格林函数法
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6、格林函数法
对应的原问题是：
用T
乘(7-4)式，用G乘(7-5)式，相减， 得到
根据Green公式:
(7-7)式等号左边第一项为：
(7-7)式等号右边：
分析(7-9)式中等号右边最后一项，即边 界条件，用G乘(7-1b)和用T乘(7-2b) 相减， 有:
其中, Gsi 为在边界得到的Green函数值。
对于各种齐次问题的解已经在第二、
三和四章做过介绍。
§7.1 求解非齐次、非稳态 问题中的Green函数
三维非齐次、非稳态问题：
控制方程
边界条件 初始条件
为解决上述问题，在相同的区 域内，考虑这样一个辅助问题：
辅助问题：
一个脉冲点热源，边界条件为齐次的， 初始条件为零。 1 1 G 2 G r,t r', r r' t t > (7-2a) t 边界条件： t
中的
综上，求解
的方法和步骤： (1)用分离变量法求解原问题相对应齐 次问题的解，即(7-15)； (2)与(7-14)进行比较，得到 ； (3)只要用 代替 中的 t，就可以得到
§7.3 Green函数方法的应用
Example
1
Байду номын сангаас
一块一维平板，边界条件和初始条 件如下图所示，求温度场 T( x ,t ) .
表示，
(4)式与(3)式比较，可得:
2
级数不均匀收敛的处理方法参见书本或上一章PPT。
思考：格林函数法与杜哈美尔 定理法有何共同点和不同点？
The End
权函数 :
如何确定G?
§7.2 求Green函数的一种 方法
格林函数法
为第三边值问题的积分表示式
物理意义：右边第一个积分表示区域T中分布的源在r 点产生的场的总和；第二个积分代表边界上的状况对 r点场的影响的总和；两项积分中的格林函数相同。 说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下 所产生的场。
对于拉普拉斯方程，f(r0)=0，因此可得拉普拉斯 方程第一边值问题的解
因此，我们可设想一个等效的点电荷，它位 于球外M1处，且在球面产生的电势与球内点电荷 在球面产生的电势相反。由物理学知识可知，该 设想的点电荷必位于OM0处的延长线上，如图所 示，并记：
OM r, OM0 r0
在∑ε 上的解，该解表示位于球心r=r0处的电量为ε0的 点电荷在半径为ε的球面上产生的电势，根据电磁学 知识，该电势为：
1
G(r, r0 ) 4
因此我们可得∑ε面上的积分
Ò
u(r)
G n
G
u(r) n
dS
Ò
u(r
)
n
(1
4
)
1
4
u(r) n
dS
Ò
u(
r
)
n
(1
4
)
1
4
u(r n
)
2d
(r r0 ) (x x0) ( y y0) (z z0)
格林函数的物理意义：在物体内部（T内）处放置 一个单位点电荷（或热源），而该物体的界面保持 电位为零（或温度为零）, 那么该点电荷（或该点 热源）在物体内产生的电势分布（或稳定温度分 布），就是上述定解问题的解――格林函数。
格林函数互易定理： 格林函数代表r0处的点源在r处 所产生的影响，系统不变，则该影响等同于将移至r 处的该点源在r0处产生影响。故格林函数遵守如下 的互易定理：
第三章格林函数法
r
r0
0
1
ln
R
1
2 r0 r2 r12 2rr1 cos 0
1 ln
1
2 r2 r02 2rr0 cos 0
1
ln
R
2 r2r02 R4 2R2rr0 cos 0
G
= G
1
ln
R
n r0 R r0 r0 R 2 r0 r 2r02 R4 2R2rr0 cos 0
2
r0
注意：这只是二维空间中圆形区域的格林函数表达式
例4 求解圆内拉普拉斯方程狄利克雷问题 2u 0 r R
u
rR
解：由例3，圆内泊松方程狄利克雷问题的格林函数为：
G= 1
2
ln
1 r r0
1
2
ln
R r0
1 r r1
= -1 ln
1
2 r2 r02 2rr0 cos 0
G
r;r0
f
r0
dS0
G0
4
1 r r0
G0
1
2
ln
1 r r0
c0
G1 0 G1 G0
例2 试求解球内的泊松方程的狄利克雷问题
P
3u 0 r R
u rR f ,
R
O r0
r
M0
M1
M
解：设 M0 r0 , M r 的球坐标为 r0,0,0 ,r,, r1 OM1
积分得到
任意源在相同初 始和边界条件下 产生的场
格林函数 ：代表一个点源在一定的边界条件和初 始条件下所产生的场
§5.1 泊松方程的格林函数法
1. 边值问题的提法
① 第一边值问题（狄里希利问题） 求一函数，使之在区域内满足泊松方程或拉普拉斯方程，
数学物理方法--格林函数法
G(r , r0)r(r )dV T
1
4
f
G(r , r0 ) dS. n
第二边值问题(诺依曼问题)
u(r , r ')
u n
f
第二边值问 题格林函数
G(r , r ')ห้องสมุดไป่ตู้n
0
u(r0 )
1
4
G(r , r0)(r )dV T
(u
v n
v
u )dS n
T
(uv
vu)dV
法向导数
5
3. 边值问题 边界条件
泊松方程
u
[
u n
u]
()
() 定义在
0, 0 0, 0
第一类边界条件 第二类边界条件
0, 0 第三类边界条件
3
感应电荷 是边界问题
2. 格林公式
第一格林公式：
区域 T，边界
定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分
定解＝积分＋边界条件 （格林函数法）
T
设 u(r ) 和 v(r ) 在 T 中具有连续二阶导数，
在 上有连续一阶导数。由高斯定理
uv dS (uv)dV
p
M (r)
o
M0 (r0 )
如右图，当导体外 M1 处有电荷 40q 时，镜像电荷
将在球内M0 处。
M1(r1)
像电荷的大小以及位置：
4 0 q
a r1
数学物理方法12格林函数
泊 第一类边界条件：第一边值问题(狄里希利问题)
松 方
第二类边界条件：第二边值问题(诺依曼问题)
程
第三类边界条件：第三边值问题
2、格林函数的引入及其物理意义
引入：为了求解泊松方程的定解问题，我们必须定 义一个与此定解问题相应的格林函数 G(r, r0)
它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类 条件：
这就是第三边值问题解的积分表示式．
右边第一个积分表示区域 T 中分布的源 f (r0 ) 在 r
点产生的场的总和. 第二个积分则代表边界上的状况对 r
点场的影响的总和．两项积分中的格林函数相同．这说明 泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的 场．
对于拉普拉斯方程
f (r0 ) 0
第一边值问题的解为
构建格林函数为
G(x,
y
|
x0 ,
y0 )
1 4π
(x ln[
(x
x0 )2 x0 )2
(y (y
y0 )2 y0 )2
]
边界外法线方向为负 y 轴，故有
G n
|
G y
|y0
=
1 2π
(x
y0 x0 )2
y02
1 π
y0 (x x0 )2
y02
1 π
(x
y0 x0 )2
y02
代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式（14.2. 13），拉普拉斯 方程的自由项 f 0 ,则由
G(r,
r0
)
1 2π
ln
|
r
1
r0
|
1 2π
ln
|
r
1
r1
|
格林函数法
1 2π
x x0 2
z0
y
y0 2
z02
32
代入相应积分公式，
uM
0
z0
GM;M
0
f
M
dM
M
z0
GM;M
n
0
dS
可得
uM0
z0
1 4πrMM1
1 4πrMM0
f
M dM
M
z0
1
2π
x
x0 2
z0
y
y0 2
z02
32
dS
6.4.2 球域上的格林函数
在以原点为球心，以R为半径的球域内的格林函数满足
vΔudV
S
u
v n
dS
若令u=1，可得
ΔvdV
S
v n
dS
二维公式
平面格林公式
D
Q x
P y
d
C
Pdx
Qdy
或写成对弧长积分的形式
（5）
D
Q x
P y
d
Qn1
C
Pn2 ds
其中 n =(n1,n2)为边界曲线C的单位外法线向量。
（6）
关于边界曲线弧长与坐标，有如下微分关系
dy n1ds, dx n2ds
M0(x0,y0,z0)
y
M1(x0,y0,-z0)
应用举例
下面利用半空间格林函数给出定解问题
Δu 3u f,
z0 z0
解的积分表达式。
首先计算边界上的方向导数
G
M;M
0
1 4πrMM
0
1 4πrMM1
G G
n z0
数学物理方法课件 第十一章-格林函数法-1
第十一章格林函数法
引言：格林函数的概念
格林函数，又称为点源函数，是数学物理中的一个重要概念。
格林函数代表个“点源”在定边界条件（或初始条件）所产生的场知道了点表一个“点源”在一定边界条件（或初始条件）下所产生的场。
知道了点源所产生的场，利用迭加原理，就可以确定任意分布的源所产生的场。
如在无界空间中，源与场之间的关系为：
′′′
=r r r r r ()
u r )
()(,)()u G d ρ∫∫∫()
ρ′r 源分布()
ρ′r (,G ′r r 这样，从物理上看，一个数学物理方程的解实际上表示的是“源”与它所(,)
G ′r r 格林函数
产生的“场”之间的关系。
格林函数法
因此，无界空间的格林函数为
G (x ,x )
1
40( x x ') 2 (y y ') 2 ( z z ') 2
10.07.2020
21
计算电磁学基础
（2）上半空间的格林函数。 当Q＝1时，可得上半空间第一类边值问题的格林
函数。
以导体平面上任一点为坐标原点，设点电荷所在
点的坐标为(x’,y’,z’) ，场点坐标为(x,y,z)，上半空间格
• 这种方法称为电像法
10.07.2020
16
计算电磁学基础
• 例题
在半空间内求解稳定问题的格林函数
解：根据题目，定解问题为
G (x x ')(y y ')(z z')z , 0
G |z 0 0
这相当于在接地导体平面上方点 M(x’,y’,z’) 处放 置一个电量为 - 0 的点电荷，求电势。
2(x)10(x)
已知
S
(xx)
2G (x,x)1 0(xx)
令 G 0 S
已知
n S
令 G 1 ，
n S 0S
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20
计算电磁学基础
常见的几个格林函数：
（1）无界空间的格林函数。
在无界空间中x’点上放一个单位点电荷，激发的电
势为:
( x ) 1
1
40 r40( x x ') 2 ( y y ') 2 ( z z ') 2
• 用Green函数求解电磁场是场论中的重要方法之一。
– 当给定边界条件的Green函数比较容易求得时，利用Green函数 计算分布场源的解答常常是方便的。
– 借助于有关点电荷的较简单的边值问题解决较复杂的边值问题。
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（14.2.12）
考虑到格林函数的齐次边界条件，由公式（14.2.9） 可得第一类边值问题的解
u (r0 ) G (r , r0 ) f (r )dV (r )
T
G (r , r0 ) n
dS
（14.2.13）
另一形式的第一类边值问题的解
u (r ) G (r , r0 ) f ( r0 )dV0 ( r0 )
T 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理
A S d
AdV =
T
divAdV (14.1.1)
T
单位时间内流体流过边界闭曲面S的流量
单位时间内V内各源头产生的流体的总量
将对曲面 的积分化为体积分
uv S uv )dV uvdV u vdV d (
T0
(14.3.1)
选取 u (r ) 和 G(r , r0 ) 分别满足下列方程
u (r ) f (r )
G(r , r0 ) (r - r0 )
(14.3.2) (14.3.3)
14.3.1 三维球对称
对于三维球对称情形，我们选取 对（14.3.3）式两边在球内积分
r0 0
（14.2.4）
(r r0 ) 代表三维空间变量的 函数，在直角坐标系中其形式为
(r r0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
（14.2.4）式中
函数前取负号是为了以后构建格林函数方便
格林函数的物理意义【2】：在物体内部（T 内） r0 处放置一个单位点电荷，而该物体的界面保持电位为零, 那么 该点电荷在物体内产生的电势分布，就是定解问题(14.2.4)的解 ――格林函数．由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函 数为点源函数．
G (r , r0 ) 1 4π | r r0 |
（14.3.7）
代入 （14.3.1）得到三维无界区域问题的解为
u (r )
4π
1
f (r0 ) | r r0 |
T0
dV0
（14.3.8）
上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式
14.3.2 二维轴对称情形
用单位长的圆柱体来代替球．积分在单位长的圆柱体内进行，即
因为
T
G(r ,0)dV (r )dV
T
(r )dV 1
T
由于
G G r
T
G(r ,0)dV G(r ,0)dV G(r ,0) S d
T S
er , G
只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在
圆柱体上、下底的面积分为零，只剩下沿侧面的积分，即
T T T
(14.1.2)
以上用到公式 (uv) u v uv 称上式为第一格林公式．同理有
vu S vu )dV vudV v udV d (
T T T
(14.1.3)
上述两式相减得到
(uv vu ) S (uv vu )dV d
T
1
(r)G(r , r0 )dS
(14.2.20)
利用格林函数的互易性则得到
u (r )
T
G (r , r0 ) f (r0 )dV0
1
(r0 )G(r , r0 )dS0
(14.2.21)
这就是第三边值问题解的积分表示式．
右边第一个积分表示区域 T 中分布的源
T
r
r sin d d
2
(14.3.6)
故有
G
S
r
r sin d d G(r , 0)dV 1
2 T
使上式恒成立，有
4πr
2
G(r ,0) r
1
1
G (r , 0)
c
4πr
r ， G 0 因此 c 0 ,故得到
对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为
f ( r0 )
在
r
点产生的场的总和. 第二个积分则代表边界上的状况对 r 点场的影响的总和．两项积分中的格林函数相同．这说明 泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的 场．
对于拉普拉斯方程
第一边值问题的解为
f (r0 ) 0
u (r ) ( r0 )
G (r , r0 ) n 0
T
(14.2.7)
根据 函数性质有：
T
u (r ) (r r0 )]dV u (r0 )
(14.2.8)
故有
u (r0 ) G (r , r0 ) f (r )dV [G ( r , r0 )
T
u (r) n
u(r )
G (r , r0 ) n
T
进一步改写为
v n u n
(u
v
)dS (u v vu )dV
T
（14.1.4）
n
表示沿边界 的外法向偏导数．
称式（14.1.4）为第二格林公式．
14.2
泊松方程的格林函数法
讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题．
泊松方程 边值条件
u (r ) f (r )
（14.2.18）
相应的格林函数
G (r , r0 )
是下列问题的解：
G ( r , r0 ) ( r - r0 ) [ G G ( r , r0 ) n ] 0
（14.2.19）
（14.2.18）的边值条件，两边同乘以格林函数 G
G[ u
[ u u n ] ( r )
(14.2.1) （14.2.2）
(r ) 是区域边界 上给定的函数.
是第一、第二、第三类边界条件的统一描述
典型的泊松方程（三维稳定分布）边值问题
u ( r ) f ( r ) u ] ( r ) [ u n
（14.3.4） （14.3.5）
T
G(r , 0)dV (r )dV
T
(r )dV 1
T
利用高斯定理（14.1.1）得到
G(r ,0)dV G(r ,0)dV G( r ,0) dS
T S
G
S
]dS
(14.2.9)
称式(14.2.9)为泊松方程的基本积分公式．
格林函数满足互易定理 并利用格林函数的对称性则得到
u (r ) G (r , r0 ) f (r0 )dV0 [G ( r , r0 )
T
u (r0 ) n0
u ( r0 )
G (r , r0 ) n 0
(14.2.3)
表示边界面 上沿界面外法线方向的偏导数 n
1.格林函数的引入及其物理意义
引入：为了求解定解问题（14.2.3），我们必须定义 一个与此定解问题相应的格林函数 G (r , r0 ) 它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类 条件：
G ( r , r0 ) ( r r0 ) G ] 0 [ G n
r
G
rd dz (r )dV 1
T
选取的圆柱的高度为单位长，则很容易得到下面的结果
G r 1 2πr
G (r ,0)
G (r ,0)
1 2π 1 r
1 2π
ln
1 r
c
令积分常数为0，得到
ln
因此二维轴对称情形的格林函数为
G (r , r0 ) 1 2π ln 1 | r r0 |
为了满足边界条件：电势为零，所以还得在边界外像点 （或对称点）放置一个合适的负电荷，这样才能使这两个 电荷在界面上产生的电势之和为零
(u (r )
G n
G
u (r ) n
) dS (u ( r )G Gu ( r ))dV
T
（14.2.6）
即为 [G u u (r ) G ] dS (Gu (r ) u (r )G)dV n T n
[G ( f (r )) u (r ) (r r0 )]dV
第十四章
格林函数法
格林（Green）函数，又称为点源影响函数，是数学物理中
的一个重要概念．格林函数代表一个点源在一定的边界条件下和 初始条件下所产生的场．知道了点源的场，就可以用叠加的方法 计算出任意源所产生的场． 格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一．
14.1 格林公式
u (r )和v (r ) 在区域 T 及其边界 上具有连续一阶导数,
]dS0
（14.2.10）
解的基本思想：通过上面解的形式（14.2.9）我们容易观
察出引用格林函数的目的：主要就是为了使一个非齐次方程 (14.2.1)与任意边值问题（14.2.2）所构成的定解问题转化为求解 一个特定的边值问题（14.2.4）. 一般后者的解容易求得，通 （14.2.9）即可求出（14.2.1）和（14.2.2）定解问题的解．
定义 14.4.1 电像法
考虑一个具体的物理模型：设在一接地导体球内的
M0
点
放置一个单位正电荷，求在体内的电势分布，并满足边界条件为零
对于第一类边值问题，其格林函数可定义为下列定解问题的解
G (r , r0 ) (r - r0 ) G (r , r0 ) | 0