格林函数()
半圆区域狄利克雷问题的格林函数
半圆区域狄利克雷问题的格林函数格林函数是半圆区域狄利克雷问题的常用数学工具，它以其准确而灵活的特点吸引了许多研究者的注意。
本文将主要介绍半圆区域狄利克雷问题的格林函数的定义及用途，并以此为基础对格林函数特性进行详细的研究和分析。
一、定义及用途1.格林函数的定义格林函数G(x)是一种椭圆分类函数，它是由狄利克雷函数（D(x)）与非狄利克雷函数（S(x)）混合组合而成的。
确切地说，格林函数G(x)可以由以下分段定义表达式来定义：G(x)=当0≤ x ≤π 时，G(x)=D(x)当π< x ≤2π 时，G(x)=S(x)2.格林函数的用途格林函数在半圆区域狄利克雷问题中具有重要的用处，主要用于解决形状变化的复杂场景背景椭圆函数的运算问题，特别是在基于格林函数的半圆区域介质系统之间的渐变。
此外，格林函数也可以被应用到圆形边界乃至一般非二维圆形边界条件中。
二、格林函数特性格林函数G(x)是一个复杂的椭圆性函数，它具有灵活的变化特性和准确的精度，它的特性主要有如下几点：1. 极点分多个格林函数G(x)在特定的参数范围内，边缘穹窿的位置是多存在的，并且在将参数变化的过程中，极点的位置可以显著的移动，从而影响椭圆分类的准确程度。
2. 精确分类格林函数G(x)可以有效的模拟真实形状、实现精确的围绕围裁，这是由于G（x）具有误差小，特殊性能强，可调性强等特点，它可以迅速的响应环境变化对形状分析、场景椭圆函数模拟等研究中的精确识别和分类需求。
3.准确高效格林函数G(x)具有良好的精度，可以在复杂的场景椭圆函数的运算中输出准确的结果，同时具有良好的计算性能，并可以在有限的时间内得到准确的模拟结果。
三、结语半圆区域狄利克雷问题的格林函数G（x）是一种椭圆分类函数，它拥有良好的灵活性及准确性，可以有效的模拟真实形状，是来解决半圆区域狄利克雷问题的常用数学工具。
本文主要介绍了格林函数定义及用途，并以此为基础结合相关数据做出了简要的分析，为了进一步深入研究格林函数的特点，建议今后继续对它的应用进行深入的研究与分析。
格林函数方法
格林函数方法
1、格林函数
格林函数（Green's function）是指由著名数学家.格林（Green）提出的数学方法，它是一种可以求解各种微分方程的技术。
格林函数的定义是对于任意给定的初值问题，在区间上的解的和等于给定的数值13。
其用法主要有两种：一种是用于求解某些有定型的初值问题；另一种是求解某些微分方程的积分解。
格林函数的结果可以用来解决复杂的初值问题和理解复杂的微分方程以及系统的时间变化。
2、格林函数的原理
格林函数可以用来解决一类有特定初值条件的常微分方程组。
它的原理是基于一种叫做拉普拉斯变换（Laplacetransform）的数学变换理论，它是一种将微分方程组变换成求积分方程组的方法，从而可以使原本困难的初值问题变得容易解决，其在解决物理学中不变解中特别有用。
3、格林函数的计算
对于特定的初值条件，可以使用格林函数计算出拉普拉斯变换得到的积分方程的结果，从而计算得到解析解。
计算过程比较复杂，需要用到积分变换和methods。
总之，格林函数是一种可以求解复杂常微分方程的有效数学方法，它基于拉普拉斯变换的原理，对于特定的初值问题，运用格林函数，可以计算出相应的解析解。
格林函数及其应用课件
有限差分法
01
有限差分法是将微分方程或积分 方程转化为差分方程，然后求解 差分方程得到格林函数的数值解 。
02
有限差分法适用于求解偏微分方 程，特别是对于具有周期性或对 称性的问题，有限差分法可以大 大简化计算过程。
有限元法
有限元法是将微分方程或积分方程转化为有限元方程，然后求解有限元方程得到 格林函数的数值解。
对于某些领域，需要高精度的格林函数来保证计 算的准确性。
未来格林函数研究的方向与展望
算法优化
寻求更高效、稳定的算法来计算格林函数。
多领域交叉
加强与其他领域的合作，拓展格林函数的应用范围。
数值稳定性
研究如何提高格林函数计算的数值稳定性。
感谢观看
THANKS
量子力学散射问题的格林函数计算
总结词
介绍了量子力学散射问题中格林函数的 计算方法，以及其在散射理论中的应用 。
VS
详细描述
在量子力学中，格林函数用于描述粒子在 相互作用下的运动行为。通过计算格林函 数，可以研究粒子在散射过程中的能量和 动量变化，进一步理解物质的微观结构和 相互作用机制。
流体动力学波动问题的格林函数计算
工程学
在电路分析、控制理论和信号 处理等领域有广泛应用。
生物学
用于研究神经网络的传播和扩 散过程。
金融学
用于描述资产价格波动和风险 评估。
当前格林函数计算中存在的问题与挑战
高维问题
随着问题维度的增加，格林函数的计算变得极为 复杂。
不适定性
在实际应用中，格林函数的求解可能存在数值不 稳定性。
精度要求
有限元法适用于求解复杂的偏微分方程，特别是对于具有复杂边界条件的问题， 有限元法可以更好地处理边界条件。
数学物理方法第十二章格林函数解的积分公式
证明过程中可能需要使用到实变函数、复变函数、 偏微分方程等数学工具。
证明难度
格林函数的积分公式证明比较复杂，需要深入理 解数学物理方法和偏微分方程的基本原理。
04
格林函数在物理问题中的 应用
在波动方程中的应用
波动方程是描述波动现象的基本方程，如声波、光波和水波 等。格林函数在求解波动方程中发挥了重要作用，能够给出 波函数的精确解或近似解。
要点三
应用实例
为了更好地理解格林函数解的积分公 式，我们通过几个具体的物理问题进 行了应用。这些例子包括波动方程、 热传导方程等，通过这些例子，我们 可以看到格林函数解的积分公式的实 用性和广泛性。
对未来研究的展望
进一步探索格林函数 的性质和应用
尽管我们已经对格林函数的性质和应 用有了一定的了解，但仍有许多未知 领域值得我们去探索。例如，我们可 以研究格林函数在不同物理问题中的 应用，或者探索格林函数在其他数学 领域中的性质和应用。
积分公式的推广和应 用
在本章中，我们得到了格林函数解的 积分公式，但这个公式可能还有其他 的推广和应用方式。例如，我们可以 尝试将这个公式应用到其他类型的偏 微分方程中，或者尝试将这个公式应 用到其他领域的问题中。
与其他数学物理方法 的结合
数学物理方法中的其他方法，如分离 变量法、变分法等，也可以与格林函 数解的积分公式相结合，以解决更复 杂的物理问题。未来研究可以探索如 何将这些方法有效地结合起来，以更 好地解决实际问题。
03
不同类型的格林函数在求解偏 微分方程时具有不同的应用范 围和特点。
03
格林函数的积分公式
公式推导
公式推导
01
通过求解偏微分方程，将格林函数表示为积分形式，利用边界
量子力学中的格林函数
量子力学中的格林函数量子力学中的格林函数（Green's function）是一种重要的数学工具，用于描述线性方程的解。
格林函数是量子力学中时间和空间演化的基本对象，具有广泛的应用。
本文将介绍格林函数的基本定义、性质以及在量子力学中的应用。
格林函数最早由英国数学家格林（George Green）在19世纪中叶提出，用于求解泊松方程。
在量子力学中，格林函数用于求解薛定谔方程、波动方程和狄拉克方程等线性偏微分方程。
首先，我们来介绍格林函数的基本定义。
假设有一个线性偏微分方程：\[Lx(y)=f(y)\]其中L是一个微分算符，x是未知函数，f是已知函数。
那么格林函数G(x,y)定义为满足以下条件的函数：当y满足方程Ly(y)=δ(x-y)时（其中δ(x-y)是狄拉克δ函数），有：\[x(y) = \int G(x, y) f(y) dy\]这样，通过求解方程Ly(y)=δ(x-y)再求解x(y)，我们就可以得到未知函数x的表达式。
格林函数的性质非常重要。
首先，格林函数是一个关于x和y的函数，具有连续性和可导性。
其次，格林函数满足方程：\[L_xG(x,y)=δ(x-y)\]这是由定义可得的。
另外，格林函数还满足以下对称性：\[G(x,y)=G(y,x)\]这是因为δ函数的对称性。
另一个重要的应用是在凝聚态物理学中的格林函数理论。
格林函数理论可以用来研究电子在晶格中的行为，描述电子的传导性质以及其他物理量的计算。
格林函数可以描述凝聚态系统中的激发态和物理过程，如电子-电子相互作用、激发态的衰减等。
格林函数理论在材料科学、纳米技术等领域有广泛的应用。
除上述应用外，格林函数还在量子场论、统计物理、凝聚态物理学等领域有深入研究和应用。
利用格林函数的方法，我们可以推导许多量子系统的性质和行为，为理解和解释微观世界提供了有力的工具。
总结一下，格林函数是量子力学中重要的数学工具，用于描述线性方程的解。
它的基本定义以及性质使得我们可以求解各种量子系统的动力学行为，并研究诸如粒子传播、响应函数等物理量。
matlab 格林函数
matlab 格林函数【最新版】目录1.MATLAB 格林函数概述2.格林函数的定义与性质3.格林函数的应用4.MATLAB 中的格林函数函数库5.结论正文1.MATLAB 格林函数概述MATLAB 格林函数，也称为 Green"s function，是数学物理中的一个重要概念。
格林函数在工程、物理和数学领域有着广泛的应用，尤其在解决偏微分方程和波动方程等问题时，具有重要的意义。
2.格林函数的定义与性质格林函数是一个复变函数，表示为 G(x, y; s)。
它满足拉普拉斯方程，并具有如下性质：- 空间分布：在远离源点的区域，格林函数的值迅速衰减，接近于零。
- 时间分布：格林函数在 t = 0 时刻取得最大值，随着时间的推移，其值逐渐衰减。
- 波动性质：格林函数具有波动性质，即其值在源点附近呈波动状分布。
3.格林函数的应用格林函数在许多领域都有广泛的应用，例如：- 波动理论：格林函数可以用来求解波动方程，研究波动现象。
- 电磁场计算：格林函数可以用来计算电磁场中的电荷分布和电磁波传播。
- 声学：格林函数可以用来研究声波传播和声场特性。
4.MATLAB 中的格林函数函数库MATLAB 提供了格林函数函数库，用户可以通过调用相应的函数来计算格林函数。
常用的格林函数函数有：- greens 函数：计算二维格林函数。
- green 函数：计算三维格林函数。
- helmholtz 函数：计算 Helmholtz 方程的格林函数。
- laplacian 函数：计算拉普拉斯方程的格林函数。
5.结论格林函数在数学物理领域具有重要意义，其在工程、物理和数学问题的解决中发挥着关键作用。
多体物理学中的格林函数和自旋模型
多体物理学中的格林函数和自旋模型在多体物理学中，格林函数和自旋模型是两个重要的概念。
格林函数是用来描述粒子的行为和相互作用的数学工具，而自旋模型则是描述自旋在晶体中的行为的模型。
本文将探讨格林函数和自旋模型在多体物理学中的应用和重要性。
一、格林函数的概念和应用1. 格林函数的定义格林函数是描述量子力学体系中粒子性质和相互作用的函数。
它可以用来计算系统的各种物理量，比如能谱、传输性质等。
格林函数的定义如下：G(x, t) = -i〈T [Ψ(x, t)Ψ†(0, 0)]〉其中，G(x, t)是格林函数，Ψ(x, t)是场算符，Ψ†(0, 0)是场算符的厄米共轭，T表示时间序列算符，〈...〉表示对量子态求平均。
2. 格林函数的物理意义格林函数的物理意义在于它能够描述系统中的激发态和相互作用过程。
通过计算格林函数，我们可以了解到系统中激发态的分布和传播情况，从而揭示出系统的微观性质和宏观行为。
3. 格林函数的应用格林函数在固体物理、凝聚态物理和量子场论等领域有着广泛的应用。
例如，在凝聚态物理中，我们可以利用格林函数来研究电子在晶体中的传导行为，进而揭示材料的导电性质和磁性行为。
在量子场论中，格林函数则可以用来计算粒子的散射截面和衰变率等物理量。
二、自旋模型的概念和应用1. 自旋模型的定义自旋模型是一种用自旋来描述自旋系统行为的模型。
自旋是一种量子力学概念，用来描述粒子自身固有的角动量。
自旋模型通常采用哈密顿量来描述系统的能量和相互作用关系。
2. 自旋模型的物理意义自旋模型的物理意义在于它能够揭示出自旋系统的量子行为和相互作用。
自旋模型可以用来研究磁性材料中的自旋构型和磁矩的行为，进而揭示出材料的磁性性质和相变行为。
3. 自旋模型的应用自旋模型在凝聚态物理和量子信息学等领域有着广泛的应用。
例如，在磁性材料中，我们可以利用自旋模型来研究磁性相变和磁矩的行为，从而揭示材料的自旋动力学和磁性行为。
在量子信息学中，自旋模型则可以用来构建量子比特和实现量子计算等。
python 格林函数function积分
一、引言Python作为一种高效的脚本语言，被广泛应用于科学计算、工程分析和数据处理等领域。
在科学计算中，不仅仅需要进行简单的数学运算，还需要进行复杂的积分运算。
而格林函数（Green's function）作为一种重要的数学工具，在科学计算中有着广泛的应用。
本文将就Python中格林函数的计算进行详细介绍。
二、什么是格林函数格林函数是解偏微分方程的重要工具。
在数学物理学中，格林函数可以用来表示线性常微分方程或者偏微分方程的解。
在物理学中，格林函数可以表示空间中某一点的响应受到另一点的激励后的解。
三、Python中格林函数的计算在Python中，可以使用SciPy库来进行格林函数的计算。
SciPy是一个基于Python的开源科学计算库，它提供了许多用于科学计算的工具和算法。
下面将介绍在Python中如何使用SciPy库进行格林函数的计算。
1. 导入SciPy库在进行格林函数计算之前，首先需要导入SciPy库。
可以使用以下语句来导入SciPy库：```pythonimport scipy```2. 构建微分方程在进行格林函数计算之前，首先需要构建相应的微分方程。
假设我们需要求解的微分方程为 y''(x) + y(x) = f(x)，其中f(x)为外力项。
在Python中可以使用以下代码来表示这个微分方程：```pythonfrom scipy.integrate import odeintdef model(y, x):return y[1], -y[0] + f(x)```3. 求解微分方程接下来可以使用odeint函数来求解微分方程，得到格林函数。
```pythonx = np.linspace(0, 10, 100)y0 = [0, 1]y = odeint(model, y0, x)```四、格林函数的应用格林函数在科学计算中有着广泛的应用。
在电磁学中，可以使用格林函数来求解电磁场的分布；在力学中，可以使用格林函数来求解材料的应力分布。
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§2.4 格林函数法 解的积分公式在第七章至第十一章中主要介绍用分离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一种常用的方法——格林函数方法。
格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。
格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。
知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。
一、 泊松方程的格林函数法为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。
设u （r ）和v （r ）在区域 T 及其边界上具有连续一阶导数，而在 T 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分⎰⎰∑⋅∇Sd v u化成体积积分.)(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅∇+∆=∇⋅∇=⋅∇∑TTTvdV u vdV u dV v u S d v u（12-1-1）这叫作第一格林公式。
同理，又有.⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅∇+∆=⋅∇∑TTvdV u udV v S d u v（12-1-2）（12-1-1）与（12-1-2）两式相减，得,)()(⎰⎰⎰⎰⎰∆-∆=⋅∇-∇∑TdV u v v u S d u v v u亦即.)(⎰⎰⎰⎰⎰∆-∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∑T dV u v v u dS n u v n vu（12-1-3）n ∂∂表示沿边界 的外法向求导数。
（12-1-3）叫作第二格林公式。
现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。
泊松方程是)( ),(T r r f u ∈=∆（12-1-4）第一、第二、第三类边界条件可统一地表为),( M u n u ϕβα=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂∑（12-1-5）其中（M ）是区域边界上的给定函数。
＝0， ≠0为第一类边界条件，≠0，＝0是第二类边界条件，、 都不等于零是第三类边界条件。
泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作第一边值问题或狄里希利问题，与第二类边界条件构成的定解问题叫作第二边值问题或诺依曼问题，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题。
为了研究点源所产生的场，需要找一个能表示点源密度分布的函数。
§5.3中介绍的函数正是描述一个单位正点量的密度分布函数。
因此，若以v （r ，r 0）表示位于r 0点的单位强度的正点源在r 点产生的场，即v （r ，r 0）应满足方程).() ,(00r r r r v -=∆δ（12-1-6）现在，我们利用格林公式导出泊松方程解的积分表示式。
以v （r ，r 0）乘（12-1-4），u （r ）乘（12-1-6），相减，然后在区域T 中求积分，得.)( )(0⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--=∆-∆TTTdV r r u vfdV dVv u u vδ（12-1-7）应用格林公式将上式左边的体积分化成面积分。
但是，注意到在r ＝r 0点，v 具有 函数的奇异性，格林公式不能用。
解决的办法是先从区域T 中挖去包含r 0的小体积，例如半径为 的小球K （图12-1）， 的边界面为。
对于剩下的体积，格林公式成立，.)(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∆-∆εεdS n v u nuv dS n v u n u v dV v u u v K T （12-1-8） 把（12-1-8）代入挖去K 的（12-1-7），并注意r ≠r 0，故（r －r 0）＝0，于是.⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∑∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂εεKT vfdV dS n v u n uv dS n v u n u v （12-1-9）当10<<-r r ，方程（12-1-6）的解 v （r ，r 0）—→ 位于点r 0而电量为 －的点电荷的静电场中的电势，即－1／40r r -。
令 →0，得 （12-1-9）右边—→,⎰⎰⎰TvfdV左边的0 4141 02→∂∂-=Ω∂∂-=Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=∂∂=∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰r r n ud nu d n u dS n u vεεεεπεεεπ左边的).( 141141022r u d r r u dS r r u dS nv u -=Ω⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂-=∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑εεεππ（12-1-10）这样，（12-1-7）成为. ) ,( )( )( ) ,( )() ,()(0000⎰⎰⎰⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-=dS n r r v r u n r u r r v dVr f r r v r u T（12-1-11） （12-1-11）称为泊松方程的基本积分公式。
（12-1-11）将（12-1-4）的解u 用区域 T 上的体积分及其边界上的面积分表示了出来。
那么，能否用（12-1-11）来解决边值问题呢？我们看到，（12-1-11）中需要同时知道u 及 n u∂∂ 在边界 上的值，但是，在第一边值问题中，已知的只是 u 在边界 上的值；在第二边值问题中，已知的只是 n u∂∂ 在边界上的值。
在第三边值问题中，已知的是u 和 n u∂∂的一个线性关系在边界 上的值，三类边界条件均未同时分别给出u 和 n u∂∂ 的边界 上的值。
因此，我们还不能直接利用（12-1-11）解决三类边值问题。
其实，这里距离问题的解决已经很近了。
原来，对于函数v （r ，r 0），我们还只考虑其满足方程（12-1-6）。
如果我们对v （r ，r 0）提出适当的边界条件，则上述困难就得以解决。
对于第一边值问题，u 在边界 上的值是已知的函数 （M ）。
如果要求v 满足齐次的第一类边界条件,0=∑v（12-1-12）则（12-1-11）中含 n u ∂∂ 的一项等于零。
从而不需要知道 n u∂∂ 在边界 上的值。
满足方程（12-1-6）及边界条件（12-1-12）的解称为泊松方程第一边值问题的格林函数，用G （r ，r 0）表示。
这样，（12-1-11）式成为.) ,()()() ,()(000⎰⎰⎰⎰⎰∑∂∂+=dS n r r G r dV r f r r G r u Tϕ （12-1-13）对于第三边值问题，令v 满足齐次的第三类边界条件，.0 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂∑v n v βα（12-1-14）满足方程（12-1-6）及边界条件（12-1-14）的解称为泊松方程第三类边值问题的格林函数，也用G （r ，r 0）表示。
以G （r ，r 0）乘（12-1-5）式两边，得. ϕβαG u G n u G =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂∑又以 u 乘（12-1-14），并以 G 代替其中的 v ，得.0 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂∑u G n G u βα将这两式相减，得. ϕαG n G u n u G =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂∑将此式代入（12-1-11），得.)() ,(1)() ,()(000⎰⎰⎰⎰⎰∑-=dS r r r G dV r f r r G r u Tϕα（12-1-15）至于第二边值问题，表面看来，似乎可以按上述同样的办法来解决，即令G 为定解问题),(0r r G-=∆δ（12-1-16）0=∂∂∑n G（12-1-17）的解，而由（12-1-11）得到.)() ,()() ,()(000⎰⎰⎰⎰⎰∑-=dS r r r G dV r f r r G r u Tϕ （12-1-18）可是，定解问题（12-1-16）～（12-1-17）的解不存在。
这在物理上是容易理解的：不妨把这个格林函数看作温度分布。
泛定方程（12-1-16）右边的 函数表明在所围区域 T 中有一个点热源。
边界条件（12-1-17）表明边界是绝热的。
点热源不停地放也热量。
而热量又不能经由边界散发出去，T 里的温度必然要不停地升高，其分布不可能是稳定的。
这就需要引入推广的格林函数。
对于三维空间，,1)()()(000T V z z y y x x G ----=∆δδδ.0=∂∂∑n G式中V T 是T 的体积。
对于二维空间，,1)()(00T A y y x x G ---=∆δδ.0=∂∂∑n G式中 A T 是 T 的面积，方程右边添加的项是均匀分布的热汇密度，这些热汇的总体恰好吸收了点热源所放出的热量，不多也不少。
（12-1-13）和（12-1-15）的物理解释有一个困难。
公式左边u 的宗量r 0表明观测点在r 0，而右边积分中的f （r ）表示源在r ，可是，格林函数G （r ，r 0）所代表的是r 0的点源在r 点产生的场。
这个困难如何解决呢？原来，这个问题里的格林函数具有对称性G （r ，r 0）＝G （r 0，r ），将（12-1-13）和（12-1-15）中的r 和r对调，并利用格林函数的对称性，（12-1-13）成为,) ,()()() ,()(0000000⎰⎰⎰⎰⎰∑∂∂+=dS n r r G r dV r f r r G r u Tϕ （12-1-19）这就是第一边值问题解的积分表示式。
（12-1-15）成为,)() ,(1)() ,()(000000⎰⎰⎰⎰⎰∑-=dS r r r G dV r f r r G r u Tϕα（12-1-20）这就是第三边值问题解的积分表示式。
（12-1-19）和（12-1-20）的物理意义就很清楚了，右边第一个积分表示区域T 中分布的源f （r 0）在r 点产生的场的总和。
第二个积分则代表边界上的状况对r点场的影响的总和。
两项积分中的格林函数相同。
这正说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的场。
现在来证明格林函数的对称性。
在 T 中任取两个定点r 1和r 2。
以这两点为中心，各作半径为的球面1和2。
从 T 挖去1和2所围的球K 1和K 2。
在剩下的区域T －K 1－K 2上，G （r ，r 1）和G （r ，r 2）并无奇点。
以u ＝G （r ，r 1），v ＝G（r ，r 2）代入格林公式（12-1-3）⎰⎰⎰⎰⎰--∑+∑+∑∆-∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂2121)(KK T dVu v v u dS n u v n vu由于G （r ，r 1）和G （r ，r 2）是调和函数，上式右边为零。
又由于格林函数的边界条件，上式左边⎰⎰∑=0。
这样.021=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰∑∑dS n u v n vu dS n u v n v u令 →0，上式成为0－v （r 1）＋u （r 2）－0＝0，即G （r 1，r 2）＝G （r 2，r 1）。
对于拉普拉斯方程，即（12-1-4）式右边的 f （r ）≡0，这时，我们只要令（12-1-19）和（12-1-20）两式右边的体积分值等于零，便可得到拉普拉斯方程第一边值问题的解⎰⎰∑∂∂=0000) ,()()(dS n r r G r r uϕ（12-1-21）以及第三边值问题的解⎰⎰∑-=000)() ,(1)(dS r r r G r uϕα（12-1-22）我们看到，借助格林公式，也可利用格林函数方法得到齐次方程定解问题的解。