函数与映射的概念

(1)理解函数概念还必须注意以下几点： ①函数是一种特殊的映射，集合A，B都是非空的数集； ②确定函数的映射是从定义域A到B(值域C⊆B)上的映射，允许A中的不
同元素在B中有相同的象，但不允许B中的不同元素在A中有相同的原象，
A中任意元素在B中都要有象，但B中元素可以在A中无原象，C中元素在 A中不能没有原象；
量x＝a 时所得的函数值，它是一个常量；f (x)是x的函数，通常它是一个
变量. 2.函数的表示法 函数的表示法：解析法、图象法、列表法. (1)解析法：如果在函数y＝f (x)(x∈A)中f (x)是用自变量x 的代数式来表达 的，则这种表示函数的方法叫做解析法.
(2)图象法：对于函数y＝f (x)(x∈A)，定义域内每一个x的值都有Βιβλιοθήκη Baidu一的y值 与它对应，把这两个对应的数构成的有序实数对(x，y)作为点P的坐标， 记作P (x，y)，则所有这些点的集合构成一个曲线，把这种用 点的集合 表示函数的方法叫做图象法. (3)列表法：用列出 自变量x 与对应的 函数值y 的表格来表达两个变量间
【解析】当接收方收到密文 14,9,23,28 时，
a＋2b＝14， 2b＋c＝9， 有 2c＋3d＝23， 4d＝28，
a＝6， b＝4， 解得 c＝1， d＝7，
解密得到的明文为 B.
题型二
函数的表示
【思路分析】 用配凑法、换元法、方程组法，但要注意函数的定义域.
4.(2013年浙江文)已知函数f(x)＝，若 f (a)＝3，则实数a＝
【解析】由题意，得 a－1＝3，解得 a＝10.
10
.
1＋5x x2 (x≠0)
1 【解析】x 用 x代替可得.
题型一
映射及函数概念问题 函数y＝f (x)的图象与直线x＝8的交点个数为( B )
A.至少一个 C.必有一个
③若两个函数的定义域相同、对应关系完全一致，就称这两个函数相等
； ④函数的定义域是自变量x的取值范围，是函数的一个重要组成部分， 同一个对应关系，由于定义域不相同，函数的图象与性质一般也不相同；
⑤函数的图象可以是一条或几条平滑的曲线； ⑥对于以x为自变量的函数，f (a)的含义与f (x)的含义不同，f (a)表示自变
1.准确理解函数概念的内涵及外延. 2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表
法、解析法)来表示函数.
3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 重点：映射与函数的概念. 难点：抽象函数的理解、分段函数的概念.
1.函数与映射的概念
数集
集合
任意 数x 唯一确定
任意
B.至多一个 D.一个、两个或无穷多个
【思路分析】 紧扣函数的定义，集合A中每一个元素，在集合B中都有 象，并且象是唯一的.
【解析】若 8∈A，则与 8 对应的 B 中元素有且只有一个；若 8∉A， 则 B 中无元素与 8 对应， 故函数 y＝f(x)的图象与直线 x＝8 的交点个数 至多一个.故选 B.
A 【解析】 由题意，知f (1)＝2. ∵f (a)＋f (1)＝0，∴f (a)＋2＝0. ①当a > 0时，f (a)＝2a,2a＋2＝0无解， ②当a ≤ 0时，f (a)＝a＋1，∴a＋1＋2＝0，即a＝－3. 【预测理由】 通过对近几年广东高考试题的分析，主要考查函数的概念 、解析式及分段函数.预计2015年仍将分段函数作为考查重点，体现数形 结合与分类讨论的思想.
【规律总结】 (1)集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯 一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；而函数是特殊的映射，要求 两个集合都是数集； (2)集合A中无闲元，集合B中可以有闲元； (3)可以多对一，不能一对多.
为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加 密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应 密文a＋2b，2b＋c,2c＋3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收 方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为( B ) A.7,6,1,4 C.4,6,1,7 B.6,4,1,7 D.1,6,4,7
【规律总结】 函数解析式是函数三要素之一，在一些大题中只要将f(x)求
出，其他问题则可迎刃而解，所以求函数解析式非常重要.
【解析】待定系数法：设 f(x)＝ax＋b， 则 f(x＋1)＝ax＋(a＋b)，f(x－1)＝ax＋(b－a)， ∴3f(x＋1)－2f(x－1)＝ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴a＝2，b＝7，∴f(x)＝2x＋7.
题型三
分段函数
-2
【思路分析】 多重函数值计算一般先由内向外算.
【规律总结】 函数求值就是将自变量用相应的数或代数式进行替换，然 后化简得到结果，对于某些有规律的求值问题，可根据其规律求之.
3
x≤1， x>1， 【解析】依题意得 －x 1 或 1 ⇒x＝3. 2 ＝4 log81x＝4
的对应关系的方法叫做列表法.
3.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而分别用几个不同的 式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数虽由几个部分组成，但它 表示的是 一个 函数.
1.(教材习题改编)设A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,7,15,31,33}，下列的对应法 则 f 能构成从A到B的映射的是( D ) A.f：x→x2＋x＋1 B.f：x→x＋(x－1)2
C.f：x→2x－1－1
D.f：x→2x－1
【解析】根据射影的定义，知D正确.
B
【解析】f 故f
1 1 1 ＝log3 ＝－2，f(－2)＝2－2＝ ， 9 4 9
1 1 f ＝ ，选 9 4
B.
1 e
1 1 1 【解析】 e >0，故 f e ＝ln e＝－1， 1 1 －1 则 f f e ＝f (－1)＝e ＝ e.