出,为什么我们经常用n次测量值的算 术平均值作为所测量值的近似值. 例题中x-xi代表第i次的 测量值xi与真值x的误差,由于x-xi(i=1,2, …,n)可为正 也可为负,不能用它们的和作为n次测量值的总误差,以 免正负误差相抵消,因此一般采用n次测量误差的平方和 作为总误差,寻求如何取近似值能使这个总误差最小. 这 就是通常所谓的最小二乘法.
2 ( x 差平方和 1
x1 x2 n
xn
( x x2 )2 ( x xn ) 2 为最小. 2 2 2 y ( x x ) ( x x ) ( x x ) 证 记 1 2 n . 现求y的最小
值.
y 2[( x x1 ) ( x x2 ) ( x xn )] 2[nx ( x1 x2 xn )]. 令 y 0 得唯一驻点 1 x ( x1 x2 xn ). n 1 又y一定存在最小值,故当x ( x1 x2 xn ).时误差平 n 方和最小.

1-4极限定义

1-4极限定义
第一章 函数、极限 与连续
1-1 函数及其特性 1-2 初等函数 1-3 函数极限的重要引例 1-4 函数极限的概念
1-5 无穷小与无穷大、无穷小的比较
1-6 函数的连续性及间断点 1-7 闭区间上连续函数的性质
1-4 函数极限的概念
一、自变量趋于有限值时函数的极限
二、单侧极限 三、自变量趋于无穷大时函数的极限
左极限
当x从x0的左侧无限趋于x0 (记x→x0— )
时,函数f(x)无限接近常数A. 则称A为函数f(x)当 x→x0时的左极限.
记作
f ( x0 ) lim f ( x) A.
x x0

右极限 当x从x0的右侧无限趋于x0 (记x→x0+ ) 时,函数f(x)无限接近常数A. 则称A为函数f(x)当 x→x0时的右极限.
三、自变量趋向无穷大时函数的极限
问题:函数 y f ( x ) 在 x 的过程中, 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
sin x 当 x 无限增大时, f ( x ) 无限接近于 0. x
问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小; x X 表示x 的过程.
2.与任意给定的正数有关.
二、单侧极限
例1
y 1 x
y
1 x, 设 f ( x) 2 x 1, 证明lim f ( x ) 1.
x 0
x0 x0
1
y x2 1
o
x
分x 0和x 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近 0 , 记作x x0 0; x x从右侧无限趋近 0 , 记作x x0 0; x

实验4-函数

实验4-函数

实验4 函数程序填空1.普通参数本题分值:4题目描述:输入日期的年份和月份,求该月有多少天。

要求编写函数int daynum(int year,int month),求出以year为年份、以month为月份的某个月的天数。

以下是完成此项工作的程序,请在计算机上调试程序以补足其中的空格。

代码://通过日期求某月的天数。

#include<iostream>using namespace std;int main(){int daynum(int year,int month);int y,m,d;cin>>y>>m;if(y<1900 || y>=3000 || m<1 || m>12){cout<<"输入错误!"<<endl;return 0;}d=daynum(__(1)__); //以y、m作实参调用函数,求出该月的天数cout<<"此月的天数为"<<d<<endl;return 0;}int daynum(int year,int month){int days;switch(month){case 1:case 3:case 5:case 7:case 8:case 10:case 12: days=31; break;case 4:case 6:case 9:case 11: days=30; break;case 2: if(year%4==0&&year%100!=0 || year%400==0)days=29;elsedays=28;break;}return __(2)__;}答案:(1) y,m(2) days每空分值:2参考答案:yx3-t1.cpp2.字符数组参数本题分值:4题目描述:编写一个函数,用来求字符串s的任意子串。

3-4 函数的微分

3-4 函数的微分

1 10 1 0.0015 10 1 0.0015 9.995. 3
3
(2) e
0.03
1 0.03 0.97.
'
例 3.4.7 解
设 y sin(2 x 1), 求 dy .
设 y sin u, u 2 x 1, 则
dy d (sin u) cos udu cos(2 x 1)d (2 x 1) cos(2 x 1) 2dx 2cos(2 x 1)dx.
例 3.4.8 设 y ln(1 e ), 求 dy. 解
x2
dy d ln(1 e )
e
x2
x2
1 1 e
x2
d (1 e )
x2
1 1 e
x2
e d ( x2 )
x2

例 3.4.9 成立 .
1 e
x2
2 xdx
2 xe
x2 x2
1 e
dx.
在下列等式的括号中填入适当的函数 , 使等式
10000r (元) 。 P f (r ) 360 1 (1 r /12)
如果银行的年利率由 10%增加到 10.2%,试估算张先生每 月向银行多付多少元贷款?
解 P dP f (r )dr , r 0.1 , dr 0.002 ,
361 10000 10000 r 360 ( 1 r / 12 ) (1 / 12) 。 f (r ) 1 (1 r / 12) 360 (1 (1 r / 12) 360 ) 2
(1) d (
) cos tdt;
2
(2) d (sin x ) (

4、函数的性质-----单调性、周期性、奇偶性

4、函数的性质-----单调性、周期性、奇偶性

函数的单调性、周期性高考考纲分析高考命题趋势知识点精讲一、函数的奇偶性二、函数的单调性三、函数的周期性四、函数的对称性:函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或)2()(x a f x f +=-简证:设点),(11y x 在)(x f y =上,通过)2()(x a f x f -=可知,)2()(111x a f x f y -==,即点)(),2(11x f y y x a =-也在上,而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。

得证。

若写成:)()(x b f x a f -=+,函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称(2)函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(,且()x b f x b f -=+)((其中b a ≠),则函数()x f y =以()b a -2为周期.题型归纳及思路分析题型一:函数奇偶性的判断例题1:变式1:变式2:例题2(抽象函数):练习:例题3(利用函数奇偶性求值):练习1:练习2:例题4(求函数表达式):练习:例题5(证明与应用):练习:题型二:函数单调性(区间)的判断例题6:利用单调性的定义证明例题7(抽象函数):例题8(求范围):练习:例题9:练习:题型三:函数的周期性判定思路提示:例题10:练:1:练习2:例题11:例题12:练习:题型四:函数性质的综合例题13:练习:例题14(函数图像,方法由:奇偶-对称-周期):练习:例题15:练习:。

19-1-4 函数的表示法(教学课件)-2022-2023学年八年级数学下册同步备课系列(人教版)

19-1-4 函数的表示法(教学课件)-2022-2023学年八年级数学下册同步备课系列(人教版)

6.如图,是甲、乙两人追赶过程中路程与时间函数关系的图象,由图象回答 下列问题: (1)谁追谁?_乙__追__甲___ (2)甲比乙早出发2小时还是晚出发2小时? _甲__比__乙__早__出__发__2_小__时___. (3)乙出发___3__小时后与甲相遇,走了__2_0___ km.
7.已知火车站托运行李的费用C(元)和托运行李的重量P(千克)(P为整 数)的对应关系如表:
一辆汽车油箱内有油48 L,从某地出发,每行驶1 km,耗油0.6 L,如果设 剩余油量为y(L),行驶路程为x(km). (1)写出y与x的关系式; (2)这辆汽车行驶35 km时,剩油多少升?汽车剩油12 L时,行驶了多少千米? (3)这辆汽车在中途不加油的情况下最远能行驶多少千米? (3)令y=0,则48-0.6x=0,解得x=80,
C. v=3m-3
D. v=m+1
3.一个蓄水池已有25m3的水,现以每分钟0.3m3的速度向池中注水,蓄水池
中的水量y (m3)与注水时间t(分)之间的关系式为( D )
A. y=0. 3t
B. y=25t
C. y=25-0.3t
D. y=25+0.3t
4.小东看到了一首诗:“儿子学成今日返,老父早早到车站,儿子到后细端详, 父子高兴把家还”读完后,他想用图象描述这首诗的内容,如果用纵轴表示 父亲与儿子行进中离家的距离,横轴表示父亲离家的时间,那么下列图象中
用解析式法表示函数有什么优缺点? 解析式法简单明了,能够准确的反映整个变化过程中自变量与函数
之间的对应关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示, 如气温与时间的函数关系.
用解析式法表示函数时需要注意什么? 1.函数解析式是一个等式; 2.是用含自变量的式子表示函数;

热点2-4 函数的图象与函数的零点10大题型(解析版)

热点2-4 函数的图象与函数的零点10大题型(解析版)

热点2-4 函数的图象与函数的零点10大题型函数图象问题依旧以考查图象识别为重点和热点,难度中档,也可能考查利用函数图象解函数不等式等。

函数的零点问题一般以选择题与填空题的形式出现,有时候也会结合导数在解答题中考查,此时难度偏大。

一、函数图象辨识的方法步骤图象辨识题的主要解题思想是“对比选项,找寻差异,排除筛选”1、求函数定义域(若各选项定义域相同,则无需求解);2、判断奇偶性(若各选项奇偶性相同,则无需判断);3、找特殊值:①对比各选项,计算横纵坐标标记的数值;②对比各选项,函数值符号的差别,自主取值(必要时可取极限判断符号);4、判断单调性:可取特殊值判断单调性.二、作函数图象的一般方法1、直接法:当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线时,就可根据这些函数或曲线的特征直接作出.2、转化法:含有绝对值符号的函数,可去掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象.3、图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序.对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响.4、如何制定图象变换的策略(1)在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤,其规律如下:①若变换发生在“括号”内部,则属于横坐标的变换;②若变换发生在“括号”外部,则属于纵坐标的变换.例如:()=+:可判断出属于横坐标的变换:有放缩与平移两个步骤.31y f x()2=-+:可判断出横纵坐标均需变换,其中横坐标的为对称变换,纵坐标y f x的为平移变换.(2)多个步骤的顺序问题:在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后,在安排顺序时注意以下原则:①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响,无先后要求;②横坐标的多次变换中,每次变换只有x发生相应变化.三、零点个数的判断方法1、直接法:直接求零点,令()0=f x,如果能求出解,则有几个不同的解就有几个零点.2、定理法:利用零点存在定理,函数的图象在区间[],a b上是连续不断的曲线,且()()0f a f b,⋅<结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.3、图象法:(1)单个函数图象:利用图象交点的个数,画出函数()f x的f x的图象,函数()图象与x轴交点的个数就是函数()f x的零点个数;(2)两个函数图象:将函数()g x的差,根据f x拆成两个函数()h x和()()()()f x的零点个数就是函数()y h x和=f x h xg x,则函数()=⇔=()y g x的图象的交点个数=4、性质法:利用函数性质,若能确定函数的单调性,则其零点个数不难得到;若所考查的函数是周期函数,则只需解决在一个周期内的零点的个数四、已知零点个数求参数范围的方法1、直接法:利用零点存在的判定定理构建不等式求解;2、数形结合法:将函数的解析式或者方程进行适当的变形,把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题,再结合图象求参数的取值范围;3、分离参数法:分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.【题型1 函数图象的画法与图象变换】【例1】(2022秋·甘肃白银·高三校考阶段练习)作出下列函数图象(1)12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)()2log 1y x =+【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析【解析】(1)因为1()2xy f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭,所以11()()22xxf x f x -⎛⎫⎛⎫-=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 所以函数为偶函数,关于y 轴对称,因此只需要画0x >时的函数图形即可,11()==22xxf x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再利用对称性即可得解.(2)将函数 2log y x = 的图象向左平移 1个单位,再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去, 即可得到函数()2log 1y x =+ 的图象,如图所示.【变式1-1】(2022秋·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习)为了得到函数()2ln e y x =的图象,可将函数ln y x =的图象( )A .纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2e 倍B .纵坐标不变,横坐标缩短为原来的21e C .向下平移两个单位长度 D .向上平移两个单位长度 【答案】BD【解析】()22ln e ln e ln ln 2y x x x ===++,可将函数ln y x =的图象向上平移两个单位长度得到ln 2y x =+, 可将函数ln y x =的图象纵坐标不变,横坐标缩短为原来的21e 得到()2ln e y x =.故选:BD【变式1-2】(2022秋·重庆·高三统考阶段练习)已知函数()f x 的图象如图1所示,则图2所表示的函数是( )A .()1f x -B .()2f x --C .()1f x --D .()1f x -- 【答案】C【解析】由图知,将()f x 的图象关于y 轴对称后再向下平移1个单位即得图2,又将()f x 的图象关于y 轴对称后可得函数()y f x =-, 再向下平移1个单位,可得()1y f x =--所以解析式为()1y f x =--,故选:C.【变式1-3】(2022秋·北京·高三首都师范大学附属中学校考阶段练习)函数12xy -=的图像可看作是把函数2xy =经过以下哪种变换得到( )A .把函数2x y =向右平移一个单位B .先把函数2x y =的图像关于x 轴对称,然后把所得函数图像向左平移一个单位C .先把函数2x y =的图像关于y 轴对称,然后把所得函数图像向左平移一个单位D .先把函数2x y =的图像关于y 轴对称,然后把所得函数图像上各点的纵坐标变为原来的2倍,横坐标不变 【答案】D【解析】选项A :函数2xy =向右平移一个单位得到12x y -=;选项B :先把函数2xy =的图像关于x 轴对称得到2x y =-,然后向左平移一个单位得到12x y +=-;选项C :先把函数2xy =的图像关于y 轴对称得到2xy -=,然后向左平移一个单位得到(1)122x x y -+--==;选项D :先把函数2xy =的图像关于y 轴对称得到2xy -=,然后把各点的纵坐标变为原来的2倍,横坐标不变得到1222x xy --=⨯=;故选:D【变式1-4】(2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习)定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x -=+,且在()2,+∞单调递增,()40f =,()4g x x =,则函数()()2y f x g x =+的图象可能是( )A .B .C .D .【答案】B【解析】()()22f x f x -=+,所以()f x 的图象关于直线2x =对称,则()2f x +的图象关于直线0x =即y 轴对称,()2f x +是偶函数,()4g x x =为偶函数,图象关于y 轴对称,所以()()2y f x g x =+是偶函数,图象关于y 轴对称,排除AD 选项.()()()()4222200f f f f =+=-==,由于()f x 在()2,+∞上递增,在(),2-∞上递减, 所以()f x 有且仅有2个零点:0和4,另外有()30f <,所以()2f x +有且仅有2个零点:2-和2,()g x 有唯一零点:0, 所以()()2y f x g x =+有且仅有3个零点:2-、0和2. 当1x =时,()110g =>,()()()()121310y f g f g =+⋅=⋅<, 从而排除C 选项,故B 选项正确.故选:B【变式1-5】(2022秋·北京海淀·高三统考期中)已知函数()f x .甲同学将()f x 的图象向上平移1个单位长度,得到图象1C ;乙同学将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变),得到图象2C .若1C 与2C 恰好重合,则下列给出的()f x 中符合题意的是( )A .()12log f x x = B .()2log f x x = C .()2x f x =D .()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【解析】对于A ,()112:1log 1C f x x +=+,()211112222:2log 2log log 2log 1C f x x x x ==+=-,A 错误;对于B ,()12:1log 1C f x x +=+,()22222:2log 2log log 2log 1C f x x x x ==+=+,B 正确;对于C ,()1:121x C f x +=+,()22:224x xC f x ==,C 错误;对于D ,()11:112x C f x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,()2211:224x xC f x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,D 错误.故选:B.【题型2 由复杂函数解析式选择图象】【例2】(2022·四川资阳·统考二模)函数()32cos e ex x x xf x -=+在区间[]2π,2π-上的图象大致为( )A .B .C .D .【答案】B【解析】∵()()()()332cos 2cos e e e ex xx x x x x xf x f x -----==-=-++, ∴()f x 为奇函数,图象关于原点对称,C 、D 错误;又∵若(]0,2πx ∈时,320,e e 0x xx ->+>,当π3π0,,2π22x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时,cos 0x >,当π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,cos 0x <,∴当π3π0,,2π22x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时,()0f x >,当π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x <,A 错误,B 正确;故选:B.【变式2-1】(2022秋·江西·高三九江一中校联考阶段练习)函数()sin 2xf x =的大致图像是( )A .B .C .D .【答案】A【解析】注意到()sin 2xf x =过点()0,1,故可排除C ,D 选项.因2xy =在R 上单调递增,sin x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增, 则由复合函数单调性相关知识点可知,()sin 2xf x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,故排除B 选项.故选:A【变式2-2】(2022·河南·安阳一中校联考模拟预测)函数()3sin 3291x x x f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-图像大致为( )A .B .C .D .【答案】B【解析】易得函数定义域为()(),00,-∞⋃+∞,已知函数()3sin 3cos329133x xx xx x f x π-⎛⎫+ ⎪⎝⎭==--,()()()cos 3cos33333x x x x x xf x f x ----===---,∴函数()f x 为奇函数,排除A 选项;当0x +→时,0cos31x <<,31x >,31x -<,则330x x -->, 所以()0f x >,排除C 选项;当x →+∞时,1cos31x -≤≤,3x →+∞,30x -→,则33x x --→+∞, 所以()0f x →,排除D 选项;故选:B.【变式2-3】(2022秋·江苏南京·高三南京师大附中校考期中)函数()2e2xf x x=的图象大致为( )A .B .C .D .【答案】A【解析】由()2e 2xf x x=,则其定义域为()()00-∞∞,,+,因为()()()22ee22xxf x f x xx --===-,故函数为偶函数, ()222e ,0e 22e ,02xx x x x f x x x x -⎧>⎪⎪==⎨⎪<⎪⎩,()()()33e 2,02e 2,02x x x x x f x x x x -⎧->⎪⎪=⎨--<'⎪⎪⎩,令()0f x '=,解得2x =±,可得下表:x(),2-∞-2-()2,0-()0,22()2,+∞()f x ' -+-+()f x极小值极小值故选:A.【变式2-4】(2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习)函数()()ln 0sin ax x f x a x+=在[2π-,2π]上的大致图像可能为( )A .B .C .D .【答案】ABC【解析】①当0a =时,()ln sin x f x x=,()()ln sin x f x f x x-=-=-,函数()f x 为奇函数,由0x →时()f x →∞,1x =±时()0f x =等性质可知A 选项符合题意; ②当a<0时,令()ln ||,()g x x h x ax ==-,作出两函数的大致图象,由图象可知在(1,0)-内必有一交点,记横坐标为0x ,此时0()0f x =,故排除D 选项;当02πx x -<<时,()()0g x h x ->,00x x <<时,()()0g x h x -<, 若在(0,2π)内无交点,则()()0g x h x -<在(0,2π)恒成立, 则()f x 图象如C 选项所示,故C 选项符合题意;若在(0,2π)内有两交点,同理得B 选项符合题意.故选:ABC.【题型3 根据函数图象选择解析式】【例3】(2022秋·福建南平·高三校考期中)已知函数()y f x =的部分图象如图所示,则下列可能是()f x 的解析式的是( )A .()cos f x x x =+B .()cos f x x x =-C .()cos xf x x= D .()cos xf x x=【答案】B【解析】A. ()010f =>,故错误;B.因为()010f =-<,且()1sin 0f x x '=+≥,则()f x 在R 上递增,故正确;C.()f x 的定义域为{}|0x x ≠关于原点对称, 又 ()()()cos cos x xf x f x x x--===---,则()f x 是奇函数,图象关于原点对称,故错误;D. ()f x 的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭关于原点对称,又()()()cos cos x xf x f x x x---===--,则()f x 是奇函数,图象关于原点对称,故错误;故选:B【变式3-1】(2022秋·湖北宜昌·高三校联考期中)已知函数()f x 的图象如图所示,则该函数的解析式为( )A .2()e e x x xf x -=+ B .()3e e x x f x x -+= C .2()e ex x x f x -=-D .()2e e x xf x x -+=【答案】D【解析】由题图:()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞,排除A ;当333e e e e e e (),()()()x x x x x xf x f x f x x x x ---+++=-==-=--,故3e e ()x xf x x -+=是奇函数,排除B.当()()()()222,e e e e e e x x x x x x x x x f x f x f x ----=-==-=----,故2()e ex x x f x -=-是奇函数,排除C.故选:D【变式3-2】(2022秋·广西桂林·高三校考阶段练习)已知函数()y f x =的图象如图所示,则此函数的解析式可能是( )A .()()2211x f x x x -=- B .()2211x f x x x -=- C .()22211x f x x x -=- D .()()22211x f x x x -=-【答案】B【解析】根据图像可得:所求函数为奇函数,且当()0,1x ∈时,()0f x <;对CD :定义域关于原点对称,且都有()()f x f x =-,均为偶函数,故错误;对A :当()0,1x ∈时,()0f x >,故错误;故选:B.【变式3-3】(2022秋·江苏扬州·高三期末)已知函数()f x 的部分图像如图,则函数()f x 的解析式可能为( )A .()()e e sin x xf x x -=- B .()()e e sin x x f x x -=+C .()()e e cos x x f x x -=-D .()()e e cos x xf x x -=+【答案】B【解析】由于图像关于原点对称,所以()f x 为奇函数,对于A :由()()e e sin x xf x x -=-得:()()()()()e e sin e e sin x x x x f x x x f x ---=--=-=,()f x 为偶函数,故可排除A ;对于D :由()()e e cos x xf x x -=+得:()()()()()e e cos e e cos x x x x f x x x f x ---=+-=+=,()f x 为偶函数,故可排除D ;由图知()f x 图象不经过点π,02⎛⎫⎪⎝⎭,而对于C :ππ22ππe e cos 022f -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故可排除C ;故选:B【变式3-4】(2022秋·湖北·高三枣阳一中校联考期中)已知函数()sin f x x =,()g cos x x =,()p x x =,则图像为下图的函数可能是( )A .()()2p x y f x =+B .()()2y g f x x =+C .()()2p x y f x =+D .()()2p x y f x =+【答案】D【解析】对于A ,2sin xy x =+该函数为奇函数,由已知图象可得函数y 的图象不关于原点对称,故A 不符合; 对于B ,sin 2cos xy x =+该函数为奇函数,由已知图象可得函数y 的图象不关于原点对称,故B 不符合; 对于C ,2sin x y x=+由于[]sin 1,1x ∈-,所以02sin x y x=≥+,由于已知图象y 的值域中存在负值,故C 不符合; 对于D ,2sin xy x=+不是奇函数,[]sin 1,1x ∈-,所以R y ∈,故D 图象符合.故选:D.【题型4 根据实际问题作函数图象】【例4】(2022·北京·人大附中校考模拟预测)如图为某无人机飞行时,从某时刻开始15分钟内的速度()V x (单位:米/分钟)与时间x (单位:分钟)的关系.若定义“速度差函数”()v x 为无人机在时间段[]0,x 内的最大速度与最小速度的差,则()v x 的图像为( )A .B .C .D .【答案】C【解析】由题意可得,当[0,6]x ∈时,无人机做匀加速运动,40()603V x x =+,“速度差函数”40()3v x x =; 当[6,10]x ∈时,无人机做匀速运动,()140V x =,“速度差函数”()80v x =; 当[10,12]x ∈时,无人机做匀加速运动,()4010V x x =+,“速度差函数”()2010v x x =-+;当[12,15]x ∈时,无人机做匀减速运动,“速度差函数”()100v x =, 结合选项C 满足“速度差函数”解析式,故选:C.【变式4-1】(2022·四川泸州·统考模拟预测)如图,一高为H 且装满水的鱼缸,其底部装有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时,水流出所用时间为t ,则函数()h f t =的图象大致是( )A .B .C .D .【答案】B【解析】函数()h f t =是关于t 的减函数,故排除C ,D ,则一开始,h 随着时间的变化,而变化变慢,超过一半时,h 随着时间的变化,而变化变快,故对应的图象为B ,故选B .【变式4-2】(2022秋·安徽合肥·高三校考期中)(多选)水滴进玻璃容器,如图所示(单位时间内进水量相同),则下列选项匹配正确的是( )A .()2a -B .()3b -C .()4c -D .()1d - 【答案】AB【解析】在a 中,容器是圆柱形的,水高度的变化速度应是直线型,与(2)对应,故A 正确;在b 中,容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,与(3)对应,故B正确;在c 中,容器为球型,水高度的变化为快—慢—快,与(1)对应,故C 错误;在d 中,容器上粗下细,水高度的变化为先快后慢,与(4)对应,故D 错误.故选:AB.【变式4-3】(2022·全国·高三专题练习)如图,正△ABC 的边长为2,点D 为边AB 的中点,点P 沿着边AC ,CB 运动到点B ,记∠ADP =x .函数f (x )=|PB |2﹣|P A |2,则y =f (x )的图象大致为( )A .B .C .D .【答案】A【解析】根据题意,f (x )=|PB |2﹣|P A |2,∠ADP =x .在区间(0,2π)上,P 在边AC 上,|PB |>|P A |,则f (x )>0,排除C ;在区间ππ⎛⎫⎪⎝⎭,2上,P 在边BC 上,|PB |<|P A |,则f (x )<0,排除B ,又由当12x x π+=时,有()12()f x f x =-,()f x 的图象关于点(,0)π2对称,排除D ,故选:A【变式4-4】(2022·全国·高三专题练习)在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑A BCD -中,AB ⊥平面BCD ,且BD CD ⊥,AB BD CD ==,点P 在棱AC 上运动,设CP 的长度为x ,若PBD △的面积为()f x ,则()f x 的图象大致为()A .B .C .D .【答案】A【解析】作PQ BC ⊥于点Q ,作QR BD ⊥于点R ,连接到PR ,由已知可得,PQ AB QR CD ∥∥,且AB ⊥平面BCD , 所以PQ ⊥平面BCD ,又BD ⊂平面BCD ,所以PQ BD ⊥,,,,QR BD PQ QR Q PQ QR ⊥=⊂平面PQR ,BD ∴⊥平面PQR ,PR ⊂平面PQR ,BD PR ∴⊥,设1,AB BD CD ===3AC ∴=,133PQ PQ =∴, 33133QR BQ x x QR BC --==∴222332233333x x PR x x ⎛⎫-⎛⎫∴=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故23()22336f x x x =-+其函数图像是关于直线3x 对称的图像且开口上,故选项B,C,D 错误.故选:A .【题型5 函数零点所在区间问题】【例5】(2022秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)函数()()52lg 21f x x x =--+零点所在的区间是( )A .()0,1B .()1,2C .()2,3D .()3,4 【答案】C【解析】因为函数()()52lg 21f x x x =--+在1(,)2-+∞上单调递减,所以函数()f x 最多只有一个零点, 因为(0)(1)5(52lg3)5(3lg3)0f f ⋅=--=->,(1)(2)(52lg3)(54lg5)(3lg3)(1lg5)0f f ⋅=----=-->, (2)(3)(52lg3)(56lg7)(3lg3)(1lg7)0f f ⋅=----=---<, (3)(4)(56lg7)(58lg9)(1lg7)(3lg9)0f f ⋅=----=---->,所以函数()()52lg 21f x x x =--+零点所在的区间是()2,3.故选:C【变式5-1】(2022秋·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习)函数81()log 3f x x x=-的一个零点所在的区间是( )A .(1,2)B .(2,3)C .(3,3.5)D .(3.5,4) 【答案】A【解析】因为函数81log ,3y x y x==-在()0,∞+上单调递增, 所以,81()log 3f x x x =-在()0,∞+上单调递增, 因为()()8811111log 1,2log 23366f f =-=-=-=,()()120f f ⋅<, 所以,函数只有一个零点,且位于()1,2区间内.故选:A .【变式5-2】(2022秋·辽宁辽阳·高三统考阶段练习)若函数()lg f x a x x =++()110x <<有零点,则a 的取值范围为( )A .()10,1--B .()1,10C .()1,11D .()11,1-- 【答案】D【解析】因为函数y x a =+与lg y x =均在()1,10上单调递增,所以()lg f x a x x =++在()1,10上单调递增.要使函数()lg f x a x x =++()110x <<有零点,则只需要()()10100f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩即可, 即10110a a +<⎧⎨+>⎩,解得111a -<<-.故选:D.【变式5-3】(2022秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习)已知()23e x f x x =-,函数()f x 的零点从小到大依次为,12i x i =、、,若[),1(i x m m m ∈+∈Z ),请写出所有的m 所组成的集合___________.【答案】{}1,0,3-【解析】()f x 的零点可以转化为函数e x y =和23y x =图象交点的横坐标,图象如右所示,由图可知共三个零点,()1130f --=->e ,()010f =-<,所以在[)1,0-上存在一个零点; ()130f =->e ,则在[)0,1上存在一个零点;()33270f =->e ,()44480f =-<e ,则在[)3,4上存在一个零点;所以{}1,0,3m ∈-.【变式5-4】(2022秋·安徽·高三合肥一六八中学校联考阶段练习)(多选)已知函数()e 1x f x a x b =-+,若()f x 在区间[]1,222a b +( )A .1eB eC .2eD .1 【答案】BCD【解析】设()f x 在区间[]1,2上零点为m ,则e 10m a m b -+=,所以点(),P a b 在直线e 10m x y m --=上,()()222200a b a b OP +-+-,其中О为坐标原点.又()2220e 10ee 11m m mmm OP ⋅-+-≥=-+,记函数()2e m m g m =,[]1,2m ∈,()2222211122e e e e m m m mg m m m'==⎛⎫ -⎪⎝⎭- 因为[]1,2m ∈,所以()g m 在[]1,2m ∈上单调递增 所以()g m 最小值为()11g e=,所以221e a b +≥,故选:BCD.【题型6 函数的零点与零点个数问题】【例6】(2022秋·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习)若函数(),R y f x x =∈,满足()()2f x f x +=,且(]1,1x ∈-时,()f x x =,则函数()f x 的图像与函数4log y x =的图像的交点的个数为( ) A .3 B .4 C .6 D .8 【答案】C【解析】由题意得()f x 的周期为2,作出()y f x =与4log y x =的函数图象,数形结合得共有6个交点,故选:C【变式6-1】(2022·天津河西·统考二模)已知定义在R 上的函数()f x 满足:①()2()0f x f x -+=;②()()20f x f x ---=;③在[]1,1-上的解析式为()[](]πcos ,1,021,0,1x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨⎪-∈⎩,则函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为( )A .3B .4C .5D .6 【答案】B【解析】由(2)()0f x f x -+=知()f x 的图象关于(1,0)对称,由(2)()0f x f x ---=知()f x 的图象关于=1x -对称,作出()f x 与||1()()2x g x =在[3-,3]上的图象:由图可知函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为4.故选:B .【变式6-2】(2022秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中)定义域为R 的函数()f x 的图象关于直线1x =对称,当[]0,1x ∈时,()f x x =,且对任意x ∈R 只有()()2f x f x +=-,()()()2025,0log ,0f x x g x x x ⎧≥⎪=⎨--<⎪⎩,则方程()()0g x g x --=实数根的个数为( )A .2024B .2025C .2026D .2027 【答案】D【解析】由于函数()f x 的图象关于直线1x =对称,当[0x ∈,1]时,()f x x =,对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-,得()()()(4)(2)=f x f x f x f x +=-+--=, 所以函数()f x 在[0,)∞+上以4为周期,()()2f x f x +=-, 做出函数()f x 一个周期[0,4]的图象:当0x >时,0x -< ,由()()g x g x =-得:()2025=log f x x - 令2025log 1x -=-,则2025x =,因为202545061=⨯+,而在第一个周期有3个交点,后面每个周期有2个交点,所以共有505231013⨯+=个交点,当0x <时,0x -> ,由()()g x g x =-得:()()2025=log f x x ---,令x t -=,得()2025=log f t t -,由上述可知,()2025=log f t t -有505231013⨯+=个交点,故()()2025=log f x x ---有505231013⨯+=个交点,又0x =时,(0)(0)g g =,所以方程()()0g x g x --=实数根的个数为210131=2027⨯+.故选:D .【变式6-3】(2022秋·河北·高三期中)函数21()cos sin 14f x x x x x =+--零点的个数为( )A .0B .1C .2D .3 【答案】D 【解析】()()()()()2211()cos sin 1cos sin 144f x x x x x x x x x f x -=-+-----=+--=, ()f x ∴是R 上的偶函数,1()cos 2f x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭,①当[]0,2πx ∈时,令()0f x '>,得π03x <<或5π2π3x <≤, 令()0f x '<,得π5π33x <<.()f x ∴在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭和5π,2π3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增,在π5π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.()()22π5π5π315π100,0,2ππ0333432f f f f ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫>==⨯-⨯-<=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0π5π,33x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭,使得()00,()f x f x =∴在[]0,2π上有两个零点.②当(2,)x π∈+∞时,2211()cos sin 1044f x x x x x x x =+--<-<,()f x ∴在()2π,+∞上没有零点,由①②及()f x 是偶函数可得()f x 在R 上有三个零点.故选:D.【变式6-4】(2022秋·江苏南京·高三期末)若函数()f x 的定义域为Z ,且()()()[()()]f x y f x y f x f y f y ++-=+- ,(1)0(0)(2)1f f f -===, ,则曲线|()|y f x =与2log y x =的交点个数为( )A .2B .3C .4D .5 【答案】B【解析】由题意函数()f x 的定义域为Z ,且()()()[()()]f x y f x y f x f y f y ++-=+-,(1)0(0)(2)1f f f -===,,令1y =,则[]()(1)(1)()(1)1(1())f x f x f x f f x f f ++-==+-,令1x =,则2(2)(0)(1)f f f +=,即2(1)2f =,令2x =,则(3)(1)(2)(1)f f f f +=,即(3)0f =, 令3x =,则(4)(2)(3)(1)f f f f +=,即(4)1f =-, 令4x =,则(5)(3)(4)(1)f f f f +=,即(5)(1)f f =-,令5x =,则(6)(4)(5)(1)f f f f +=,即2(6)1(1),(6)1f f f -=-∴=-,令6x =,则(7)(5)(6)(1)f f f f +=,即(7)(1)(1),(7)0f f f f -=-∴=, 令7x =,则(8)(6)(7)(1)f f f f +=,即(8)10,(8)1f f -=∴=, 依次类推,可发现此时当Z x ∈,且x 依次取0,1,2,3,时,函数|()|y f x =的值依次为, ,即每四个值为一循环, 此时曲线|()|y f x =与2log y x =的交点为(2,1); 令=1x -,则(0)(2)(1)(1)0,(2)1f f f f f +-=-=∴-=-, 令2x =-,则(1)(3)(2)(1)(1),(3)(1)f f f f f f f -+-=-=-∴-=-,令3x =-,则2(2)(4)(3)(1)(1),(4)1f f f f f f -+-=-=-∴-=-,令4x =-,则(3)(5)(4)(1)(1),(5)0f f f f f f -+-=-=-∴-=, 令5x =-,则(4)(6)(5)(1)0,(6)1f f f f f -+-=-=∴-=, 令6x =-,则(5)(7)(6)(1)(1),(7)(1)f f f f f f f -+-=-=∴-=,令7x =-,则2(6)(8)(7)(1)(1),(8)1f f f f f f -+-=-=∴-=,依次类推,可发现此时当Z x ∈,且x 依次取1,2,3---,时,函数|()|y f x =的值依次为0,121,0121,0,,,,,, ,即每四个值为一循环, 此时曲线|()|y f x =与2log y x =的交点为(1,0),(2,1)--;故综合上述,曲线|()|y f x =与2log y x =的交点个数为3,故选:B【题型7 根据函数零点个数求参数范围】【例7】(2022秋·广东中山·高三小榄中学校考阶段练习)已知函数()2ln ,045,0x x f x x x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩,若方程()0f x a -=有4个不同的实数解,则实数a 的取值范围为_________. 【答案】(1,5]【解析】由题知:方程()0f x a -=有4个不同的实数解,即()f x a =有4个不同的实数解.作出()f x 图像(如图所示),即直线y a =与曲线()y f x =有4个公共点. 易知:15a <≤.【变式7-1】(2022秋·新疆喀什·高三新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考阶段练习)已知函数()34,0,0x x x f x lnx x ⎧-≤=⎨>⎩,若函数()()g x f x x a =+-有3个零点,则实数a的取值范围是( )A .[)0,1B .[)0,2C .(],1-∞D .(],2-∞ 【答案】B【解析】令()()0g x f x x a =+-=,即()f x x a +=,令()()x f x x ϕ=+,当0x ≤时,()33x x x ϕ=-,()233x x ϕ'=-,令()0x ϕ'>得:1x >或1x <-,结合0x ≤,所以1x <-,令()0x ϕ'<得:11x -<<,结合0x ≤得:10-<≤x ,所以()x ϕ在=1x -处取得极大值,也是最大值,()()max 12x ϕϕ=-=,当x →-∞时,()x ϕ→-∞,且()00ϕ=,当0x >时,()ln x x x ϕ=+,则()110x xϕ'=+>恒成立,()ln x x x ϕ=+单调递增,且当0x →时,()x ϕ→-∞,当x →+∞时,()x ϕ→+∞,画出()x ϕ的图象,如下图:要想()()g x f x x a =+-有3个零点,则[)0,2a ∈故选:B【变式7-2】(2022·江西南昌·南昌市八一中学校考三模)定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-,且当[]0,1x ∈时,()e 1x f x =-,若关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解,则m 的取值范围为( )A .e 1e 1,65--⎛⎫⎪⎝⎭ B .e 1e 1,64--⎛⎫ ⎪⎝⎭ C .e 1e 1,86--⎛⎫ ⎪⎝⎭D .()0,e 1- 【答案】B【解析】∵()()2f x f x =-,∴函数()f x 关于直线1x =对称,又()f x 为定义在R 上的偶函数,故函数()f x 关于直线0x =对称,作出函数()y f x =与直线()1y m x =+的图象,要使关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解, 则函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点,∴6e 14e 1m m >-⎧⎨<-⎩,即e 1e 164m --<<.故选:B.【变式7-3】(2022秋·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中)若函数()2,,,.x x a f x x x a ≤⎧=⎨>⎩满足存在t R ∈使()f x t =有两个不同的零点,则a 的取值范围是______. 【答案】()(),00,1-∞⋃【解析】如图所示,画出函数()2,,x x af x x x a ≤⎧=⎨>⎩的图象.结合图象可知,()(),00,1a ∈-∞⋃【变式7-4】(2023·全国·高三专题练习)已知函数()3112,21ln ,2x m x f x x x m x ⎧--<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩恰有3个零点,则m 的取值范围是________.【答案】1ln 2,(0,1)3e8⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】设函数()3112,21ln ,2x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩,根据题意函数()f x 恰有3个零点, 即为函数()g x 的图象与直线y m =有3个公共点,当12x ≥时,可得2()(3ln 1)g x x x '=+,令()0g x '=,得131e 2x -=>,当131[,e )2x -∈时,函数()g x 单调递减;当13(e ,)x -∈+∞时,函数()g x 单调递增,所以当13e x -=时,函数()g x 取得极小值,极小值为131e 3e g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭,又由11()ln 2028g =-<,作出()g x 的图象,如图所示,由图可知,实数m 的取值范围是1ln 2,(0,1)3e8⎛⎤-- ⎥⎝⎦.【题型8 复合函数的零点问题】【例8】(2022秋·贵州黔东南·高三校考阶段练习)已知函数()()1ln 1,121,1x x x f x x -⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩,则函数()()1y f f x =+的零点个数为______. 【答案】2【解析】先由函数画出草图如图,∴函数()f x 的零点为=2x ,令()1=2f x +,得()=1f x ,∴函数()()1y f f x =+的零点个数就是方程()=1f x 解的个数,也就是函数()f x 的图像与直线=1y 交点的个数,由图可知函数()f x 的图像与直线=1y 有两个不同的交点A ,B ,∴()()1y f f x =+的零点个数为2,【变式8-1】(2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考期中)已知函数()||1f x x =-,关于x 的方程2()|()|0f x f x k -+=,给出下列四个命题:①存在实数k ,使得方程恰有2个不同的实根; ②存在实数k ,使得方程恰有3个不同的实根; ③存在实数k ,使得方程恰有5个不同的实根; ④存在实数k ,使得方程恰有8个不同的实根. 其中真命题的序号为( )A .①②③B .①②④C .①③④D .②③④ 【答案】C【解析】设||1t x =-,则1t-,当1t =-时,0x =,当1t >-时,x 有两解.则原方程等价为2||0t t k -+=,即2211||(||)24k t t t =-+=--+.画出||1t x =-以及211(||)24k t =--+的图象, 由图象可知,(1)当0k <时,1t >,此时方程恰有2个不同的实根; (2)当0k =时,1t =或0=t 或1t =-, 当1t =时,x 有两个不同的解, 当0=t 时,x 有两个不同的解,当1t =-时,x 只有一个解,所以此时共有5个不同的解.(3)当104k <<时,112t -<<-或102t -<<或102t <<或112t <<,此时对应着8个解.(4)当14k =时,12t =-或12t =.此时每个t 对应着两个x ,所以此时共有4个解.综上正确的是①③④.故选:C【变式8-2】(2022秋·湖北·高三校联考阶段练习)已知函数()π4sin sin 3f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的单调递增区间;(2)若2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,讨论函数()()()()21g x f x m f x m =-++⎡⎤⎣⎦的零点个数. 【答案】(1)πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,Z k ∈;(2)答案详见解析 【解析】(1)()134sin sin cos 22x f x x x ⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭1cos 23sin 2x x =-+π2sin 216x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 由πππ2π22π262k x k -+≤-≤+,Z k ∈, 解得ππππ63k x k -+≤≤+,Z k ∈,故()f x 递增区间为πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,Z k ∈. (2)π2,π63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则ππ72,π666x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,则π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以()π2sin 21[0,3]6f x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭,画出()f x 在区间π2,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示,令()f x t =,则()()()()211g x t m t m t t m =-++=--,[]0,3t ∈,由()()10t t m --=,结合()f x 图象得:①当1m =时,()0g t ≥,1t =,即()1f x =,此时零点唯一; ②当23m ≤<时,1t =或()1t m f x =⇔=或()f x m =,此时三个零点; ③当3m =时,1t =或t m =⇔()1f x =或()3f x =,此时两个零点; ④当3m >时,1t =或t m =⇔()1f x =或()f x m =(无解),此时只有一个零点;⑤当0m =时,1t =或t m =⇔()1f x =或()0f x =,此时两个零点; ⑥当01m <<,12m <<时,1t =或t m =⇔()1f x =或()f x m =,此时有两个零点;⑦当0m <时,1t =或t m =⇔()1f x =或()f x m =(无解),此时有一个零点;综上所述:当()(){},03,1m ∈-∞⋃+∞⋃时,只有一个零点;[)(){}0,11,23m ∈⋃⋃时,只有两个零点;[]2,3m ∈,有三个零点.【变式8-3】(2022秋·河南焦作·高三统考期中)已知函数()()12,024,24x x f x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-<<⎩,方程()2(1sin )()sin 0f x f x θθ⎡⎤+⎦⋅⎣-+=(其中0θπ<<)有6个不同的实根,则θ的取值范围是( )A .π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭B .π2π0,,π33⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .50ππ,,66π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D .π0,3⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】因为当24x <<时,有()()4f x f x =-,故()f x 在()0,2上图象与在()2,4上的图象关于2x =对称,故()2(1sin )()sin 0f x f x θθ⎡⎤+⎦⋅⎣-+=在()0,2上有3个不同的实数根. 下面仅在()0,2上讨论()2(1sin )()sin 0f x f x θθ⎡⎤+⎦⋅⎣-+=的解.因为()2(1sin )()sin 0f x f x θθ⎡⎤+⎦⋅⎣-+=,故()1f x =或()sin f x θ=, 当()1f x =时,则有:12102x x x ⎧+-=⎪⎨⎪<<⎩,解得x . 因为方程()2(1sin )()sin 0f x f x θθ⎡⎤+⎦⋅⎣-+=在()0,2上有3个不同的实数根. 故()sin f x θ=在()0,2上有2个不同的实数根且与x 相异,故12sin 02π2x x x θθ⎧+-=⎪⎪<<⎨⎪⎪≠⎩有两个不同的解,整理得到()22sin 1002π2x x x θθ⎧⎪-++=⎪<<⎨⎪⎪≠⎩有两个不同的解.设()2(2sin )10g x x x θ=-++=,则2(0)0(2)02sin 022(2sin )40g g θθ>⎧⎪>⎪⎪⎨+<<⎪⎪+->⎪⎩,解得10sin 2θ<<,故π5π0,,π66θ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选:C.【变式8-4】(2022秋·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习)已知函数()()()2,0,2ln ,0,x x f x g x x x x x ⎧==-⎨>⎩,若方程()()()0f g x g x m +-=的所有实根之和为4,则实数m 的取值范围是( )A .1m >B .1mC .1m <D .1m 【答案】C【解析】令(),0t g x t =≥,当1m =时,方程为()10f t t +-=,即1f t t ,作出函数()y f t =及1y t =-的图象, 由图象可知方程的根为0=t 或1t =, 即()20x x -=或()21x x -=, 作出函数()()2g x x x =-的图象,结合图象可得所有根的和为5,不合题意,故BD 错误; 当0m =时,方程为()0f t t +=,即()f t t =-, 由图象可知方程的根01t <<,即()()20,1x x t -=∈, 结合函数()()2g x x x =-的图象,可得方程有四个根, 所有根的和为4,满足题意,故A 错误.故选:C.【题型9 函数零点的大小与范围】【例9】(2022秋·河北保定·高三校联考阶段练习)已知0x >,函数()25xf x x =+-,()24g x x x =+-,()2log 3h x x x =+-的零点分别为a ,b ,c ,则( )A .a b c <<B .a c b <<C .b a c <<D .b c a <<【答案】C【解析】因为()25xf x x =+-单调递增,且()()551.6 1.65555(1.6)2 3.42 3.4256454.354240,f =-=-=-<()24250,f =+->由零点的存在性定理可知()f x 有唯一零点a 且1.62a <<;因为()24g x x x =+-在()0+∞,单调递增, 且()211140,(1.6) 1.6 2.4 2.56 2.40g g =+-<=-=->,由零点的存在性定理可知()g x 有唯一零点b 且1 1.6b <<;因为()2log 3h x x x =+-在()0+∞,单调递增,且()21230h =+-=, 由零点的存在性定理可知()h x 有唯一零点2c =,所以b a c <<.故选:C.【变式9-1】(2022·全国·高三专题练习)已知函数()()()222,log 2,32x x f x x g x x x h x x =+=+=+的零点分别为,,a b c ,则,,a b c 的( )A .b c a >>B .b a c >>C .c a b >>D .a b c >> 【答案】A【解析】由题可得,,a b c 即为2y x =-的图象分别与2xy =,2log y x =,3x y =的交点的横坐标,如图,画出函数图象,由图可得,b c a >>.故选:A.【变式9-2】(2022·全国·模拟预测)已知函数()g x 的定义域为R ,()1g x +为奇函数,()g x 为偶函数,当01x ≤≤时,()()221g x x =--,则方程()11g x x =-,在区间[-5,7]上所有解的和为( )A .10B .8C .6D .4 【答案】B【解析】第一步:判断函数()g x 与11y x =-的图象的特征并作出图象 ∵()1g x +为奇函数,∴()()11g x g x -=-+,即()()2g x g x -=-, ∴()g x 的图象关于点(1,0)对称. 又()()()42222g x g x g x +=++=--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()222g x g x g x ---=-+=---=⎡⎤⎣⎦()()()g x g x g x ---=-=⎡⎤⎣⎦,∴()g x 是周期为4的周期函数,显然,函数11y x =-的图象关于点(1,0)对称,在同一直角坐标系中,分别作出函数()g x 与函数11y x =-的图象如图所示.(画出函数图象,注意“草图不草”)第二步:确定交点个数,进而求解 由可知,函数()g x 与11y x =-的图象在[-5,7]上共有8个交点,且两两关于点(1,0)对称,∴方程()11g x x =-在[-5,7]上所有解的和为428⨯=.故选:B【变式9-3】(2022秋·全国·高三校联考阶段练习)已知函数ln ,0<2,()=ln(4),2<<4,x x f x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩若直线=y m 与()f x 的图像有四个交点,且从左到右四个交点的横坐标依次为1234,,,x x x x ,则()123412++4+=x x x x x x ( )A .12B .16C .18D .32 【答案】C【解析】作出函数()f x 的图像如图所示:()f x 的图像关于直线=2x 对称.由图可知:1423+=+=4x x x x ,且12340<<1<<2<<3<<4x x x x .所以341<4<2,0<4<1x x --.由12ln ln x x =可得:12ln ln x x -=,所以121x x =. 同理可得()()34441x x --=,所以()3434=4+15x x x x -.于是()()()1234123412++4+=1+4+15+4+x x x x x x x x x x -()()1423=4++4+14x x x x -=18.故选:C【变式9-4】(2022·全国·高三专题练习)(多选)已知函数2()log (1)(0)=-->f x x m m 的两个零点为12,x x 12()x x <,则( ) A .122x x << B .12111x x += C .124x x < D .122322+≥+x x 【答案】ABD【解析】令2()log (1)0f x x m =--=,()1x >则2log (1)x m -=,令2log (1)y x =-,y m =,则函数2()log (1)(0)=-->f x x m m 的两个零点为12,x x 12()x x <,即为函数2log (1)y x =-,y m =交点的横坐标, 作图如下图所示:故1212x x <<<,故A 正确;根据题意得()12()0f x f x ==,即2122log (1)log (1)x x -=-, 因为1212x x <<<,所以2122log (1)0,log (1)0x x -<->, 故2122log (1)log (1)0x x -+-=,即212log (1)(1)0x x --=,所以12(1)(1)1x x --=,即()12120x x x x -+=,所以12111x x +=,故B 正确;因为12122x x x x +≥,所以()121212122x x x x x x x x -+≤-,即121220x x x x -≥, 所以124x x ≥,当且仅当12x x =时取等号, 又因1212x x <<<,所以124x x >,故C 错误;()2112121212211223322x xx x x x x x x x ⎛⎫+++=+++ ≥⎪⎝⎭=,当且仅当21122x x x x =,即212x x =时,取等号,故D 正确.故选:ABD.【变式9-5】(2022秋·天津武清·高三校考阶段练习)已知函数()2log ,02{12,22x x f x x x <<=-+≥,如果互不相等的实数,,a b c ,满足()()()f a f b f c ==,则实数abc 的取值范围_____. 【答案】(2,4)【解析】()2log ,0212,22x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩,画出函数图象,如图所示:不妨设a b c <<,其中22log log a b -=,故1ab =,且()2,4c ∈,所以abc 的取值范围是(2,4).【题型10 二分法及其应用】【例10】(2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测)某同学用二分法求函数()237x f x x =+-的零点时,计算出如下结果:()()1.50.33, 1.250.87f f ==-,()()()()1.3750.26, 1.43750.02, 1.40650.13, 1.4220.05f f f f =-==-=-,下列说法正确的有( )A .1.4065是满足精度为0.01的近似值.B .1.375是满足精度为0.1的近似值C .1.4375是满足精度为0.01的近似值D .1.25是满足精度为0.1的近似值 【答案】B【解析】()()1.43750.020, 1.40650.130f f =>=-<,又1.4375 1.40650.0310.01-=>,A 错误;()()1.3750.260, 1.43750.020f f =-<=<,又1.4375 1.3750.0620.1-=<, ∴满足精度为0.1的近似值在()1.375,1.4375内,则B 正确,D 错误;()()1.4220.050, 1.43750.020,1.4375 1.4220.01550.01f f =-<=>-=>,C 错误.故选:B.【变式10-1】(2022·全国·高三专题练习)在用二分法求方程32100x x +-=在(1,2)上的近似解时,构造函数()3210x f x x =+-,依次计算得()150f =-<,()230f =>,()1.50f <,()1.750f >,()1.6250f <,则该近似解所在的区间是( )A .()11.5, B .()1.51.625, C .()1.6251.75, D .()1.752, 【答案】C【解析】根据已知()150f =-<,()1.50f <,()1.6250f <,()1.750f >,()230f =>,根据二分法可知该近似解所在的区间是()1.625,1.75.故选:C.【变式10-2】(2022·全国·高三专题练习)用二分法求如图所示的函数()f x 的零。

1-4 函数的连续性与间断点

1-4 函数的连续性与间断点

π lim [ln(sin x)] = ln(sin ) = ln1 = 0. π 2 x→
2
3. 复合函数求极限的方法
x→x0
定理 1 设 有 复 合 函 数 y = f [(x)] , 若 lim(x) = a,而函数f (u)在 = a 点连续,则 u 点连续,
x→x0
lim f [( x)] = f [lim( x)] = f (a).
第四节 函数的连续性与间断点
一,函数的连续性定义 二,初等函数的连续性 三,闭区间上连续函数的性质
第四节
函数的连续性与间断点
连续性是自然界中各种物态连续变化的数学体现, 连续性是自然界中各种物态连续变化的数学体现, 这方面实例可以举出很多,如水的连续流动, 这方面实例可以举出很多,如水的连续流动,身高的 连续增长等. 连续增长等.
例6
之间有实根. 证明方程 sin x x +1 = 0在 0与 π之间有实根.
内连续, 证 设 f (x) = sin x x +1, 因为 f (x)在 (∞,+∞)内连续, 所以, 上也连续, 所以,f (x)在[0, π]上也连续, f (0) =1 > 0, f (π) = π +1< 0, 而 所以, 3(根的存在定理 根的存在定理) 所以,据定理 3(根的存在定理)知,至少有一个ξ ∈(0,π), 使得 f (ξ ) = 0,即方程 sin x x +1 = 0在 0与 π之间至少有 一个实根. 一个实根.
O
x 0 x0+ x
x
的某邻域内有定义, 定义 1 设函数 y = f (x)在点 x0的某邻域内有定义, 趋于零时, 如果自变量的增量 x = x x0趋于零时,对应的函数增量 也趋于零, 也趋于零,即

E4 函数自变量的取值范围

E4  函数自变量的取值范围

1.(2016•扬州)函数y= x的取值范围是()A.x>1 B.x≥1 C.x<1 D.x≤1【考点】函数自变量的取值范围.【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解.【解答】解:由题意得,x-1≥0,解得x≥1.故选B.【点评】本题考查了函数自变量的范围,一般从三个方面考虑:(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.声明:本试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布。

2.(2016•云南)函数y=1-2x的自变量x的取值范围为()A.x>2 B.x<2 C.x≤2 D.x≠2【考点】函数自变量的取值范围.【分析】根据当函数表达式的分母中含有自变量时,自变量取值要使分母不为零,判断求解即可.【解答】解:∵函数表达式y=1-2x的分母中含有自变量x,∴自变量x的取值范围为:x-2≠0,即x≠2.故选D.【点评】本题考查了函数自变量取值范围的知识,求自变量的取值范围的关键在于必须使含有自变量的表达式都有意义.3.(2016•徐州)函数y= 中自变量x的取值范围是()A.x≤2 B.x≥2 C.x<2 D.x≠2【考点】函数自变量的取值范围.【专题】探究型.【分析】根据二次根式要有意义可以得到函数中自变量x的取值范围,本题得以解决.【解答】解:∵,∴2-x≥0,解得x≤2,故选A.【点评】本题考查函数自变量的取值范围,解题的关键是明确二次根式要有意义,根号里的式子要大于等于零.4.(2016•岳阳)函数y= 中自变量x的取值范围是()A.x≥0 B.x>4 C.x<4 D.x≥4【考点】函数自变量的取值范围;二次根式有意义的条件.【分析】根据二次根式有意义的条件可得出x-4≥0,解该不等式即可得出结论.【解答】解:∵x-4≥0,∴x≥4.故选D.【点评】本题考查了函数自变量的取值范围以及二次根式有意义的条件,解题的关键是得出不等式x-4≥0.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据二次根式有意义的条件得出不等式是关键.5.(2016•无锡)函数y=x的取值范围是()A.x>2 B.x≥2 C.x≤2 D.x≠2【考点】函数自变量的取值范围.【分析】因为当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数,所以2x-4≥0,可求x的范围.【解答】解:依题意有:2x-4≥0,解得x≥2.故选:B.【点评】此题主要考查函数自变量的取值范围:当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数.6.(2016•娄底)函数y= 的自变量x的取值范围是()A.x≥0且x≠2 B.x≥0 C.x≠2 D.x>2【考点】函数自变量的取值范围.【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解.【解答】解:由题意得,x≥0且x-2≠0,解得x≥0且x≠2.故选A.【点评】本题考查了函数自变量的范围,一般从三个方面考虑:(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.声明:本试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布。

4的欧拉函数

4的欧拉函数

4的欧拉函数4的欧拉函数是数论中用来测量一个正整数n的因子数量的函数。

它最早是由欧拉于1832年提出的,所以称为欧拉函数。

函数的值表示在一个给定的正整数的分解因子的数目。

4的欧拉函数(简称4EF)是指4的正整数的欧拉函数,也就是说,它表示4这个正整数的因子数目。

4的欧拉函数也叫作Euler-Lagrange函数,它是一个十分常见的数学函数,用来表示正整数n的因子数量。

这个函数可以用来计算不同正整数的因子数量。

4EF是一个四参数函数,它需要3个参数,这3个参数决定了它接受正整数n的大小及其分解因子的数目。

其中,4指的是4的正整数,即n=4;f代表因子,它表示函数接收的正整数的分解因子的数量;g代表欧拉函数,它表示用来计算某正整数n的因子数量的函数。

最后,h代表4EF函数,它是一个4参数函数,结合上述三个参数,就可以计算出4的正整数的因子数量。

4EF的计算公式如下:h(n,f,g,h) = 4 * f * g * h其中,n表示指定的正整数,f表示正整数n的因子数量,g表示欧拉函数,h表示4EF函数。

4EF是一个十分重要的数学函数,它可用来计算不同正整数n的因子数量。

4EF用来解决一些关于因子数目的数学问题也是非常有用的,而更多的应用可见于微积分和计算机科学等方面。

在数学和计算机科学领域中,4的欧拉函数有着特殊的意义和用途。

它被广泛的应用于分解因子的数目的比较、分解算法的优化和微积分中的积分等方面。

例如,在微积分领域,四参数功能在积分运算中可以发挥出很大的作用,它可以用来计算正整数n的积分值,积分定义为该正整数的分解因子数之和;在计算机科学领域,可以应用欧拉函数来实现因子的分解的快速有效的优化,以便加快解决问题的速度。

总之,4的欧拉函数非常重要,它在数学和计算机科学领域都有广泛的应用。

4EF的计算公式也很容易掌握,而且它的应用也不仅限于上述的几个领域,它还可以在其他计算机科学中发挥作用,比如用于算法优化、分解因子数目比较以及积分等方面。

4 复合函数求导

4 复合函数求导
若 F y 0 简记为 d y Fx dx Fy
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推广
则有推导公式
z Fx x Fz
z Fy y Fz
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例7 sin y ex xy 1 0,
y y(x), 求导dy
dx
, d2y x 0 dx2
x0
解 d y Fx dx Fy
(
y z2
)
z F1 x F1 y F2
z
F2
1 z
y
F1
(
x z2
)
F2
(
y z2
)
z F2 x F1 y F2

dz
z dx x
z y
dy
x
z F1
y
F2
(F1dxzx
F2dFFyxz )
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解法2 微分法. 对方程两边求微分:
F1
d(
x) z
F2
d(
y) z
定理. 若函数 处可微, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
d z z d u z dv d t u d t v d t
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 有增量△u ,△v ,
z z u z v o ( )
u v
z f (u,v)
z
uv tt
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作业
P265 22 (4)(5)(6)(8)(9) 23(2)(4)(6); 24;25
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思考题
1. 已知
解: 由
求 两边对 x 求导, 得
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第一章函数129【2010年9月选择题第11题】以下关于结构化程序设计的叙述中正确的是A)一个结构化程序必须同时由顺序、分支、循环三种结构组成B)结构化程序使用goto语句会很便捷C)在C语言中,程序的模块化是利用函数实现的D)由三种基本结构构成的程序只能解决小规模的问题130【2010年3月选择题第11题】以下叙述正确的是A)C语言程序是由过程和函数组成的B)C语言函数可以嵌套调用,例如:fun(fun(x))C)C语言函数不可以单独编译D)C语言中除了main函数,其他函数不可作为单独文件形式存在131【2011年9月选择题第24题】有以下程序#include <stdio.h>double f(double x);main(){double a=0; inti;for(i=0;i<30;i+=10) a+=f((double)i);printf("%5.0f\n",a);}double f(double x){return x*x+1;}程序运行后的输出结果是________。

A)503 B)401 C)500 D)1404132【2011年3月填空题第9题】有以下函数void prt(char ch,int n){ int i;for(i=1;i<=n;i++)printf(i%6!=0 ? "%c":"%c\n",ch);}执行调用语句prt('*',24);后,函数共输出了【9】行*号。

133【2010年9月填空题第10题】以下fun函数的功能是:找出具有N个元素的一维数组中的最小值,并作为函数值返回。

请填空。

(设N已定义)int fun(int x[N]){ inti,k=0;for(i=0;i<N;i++)if(x[i]<x[k])k=【10】;return x[k];}134【2010年9月填空题第12题】以下fun函数的功能是在N行M列的整型二维数组中,选出一个最大值作为函数值返回,请填空。

(设M,N已定义)int fun(int a[N][M]){ inti,j,row=0,col=0;for(i=0; i<N;i++)for(j=0;j<M; j++)if(a[i][j]>a[row][co1]){row=i;col=j;}return( 【12】 );}135【2010年3月选择题第24题】以下关于return语句的叙述中正确的是A)一个自定义函数中必须有一条return语句B)一个自定义函数中可以根据不同情况设置多条return语句C)定义成void类型的函数中可以有带返回值的return语句D)没有return语句的自定义函数在执行结束时不能返回到调用处136【2010年3月选择题第26题】有以下程序#include <stdio.h>void fun(char*c,int d){ *c=*c+1;d=d+1;printf("%c,%c,",*c,d);}main(){ char b='a',a='A';fun(&b,a); printf("%c,%c\n",b,a);}程序运行后的输出结果是A)b,B,b,A B)b,B,B,AC)a,B,B,a D)a,B,a,B137【2009年9月选择题第24题】有以下程序:#include <stdio.h>void fun(int p){int d=2;p=d++;printf("%d",p);}main(){int a=1;fun(a);printf("%d\n",a);}程序运行后的输出结果是________。

A)32 B)12C)21 D)22138【2009年9月填空题第11题】有以下程序:#include <stdio.h>int a=5;void fun(int b){int a=10;a+=b;printf("%d",a);}main(){int c=20;fun(c);a+=c;printf("%d\n",a);}程序运行后的输出结果是__【11】__。

139【2009年3月选择题第26题】有以下程序:#include<stdio.h>void fun(int*a,int*b){ int*c;c=a;a=b;b=c;}main(){ int x=3, y=5, *p=&x, *q=&y;fun(p,q);printf("%d,%d,",*p,*q);fun(&x,&y);printf("%d,%d\n",*p,*q);}程序运行后的输出结果是________。

A)3,5,5,3B)3,5,3,5C)5,3,3,5D)5,3,5,3140【2011年3月填空题第12题】有以下程序,请在【12】处填写正确语句,使程序可正常编译运行。

#include<stdio.h>【12】;main(){ double x,y,(*p)();scanf("%lf%lf",&x,&y);p=avg;printf("%f\n",(*p)(x,y));}double avg(double a,double b){ return((a+b)/2);}141【2009年3月填空题第12题】请将以下程序中的函数声明语句补充完整。

#include<stdio.h>int__【12】__;main(){ int x,y,(*p)();scanf("%d%d",&x,&y);p=max;printf("%d\n",(*p)(x,y));}int max(int a,int b){ return(a>b?a:b);}142【2011年9月填空题第11题】以下程序运行后的输出结果是__【11】__。

#include <stdio.h>void fun(int x){if(x/5>0) fun(x/5);printf("%d",x);}main(){ fun(11);printf("\n");}143【2011年3月选择题第32题】设有如下函数定义int fun(int k){ if(k<1) return 0;else if(k==1)return 1;else return fun(k-1)+1;}若执行调用语句:n=fun(3);,则函数fun总共被调用的次数是A)2 B)3 C)4 D)5144【2011年3月选择题第33题】有以下程序#include<stdio.h>int fun(int x,int y){ if(x!=y) return((x+y)/2);else return(x);}main(){ int a=4,b=5,c=6;printf("%d\n",fun(2*a,fun(b,c)));}程序运行后的输出结果是A)3 B)6 C)8 D)12145【2010年9月选择题第24题】有以下程序#include<stdio.h>int f(int X);main(){ int n=1,m;m=f(f(f(n)));printf("%d\n",m);}int f(int x){ return x*2;}程序运行后的输出结果是A)1 B)2 C)4 D)8146【2010年9月选择题第35题】有以下程序#include<stdio.h>void fun(int x){ if(x/2>1)fun(x/2);printf("%d",x);}main(){ fun(7);printf("\n");}程序运行后的输出结果是A)1 3 7 B)7 3 1 C)7 3 D)3 7 147【2009年3月选择题第24题】有以下程序:#include<stdio.h>int f(int x,int y){return((y-x)*x);}main(){ int a=3,b=4,c=5,d;d=f(f(a,b),f(a,c));printf("%d\n",d);}程序运行后的输出结果是________。

A)10B)9C)8D)7148【2009年3月选择题第33题】有以下程序:#include<stdio.h>int fun(int x,int y){ if(x==y)return(x);else return((x+y)/2);}main(){ int a=4,b=5,c=6;printf("%d\n",fun(2*a,fun(b,c)))}则运行结果为。

A)3 B)6C)8 D)12149【2009年9月填空题第15题】有以下程序:#include <stdio.h>fun(int x){if(x/2>0) fun(x/2);printf("%d.",x);}main(){fun(6),printf("\n");}程序运行后的输出结果是__【15】__。

150【2011年9月选择题第28题】有以下程序#include <stdio.h>#define N 4void fun(int a[][N],int b[]){inti;for(i=0;i<N;i++) b[i]=a[i][i]-a[i][N-1-i];}main(){int x[N][N]={{1,2,3,4},{5,6,7,8},{9,10,11,12},{13,14,15,16}},y[N],i;fun(x,y);for(i=0;i<N;i++) printf("%d,",y[i]); printf("\n");}程序运行后的输出结果是________。

A)-12,-3,0,0, B)-3,-1,1,3,C)0,1,2,3, D)-3,-3,-3,-3,151【2011年9月选择题第31题】以下程序的主函数中调用了在其前面定义的fun函数#include <stdio.h>⋮main(){double a[15],k;k=fun(a);⋮}则以下选项中错误的fun函数首部是________。

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