数学物理方程第九章 广义函数

（20141217）第九章 广义函数

一、定义

引入定义前的准备

支集：若f 是定义在R n 上的函数，我们称所有满足()0f x ≠的点x 的闭包（此处可简单将其理解为集合）为f 的支集，即这些使f 非零的点支撑起了f 。f 的支集记为

supp()f 。若supp()f E ⊂，我们就说f 被E 支起。

测试函数集：若维度n 给定时，定义在R n 上的函数任意阶可（偏）导且连续，同时由这些函数所构成的函数空间的支集（即满足让这些函数非零的点所构成的集合）是R n 的

有界子集，我们就称这些函数空间（函数所构成的集合）为测试函数集，并记为0

(R )n C ∞

，且其中的每个元素都称作测试函数。

广义函数的定义

广义函数（分布）：是在对应法则F 下从集合0(R )n C ∞

到集合C 的映射，且满足条件 （1）线性：对120,C φφ∞

∀∈和12,C c c ∀∈都有

[][][]11221122F c c c F c F φφφφ+=+

（2）连续性：若{}k φ是0

(R )n C ∞

中的一个序列（即{}k φ是测试函数集的子集），且对所有k 而言，其支集都包含于一个固定的有界集合D 中，且假定当k →∞时，函数k φ及其所有的偏导数k αφ∂都一致收敛于0，此时则有[]0k F φ→。 广义函数[]F φ的表示式为

[]()()d F F φφ=⎰x x x

其中

120(,,,), ()n x x x C φ∞=∈x x K

另外，每个局部可积的函数都可以视为广义函数。最简单的广义函数是Dirac delta 函数

δ，其定义为

[]()()d ()δφδφφ==⎰x x x 0

此处的0为0向量。

若C 是上R n 的光滑曲线，曲线的弧长微元记为d σ，则可以定义在R n 上的广义函数F

[]()d ()C

F φφσ=⎰x x

当给定曲线的参数方程为()t =x x 时

[][]()'()d C

F t t t φφ=⎰x x

二、广义函数的运算

若0

()()C R φ∞

∈x ，当1n =时则有 '[]'()()d ()()()'()d F F x x x F x x F x x x φφφφ∞

-∞==-⎰⎰

根据测试函数的定义，即测试函数集是的R n 有界子集，因此当x 很大时，()x φ必然为0，所以

'[]()'()d [']F F x x x F φφφ=-=-⎰

同时，上式可以推广到k 阶导数

()()()[]1[]k

k k F F φφ=-

且当其导数为偏导数时，上式也成立，即

()()

[]1[]F F α

α

αφφ∂=-∂

利用上述性质，可以证明单位阶跃函数的导数为冲激函数，即'H δ=，过程如下

00

'[][']()'()d '()d ()(0)H H H x x x x x x φφφφφφ∞∞

∞

-∞

=-=-=-=-=⎰⎰

又因为

[](0)δφφ=

所以

'H δ=

利用上述性质还可以找到广义函数导数和函数导数之间的关系。若将广义函数f 的导数记为'f ，函数()f x 的导数记为(1)()f x ，并假设()f x 在R 上分段光滑，并在0x ≠时都可微，且在0x =存在一个跳跃间断点，则有

[][]0

''()'()d ()'()d ()'()d f f f x x x f x x x f x x x φφφφφ∞

-∞

=-=-=--⎰⎰

⎰

根据分部积分法，有

(1)

(1)()'()d ()()()()d (0)(0)()()d f x x x f x x f

x x x f f x x x φφφφφ-∞-∞

-∞-∞

-=-+=--+⎰

⎰

⎰

(1)

(1)00

()'()d ()()()()d (0)(0)()()d f x x x f x x f

x x x f f x x x φφφφφ∞

∞

∞

∞

-=-+=++⎰⎰⎰