格林函数法ppt课件

)
V
q (r r') /0
解 u
f (r' )d ' 4 | r r'|
G
4
1 | r
r'|
V
4 0
q | r
r'|
基本思路
原问题
u f (r) u | 0
点源问题
G
(r
r'
)
G | 0
关系
f (r) f (r') (r r')d '
u(r )
f
(r'
)G(r ,
– 范围：非齐次泛定方程、齐次定解条件 – 程序：先求出对应的格林函数，再积分得待求函数
格林函数是为了求解实际问题的泊松方程而找到的特殊函数， 不同的实际问题对应不同的格林函数。
4、稳定问题的基本解
稳定问题的基本解可以利用静电场类比法得到
原问题
点源问题 点电荷电场
方程
u f (r)
G
(r
r'
格林函数法的主要特点是： 1）直接求得问题的特解，（它不受方程类型和
边界条件的局限）， 2）通常结果用一个含有格林函数的有限积分表
示，物理意义清晰，便于以统一的形式研究各类定解 问题；
3）且对于线性问题，格林函数一旦求出，就可 以算出任意源的场，这样将一个复杂的求解问题，就 转换为关键是求解点源的相对简单的问题。
输运问题
(t – a2Δ) G = δ(r-r’)δ(t-t’) G|t=0=0
波动问题
(tt – a2Δ) G =δ(r-r’)δ(t-t’) G|t=0=0 Gt|t=0=0
无界空间 泊松方程的 热传导方程的 波动方程的基
基本解
基本解
本解
齐次边界 泊松方程的 热传导方程的 波动方程的格
G|Γ= 0 格林函数 格林函数
V f (x) (x)dV f (0)
这一性质称为函数的选择特性。
(3) 点电荷的电荷密度
处于原点上的单位点电荷的密度用函数(x)表示
V (x)dV V (x)dV 1
处于原点上的点电荷Q的密度可用Q(x)表示,即
(x) Q (x)
处于x’点上的点电荷Q的密度可用Q(x-x’)表示,即
(x) Q (x x)
林函数
• 性质：
– 设数学物理方程为 L u(x) = f (x) – 而格林函数方程为 L G(x) =δ(x-x’) – 在相同的齐次定解条件下 – 因为： f(x) =∫f (x’)δ(x-x’) dx’ – 所以： u(x) =∫f (x’) G(x-x’) dx’
• 应用（求解数学物理方程的格林函数法）
格林函数法
1 计算电磁学基础
• 有源电磁场问题要求解非齐次波动方程，格林函数法 是其中一种重要的求解方法。
• 格林函数表示单位强度的点源的产生的场，是非齐次 波动方程的基本解。
• 在此基础上，可利用叠加原理求得任意分布的源所产 生的场。确定论问题
• 如果源的分布是未知的，也可借助格林函数建立积分 方程，将求解非齐次波动方程转换为求解积分方程， 从而有利于用数值方法对问题进行求解. 边值问题
Q (x x) 0, (x≠x’点)
Q (x x)dV Q, (积分区域V包含x=x’点)
V
2、 格林函数引入
• Green函数是与理想点源相联系的。
– 具体地说，Green函数是理想点源在给定边界条件下微分方程的 解答。
• 用Green函数求解电磁场是场论中的重要方法之一。
– 当给定边界条件的Green函数比较容易求得时，利用Green函数 计算分布场源的解答常常是方便的。
– 借助于有关点电荷的较简单的边值问题解决较复杂的边值问题。
电荷源
静态场时，位于原点的点电荷q在自由空间产生的标量电位为
q 1 qG 4 0r 0
式中，G 1 ，G为静态场的自由空间Green函数。 4r
利用格林函数，分布电荷的标量位为
1 GdV 0 V 上式表明，格林函数G将电荷与电位联系起来。
场与源
电流源
时谐场中，位于原点的电流元Idl在自由空间产生的矢量磁位为
A
Idl e jk生的矢量电位为
Am
I m dl e jkr 4r
I mdl G
式中 G e jkr ，G为交变场中的自由空间格林函数。 4r
利用格林函数，分布电流和磁流的矢量位为
r'
)d
'
• 求解方法
• 稳定问题的格林函数也可以利用静电场类比法得到。
• 点源问题可以看成接地的导体边界内在 r’ 处有一个 电量为 - ε0 的点电荷。
• 边界内部的电场由点电荷与导体中的感应电荷共同 产生。
• 在一些情况下，导体中所有感应电荷的作用可以用 一个设想的等效电荷来代替，该等效电荷称为点电 荷的电像。
A JGdV V
Am J mGdV V
3、格林函数的一般概念
• 定义：纯点源产生的场
– （不计初始条件和边界条件的影响）。
– 例子：
• ΔG = δ(r-r’)，G|Γ=0 • (t – a2Δ) G = δ(r-r’)δ(t-t’)， G|Γ= G|t=0=0
– 一般形式
• L G(xi) = δ(xi-xi’) • G|边界= G|初始=0
• 分类：
– 按泛定方程可以分为：
• 稳定问题的格林函数 L = Δ • 热传导问题的格林函数 L = (t – a2Δ) • 波动问题的格林函数 L = (tt – a2Δ)
– 按边界条件可以分为
• 无界空间的格林函数，又称为基本解； • 齐次边界条件的格林函数。
稳定问题
格林函数 ΔG
= δ(r-r’)
• 这种方法称为电像法
• 例题
在半空间内求解稳定问题的格林函数
解：根据题目，定解问题为
G ( x x' ) ( y y' ) (z z' ), z 0
G |z0 0
这相当于在接地导体平面上方点 M(x’,y’,z’) 处放 置一个电量为 - 0 的点电荷，求电势。
设想在M的对称点 N (x’,y’,-z’)处放置一个电量为 + ε0 的点电荷，容易看出在平面 z=0上电势为零， 这表明在N点的点电荷就是电像。
1、点电荷密度的δ函数表示
(1)、 函数
(x) 0, (x) ,
V (x)dV 1,
(x≠0) (x = 0) (积分区域V包含x = 0点)
函数---密度函数
(2) 函数的一个重要性质
若 f (x)在x’点附近连续，则
V f (x) (x x)dV f (x)
同理，若 f (x) 在原点附近连续，则