极大函数交换子在广义Morrey空间的估计
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数次极大函数交换子
［ ， ６ ］ ，＝ｂ （ ， ） 一 （ ｂ ｆ ）
收稿 日期： ２ ０ １ ２ ． ０ ５ － ． １ ６ 修回日 期： ２ ０ １ ３ － － ０ ２ － ０ － ６ 基金项 目：国家 自然科学基金（ １ ０ ８ ７ １ ｌ ７ ３ ； １ ０ ９ ３ １ ０ ０ １ ； １ １ ２ ２ ６ １ ０ ９ ）
是Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ — Ｌ ｉ ｔ ｔ ｌ ｅ ｗ ｏ ｏ ｄ 极 大 函 数 ．
∞时， 交换子［ ， ６ 】 在Ｌ Ｐ （ Ｒ＇ ） 中有界当且仅 当ｂ￣ Ｂ ＭＯ （ Ｒ＇ ） ．后来 ： Ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｌ ｌ ｏ 在『 ２ ］ 中给出了分数 次积分交换子在Ｌ Ｐ （ Ｒ ￣ ） 上的有界等价刻画， 当０＜ ＜ｎ ， １＜Ｐ＜ 和 ＝ １ 一 时， 交换 子［ ， ６ ］ 从Ｌ Ｐ （ Ｒ ） 到 （ Ｒ ） 有界也当且仅当６ ∈Ｂ ＭＯ（ Ｒ ） ． 一直 以来交换子的研究都是调和分 析的热点之一， 被许多学者所关注， 可参见文献［ ３ — ６ 】 ＿ 但对于非线性算子生成的交换子研究的却
结论等价：
（ Ｉ ）ｂ ∈ＢＭＯ（ Ｒ ） ， 且ｂ 一∈
（ Ｒ ） ； （ Ｉ Ｉ ） ［ ， ｂ ］ 是从Ｌ Ｐ （ Ｒｎ ） ￣ ＝ Ｉ ］ Ｌ ｑ （ Ｒ” ） 有界的； （ Ｉ Ｉ Ｉ ） ｓ ｕ ｐ Ｑ Ｉ ＱＩ ｌ ｂ （ ｘ ） 一ＭＱ （ ｂ ） （ ｘ ） ｌ ｄ ｘ＜。 。 ． 受上述 结论 的启 发， 本 文考虑 了极大 函数与Ｂ ＭＯ（ Ｒ ） 函数 生成的交换 子在广义Ｍｏ ｒ ｒ ｅ ｙ 空
［ ＭＨ ， ｂ ］ ｆ＝ｂ Ｍ￣ （ ｆ ） 一Ｍ （ ６ ， ） ．
（ １ ． ２ ）
当６ ６ Ｂ ＭＯ￣， Ｍｉ ｌ ｍ ａ ｎ 和ｓ ｃ ｈ ｏ ｎ ｂ ｅ ｋ 首先在［ ７ 】 中建立了［ Ｍ， ６ ］ 和［ ＭＨ ， ６ ］ 在 ｐ （ Ｒ ） 空间中的有 界性； ２ ０ ０ ０ ｑ ￣ Ｂ ａ ｓ ｅ ｒ ｏ ， Ｍｉ １ ｍａ ｎ 和Ｒ ｕ ｉ ｚ 在【 ７ ］ 的基础上于［ ８ ］ 中给出了［ Ｍ， ｂ ］ 和［ ＭＨ ， ｂ ］ 在Ｌ （ Ｒ ） 中有 界的等价刻画． 之后【 ９ ］ 又将这一等价刻画推广到 Ｍｏ ｒ ｒ ｅ ｙ空间． 最近ｚ ｈ ａ ｎ ｇ 和ｗｕ 【 １ ０ ］ 考虑了分
间中有界的充要条件．
§ ２ 定义和 主要 结果
设０ ＜ｎ ， ｆ∈ 。 （ Ｒ ） ． 分数次极大函数定义为
广
（ ， ） （ ） ＝ｓ ｕ ｐ ｌ Ｑ Ｉ 芸 一 ／Ｉ ｆ （ Ｙ ） ｌ ｄ Ｙ ， ∈ Ｒ ” ，
∈Ｑ ｌ ， Ｑ
其 中Ｑ表 示 以各 边 分 别平 行 于 坐标 轴 的方体 ， Ｉ Ｑｌ 表 示Ｑ的Ｌ ｅ ｇ ｅ ｓ ｇ ｕ ｅ测 度．当 ＝ ０ Ｎ，
摘
Fra Baidu bibliotek
要 ： 主要 讨 论 了Ｈａ ｒ ｄ ｙ — Ｌ ｉ ｔ ｔ ｌ ｅ ｗ ＿ ０ ｏ ｄ 极 大 函数 ， Ｓ ｈ ａ ｒ ｐ 极 大 函数 以及 分 数 次 极 大 函数
与Ｂ ＭＯ（ Ｒ＇ ） 函数生成的交换 子在广５ （ Ｍｏ ｒ ｒ ｅ ｙ 空间上有界性 的等价刻 画． 关键词： 极 大函数； 交换子； Ｂ ＭＯ（ Ｒ￣ ） ； 广 ＫＭｏ ｒ ｒ ｅ ｙ 空间
樊 云等： 极 大函数的交换子在Ｍｏ ｒ ｒ ｅ ｙ ＃ ＿ 间的有 界性
９ ７
在Ｌ Ｐ （ Ｒ” ）中的有界刻 画． 定理Ａ［ 。 】 设６ （ ） 是Ｒ 上局部可积的实值函数， １＜Ｐ＜∞ ， 则下述 结论等价： （ Ｉ ） ｂ∈Ｂ ＭＯ（ Ｒ ） ， 且ｂ 一∈ （ Ｒ ） ； （ Ｉ Ｉ ） ［ Ｍ， ｂ 】 在Ｌ Ｐ （ Ｒ ） 上有界；
中图分类号： Ｏ１ ７ ４ ． ２
文献标识码： Ａ
文章编号： １ ０ ０ ０ － ． ４ ４ ２ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ — ０ ０ ９ ６ － ． ０ １ １
§ １ 引 言
设 是经典 的奇异积分算子， 是分数次积分算子 ， 它们与Ｒ” 上 的一个局部可积 函数６ （ ） 生
高校应用数学 学报
２ ０ １ ３ ， ２ ８ （ １ ） ： ９ ６ － － １ ０ ６
极大 函数交 换 子在 广 义 Ｍｏ ｒ ｒ ｅ ｙ 空 问 的估 计
樊 云 ， 贾厚玉
（ １ ．湖 州师范学院，浙江湖州 ３ １ ３ ０ ０ ０ ； ２ ． 浙江 大学数学 系，浙江杭州 ３ １ ０ ０ ２ ７ １
（ Ｉ Ｉ Ｉ ） ｓ ｕ ｐ ｑ Ｉ Ｑ Ｉ
其 中
Ｉ ｂ （ ｘ ） 一ＭＱ （ ｂ ） （ ｘ ） Ｉ ｄ ｘ＜∞， ｂ ～ （ Ｘ ） ＝～ ｍｉ ｎ ｛ ｂ （ ｘ ） ， ０ ） ．
定理Ｂ［ １ ｏ ］ 设６ ） 是Ｒ 上局部可积的实值函数， ０ ＜ ＜ｎ ， １ ＜Ｐ＜ ｎ ， １ ＝ １ 一芸 ， 则下述
成 的交换子定义为
【 ， ６ ］ ，＝ｂ Ｔ （ ｆ ） 一 （ ６ ＿ 厂 ） ； ［ Ｌ， ｂ ］ ｆ＝６ （ ＿ 厂 ） 一 （ ６ ， ） ．
（ １ ． １ ）
１ ９ ７ ６ 年， Ｃ ｏ ｉ ｆ ｍａ ｎ ， Ｒ ｏ ｃ ｈ ｂ ｅ ｒ ｇ Ｓ Ｈ Ｗｅ ｉ ｓ ｓ 在『 １ ］ 中最先 提 出 了交 换子 理论 ， 并 证 明 了当１＜ Ｐ＜
不多， 得 到的结论也不 多．
设６ （ ） 是Ｒ” 上 的 一个 局 部可 积 的函 数， 它￣ Ｈ Ｈａ ｒ ｄ ｙ Ｌ ｉ ｔ ｔ ｌ ｅ ｗ ｏ ｏ ｄ 极 大 函数Ｍ ， Ｓ ｈ ａ ｒ ｐ 极 大 函
数Ｍ ＃ 生 成 的 交 换 子 分 别 定 义 为
［ Ｍ， ６ 】 ，＝ｂ Ｍ（ ｆ ） 一Ｍ（ ６
［ ， ６ ］ ，＝ｂ （ ， ） 一 （ ｂ ｆ ）
收稿 日期： ２ ０ １ ２ ． ０ ５ － ． １ ６ 修回日 期： ２ ０ １ ３ － － ０ ２ － ０ － ６ 基金项 目：国家 自然科学基金（ １ ０ ８ ７ １ ｌ ７ ３ ； １ ０ ９ ３ １ ０ ０ １ ； １ １ ２ ２ ６ １ ０ ９ ）
是Ｈ ａ ｒ ｄ ｙ — Ｌ ｉ ｔ ｔ ｌ ｅ ｗ ｏ ｏ ｄ 极 大 函 数 ．
∞时， 交换子［ ， ６ 】 在Ｌ Ｐ （ Ｒ＇ ） 中有界当且仅 当ｂ￣ Ｂ ＭＯ （ Ｒ＇ ） ．后来 ： Ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｌ ｌ ｏ 在『 ２ ］ 中给出了分数 次积分交换子在Ｌ Ｐ （ Ｒ ￣ ） 上的有界等价刻画， 当０＜ ＜ｎ ， １＜Ｐ＜ 和 ＝ １ 一 时， 交换 子［ ， ６ ］ 从Ｌ Ｐ （ Ｒ ） 到 （ Ｒ ） 有界也当且仅当６ ∈Ｂ ＭＯ（ Ｒ ） ． 一直 以来交换子的研究都是调和分 析的热点之一， 被许多学者所关注， 可参见文献［ ３ — ６ 】 ＿ 但对于非线性算子生成的交换子研究的却
结论等价：
（ Ｉ ）ｂ ∈ＢＭＯ（ Ｒ ） ， 且ｂ 一∈
（ Ｒ ） ； （ Ｉ Ｉ ） ［ ， ｂ ］ 是从Ｌ Ｐ （ Ｒｎ ） ￣ ＝ Ｉ ］ Ｌ ｑ （ Ｒ” ） 有界的； （ Ｉ Ｉ Ｉ ） ｓ ｕ ｐ Ｑ Ｉ ＱＩ ｌ ｂ （ ｘ ） 一ＭＱ （ ｂ ） （ ｘ ） ｌ ｄ ｘ＜。 。 ． 受上述 结论 的启 发， 本 文考虑 了极大 函数与Ｂ ＭＯ（ Ｒ ） 函数 生成的交换 子在广义Ｍｏ ｒ ｒ ｅ ｙ 空
［ ＭＨ ， ｂ ］ ｆ＝ｂ Ｍ￣ （ ｆ ） 一Ｍ （ ６ ， ） ．
（ １ ． ２ ）
当６ ６ Ｂ ＭＯ￣， Ｍｉ ｌ ｍ ａ ｎ 和ｓ ｃ ｈ ｏ ｎ ｂ ｅ ｋ 首先在［ ７ 】 中建立了［ Ｍ， ６ ］ 和［ ＭＨ ， ６ ］ 在 ｐ （ Ｒ ） 空间中的有 界性； ２ ０ ０ ０ ｑ ￣ Ｂ ａ ｓ ｅ ｒ ｏ ， Ｍｉ １ ｍａ ｎ 和Ｒ ｕ ｉ ｚ 在【 ７ ］ 的基础上于［ ８ ］ 中给出了［ Ｍ， ｂ ］ 和［ ＭＨ ， ｂ ］ 在Ｌ （ Ｒ ） 中有 界的等价刻画． 之后【 ９ ］ 又将这一等价刻画推广到 Ｍｏ ｒ ｒ ｅ ｙ空间． 最近ｚ ｈ ａ ｎ ｇ 和ｗｕ 【 １ ０ ］ 考虑了分
间中有界的充要条件．
§ ２ 定义和 主要 结果
设０ ＜ｎ ， ｆ∈ 。 （ Ｒ ） ． 分数次极大函数定义为
广
（ ， ） （ ） ＝ｓ ｕ ｐ ｌ Ｑ Ｉ 芸 一 ／Ｉ ｆ （ Ｙ ） ｌ ｄ Ｙ ， ∈ Ｒ ” ，
∈Ｑ ｌ ， Ｑ
其 中Ｑ表 示 以各 边 分 别平 行 于 坐标 轴 的方体 ， Ｉ Ｑｌ 表 示Ｑ的Ｌ ｅ ｇ ｅ ｓ ｇ ｕ ｅ测 度．当 ＝ ０ Ｎ，
摘
Fra Baidu bibliotek
要 ： 主要 讨 论 了Ｈａ ｒ ｄ ｙ — Ｌ ｉ ｔ ｔ ｌ ｅ ｗ ＿ ０ ｏ ｄ 极 大 函数 ， Ｓ ｈ ａ ｒ ｐ 极 大 函数 以及 分 数 次 极 大 函数
与Ｂ ＭＯ（ Ｒ＇ ） 函数生成的交换 子在广５ （ Ｍｏ ｒ ｒ ｅ ｙ 空间上有界性 的等价刻 画． 关键词： 极 大函数； 交换子； Ｂ ＭＯ（ Ｒ￣ ） ； 广 ＫＭｏ ｒ ｒ ｅ ｙ 空间
樊 云等： 极 大函数的交换子在Ｍｏ ｒ ｒ ｅ ｙ ＃ ＿ 间的有 界性
９ ７
在Ｌ Ｐ （ Ｒ” ）中的有界刻 画． 定理Ａ［ 。 】 设６ （ ） 是Ｒ 上局部可积的实值函数， １＜Ｐ＜∞ ， 则下述 结论等价： （ Ｉ ） ｂ∈Ｂ ＭＯ（ Ｒ ） ， 且ｂ 一∈ （ Ｒ ） ； （ Ｉ Ｉ ） ［ Ｍ， ｂ 】 在Ｌ Ｐ （ Ｒ ） 上有界；
中图分类号： Ｏ１ ７ ４ ． ２
文献标识码： Ａ
文章编号： １ ０ ０ ０ － ． ４ ４ ２ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ — ０ ０ ９ ６ － ． ０ １ １
§ １ 引 言
设 是经典 的奇异积分算子， 是分数次积分算子 ， 它们与Ｒ” 上 的一个局部可积 函数６ （ ） 生
高校应用数学 学报
２ ０ １ ３ ， ２ ８ （ １ ） ： ９ ６ － － １ ０ ６
极大 函数交 换 子在 广 义 Ｍｏ ｒ ｒ ｅ ｙ 空 问 的估 计
樊 云 ， 贾厚玉
（ １ ．湖 州师范学院，浙江湖州 ３ １ ３ ０ ０ ０ ； ２ ． 浙江 大学数学 系，浙江杭州 ３ １ ０ ０ ２ ７ １
（ Ｉ Ｉ Ｉ ） ｓ ｕ ｐ ｑ Ｉ Ｑ Ｉ
其 中
Ｉ ｂ （ ｘ ） 一ＭＱ （ ｂ ） （ ｘ ） Ｉ ｄ ｘ＜∞， ｂ ～ （ Ｘ ） ＝～ ｍｉ ｎ ｛ ｂ （ ｘ ） ， ０ ） ．
定理Ｂ［ １ ｏ ］ 设６ ） 是Ｒ 上局部可积的实值函数， ０ ＜ ＜ｎ ， １ ＜Ｐ＜ ｎ ， １ ＝ １ 一芸 ， 则下述
成 的交换子定义为
【 ， ６ ］ ，＝ｂ Ｔ （ ｆ ） 一 （ ６ ＿ 厂 ） ； ［ Ｌ， ｂ ］ ｆ＝６ （ ＿ 厂 ） 一 （ ６ ， ） ．
（ １ ． １ ）
１ ９ ７ ６ 年， Ｃ ｏ ｉ ｆ ｍａ ｎ ， Ｒ ｏ ｃ ｈ ｂ ｅ ｒ ｇ Ｓ Ｈ Ｗｅ ｉ ｓ ｓ 在『 １ ］ 中最先 提 出 了交 换子 理论 ， 并 证 明 了当１＜ Ｐ＜
不多， 得 到的结论也不 多．
设６ （ ） 是Ｒ” 上 的 一个 局 部可 积 的函 数， 它￣ Ｈ Ｈａ ｒ ｄ ｙ Ｌ ｉ ｔ ｔ ｌ ｅ ｗ ｏ ｏ ｄ 极 大 函数Ｍ ， Ｓ ｈ ａ ｒ ｐ 极 大 函
数Ｍ ＃ 生 成 的 交 换 子 分 别 定 义 为
［ Ｍ， ６ 】 ，＝ｂ Ｍ（ ｆ ） 一Ｍ（ ６