广义函数与Sobolev空间
sobolev嵌入定理_概述及解释说明
sobolev嵌入定理概述及解释说明1. 引言1.1 概述：Sobolev嵌入定理是数学分析领域的一个重要结果，它描述了函数在不同强度和光滑度条件下的嵌入关系。
具体来说，该定理关注的是函数空间中的积分指标和偏导数指标之间的关系。
通过该定理，我们可以研究函数在更高阶导数下的性质，并将其应用于许多数学和物理问题的解决。
1.2 文章结构：本文将对Sobolev嵌入定理进行概述及解释说明。
首先，我们将介绍定理的基本概念和背景知识，包括其历史发展和相关定义。
随后，我们将详细探讨Sobolev 空间及其性质，为读者提供对该定理所涉及的函数空间有更加全面深入的认识。
接着，我们将介绍一些关于证明Sobolev嵌入定理的方法与技巧，包括Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式的应用、逼近理论以及欧几里得域和流形上证明该定理时常用的技巧等。
然后，我们会探讨一些应用与拓展领域,例如偏微分方程解的存在性和唯一性结果的应用、函数空间与调和分析中的应用以及数值计算中的应用与算法发展。
最后，我们将总结文章并对未来关于Sobolev 嵌入定理研究方向进行展望。
1.3 目的：本文的目标是系统介绍和解释Sobolev嵌入定理，使读者了解该定理在数学分析领域中的重要性和广泛应用。
通过本文，读者可以深入理解Sobolev空间及其性质，掌握证明该定理的方法与技巧，并对其在偏微分方程、函数空间与调和分析以及数值计算等领域中的应用有更加全面深入的认识。
同时，我们也希望通过本文对未来关于Sobolev嵌入定理研究方向进行展望，激发读者进一步深入探索该领域并作出新的研究贡献。
2. Sobolev嵌入定理:2.1 定理介绍Sobolev嵌入定理是数学分析领域中的一个重要结果，它描述了函数在Sobolev 空间中的嵌入关系。
具体来说，该定理给出了当函数在某个Sobolev空间中具有一定的偏导数次数时，它也同时属于其他更高阶的函数空间。
(完整版)Sobolev空间的建立
Sobolev 空间一、定义：(一)弱导数的定义：设)(1Ω∈loc L u ，对于给定的重指标α，称为u 的α阶弱导数，如果存在函数)(1Ω∈loc L v ，使得对于）（Ω∈∀∞C ϕ成立 ⎰⎰ΩΩ-=dx uD vdx ϕϕαα||)1(.并记u D v α=.(二)Sobolev 空间的定义：对p ≥1,m 是非负整数，定义Sobolev 空间{}m L u D u L Wp p pm ≤Ω∈Ω=Ω∆||),(|)()(,αα{}m L u D L u u p p ≤Ω∈Ω∈=||),(),(|αα. 在)(,Ωp m W 中引入范数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞<≤==Ω∞≤≤ΩΩ≤Ω∑⎰∑p u D p u D dx u D umm pp p p mp p m ,max 1,)()||(,||||1,1||,,αααααα下面证明)(,Ωp m W 按范数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞<≤==Ω∞≤≤ΩΩ≤Ω∑⎰∑p u D p u D dx u D umm pp p p mp p m ,max 1,)()||(,||||1,1||,,αααααα是赋范空间. (i )非负性：当∞<≤p 1时，任意的)(,Ω∈pm Wu ，则0)||(||1,≥=⎰∑Ω≤mpppm dx u D uαα，且0,=pm u⇔0)||(||1=⎰∑Ω≤mppdx u D αα⇔0=u D α对任意m ≤||α均成立⇔0=u ；当∞=p 时，任意的)(,Ω∈p m W u ，则0m ax ||,≥=∞≤uD umpm αα，且0,=pm u⇔0m ax ||=≤u D mαα⇔0=u D α对任意m ≤||α均成立⇔0=u ；(ii )齐次性：当∞<≤p 1时，任意)(,Ω∈p m W u ，K ∈β，有==⎰∑Ω≤mppdx u D u ||1)|)(|(ααββ=⎰∑Ω≤mppdx u D ||1)||(ααβu β；当∞=p 时，任意)(,Ω∈p m W u ，K ∈β，有==≤)(m ax ||u D u mββαα=≤u D mααβ||m ax u β；(iii )三角不等式性：当∞<≤p 1时，任意)(,Ω∈p m W u ，)(,Ω∈p m W v ，有=+=+⎰∑Ω≤mppdx v u D v u ||1)|)(|(αα⎰∑Ω≤+mppp dx v D u D ||1)|||(|(ααα+≤⎰∑Ω≤mppdx u D ||1)||(αα=⎰∑Ω≤mppdx v D ||1)||(αα+u v ；当∞=p 时，任意)(,Ω∈p m W u ，)(,Ω∈p m W v ，有=+=+≤)(m ax ||v u D v u mαα≤+≤v D u D mααα||m ax +≤u D mαα||max =≤v D mαα||max +u v .所以，Sobolev 空间)(,Ωp m W 是一个赋范空间. 二、Sobolev 空间的主要性质：（一）完备性：)(,Ωp m W 是Banach 空间. 证明 只要证明)(,Ωp m W 是完备的. 任取)(,Ωp m W 中的Cauchy 序列{}j f ，则),(0,∞→→-j k f f pm j k .而∑≤-=-mpp L j k pm jk pf f D f f ||1,))((αα∑≤-=mppL j k p f D f D ||1))(ααα ⇒ ),(0∞→→-j k f D f D pL jk αα.即{})|(|m f D j ≤αα是)(Ωp L 中的Cauch 列，由)(Ωp L 的完备性知，存在)|)(|(m L g p≤Ω∈αα，使得∞→→j g f D pL j ,αα.在弱收敛的意义下，ααg f D j →，即对任意)111)((=+Ω∈qp L p ϕ，有 ⎰⎰ΩΩ∞→→)(j dx g dx f D j ϕϕαα.特别对任意)(0Ω∈∞C ϕ，有 ⎰⎰ΩΩ∞→→)(j dx g dx f D j ϕϕαα.这是因为⎰⎰ΩΩ→||dx g dx f D j ϕϕαα⎰Ω⋅-≤dx g f D j ||||ϕαα0→⋅-≤qpL L j g f D ϕαα(应用Holder 不等式）令0=α得⎰⎰⎰ΩΩ∆Ω=→dx f dx g dx f j ϕϕϕ0.其中)(0Ω∈∞C ϕ. 在利用弱导数的定义得，对于任意∞→Ω∈∞j C ),(0ϕ时有⎰⎰ΩΩ⋅-=dx D f dx f D j j ϕϕααα)1(⎰⎰ΩΩ⋅=⋅-→dx f D dx D f ϕϕααα||)1(.即当∞→j 时，j f D α在)(Ωp L 内弱收敛于f D α，记成))((Ω−−−→−p j L f D f D αα弱收敛由极限的唯一性，得)(Ω∈=p L g f D αα )|(|m ≤α 且))((Ω→p j L f D f D αα )(∞→j .这就说明，若{}j f 是)(,Ωp m W 中的Cauchy 序列，则必存在)(,Ω∈p m W f ，使得))((,Ω→p m j W f f )(∞→j .即，)(,Ωp m W 是完备的. 从而)(,Ωp m W 是Banach 空间.（二）可分性：当∞<≤p 1时，)(,Ωp m W 是可分的.证明 只要证明当∞<≤p 1时，Q p L ))((Ω是可分的，也就是说Q p L ))((Ω中存在稠密的可列集.事实上，对每个正整数k ，作⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>Ω∂Ω∈=Ωk x k x dist x x k ||,1),(,|.设P 表示所有有理数多项式全体，{}P f f P kk ∈=Ω|χ，k k P P ∞==1~ ，则P ~在)(Ωp L 中稠密. 事实上，对)(Ω∈p L f ，任意的0>ε，由)(0ΩC 在)(Ωp L 中稠密知，存在)(0Ω∈C g ，使得2)(ε<-Ωp L gf .另外容易看出，)()(010k k C C Ω=Ω∞= .故g 属于某个)(0m C Ω，利用weierstrass 定理知，m P 在)(0m C Ω中稠密，也就是说，存在m P h ∈，使得pm h g 1||2||-Ω<-ε，m x Ω∈∀.因为m Ω有界，故有⎰ΩΩ-=-ppL h g h g p 1)()||(||||2)||(1ε<-=⎰Ωmpp h g故ε<-Ω)(||||p L h f .其中，k k P P h ∞==∈1~.这就说明P ~在)(Ωp L 中稠密，且P ~是一个可列集，因而P P P P Q ~~~~1⨯⨯⨯=∏ 是Q p L ))((Ω可列的稠密集，即)1())((∞<≤Ωp L Q p 是可分的，从而)(,Ωp m W 也是可分的.(三)自反性:设∞<<p 1，则)(,Ωp m W 是自反空间. 三、Sobolev 空间的嵌入定理： (一)设Ω具有锥性质k Ω表示Ω与n R 中一上k 维平面的交集，n k ≤≤1，m 为正整数，j 为非负整数，∞<≤p 1，则有下列嵌入关系情形A 假设n mp <且n k mp n ≤<-则)()(,ΩΩq p m L W ，mp n npq p -≤≤ )()(,,ΩΩ+q j p m j W W ，mp n npq p -≤≤ )()(,,k q j p m j W W ΩΩ+ ，mpn kpq p -≤≤. 情形B 假设n mp =，则对n k ≤≤1，有)()(,,k q j p m j W W ΩΩ+ ，∞<≤q p .特别)()(,ΩΩq p m L W ，∞<≤q p .若1=p ，则n m =，这时当∞=q 时，上两式仍成立. 情形C 假设n mp >，则)()(,ΩΩ+j B p m j C W .(二)设Ω具有强局部Lipschitz 性质 情形C ' 假设p m n mp )1(->>，则)()(,,ΩΩ+αj p m j C W ，pn m -≤<α0. 情形C '' 假设p m n )1(-=，则)()(,,ΩΩ+αj p m j C W ，10≤<α.若1,1-==m n p ，则上式对1=α也成立. 四、建立Sobolev 空间的意义：随着科技的不断发展，在工程中提出了许多形式各样的偏微分方程，其中有相当一部分在古典理论上是不存在解的. 但实际背景表明，它们是存在唯一解的，这时，偏微分广义解的提出，很大程度上解决了这一数学与实际相冲突的问题. 广义解的另一优点是，它把偏微分方程的解的唯一性问题，分解成某个Sobolev 空间中广义解的存在与广义解的正则性两个问题来研究，解决了一些新的偏微分方程定解问题，特别是在非线性偏微分方程中，由于直接寻找古典解是相当困难的，而寻找弱解则相对容易，进而确定弱解的正则性后就获得古典解.在偏微分方程的数值计算中，现在比较流行的方法，如有限元法和有限体积法，它们的理论基础就是广义函数与Sobolev 空间. 它们都是利用守恒原理，在偏微分方程两边与某个区域进行积分，再进行一定的简化，将其等价的化为一个变分问题，再在某个Sobolev 空间中求解这个变分问题，其实我们求出来的变分问题的解就是其对应的偏微分方程的古典解.综上所述，广义微商及Sobolev 空间的建立，很大程度上促进了偏微分方程理论及其数值解理论的发展，在偏微分方程发展中揭开了新的一页.。
广义函数论与函数空间
广义函数论与函数空间摘要：一、广义函数论的定义与背景1.广义函数论的概念2.广义函数论的发展背景二、广义函数论的重要概念与性质1.广义函数的定义与性质2.广义函数的分类三、函数空间的概念与性质1.函数空间的概念2.函数空间的性质四、广义函数论在数学领域的应用1.微分方程中的应用2.偏微分方程中的应用五、广义函数论的发展趋势与前景1.广义函数论与其他领域的交叉研究2.广义函数论的未来发展正文：广义函数论与函数空间是现代数学中的重要研究领域，涉及到许多基础数学理论和应用。
广义函数论是在经典函数论的基础上，对函数的概念进行推广和拓展，从而形成的新的数学理论体系。
广义函数论的概念最早可以追溯到20 世纪初，由法国数学家拉普拉斯和德国数学家赫尔德等人提出。
随着科学技术的发展，广义函数论在物理学、工程学等领域得到了广泛应用，逐渐发展成为现代数学的一个重要分支。
在广义函数论中，广义函数是一种特殊的数学对象，它具有连续性、可积性等性质。
广义函数可以分为四类：核函数、基本广义函数、广义函数和逆广义函数。
这些函数具有不同的性质和应用，为数学研究提供了丰富的理论体系。
函数空间是广义函数论中的另一个重要概念，它是一种特殊的集合，包含了许多具有特定性质的函数。
函数空间的性质包括完备性、稠密性、嵌入性等，这些性质对函数空间的构造和应用具有重要意义。
广义函数论在数学领域具有广泛的应用，特别是在微分方程和偏微分方程的研究中发挥着重要作用。
通过引入广义函数，可以更方便地研究这些方程的性质和解的结构，为数学理论的发展提供了有力支持。
近年来，随着计算机技术的进步，广义函数论与其他领域的交叉研究取得了丰硕成果。
例如，在图像处理、信号处理等领域，广义函数论的方法得到了广泛应用。
这些研究成果为广义函数论的未来发展奠定了坚实基础。
总之，广义函数论与函数空间是现代数学中的重要研究领域，具有广泛的应用前景。
Sobolev空间的建立
Sobolev 空间一、定义：(一)弱导数的定义：设)(1Ω∈loc L u ，对于给定的重指标α，称为u 的α阶弱导数，如果存在函数)(1Ω∈loc L v ，使得对于）（Ω∈∀∞C ϕ成立 ⎰⎰ΩΩ-=dx uD vdx ϕϕαα||)1(.并记u D v α=.(二)Sobolev 空间的定义：对p ≥1,m 是非负整数，定义Sobolev 空间{}m L u D u L Wp p pm ≤Ω∈Ω=Ω∆||),(|)()(,αα{}m L u D L u u p p ≤Ω∈Ω∈=||),(),(|αα. 在)(,Ωp m W 中引入范数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞<≤==Ω∞≤≤ΩΩ≤Ω∑⎰∑p u D p u D dx u D umm pp p p mp p m ,max 1,)()||(,||||1,1||,,αααααα下面证明)(,Ωp m W 按范数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞<≤==Ω∞≤≤ΩΩ≤Ω∑⎰∑p u D p u D dx u D umm pp p p mp p m ,max 1,)()||(,||||1,1||,,αααααα是赋范空间. (i )非负性：当∞<≤p 1时，任意的)(,Ω∈pm Wu ，则0)||(||1,≥=⎰∑Ω≤mpppm dx u D uαα，且0,=pm u⇔0)||(||1=⎰∑Ω≤mppdx u D αα⇔0=u D α对任意m ≤||α均成立⇔0=u ；当∞=p 时，任意的)(,Ω∈p m W u ，则0m ax ||,≥=∞≤uD umpm αα，且0,=pm u⇔0m ax ||=≤u D mαα⇔0=u D α对任意m ≤||α均成立⇔0=u ；(ii )齐次性：当∞<≤p 1时，任意)(,Ω∈p m W u ，K ∈β，有==⎰∑Ω≤mppdx u D u ||1)|)(|(ααββ=⎰∑Ω≤mppdx u D ||1)||(ααβu β；当∞=p 时，任意)(,Ω∈p m W u ，K ∈β，有==≤)(m ax ||u D u mββαα=≤u D mααβ||m ax u β；(iii )三角不等式性：当∞<≤p 1时，任意)(,Ω∈p m W u ，)(,Ω∈p m W v ，有=+=+⎰∑Ω≤mppdx v u D v u ||1)|)(|(αα⎰∑Ω≤+mppp dx v D u D ||1)|||(|(ααα+≤⎰∑Ω≤mppdx u D ||1)||(αα=⎰∑Ω≤mppdx v D ||1)||(αα+u v ；当∞=p 时，任意)(,Ω∈p m W u ，)(,Ω∈p m W v ，有=+=+≤)(m ax ||v u D v u mαα≤+≤v D u D mααα||m ax +≤u D mαα||max =≤v D mαα||max +u v .所以，Sobolev 空间)(,Ωp m W 是一个赋范空间. 二、Sobolev 空间的主要性质：（一）完备性：)(,Ωp m W 是Banach 空间. 证明 只要证明)(,Ωp m W 是完备的. 任取)(,Ωp m W 中的Cauchy 序列{}j f ，则),(0,∞→→-j k f f pm j k .而∑≤-=-mpp L j k pm jk pf f D f f ||1,))((αα∑≤-=mppL j k p f D f D ||1))(ααα ⇒ ),(0∞→→-j k f D f D pL jk αα.即{})|(|m f D j ≤αα是)(Ωp L 中的Cauch 列，由)(Ωp L 的完备性知，存在)|)(|(m L g p≤Ω∈αα，使得∞→→j g f D pL j ,αα.在弱收敛的意义下，ααg f D j →，即对任意)111)((=+Ω∈qp L p ϕ，有 ⎰⎰ΩΩ∞→→)(j dx g dx f D j ϕϕαα.特别对任意)(0Ω∈∞C ϕ，有 ⎰⎰ΩΩ∞→→)(j dx g dx f D j ϕϕαα.这是因为⎰⎰ΩΩ→||dx g dx f D j ϕϕαα⎰Ω⋅-≤dx g f D j ||||ϕαα0→⋅-≤qpL L j g f D ϕαα(应用Holder 不等式）令0=α得⎰⎰⎰ΩΩ∆Ω=→dx f dx g dx f j ϕϕϕ0.其中)(0Ω∈∞C ϕ. 在利用弱导数的定义得，对于任意∞→Ω∈∞j C ),(0ϕ时有⎰⎰ΩΩ⋅-=dx D f dx f D j j ϕϕααα)1(⎰⎰ΩΩ⋅=⋅-→dx f D dx D f ϕϕααα||)1(.即当∞→j 时，j f D α在)(Ωp L 内弱收敛于f D α，记成))((Ω−−−→−p j L f D f D αα弱收敛由极限的唯一性，得)(Ω∈=p L g f D αα )|(|m ≤α 且))((Ω→p j L f D f D αα )(∞→j .这就说明，若{}j f 是)(,Ωp m W 中的Cauchy 序列，则必存在)(,Ω∈p m W f ，使得))((,Ω→p m j W f f )(∞→j .即，)(,Ωp m W 是完备的. 从而)(,Ωp m W 是Banach 空间.（二）可分性：当∞<≤p 1时，)(,Ωp m W 是可分的.证明 只要证明当∞<≤p 1时，Q p L ))((Ω是可分的，也就是说Q p L ))((Ω中存在稠密的可列集.事实上，对每个正整数k ，作⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>Ω∂Ω∈=Ωk x k x dist x x k ||,1),(,|.设P 表示所有有理数多项式全体，{}P f f P kk ∈=Ω|χ，k k P P ∞==1~ ，则P ~在)(Ωp L 中稠密. 事实上，对)(Ω∈p L f ，任意的0>ε，由)(0ΩC 在)(Ωp L 中稠密知，存在)(0Ω∈C g ，使得2)(ε<-Ωp L gf .另外容易看出，)()(010k k C C Ω=Ω∞= .故g 属于某个)(0m C Ω，利用weierstrass 定理知，m P 在)(0m C Ω中稠密，也就是说，存在m P h ∈，使得pm h g 1||2||-Ω<-ε，m x Ω∈∀.因为m Ω有界，故有⎰ΩΩ-=-ppL h g h g p 1)()||(||||2)||(1ε<-=⎰Ωmpp h g故ε<-Ω)(||||p L h f .其中，k k P P h ∞==∈1~.这就说明P ~在)(Ωp L 中稠密，且P ~是一个可列集，因而P P P P Q ~~~~1⨯⨯⨯=∏ 是Q p L ))((Ω可列的稠密集，即)1())((∞<≤Ωp L Q p 是可分的，从而)(,Ωp m W 也是可分的.(三)自反性:设∞<<p 1，则)(,Ωp m W 是自反空间. 三、Sobolev 空间的嵌入定理： (一)设Ω具有锥性质k Ω表示Ω与n R 中一上k 维平面的交集，n k ≤≤1，m 为正整数，j 为非负整数，∞<≤p 1，则有下列嵌入关系情形A 假设n mp <且n k mp n ≤<-则)()(,ΩΩq p m L W ，mp n npq p -≤≤ )()(,,ΩΩ+q j p m j W W ，mp n npq p -≤≤ )()(,,k q j p m j W W ΩΩ+ ，mpn kpq p -≤≤. 情形B 假设n mp =，则对n k ≤≤1，有)()(,,k q j p m j W W ΩΩ+ ，∞<≤q p .特别)()(,ΩΩq p m L W ，∞<≤q p .若1=p ，则n m =，这时当∞=q 时，上两式仍成立. 情形C 假设n mp >，则)()(,ΩΩ+j B pm j C W.(二)设Ω具有强局部Lipschitz 性质 情形C ' 假设p m n mp )1(->>，则)()(,,ΩΩ+αj p m j C W ，pn m -≤<α0. 情形C '' 假设p m n )1(-=，则)()(,,ΩΩ+αj p m j C W ，10≤<α.若1,1-==m n p ，则上式对1=α也成立. 四、建立Sobolev 空间的意义：随着科技的不断发展，在工程中提出了许多形式各样的偏微分方程，其中有相当一部分在古典理论上是不存在解的. 但实际背景表明，它们是存在唯一解的，这时，偏微分广义解的提出，很大程度上解决了这一数学与实际相冲突的问题. 广义解的另一优点是，它把偏微分方程的解的唯一性问题，分解成某个Sobolev 空间中广义解的存在与广义解的正则性两个问题来研究，解决了一些新的偏微分方程定解问题，特别是在非线性偏微分方程中，由于直接寻找古典解是相当困难的，而寻找弱解则相对容易，进而确定弱解的正则性后就获得古典解.在偏微分方程的数值计算中，现在比较流行的方法，如有限元法和有限体积法，它们的理论基础就是广义函数与Sobolev 空间. 它们都是利用守恒原理，在偏微分方程两边与某个区域进行积分，再进行一定的简化，将其等价的化为一个变分问题，再在某个Sobolev 空间中求解这个变分问题，其实我们求出来的变分问题的解就是其对应的偏微分方程的古典解.综上所述，广义微商及Sobolev 空间的建立，很大程度上促进了偏微分方程理论及其数值解理论的发展，在偏微分方程发展中揭开了新的一页.。
sobolev空间范数
sobolev空间范数Sobolev空间范数是数学分析中常用的一种函数空间范数，它在偏微分方程、泛函分析等领域中具有重要的应用。
本文将介绍Sobolev空间范数的定义、性质以及一些常见的应用。
我们来定义Sobolev空间范数。
给定定义在一个开集上的函数f，我们可以定义它的一个特定阶数的Sobolev空间W^{k,p}(Ω)。
其中k是一个非负整数，p是一个大于等于1的实数，Ω是定义域。
对于任意一个在Ω上具有连续的k个偏导数的函数f，我们可以定义它的Sobolev范数为：||f||_{W^{k,p}(Ω)} = \left( \sum_{|\alpha|\leq k} \int_{Ω} |D^{\alpha} f|^p dx \right)^{1/p}这里，α是一个多重指标，D^α是偏导数算子，|α|表示指标α的阶数之和。
Sobolev范数的定义中，我们对函数f的各个阶数的偏导数进行了加权求和，并取这个和的p次方根。
这个范数的定义允许我们度量一个函数在各个阶数的导数上的平滑程度。
Sobolev空间范数的一个重要性质是它是完备的。
也就是说，对于一个在Sobolev空间中的Cauchy序列，存在一个极限函数使得序列中的函数逐点收敛到这个极限函数，并且这个极限函数也属于Sobolev空间。
这个性质使得Sobolev空间成为了一个良好的函数空间，可以用来研究偏微分方程的解的存在性和唯一性。
除了完备性外，Sobolev空间范数还具有嵌入定理的性质。
嵌入定理指出，如果定义域Ω是一个有界开集并且k大于等于定义域的维数n除以p，那么函数f属于Sobolev空间W^{k,p}(Ω)中就意味着它在Ω上的p次方可积。
这个性质使得Sobolev空间成为了研究函数的可积性的一个有力工具。
Sobolev空间范数在偏微分方程的研究中有广泛的应用。
例如，在椭圆型偏微分方程的理论中，我们经常需要研究解的正则性。
通过定义适当的Sobolev空间范数，我们可以得到解的Hölder连续性、可微性等结果。
Soblev空间
专家2007年12月25日
表
课程名称：Sobolev空间
课程代码：011.562
英文名称：Sobolev Spaces
课程类型：√讲授课程□实践（实验、实习）课程□研讨课程□专题讲座□其它
考核方式：考试+研讨成绩(60+40)
教学方式：讲授
适用专业：基础数学,应用数学
适用层次：硕士□√博士□√
开课学期：春
总学时/讲授学时：48/48
教学大纲：（章节目录）
第一章预备知识:
1.泛函分析和实分析基本知识回顾.
2.嵌入和紧嵌入算子的定义,连续函数空间的嵌入定理.
3.广义函数基本知识回顾.
第二章Lp空间:
1.基本性质.
2.磨光篹子与光滑函数逼近.
3.相对紧集的特征.
4.一致凸和一致光滑性.
5.对偶空间的Riesz表示定理.
第三章Sobolev空间Wm, p(Ω):
1.Lions的迹空间与内插性质.
2.迹空间的算子半群表征.
3.迹定理与Ws, p(Ω)的定义,内在范数.
4.嵌入定理简介.
教材：
R. A.Adams.《Sobolev Spaces》, Academic Press, New York.
主要参考书：
[1] V. G. Maz’ja.《Sobolev Spaces》, Springer, New York.
[2] W. P. Ziemer.《Weakly Differentiable Functions: Sobolev Spaces and Functions of Bounded Variation》, Springer, New York.
该课程所属基层教学组织（教研室、系）专家小组意见：
soblev空间
完备空间可以看成是一些好的经典函数空间的完备化. H m, p 是C 函数按范数 4.2 完备化得到的空间 H 0m, p 是Cc 函数按范数 4.2 完备化得到的空间
m
L 1 p
H m, p
,1 p , Lp ( )
p
H
m ,
max D u
特别的，p 2时，记H m,2为H m , 这时可引进内积， u, v m
D u , D v
m
L2
定理4.1：H m, p 为Banach空间. 根据H m, p 的定义，易知如下性质：
1.4 Sobolev空间
1.非负整指数Sobolev空间H m, p 定义4.1：设 R n是一给定的区域，对m 0,1 p 定义Sobolev空间H m, p 为满足条件D u Lp (), m的广义函数u全体所构成的集合，并装备以范数 u u D u m
函数的傅里叶变换
2. 函数1的傅里叶变换
1.3.3紧支集广义函数的Fourier变换
定理3.4：若T E( Rn ), 则T T , eix .
定义3.2 : 若函数a( x, ) C ( Rxn Rn ), 且对任意重指标，，有
x a ( x, ) C , (1 )
1 H 0, p =LP 2 若m1 m2 0, 则H m , p H m , p ，又若p1 p2 1, 且为 有界区域，则H m, p H m, p . 3 若u H m, p , m, 则D u H m , p
广义函数和Sobolev空间的一些性质综述
广义函数和Sobolev空间的一些性质综述广义函数和Sobolev空间是近代分析的重要概念，其研究的逐步深入对于近代数学各个分支的发展均起到了极其重要的作用。
随着研究的深入，广义函数由最开始的被物理学家以不严密形式表示，到后来的说明线性双曲型方程哥西问题的解唯一性问题，再到后来用线性拓扑空间理论作为基础，得到了一系列的重要而具有深远意义的结论。
与此同时，sobolev空间的研究也取得了实质性的发展，其各种推广、嵌入定理、迹定理及各种插值公式已经成为偏微分方程理论必不可少的工具。
本文就广义函数和sobolev空间的性质及其应用以lax-milgram定理的研究为例展开讨论。
这是一篇读书报告，主要取材于[1]-[3].关键词：广义函数，sobolev空间，lax-milgram定理广义函数和Sobolev空间的一些性质综述第一章引言广义函数和Sobolev空间是近代分析的重要概念，它们的发展也直接促进了偏微分方程的研究。
本文将就广义函数和Sobolev空间进行综述，介绍一些基本性质及其应用。
1.1关于广义函数目前，在各个不同的数学分支的发展中，广义函数均得到日益广泛的传播，而以不严密形式来表示的广义函数，实际上早已为物理学家所采用。
J.Hadamant由于研究波动方程的基本解，曾经探讨发散的积分。
他的很多工作和M.Ricsz的一些工作都对广义函数理论的形成起了极其重要的作用。
1936年，索伯列夫首先引入广义函数，以一种明确而又是目前广泛采用的形式，说明了线性双曲型方程哥西问题的解唯一性问题。
另一方面，有另一些数学理论的发展也与广义函数理论也有紧密的联系，例如按幂式增长函数的傅里叶变换的C.Bochner理论。
这些傅里叶变换实际上也是广义函数。
在C.Bochner的理论中，这些广义函数的出现是为了表示连续函数的形式上的导数。
在1950至1951年间，随着L.Schwartz的专著“分布函数理论”的出版，广义函数理论更加系统化。
研究生课程《广义函数与Sobolev空间》教学大纲
研究生课程《广义函数与Sobolev空间》教学大纲课程编号：Math2085课程名称：广义函数与Sobolev空间英文名称：Distributions and Sobolev spaces开课单位：数学科学学院开课学期：秋课内学时： 36教学方式：讲授适用专业及层次：应用数学专业硕士考核方式：考试预修课程：实变函数、泛函分析一、教学目标与要求本课程较全面地介绍广义函数与Sobolev空间的基本理论和方法，重点是基本函数空间、基本空间上的广义函数、广义函数的卷积、广义函数的Fourier变换、 Lebesgue空间中的Fourier变换、偏微分方程的基本解、Sobolev空间的定义与性质、Sobolev空间中函数的逼近定理、延拓定理、迹定理与Sobolev不等式等，难点是理解广义函数的支集与奇支集的概念、广义函数的局部构造、广义函数的卷积运算的性质、Schwartz核定理、空间中Fourier变换的定义、 Paley-Wiener-Schwartz 定理、Sobolev空间中的逼近定理、延拓定理、迹定理与紧嵌入定理的证明等。
通过本课程中基本概念、基本理论与方法的阐述与论证，着重培养研究生的抽象思维能力、逻辑推理能力与数学计算能力，提高研究生的数学素养。
在重视数学论证的同时，强调数学概念的物理、力学等实际背景，培养研究生应用数学知识解决实际问题的能力。
通过本课程的学习，要求研究生掌握广义函数与Sobolev空间的基本理论和方法，为后继课程的学习和从事相关问题研究奠定基础。
二、课程内容与学时分配第一章广义函数论（8学时）1．1 基本空间1．2 广义函数1．3 广义函数的局部性质1．4 广义函数1．5 广义函数的卷积1．6 张量积与和核定理第二章广义函数的Fourier分析（10学时）2．1 速降函数及其Fourier变换2．2 速降函数空间上的广义函数及其Fourier变换2．3 Lebesgue空间中的Fourier变换2．4 Paley-Wiener-Schwartz 定理2．5 偏微分方程的基本解第三章 Sobolev空间（18学时）3．1 Hölder空间3．2 Sobolev空间3．3 逼近理论3．4 延拓理论3．5 迹定理3．6 Sobolev不等式3．7 紧嵌入3．8 相关知识3．9 相关函数空间四、教材1. 广义函数论教材：齐民友，线性偏微分算子引论（上册），科学出版社，1986.（第一、二章）2. Sobolev空间教材： L.C. Evans, Partial Differential Equations, Graduate studies in Mathematics, V olume 19, American Mathematical Society, 1998 （第五章）主要参考书1.J. Barros-Neto. An introduction to the theorey of distributions, Marcel Dekker, New York, 19732. R. A. Adams. Sobolev Spaces. Academic Press, New York, 19753. 王元明，徐君祥，索伯列夫空间讲义，东南大学出版社，2003 4．陈恕行，现代偏微分方程导论，科学出版社，20055. 伍卓群，尹景学，王春朋，椭圆与抛物型方程引论，科学出版社，2003。
广义函数与sobolev空间
广义函数与sobolev空间广义函数与Sobolev空间引言广义函数和Sobolev空间是数学分析中的两个重要概念。
广义函数是一类在某些意义下不满足普通函数定义的函数，而Sobolev空间则是由具有弱导数的函数组成的函数空间。
本文将分别介绍广义函数和Sobolev空间的定义、性质以及它们的应用。
一、广义函数广义函数是一类在某些意义下不满足普通函数定义的函数。
在函数分析中，广义函数可以用来描述一些非常规的函数，如狄拉克函数和阶跃函数等。
广义函数的定义是通过对测试函数的积分来进行的，而测试函数是一类具有光滑性质的函数。
广义函数的定义是通过对测试函数的积分来实现的。
设φ(x)是一个测试函数，定义在实数轴上，具有光滑性质。
则广义函数f(x)可以表示为f(x)=∫φ(x)dx，其中积分是以广义意义下的积分来进行的。
广义函数具有一些重要的性质。
首先，广义函数是线性的，即对于两个广义函数f(x)和g(x)，以及任意的实数a和b，有af(x)+bg(x)也是一个广义函数。
其次，广义函数可以通过收缩和拉伸来进行变换。
具体来说，如果f(x)是一个广义函数，那么f(ax)和f(x-b)也是广义函数。
此外，广义函数还可以进行导数运算，得到广义函数的导数。
广义函数的应用非常广泛。
在物理学中，广义函数可以用来描述一些特殊的物理现象，如点电荷和脉冲信号等。
在信号处理中，广义函数可以用来描述复杂的信号，如声音和图像等。
此外，广义函数还在概率论和微分方程等领域有重要的应用。
二、Sobolev空间Sobolev空间是由具有弱导数的函数组成的函数空间。
在数学分析中，Sobolev空间是研究偏微分方程的重要工具。
Sobolev空间的定义是通过对函数和其弱导数的平方和的积分来实现的。
设Ω是一个开放的有界区域，定义在Ω上的函数f(x)具有弱导数，如果对于任意的测试函数φ(x)，都有∫Ωf(x)φ'(x)dx= -∫Ωf'(x)φ(x)dx。
泛函分析中的Lp空间与Sobolev空间
泛函分析中的Lp空间与Sobolev空间泛函分析是现代数学的一个重要分支，它涉及了许多基本的概念和工具，其中两个重要的概念就是Lp空间和Sobolev空间。
一、Lp空间Lp空间是泛函分析中最基本的空间之一，它是由具有有限p次幂的可测函数组成的集合。
在Lp空间中，函数的p次幂可积，即可测函数f满足∫(|f|^p)dx < +∞。
当p=2时，Lp称为L2空间，它具有特殊的性质，是许多分析问题的重要工具。
Lp空间的定义使得我们能够度量函数的大小，其中p表示度量的方式。
当p趋于无穷大时，Lp空间上的范数也趋于无穷，这意味着函数在整个空间中无界。
相反，当p趋于1时，Lp空间上的范数变为函数的绝对值之和，这使得我们能够刻画有界函数。
在实际应用中，Lp空间用于定义范数、收敛以及函数空间中的距离等概念。
它在概率论、图像处理、信号处理等领域都有广泛的应用。
二、Sobolev空间Sobolev空间是在Lp空间的基础上进一步发展而来的，它引入了导数的概念。
在Sobolev空间中，函数不仅包含自身的信息，还包含了其导数的信息，这使得我们能够研究函数的更多性质。
Sobolev空间中的函数是函数及其导数在Lp空间中的广义函数。
具体来说，对于可测函数f，如果其导数在Lp空间中存在，则称其为Sobolev空间中的元素，记为f∈W^{1,p}(Ω)，其中Ω是定义域。
Sobolev空间的引入使得我们能够研究更加光滑的函数，它在偏微分方程、变分问题等领域具有重要的应用。
通过Sobolev空间，我们可以定义弱解、变分、黎曼积分等概念，为实际问题的求解提供了有力的工具。
总结：Lp空间和Sobolev空间是泛函分析中重要的概念，它们为我们研究函数的性质和解决实际问题提供了有效的工具。
Lp空间具有度量函数大小的能力，而Sobolev空间则引入了导数的概念，使得我们能够研究更加光滑的函数。
这两个空间在数学理论以及实际应用中都有广泛的应用价值。
广义函数和Sobolev空间的一些性质综述
广义函数和Sobolev空间的一些性质综述广义函数和Sobolev空间是近代分析的重要概念，其研究的逐步深入对于近代数学各个分支的发展均起到了极其重要的作用。
随着研究的深入，广义函数由最开始的被物理学家以不严密形式表示，到后来的说明线性双曲型方程哥西问题的解唯一性问题，再到后来用线性拓扑空间理论作为基础，得到了一系列的重要而具有深远意义的结论。
与此同时，sobolev空间的研究也取得了实质性的发展，其各种推广、嵌入定理、迹定理及各种插值公式已经成为偏微分方程理论必不可少的工具。
本文就广义函数和sobolev空间的性质及其应用以lax-milgram定理的研究为例展开讨论。
这是一篇读书报告，主要取材于[1]-[3].关键词：广义函数，sobolev空间，lax-milgram定理广义函数和Sobolev空间的一些性质综述第一章引言广义函数和Sobolev空间是近代分析的重要概念，它们的发展也直接促进了偏微分方程的研究。
本文将就广义函数和Sobolev空间进行综述，介绍一些基本性质及其应用。
1.1关于广义函数目前，在各个不同的数学分支的发展中，广义函数均得到日益广泛的传播，而以不严密形式来表示的广义函数，实际上早已为物理学家所采用。
J.Hadamant由于研究波动方程的基本解，曾经探讨发散的积分。
他的很多工作和M.Ricsz的一些工作都对广义函数理论的形成起了极其重要的作用。
1936年，索伯列夫首先引入广义函数，以一种明确而又是目前广泛采用的形式，说明了线性双曲型方程哥西问题的解唯一性问题。
另一方面，有另一些数学理论的发展也与广义函数理论也有紧密的联系，例如按幂式增长函数的傅里叶变换的C.Bochner理论。
这些傅里叶变换实际上也是广义函数。
在C.Bochner的理论中，这些广义函数的出现是为了表示连续函数的形式上的导数。
在1950至1951年间，随着L.Schwartz的专著“分布函数理论”的出版，广义函数理论更加系统化。
广义函数论与函数空间
广义函数论与函数空间摘要：一、引言1.广义函数论的概念2.函数空间的概念二、广义函数论的发展历程1.早期发展2.成熟阶段3.现代广义函数论的研究三、广义函数论的重要意义1.数学领域的应用2.物理领域的应用3.其他领域的应用四、函数空间的发展1.函数空间的定义2.函数空间的性质3.函数空间的分类五、函数空间的重要意义1.数学领域的应用2.物理领域的应用3.其他领域的应用六、广义函数论与函数空间的联系1.广义函数论对函数空间的影响2.函数空间对广义函数论的影响七、总结1.广义函数论与函数空间的贡献2.未来发展趋势正文：广义函数论与函数空间是数学领域的两个重要概念，它们在理论和实际应用中都发挥着重要作用。
广义函数论是一种数学理论，主要研究无限可微函数的性质及其应用。
它的发展历程可以追溯到20 世纪初，经过早期的发展，成熟阶段，到现代广义函数论的研究，已经成为数学领域的一个重要分支。
广义函数论的重要意义不仅在于它推动了数学领域的发展，而且在物理等领域也具有广泛的应用。
函数空间是数学中另一个重要的概念，它是一种将函数集合组织成空间的理论。
函数空间的定义及其性质是函数空间研究的基础，而函数空间的分类则是函数空间研究的重点。
函数空间在数学领域及其他领域具有广泛的应用，这使得函数空间成为了一个备受关注的研究领域。
广义函数论与函数空间之间存在着密切的联系。
广义函数论对函数空间的发展产生了深远的影响，而函数空间也为广义函数论提供了丰富的研究素材。
这种相互作用使得广义函数论与函数空间在数学领域的研究中相互促进，共同发展。
总之，广义函数论与函数空间在数学领域及其他领域具有重要的意义。
广义函数与sobolev空间
广义函数与sobolev空间广义函数与Sobolev空间引言：在数学分析中，广义函数和Sobolev空间是两个重要的概念。
广义函数是一类比普通函数更广泛的对象，它可以用来描述不连续函数或者分布函数。
而Sobolev空间则是一类函数空间，用来刻画函数的平滑程度以及其在某些导数意义下的可微性。
本文将介绍广义函数和Sobolev空间的基本概念、性质以及应用。
一、广义函数1. 基本概念广义函数是由Laurent Schwartz在20世纪50年代提出的，它是一种比普通函数更广泛的数学对象。
普通函数只在定义域上有定义，而广义函数可以在更广泛的场景下使用。
广义函数常常用符号记号表示，如δ(x)表示单位冲激函数，H(x)表示单位阶跃函数等。
2. 分布理论广义函数的理论基础是分布理论。
分布理论是一种用来处理不连续函数或者分布函数的数学工具。
通过广义函数，我们可以处理一些传统函数论中无法处理的问题，比如在弱解理论中的应用。
3. 广义函数的性质广义函数具有一些特殊的性质，比如线性性、微分性以及傅里叶变换性质等。
这些性质使得广义函数成为一种强大的工具，可以用来解决各种数学问题。
二、Sobolev空间1. 基本概念Sobolev空间是一类函数空间，用来刻画函数的平滑程度以及其在某些导数意义下的可微性。
Sobolev空间中的函数不一定是普通函数，可以是广义函数或者其他更一般的对象。
Sobolev空间具有一定的泛函分析性质，是研究偏微分方程、变分问题等的重要工具。
2. Sobolev空间的结构Sobolev空间是由具有一定阶数的导数在Lebesgue空间中可积的函数组成的。
不同阶数的Sobolev空间具有不同的平滑性质，可以用来描述函数的光滑程度。
Sobolev空间具有一定的线性结构，可以定义范数和内积，从而成为一个完备的函数空间。
3. Sobolev嵌入定理Sobolev嵌入定理是Sobolev空间理论中的重要结果，它刻画了不同阶数的Sobolev空间之间的包含关系。
泛函分析第6章 广义函数与Sobolev空间简介
第六章 广义函数与Sobolev 空间简介函数是经典分析中的基本概念之一，然而这样的一个基本概念，在近代科学技术的发展中逐渐不够用了。
下面用几个例子加以说明。
例6.1（脉冲） 20世纪初，Heaviside 在解电路方程时，提出了一种运算方法，称之为算子演算。
这套算法要求对如下函数10()00x h x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ 求导数，并把导数记为()x δ。
但按照经典分析的理论，()h x 并不可导，因此()x δ不可能是普通意义下的函数，它除了作为一个记号进行形式演算外，在数学上是没有意义的。
但是，这个()x δ在实际中是没有意义的，又代表一种理想化的“瞬时”单位脉冲。
例6.2（Dirac 符号） 在微观世界中，把可观测到物质的状态用波函数来描述，最简单的波函数具有形式((,))i x e x λ∈-∞+∞，λ是实参数，并考虑如下形式的积分12i x e dx λπ+∞-∞⎰这种积分按Cauchy 积分来定义，即111sin lim lim 22n i x i x n n n n e dx e dx λλλπππλ+∞+-∞-→∞→∞==⎰⎰ 显然，这个极限在普通意义下不存在。
然而，物理学家认为这个极限是前面所提到的()x δ，并认为是Dirac 符号。
特别，在量子力学中，进一步发展了不少关于()x δ的运算法则，并广泛地使用。
例 6.3（广义微分） 在数学本身的发展中，也时常要求冲破经典分析中对一些基本运算使用范围所加的限制。
20世纪30年代，Sobolev 为了确定微分方程的存在性和惟一性问题，通过分部积分公式，推广了函数可微性的概念，建立了广义微商理论，形成了以他的名字命名的Sobolev 空间理论。
这标志着现代微分方程理论的诞生。
基于上述原因，扩充函数概念，为广义函数寻找坚实的数学基础，对数学家提出了新的挑战。
20世纪40年代，Schwartz 完成了这一艰巨的任务，创立了广义函数的系统理论，并因此于1950年获得数学最高奖——菲尔兹奖。
泛函分析第6章广义函数与Sobolev空间简介
第六章广义函数与Sobolev空间简介函数是经典分析中的基本概念之一，然而这样的一个基本概念，在近代科学技术的发展中逐渐不够用了。
下面用几个例子加以说明。
例6.1（脉冲） 20世纪初，Heaviside在解电路方程时，提出了一种运算方法，称之为算子演算。
这套算法要求对如下函数求导数，并把导数记为。
但按照经典分析的理论，并不可导，因此不可能是普通意义下的函数，它除了作为一个记号进行形式演算外，在数学上是没有意义的。
但是，这个在实际中是没有意义的，又代表一种理想化的“瞬时”单位脉冲。
例6.2（Dirac符号）在微观世界中，把可观测到物质的状态用波函数来描述，最简单的波函数具有形式，是实参数，并考虑如下形式的积分这种积分按Cauchy积分来定义，即显然，这个极限在普通意义下不存在。
然而，物理学家认为这个极限是前面所提到的，并认为是Dirac符号。
特别，在量子力学中，进一步发展了不少关于的运算法则，并广泛地使用。
例6.3（广义微分）在数学本身的发展中，也时常要求冲破经典分析中对一些基本运算使用范围所加的限制。
20世纪30年代，Sobolev为了确定微分方程的存在性和惟一性问题，通过分部积分公式，推广了函数可微性的概念，建立了广义微商理论，形成了以他的名字命名的Sobolev空间理论。
这标志着现代微分方程理论的诞生。
基于上述原因，扩充函数概念，为广义函数寻找坚实的数学基础，对数学家提出了新的挑战。
20世纪40年代，Schwartz完成了这一艰巨的任务，创立了广义函数的系统理论，并因此于1950年获得数学最高奖——菲尔兹奖。
6.1 基本函数空间与广义函数6.1.1基本函数空间把普通函数视为某类函数空间上的线性泛函是推广函数概念的一条行之有效的途径。
广义函数正是定义在一类性质很好的函数空间上的线性泛函。
这类函数空间称为基本函数空间。
在引进基本函数空间之前，先介绍一些记号和术语。
对于欧氏空间表示中的点，范数。
设为个非负整数，有序数组称为多重指标。
Sobolev空间
先修课程要求：广义函数论,现代分析,基础拓扑学
课程组教师姓名
职称
专业
年龄
学术专长
张显文
教授
应用数学
44
数学物理
杨茵
教授
应用数学
48
偏微分方程
汤燕斌
教授
应用数学
42
偏微分方程
黄永忠
副教授
应用数学
42
应用泛函分析
教学目的:
本课程是为应用泛函分析,数学物理,偏微分方程及相关研究方向的研究生开设的专业核心课程之一.其目的是为研究生进一步学习和研究典型的数学物理方程以及一般的偏微分方程提供必要的基础知识.要求研究生熟练的掌握索波列夫空间这一现代工具的基本技巧,并且能够将所学的知识运用于后续课程的学习以及课题的研究.
教学大纲：（章节目录）
第一章预备知识:
1.泛函分析和实分析基本知识回顾.
2.嵌入和紧嵌入算子的定义,连续函数空间的嵌入定理.
3.广义函数基本知识回顾.
第二章Lp空间:
1.基本性质.
2.磨光篹子与光滑函数逼近.
3.相对紧集的特征.
4.一致凸和一致光滑性.
5.对偶空间的Riesz表示定理.
第三章Sobolev空间Wm, p(Ω):
专家组长
专家2007年12月25日
2.中间导数的内插不等式(Gagliardo-Nirenberg定理和Browder-Ehrling定理).
3.紧子区域上的内插不等式.
4. Sobolev空间的常用延拓定理.
5.延拓定理的证明.
第五章Sobolev嵌入定理:
1.嵌入定理的叙述和嵌入算子的解释.
2. Sobolev不等式及其证明.
偏微分方程课程简介-华东师范大学数学系
2.L^2理论
3*.算子半群理论
4*.Schauder理论简介
第五章、二阶双曲型方程
1.能量不等式
2.Cauchy问题
3*.初边值问题
第六章*偏微分方程组简介
1. Schrodinger方程
2.二阶椭圆组3.对称ຫໍສະໝຸດ 曲组4.Maxwell方程组
5.Navier-Stokes方程组
课程简介模板
《偏微分方程》课程简介
课程名称
偏微分方程
课程代码
课程英文名称
Pairial Differential Equations
任课教师
任课教师职称
课程类别
学位基础课
学时
周学时3，两学期
学分
3 + 3
授课方式
面授
主要内容简介
第一学期（周学时3）
第一章、基本数学物理方程回顾
第二章、广义函数与Sobolev空间
1.广义函数及其运算、Fourier变换
2.非负指数Sobolev空间基本性质
3.负指数与实指数Sobolev空间基本性质
4.嵌入定理、紧性、迹定理
第三章、二阶椭圆型方程
1.L^2理论
2.极大值原理及其应用
3*.Schauder理论
4*.L^p理论
5*.非线性椭圆方程简介
第二学期（周学时3）
第四章、二阶抛物型方程
陈亚浙，吴兰成，二阶椭圆型方程与椭圆型方程组，科学出版社，2006.
第三章：陈亚浙，二阶抛物型偏微分方程，北京大学出版社，2003.
第五章：由主讲教师指定
注：面向全系硕士生的通识课程.
加星号的为选学内容，或仅作简单介绍，由主讲教师掌握
研究生泛函分析总结
研究生泛函分析总结泛函分析是数学中的一个重要分支，是研究无限维空间上的函数和函数空间的理论。
它的应用涉及到许多领域，如量子力学、信号处理、图像处理等。
在研究生阶段，我们对泛函分析进行了深入学习和研究，下面是我对泛函分析的总结：一、泛函的概念和基本理论：1.泛函的定义：泛函是定义在一个函数空间上的函数，它将函数映射到实数集上。
2.泛函的性质：线性、有界、正则。
3.泛函的例子：函数的积分、导数、极大极小值等都可以视作泛函。
4.函数空间的定义：函数空间是一组满足一定性质的函数的集合。
5.多个函数空间的关系：包含关系、并集、交集等。
二、线性算子和函数空间：1.线性算子的定义：线性算子是将一个函数空间映射到另一个函数空间的线性变换。
2.线性算子的性质：线性、有界、正则。
3.压缩映射定理：压缩映射在完备度量空间上具有不动点，且不动点唯一4.单正则线性算子：定义、性质、例子。
三、Hilbert空间：1. Hilbert空间的定义：Hilbert空间是一个完备的内积空间。
2.内积的定义和性质：正定性、对称性、线性性等。
3. Hilbert空间的例子：L2空间、离散函数空间等。
4.切比雪夫不等式：内积的有界性和L2空间中的函数收敛性。
5. 基映射和完备性：基映射是将元素展开为基函数的系数，Hilbert 空间的完备性意味着可以用无限维的元素表示。
四、广义函数和分布理论：1.广义函数的定义：广义函数是泛函的推广，它是一种对一般函数进行推广的概念。
2.分布的性质：线性、有界、正则。
3. 分布的例子：Dirac函数、Heaviside函数等。
4.分布的导数和积分：广义函数的导数和积分的定义和性质。
五、Sobolev空间：1. Sobolev空间的定义：Sobolev空间是一组定义在Lp空间中，具有弱导数的函数的集合。
2. Sobolev空间的性质：线性、有界、正则。
3. Sobolev空间的例子：H1空间、H2空间等。
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§3.1基本解
§3.2椭圆方程
第四章整数阶Sobolev空间（10学时）
§4.1连续函数空间与 空间
§4.2整数阶Sobolev空间的定义与基本性质
§4.3对偶空间与负整数阶Sobolev空间
§4.4用光滑函数逼近 中的元素
§4.5延拓定理、导数的内插定理
第五章嵌入定理（8学时）
学分：4
先修课程要求：实变函数，泛函分析
课程组教师姓名
职称
专业
年龄
学术专长
张显文
教授
应用数学
49
非线性偏微分方程
段志文
副教授
应用数学
47
非线性偏微分方程
魏金波
讲师
应用数学
33
非线性偏微分方程
课程教学目标：
本课程是为基础数学，应用数学，计算数学和概率论等专业相关研究方向的研究生开设的基础课.其目的是让研究生掌握广义函数与Sobolev空间的基本知识,为以后学习非线性发展方程、反应扩散方程、无穷维动力系统等偏微分方程课程以及进行相关方向的科学研究奠定坚实的理论基础。
§5.1Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式
§5.2Morrey不等式
§5.3一般的Sobolev嵌入定理
§5.4Rellich-Kondrachov紧嵌入定理
§5.5迹嵌入定理
第六章实数阶Sobolev空间 （10学时）
§6.1空间 的基本性质
§6.2 的嵌入定理、内插定理与等价范数
[3]L.Hörmander.《The Analysis of Linear Partial Differential Operator》I.distribution theory and fourier analysis,Berlin：Springer, 2003.
[4] W. P. Ziemer.《Weakly Differentiable Functions》, Berlin: Springer, 1989.
教学大纲（章节目录）：
第一章检验函数与广义函数（14学时）
§1.1引言
§1.2检验函数空间
§1.3广义函数的运算
§1.4局部化
§1.5广义函数的支柱
§1.6广义函数Βιβλιοθήκη 局部结构§1.7卷积第二章Fourier变换（12学时）
§2.1基本性质
§2.2缓增广义函数
§2.3Paley-Wiener定理
§2.4Sobolev引理
主要参考书：
[1]J．Barros-Neto.《An Introduction to the Theory of Distributions》, New York: Marcel Dekker, 1973.
[2] R.A.Adams and J.F.Fournier.《Sobolev Spaces》,2ndedition, New York: Academic Press, 2003.
[2]L.C.Evans.《Partial Differential Equations》, AMS. 1998.(Chapter 5)
[3]D. Gilbarg and N.S. Trudinger《Elliptic Partial Differential Equations of Second Order》,北京:世界图书出版公司, 2003.(Chapter 7)
表
课程名称：广义函数与Sobolev空间
英文名称：Generalized Functions and Sobolev Spaces
课程类型：■讲授课程□实践（实验、实习）课程□研讨课程□专题讲座□其它
考核方式：考试
教学方式：讲授
适用专业：数学
适用层次：硕士■博士■
开课学期：秋
总学时/讲授学时：64/64
§6.3空间 的定义与基本性质
§6.4 的延拓定理、嵌入定理与内插定理
§6.5 的迹定理
第七章选择的论题（4学时）
§7.1Poincare不等式
§7.2差商、 的等价描述
§7.3Sobolev函数的几乎处处可微性
§7.4涉及时间的Sobolev空间
教材：
[1]W.Rudin.《Functional Analysis》，New York：McGraw-Hill，1991.(Chapters 6-8)
注：每门课程都须填写此表。本表不够可加页