第五章格林函数法

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数学物理方程-第五章格林函数法

第五章格林函数法在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet 问题的解.本章利用Green 函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet 问题. 另外，也简单介绍利用Green 函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题. 应指出的是：Green 函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用.§5⋅1 格林公式在研究Laplace 方程或Poisson 方程边值问题时，要经常利用格林（Green ）公式，它是高等数学中高斯（Gauss ）公式的直接推广.设Ω为3R 中的区域，∂Ω充分光滑. 设k 为非负整数，以下用()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体，()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体. 如()10()()()()u C C C C ∈Ω⋂ΩΩ=Ω，表示(,,)u x y z 在Ω具有一阶连续偏导数而在Ω上连续. 另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去.如将(,,)P x y z 简记为P ，(,,)P x y z x ∂∂简记为Px∂∂或x P 等等.设(,,)P x y z ，(,,)Q x y z 和(,,)R x y z 1()C ∈Ω，则成立如下的Gauss 公式()P Q R dV Pdydz Qdydx Rdxdy x y z Ω∂Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.1) 或者()(cos cos cos )P Q R dV P Q R ds x y z αβγΩ∂Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.2) 如果引入哈米尔顿（Hamilton ）算子： (,,)x y z∂∂∂∇=∂∂∂，并记(,,)F P Q R =，则Gauss 公式具有如下简洁形式⎰⎰⎰⎰⎰∂⋅=⋅∇ΩΩds n F dv F(1.3)其中(cos ,cos ,cos )n αβγ=为∂Ω的单位外法向量.注1 Hamilton 算子是一个向量性算子，它作用于向量函数(,,)F P Q R =时，其运算定义为(,,)(,,) ,F P Q R x y zP Q Rx y z∂∂∂∇⋅=⋅∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂形式上相当于两个向量作点乘运算，此即向量F 的散度div F . 而作用于数量函数(,,)f x y z 时，其运算定义为(,,)(,,)f f ff f x y z x y z∂∂∂∂∂∂∇==∂∂∂∂∂∂，形式上相当于向量的数乘运算，此即数量函数f 的梯度grad f .设(,,)u x y z ，2(,,)()v x y z C ∈Ω，在(1.3)中取F u v =∇得 ()u v dV u v nds Ω∂Ω∇⋅∇=∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰ (1.4)直接计算可得v u v u v u ∇∇+=∇⋅∇∆)( (1.5)其中xx yy zz v v v v ∆=++. 将(1.5)代入到(1.4)中并整理得vu vdV uds u vdV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.6) (1.6)称为Green 第一公式.在(1.6)中将函数u ，v 的位置互换得uv udV vds v udV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.7) 自(1.6)减去(1.7)得()()v uu v v u dV uv ds n nΩ∂Ω∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.8) (1.8)称为Green 第二公式.设点0(,,)P ξηζ∈Ω，点3(,,)P x y z R ∈，||00P P r P P -==引入函数 001(,)4P PP P r πΓ=，注意0(,)P P Γ是关于六个变元(,,)x y z 和(,,)ξης的函数且00(,)(,)P P P P Γ=Γ. 如无特别说明, 对b 求导均指关于变量(,,)x y z 的偏导数. 直接计算可得00(,)0, P P P P ∆Γ=≠即0(,)P P Γ在3R 中除点0P 外处处满足Laplace 方程.设0ε>充分小使得00(,){(,,) ||}B B P P x y z P P εε==-≤⊂Ω. 记\G B =Ω,则G B ∂=∂Ω⋃∂. 在Green 第二公式中取0(,)v P P =Γ，G Ω=. 由于在区域G 内有0∆Γ=，故有()GGu udV uds n n∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者()()GBu u udV uds u ds n n n n ∂Ω∂∂Γ∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ+-Γ∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.9) 在球面B ∂上，021()414P P r n rr r ππ∂∂Γ∂Γ=-=-=∂∂∂，因此21(,,)4BBuuds ds u x y z n πε∂∂∂Γ==∂⎰⎰⎰⎰ (1.10)其中(,,)P x y z B ∈∂.同理可得 14BBu u ds ds n n πε∂∂∂∂Γ=∂∂⎰⎰⎰⎰(,,)ux y z n ε∂'''=∂ (1.11) 其中(,,)P x y z B '''∈∂.将(1.10)和 (1.11)代入到(1.9)中并令0ε+→，此时有0(,,)(,,)P x y z P ξηζ→，(,,)0ux y z n ε∂'''→∂，并且区域G 趋向于区域Ω，因此可得()(,,)uudV uds u n nξηζΩ∂Ω∂Γ∂-Γ∆=-Γ+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰，即(,,)()u u u ds udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.12) (1.12)称为Green 第三公式. 它表明函数u 在Ω内的值可用Ω内的u ∆值与边界∂Ω上u 及nu∂∂的值表示.注2 在二维情形，Green 第一公式和Green 第二公式也成立. 而对于Green第三公式, 需要取011(,)ln 2P P rπΓ=，其中0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，r =0P P r =0||P P -=此时Green 第三公式也成立.§5⋅2 Laplace 方程基本解和Green 函数基本解在研究偏微分方程时起着重要的作用. 本节介绍Laplace 方程的基本解，并在一些特殊区域上由基本解生成Green 函数，由此给出相应区域上Laplace 方程或Poisson 方程边值问题解的表达式. 下面以Dirichlet 问题为例介绍Laplace 方程的基本解和Green 函数方法的基本思想.5．2.1 基本解设30(,,)P R ξηζ∈，若在点0P 放置一单位正电荷，则该电荷在空间产生的电位分布为(舍去常数0ε)001(,,)(,)4P Pu x y z P P r π=Γ=(2.1) 易证： 0(,)P P Γ在30\{}R P 满足0 .u -∆= 进一步还可以证明[1]，在广义函数的意义下0(,)P P Γ满足方程0(,)u P P δ-∆= (2.2)其中0(,)()()()P P x y z δδξδηδζ=---. 0(,)P P Γ称为三维Laplace 方程的基本解.当n =2时，二维Laplace 方程的基本解为0011(,)ln2P PP P r πΓ=(2.3)其中0(,)P ξη，2(,)P x y R ∈，0P P r =同理可证，0(,)P P Γ在平面上除点0(,)P ξη外满足方程0 u -∆=，而在广义函数意义下0(,)P P Γ满足方程0(,)u P P δ-∆= (2.4)其中0(,)()()P P x y δδξδη=--.注1 根据Laplace 方程的基本解的物理意义可以由方程（2.2）和（2.4）直接求出（2.1）和（2.3），作为练习将这些内容放在本章习题中. 另外，也可以利用Fourier 变换求解方程（2.2）和（2.4）而得到Laplace 方程的基本解.5．2.2 Green 函数考虑如下定解问题(,,), (,,) (2.5)(,,)(,,), (,,)(2.6)u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩设0(,,)P ξηζ∈Ω，21(,,)()()u x y z C C ∈Ω⋂Ω是(2.5)— (2.6)的解，则由Green 第三公式可得(,,)()u u u ds udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.7) 在公式（2.7）的右端，其中有两项可由定解问题（2.5）—（2.6）的边值和自由项求出，即有uds ds n n ϕ∂Ω∂Ω∂Γ∂Γ=∂∂⎰⎰⎰⎰udV f dV ΩΩΓ∆=-Γ⎰⎰⎰⎰⎰⎰.而在u ds n ∂Ω∂Γ∂⎰⎰中，un∂∂在边界∂Ω上的值是未知的. 因此须做进一步处理. 注2 若要求解Neumann 问题，即将（2.6）中边界条件换为(,,)ux y z nϕ∂=∂.此时，在方程（2.7）右端第二项uds n∂Ω∂Γ∂⎰⎰中，u 在边界∂Ω上的值是未知的，而其余两项可由相应定解问题的边值和自由项求出.如何由（2.7）得到定解问题(2.5)-(2.6)的解？Green 的想法就是要消去(2.7) 右端第一项uds n∂Ω∂Γ∂⎰⎰. 为此，要用下面的Green 函数取代（2.7）中的基本解. 设h 为如下定解问题的解0,(,,)(2.8),(,,)(2.9)h x y z h x y z -∆=∈Ω⎧⎨=-Γ∈∂Ω⎩在Green 第二公式中取v h =得()h u h udV uh ds n nΩ∂Ω∂∂-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者0()u hhu ds h udV n n ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.10) 将(2.7)和(2.10)相加得(,,)()u G u Gu ds G udV n n ξηζ∂ΩΩ∂∂=--∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (2.11) 其中0(,)G P P h =Γ+.由(2.2)和(2.8)—（2.9)可得，0(,)G P P 是如下定解问题的解00(,), (,,)(2.12)(,)0, (,,)(2.13)G P P P x y z G P P P x y z δ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩0(,)G P P 称为Laplace 方程在区域Ω的Green 函数.由于G 在∂Ω上恒为零，由(2.11)可得(,,)Gu uds G udV n ξηζ∂ΩΩ∂=--∆∂⎰⎰⎰⎰⎰ Gds GfdV n ϕ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰. (2.14) 因此，若求出了区域Ω的Green 函数0(,)G P P ，则(2.14)便是定解问题(2.5)— (2.6)的解.§5⋅3 半空间及圆域上的Dirichlet 问题由第二节讨论可知，只要求出了给定区域Ω上的Green 函数，就可以得到该区域Poisson 方程Dirichlet 问题的解. 对一般区域，求Green 函数并非易事. 但对于某些特殊区域，Green 函数可借助于基本解的物理意义利用对称法而得出. 下面以半空间和圆域为例介绍此方法.5．3.1 半空间上Dirichlet 问题设{(,,)|0},{(,,)|0}x y z z x y z z Ω=>∂Ω==. 考虑定解问题2(,,),(,,) (3.1)(,,0)(,),(,) (3.2)u f x y z x y z u x y x y x y Rϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈⎩设0(,,),P ξηζ∈Ω则1(,,)P ξηζ-为0P 关于∂Ω的对称点. 若在0P ，1P 两点各放置一个单位正电荷，则由三维Laplace 方程的基本解知，它们在空间产生的电位分别为00111(,)41(,)4P P r P P r ππΓ=Γ=其中0011||,||r P P r P P =-=-. 由于0P 和1P 关于∂Ω对称，且1P ∉Ω，故有01001[(,)(,)](,), (,)(,)0,.P P P P P P P P P P PP δ-∆Γ-Γ=∈Ω⎧⎨Γ-Γ=∈∂Ω⎩ 即001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ为上半空间的Green 函数，且有001(,)(,)(,)G P P P P P P =Γ-Γ011114r r π⎛⎫=- ⎪⎝⎭14π⎡⎤= (3.3)直接计算可得3/2222012()()z G G n zx y ζπξηζ∂Ω=∂∂=-=-∂∂⎡⎤-+-+⎣⎦(3.4)将(3.3)—(3.4)代入到公式(2.14)得(,,)Gu ds Gfd n ξηζϕν∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰⎰⎰ 3/2222001(,)2()() (,)(,,)x y dxdyx y G P P f x y z dxdydzϕζπξηζ∞∞-∞-∞∞∞∞-∞-∞=⎡⎤-+-+⎣⎦+⎰⎰⎰⎰⎰上式便是定解问题(3.1)— (3.2)的解.5．3.2 圆域上Dirichlet 问题设222{(,)|}x y x y R Ω=+<，则222{(,)|}x y x y R ∂Ω=+=. 考虑圆域Ω上的Dirichlet 问题(,), (,) (3.5)(,)(,), (,)(3.6)u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩设0(,)P ξη∈Ω，1(,)P ξη为0(,)P ξη关于圆周∂Ω的对称点，即201,OP OP R =如图3-1所示 . 由于201OP OP R =，因此对任意M ∈∂Ω有 01~OP M OMP ∆∆ROP r r MP M P ||010=1P01011||P MPMR r OP r =图3.1因此有0101111ln ln 022||P M PMR r OP r ππ-= (3.7) 上式说明函数01001111(,)ln ln22||P P P PR G P P r OP r ππ=- (3.8) 在∂Ω上恒为零. 又由于1P ∉Ω，故有000(,)(,),(,)0,.G P P P P P G P P P δ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩即0(;)G P P 是圆域上的Green 函数.引入极坐标(,)P ρθ，设0000(,)(,)P P ξηρθ=，则21100(,)(,)R P P ξηθρ=. 用α表示0OP 与OP 的夹角，则有000cos cos cos sin sin cos()αθθθθθθ=+=-利用余弦定理可得0P P r =(3.9)1P P r =(3.10)将(3.9)和(3.10)代入到(3.8)中并整理得22222000042220002cos()1(,)ln 42cos()R R R G P P R R ρρρρθθπρρρρθθ+--=-+-- (3.11) 直接计算可得RG Gn ρρ∂Ω=∂∂=∂∂2222000122cos()R R R R ρπρρθθ-=-+-- . (3.12) 记()(cos ,sin )g R R ϕθθθ=，则有00(,)Gu ds Gfd n ρθϕσ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰ 222022000()()122cos()R d R R πρϕθθπρρθθ-=+--⎰- 222222000422200002cos()1(cos ,sin )ln 42cos()R R R R f d d R R πρρρρθθρθρθρρθπρρρρθθ+--+--⎰⎰(3.13)(3.13)便是定解问题(3.5)—(3.6)的解.注1 当0f =时(3.13)称为圆域上调和函数的Poisson 公式.注2 利用复变函数的保角映射，可以将许多平面区域变换为圆域或半平面.因此，与保角映射结合使用，可以扩大对称法以及Green 函数法的应用范围. 在本章习题中有一些这类题目，Green 函数法更多的应用可查阅参考文献[13].§5⋅4* 一维热传导方程和波动方程半无界问题5．4.1 一维热传导方程半无界问题为简单起见，仅考虑以下齐次方程定解问题20 , 0 , 0 (4.1)(0,)0 , 0 (4.2)(,0)() , 0 t xx u a u x t u t t u x x x ϕ-=<<∞>=≥=<<∞ (4.3)⎧⎪⎨⎪⎩该定解问题称为半无界问题, 这是一个混合问题，边界条件为(4.2). 类似于上节Poisson 方程在半空间和圆域上Dirichlet 问题的求解思想，也要以热方程的基本解为基础，使用对称法求出问题（4.1）—（4.3）的Green 函数，并利用所得到的Green 函数给出该问题的解.一维热传导方程的基本解为224(,)() .x a tx t H t -Γ=(,)x t Γ是如下问题的解20, , 0 (4.4)(,0)(), . (4.5)t xx u a u x t u x x x δ⎧-=-∞<<∞>⎨=-∞<<∞⎩相当于在初始时刻0t =，在0x =点处置放一单位点热源所产生的温度分布.若将上面定解问题中的初始条件换为(,0)()u x x δξ=-，只要利用平移变换'x x ξ=-易得此时（4.4）—（4.5）的解为(,)x t ξΓ-.为求解定解问题（4.1）—（4.3），先考虑()()x x ϕδξ=-，其中ξ为x 轴正半轴上的任意一点. 此时，相当于在x ξ=点处置放一单位点热源. 则此单位点热源在x 轴正半轴上产生的温度分布，如果满足边界条件（4.2），它便是（4.1）—（4.3）的解，即为该问题的Green 函数. 为此，设想再在x ξ=-点，此点为x ξ=关于坐标原点的对称点，处置放一单位单位负热源，这时在x ξ=点处置放的单位点热源产生的温度分布(,)x t ξΓ-和在x ξ=-处置放的单位负热源产生的温度分布(,)x t ξ-Γ+在0x =处相互抵消，从而在0x =处的温度恒为零. 因此，问题（4.1）—（4.3）的Green 函数为(,)(,)(,) G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+ （4.6）利用叠加原理可得原问题的解为(,)() (,)u x t G x t d ϕξξξ∞=-⎰ . (4.7)若将（4.2）中的边界条件换为(0,)()u t g t =或(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.5．4.2 一维波动方程半无界问题考虑以下齐次方程定解问题20, 0, 0 (4.8)(0,)0, 0 (4.9)(,0)0, (,0)(), 0 tt xx t u a u x t u t t u x u x x x ψ-=<<∞>=≥==<<∞ (4.10)⎧⎪⎨⎪⎩一维波动方程的基本解(,)x t Γ为1, 2(;) 0, .x ata x t x at ⎧<⎪Γ=⎨⎪≥⎩完全类似于上小节的分析，可得该问题的Green 函数为(,)(,)(,)G x t x t x t ξξξ-=Γ--Γ+，（4.11）其中0ξ>. 因此，该定解问题的解便可表示为(,)() (,)u x t G x t d ψξξξ∞=-⎰. （4.12）注意到(,)x t ξΓ-的具体表示式为1, 2(;) 0, x at ax t x at ξξξ⎧-<⎪Γ-=⎨⎪-≥⎩类似地有1, 2(;) 0, x at ax t x at ξξξ⎧+<⎪Γ+=⎨⎪+≥⎩将上面两式代入到（4.12）中并整理可得1(), 0 2(,)1(), 0.2x atx at x at at xd x at a u x t d x at a ψξξψξξ+-+-⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩⎰⎰ 若将（4.9）中的边界条件换为(0,)0x u t =，请同学们考虑如何求解相应的定解问题.注1 对一维波动方程半无界问题，除上面使用的Green 函数法以外，也可以用延拓法或特征线法求解[1]. 相比之下，Green 函数法最简单.注2 类似于本章前两节，对一维热传导方程和波动方程初边值问题，也可以建立起解的Green 公式表达式，相当于本章第二节中的（2.14）, 并以此为基础而给出上面(4.7)和（4.12）两式的严格证明[2]. 由于本章主要是通过对一些比较简单的偏微分方程定解问题的求解，重点介绍Green 函数法的基本思想和一些特殊区域Green 函数的具体求法，故略去了(4.7)和（4.12）两式的推导过程.习题五1．设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明（1）u udV ds n Ω∂Ω∂∆=∂⎰⎰⎰⎰⎰. （2）2u u udV u ds u dV n Ω∂ΩΩ∂∆=-∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 2. 设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题0, (,,)(,,)0, (,,).xx yy zz u u u u x y z u x y z x y z ∆=++=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 证明 (,,)0u x y z ≡，并由此推出Poisson 方程Dirichlet 问题解的唯一性.若将定解问题中的边界条件换为0, (,,),u x y z n∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在Ω中等于什么？ Poisson 方程Neumann 问题的解是否具有唯一性？ 3*设3R Ω⊂为有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω满足下面问题(,,)(,,), (,,)(,,)(,,), (,,).u c x y z u f x y z x y z u x y z x y z x y z ϕ-∆+=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩其中 (,,)c x y z 在闭域Ω非负有界且不恒为零. 证明或求解以下各题（1）如果0,(,,), 0,(,,),f x y z x y z ϕ=∈Ω=∈∂Ω证明(,,)0u x y z ≡.（2）如果0,(,,),f x y z =∈Ω而边界条件换为0, (,,),u x y z n∂=∈∂Ω∂问(,,)u x y z 在区域Ω中等于什么？4.（1）验证0∆Γ=，0P P ≠，其中0(,) 3P P n Γ==01(,)22P P n πΓ== （2）设()u u r =, 22y x r +=，求0,0xx yy u u r +=≠，并且满足(1)0, u = (0,) 1B u n ds δ∂∇⋅=-⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为圆心δ为半径的圆形域，n 为(0,)B δ∂的单位外法向量.（3）设()u u r =, 222z y x r ++=，求0=++zz yy xx u u u ，0≠r ，并且满足B(0,)lim ()0, 1r u r u nds δ→∞∂=∇⋅=-⎰⎰的解, 其中(0,)B δ是以原点为球心δ为半径的球形域，n 为(0,)B δ∂的单位外法向量.5．设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，21()()u C C ∈Ω⋂Ω. 证明(,)()u u u ds ud n n ξησ∂ΩΩ∂∂Γ=Γ--Γ∆∂∂⎰⎰⎰ 其中0(,)P ξη∈Ω，0(,)P P Γ如第4题所示.6. 设2R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑，0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，0(,)P P Γ为二维Laplace 方程的基本解. 考虑定解问题(,), (,)(,)(,), (,)u f x y x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 若(,)h x y 是如下定解问题的解00, (,)(,)(,),(,)h x y h x y P P x y ∆=∈Ω⎧⎨=-Γ∈∂Ω⎩证明若21(,)()()u x y C C ∈Ω⋂Ω，则有(,)G u ds Gfd n ξηϕσ∂ΩΩ∂=-+∂⎰⎰⎰，其中G h =Γ+.7. 设3R Ω⊂有界区域，∂Ω充分光滑, 考虑定解问题(,,), (,,)(,,), (,,).u f x y z x y z u x y z x y z nϕ-∆=∈Ω⎧⎪∂⎨=∈∂Ω⎪∂⎩ 证明该问题可解的必要条件为0f dV ds ϕΩ∂Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰. 8* 证明上半空间Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P 满足 020010(,), (,),0, .4P PG P P x y R z P P r π<<∈>≠ 对平面上圆域Laplace 方程Dirichlet 问题的Green 函数0(,)G P P ，给出类似结果.9. 利用对称法求二维Laplace 方程Dirichlet 问题在上半平面的Green 函数, 并由此求解下面定解问题0, (,),0(,0)(), (,).u x y u x x x ϕ-∆=∈-∞∞>⎧⎨=∈-∞∞⎩10．求二维Laplace 方程在下列区域上 Dirichlet 问题的Green 函数.（1） {(,)|}x y x y Ω=>. （2） {(,)|0,0}x y x y Ω=>>.11．设222{(,)|,0}x y x y R y Ω=+<>. 考虑半圆域Dirichlet 问题0,(,)(,)(,), (,).u x y u x y x y x y ϕ-∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 应用对称法求区域Ω上的Green 函数.12*求解定解问题 0,(,,)(,,)(,,),(,,).u x y z u x y z g x y z x y z -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 其中32222,(0,){(,,)|}xx yy zz u u u u B R x y z R x y z R ∆=++Ω==∈++<.13．[解对边值的连续依赖性]设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题(,), (,)(,)(,),(,) 1,2.k k k u f x y x y u x y g x y x y k -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω=⎩ 利用Poisson 公式证明2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω14*证明在广义函数的意义下，11(,0)ln 2P rπΓ=满足 ()()u x y δδ-∆=，其中xx yy r u u u =∆=+.15*设Ω为半径等于R 的圆域，考虑如下问题 0, (,)(,)(,),(,) .u x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 如果(,)g x y 在∂Ω连续，证明由Poisson 公式给出的解是该问题的古典解（真解）.16*设(,)u x y 为平面上区域Ω上的调和函数，000(,)P x y ∈Ω且0(,)B P R ⊂Ω. 证明调和函数的平均值公式00002(,)(,)11(,)(,)(,)2B P R B P R u x y u x y ds u x y dxdy R R ππ∂==⎰⎰⎰ 17*[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界充分光滑，2()()u C C ∈Ω⋂Ω为Ω 内的调和函数，并且在某点000(,)P x y ∈Ω达到u 在闭域Ω上的最大（小）值，利用平均值公式证明u 为常数.18*[极值原理]设2R Ω⊂有界区域，边界∂Ω充分光滑， 2()()u C C ∈Ω⋂Ω. 如果u 在区域Ω内调和且不等于常数，则u 在闭域Ω上的最大值和最小值只能在区域的边界∂Ω上达到.19*利用第12题的结果,建立在3R Ω⊂内调和函数的平均值公式，并证明和第16题类似的结果.20*设2R Ω⊂有界区域，2()(), (),1,2,k k u C C g C k ∈Ω⋂Ω∈∂Ω=满足 (,), (,)(,)(,),(,) k kk u f x y x y u x y g x y x y -∆=∈Ω⎧⎨=∈∂Ω⎩ 证明 2121(,)(,)max{(,)(,)(,)}u x y u x y g x y g x y x y -≤-∈∂Ω.21．设D 和Ω为平面上的两个区域，()(,)(,)f z x y i x y ϕψ=+在区域D 内解析且不等于常数，()f D =Ω，即f 将区域D 保形映射到区域Ω.证明如果(,)u x y 在区域Ω内调和，则((,),(,))u x y x y ϕψ在区域D 内调和.22.（1）找一个在上半平面解析的函数()f z ，在边界{(,),0}x y x R y ∈=上满足00(),, (),,f x A x x f x B x x =>=<其中A 和B 为实常数.（2）求下面定解问题的一个解0, 0,0(,0)0,0, (0,)10,0.xx yy u u x y u x x u y y +=>>⎧⎨=>=>⎩23*求下面定解问题的一个解22220, 1(,)0,0, (,)1,0, 1.xx yy u u x y u x y y u x y y x y ⎧+=+<⎪⎨=<=>+=⎪⎩ 24. 求下面定解问题的一个解0, 0<(,0)0, (,)1, 0.xx yy u u y x u x u x x x +=<⎧⎨==>⎩ 25. 求下面定解问题的一个解0, , 0<(,)0, (,0)0, 0, (,0)1, 0.xx yy u u x R y u x x Ru x x u x x ππ+=∈<⎧⎪=∈⎨⎪=<=>⎩26. 设(0,)B R Ω=，1(0,)2R B Ω=，(,)u x y 在Ω内调和且在Ω上连续，在边界上非负，证明以下结果（1）(,),x y ∀∈Ω有(0,0)(,)(0,0),R r R r u u x y u R r R r-+≤≤+-其中r = （2）存在常数0M > 使得 11max (,)min (,).u x y M u x y ΩΩ≤。

格林函数方法

格林函数方法
1、格林函数
格林函数（Green's function）是指由著名数学家.格林（Green）提出的数学方法，它是一种可以求解各种微分方程的技术。

格林函数的定义是对于任意给定的初值问题，在区间上的解的和等于给定的数值13。

其用法主要有两种：一种是用于求解某些有定型的初值问题；另一种是求解某些微分方程的积分解。

格林函数的结果可以用来解决复杂的初值问题和理解复杂的微分方程以及系统的时间变化。

2、格林函数的原理
格林函数可以用来解决一类有特定初值条件的常微分方程组。

它的原理是基于一种叫做拉普拉斯变换（Laplacetransform）的数学变换理论，它是一种将微分方程组变换成求积分方程组的方法，从而可以使原本困难的初值问题变得容易解决，其在解决物理学中不变解中特别有用。

3、格林函数的计算
对于特定的初值条件，可以使用格林函数计算出拉普拉斯变换得到的积分方程的结果，从而计算得到解析解。

计算过程比较复杂，需要用到积分变换和methods。

总之，格林函数是一种可以求解复杂常微分方程的有效数学方法，它基于拉普拉斯变换的原理，对于特定的初值问题，运用格林函数，可以计算出相应的解析解。

格林函数法

应的单位点源的电势解；原问题的解可以通过这个点源的解表示出来;
通过格林公式，把静电边值问题与相应的格林函数问题联系起来。一般的处理方法，在物理学领域有着非常广泛的应用
3
本节主要内容： 1. 格林函数——对应于给定问题的单位点源
的电势解； 2. 格林函数与泊松方程的解之间的关系； 3. 几种简单边界问题的格林函数形式。
10/20/2014
§5 格林函数法
1
几种方法的比较
1. 镜像法只适用于比较简单（点电荷）问题； 2. 分离变量法是精确求解的方法：除了几个高对
称的边界问题以外，一些实际问题往往难以求解； 3. 多极展开法只适用于求远处的场（最后一节）； 4. 格林函数方法
2
1
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格林函数方法： Green函数本身实际上是对应于给定问题所对
4
2
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几个基本公式：Ñ
1 r
=
-
r r3
,
高斯定理：
ò
E
×
dS
=
1 e0
i
Qi
空间一个单位点电荷的电场： E
=
4
1 e0
r r3
若点电荷处于闭合积分面内：
��

格林函数法详解

V
q (r r') /0
解 u f (r')d ' G 1 V q
4 | r r'|
4 | r r'|
40 | r r'|
基本思路
原问题点源问题
关系
u f (r ) u | 0
G (r r ' )
G | 0
f (r) f (r') (r r')d '
A JGdV
V
Am J mGdV V
3、格林函数的一般概念
• 定义：纯点源产生的场
– （不计初始条件和边界条件的影响）。
– 例子：
• ΔG = δ(r-r’)，G|Γ=0 • (t – a2Δ) G = δ(r-r’)δ(t-t’)， G|Γ= G|t=0=0
– 一般形式
• L G(xi) = δ(xi-xi’) • G|边界= G|初始=0
林函数
• 性质：
– 设数学物理方程为 L u(x) = f (x) – 而格林函数方程为 L G(x) =δ(x-x’) – 在相同的齐次定解条件下 – 因为： f(x) =∫f (x’)δ(x-x’) dx’ – 所以： u(x) =∫f (x’) G(x-x’) dx’
• 应用（求解数学物理方程的格林函数法）
格林函数法
• 有源电磁场问题要求解非齐次波动方程，格林函数法是其中一种重要的求解方法。
• 格林函数表示单位强度的点源的产生的场，是非齐次波动方程的基本解。
• 在此基础上，可利用叠加原理求得任意分布的源所产生的场。确定论问题
• 如果源的分布是未知的，也可借助格林函数建立积分方程，将求解非齐次波动方程转换为求解积分方程，从而有利于用数值方法对问题进行求解. 边值问题

常微分方程格林函数

常微分方程格林函数常微分方程的格林函数是求解一类线性常微分方程的有力工具。

常微分方程是描述自然界中许多物理过程的数学模型，例如振动系统、电路和流体力学中的运动方程等。

在这些问题中，格林函数是求解边界值问题的一种方法，可以将边界条件转化为内部源项的形式。

格林函数方法在物理学、工程学和应用数学中都有广泛的应用。

格林函数的概念最早由乔治·格林在19世纪中叶提出。

格林函数是常微分方程的一个特殊解，其定义为满足以下条件的函数：当微分方程的源项为一个单位脉冲函数时，格林函数的解是该单位脉冲函数所对应的方程的解。

格林函数的定义可以用数学形式表示为：G(x,ξ) = 0, x ≠ ξD[x]G(x,ξ)|ξ -> x=ξ = δ(x-ξ)其中G(x,ξ)是格林函数，x和ξ是变量，δ(x-ξ)是单位脉冲函数。

格林函数的求解方法通常涉及到使用边界条件或初始条件，以及特定的微分方程形式。

以下是一些常见的常微分方程的格林函数：1. 二阶常微分方程：对于形如y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的二阶常微分方程，可以使用格林函数方法进行求解。

格林函数可以表示为一个双曲正弦函数和一个双曲余弦函数的线性组合。

2. 亥姆霍兹方程：亥姆霍兹方程是一个二阶常微分方程，常见于电磁学和声学中。

格林函数的求解方法可以通过将亥姆霍兹方程转化为一个特征值问题，然后使用特征值和特征函数来计算格林函数。

3. 泊松方程：泊松方程是一个二阶偏微分方程，常见于电势和引力场的求解中。

格林函数方法可以将泊松方程转化为一个积分方程，然后使用格林函数的性质求解。

4. 热传导方程：热传导方程描述了物体内部温度分布随时间的演化。

格林函数方法可以通过寻找满足初始条件的格林函数来求解热传导方程。

格林函数方法的优势在于可以将边界值问题转化为内部源项的形式，从而简化求解过程。

然而，格林函数方法的应用也存在一些限制，例如求解非线性常微分方程时的困难。

《格林函数方法》课件

04
格林函数在工程问题中的应用
流体动力学问题
流体力学中的波动和散射问题
格林函数方法可以用于求解流体力学中的波动和散射问题，例如声波在流体中的传播、波动在管道中的传播等。
流体动力学中的边界层问题
格林函数方法可以用于求解流体力学中的边界层问题，例如流体在固体表面流动时的速度分布、温度分布等问题。
格林函数方法的优点
精确度高
格林函数方法基于严格的数学推导，能够精确地描述物理系统的响应。
适用范围广
该方法不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统，具有较强的通用性。
易于实现
格林函数具有明确的物理意义，计算过程相对简单，易于编程实现。
可扩展性强
通过引入更多的格林函数，可以处理更复杂的物理问题。
弹性力学问题
总结词
格林函数在弹性力学问题中也有着重要的应用，它可以帮助我们求解弹性波的传播和散射问题。
详细描述
在弹性力学问题中，格林函数可以用于描述弹性波的传播和散射过程。通过求解格林函数，我们可以得到弹性波在各种不同介质中的传播规律和散射特性，这对于地震探测、声波传播、振动控制等领域有着重要的应用价值。
格林函数方法的缺点
计算量大
对于大规模系统，需要计算的格林函数数量较多，计算量较大。
对初值敏感
某些情况下，初值的选择对计算结果影响较大，需要仔细选择。
对噪声敏感
在数据中存在噪声时，格林函数方法可能会受到影响，导致结果失真。
对边界条件敏感
边界条件的设定对格林函数的计算结果有较大影响，需要谨慎处理。
格林函数方法的未来发展前景
03
格林函数在物理问题中的应用
电磁场问题
总结词
格林函数在电磁场问题中有着广泛的应用，它可以帮助我们求解电磁场中的散射和辐射问题。

数学物理第五章-格林函数法

则有
(P[, P(0P),P0)(P, P(1P),P10),]
P
(P,
P0
),
P
即
G(P, P0) (P, P0) (P, P1)
为上半空间的格林函数，且有
G(P, P0) (P, P0) (P, P1)
1(
4
1 (1 1)
4 r0 r1
1
(x )2 (y )2 (z )2
( x,
y)
1
0
x2 x2
0 y2 y2
1 1
的解并求出u(0, 0, a)的值(常数a 0)？
解由上半空间的泊松公式
1 )
(x )2 (y )2 (z )2
G 1 (
1
1
)
4 (x )2 ( y )2 (z )2 (x )2 ( y )2 (z )2
直接计算可得
G
G
1
n
z
z0
2
3
[(x )2 ( y )2 2 ]2
又
u(
,,
)
G n
ds
GfdV
1
2
(x, y)
3
R2 [(x )2 ( y )2 2 ]2
因此
u
B
n
ds
B
u
4
2
ds
u(x,
y,
z
)
(10)
u
u
B
n
ds
B
4
2
ds
u(x,
y,
z
)
(10)
其中 P(x, y, z ) B.------积分中值定理
同理可得
B
u n

Delta函数介绍

§5.1 δ 函数
其中, δ ( M − M 0 ) = δ ( x − x0 , y − y 0 , z − z 0 ) = δ ( x − x0 )δ ( y − y0 )δ ( z − z 0 ) 为三维函数 ; dv = dxdydz
其中, δ ( M − M 0 ) = δ ( x − x0 , y − y 0 ) = δ ( x − x0 )δ ( y − y0 ) 为二维函数 ; dv = dxdy
总电量q = 1, 集中在x = 0处
x
Δq ⎧0 x ≠ 0 =⎨ 则电荷密度 : ρ ( x) = lim Δx →0 Δx ⎩∞ x = 0
∞
−∞
∫ ρ ( x)dx = 1
Wuhan University
一、δ函数的引入
2、定义：
§5.1 δ 函数
⎧ ⎧0 x ≠ 0 ⎪δ ( x) = ⎨ ⎩∞ x = 0 ⎪ ⎨∞ ⎪ δ ( x)dx = 1 ⎪∫ ⎩− ∞
∞
f (t ) =
−∞
∫ f (τ )δ (τ − t )dτ = ∫
b
a
f (τ )δ (τ − t )dτ
Wuhan University
三、高维δ 函数
1、定义：
⎧ ⎧0 , M ≠ M 0 ⎪δ ( M − M 0 ) = ⎨ ⎩∞ M = M 0 ⎪ (1) ⎨ ∞ ⎪ ⎪ ∫ ∫ ∫ δ ( M − M 0 )dv = 1 ⎩ −∞
第五章格林函数法
Method of Green’s Function
Wuhan University
引言：
第五章格林函数法
⎧行波法 : 无界空间波动问题, 有局限性 ⎪ ⎨分离变量法 : 各种有界问题, 其解为无穷级数 ⎪积分变换法：各种无界问题, 其解为无限积分 ⎩ 1、格林函数法：

第5章格林函数

三类边界条件，或是辐射条件，上式的右边均为零，即 G r2 ,r1 = G r1 ,r2 , 因此，格林函数具有偶对称性。（5—20)
标量格林函数的求法
5．2 用镜像法求标量格林函数
对于半空间的边值问题，例如无限大理想导电面以上半无限大空间中点源产生的场，标量格林函数可以写作 (5-21) G G0 G ' Go 为自由空间格林函数，满足方程 2G0 r,r ' k 2G0 r,r ' r - r ' (5-22) 并满足辐射条件； G ' 满足齐次亥姆霍兹方程及相应的边界条件 2G ' k 2G ' 0 (5-23) 显而易见，由式(5-21)构成的标量格林函数满足方程(5-8)及齐次边界条件式(5-9)。当 S 为无限大的平面，如果标量格林函数在该平面边界满足第一类边界条件，显然可取 G ' r,r ' G0 r,r '' (5-25) 式中, r'' 为源点 r ' 关于无限大的平面的镜像位置的位置矢量。如果标量格林函数在该平面边界满足第二类边界条件，显然可取 G ' r,r ' G0 r,r '' (5-26)
就可利用 G1 r, r ' 以及边界上的法向导数、源分布 f r 以及边界上的标量场通过式(5—13)的积分计算区域 V 中任一点的标量场。
对第二类边值问题，对应的格林函数记为 G2 r, r ' ，由第二类格林函数的边界条件
G2 r,r ' n
S
0
代人式(5—12)得
'2G r ' ,r2 k 2G r ' ,r2 r ' - r2

5.3-5.4用电像法求狄氏格林函数

u1 ( M ) = −u ( M )
− a 2π π u1 ( M ) = ∫0 ∫0 f (θ 0 ,ϕ0 ) 4π a2 − ρ 2 sin θ 0 dθ 0 dϕ0
(a
2
+ ρ 2 − 2aρ cos γ
)
3 2
Wuhan University
四、注释
3、对于圆内的狄氏问题：
§5.3格林函数的求法
Wuhan University
M • 则 I = x i + y j+→ k z → → ρ r = sin θ cos ϕ i + sin θ sin ϕ j + cos θ k υ → r r r 0• ρ I 0 = x0 i + y0 j + z0 k r r r = sin θ 0 cosv 0v + sin θ 0 sin ϕ 0 j + cos θ 0 k ϕi v v ∴ I ⋅ I 0 = I ⋅ I 0 cos γ = cos γ = sin θ cos ϕ sin θ 0 cos ϕ 0 + sin θ sin ϕ sin θ 0 sin ϕ 0 + cos θ cos θ 0 cos γ = sin θ sin θ 0 cos(ϕ − ϕ 0 ) + cos θ cos θ 0
⎨ ⎩G |l = 0 1 1 ln + g 类似 G = 2π r ⎧Δg = 0 , M ∈ σ ⎪ 1 1 ⎨ ⎪ g |l = − 2π ln r |l ⎩
－狄氏格林函数
Wuhan University
二、狄氏格林函数
3、狄氏格林函数物理意义：
M
§5.3格林函数的求法
r

格林函数法

由格林函数的对称性可得
Ò u ( r ) T G ( r ,r 0 ) f( r 0 ) d V 0 [ u ( r 0 ) G ( n r 0 ,r 0 ) G ( r ,r 0 ) u ( n r 0 0 ) ] d S 0
解的基本思想：通过上面解的形式，我们容易观察出引
例1 试求球内的泊松方程的狄利克雷问题的格林函数。
解：该定解问题为三维，其基本解为
G0

4
1 rr r r0
G1 0 r R
G
1
则满足
G1
rR
G 0
rR

4
1 rr R r0
设产生 G 1 的等效点电荷电量q
、位置
rr
（在
1
rr
0
的延长线上
且在球形区域以外，这样方程自然满足）
r R
rr O
r r0
M0
M
q

R ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
0
r r1

R2
r
2 0
r r0
G=G0+G1

4
1 rr r r0
40qrr
r r1
M1
球形区域格林函数表达式；区域形状不同其格林函数也
会有所不同

4
1 rr r r0
4Rr00 rr0rr1

4
1 rr r r0
二维时 u r r l r r 0 G n r r 0 ;r r 0 d l0 S G r r ;r r 0 fr r 0 d S 0
上式为第一边值问题解的积分表示式
§5.2 用电像法求格林函数法

格林函数法

格林函数法
格林函数（Green's Function）是描述物理系统状态之间相互转换和
其它类型的转换的一种函数，用来解决系统的边界值问题。

它可以通过物
理系统的差分方程来解释，也可以用来表征物理系统的任意状态之间的相
互作用。

格林函数可以概括地表示为：当系统处于某一特定状态时，其他
状态的影响，及它们之间的相互作用，以及系统当前状态的演变。

格林函数法可以分为两种：一种是无限空间的，这种方法是通过求解
无限空间的格林函数的衍生值来处理边界值问题；另一种是有限空间的，
这种方法是通过求解有限空间的格林函数的衍生值来处理边界值问题。

格
林函数法可以用来研究物理系统中多种形式的边界值问题，包括边界条件、初始条件、响应函数、激励函数、反应函数等。

此外，它还可以用来估计
未知量、估计系统参数、构造信号处理过程和对边界条件进行约束等。

格林函数方法

格林函数方法格林函数方法是一种数值计算方法，它通过求解常微分方程来解决实际问题，并有助于研究工程中的某些物理特性。

格林函数方法以量子力学和热力学的成功应用为基础，现在被广泛用于量子电子学、光学、流体力学、结构力学、能源学等领域，其有效的处理数十亿个基础状态的能力为科学研究提供了无穷的可能性。

格林函数方法的基本思想是将给定的微分方程转换为它的格林函数表示，以便对常微分方程的解或其他数学特性进行分析。

主要特点是，格林函数方法可以用来求解复杂的线性和非线性微分方程组，其中格林函数可以看作是方程组中各元素的描述，而不需要显式地求出它们的解。

这使得格林函数方法得以应用于复杂系统中实际问题的求解，从而在工程实践中节省了大量的时间和精力。

具体来说，格林函数方法一般分为三个步骤：首先，将常微分方程转换为额外的辅助方程和格林函数；其次，解辅助方程，以求出格林函数，并使用它来解决源微分方程；最后，通过使用互补性和通用性特性，求出格林函数方程组的解，并进行可视化分析。

格林函数方法在研究各种量子物理学问题方面表现异常出色，在计算能量谱、场动力学以及其他类似的量子物理问题方面，它具有极大的优势。

如果将格林函数方法与数值模拟技术相结合，就可以更好地描述复杂的物理系统的特性和行为，从而对更复杂的问题有所贡献。

在过去几十年中，随着计算机技术的发展，格林函数方法也取得了巨大的进步。

最近，研究者们发展出了新型的格林函数方法，如蒙特卡洛格林函数方法和一维格林函数方法，它们可以用于更复杂的微分方程组，能够更快地收敛，对于大型系统也更加有效。

此外，现在有一系列的软件可用来帮助研究人员编写格林函数方程组的程序，大大简化了编程的过程，也方便了研究人员使用格林函数方法发掘物理系统的特性。

综上所述，格林函数方法为研究者提供了解决复杂系统的实际问题的独特工具，同时也大大提高了数值计算的效率。

该方法在研究物理学问题方面取得了显著的进展，已经被广泛应用于各个领域；随着科技的进步，格林函数方法也在不断演进，发展出新的计算技术，为科学研究提供无穷的可能性。

第5节格林函数

2
G 0 1 1 1 解： G( R, R' ) 4 0 R R' 4 0 r
1 G ( R, R ' ) ( R R ' )
2
0
r
R
0
R'
2）有界空间第一类格林函数的边值问题：
0
Gs 0
解： G( R, R' )
0
V0 2
S
G ( x' )dS ' n'
2 0

a
0
r ' dr'
z r 2 z 2 r '2 2rr ' cos( ' )
d '
2 V0 z a 1 ( R) r ' dr' 3 0 2 2 2 0 (r z ) 2
G ( R, R' ) ( R) 0 ( R' ) dS' S n'
R' R
z
上半空间格林函数
其中：
R(r cos , r sin , z) R' (r ' cos ' , r ' sin ' , z' )
1
V 0
x
V0
a
n
代入格林公式：
2 2 V G( R, R' ) ( R) ( R) G( R' R' ) dV ( R ) G ( R , R ' ) G( R, R' ) ( R) dS n n S

第五章Green函数法

0
所以，

(t ) f (t )dt f (0).

更一般地有， (t t0 ) f (t )dt f (t0 ).
2.函数是偶函数 ,即 (t ) (t );
3.

t

d 0, t 0 ( )d H (t ), H (t ) (t ),其中 H (t ) dt 1, t 0
所以,当t 0时, i (t ) 0;当t 0时,由于 q (t )是不连续的，从而在普通导数的意义下， q (t )在这一点导数不存在，如果我们从形式上计算这个导数，则得
dq( t ) q(0 t ) q(0) 1 i( t ) lim lim . t 0 t 0 t dt t

2 , t 0 sin t d 0, t0 0 , t 0 2 则当t 0时,

1 1 1, t 0 1 1 sin t 2 2 f (t ) dt 2 0 1 1 ( ) 0, t 0 2 2
' (t ) 0
ti
( ti ) 1 1 所以有 [ (t )]dt ( w)dw t i ( t i ) ' ( ) ' ( t ) i k
于是

k i 1

f (t ) [ (t )]dt

i 1
ut 2 u 0
§5.1
函数
物理和工程技术中，许多物理现象具有脉冲性如集中在一点的质量分布、电荷分布等问题（即质点、点电荷的概念）力学中集中作用在一点的力所产生的压强、热学中的点热源，以及在电路中出现的瞬时电流、瞬时电压等。它们不在某一空间范围内出现，也不在某一时间间隔内出现，而只是在某一空间点，或某一瞬时才出现。研究这类现象产生的问题都要涉及到下面介绍的δ函数

格林函数法

n
r
0
dS
(5.2.8）
式（5.2.8）称为泊松方程的基本积分公式。但是它
的物理解释很困难，因此我们根据前面的格林函数互易定
理，并利用跟林函数的对称性，将上式改为：
u r0
G r0,r
u r
G
T0
r0,r
f
r0
dV0
0
G
r0,r
u r0 n0
n0 dS0（5.2.9）
G r0,r
u r
G r,r0
T0
f
r0
dV0 r0
0
n0 dS0
（2）第二类边值问题
（5.2.13）
14
对应下列格林函数的解：
u r f r
u
n
|
rp
（5.2.14）
G r, r0 r r0 G r, r0
n | 0
（5.2.15）
代入基本积分公式可得第二类边值问题的解的积
G(r, r0) G(r0, r)
上式表明，在位于r0处的脉冲（或点源）在一定边界条件下在r处产生的影响（或产生的场），等效于把脉冲（或点源）移至r处在同样边界条件下在r0处算产生的影响（或场），即物理场的互易性。
10
根据第二格林公式，得到：
u
r
G n
G
u r
n
dS
T
u rG Gr
u
r
0
T
G
r,
r
0
f
r
dV
1
r
G
r,
n
r0
dS
（5.2.19）
利用格林函数的互易性可得到互易后的解的积

第5章格林函数法

第5章格林函数法格林（Green）函数，又称为点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念．格林函数代表一个点源在一定的边界条件下和初始条件下所产生的场．知道了点源的场，就可以用叠加的方法计算出任意源所产生的场．格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一．5.1 格林公式TΣ上具有连续一阶导数,在区域及其边界中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理d d T T div =∇∫∫∫∫∫∫i A V =A V (5.1.1)单位时间内流体流过边界闭曲面S 的流量单位时间内V 内各源头产生的流体的总量将对曲面Σ的积分化为体积分d ()d d d T T Tu u V u V u V Σ∇=∇∇=Δ+∇∇∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫i i i S v v v v (5.1.2)()uv u v u v∇=∇⋅+∇以上用到公式称上式为第一格林公式．同理有d ()d d d T T T u u V u V u V Σ∇=∇∇=Δ+∇∇∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫i i i S v v v v (5.1.3)上述两式相减得到()d ()d Tu u u u V Σ∇−∇=Δ−Δ∫∫∫∫∫i S v v v v的外法向偏导数．5.1.4）为第二格林公式．进一步改写为()d ()d Tu S u u V n Σ∂∂−=Δ−Δ∂∂∫∫∫∫∫ v u v v v n （5.1.4）5.2 泊松方程的格林函数法讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题．泊松方程()() u f Δ=−r r (5.2.1)（5.2.2）是区域边界Σ上给定的函数.是第一、第二、第三类边界条件的统一描述典型的泊松方程（三维稳定分布）边值问题()()[]()u f u u n αβϕΣΣΔ=−⎧⎪∂⎨+=⎪∂⎩r r r (5.2.3)上沿界面外法线方向的偏导数格林函数的引入及其物理意义引入：为了求解定解问题（5.2.3），我们必须定义一个与此定解问题相应的格林函数0(,)G r r 它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类(,)()[]0G G G n δαβΣΔ=−−⎧⎪∂⎨+=⎪∂⎩00r r r r （5.2.4）()δ−0r r 代表三维空间变量的δ函数，在直角坐标系中其形式为0()()()()x x y y z z δδδδ−=−−−r r 函数前取负号是为了以后构建格林函数方便格林函数的物理意义【2】：在物体内部（T 内）0r 处放置一个单位点电荷，而该物体的界面保持电位为零, 那么该点电荷在物体内产生的电势分布，就是定解问题(5.2.4)的解――格林函数．由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函格林函数互易定理：因为格林函数0(,)G r r 代表0r 处的脉冲（或点源）在r 处所产生的影响（或所产生的场）,所以它只能是距离0||−r r 的函数,故它应该遵守如下的互易定理：(,)()G G ,=r r r r （5.2.5）)得到())d (()())d T u S u G G u V n ∂⋅=Δ−Δ∂∫∫∫r r r （5.2.6）0()]d (()())d ())()()]d T G u S G u u G Vf u V δ∂−⋅=Δ−Δ∂−+−∫∫∫r r r r r r r n (5.2.7)根据δ函数性质有：00()()]d ()T u V u δ−=∫∫∫r r r r (5.2.8)故有0(,)()]d G u S ∂−∂r r r)r n (5.2.9)泊松方程的基本积分公式．00000000((,))d [(,)()]d u G V G u S n Σ∂∂+−∂∂∫∫ r )r r r r r n 格林函数满足互易定理并利用格林函数的对称性则得到（5.2.10）解的基本思想：通过上面解的形式（5.2.9）我们容易观察出引用格林函数的目的：主要就是为了使一个非齐次方程(5.2.1)与任意边值问题（5.2.2）所构成的定解问题转化为求解一个特定的边值问题（5.2.4）. 一般后者的解容易求得，通（5.2.9）即可求出（5.2.1）和（5.2.2）定解问题的解．考虑格林函数所满足的边界条件讨论如下：1.第一类边值问题：()()|()u f u ϕΣΣΔ=−⎧⎨=⎩r r r （5.2.11）相应的格林函数0(,)G r r 是下列问题的解：000(,)(-)(,)|0 G G δΣΔ=−⎧⎨=⎩r r r r r r （5.2.12）考虑到格林函数的齐次边界条件，由公式（5.2.9）可得第一类边值问题的解000(,)()(,)()d ()d T G u G f V S ϕΣ∂=−∂∫∫∫∫∫ nr r r r r r r （5.2.13）另一形式的第一类边值问题的解000(,)()d G S ∂∂0n r r r (5.2.5)2.第二类边值问题()()|()p u f unϕΣΔ=−⎧⎪∂⎨=⎪∂⎩r r r 是下列问题的解：（5.2.15）00,)|0n Σ=r （5.2.16）5.2.9）可得第二类边值问题解00(,)()d ()(,)d G f V G SϕΣ+∫∫ r r r r r r （5.2.17）3.第三类边值问题()() []()p u f u u n αβϕΣΔ=−⎧⎪∂⎨+=⎪∂⎩r r r 是下列问题的解：（5.2.18）0(,)]0G G n βΣ∂+=∂r r （5.2.19）边值条件，两边同乘以格林函数G（5.2.19）的边值条件的两边同乘以函数u得[]0Gu G nαβΣ∂+=∂G ϕ[]()p uG u G nαβϕΣ∂+=∂r ）得到第三类边值问题的解001,)()d ((,)d f V G S ϕβΣ+∫∫ r r r r)r r (5.2.20)格林函数的互易性则得到000001)()d ()(,)d 0f V G S ϕβΣ+∫∫r r r r r (5.2.21)这就是第三边值问题解的积分表示式．右边第一个积分表示区域T 中分布的源0()f r 在r点产生的场的总和.第二个积分则代表边界上的状况对r点场的影响的总和．两项积分中的格林函数相同．这说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的对于拉普拉斯方程0()0f ≡r 第一边值问题的解为0000(,)()()]d G u S ϕΣ∂=−∂∫∫ r r r r n (5.2.22)第三边值问题的解为1()()(,)d u G S ϕβΣ=∫∫ r r r r (5.2.23)5.3 无界空间的格林函数基本解无界区域这种情形公式（5.2.10）中的面积分应为零，故有000()(,)()d T u G f V =∫∫∫r r r r (5.3.1)选取()u r 和0(,)G r r 分别满足下列方程()()u f Δ=−r r (5.3.2)00(,)(-)G δΔ=−r r r r (5.3.3)5.3.1 三维球对称对于三维球对称情形，我们选取00=r 对（5.3.3）式两边在球内积分)d V（5.3.4）T∫∫∫（5.3.5）5.1.1）得到2(,0)d (,0)d sin d d S S G G V G r r θθϕ∂⋅∇=∇⋅=∂∫∫∫∫ r r S (5.3.6)故有2sin d d (,0)d 1S T G r G V r θθϕ∂=Δ=−∂∫∫∫∫∫ r 使上式恒成立，有2(,0)4π1G r r∂=−∂r 14πcr=+0G →因此0c =，,故得到1(,0)4πG r=r对于三维无界球对称情形的格林函数可以选取为001(,)4π||G =−r r r r （5.3.7）代入（5.3.1）得到三维无界区域问题的解为0（5.3.8）上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式5.3.2 二维轴对称情形用单位长的圆柱体来代替球．积分在单位长的圆柱体内进行，即(,0)d ()d TTG V VδΔ=−∫∫∫∫∫∫r r ()d 1V δ=∫∫∫r ,0)d (,0)d SV G =∇∫∫i r SG只是垂直于轴，且向外的分量，所以上式在圆柱体上、下底的面积分为零，只剩下沿侧面的积分，即d d ()d 1T Gr z V r ϕδ=−=−∫∫∫r选取的圆柱的高度为单位长，则很容易得到下面的结果12πG r r∂=−∂11(,0)ln 2πG c r =+r 令积分常数为0，得到11(,0)ln 2πG r=r 0011(,)ln 2π||G =−r r r r （5.3.9））代入式（5.3.1）得到二维无界区域的解为000011()()ln d 2π|S u f S |=−∫∫r r r r。

格林函数法

v ∂G 1 1 1 =− , G r,0 = ln + c ∂r 2πr 2π r
( )
24
令积分常数c=0，得到得到二维球对称情形的格林函数为
vv 1 1 G r, r0 = ln v v 2π r −r0
( )
（5.3.9）
代入（5.3.1）得到二维无界区域的解为
v 1 v 1 u r = ∫∫ f r0 ln v v dS0 2π S0 r−r0
4π r
（5.3.6）
22
当r→∞时，G→0，因此c=0，故得到
v 1 G r, 0 = 4π r
( )
因此三维无界球对称的格林函数可选取
vv G r, r 0 =
(
)
1 v v 4π r − r 0
（5.3.7）
代入（5.3.1），得到三维无界区域问题的解为
v 1 u r = ∫∫∫ 4π T0
8
那么该点电荷（或热源）在物体内产生电视分布（或稳定温度分布），这就是定解问题的解—格林函数。引入格林函数的目的： 1、解的形式便于理论分析和研究; 2、以同一的形式研究各类定解问题； 3、对于线性问题，格林函数一但求出，就可以算出任意源的场，关键是求格林函数。
9
因为格林函数G(r,r0)代表r0处的点源在r处所产生的影响（或产生的场），所以它只能是距离|r-r0|的函数，它应该遵守如下的互易定理：
v v ∆u (r ) = − f (r ) ∂u αu + β ∂n ∑ v = ϕ r∑
( )
（5.2.3）
为了求上述定解问题，我们需要找一个能表示点源密度分布的函数，而δ函数则正是描述一个密度分布的函数。因此定义格林函数G（r，r0）它满足如下定解问题：

第五章 G-L (Ginzburg-Landau)理论_695504364

(2)
5.2 G－L方程
一、有效波函数与超导体的吉布斯自由能
G－L理论的重要点：引进一个有效波函数（贋波函数）
ψ (r)
η 2 =|ψ (r ) |2 = ns (r )
(3)
|ψ (r ) |2 = ψ * (r )ψ (r )
ns (r )
超导电子密度（随空间变化）
ψ (r ) = ns (r )eiφ (r )
（9）
边界条件 n ⋅ (−i ∇ − e* A)ψ = 0
（10）
2．对 A 取变分
GSH中与 A 有关的项：
∫ GSAH
=
V
1 [ 2m* (i
∇ − e* A)ψ * ⋅ (−i
∇ − e* A)ψ
+ 1 (∇ × A)2 − H ⋅∇ × A]dr
2μ0
同样对 A 取变分，由 δGSAH = 0
(ψ *∇ψ
−ψ∇ψ *) −
e*2 m*
|ψ
|2
A=
Js
1
μ0
∇×b
=
J
＝
s
e*ns m*
(
∇φ (r ) − e* A)
(15)
对(15)取旋度：（注意 ∇ × ∇φ = 0 ）
∇×
J
＝
s
−
e*2ns m*
∇×
A
=
−ab
(a = e*2ns = e2ns )
m*
m
(16)即为London第一方程3－9I
1957 Abrikosov进一步求解G－L方程预言了第II类超导体混合态的周期性磁通结构
1959 Gor’kov证明G-L方程可用格林函数方法由微观理论导出 G－L理论和BCS理论

第五章 格林函数法

数学物理方程-第五章格林函数法

格林函数方法

格林函数法

格林函数法详解

常微分方程格林函数

《格林函数方法》课件

数学物理第五章-格林函数法

Delta函数介绍

第5章格林函数

5.3-5.4用电像法求狄氏格林函数

格林函数法

格林函数法

格林函数方法

第5节格林函数

第五章Green函数法

格林函数法

第5章格林函数法

格林函数法

第五章 G-L (Ginzburg-Landau)理论_695504364

第五章格林函数法