映射与函数

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高数高等数学1.1映射与函数

1 2 1 O 1 1 2 x
说明 (1) 分段函数对应不同的区间，函数有不同的表达式. (2) 分段函数表示一个函数，不是几个函数. (3) 分段函数的定义域是各分区间的定义域的并集.
1 例6 设 f ( x ) 2 1 解 f ( x) 2
0 x1
求 f ( x 2) .
解
2( x 2) 1, 0 x 2 1 f ( x 2) 4 ( x 2), 1 x 2 2
2 x 5, 2 x,
2 x 1 1 x 0
.
几个特殊的函数举例 (1)常函数
开区间
( a , b ) { x a x b}
o
闭区间
a
b
x
[a , b ] { x a x b }
o
a
b
x
半开区间
[a , b ) { x a x b}
( a , b] { x a x b }
无限区间
有限区间
称a, b为区间的端点，称b－a为这些区间的长度.
1, 当 x > 0 0, 当x = 0
1 ,
1
当x<0
y4
3 2 1
o
-1
x
x sgn x x
(4)取整函数 y x
[x]表示不超过x 的最大整数
-4 -3 -2 -1 o -1 1 -2 -3 -4
2 3 4
x
(5)狄利克雷函数
y
1 1 当x是有理数时 • y D( x ) o• 0 当x是无理数时无理数点
f (sin x ) (sin x )3 1

第一节映射与函数

第一节映射与函数
(2) 函数的表示法
函数的表示法有三种：表格法、图形法和解析法．
用图形法表示函数是基于函数图形的概念，即坐
标平面上的点集 C = { P(x , y) | y = f (x) , x D }
称为函数y = f (x) , x D 的图形． Rf
y
y (x, y) y = f (x)
f 是一个映射， f 的定义域 Df = R，值域 Rf = { y| y 0 }，
值域 Rf 是 R 的一个真子集．对于 Rf 中的元素 y，除
y = 0外，它的原像不是唯一的． y = 4的原像就有 x = 2,
x = -2两个．
4y
像
f (x) = x2
原像
-2
O
原像
2
x
第一节映射与函数
函数 f 的值域，记作 Rf = f (D) = { y| y = f (x) , x D }．
两点说明
第一节映射与函数
(1) 定义域对于抽象函数（即无具体实际背景），其定义域是指使表达式有意义的全体实数的集合，称之为自然定义域．自然定义域可以省略．对于有实际背景的函数，在写书时必须写出定义域．例如，对于函数 f (x) = x2 ，它的自然定义域为 (- , + )，如果它表示正方形的面积则其定义域为(0 , + )．
二、映射
第一节映射与函数
1. 映射的概念
定义设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应
规则 f , 使得 x X , 有唯一确定的 y Y 与之对应,
则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
X
f

高等数学上册1.1 映射与函数

第一节映射与函数
一、映射
二、函数
第一章函数与极限
一、映射
1. 映射的概念
定义1
设 X 、Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 , 使得对X中
每个元素, 按法则 , 在Y中有唯一确定的与之对应, 则称
为从 X 到 Y 的映射. 记作 : X→Y.

X
定义域
D =X
第一节映射与函数

()

()=
若既是满射又是单射, 则称为双射或一一映射.
第一节映射与函数
第一章函数与极限
注映射又称为算子, 在不同数学分支中有不同的名称.

Y
非空集X
上的泛函
数集Y
非空集X
上的变换
非空集Y
实数集X
上的函数
实数集Y
第一节映射与函数
第一章函数与极限
2. 逆映射与复合映射
注分段函数是一个函数,不是多个函数.
第一节映射与函数
第一章函数与极限
2. 函数的几种特性
设函数 = () 的定义域为D , 且数集 ⊂ D 或区间 I ⊂ D .
(1) 有界性
∀ ∈ , ∃ > 0, 使 () ≤, 称 () 在上有界.否则称无界.
∀ > 0, ∃0 ∈ , 使|( 0)|≥M, 称() 在I上无界.
<0
第一章函数与极限
例8 设为任一实数,不超过的最大整数称为的整数部分,记作[].
例如:
5
= 0,
7
阶梯曲线
2 = 1, [π] = 3, [−1] = −1, [−3.5] = −4.
求函数 = [] 的定义域和值域并画图.

2.1 映射与函数

探究提高
求函数解析式的常用方法有：(1)代入
法，用g(x)代入f(x)中的x,即得到f［g(x)］的解析
式；(2)拼凑法，对f［g(x)］的解析式进行拼凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有
“g(x)”即可；(3)换元法，设t=g(x),解出x,代入
f［g(x)］，得f(t)的解析式即可；(4)待定系数法，若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；(5)赋值法，给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式.
②f（x）= x 3 2 x 是函数； ③函数y=2x（x∈N）的图象是一条直线；
x 2 与g(x)=x是同一个函数. ④f（x）= x
其中正确的有
（ A ）
A.1个
解析
B.2个
C.3个
D.4个
由函数的定义知①正确.
∵满足f（x）= x 3 2 x 的x不存在，∴②不正确. 又∵y=2x（x∈N)的图象是一条直线上的一群孤立的点，∴③不正确.
又∵f（x）与g（x）的定义域不同，∴④也不正确.
3.下列各组函数是同一函数的是
（
）
|x| A .y 与y 1 x x 1, x 1 B . y | x 1 | 与y 1 x, x 1 C . y | x | | x 1 | 与y 2 x 1 x x D .y 2 与y x x 1
解
（1）∵f（x）为二次函数， ① ② ③
1 ,c=1, 2
∴设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)，且f(x)=0的两根为x1,x2. 由f(x-2)=f（-x-2），得4a-b=0.
b 2 4ac 又 | x1 x2 | 2 2 , b 2 4ac 8a 2 . |a|

函数、映射的概念

函数、映射的概念•1、映射：（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。

（2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。

2、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x ∈A}叫做函数f（x）的值域。

显然值域是集合B的子集。

3、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。

值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。

4、函数的表示方法：（1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法；（2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。

注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。

•映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。

1-1 映射与函数

例： f ( x ) x 2 在[0, )上单调增加
在 ( , 0]上单调减少在 ( , )上不是单调的
函数的几种特性
3．函数的奇偶性
设函数f (x) 的定义域D关于原点对称
如果对于任一 x D, f ( x ) f ( x )恒成立
那么称函数f (x)为偶函数
四则运算
函数
构造复合映射
构造
基本初等函数
基本初等函数与初等函数
基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次
的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数
否则称为非初等函数
概念
概念初等函数
逆映射
集合区邻间域
即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,
则称f为X到Y上的映射或满射若对X中任意两个不同的元素
则称f为X到Y的单射若映射 f 既是满射又是单射, 则称 f 为一一映射或双射. X f
它们的像
逆映射若f 是从X到Y的单射，可定义一个从对每个规定
到X的新映射g
这x满足
这个映射g称为f的逆映射，记作注 (1) 只有单射才存在逆映射 (2) 逆映射
1 y f ( x ), x f ( D) y f ( x ), x D 的反函数记成一般地，
注 (1) f 在D上单调增加（减少），f 1 必定存在
1 且 f 在f (D)上也单调增加（减少）
(2) 函数y=f (x)与其反函数 y f 1 ( x ) 的图形关于直线y=x对称
函数的几种特性
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D

《高等数学》第一节：映射与函数

[1,1] [ 0, ]
[

, ] 2 2
y
y tan x 定义域 (,) y x 值域 ( 2 , 2 ) 2 y arctan x

2

2
0

2
x
| arctanx |
定义域 (,)

2

2
y
y x
0
2
y arc cot x x
x
shx e e 双曲正切 thx x chx e e x 反双曲正切
1 1 x y arthx ln . 2 1 x
(3)非初等函数狄利克雷函数、取整函数、分段函数等
练习
[ x] (1) f ( x )定义域为 (0,1)，求 g( x ) f ( )的定义域 . x D { x R | x 1且x 2,3,}.
cos

,
(2)初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.
例3：双曲函数与反双曲函数双曲函数反双曲函数
e x e x 双曲正弦 shx 2 e x e x 双曲余弦 chx 2
x
反双曲正弦 y arshx ln( x x 2 1) 反双曲余弦 y archx ln( x x 2 1)
高等数学
研究对象研究内容研究工具
上册极限
一元函数微分学与积分学函数微分方程空间解析几何与向量代数多元函数微分学与积分学下册无穷级数
高等数学
应用
用哪个？条件？
不合条件，改造！

映射与函数

x
闭区间
{x a x b} 记作[a,b]
oa
b
x
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4
左闭右开区间左开右闭区间
{x a x b} 记作 [a,b) {x a x b} 记作 (a,b]
无穷区间 [a,) {x a x} (,b) {x x b}
（x,0) Y与之对应。
f是一个映射，D f X , R f Y
例3
设f
: [

,
]
[1,1],
22
对每个x [ , ], f ( x) sin x.
22
f是一个映射，D f

[ 2 , 2 ], Rf
[1,1].
玉不琢，不成器；人不学，不知道
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y M
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
x0
o
X
x 无界
-M
-M
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20
2）单调性(Monotonicity):
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
思考：是否存在无周期的周期函数？
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25
3、复合函数(Composite Functions)

集合的函数与映射关系

集合的函数与映射关系函数与映射关系是数学的重要概念，在解决实际问题、描述数学规律和建立数学模型时特别有用。

在本文中，我将介绍函数和映射的基本概念、性质以及它们在实际生活中的应用。

一、函数的概念和性质函数是数学中的一个重要概念，它描述了两个集合之间的一种特殊关系。

一个函数是每个元素从一个集合到另一个集合的唯一映射。

具体来说，对于一个函数f：A→B，集合A中的每个元素都会被映射到集合B中的唯一元素。

函数可以用各种方法表示，例如公式、图表或者说明。

函数具有以下一些重要性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是指函数的输入可取的所有值的集合，而值域是指函数的输出可以取到的所有值的集合。

2. 单射和满射：如果一个函数的每一个元素在值域中都有唯一的对应元素，则该函数被称为单射。

如果一个函数的值域中包含所有的可能值，则该函数被称为满射。

3. 反函数：如果一个函数的每个元素在定义域中都有唯一的对应元素，那么可以通过交换定义域和值域来得到一个新的函数，这个函数被称为原函数的反函数。

二、函数与实际生活中的应用函数在实际生活中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域：1. 经济学：函数在经济学中被广泛应用，例如收益函数、供给函数和需求函数等。

这些函数可以帮助经济学家研究市场行为、预测市场变化和分析经济政策的影响。

2. 物理学：函数在物理学中用于描述物理量之间的关系。

例如，牛顿的第二定律可以用力和加速度之间的函数表达式来描述。

3. 工程学：函数在工程学中被广泛应用于设计和分析各种系统。

例如，控制系统中的传输函数描述了输入和输出之间的关系。

4. 计算机科学：函数在计算机科学中用于建立算法、优化程序性能和解决问题。

例如，搜索算法和排序算法都可以用函数来描述。

函数与映射关系是数学中的重要工具，在解决实际问题时很有帮助。

通过函数，我们可以描述数学规律、建立数学模型并应用于各个领域。

函数的性质和应用可以帮助我们更好地理解和解决实际问题，为科学研究和技术发展提供有力支持。

1.1 映射与函数

(满射满射) 满射
例2. 如图所示, 对应阴影部分的面积则在数集自身之间定义了一种映射 (满射满射) 满射例3. 如图所示, 则有
r
(满射满射) 满射
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说明: 说明映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用名称. 例如, X (≠ ∅ ) X (≠ ∅ )
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2
集合的表示 •1.列举法把集合的全体元素一一列举出来. 例如A={a, b, c, d, e, f, g}. •2.描述法若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 M={x | x具有性质P }. 例如M={(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1}. 思考：集合悖论 “我给不给自己理发的人理发”——罗素悖论
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集合运算的法则设A、B、C为任意三个集合, 则有 (1)交换律 A∪B=B∪A, A∩B=B∩A; (2)结合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C), (A∩B)∩C=A∩(B∩C); (3)分配律 (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C); (4)对偶律 (A∪B)C=AC∩BC, (A∩B)C=AC∪BC. •(A∪B)C=AC∩BC的证明
分段函数在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.
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2.函数的几种特性 (1)函数的有界性设函数f(x)的定义域为D, 数集X⊂D. 如果存在数K1, 使对任一x∈X, 有f(x)≤K1, 则称函数f(x) 在X上有上界. 如果存在数K2, 使对任一x∈X, 有f(x)≥K2, 则称函数f(x) 在X上有下界. X . 如果存在正数M, 使对任一x∈X, 有|f(x)|≤M, 则称函数f(x)在X上有界; 如果这样的M不存在, 则称函数f(x) 在X上无界. 注意：上下界不唯一！

高数课件-映射与函数

义的一切实数组成的合集，这种定义域称为函数的自然定义域。在这种约定之下，一
般的用算是表达的函数可用“y=∱（x）”表达，而不必再出Df。
例如，函数y=
1- x 2 的定义域是封闭间 -1，1 ，函数y=
1 的定义域是开区间 1- x2
（-1，1）。
表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公式法）。其中，用图形法表下）的像，并记作∱（χ）,即
y=∱（χ）, 而元素χ称为元素y（在映射∱下）的一个原像；集合X称为映射∱的定义域，记作Df，即Df=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射∱的值域，记作Rf或者∱（χ），即
Rf=∱(X)= f(x) I χ∈X
在上述映射的定义中，需要注意的是：
映射
与
主讲人：日期 :
函数
第一节映射与函数
映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射的一种。本节主要介绍映射、函数及有关概念，函数的性质与运算等。
一.映射
1.映射概念定义设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则∱，使得对X中的每个元素χ，按法则∱，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称∱为从X到Y的映射，记作
由复合映射的定义可知，映射ℊ和∱构成复合映射的条件是：ℊ的值域Rg必须包含在∱的定义域内，即Rg⊂Df,否则，不能构成复合映射。由此可以知道，映射ℊ和∱的复合是有顺序的，∱∘ℊ有意义并不表示ℊ∘∱也有意义。即使∱∘ℊ与ℊ∘∱都有意义，复合映射∱∘ℊ与ℊ∘∱也未必相同。
例4
设有映射ℊ：R→ -1，1 ，对每个x∈R，ℊ（x)=sinx；映射∱： -1，1 → 0，1 ，对每个 u∈ -1，1 ，∱（u)= 1- u2,则映射ℊ和∱构成的复合映射∱∘ℊ：R→ 0，1

函数与映射的关系和区别

函数与映射的关系和区别
函数与映射之间具有重要的关系，但又有许多区别。

函数和映射均用
来描述两个集合之间的关系，但函数的对应关系是唯一的，而映射可
能有多对多的对应关系。

函数是一种特殊的映射，本质上是用来表示两个集合中任意元素之间
的一一对应关系的规则。

例如，既定的函数，从实数集到实数集的，
定义为f(x)=2x+1，它表示“每个真数x都有且只有一个实数2x+1”。

从另一方面来说，函数表示一对一的对应关系，每个元素只能对应一
个唯一的元素。

映射与函数有许多相似之处，也代表了两种集合之间的关系。

但与函
数不同，映射表示多对多的对应关系，即一个元素可以对应多个元素。

例如，将汉字“虎”映射到多音字“hǔ”和“hù”。

这种映射不是一
一对应的，而是多对多的对应关系。

函数与映射之间具有重要的关系，但又有许多区别。

首先，函数表示
一对一的关系，而映射表示多对多的关系。

其次，函数的执行结果是
唯一的，而映射的执行结果可能不唯一。

最后，函数一般是单输入单
输出的，而映射可以是单输入多输出的。

总之，函数和映射均用来描述两个集合之间的关系，但它们存在着许
多根本性的区别。

函数和映射经常同时出现，在不同场景下，应用者
可根据需要灵活使用。

映射和函数的分类与性质

映射和函数的分类与性质一、映射的概念与性质1.映射：从集合A到集合B的一种规则，使得A中任意一个元素x，在B中都有唯一的元素y与之对应。

2.映射的性质：a)单射性（一一对应）：对于A中的任意两个不同元素x1、x2，在B中对应的元素y1、y2也不同，即y1 ≠ y2。

b)满射性（覆盖）：对于B中的任意元素y，存在A中的元素x与之对应。

c)域和值域：映射的定义域为集合A，值域为集合B中所有可能的输出值。

二、函数的分类1.线性函数：形如y = kx + b（k、b为常数）的函数，其中k≠0。

2.非线性函数：不包括线性函数的函数，如二次函数、指数函数、对数函数等。

3.单调函数：a)单调递增函数：对于定义域内的任意两个不同元素x1、x2，若x1 < x2，则f(x1) ≤ f(x2)。

b)单调递减函数：对于定义域内的任意两个不同元素x1、x2，若x1 < x2，则f(x1) ≥ f(x2)。

4.奇函数与偶函数：a)奇函数：满足f(-x) = -f(x)的函数。

b)偶函数：满足f(-x) = f(x)的函数。

三、函数的性质1.连续性：函数在每一点上都存在极限，且极限值等于函数值。

2.可导性：函数在某一点可导，意味着在该点处存在切线，且切线斜率等于函数导数值。

3.周期性：函数满足f(x + T) = f(x)，其中T为函数的周期。

4.奇偶性：根据奇函数和偶函数的定义，函数的奇偶性决定了其在y轴对称或关于原点对称。

四、映射与函数的关系1.函数是特殊的映射：函数是一种映射，具有单射性、满射性和域值域的概念。

2.函数的定义域和值域：函数的定义域为映射的输入集合，值域为映射的输出集合。

五、映射和函数的应用1.数学领域：在数学分析、线性代数、概率论等领域中，映射和函数是基本概念，用于描述变量之间的关系。

2.物理学：在物理学中，函数用于描述物理量随另一物理量的变化规律，如速度与时间的关系。

3.计算机科学：在计算机科学中，函数用于实现算法，映射概念用于哈希表等数据结构的设计。

映射与函数

骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
否则称为非初等函数 .
x, x0 2 故为初等函数. 可表为 y x , 例如 , y x, x0 又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
例5 求 y
x2 , 1 x 0 ln x , 0 x 1 的反函数及其定义域. 2 e x 1 , 1 x 2 y
返回
三、函数
1. 函数的概念定义4 设数集 D R , 则称映射为定义在 D 上的函数 , 记为
y f ( x) , x D
因变量自变量定义域
y y
b ( D [a, b] )
f ( D ) 称为值域函数图形:
a
x
x
C ( x , y ) y f ( x) , x D
记
th x 双曲正切
o 1
y th x x
(4) 周期性
x D, l 0 , 且 x l D , 若
则称 f ( x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
y
2
o 2 x
周期为
周期为
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
例如, 常量函数 f ( x) C
M *表示 M 中排除 0 的集 ;
M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
表示法：
(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .
例: 有限集合自然数集 (2) 描述法：
A a1 , a2 , , an

N 0 , 1 , 2 , , n ,
M x x 所具有的特征
y
y f ( x)

映射与函数的关系

映射与函数的关系
映射与函数的关系：
相同点: (1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系; (2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A中元素具有任意性,B 中元素具有唯一性；
区别：函数是一种特殊的映射,它要求两个集合中的元素必须是数,而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。

注意：有时函数和映射的对应法则可以用含有两个变量的等式来表示,在函数中这个式子叫解析式映射是特殊的对应即由集合 ,集合和对应法则f三者构成的一个整体,映射的特殊之处在于必须是多对一和一对一的对应；
映射的定义: 设X,Y 是两个非空集合,若对X 中的任意一个元素x ,按照一定的法则总有确定的 Y中元素y 与之对应,则称这个对应是集合X到Y 的一个映射. 若映射定义中的一般集合X,Y 为数集,我们称映射f 为函数,所以函数是一种特殊的映射,函数也可用如下定义。

函数的定义：设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时,变量y按照一定的法则总有确定的数值和它对应,则称y是x函数，记作 y=f（x）。

微积分第一章1-2

若R f Y , 则称f 是X 到Y 上的映射或满射; 若对x1 , x2 X , x1 x2 , 有f ( x1 ) f ( x2 ), 则称 f

是X 到Y 的单射; 若f 既是单射,又是满射,则称f 为一一映射(或双射).
5
2. 逆映射与复合映射
设f 是X 到Y 的单射, 则对每个y R f , 有唯一的 x X , 适合f ( x ) y . 于是可定义一个新映射g , 即 g : Rf X
注 : (1) 构成映射必须具备三个要素 :
集合X ,即定义域; 集合Y ,即值域的范围; 对应法则f , 使对每个x X , 有唯一确定的y f ( x )与之对应.
(2) 对每个x X , 元素x的像 y是唯一的; 而对每个y R f , 元素 y的原像不一定是唯一的.
(3) 一般地Rf Y , 不一定Rf Y .
当x (1, )时, 对应的函数值f ( x ) 1 x.
O
y
y 1 x
y2 x
1
x
21
2. 函数的几种特性
(1) 函数的有界性
设D是函数f ( x )的定义域 , 数集X D , 若存在数K 1 , 对任一x X , 有 f ( x ) K1 , 则称函数f ( x )在X 上有上界.而K 1 称为函数f ( x )在 X 上的一个上界. 若存在数K2 , 对任一x X , 有
8
注 : 对于映射g : X Y1 和映射f : Y2 Z , 只有当Rg D f 时, 才能构成复合映射f g.
一般地, 若f 使f
g有意义, 但g f 未必有意义.即 g与g f 也未必相同.
g与g f 都有意义,f

映射与函数

映射与函数●一、函数：●1.映射：●1.1：设有非空集合X，Y及由X到Y的对应法则f，若对每个x\in X，存在唯一的y\in Y按f与之对应，则称f为X到Y的映射，记作：f :X \to Y.（或y=f(x),x\in X）●1.2关于一些定义：●1.2.1：X:f的定义域，记作D_f●1.2.1：f(x)=\{y|y=f(x),x\in D_f\}；f的值域，记作R_f。

●1.2.3：y=f(x),x\in X,其中x叫做y的原像，y叫做x的像。

●1.3注意：●1.3.1：X,Y不一定是数集。

●1.3.2：映射的三要素：定义域（X），值域范围(Y)，对应法则(f)。

这三个要素确定了映射，当两个映射的三要素相同，那么这两个映射相同。

●1.3.3：两个x对应的是同一个像，这种情况很正常。

●1.4特殊类型：●1.4.1满射：设有映射f:X\to Y,若R_f =Y,则称f为满射。

●1.4.2单射：若对x_1,x_2\in X，当x_1\ne x_2时有f(x_1)\ne f(x_2)，则称f为单射。

●1.4.3一一映射：既单又满的映射称为“一一映射”，X和Y中的点是一一对应的。

●1.5示例：●示例1：X和 Y在其中的范围都为实数集，所以f(x)=x^2但R_f的取值范围是[0,+\infty)。

●示例2：●2.逆映射，复合映射：●2.1：逆映射定义：设有单射f:X\to Y，定义的映射f^{-1}:R_f \to X为：对每个y\in R_f，y在f^{-1}之下的像就是x，这里x与y满足：y=f(x)，称f^{-1}为f的逆映射。

●2.2逆映射的特殊注意点：f^{-1}的定义域是f的值域R_f；f^{-1}的值域是f的定义域D_f=X。

●2.3：复合映射：g:X\to Y_1,f:Y_2 \to Z,Y_1\subseteq Y_2.(图中Y_2是Z的定义域)则有复合映射：f \circ g: X\to Z。

映射与函数

函数与映射一、知识点1．函数映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．二、易错点1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．3．误把分段函数理解为几种函数组成． [试一试]1．(2013·江西高考)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1]D ．[0,1]解析：选B 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ≥0，解得0≤x <1，即所求定义域为[0,1)．2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．0解析：选B f (10)＝lg 10＝1，故f (f (10))＝f (1)＝12＋1＝2.[练一练]1．设g (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则f (x )等于( ) A ．－2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7答案：D2．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (x )＝________. 答案：x 2－4x ＋3函数与映射的概念1.下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2 B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100答案：D2．以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f 1：y ＝xx；f 2：y ＝1.(2)f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2；f 2：(3)f 1：y ＝2x ；f 2：如图所示．解：(1)不同函数．f 1(x )的定义域为{x ∈R|x ≠0}，f 2(x )的定义域为R.(2)同一函数．x 与y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式．(3)同一函数．理由同②. [类题通法]两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x 表示，但也可用其他字母表示，如：f (x )＝2x －1，g (t )＝2t －1，h (m )＝2m －1均表示同一函数．函数的定义域问题角度一求给定函数解析式的定义域 1．(1)(2013·山东高考)函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)(2013·安徽高考)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．解析：(1)由题意，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x >－3，∴－3<x ≤0.(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x >0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x >0，x 2≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1，解得0<x ≤1，所以定义域为(0,1]．答案：(1)A (2)(0,1]角度二已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域2．已知函数f (x )的定义域是[－1,1]，求f (log 2x )的定义域．解：∵函数f (x )的定义域是[－1,1]，∴－1≤log 2x ≤1， ∴12≤x ≤2.故f (log 2x )的定义域为⎣⎡⎦⎤12，2. 角度三已知定义域确定参数问题 3．(2014·合肥模拟)若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥1，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案：[－1,0] [类题通法]简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．求函数的解析式求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )．[典例] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )；(4)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式． [解] (1)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ，又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．(4)当x ∈(－1,1)时，有 2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代x ，得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )，得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．[针对训练]1．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．解：法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)，即f (x )＝x 2－1(x ≥1)．2．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．(3)已知含参函数值或函数值关系（范围）求参数的值或范围提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．[典例] (1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．(2)(2013·福建高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫π4＝________. [解析] (1)当a >0时，1－a <1,1＋a >1.这时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ， f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32.不合题意，舍去．当a <0时，1－a >1,1＋a <1，这时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ， f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.(2)∵π4∈⎣⎡⎭⎫0，π2， ∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝－tan π4＝－1， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. [答案] (1)－34 (2)－2[针对训练]设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ∈(－∞，1)，x 2，x ∈[1，＋∞)，若f (x )>4，则x 的取值范围是______．解析：当x <1时，由f (x )>4，得2－x >4，即x <－2；当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2，由于x ≥1，所以x >2.综上可得x <－2或x >2. 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)。