函数与映射的概念及其表示方法

函数与映射的概念

★知识梳理

1．函数的概念 (1)函数的定义：

设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域

在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}

A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念

设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为

B A f →:

★重、难点突破

重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域

求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域

[误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a

[正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2， 从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a 即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围

问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域 [误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而

22-≤≤-b x a ，所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[--b a

[正解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，则b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[++b a 即本题的实质是由b x a ≤≤求2+x 的范围 即)(x f 与)2(+x f 中x 含义不同

1． 求值域的几种常用方法

（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数

4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决

（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数

)32(log 22

1++-=x x y 就是利用函数u y 2

1log =和322++-=x x u 的值域来求。

（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数2

21

22

+-+=

x x x y 的值域 由2

2122+-+=x x x y 得012)1(22

=-++-y x y yx ，若0=y ，则得21-=x ，所以0

=y 是函数值域中的一个值；若0≠y ，则由0)12(4)]1(2[2

≥--+-=∆y y y 得

021332133≠+≤≤-y y 且，故所求值域是]2

13

3,2133[+- （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数1

cos 3

cos 2+-=x x y 的值域，因为

1cos 521cos 3cos 2+-=+-=x x x y ，而]2,0(1cos ∈+x ，所以]2

5

,(1cos 5--∞∈+-x ，故

]2

1

,(--∞∈y

（5）利用基本不等式求值域：如求函数4

32+=x x

y 的值域

当0=x 时，0=y ；当0≠x 时，x

x y 43+

=

，若0>x ，则44

24=⋅≥+

x

x x x 若0

x x x x x x ，从而得所求值域是]4

3

,43[- （6）利用函数的单调性求求值域：如求函数])2,1[(222

4

-∈+-=x x x y 的值域 因)14(2282

3

-=-=x x x x y ，故函数])2,1[(222

4

-∈+-=x x x y 在)2

1

,1(--上递减、

在)0,21(-

上递增、在)21,0(上递减、在)2,21(上递增，从而可得所求值域为]30,8

15

[ （7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。

★热点考点题型探析

考点一：判断两函数是否为同一个函数

[例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）2)(x x f =，33)(x x g =；

（2）x

x x f =

)(，⎩⎨

⎧<-≥=;

01

,01)(x x x g

（3）1212)(++=n n x x f ，1

212)()(--=n n x x g （n ∈N *）；

（4）x

x f =

)(1+x ，x x x g +=

2)(；

（5）12)(2

--=x x x f ，12)(2

--=t t t g

[解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。 [解析] （1）由于x x x f ==2)(，x x x g ==33)(，故它们的值域及对应法则都不相同，

所以它们不是同一函数.

（2）由于函数x

x x f =

)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，而⎩⎨

⎧<-≥=;

01

,01

)(x x x g 的定

义域为R ，所以它们不是同一函数.

（3）由于当n ∈N *时，2n ±1为奇数，∴x x x f n n ==++1212)(，x x x g n n ==--1

212)()(，

它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.

（4）由于函数x

x f =

)(1+x 的定义域为{}

0≥x x ，而x x x g +=

2)(的定义域

为{}

10-≤≥x x x 或，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.

（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. [答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数

【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f 不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如1)(2

+=x x f ，

1)(2+=t t f ，1)1()1(2++=+u u f 都可视为同一函数.

[新题导练]