函数与映射的概念
离散数学4.1-2
离散数学
5
函数的概念
续:
从A到B的不同的函数仅有22=4个.分别如下: f1={<a,1>,<b,1>};f2={<a,1>,<b,2>}; f3={<a,2>,<b,1>};f4={<a,2>,<b,2>}.
常将从A到B的一切函数构成的集合记为BA:BA={f|f: A→B}
离散数学
6
函数的概念
gοf(a1)=g(f(a1)) ο
离散数学
18
逆函数和复合函数
定理 设f和g分别是A到B和从B到C的函数,则: 如f,g是满射,则gοf也是从A到C满射; 如f,g是入射,则gοf也是从A到C入射; 如f,g是双射,则gοf也是从A到C双射. 证明: 对任意c∈C 由于g是满射,所以存在b∈B c∈C, b∈B, 证明:1) 对任意c∈C,由于g是满射,所以存在b∈B, 使得g(b) g(b)= 对于b∈B 又因f是满射,所以存在a∈A b∈B, a∈A, 使得g(b)=c.对于b∈B,又因f是满射,所以存在a∈A, 使得f(a) f(a)= 从而有g(b)=g(f(a))= (a)= 使得f(a)=b.从而有g(b)=g(f(a))=gοf(a)=c. 即存在a∈A,使得:gοf(a)=c,所以fοg是满射. 即存在a∈A,使得: (a)= 所以f 是满射. a∈A
离散数学
11
函数的概念
续: 证明:1) 证f是入射.任取S1,S2∈P(An),S1≠S2, 则存在元素aj(1≤j≤n),使得aj∈S1,ajS2或相反 aj∈S2,ajS1. 从而f(S1)=b1b2b3…bn中必有bj=1,f(S2)=c1c2c3…cn必有 cj=0或相反f(S1)=b1b2b3…bn中必有bj=0,f(S2)= c1c2c3…cn必有cj=1. 所以f(S1)≠f(S2),即f是单射.
映射与函数知识点总结
映射与函数知识点总结一、映射与函数的概念1.映射的定义：将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的一些元素的规律称为映射。
对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有一个元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的映射。
记作f：A→B。
2.函数的定义：函数是一种特殊的映射，它满足每个元素a∈A只能对应一个元素b∈B的规律。
对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有唯一的元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的函数。
记作f：A→B。
3.定义域和值域：函数f的定义域是指所有可能作为函数输入的数的集合，通常用符号D(f)表示；函数f的值域是指函数所有可能的输出的数的集合，通常用符号R(f)表示。
二、映射与函数的性质1.单射：也称为一一对应，指当对于集合A中的不同元素a1和a2，它们在集合B中的对应元素f(a1)和f(a2)也不相同。
换句话说，每个元素a∈A都对应着集合B中唯一的元素。
2.满射：也称为映满函数，指函数的值域与集合B相同，即函数的所有可能的输出都在集合B中。
3.双射：即同时满足单射和满射的函数，也称为一一映射。
4.奇函数和偶函数：如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f是奇函数；如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f是偶函数。
5.反函数：如果函数f的定义域和值域都是实数集，且对于函数f中的每一对实数(x,y)，都有y=f(x)，则存在一个函数g，使得对于函数g中的每一对实数(y,x)，都有x=g(y)。
这样的函数g称为函数f的反函数。
三、映射与函数的应用1.函数关系式：映射与函数可以描述实际问题中的各种关系，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
通过分析函数关系式，我们可以了解函数的性质和特点，从而应用到各种实际问题中。
2.函数的图像：通过绘制函数的图像，可以直观地表达函数的变化规律，了解函数的增减性、奇偶性、周期性等。
函数、映射的概念
函数、映射的概念•1、映射：（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。
（2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。
2、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x ∈A}叫做函数f（x）的值域。
显然值域是集合B的子集。
3、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。
值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。
4、函数的表示方法：（1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法；（2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。
•映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。
1-1 映射与函数
例： f ( x ) x 2 在[0, )上单调增加
在 ( , 0]上单调减少 在 ( , )上不是单调的
函数的几种特性
3．函数的奇偶性
设函数f (x) 的定义域D关于原点对称
如果对于任一 x D, f ( x ) f ( x )恒成立
那么称函数f (x)为偶函数
四则运算
函 数
构造 复合映射
构造
基本初等函数
基本初等函数与初等函数
基本初等函数 幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次
的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数
否则称为非初等函数
概念
概念 初等函数
逆映射
集 合 区 邻 间 域
即Y中的任一元素y都是X中某元素的像,
则称f为X到Y上的映射或满射 若对X中任意两个不同的元素
则称f为X到Y的单射 若映射 f 既是满射又是单射, 则称 f 为一一映射或双射. X f
它们的像
逆映射 若f 是从X到Y的单射，可定义一个从 对每个 规定
到X的新映射g
这x满足
这个映射g称为f的逆映射，记作 注 (1) 只有单射才存在逆映射 (2) 逆映射
1 y f ( x ), x f ( D) y f ( x ), x D 的反函数记成 一般地，
注 (1) f 在D上单调增加（减少），f 1 必定存在
1 且 f 在f (D)上也单调增加（减少）
(2) 函数y=f (x)与其反函数 y f 1 ( x ) 的图形 关于直线y=x对称
函数的几种特性
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
《高等数学》第一节：映射与函数
[
, ] 2 2
y
y tan x 定义域 (,) y x 值域 ( 2 , 2 ) 2 y arctan x
2
2
0
2
x
| arctanx |
定义域 (,)
2
2
y
y x
0
2
y arc cot x x
x
shx e e 双曲正切 thx x chx e e x 反双曲正切
1 1 x y arthx ln . 2 1 x
(3)非初等函数 狄利克雷函数、 取整函数、 分段函数等
练习
[ x] (1) f ( x )定义域为 (0,1)，求 g( x ) f ( )的定义域 . x D { x R | x 1且x 2,3,}.
cos
,
(2)初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和 有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.
例3：双曲函数与反双曲函数 双曲函数 反双曲函数
e x e x 双曲正弦 shx 2 e x e x 双曲余弦 chx 2
x
反双曲正弦 y arshx ln( x x 2 1) 反双曲余弦 y archx ln( x x 2 1)
高 等 数 学
研究对象 研究内容 研究工具
上册 极限
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高 等 数 学
应用
用哪个？ 条件？
不合条件， 改造！
2015高考总复习数学(文)课件：2.1 函数与映射的概念
3
3.(2013 年江西)函数 y＝ xln(1－x)的定义域为( B )
A.(0,1) C.(0,1] B.[0,1) D.[0,1]
x≥0， 解析：由题意，得自变量满足 1－x>0
解得 0≤x<1，即函
数 y＝ xln(1－x)的定义域为[0,1).故选 B.
1 4.(2012 年四川)函数 f(x)＝ 1－2x
________，f(2x＋1)的定义域为________；
(3)若函数 f(x)的值域为[2,3]，则 f(x－1)的值域为________；
f(x)－1 的值域为________.
正解：(1)若函数 f(x)的定义域为[2,3]， 则 f(x－1)有 2≤x－1≤3，解得 3≤x≤4. 即 f(x－1)的定义域为[3,4]. (2)若函数 f(x－1)的定义域为[2,3]， 即 2≤x≤3，有 1≤x－1≤2，则 f(x)的定义域为[1,2]. 1 而 f(2x＋1)有 1≤2x＋1≤2，解得 0≤x≤2.
x＋1≠0， 要使函数有意义，应满足 1 ＋1≠0， x ＋ 1 即 x≠－1，且 x≠－2. 故函数的定义域是{x|x∈R，x≠－1，且 x≠－2}.
易错、易混、易漏 ⊙对复合函数的定义域理解不透彻 例题：(1)若函数 f(x)的定义域为[2,3]，则 f(x－1)的定义域 为________； (2) 若 函 数 f(x － 1) 的定义域为 [2,3] ，则 f(x) 的定义域为
－
C.f(x)＝2x＋3，T 将函数 f(x)的图象关于点(－1,1)对称
π D.f(x)＝sinx＋3，T
将函数 f(x)的图象关于点(－1,0)对称
考点 3 求函数的定义域
映射的概念和函数的概念
映射的概念和函数的概念映射的概念和函数的概念都涉及了数学中的一种关系，在数学中常被用来描述元素之间的对应关系。
虽然映射和函数都描述了元素之间的关系，但在不同的数学领域和语境中，这两个术语的使用可能略有不同。
下面将分别对映射和函数这两个概念进行较为详细的解释。
映射是数学中的一个概念，它描述了元素之间的一种对应关系。
简单来说，映射就是将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素，其中每个元素在映射中只能被对应一次。
映射通常用箭头“→”或者表示，例如“f: A →B”，表示把集合A中的元素映射到集合B中的元素。
其中，A称为映射的定义域或者输入域，B称为映射的值域或者输出域。
映射的定义可以相当灵活，可以是任意类型的元素之间的对应关系，不仅局限在数字之间的对应关系。
例如，我们可以定义一个映射f，把一个人的名字对应到他的年龄上。
在这个例子中，映射的定义域是人的名字的集合，值域是人的年龄的集合。
我们可以通过查找映射f来找到某个人的年龄。
函数是映射的一种特殊情况，它在数学中具有更为具体严格的定义。
函数是一种关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用一种常见的表示法“y = f(x)”来展示，其中y是函数的输出，x是函数的输入。
函数的定义域是所有可能的输入，而值域则是所有可能的输出。
函数的定义域和值域可以是实数集、整数集或者其他类型的集合，取决于问题的具体上下文，而函数的定义域和值域通常具有一定的关系。
例如，我们可以定义一个函数f(x) = x²，其中定义域和值域都是实数集。
这个函数接受一个实数作为输入，并将其平方作为输出。
函数在数学中有很多重要的属性和性质。
比如，函数可以是线性的、非线性的、一一对应的、多对一的、单射的、满射的等等。
函数之间可以进行运算，比如函数的加法、减法、乘法和除法。
函数还可以进行复合，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
在计算机科学中，函数被广泛应用于编程和算法设计中。
第2讲 函数与映射的概念js
第二讲 函数与映射的概念★知识梳理1．函数的概念 (1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →:★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域[误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a[正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2， 从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a 即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域[误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而22-≤≤-b x a ，所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[--b a[正解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，则b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[++b a 即本题的实质是由b x a ≤≤求2+x 的范围 即)(x f 与)2(+x f 中x 含义不同重难点：2．求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log 221++-=x x y 就是利用函数u y 21log =和322++-=x x u 的值域来求。
高数课件-映射与函数
义的一切实数组成的合集，这种定义域称为函数的自然定义域。在这种约定之下，一
般的用算是表达的函数可用“y=∱（x）”表达，而不必再出Df。
例如，函数y=
1- x 2 的定义域是封闭间 -1，1 ，函数y=
1 的定义域是开区间 1- x2
（-1，1）。
表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公 式法）。其中，用图形法表下）的像，并记作∱（χ）,即
y=∱（χ）, 而元素χ称为元素y（在映射∱下）的一个原像；集合X称为映射∱的定义域，记作Df， 即Df=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射∱的值域，记作Rf或者∱（χ），即
Rf=∱(X)= f(x) I χ∈X
在上述映射的定义中，需要注意的是：
映 射
与
主讲人： 日期 :
函 数
第一节 映射与函数
映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射的一 种。本节主要介绍映射、函数及有关概念，函数的性质与运算等。
一.映射
1.映射概念 定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则∱，使得对X中的每个元素χ，按法则∱， 在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称∱为从X到Y的映射，记作
由复合映射的定义可知，映射ℊ和∱构成复合映射的条件是：ℊ的值域Rg必须包含 在∱的定义域内，即Rg⊂Df,否则，不能构成复合映射。由此可以知道，映射ℊ和∱的复 合是有顺序的，∱∘ℊ有意义并不表示ℊ∘∱也有意义。即使∱∘ℊ与ℊ∘∱都有意义，复合映 射∱∘ℊ与ℊ∘∱也未必相同。
例4
设有映射ℊ：R→ -1，1 ，对每个x∈R，ℊ（x)=sinx；映射∱： -1，1 → 0，1 ， 对每个 u∈ -1，1 ，∱（u)= 1- u2,则映射ℊ和∱构成的复合映射∱∘ℊ：R→ 0，1
高考总复习2函数与映射的概念s
第2讲函数与映射的概念★知识梳理1．函数的概念 (1)函数的定义：设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为 (2)函数的定义域、值域在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数的定义域为，求的定义域[误解]因为函数的定义域为，所以，从而 故的定义域是[正解]因为的定义域为，所以在函数中，， 从而，故的定义域是 即本题的实质是求中的范围问题2：已知的定义域是，求函数的定义域 [误解]因为函数的定义域是，所以得到，从而B A 、f A x B A B A x x f y ∈=),(A x x f y ∈=),(x x A )(x f y =x y {}A x x f ∈)()(x f y =B A 、f A B A B B A f →:)(x f y =][b a ，)2(+=x f y )(x f y =][b a ，b x a ≤≤222+≤+≤+b x a )2(+=x f y ]2,2[++b a )(x f y =][b a ，)2(+=x f y b x a ≤+≤222-≤≤-b x a )2(+=x f y ]2,2[--b a b x a ≤+≤2x )2(+=x f y ][b a ，)(x f y =)2(+=x f y ][b a ，b x a ≤+≤2，所以函数的定义域是[正解]因为函数的定义域是，则，从而 所以函数的定义域是，即本题的实质是由求的范围， 即与中含义不同重难点：2．求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数，可变为解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数就是利用函数和的值域来求。
一函数与映射的基本概念
一、函数与映射的基本概念一、基本概念1．函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么就称这样的对应“f :A →B ”为从集合A 到B 的一个函数，记作y =f （x ），x ∈A ，其中x 叫做自变量.x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合C={y|y = f （x ）,x ∈A }叫做函数的值域)(B C ⊆. 函数符号y =f (x )表示“y 是x 的函数”，或简记为f (x )．这里的“f ”即对应法则，它确定了y 与x 的对应关系．从函数概念看，“定义域、值域和对应法则”是构成函数的三个要素，其中，“定义域和对应法则”是两个关键性要素，定义域和对应法则一旦确定，函数的值域也随之确定．2、对应法则是指y 与x 的对应关系，它含有两层意思，一是对应的过程（形式），即由x 求出y 的运算过程，一般体现在函数的解析表达式中；二是运算的结果（本质），即y 的值，两个对应法则是否相同，要看对于同一个自变量的值所得到的函数值是否相同，有时形式上不同的对应法则本质上是相同的。
例如：x x x y x y ++=+=22cos sin 1与的对应法则是相同的。
3、同一个函数两个函数当且仅当定义域和对应法则二者均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件．4、变换字母在函数的定义域及对应法则不变的条件下，用不同的字母表示自变量及对应法则，这对于函数本身并无影响，比如f （x ）=x 2+1，g （t ）= t 2+1，都表示同一函数.5、区间及其表示方法．区间是数学中常用的表示数集的术语与符号．设b a R b a <∈,、，规定闭区间: [a ，b ]={}b x a x ≤≤|，开区间:（a ，b ）={}b x a x <<|，半开半闭区间:（a ，b ]={}b x a x ≤<|，[a ，b ）={}b x a x <≤|． 其中a 、b 分别为区间的左端点、右端点，b -a 为区间长度．符号+∞读作正无穷大，﹣∞读作负无穷大，它们都不是一个具体的数． 用+∞或-∞作为区间的端点，表示无穷区间，并且只能用开区间的形式． 如：{}a x x a >=+∞|),(，{}}|),(b x x b <=-∞，R =+∞-∞),(6．映射的概念：映射是两个集合间的一种特殊的对应关系，即若按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任一元素，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A 、B 和对应法则f ）就叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B ．在映射f ：A →B 中，若A 中元素a 与B 中元素b 对应，则b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象．因而，映射可以理解为“使A 中任一元素在B 中都有唯一象”的特殊对应（即单值对应）．如果映射f ：A →B 满足①A 中不同元素在B 中有不同的象；②B 中任一元素均有原象，那么这个映射就是A 到B 上的一一映射．7、映射与函数的关系函数是映射，但映射不一定是函数。
新高一预科第8讲___映射与函数的概念
第8讲 映射与函数的概念一【学习目标】1.了解映射的概念及表示方法；2.理解函数的概念，了解简单的分段函数及应用，明确函数的三种表示方法；3.会求一些简单函数的定义域和值域.二【知识梳理】1.映射引入：复习初中常见的对应关系（1）对于任何一个实数a ，数轴上都有唯一的点p 和它对应；（2）对于坐标平面内任何一个点A ，都有唯一的有序实数对（,x y ）和它对应； （3）对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；（4）某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；定义：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．记作“f ：A →B ”.点拨：（1）这两个集合有先后顺序，A 到B 的映射与B 到A 的映射是截然不同的，其中f 表示具体的对应法则，可以用多种形式表述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．（3）设f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射，且f ：a →b ，则b 叫做a 的象；a 叫做b 的原象. 2.函数（1）函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域．点拨：① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；②函数符号“y=f(x)”中的f (x )表示与x 对应的函数值，是一个数，而不是f 乘x ． ③函数是特殊的映射.（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则称这两个函数相等（或为同一函数）.即：两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关. （3）函数的表示方法：解析法、列表法、图象法三种.三【典例精析】例1．下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？（1）A={|P P 是数轴上的点}，B=R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应； （2）A={|P P 是平面直角坐标中的点}，}{(,)|,,B x y x R y R =∈∈对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）A={三角形}，B={|},x x 是圆对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆； （4）A={|x x 是新华中学的班级}，}{|,B x x =是新华中学的学生对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生．思考：将（3）中的对应关系f 改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f ：B →A 是从集合B 到集合A 的映射吗？例2．在下图中，图（1），（2），（3），（4）用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对应法则，是不是映射？是不是函数关系？A 求平方B A例3.画图表示集合A 到集合B 的对应（集合A ，B 各取4个元素）已知：（1）}}{{1,2,3,4,2,4,6,8A B ==，对应法则是“乘以2”； （2）A={|x x ＞}0，B=R ，对应法则是“求算术平方根”； （3）{}|0,A x x B R =≠=，对应法则是“求倒数”；（4）{0|0A α=∠＜}}{090,|1,B x x α∠≤=≤对应法则是“求余弦”．例4．在下图中的映射中，A 中元素600的象是什么？B A 求正弦 B点拨：判定是否是映射主要看两条：一条是A 集合中的元素都要有象，但B 中元素未必要有原象；二条是A 中元素与B 中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式． 例5.已知函数f(x)=3+x +21+x （1）求函数的定义域； （2）求f （－3），f(32)的值； （3）当a ＞0时，求f （a ）,f(a －1)的值.例6.设一个矩形周长为80，其中一边长为x ，求它的面积关于x 的函数的解析式，并写出定义域.解：由题意知，另一边长为2280x-，且边长为正数，所以0＜x ＜40. 所以S=8022xx -⋅=（40－x ）x （0＜x ＜40） 点拨：（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）（5）满足实际问题有意义.例7.下列函数中哪个与函数y=x 相等？（1）y=(x )2; （2）y=(33x );（3）y=2x; （4）y=xx 2例8．某种笔记本的单价是5元，买}{(1,2,3,4,5)x x ∈个笔记本需要y 元，试用三种表示法表示函数()y f x =．点拨：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等； ②解析法：必须注明函数的定义域； ③图象法：是否连线；④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．例9．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算），已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义，根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．点拨：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．四【过关精练】一、选择题1.已知集合{1,2,3,}M m =，42{4,7,,3}N n n n =+，*,m n N ∈，映射:31f y x →+是从M 到N 的一个函数，则m n -的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52.}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个3.设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1(2)f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1516B ．2716- C ．89 D ．184.若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)(1,4] D ．(0,1)5．设函数f (x )对任意x 、y 满足f (x ＋y )=f (x )＋f (y )，且f (2)=4，则f (－1)的值为（ ）A ．－2B ．±21C ．±1D ．26．已知函数f (x ＋1)=x ＋1，则函数f (x )的解析式为（ ）A ．f (x )=x 2B ．f (x )=x 2＋1(x ≥1)C ．f (x )=x 2－2x (x ≥1)D ．f (x )=x 2－2x ＋2(x ≥1) 7．下列各组中，函数f (x )和g(x )的图象相同的是（ ）A ．f (x )=x ，g(x )=(x )2B ．f (x )=1，g(x )=x 0C ．f (x )=|x |，g(x )=2xD ．f (x )=|x |，g(x )=⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈)0,(,),0(,x x x x二、填空题8.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<++=)0(2)0()(2x x c bx x x f 且)0()4(f f =-，2)2(-=-f 则方程f(x)=x 解的个数为9.设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是10.已知函数()()()x g x f x +=ϕ,其中()f x 是x 的正比例函数,()g x 是x 的反比例函数，且,1631=⎪⎭⎫⎝⎛ϕ()81=ϕ,则()=x ϕ .三、解答题11.（1）若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，求(1)f x +的定义域；（2）若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，求函数()f x 的定义域.12.已知函数2()426()f x x ax a x R =-++∈. （1）若函数()f x 的值域为［0，+∞)时的a 的值；（2）若函数()f x 的值均为非负值，求函数()23f a a a =-+的值域.。
映射和函数的分类与性质
映射和函数的分类与性质一、映射的概念与性质1.映射：从集合A到集合B的一种规则，使得A中任意一个元素x，在B中都有唯一的元素y与之对应。
2.映射的性质：a)单射性（一一对应）：对于A中的任意两个不同元素x1、x2，在B中对应的元素y1、y2也不同，即y1 ≠ y2。
b)满射性（覆盖）：对于B中的任意元素y，存在A中的元素x与之对应。
c)域和值域：映射的定义域为集合A，值域为集合B中所有可能的输出值。
二、函数的分类1.线性函数：形如y = kx + b（k、b为常数）的函数，其中k≠0。
2.非线性函数：不包括线性函数的函数，如二次函数、指数函数、对数函数等。
3.单调函数：a)单调递增函数：对于定义域内的任意两个不同元素x1、x2，若x1 < x2，则f(x1) ≤ f(x2)。
b)单调递减函数：对于定义域内的任意两个不同元素x1、x2，若x1 < x2，则f(x1) ≥ f(x2)。
4.奇函数与偶函数：a)奇函数：满足f(-x) = -f(x)的函数。
b)偶函数：满足f(-x) = f(x)的函数。
三、函数的性质1.连续性：函数在每一点上都存在极限，且极限值等于函数值。
2.可导性：函数在某一点可导，意味着在该点处存在切线，且切线斜率等于函数导数值。
3.周期性：函数满足f(x + T) = f(x)，其中T为函数的周期。
4.奇偶性：根据奇函数和偶函数的定义，函数的奇偶性决定了其在y轴对称或关于原点对称。
四、映射与函数的关系1.函数是特殊的映射：函数是一种映射，具有单射性、满射性和域值域的概念。
2.函数的定义域和值域：函数的定义域为映射的输入集合，值域为映射的输出集合。
五、映射和函数的应用1.数学领域：在数学分析、线性代数、概率论等领域中，映射和函数是基本概念，用于描述变量之间的关系。
2.物理学：在物理学中，函数用于描述物理量随另一物理量的变化规律，如速度与时间的关系。
3.计算机科学：在计算机科学中，函数用于实现算法，映射概念用于哈希表等数据结构的设计。
映射与函数的概念与性质
映射与函数的概念与性质随着数学领域的不断发展，映射与函数的概念与性质也逐渐被人所熟知。
那么，什么是映射与函数呢？它们又有哪些特性呢？让我们一起来探讨一下。
一、映射的概念和性质映射是指将集合A中的每一个元素都对应唯一的集合B中的一个元素的规律。
我们也可以将其称之为映照、映像或者变换。
关于映射，我们可以了解以下几点性质：（1）如果A中的每一个元素都有对应B中的元素，则我们称之为映射f：A→B。
其中A称之为“定义域”，B称之为“到达域”。
（2）如果集合A中有两个元素x和y，在B中它们分别对应了f(x)和f(y)，那么就表示f(x)和f(y)具有重合的情况。
（3）如果B中存在一个元素y，使得在A中有多个元素x1、x2、……、xn，它们对应的f(x1)、f(x2)、……、f(xn)均为y，则我们称f(x1)、f(x2)、……、f(xn)在B中具有重合的情况。
（4）我们可以将映射看作是一种相对关系，即若A与B中仅有x和y两个元素，则我们可以有以下三种类型的映射：①单射：若x和y在B中的形式不同，则我们称此时的映射是“单射”。
②满射：若映射中每个元素都被映射到了B中，则我们称此时的映射是“满射”。
③一一映射：如果一个映射既是单射，又是满射，则我们称之为“一一映射”。
二、函数的概念和性质函数也是映射的一种，它实际上是将一个集合映射到另一个集合的过程中，其中定义域和到达域都是实数集。
对于函数，我们可以了解以下几点性质：（1）如果函数y=f(x)既有定义域又有到达域，则可以认为f(x)是一个函数。
（2）函数的定义域和到达域都必须是实数集，同时，函数的定义域中的每一个元素都必须在函数的定义范围内。
（3）函数的定义域中两个元素x1和x2必须是不同的。
如果它们是相同的，则我们认为f(x1)和f(x2)也是相同的。
（4）每一个实数，都必须有且只有一个对应的函数值。
（5）如果函数y=f(x)中所有的函数值都大于零，则我们称f(x)是正函数。
高数1-1映射与函数12121
C { x x 2 3 x 2 0}, 则 A C .
不含任何元素的集合称为空集. (记作 )
2 { x x R , x 1 0} 例如,
规定 空集为任何集合的子集.
表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 A a1 , a2 , , an (2) 描述法： M x x 所具有的特征 例: 整数集合 Z x
a
a
a
0
x
点a的去心的邻域, 记作U (a, ).
U (a, ) {x 0 x a }.
0
a a0 4.绝对值: a a a 0 ab a b ; 运算性质:
( a 0)
x a ( a 0) x a ( a 0)
o
a o
b
x x
区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. 3.邻域:
设a与是两个实数, 且 0.
数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径.
U (a, ) {x a x a }.
o
x
o
x
(5)绝对值函数
y
x ,x 0 y | x | x, x 0 值域 [0, ) 定义域 R
o
x
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
x0 x0
y x2 1
恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调减少的 ;
微积分第一章1-2
是X 到Y 的单射; 若f 既是单射,又是满射,则称f 为一一映射(或 双射).
5
2. 逆映射与复合映射
设f 是X 到Y 的单射, 则对每个y R f , 有唯一的 x X , 适合f ( x ) y . 于是可定义一个新映射g , 即 g : Rf X
注 : (1) 构成映射必须具备三个要素 :
集合X ,即定义域; 集合Y ,即值域的范围; 对应法 则f , 使对每个x X , 有唯一确定的y f ( x )与之对应.
(2) 对每个x X , 元素x的像 y是唯一的; 而对每 个y R f , 元素 y的原像不一定是唯一的.
(3) 一般地Rf Y , 不一定Rf Y .
当x (1, )时, 对应的 函数值f ( x ) 1 x.
O
y
y 1 x
y2 x
1
x
21
2. 函数的几种特性
(1) 函数的有界性
设D是函数f ( x )的定义域 , 数集X D , 若存在 数K 1 , 对任一x X , 有 f ( x ) K1 , 则称函数f ( x )在X 上有上界.而K 1 称为函数f ( x )在 X 上的一个上界. 若存在数K2 , 对任一x X , 有
8
注 : 对于映射g : X Y1 和映射f : Y2 Z , 只有 当Rg D f 时, 才能构成复合映射f g.
一般地, 若f 使f
g有意义, 但g f 未必有意义.即 g与g f 也未必相同.
g与g f 都有意义,f
职高数学——函数
映射与函数一、高考要求：理解映射与函数的概念;会求函数的解析式.二、知识要点：1. 映射的概念:设A 、B 是两个非空集合,如果按照某种对应法则f ,对A 内任一个元素x ,在B 中总有一个且只有一个元素y 与x 对应,则称f 是集合A 到B 的映射;称y 是x 在映射f 作用下的象,记作)(x f .于是)(x f y =;x 称做y 的原象.映射f 可记为:f :A→B,x |→)(x f .其中,A 叫做映射f 的定义域,由所有象)(x f 所构成的集合叫做f 的值域.2. 如果A 、B 都是非空数集,那么A 到B 的映射f ,叫做A 到B 的函数.其中A 叫做函数f 的定义域.函数f 在a x =的函数值,记作)(a f ,函数值的全体构成的集合C(C ⊆B),叫做函数的值域.(1) 函数的两要素:定义域、对应法则.一般情况下,一旦定义域和对应法则确定,函数的值域也就随之确定.两个函数是相同的函数的充要条件是它们的定义域与对应法则分别相同.(2) 函数的表示方法:常用的有列表法、图象法和解析法.三、典型例题：例1:已知映射f :A→B,其中集合A ＝{-3，-2，-1，1，2，3，4},集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象,且对任意的a∈A,在B 中和它对应的元素是|a|,则集合B 中元素的个数是( )A.4B.5C.6D.7例2:已知集合A={1，2，3，a},B={4，7，b 4，b 2+3b},其中a∈N *，b∈N *.若x∈A，y∈B,映射f :A→B 使B 中元素y=3x+1和A 中元素x 对应,求a 和b 的值.例3:(1)已知x x f -=11)(,求)1(+x f ,)1(xf .(2)已知x x x f 2)12(2-=+,求)(x f .四、归纳小结：1. 映射是一种特殊的对应.(1) 映射f :A→B 是由集合A 、B 以及从A 到B 的对应法则所确定.(2) 映射f :A→B 中的两个集合A 、B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.再者,集合A 、B 可以是同一个集合.(3) 集合A 到集合B 的映射f :A→B 与集合B 到集合A 的映射f :B→A,一般来说是不同的.换言之,映射涉及的两个集合有先后次序.(4) 在映射f :A→B 之下,集合A 中的任一元素在集合B 中都有象,且象是唯一的(简括之:“都有象;象唯一”).(5) 给定映射f :A→B,集合B 中的元素在集合A 中可能有一个原象,可能有两个或多个原象,也可能没有原象.(6) 如果对于A 中的不同元素在集合B 中有不同的象,且B 中的每一个元素都有原象,那么这个映射叫做A 到B 的一一映射.一一映射是一种特殊的映射,若设映射f :A→B 的象集为C,则C ⊆B.C=B 是映射f :A→B 构成一一映射的必要条件.2. 函数是一种特殊的映射.它是非空数集到非空数集的映射.3. 求函数解析式的常用方法:(1) 当已知表达式较简单时,可直接用凑合法求解;(2) 若已知函数的结构,则可用待定系数法求解;(3) 若已知表达式)]([x g f ,则常用换元法求解)(x f ;(4) 消去法:已知表达式)]([x g f ,求)(a f 时,可不必先求)(x f .五、基础知识训练：（一）选择题：1.在映射f :A→B 中,下列判断正确的是( )A.A 中的任一元素在B 中都有象,但不一定唯一B.B 中的某些元素在A 中可能有多个原象,也可能没有原象C.集合A 和B 一定是数集D.记号f :A→B 与f : B→A 的含义是一样的2.已知四个从集合A 到集合B 的对应(如图),那么集合A 到集合B 的映射是( )A.④B.①和④C.②和④D.③和④3.如果x 在映射f :R→R 下的象是x 2-1,那么3在f 下的原象是( )A.2B.-2C.2和-2D.84.集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列不表示从P 到Q 的函数是( )A.f :x→y=21xB.f :x→y=31xC.f :x→y=32x D. f :x→y=x 5.下列每一组中的函数)(x f 和)(x g ,表示同一个函数的是( )A.x x f =)(;2)()(x x g =B.x x f =)(;33)()(x x g =C.1)(=x f ;xx x g =)( D.1)(=x f ;0)(x x g = 6.(2003高职-11)已知函数22)1(2++=+x x x f ,则)(x f 的解析表达式为( )A.2)1(-x B.12-x C.12+x D.2)1(+x 7.已知函数13)1(-=-x x f ,则)(x f =( )A.3x-1B.3xC.3x+1D.3x+28.函数)23(32)(-≠+=x x cx x f ,满足x x f f =))((,则c 等于( ) A.3 B.-3 C.3或-3 D.5或-3（二）填空题：9.集合A 、B 是平面直角坐标系中的两个点集,给定从A 到B 的映射f :{(x,y)}→{(x 2+y 2,xy)},则象(5,2)的原象是 .10.从集合A={a,b}到集合B{x,y}的映射有 个.11.设函数)(x f =[x], (x∈R),其中符号[x]表示不大于x 的最大整数,则)8.4(-f = .（三）解答题：12. 已知正方形ABCD 的边长为10,一动点P 从点A 出发沿正方形的边运动,路线是A→B →C→D→A,设点P 经过的路程为x,设AP 2=y,试写出y 关于x 的函数.函数的定义域、值域一、高考要求：掌握函数的定义域、值域的求解.二、知识要点：函数是一种特殊的映射.它是非空数集到非空数集的映射,如果A 、B 都是非空数集,那么A 到B 的映射f :A→B 称为A 到B 的函数.其中原象的集合(自变量的取值集合)A 叫做函数的定义域.象的集合(函数值的集合)C(C ⊆B)称为函数的值域.三、典型例题：例1;求下列函数的定义域:(1)y=-2x 2+3x-1; (2)422--=x x y ; (3)22x x y -=; (4)3213113-+---=x x x x y例2:求下列函数的值域; (1)1+=x y ; (2) y=-2x 2+4x-1; (3)53-+==x x y ;(4)1322+-=x x y .四、归纳小结：(一)求函数的定义域(自变量的取值范围)常常归结为解不等式或不等式组,常有以下几种情况:1.一个函数如果是用解析式给出的,那么这个函数的定义域就是使这个解析式有意义的自变量的取值集合,具体来说有以下几种:(1) )(x f 是整式或奇次根式时,定义域为实数集;(2) )(x f 是分式时,定义域为使分母不为零的实数的集合;(3) )(x f 是二次根式(偶次根式)时,定义域为使被开方式非负的实数的集合;(4) )(x f 是对数函数的,要考虑对数的意义.2.如果函数是一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是各基本函数定义域的交集.3.由实际问题建立的函数,除了考虑解析式本身有意义外,还要考虑是否符合实际问题的要求.(二)求函数的值域的基本方法是分析法,为分析问题方便起见,常常对函数解析式作些恒等变形.求函数值域的常用方法有:(1) 配方法:利用二次函数的配方法求函数的值域要注意自变量的取值范围;(2) 判别式法:利用二次函数的判别式法求函数的值域要避免“误判”和“漏判”;(3) 图象法:根据函数的图象,利用数形结合的方法来求函数的值域.(4) 反函数法:如果函数有反函数,那么求函数的值域可以转化为求其反函数的定义域.五、基础知识训练：（一）选择题：1.函数)12lg(22--=x x x y 的定义域是( ) A.]2,1()1,21(⋃ B.]2,21( C.()(]2,11,0⋃ D.(]2,0 2.函数x x y -+=的定义域为( )A.(]0,∞-B.[)+∞,0C.(-∞,+∞)D.{0}3.函数xy 11+=的定义域为( ) A.x ＞0 B.x ＞0或x≤-1 C. x ＞0或x ＜-1 D.0＜x ＜14.函数265)(2-+-=x x x x f 的定义域为( ) A.{x|2＜x ＜3} B.{x|x ＞3或x ＜2} C.{x|x≤2或x≥3} D. {x|x＜2或x≥3}5.函数)(x f 的定义域为[-2,1],则函数)1(xx f -的定义域为( ) A.(32-,0) B.[31,+∞) C.[31-,+∞) D.(0,+∞) 6.(当[]4,1∈x 时,函数7822+-=x x y 的值域是( )A.[1,7]B.[-1,1]C.[-1,7]D.[)+∞-,17.函数322+--=x x y (-5≤x≤0)的值域是( )A.(]4,∞-B.[3,12]C.[-12,4]D.[4,12]8.若36)]([+=x x g f ,且12)(+=x x g ,则)(x f =( )A.3B.3xC.3(2x+1)D.6x+1（二）填空题：9.(函数4)65(log 222-++-=x x x y 的定义域为(用集合表示) . 10.函数34)63lg(-+-=x x y 的定义域为 . 11. 函数4)(1321-++=x x y 的定义域为 . 12. 已知函数)(x f 的定义域是[0,1],则函数)(2x f 的定义域是 .13. y=x 2-5x+6(-3≤x≤2)的值域是 .14. 已知函数32)(+=x x f ,x∈{0，1，2，3，4，5},则函数)(x f 的值域是 . 15. 函数22--=x x y 的定义域为A,函数xx y -+=12的定义域为B,则A∩B= , A∪B= .函数的图象一、高考要求：会用描点法作函数的图象.二、知识要点：函数图象是函数的一种表示形式,它反映了从“图形”方面刻画函数的变化规律.它可以帮助我们研究函数的有关性质,也可以帮助我们掌握各类函数的基本性质.函数的图象可能是一条光滑的直线,也可能是曲线或折线或其中的一部分,还可能是一些间断点.描点法是作函数图象的基本方法.三、典型例题：例1:画出下列各函数的图象:(1)y=1-x(x∈Z); (2)y=|x-1|; (3)y=2x2-4x-3(0≤x＜3); (4)y=x3.例2:ABCD是一个等腰梯形,下底AB=10,上底CD=4,两腰AD=BC=5,设动点P由B点沿梯形各边经C、D运动到A点,试写出△PAB的面积S与P点所行路程x之间的函数关系式,并画出其图象.四、归纳小结：1.画函数的图象(草图)的一般步骤是:(1)确定函数的定义域;(2) 化简函数的解析式(如含有绝对值的函数化为分段函数);(3) 利用基本函数画出所需的图象.2.利用描点法画函数的图象时要注意根据具体函数进行分析:如何取点,取多少点.五、基础知识训练：（一）选择题：1.函数)(x f y =的图象与直线a x =的交点个数是( )A.有一个B.至少有一个C.至多有一个D.有一个或两个2.已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如右图,则( )A.b∈(-∞,0)B.b∈(0,1)C.b∈(1,2)D.b∈(2,+∞)（二）填空题：3.函数125+-=x x y 的图象关于点 对称. 4.方程lgx=sinx 的实数解的个数是 .（三）解答题：5.已知等边三角形OAB 的边长为2,直线 ⊥OA, 截这个三角形所得的图形位于 的左方(图中阴影部分)的面积为y,O 到 的距离为x(0≤x≤2).(1) 求出函数)(x f y =的解析式(8分);(2) 画出)(x f y =的图象(4分).函数的单调性与奇偶性一、高考要求：理解函数的单调性与奇偶性.二、知识要点：1. 已知函数)(x f ,在给定的区间上,任取两点A(11,y x ),B(22,y x ),记12x x x -=∆,1212)()(y y x f x f y -=-=∆.当0>∆∆xy 时,函数)(x f y =在这个区间上是增函数;当0<∆∆xy 时,函数)(x f y =在这个区间上是减函数.如果一个函数在某个区间上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间上具有(严格的)单调性.2.如果对于函数)(x f y =的定义域A 内的任一个x,都有)()(x f x f -=-,则这个函数叫做奇函数;如果对于函数)(x f y =的定义域A 内的任一个x,都有)()(x f x f =-,则这个函数叫做偶函数.一个函数是奇函数的充要条件是,它的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形; 一个函数是偶函数的充要条件是,它的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形.三、典型例题：例1:已知函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,(-∞上是减函数,求实数a 的取值范围.例2:判断下列函数的奇偶性: (1)2211)(x x x f -⋅-=; (2)xx x x f -+-=11)1()(; (3)⎩⎨⎧<+>-=)0)(1()0)(1()(x x x x x x x f ; (4)x x x x f +--=21)(2.例3:已知函数)(x f 的定义域为(-1,1),且满足下列条件: (1))(x f 是奇函数;(2))(x f 在定义域内单调递减;(3)0)1()1(2<-+-a f a f .求实数a 的取值范围.例4:已知奇函数)(x f 在[-b,-a](a ＞0)上是增函数,那么它在[a,b]上是增函数还是减函数?为什么?四、归纳小结：1.根据定义讨论(或证明)函数增减性的一般步骤是:(1) 设21x x 、是给定区间内的任意两个值,且21x x <,即021<-=∆x x x ;(2) 作差)()(21x f x f y -=∆,并将此差化简、变形;(3) 判断)()(21x f x f y -=∆的符号,从而证得函数得增减性.2.判断函数奇偶性的步骤:(1) 考查函数的定义域是否关于原点对称;(2) 判断)()(x f x f ±=-(变通式为0)()(=±-x f x f )之一是否成立.五、基础知识训练：（一）选择题：1.已知函数①2)(x x f -=;②)1)(1()(-+=x x x f ;③x x x f +=2)(; ④11)(2-=x x f ;⑤32)(x x x f +=.其中为偶函数的是( ) A.①②③ B.①②④ C.①④⑤ D.②④⑤2.奇函数)(x f y =(x∈R)的图象必过点( )A.(a,)(a f -)B.(-a,)(a f )C.(-a,)(a f -)D.(a,)(1af ) 3.下列函数中,在(-∞,0)内是减函数的是( )A.y=1-x 2B.y=x 2+2C.2-=x yD.1-=x x y4.对任意奇函数)(x f (x∈R)都有( )A.)()(x f x f --＞0B.)()(x f x f --≤0C.)()(x f x f -⋅≤0D.)()(x f x f -⋅＞0 5.下列函数在定义域内既是奇函数,又是单调增函数的是( )A.x y tan =B.xy 3= C.x y 3log = D.31x y =6.设函数)(x f 在R 上是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,则)(x f 在(-∞,0)上是( ) A.增函数 B.减函数 C.奇函数 D.偶函数7.已知函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 是偶函数,那么cx bx ax x g ++=23)(是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 8.如果奇函数在(0,+∞)上是增函数,那么)(x f 在(-∞,0)上( ) A.是增函数 B.是减函数C.既可能是增函数,又可能是减函数D.不一定具有单调性9. 已知)(x f y =为偶函数,当0>x 时, xy 2=;当0<x ,函数表达式为( )A.xy 2-= B.x y 2log = C.xy )(21= D.2x y = 10.函数32)(2+-=mx x x f ,当x∈[)+∞-,2时是增函数,当x∈(]2,-∞-时是减函数,则)1(f 等于( )A.-3B.13C.7D.由m 而定的常数 （二）填空题：11.已知)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,且32)()(2++=-x x x g x f ,则=+)()(x g x f .12.定义在R 上的偶函数)(x f ,在区间(-∞,0)上单调递增,且)2()1(22a f a f ->--.则实数a 的取值范围是 .13.已知偶函数)(x f 在[-b,-a](a ＞0)上是增函数,那么它在[a,b]上是 . （三）解答题：14.定义在[-2,2]上的偶函数)(x f ,当x≥0时,)(x f 单调递减,若)()1(m f m f <-成立,求m 的取值范围.15.设函数cbx ax x f ++=1)(2是奇函数(a 、b 、c∈Z),且)1(f =2,)2(f ＜3.(1) 求a 、b 、c 的值;(2) 判断并证明)(x f 在),1[+∞上的单调性.反函数一、高考要求：理解反函数的概念,掌握反函数的求法,能利用互为反函数间的关系解决相关问题. 二、知识要点：1.反函数的定义:一般地,在函数)(x f y =中,设它的定义域为A,值域为C,如果对C 中的每一个元素y,都有A 中唯一确定的元素x 与之对应,即x 是y 的函数,并表示为)(y g x =,那么)(y g x =称为函数)(x f y =的反函数.函数)(x f y =的反函数,也常用)(1x f y -=表示.2. 互为反函数的函数图象间的关系:一般地,有函数)(x f y =与它的反函数)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.三、典型例题：例1:求下列函数的反函数: (1)156-+=x x y ; (2)12-=x y (x≤-1)例2:函数c bx a x y ++=(a,b,c 为常数)的反函数是1213-+=x x y ,求a,b,c 的值.四、归纳小结： 1.求反函数的步骤:(1) 由)(x f y =解出)(y g x =,并判断)(y g x =是否满足函数定义; (2) 交换x ，y 得)()(1x g x f=-;(3) 根据)(x f y =的值域,写出)(1x f y -=的定义域.2.反函数存在的条件:从定义域到值域构成一一映射关系.3.原函数为奇函数,则反函数也一定为奇函数,但奇函数未必都存在反函数.偶函数一般不存在反函数. 五、基础知识训练： （一）选择题：1.已知命题: 正确命题的个数是( )(1) 任何一个函数都有反函数; (2) 函数)(1x f-的定义域是其反函数)(x f 的值域;(3) )(x f 与)(x g 互为反函数,若)0(f =2000,则)2000(g =0; (4) 直线y=2x 与直线y=21x 关于直线y=x 对称. A.4 B.3 C.2 D.12.已知函数132)(++=x xx f ,且1)(01=-x f ,则0x 的值是( ) A.43 B.21 C.34D.23.函数ax x x f +-=12)(的反函数恰是)(x f 本身,则实数a 的值是( )A.-1B.1C.-2D.24.已知3412)(++=x x x f (x∈R,x≠43-),则)2(1--f 的值为( )A.65-B.52- C.52 D.1155.函数1++=cx b ax y (a≠bc)的反函数是132++=x x y ,求a,b,c 的值依次是( )A.1,-2,-3B.-1,2,3C.-1,2,-3D.1,2,3 6.函数322+-=x x y (x≤1)的反函数的定义域是( )A.[2,4]B.[-4,4]C.]1,(-∞D.),2[+∞ （二）填空题： 7.函数1-=x y 的反函数是 .8.已知212)(xx f -=(x ＜-1),则)32(1--f 的值为 . 9.函数xbax x f +=)(的反函数恰是)(x f 本身,则实数a= ,b= . （三）解答题： 10. 已知函数ax x x f ++=23)((x≠-a,a≠32),(1) 求它的反函数; (2)求使)()(1x f x f =-的实数a 的值.11. 求函数1332+--=x x y 的值域.一元一次函数和一元二次函数的性质一、高考要求：掌握一元一次函数和一元二次函数的图象和性质. 二、知识要点：1. 正比例函数:函数y=kx(k≠0,x∈R)叫做正比例函数.其图象是通过原点(0,0)和点(1,k)的一条直线. k 叫做y 与x 的比例系数,也称做直线y=kx 的斜率.2. 一次函数:函数y=kx+b(k≠0,x∈R)叫做一次函数(又叫做线性函数).其图象是通过原点(0,b)且平行于直线y=kx 的一条直线.k 叫做直线y=kx+b 的斜率,b 叫做直线y=kx+b 在y 轴上的截距.正比例函数是一次函数的特殊情况.3. 二次函数:函数y=ax 2+bx+c(a≠0,x∈R)叫做二次函数.二次函数有如下性质:(1) 函数的图象是一条抛物线,抛物线的顶点的坐标是(ab 2-,a b ac 442-),抛物线的对称轴是abx 2-=; (2) 当a ＞0时,抛物线的开口方向向上,函数abx 2-=在处取最小值a b ac y 442min -=;在区间(-∞, a b 2-)上是减函数,在区间(ab2-,+∞)上是增函数; (3) 当a ＜0时,抛物线的开口方向向下,函数abx 2-=在处取最大值a b ac y 442max -=;在区间(-∞, a b 2-)上是增函数,在区间(ab2-,+∞)上是减函数. 三、典型例题：例1:已知y+b 与x+a 成正比例,a,b 为常数,如果x=3时y=5;x=2时y=2,求出表示y 是x 的函数的解析式.例2:设二次函数)(x f 满足)2()2(x f x f -=+,且)(x f =0的两个根的平方和为10,)(x f 的图象过点(0,3),求)(x f 的解析式.四、归纳小结：1. 二次函数的解析式有三种形式: ①y=ax 2+bx+c; ②y=a(x+h)2+k; ③y=a(x -x 1)(x-x 2). 2. 当△=b 2-4ac ＞0时,二次函数的图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0),M 2(x 2,0),则 |M 1M 2|=|x 1-x 2|=212214)(x x x x -+=a∆五、基础知识训练： （一）选择题：1. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象关于y 轴对称,则下列等式成立的是( )A.042=-ac b B.0=a b C.0=acD.0=++c b a 2. 二次函数)(x f y =的图象如图所示,那么此函数为( ) A.y=x 2-4 B. y=4-x2C.y=43(4-x 2) D. y=43(2-x) 23. 若二次函数y=-x 2+bx+c 的对称轴是x=4,且最大值是14,则此二次函数可能是( ) A.y=-x 2+8x+14 B.y=-x 2+8x-2 C.y=-x 2-8x-14 D.y=-x 2+4x+14 4. 如果函数c bx ax x f ++=2)(对任意t 都有)2()2(t f t f -=+,那么( ) A.)2(f ＜)1(f ＜)4(f B.)1(f ＜)2(f ＜)4(f C.)2(f ＜)4(f ＜)1(f D.)4(f ＜)2(f ＜)1(f （二）填空题：5. 设122)2()(-++=m mx m m x f ,当m= 时,)(x f 为正比例函数,当m=时,)(x f 为反比例函数,当m= 时,)(x f 为二次函数.6. (设函数自变量的增量为△x=x 2-x 1,相应的因变量的增量记为△y=y 2-y 1,在一次函数中,当△x=2时, △y=-2,且该函数的图象过点P(-2,3),则这个函数的解析式为 .7. 已知二次函数4)2(2++-=x m x y 的图象与x 轴有交点,则实数m 的取值范围是 . （三）解答题： 8. 已知函数4321)(2+-=x x x f 。
《映射和函数》课件
奇函数
如果一个函数满足f(-x)=f(x)，则该函数为奇函数， 其图像关于原点对称。
06
常见函数的图像和性质
正比例函数
总结词
正比关系，过原点
详细描述
正比例函数是形如$y=kx$（$k neq 0$）的函数，图像是一条经过原点的直线。当 $k>0$时，图像过一、三象限；当$k<0$时，图像过二、四象限。
总结词
函数是数学中一个重要的概念， 它描述了两个集合之间的对应关 系。
详细描述
函数是建立在两个非空集合A和B 之间的对应关系，使得集合A中的 每一个元素x，通过某种对应关系 f，在集合B中都有唯一确定的元 素与之对应。
函数的性质
总结词
函数的性质包括有界性、单调性、奇偶性和周期性等。
详细描述
有界性是指函数在一定区间内存在上界和下界；单调性是指函数在某一区间内 的增减性；奇偶性是指函数对于原点的对称性；周期性是指函数按照一定的周 期重复的性质。
详细描述
函数加法是将两个函数的输出作为输入，对应输出相加得到的新的函数。函数加 法满足交换律和结合律。
函数的数乘
总结词
数乘函数的概念和性质
详细描述
数乘是指将一个常数与一个函数相乘，得到一个新的函数。数乘满足结合律和分配律。数乘对函数的图像有伸缩 变换的影响。
函数的复合
总结词
复合函数的概念和性质
详细描述
映射中集合A的元素x的取值范围。
陪域
映射中集合B中元素y的取值范围。
函数
特殊的映射，其定义域和陪域都是数集， 且数集中的每一个元素都有唯一的一个数 与之对应。
映射的性质
01
02
03
04
一一对应
2.1映射、函数的概念及函数的定义域
2．1映射、函数的概念及函数的定义域【教学目标】了解映射的概念，掌握函数的概念、同一函数、函数解析式以及函数定义域的常见求法。
【重、难点】映射、函数的概念、表示方法，函数定义域的常见求法。
【 考 点 】映射、函数的概念、表示方法，函数定义域的常见求法。
【知识回顾】：1.映射：(1)映射的概念：设A 、B 是两个非空的集合，如果按照某一个确定对应关系f ，对于集合A 中的_____________，在集合B 中_______________与之对应，那么就称_________叫做从集合A 到集合B 的一个映射，记作:f A B →。
(2)象和原象，给定一个从集合A 到B 的映射，且,a A b B ∈∈，如果元素a 和元素b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素a 的______,元素a 叫做元素b 的_______. 2.函数: （1）传统定义：如果在某变化过程中有两个变量x,y ，并且对于x 在某个范围内的每一个______的值，按照某个对应法则f,y 都有______的值和它对应，那么y 就是x 的函数，记为y=f(ｘ)． （2）近代定义：函数是由一个_______到另一个__________的映射。
（3）函数的三要素：函数是由________、_________以及_________三部分组成的特殊的映射。
（4）函数的表示法_______、_______、__________（5）同一函数：如果两个函数的 ，并且 。
（6）常见求解析式的方法有： 、 、 。
（7）函数的定义域是指____________________________________________.（8）根据函数解析式求定义域的常用依据有①_________________________________，②_____________________________________， ③_________________________________，④__________________________________。
函数及其表示
函数及其表示基础知识1、函数与映射的概念可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。
2.函数的定义域与值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域.显然，值域是集合B 的子集。
温馨提示：(1)A 、B 都是非空数集，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在． (2)函数关系的判断要注意“每一个”、“都有”、“唯一”等关键词． (3)注意f (x )与f (a )的区别，f (a )表示当x ＝a 时的函数值，是一个常量；而f (x )是关于x 的函数，一般情况下是一个变量，f (a )是f (x )的一个特殊值． （4）y=f (x)仅仅是函数符号。
3、函数的构成要素：定义域、对应关系和值域4、区间的概念及表示法 设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ； 满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ； 满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞。
注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <。
5、相等函数：由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。
如果函数y=x 和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx 与y=cosx ，其定义域为R ，值域都为[-1，1]，显然不是相等函数。
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的对应关系的方法叫做列表法.
3.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而分别用几个不同的 式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数虽由几个部分组成，但它 表示的是 一个 函数.
1.(教材习题改编)设A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,7,15,31,33}，下列的对应法 则 f 能构成从A到B的映射的是( D ) A.f：x→x2＋x＋1 B.f：x→x＋(x－1)2
A 【解析】 由题意，知f (1)＝2. ∵f (a)＋f (1)＝0，∴f (a)＋2＝0. ①当a > 0时，f (a)＝2a,2a＋2＝0无解， ②当a ≤ 0时，f (a)＝a＋1，∴a＋1＋2＝0，即a＝－3. 【预测理由】 通过对近几年广东高考试题的分析，主要考查函数的概念 、解析式及分段函数.预计2015年仍将分段函数作为考查重点，体现数形 结合与分类讨论的思想.
B.至多一个 D.一个、两个或无穷多个
【思路分析】 紧扣函数的定义，集合A中每一个元素，在集合B中都有 象，并且象是唯一的.
【解析】若 8∈A，则与 8 对应的 B 中元素有且只有一个；若 8∉A， 则 B 中无元素与 8 对应， 故函数 y＝f(x)的图象与直线 x＝8 的交点个数 至多一个.故选 B.
1.准确理解函数概念的内涵及外延. 2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表
法、解析法)来表示函数.
3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 重点：映射与函数的概念. 难点：抽象函数的理解、分段函数的概念.
1.函数与映射的概念
数集
集合
任意 数x 唯一确定
任意
③若两个函数的定义域相同、对应关系完全一致，就称这两个函数相等
； ④函数的定义域是自变量x的取值范围，是函数的一个重要组成部分， 同一个对应关系，由于定义域不相同，函数的图象与性质一般也不相同；
⑤函数的图象可以是一条或几条平滑的曲线； ⑥对于以x为自变量的函数，f (a)的含义与f (x)的含义不同，f (a)表示自变
【解析】当接收方收到密文 14,9,23,28 时，
a＋2b＝14， 2b＋c＝9， 有 2c＋3d＝23， 4d＝28，
a＝6， b＝4， 解得 c＝1， d＝7，
解密得到的明文为 B.
题型二
函数的表示
【思路分析】 用配凑法、换元法、方程组法，但要注意函数的定义域.
题型三
分段函数
-2
【思路分析】 多重函数值计算一般先由内向外算.
【规律总结】 函数求值就是将自变量用相应的数或代数式进行替换，然 后化简得到结果，对于某些有规律的求值问题，可根据其规律求之.
3
x≤1， x>1， 【解析】依题意得 －x 1 或 1 ⇒x＝3. 2 ＝4 log81x＝4
【规律总结】 函数解析式是函数三要素之一，在一些大题中只要将f(x)求
出，其他问题则可迎刃而解，所以求函数解析式非常重要.
【解析】待定系数法：设 f(x)＝ax＋b， 则 f(x＋1)＝ax＋(a＋b)，f(x－1)＝ax＋(b－a)， ∴3f(x＋1)－2f(x－1)＝ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴a＝2，b＝7，∴f(x)＝2x＋7.
C.f：x→2x－1－1
D.f：x→2x－1
【解析】根据射影的定义，知D正确.
B
【解析】f 故f
1 1 1 ＝log3 ＝－2，f(－2)＝2－2＝ ， 9 4 9
1 1 f ＝ ，选 9 4
B.
1 e
1 1 1 【解析】 e >0，故 f e ＝ln e＝－1， 1 1 －1 则 f f e ＝f (－1)＝e ＝ e.
(1)理解函数概念还必须注意以下几点： ①函数是一种特殊的映射，集合A，B都是非空的数集； ②确定函数的映射是从定义域A到B(值域C⊆B)上的映射，允许A中的不
同元素在B中有相同的象，但不允许B中的不同元素在A中有相同的原象，
A中任意元素在B中都要有象，但B中元素可以在A中无原象，C中元素在 A中不能没有原象；
4.(2013年浙江文)已知函数f(x)＝，若 f (a)＝3，则实数a＝
【解析】由题意，得 a－1＝3，解得 a＝10.
10
.
1＋5x x2 (x≠0)
1 【解析】x 用 x代替可得.
题型一
映射及函数概念问题 函数y＝f (x)的图象与直线x＝8的交点个数为( B )
A.至少一个 C.必有一个
量x＝a 时所得的函数值，它是一个常量；f (x)是x的函数，通常它是一个
变量. 2.函数的表示法 函数的表示法：解析法、图象法、列表法. (1)解析法：如果在函数y＝f (x)(x∈A)中f (x)是用自变量x 的代数式来表达 的，则这种表示函数的方法叫做解析法.
(2)图象法：对于函数y＝f (x)(x∈A)，定义域内每一个x的值都有唯一的y值 与它对应，把这两个对应的数构成的有序实数对(x，y)作为点P的坐标， 记作P (x，y)，则所有这些点的集合构成一个曲线，把这种用 点的集合 表示函数的方法叫做图象法. (3)列表法：用列出 自变量x 与对应的 函数值y 的表格来表达两个变量间
【规律总结】 (1)集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯 一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；而函数是特殊的映射，要求 两个集合都是数集； (2)集合A中无闲元，集合B中可以有闲元； (3)可以多对一，不能一对多.
为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加 密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应 密文a＋2b，2b＋c,2c＋3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收 方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为( B ) A.7,6,1,4 C.4,6,1,7 B.6,4,1,7 D.1,6,4,7