数学物理方法第十章_格林函数法

G ( x, y | x0 , y0 )
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 1 ln[ ] 2 2 4π ( x x0 ) ( y y0 )
据上述物理模型可求解下列定解问题 例1 定解问题：
u xx u yy 0, ( y 0) u | y 0 ( x)
边界外法线方向为负 y 轴，故有
y0 y0 y0 G G 1 1 1 | | y 0 = 2 2 2 2 2 n y 2π ( x x0 ) y0 π ( x x0 ) y0 π ( x x0 )2 y0
代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式，拉普拉斯方程的自由 项 ,则由 f 0
G (r , r0 ) u (r0 ) G (r , r0 ) f (r )dV (r ) ]dS T n
得
y0 u ( x0 , y0 ) π


( x)
( x x0 ) y
2 2 0

dx
或代入拉普拉斯方程的第一边值问题的解公式
G (r , r0 ) u (r ) (r0 ) ]dS0 n 0 得到
对于第一类边值问题，其格林函数可定义为下列定解问题的解
G(r , r0 ) (r - r0 ) G(r , r0 ) | 0
为了满足边界条件：电势为零，所以还得在边界外像 点（或对称点）放置一个合适的负电荷，这样才能使这两 个电荷在界面上产生的电势之和为零
这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数，所 以我们称这种构建方法为电像法（也称为镜像法）．
.
即为
0
|
2 02 a 4 2 0 a 2 cos( ) 1 G ( , 0 ) ln{ 2 2 } 2 4π a [ 0 2 0 cos( )]
2 2 其中 x2 y 2 , 0 x0 y0
例.4
求解如下泊松方程定解问题
令积分常数为0，得到
G(r ,0)
1 1 G(r ,0) ln c 2π r
1 1 ln 2π r
因此二维轴对称情形的格林函数为
G(r , r0 ) 1 1 ln 2π | r r0 |
得到二维无界区域的解为
u (r ) 1 1 f ( r )ln dS0 0 S 2π 0 | r r0 |
二、 上半平面区域第一边值问题的格林函数构建
拉普拉斯方程的第一边值问题求解
物理模型：若在
M 0 ( x0 , y0 ) 处放置一正单位点电荷
则虚设的负单位点电荷应该在 M1 ( x0 , y0 ) 于是得到这两点电荷在 xoy 的上半平面的电位分 布．也就是本问题的格林函数，即为
G (r , r0 ) 1 1 1 1 ln ln 2π | r r0 | 2 π | r r1 | 1 1 1 1 ln ln 2π ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 2π ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
解： 根据第一边值问题，构建的格林函数满足
2G Gxx Gyy ( x x0 ) ( y y0 )
G | y 0 0
( x0 , y0 ),( x0 , y0 ) 处放置于一个正和一个负的点电荷（或点源）
构建格林函数为
( x x0 )2 ( y y0 )2 1 G ( x, y | x0 , y0 ) ln[ ] 2 2 4π ( x x0 ) ( y y0 )
上式正是我们所熟知的静电场的电势表达式
二、二维轴对称情形
用单位长的圆柱体来代替球．积分在单位长的圆柱体内进行，即
G(r ,0)dV (r )dV
T T
因为
(r )dV 1
T
G(r ,0)dV G(r ,0)dV
T T
四、上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题
例.3 在上半空间
z0
内求解拉普拉斯方程的第一边值问题
uxx u yy uzz 0,( z 0) u | z 0 ( x, y )
解：构建格林函数
G( x, y, z, x0 , y0 , z0 ) 满足
G ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) G |z 0 0
根据物理模型和无界区域的格林函数可以构建为
1 1 G(r , r0 ) 4π | r r0 | 4π | r r1 |
即有
G(r , r0 )
1 4π ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2

1 4π ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2
一、三维球对称
对于三维球对称情形，我们选取
r0 0
G(r , r0 ) (r - r0 )
两边在球内积分
G(r ,0)dV (r )dV
T T
(r )dV 1
T
利用高斯定理得到

T
G(r ,0)dV G(r ,0)dV
这公式叫作上半空间的拉普拉斯积分．
五、
圆形区域第一边值问题的格林函数构建
放置一个单位电荷
物理模型：在圆内任找一点
圆外M1放置另一个单位电荷


P

R1

M1
M 0 ( ) x
根据图，这两电荷在圆内任一观察点
P( ) 所产生的电势为
1 1 1 u ln ln c 2π | 0 | 2π | b |
g ( x0 ) y u ( x, y ) dx0 2 2 π ( x x0 ) y
称为上半平面的拉普拉斯积分公式．
三、 泊松方程的第一边值问题求解
例2
定解问题：
u xx u yy f ( x, y ) u ( x,0) ( x)
( <x <+, y 0) ( <x<+, y 0)
10.3 无界空间的格林函数
基本解
无界区域中格林积分公式中的面积分应为零，故有
u (r ) G(r , r0 ) f (r0 )dV0
T0
选取 u (r ) 和 G(r , r0 ) 分别满足下列方程
u (r ) f (r )
G(r , r0 ) (r - r0 )
2a 0 sin( ) 1 2ab sin( ) 0 2 2 2 2 4π a 0 2a 0 cos( ) 4π a b 2ab cos( )
即得到
b[a2 02 2a0 cos( )] 0 [a2 b2 2ab cos( )] 0
当观察点 P 位于圆周上 ( a) 时，应该有 ，即满足第一类齐次边值条件 u | 0
u0
, 即为
1 2 2 ln[a 0 2a 0 cos( )] ln[a 2 b2 2ab cos( )] c 0 4π 4π
上式应对任何 值成立，所以上式对 的导数应为零，即
10.4 用电像法确定格林函数
用格林函数法求解的主要困难还在于如何确定格林函数本身 一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数 为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法 一、电像法定义 考虑一个具体的物理模型：设在一接地导体球内的 M 0 点 放置一个单位正电荷，求在体内的电势分布，并满足边界条件为零
根据第一类边值问题的解公式得到
u ( x, y )




0
G(r , r0 ) G( x, y; x0 , y0 ) f ( x0 , y0 )dx0dy0 ( x0 ) | y0 0 dx0 n0

根据半平面区域第一类边值问题的格林函数式，得到
( x x0 )2 ( y y0 ) 2 1 G ( x, y | x0 , y0 ) ln[ ] 2 2 4π ( x x0 ) ( y y0 )
S0
l0
G (0 ) | a dl0 n0
0
根据构建的圆内第一边值问题的格林函数
G G a2 2 | a | a n0 0 2πa[a 2 2 2a cos( )]
S
G(r ,0) dS
由于
G
G er , G r
只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在
圆柱体上、下底的面积分为零，只剩下沿侧面的积分，即
G r rddz T (r )dV 1
选取的圆柱的高度为单位长，则很容易得到下面的结果
G 1 r 2πr
因为边界上的法线为负y轴， 故
y0 G G | | y 0 2 n y π[( x x0 )2 y0 ]
得到泊松方程在半平面区域第一边值问题的解
y ( x0 ) 1 ( x x0 )2 ( y y0 )2 1 u ( x, y ) ln[ ] f ( x0 , y0 )dx0dy0 dx0 2 2 2 2 0 4π ( x x0 ) ( y y0 ) π ( x x0 ) y
因此
c0
,故得到
对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为
G(r , r0 )
代入
1 4π | r r0 |
u (r ) G(r , r0 ) f (r0 )dV0
T0
得到三维无界区域问题的解为
f (r0 ) 1 u (r ) dV0 T 0|r r | 4π 0
2u ( ) f ( ), u ( ) | a ( ),