格林函数法ppt课件

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Q (x x) 0, (x≠x’点)
Q (x x)dV Q, (积分区域V包含x=x’点)
V
2、 格林函数引入
• Green函数是与理想点源相联系的。
– 具体地说,Green函数是理想点源在给定边界条件下微分方程的 解答。
• 用Green函数求解电磁场是场论中的重要方法之一。
– 当给定边界条件的Green函数比较容易求得时,利用Green函数 计算分布场源的解答常常是方便的。
)
V
q (r r') /0
解 u
f (r' )d ' 4 | r r'|
G
4
1 | r
r'|
V
4 0
q | r
r'|
基本思路
原问题
u f (r) u | 0
点源问题
G
(r
r'
)
G | 0
关系
f (r) f (r') (r r')d '
u(r )
f
(r'
)G(r ,
林函数
• 性质:
– 设数学物理方程为 L u(x) = f (x) – 而格林函数方程为 L G(x) =δ(x-x’) – 在相同的齐次定解条件下 – 因为: f(x) =∫f (x’)δ(x-x’) dx’ – 所以: u(x) =∫f (x’) G(x-x’) dx’
• 应用(求解数学物理方程的格林函数法)
A JGdV V
Am J mGdV V
3、格林函数的一般概念
• 定义:纯点源产生的场
– (不计初始条件和边界条件的影响)。
– 例子:
• ΔG = δ(r-r’),G|Γ=0 • (t – a2Δ) G = δ(r-r’)δ(t-t’), G|Γ= G|t=0=0
– 一般形式
• L G(xi) = δ(xi-xi’) • G|边界= G|初始=0
场与源
电流源
时谐场中,位于原点的电流元Idl在自由空间产生的矢量磁位为
A
Idl e jkr
Idl G
4r
位于原点的磁流元Imdl在自由空间产生的矢量电位为
Am
I m dl e jkr 4r
I mdl G
式中 G e jkr ,G为交变场中的自由空间格林函数。 4r
利用格林函数,分布电流和磁流的矢量位为
• 分类:
– 按泛定方程可以分为:
• 稳定问题的格林函数 L = Δ • 热传导问题的格林函数 L = (t – a2Δ) • 波动问题的格林函数 L = (tt – a2Δ)
– 按边界条件可以分为
• 无界空间的格林函数,又称为基本解; • 齐次边界条件的格林函数。
稳定问题
格林函数 ΔG
= δ(r-r’)
1、点电荷密度的δ函数表示
(1)、 函数
(x) 0, (x) ,
V (x)dV 1,
(x≠0) (x = 0) (积分区域V包含x = 0点)
函数---密度函数
(2) 函数的一个重要性质
若 f (x)在x’点附近连续,则
V f (x) (x x)dV f (x)
同理,若 f (x) 在原点附近连续,则
输运问题
(t – a2Δ) G = δ(r-r’)δ(t-t’) G|t=0=0
波动问题
(tt – a2Δ) G =δ(r-r’)δ(t-t’) G|t=0=0 Gt|t=0=0
无界空间 泊松方程的 热传导方程的 波动方程的基
基本解
基本解
本解
齐次边界 泊松方程的 热传导方程的 波动方程的格
G|Γ= 0 格林函数 格林函数
– 借助于有关点电荷的较简单的边值问题解决较复杂的边值问题。
电荷源
静态场时,位于原点的点电荷q在自由空间产生的标量电位为
q 1 qG 4 0r 0
式中,G 1 ,G为静态场的自由空间Green函数。 4r
利用格林函数,分布电荷的标量位为
1 GdV 0 V 上式表明,格林函数G将电荷与电位联系起来。
r'
)d
'
• 求解方法
• 稳定问题的格林函数也可以利用静电场类比法得到。
• 点源问题可以看成接地的导体边界内在 r’ 处有一个 电量为 - ε0 的点电荷。
• 边界内部的电场由点电荷与导体中的感应电荷共同 产生。
• 在一些情况下,导体中所有感应电荷的作用可以用 一个设想的等效电荷来代替,该等效电荷称为点电 荷的电像。
格林函数法
1 计算电磁学基础
• 有源电磁场问题要求解非齐次波动方程,格林函数法 是其中一种重要的求解方法。
• 格林函数表示单位强度的点源的产生的场,是非齐次 波动方程的基本解。
• 在此基础上,可利用叠加原理求得任意分布的源所产 生的场。确定论问题
• 如果源的分布是未知的,也可借助格林函数建立积分 方程,将求解非齐次波动方程转换为求解积分方程, 从而有利于用数值方法对问题进行求解. 边值问题
– 范围:非齐次泛定方程、齐次定解条件 – 程序:先求出对应的格林函数,再积分得待求函数
格林函数是为了求解实际问题的泊松方程而找到的特殊函数, 不同的实际问题对应不同的格林函数。
4、稳定问题的基本解
稳定问题的基本解可以利用静电场类比法得到
原问题
点源问题 点电荷电场
方程
u f (r)
G
(r
r'
格林函数法的主要特点是: 1)直接求得问题的特解,(它不受方程类型和
边界条件的局限), 2)通常结果用一个含有格林函数的有限积分表
示,物理意义清晰,便于以统一的形式研究各类定解 问题;
3)且对于线性问题,格林函数一旦求出,就可 以算出任意源的场,这样将一个复杂的求解问题,就 转换为关键是求解点源的相对简单的问题。
V f (x) (x)dV f (0)
这一性质称为函数的选择特性。
(3) 点电荷Biblioteka Baidu电荷密度
处于原点上的单位点电荷的密度用函数(x)表示
V (x)dV V (x)dV 1
处于原点上的点电荷Q的密度可用Q(x)表示,即
(x) Q (x)
处于x’点上的点电荷Q的密度可用Q(x-x’)表示,即
(x) Q (x x)
• 这种方法称为电像法
• 例题
在半空间内求解稳定问题的格林函数
解:根据题目,定解问题为
G ( x x' ) ( y y' ) (z z' ), z 0
G |z0 0
这相当于在接地导体平面上方点 M(x’,y’,z’) 处放 置一个电量为 - 0 的点电荷,求电势。
设想在M的对称点 N (x’,y’,-z’)处放置一个电量为 + ε0 的点电荷,容易看出在平面 z=0上电势为零, 这表明在N点的点电荷就是电像。
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