第四章格林函数法
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第四章拉氏方程的格林函数法.docx第四章拉氏方程的格林函数法前面儿章，介绍了儿种求解PDE定解问题的方法：分离变量法、行波法、积分变换法。
?本章介绍令一种求解拉氏方程的格林函数法。
首先来看一下我们要研究的定解问题是怎么捉出的。
§4.1拉氏方程边值问题的提法在第一章中，我们知道，对于无源的稳恒热传导问题满足拉氏方程，它的边值问题一般有三种提法。
研究最多的就是前面两种。
1)第一边值问题边界条件为:心要求的解心C2(Q)AC°(Q),既比在区域Q上连续，在Q上有二阶连续导数,满足拉氏方程且在边界上与/吻合。
Q = Q + 「为边界；称第一-边值问题为狄利克莱(Dirichlet)问题，简称狄氏问题。
通常称拉氏方程的连续解，也就是说，具有二阶连续偏导数并满足拉氏方程的连续函数为调和函数。
2)第二边值问题边界条件为:単=/,on r要求的解ue C2(Q)nC*(Q),既u在区域豆上有一阶连续导数，在Q 上有二阶连续导数，满足拉氏方程且在边界上满足上边界条件。
称第二边值问题为牛曼(Neumarm)问题，简称牛氏问题。
前面两种边值问题都是在Q内求解拉氏方程，故称此类方程为内问题。
另外, 冇这样一类问题，如已知某区域边界上的温度，要求该区域Z外的温度分布情况, 这就归结为在区域Q外求解拉氏问题，称这样的问题为外问题。
注：对于外问题來说，求解通常都是在无界区域上，这时需不需要对解加些限制条件呢？看下面一例了。
Aw = 0, r > 1, r = Vx2 + r2 + z2易知u = Vu = \!r都是上定解问题的解，这就出现了解的不唯一性，为了保证解的唯一性，通常我们要加一些限制条件，三维问题时limw = 0厂T8二维问题通常假定解冇界。
3）狄氏外问题（略）4）牛氏外问题（略）§ 4.2格林公式及其应用一、格林公式的推导为建立拉氏方程解的积分公式,我们先推导格林函数，它由曲面积分的Guass 公式直接导出。
4第四章格林函数法
，于是有 除在 M 0 点外处处满足三维Laplace方程 u0 内调和,则 上有一阶连续偏导数,且在 定理:若函数 u 在 调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函 数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
u ( M ) 1[ 1 1 u ( M ) u ( M ) ( ) ] dS 0 4 n r r n MM MM 0 0
3
P Q R { P , Q , R } n dS ( ) dV 由高斯公式 x y z v v v
2019/2/12
4.1.3 调和函数的积分表达式
由Green公式可导出调和函数的积分表示。由于函数：
1 1 2 2 2 r ( x x ) ( y y ) ( z z ) MM 0 0 0 0
为二维Laplace方程的基本解.
其通解为： 为任意常数)。 V ( r ) c ln r c , ( r 0 , c , c 1 2 1 2
4.1.2 格林公式
令P u , Q u ,R u ,则得到格林第一公式： x y z u v u v u v v u vdV ( ) dV u dS x x y y z z n u v u v u v u v udV ( ) dV vdS x x y y z z n 将以上两公式相减，得到格林第二公式： v u ( u v v u ) dV ( u v ) dS n n 调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。
1
2019/2/12
4.1.1 拉普拉斯方程的基本解 对拉普拉斯方程 , 其球坐标形式为： u u u u 0 xx yy zz
拉普拉斯方程的格林函数法
注：利用调和函数的极值原理，可证狄氏问题在 C2() C0()
内的解是唯一的。
整理课件
17
§3 格林函数
为 什 么 引 入 格 林 函 数 ？
调 和 函 数 的 积 分 表 达 式 为
1 1 1 u
u(M0)4u(M)n(rM M0)rM M0
dS n
对于狄氏问题或牛曼问题，利用上面公式都不能直接得到想要问
( P x Q y R z)d V P d y d z Q d z d x R d x d y
其 中 取 外 侧 位 正 向 .
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：
整理课件
7
(P xQ yR z)dV (Pcos(n,x)Qcos(n,y)Rcos(n,z))dS.
_ u n 1 r 1 r u n d S 4 u 4 u n 0
当 0 时 ， 有 l i m 0 u u ( M 0 ) ,(u 连 续 ) ____
lim 4u0( u一 阶 连 续 可 微 ， u有 界 ）
0 n
定理：若格林函数G(M,M0)存在，且G(M,M0)C1()，则狄氏
问题2uu0,f(M in)的解（存在的话）可表示为
这 时 需 不 需 要 对 解 加 些 限 制 条 件 呢 ？ 看 下 面 一 例 子 。
u0,r1,
u 1 r1
其 中 rx2y2z2
易 知
u1,
u1/r
都 是 上 述 定 解 问 题 的 解 ， 即 解 不 唯 一 .为 了 保 证 解 的 唯 一 性 ，
通 常 我 们 要 加 一 些 限 制 条 件 .
取 u 为 调 和 函 数 ， 并 假 定 其 在 上 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 取 v 1/r
内的解是唯一的。
整理课件
17
§3 格林函数
为 什 么 引 入 格 林 函 数 ？
调 和 函 数 的 积 分 表 达 式 为
1 1 1 u
u(M0)4u(M)n(rM M0)rM M0
dS n
对于狄氏问题或牛曼问题，利用上面公式都不能直接得到想要问
( P x Q y R z)d V P d y d z Q d z d x R d x d y
其 中 取 外 侧 位 正 向 .
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：
整理课件
7
(P xQ yR z)dV (Pcos(n,x)Qcos(n,y)Rcos(n,z))dS.
_ u n 1 r 1 r u n d S 4 u 4 u n 0
当 0 时 ， 有 l i m 0 u u ( M 0 ) ,(u 连 续 ) ____
lim 4u0( u一 阶 连 续 可 微 ， u有 界 ）
0 n
定理：若格林函数G(M,M0)存在，且G(M,M0)C1()，则狄氏
问题2uu0,f(M in)的解（存在的话）可表示为
这 时 需 不 需 要 对 解 加 些 限 制 条 件 呢 ？ 看 下 面 一 例 子 。
u0,r1,
u 1 r1
其 中 rx2y2z2
易 知
u1,
u1/r
都 是 上 述 定 解 问 题 的 解 ， 即 解 不 唯 一 .为 了 保 证 解 的 唯 一 性 ，
通 常 我 们 要 加 一 些 限 制 条 件 .
取 u 为 调 和 函 数 ， 并 假 定 其 在 上 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 取 v 1/r
第四章_拉普拉斯方程的格林函数法
Laplace方程的连续解，即具有二阶连续偏导数并满足Laplace 方程的连续函数. (1.u ∈ C 2 (Ω) I C 0 (Ω) 2. ∇ 2u = 0)
边值问题的提法： 二. 边值问题的提法：
1）第一边值问题(Dirichlet问题/狄氏问题) ∇ 2u = 0, in Ω uΓ = f 数学解释： 在Ω内寻求一个调和函数u, 它在边界Γ上与已知
连续函数f 吻合，即u Γ = f .
2）第二边值问题( Neumann 问题/牛氏问题 ) ∇ 2 u = 0, in Ω (其中 n是 Γ 的外法向量, f 是 连续函数 ) ∂u = f ∂n Γ
数学解释： Ω内寻求一个调和函数，它在闭区域Ω上有一阶 在 连续偏导数,即u ∈ C 2 (Ω) I C1 (Ω)，且在边界上满足边界条件。 ，且在边界上满足边界条件。
∂u ∫∫ u (M )dS + 4π a ∫∫ ∂n dS Γ Γ 1
∫∫ u (M )dS
Γ
（4）Laplace方程解的唯一性问题 ） 方程解的唯一性问题
定理：狄氏问题在C 2 (Ω) I C 1 (Ω)内解唯一，牛曼问题除相差一个
常数外解也是唯一确定的。
证明：
设u1 , u2为上述两类问题的解，则它们的差v = u1 − u2必是原问题的
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
第一节 第二节 第三节 第四节 拉普拉斯方程边值问题的提法 格林公式 格林函数 两种特殊区域的格林函数及狄氏 问题的解
格 林 函 数 法
格林函数:又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念 格林函数 又称点源影响函数， 又称点源影响函数
格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的 格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的 知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 场,知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场
边值问题的提法： 二. 边值问题的提法：
1）第一边值问题(Dirichlet问题/狄氏问题) ∇ 2u = 0, in Ω uΓ = f 数学解释： 在Ω内寻求一个调和函数u, 它在边界Γ上与已知
连续函数f 吻合，即u Γ = f .
2）第二边值问题( Neumann 问题/牛氏问题 ) ∇ 2 u = 0, in Ω (其中 n是 Γ 的外法向量, f 是 连续函数 ) ∂u = f ∂n Γ
数学解释： Ω内寻求一个调和函数，它在闭区域Ω上有一阶 在 连续偏导数,即u ∈ C 2 (Ω) I C1 (Ω)，且在边界上满足边界条件。 ，且在边界上满足边界条件。
∂u ∫∫ u (M )dS + 4π a ∫∫ ∂n dS Γ Γ 1
∫∫ u (M )dS
Γ
（4）Laplace方程解的唯一性问题 ） 方程解的唯一性问题
定理：狄氏问题在C 2 (Ω) I C 1 (Ω)内解唯一，牛曼问题除相差一个
常数外解也是唯一确定的。
证明：
设u1 , u2为上述两类问题的解，则它们的差v = u1 − u2必是原问题的
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
第一节 第二节 第三节 第四节 拉普拉斯方程边值问题的提法 格林公式 格林函数 两种特殊区域的格林函数及狄氏 问题的解
格 林 函 数 法
格林函数:又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念 格林函数 又称点源影响函数， 又称点源影响函数
格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的 格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的 知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 场,知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场
4格林函数法
u( r ) f ( r0 ) dr0 4 | r r0 |
那么，如何求解某边界条件下的泊松方程呢？
格林函数法求解拉普拉斯方程的边值问题
边值问题与无界空间的问题不同，要受到边界的影响， 边值问题的解 u(r) 与格林函数 G 的关系就更复杂了，需要 用到格林第二公式。 格林第二公式 设函数 u(r)， v(r) 在区域 Ω 直到其边界 Γ 上具有连续一阶 微商，而在 Ω 中有连续二阶微商，有格林第二公式
若知道一个点源在一定的边界条件和(或)初值 条件下所产生的场（称为格林函数），就可用叠加 的方法计算出任意源产生的场。这就是格林函数法 的基本思想。故也称点源法。
δ – 函数（狄拉克函数）
用来描述物理中集中分布的量，如点电荷、点热源、质点、单 位脉冲等，这是通常的函数概念不能描述的。
0 x x0 ( x x0 ) x x0 0 x0 ( a , b ) a ( x x0 )dx 1 x0 (a , b)
r r0 o
2
R (x0, y0, z0)
G G x x 0 , x R R
2G 2G x x0 G 1 ( x x0 )2 2 2 3 x R R R R R
2G 2G 同样计算可 2 和 ，于是 2 y z 2G R 2 G 3 R 2 2G 2 G 2G 3 2 2 R R R 2 R R 0 R R R
于是有积分形式的解
拉普拉斯方程的格林函数
根据格林函数法的基本思想，先求解方程
(x, y, z) r r0 o
G ( r , r0 ) ( r r0 )
2
那么，如何求解某边界条件下的泊松方程呢？
格林函数法求解拉普拉斯方程的边值问题
边值问题与无界空间的问题不同，要受到边界的影响， 边值问题的解 u(r) 与格林函数 G 的关系就更复杂了，需要 用到格林第二公式。 格林第二公式 设函数 u(r)， v(r) 在区域 Ω 直到其边界 Γ 上具有连续一阶 微商，而在 Ω 中有连续二阶微商，有格林第二公式
若知道一个点源在一定的边界条件和(或)初值 条件下所产生的场（称为格林函数），就可用叠加 的方法计算出任意源产生的场。这就是格林函数法 的基本思想。故也称点源法。
δ – 函数（狄拉克函数）
用来描述物理中集中分布的量，如点电荷、点热源、质点、单 位脉冲等，这是通常的函数概念不能描述的。
0 x x0 ( x x0 ) x x0 0 x0 ( a , b ) a ( x x0 )dx 1 x0 (a , b)
r r0 o
2
R (x0, y0, z0)
G G x x 0 , x R R
2G 2G x x0 G 1 ( x x0 )2 2 2 3 x R R R R R
2G 2G 同样计算可 2 和 ，于是 2 y z 2G R 2 G 3 R 2 2G 2 G 2G 3 2 2 R R R 2 R R 0 R R R
于是有积分形式的解
拉普拉斯方程的格林函数
根据格林函数法的基本思想，先求解方程
(x, y, z) r r0 o
G ( r , r0 ) ( r r0 )
2
数学物理方程课件第四章拉普拉斯方程的格林函数法
r M 0 M
M 1
1
4 xx02 y y02 zz02
解：
1
4 xx02 y y02 zz02
u(M 0)G (M n,M 0)f(M )dS G(M z,M0)|z0 f(x,y)dS
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
1
1
G ( M , M 0 ) 4 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 4 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2
调和函数的积分表达式
k
拉 普l1r拉n 斯1
1 方x程2的基y本2 解z
ln 1
2
r
x2 y2
三维 二维
1 1 1 u
u (M 0)4 S(u n(r)r n)d S
调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个
函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
2 牛曼内问题有解的必要条件
V (u 2 v v 2 u )d V S (u n v v u n )d S
一 拉普拉斯方程边值问
题 的 1提 第法一边值问题（狄氏问题）
第四章
拉普 u f
2 第二边值问题（牛曼问题）
拉斯方程的格 u f 林函数法 n
3 内问题与外问题
4 调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程 的连续函数。
二 格林公式及其结论
V (u 2 v )d V S u n vd S V u v d V 格V 林(u 公 2 式v 的v 结 2 论u )：d V S (u n v v u n )d S
半空间的格林函数
1 1 1
G(M,M0)4rM
r M 0 M
M 1
M0q d
格林函数法
两种边值问题: 两种边值问题:
第一边值问题
u |Γ = f .
这类问题也叫做狄利克雷 问题。 这类问题也叫做狄利克雷(Dirichlet)问题。 狄利克雷 问题
拉普拉斯方程的连续解，也叫调和函数， 拉普拉斯方程的连续解，也叫调和函数，所以 调和函数 狄利克雷问题也可以叙述为： 狄利克雷问题也可以叙述为：在区域 Ω 内找 一个调和函数, 上的值已知。 一个调和函数 它在边界 Γ 上的值已知。 第二边值问题 在光滑的闭曲面 Γ 上给出连续函数 f，寻找函数 ， u(x,y,z) ：在 Γ 的内部 Ω 是调和函数 在 ( Ω + Γ ) 是调和函数, 上连续， 上连续，在 Γ 上任一点法向导数存在并且等于 已知函数 f ，即： ∂u =f ∂n Γ 这类问题也叫做纽曼 纽曼(Neumann)问题。 问题。 这类问题也叫做纽曼 问题
在球面坐标下, 拉普拉斯方程为: 在球面坐标下, 拉普拉斯方程为:
1 ∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u 1 ∂2u =0 r + 2 sin θ + 2 2 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ
球对称解 u=u(x,y,z)在以原点为中心的同一球面的 在以原点为中心的同一球面的 值为常数。 的函数:u=u(r)。 值为常数。u 仅为半径 r 的函数 。
(
)
两式相减, 两式相减 得
2 2
第二格林公式
∂v ∂u ∫∫∫ (u∇ v − v∇ u)dV = ∫∫ (u ∂n − v ∂n )dS Ω Γ
利用格林公式, 可以得到调和函数的一些性质： 利用格林公式, 可以得到调和函数的一些性质： 1) 纽曼内问题有解的必要条件 内的调和函数, 设 u 是以 Γ 为边界的区域 Ω 内的调和函数, 在 上有一阶连续偏导数, Ω + Γ上有一阶连续偏导数, 则在第二格林公式 为上述调和函数 调和函数, 中取 u 为上述调和函数,取 v ≡ 1, 有
数学物理方程第四章_格林函数
1 ⎧ ⎪∆G (r , r0 ) = − δ (r − r0 ) ε ⎨ ⎪G Γ = 0 ⎩
(4.3.7) (4.3.8)
以 G (r , r0 ) 乘式 (4.3.5), u (r ) 乘式 (4.3.7), 二式相减后在 Ω 上对 r 积分 ,以 dr 表示 r 点处的体积微元,有
∫
Ω
(G∆u − u∆G )dr = −
第 4 章 格林函数
在这一章里,我们介绍数学物理方程中另外一种常用的方法—格林函数法.从物理上看, 一个数学物理方程是表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系.例如,热传导 方程表示温度场和热源之间的关系,泊松方程表示静电场和电荷分布的关系,等等.这样,当源 被分解成很多点源的叠加时,如果能设法知道点源产生的场,利用叠加原理,我们可以求出同 样边界条件下任意源的场,这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就 叫做格林函数. 4.1
⎧0, T ( x) = ⎨ ⎩∞,
x≠0 x=0
且
∫Байду номын сангаас
所以有
+∞
−∞
cρT ( x)dx = Q
T ( x) =
Q δ ( x) cρ
通过以上两个例题,我们对 δ ( x) 有了进一步的认识.如果将坐标平移 x0 ,即集中量 出现在点 x = x 0 处,则有
δ ( x − x0 ) = ⎨
且
⎧0, ⎩∞,
∫
= ∫ (u∆v)dΩ + ∫ gradu ⋅ gradvdΩ
Ω Ω
=∫u
Γ
∂v dS ∂n
或表示为
∫
Ω
(u∆v)dΩ = ∫ u
Γ
∂v dS − ∫ gradu ⋅ gradvdΩ Ω ∂n
第四章格林函数法课件
特点：除 M0(x0,y0,z0)点外，任一点满足Laplace方程。
同学们自己验证。
PPT学习交流
2
二维Laplace方程的基本解：
1
1
u(x,y)ln ln
rM M 0
(xx0)2(yy0)2
特点：除 M0(x0, y0) 点外，任一点满足Laplace方程。
同学们自己验证。 问题：基本解是否为整个区域内的解？
n
n
从而得证
1
1 1 u (M )
Ò u (M 0) 4
[u (M ) ( )
nrM M 0 rM M 0
]d S n
PPT学习交流
8
4 调和函数的基本性质
性质1：设 u ( x, y , z ) 在有界区域 内为调和函数，且在
上有一阶连续偏导数，则
Ò
u n
dS
0
证：令 v 1 将 u , v 代入第二Green公式即可。
uv
PPT学习交流
11
证明：用反证法
若在 内有 u v ，即 uv0 ，而在边界上 uv0 ， 说明 u v 在内部可能取最大值。
推论2：狄利克莱问题 的解唯一。
u0, u f
(x, y,z)
证明：设 u 1 和 u 2 均为该问题的解，则 u u1 u2 满足
由极值原理， u 0
u0, u 0
于是
r rMM0
r2 MM0
2
乙 u n(rM 1 M 0)d S1 2 u d S1 24 2u4 u
乙 rM 1M0 u ndS1 u ndS4 u n
PPT学习交流
7
代入上式，得
Ò [u( 1)1u]dS4 u4 u0
Chapter 4. 格林函数法
20
为此，在第二Green公式
与调和函数的积分表达式相加
China University of Petroleum
21
其中
称为Laplace方程第一边值问题的格林函数/影响函数
China University of Petroleum
22
China University of Petroleum
16
在上一节的基础上，我们直接给出平面域上的一些结论。
China University of Petroleum
17
第一格林公式
第二格林公式
China University of Petroleum
18
4. Green公式的应用
China University of Petroleum
19
China University of Petroleum
9
为了建立三维拉普拉斯方程解的积分表达式，需要用到格林公
式。而格林公式实际上是高斯公式的直接推论。
China University of Petroleum
10
第一格林公式
第二格林公式
China University of Petroleum
11
4. Green公式的应用
利用格林公式可以推出调和函数的一些基本性质。
26
M
M 0
China University of Petroleum
27
China University of Petroleum
28
什么是电象法？
M
M0
China University of Petroleum
29
q M1
第四章_拉普拉斯方程的格林函数法
这样的问题称为Laplace方程外问题。
注：对于外问题来说，求解通常都是在无界区域上，
这时需不需要对解加些限制条件呢？看下面一例子。
易知
u 0, r 1,
u 1 r 1
其中r x2 y2 z2
u 1,
u 1/ r
都是上述定解问题的解，即解不唯一.为了保证解的唯一性，
n
的值，所以要想求得狄氏问题的解就要想法消去积分公式中的
u 。故而我们需要引入格林函数。 n
在第二格林公式 (u2v
v2u)dV
(u
v n
v
u )dS, n
中取u, v C1()，并且都是内的调和函数.则
(u
v n
v
u )dS n
P Q R
(
x
y
z
) dV
Pdydz
Qdzdx Rdxdy
其中取外侧位正向.
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：
(
P x
Q y
R z
)dV
(P cos(n, x) Q cos(n, y) R cos(n, z))dS.
Ka表示以M0 (x0, y0, z0 )为中心，以a为半径且完全落在内部的球面，
则成立下面平均值公式
1
u(M0 ) 4 a2 Ka udS
证明: 将调和函数的积分公式应用到Ka可得
u(M 0 )
1
4
(u(M )
n
(1) r
1 r
注：对于外问题来说，求解通常都是在无界区域上，
这时需不需要对解加些限制条件呢？看下面一例子。
易知
u 0, r 1,
u 1 r 1
其中r x2 y2 z2
u 1,
u 1/ r
都是上述定解问题的解，即解不唯一.为了保证解的唯一性，
n
的值，所以要想求得狄氏问题的解就要想法消去积分公式中的
u 。故而我们需要引入格林函数。 n
在第二格林公式 (u2v
v2u)dV
(u
v n
v
u )dS, n
中取u, v C1()，并且都是内的调和函数.则
(u
v n
v
u )dS n
P Q R
(
x
y
z
) dV
Pdydz
Qdzdx Rdxdy
其中取外侧位正向.
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：
(
P x
Q y
R z
)dV
(P cos(n, x) Q cos(n, y) R cos(n, z))dS.
Ka表示以M0 (x0, y0, z0 )为中心，以a为半径且完全落在内部的球面，
则成立下面平均值公式
1
u(M0 ) 4 a2 Ka udS
证明: 将调和函数的积分公式应用到Ka可得
u(M 0 )
1
4
(u(M )
n
(1) r
1 r
第四章格林函数法1
注1：当M 0取在区域之外或边界上，可用同样的方法导出公式
4 u ( M 0 ), 1 1 u [u ( ) ]dS 2 u ( M 0 ), n r r n 0,
M 0在内； M 0在上； M 0在外。
注2：若u不是调和函数,即2u F，只要u C 2 () C1 ()， 我们可以得到类似公式
u u ds ds n n r R D
sin Rd 4 R 0 0 4
2
由牛曼内问题有解的必要条件知该问题无解。
3）平均值公式
定理3：设函数u(M )在区域内调和，M 0 ( x0 , y0 , z0 )为其中 任一点，a是以M 0为中心，以a为半径且完全落在内部 的球面，则下面平均值公式成立 1 u(M 0 ) udS 2 4 a a
P Q R ( ) dV Pdydz Qdzdx Rdxdy (1) x y z 其中取外侧位正向.
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一 种形式：
P Q R ( ) dv x y z ( P cos Q cos R cos )dS .
2 2
取u为调和函数，并假定且在上有一阶连续偏导数，v 1/ r则有
1 1 u r (u )dS 0 n r n
1 1 1 r r 注意到：在球面 上， 2 n r
1 1 r 因此可得 u dS 2 n 其中u
两式相减可得 v u (u v v u )dV (u v )dS n n
2 2
第二格林公式
二、调和函数的基本性质
1). 调和函数的积分表达式
定义：所谓调和函数的积分表达式，就是用调和函数及其 在区域边界上的法向导数沿的积分来表达调和函数在 内任一点的值。
4第四章格林函数法
u ( M ) u ( M 1 ) 。设 M 2 是 K 1 的球面 S1 与折线 L 的交点，
则 u ( M 2 ) u ( M 1 ) 。以 M 2 为中心，以小于 d 的数为半径 在 内作球 k 2 ，在 k 2上 u ( M ) u ( M 2 ) u ( M 1 ) 点 N 一定包含在以某点 M n
c1 d 2 dV V (r ) 0 其通解为： (r ) c2 , (r 0, c1 , c2 为任意常数)。 r dr dr 1 1 若取 c1 , c2 0 ,则得到特解 V0 (r ) 4r ,称此解为 4
三维Laplace方程的基本解，它在研究三维拉普拉斯方程中 起着重要的作用. 对二维拉普拉斯方程 u uxx u yy 0,其极坐标形式为:
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
4.2.1 格林函数的定义 设在 内有 u 0, v 0; u, v 在 上有一阶连续 1 v u 偏导数,则由格林第二公式有 0 (u n v n )dS (2) 4 将(1)和(2)两式加起来：
u(M 0 ) 1 4 1 1 u u (v ) (v ) dS (3) n rMM 0 rMM 0 n
4.1.4 调和函数的性质
u u 0, | f . n
u n dS f dS 0.
6
下午10时1分
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
性质2 (平均值定理) 设函数 u(M ) 在区域 内调和， M 0 是 内任意一点，若 a 是以 M 0 为中心，a为半径 的球面，此球完全落在区域 的内部，则有 1 u(M 0 ) udS(调和函数的球面平均值公式) 2 a 4a 证明: 由调和函数的积分表示：
则 u ( M 2 ) u ( M 1 ) 。以 M 2 为中心，以小于 d 的数为半径 在 内作球 k 2 ，在 k 2上 u ( M ) u ( M 2 ) u ( M 1 ) 点 N 一定包含在以某点 M n
c1 d 2 dV V (r ) 0 其通解为： (r ) c2 , (r 0, c1 , c2 为任意常数)。 r dr dr 1 1 若取 c1 , c2 0 ,则得到特解 V0 (r ) 4r ,称此解为 4
三维Laplace方程的基本解，它在研究三维拉普拉斯方程中 起着重要的作用. 对二维拉普拉斯方程 u uxx u yy 0,其极坐标形式为:
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
4.2.1 格林函数的定义 设在 内有 u 0, v 0; u, v 在 上有一阶连续 1 v u 偏导数,则由格林第二公式有 0 (u n v n )dS (2) 4 将(1)和(2)两式加起来：
u(M 0 ) 1 4 1 1 u u (v ) (v ) dS (3) n rMM 0 rMM 0 n
4.1.4 调和函数的性质
u u 0, | f . n
u n dS f dS 0.
6
下午10时1分
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
性质2 (平均值定理) 设函数 u(M ) 在区域 内调和， M 0 是 内任意一点，若 a 是以 M 0 为中心，a为半径 的球面，此球完全落在区域 的内部，则有 1 u(M 0 ) udS(调和函数的球面平均值公式) 2 a 4a 证明: 由调和函数的积分表示：
数学物理方程第四章 格林函数法
为边界的有界连通区域，u(x, y, z)在 上有连续
的一阶偏导数，在 内调和，定点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) ， r 为定点M 0到变点 M (x, y, z) 距离： 则有
u(M0 )
1
4
1 [ r
u n
u
(1)]ds n r
(2.9)
故不提初始条件!只给出边界条件就可以. 下面看边界条件的提法.
（1） 第一边值问题(狄利克雷（Dirichlet）问题）
设方程（1.1）的空间变量(x, y, z) ， 为 R3的开区域。如果
u(x, y, z)满足方程（1.1），且在 边界 上直接给定了u(x, y, z)
的具体函数形式 f (x, y, z)，即
u(x, y, z) f (x, y, z)
（1.2）
则称问题（1.1）~（1.2）为拉普拉斯第一边值问题或狄利克雷
（Dirichlet）问题，u(x, y, z) 为此问题的解。
2u 2u 2u
u
x 2
y 2
z 2
0
u( x, y,z) f ( x, y,z),
u, v互 换
v
u v u v u v
( uv )dV
u
n
ds
(
x
x
y
y
z
z
)dV
(2.2)
u
u v u v u v
(vu)dV
v
n
ds
(
x
x
y
y
z
格林函数法
第四章 格林函数法
本章讨论的主要是用格林函数法求拉普拉斯 方程边值问题
§4.1 格林公式及其应用
§4.1.1 球对称解
通过变换：⎧ x = r sinθ cosϕ
⎪⎪ ⎨
y
=
r
sin θ
sin ϕ
⎪⎪⎩z = r cosθ
(0 ≤ θ ≤ π ) (0 ≤ ϕ ≤ 2π )
可以将直角坐标系下的拉普拉斯方程：
u(M0 )
=
−∫∫ Γ
f (x,y,z)
∂G ∂n
dS
（4.20）
对于泊松方程的狄利克雷问题：
7
⎧⎪+u = F , 在 内 ⎨⎪⎩u Γ = f (x,y,z)
如果在 ＋上具有一阶连续偏导数的解，则此 解可表示为：
u(M 0 )
=
−∫∫ Γ
f
∂G ∂n
dS
−
∫∫∫ FGdΩ Ω
小结：狄利克雷问题：
3/2
于是球域内狄利克雷问题的解为
∫∫ ( ) u(M0) =
1 4π R
Γ
f (x,y,z)
R2 − r02 R2 + r02 − 2Rr0 cos γ
3/2 dS
（4.31）
14
在球坐标系中，上式可化为
∫ ∫ u(r0,θ0,ϕ0)
=
R 4π
2π 0
π f (R,θ,ϕ)
0
( ) R2 − r02
∫∫ u(M0)
=
1 4πa2
Γa
u(M)dS
（4.13）
性质3（极值原理）若函数u(x,y,z)在 内调和， 在 ＋上连续，且不为常数，则它的最大值、最
小值只能在边界上达到。
本章讨论的主要是用格林函数法求拉普拉斯 方程边值问题
§4.1 格林公式及其应用
§4.1.1 球对称解
通过变换：⎧ x = r sinθ cosϕ
⎪⎪ ⎨
y
=
r
sin θ
sin ϕ
⎪⎪⎩z = r cosθ
(0 ≤ θ ≤ π ) (0 ≤ ϕ ≤ 2π )
可以将直角坐标系下的拉普拉斯方程：
u(M0 )
=
−∫∫ Γ
f (x,y,z)
∂G ∂n
dS
（4.20）
对于泊松方程的狄利克雷问题：
7
⎧⎪+u = F , 在 内 ⎨⎪⎩u Γ = f (x,y,z)
如果在 ＋上具有一阶连续偏导数的解，则此 解可表示为：
u(M 0 )
=
−∫∫ Γ
f
∂G ∂n
dS
−
∫∫∫ FGdΩ Ω
小结：狄利克雷问题：
3/2
于是球域内狄利克雷问题的解为
∫∫ ( ) u(M0) =
1 4π R
Γ
f (x,y,z)
R2 − r02 R2 + r02 − 2Rr0 cos γ
3/2 dS
（4.31）
14
在球坐标系中，上式可化为
∫ ∫ u(r0,θ0,ϕ0)
=
R 4π
2π 0
π f (R,θ,ϕ)
0
( ) R2 − r02
∫∫ u(M0)
=
1 4πa2
Γa
u(M)dS
（4.13）
性质3（极值原理）若函数u(x,y,z)在 内调和， 在 ＋上连续，且不为常数，则它的最大值、最
小值只能在边界上达到。
第四章 -green函数法
方程可化简为：
1 r2
r
r
2
u r
0
解方程得：
u(r)
C1 r
C2
其中 C1, C2 是任意常数。
特别地，取 C1 1, C2 0, 即
u(r) 1 r
称为三维拉普拉斯方程的基本解。
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
二维拉普拉斯方程的圆对称解
极坐标：
u
n
1 r
1 r
u n
dS
4
u
4
u n
0
令 0, 则
4 u(M0 )
0
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
u 这是由于 u(x,y,z) 一阶连续可导, n 有界。
故 uM0
1
4
u
该点的值。构造辅助函数
1
1
v
r x x0 2 y y0 2 z z0 2
其中 (x, y, z) 为空间中任意一点。
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
1
1
函数 v
r x x0 2 y y0 2 z z0 2
n
2
2
其中 u 是 u 在球面 上的平均值.
同理 1 u dS 1
r n
将上述两式代入到等式：
u dS
n [u
1 r
4
u n
第四章 格林函数法
4.2 格 林 公 式
高斯公式：设 Ω 是以光滑曲面 Γ 为边界的有界区 域，P( x, y, z )， Q(x, y, z )，R(x, y, z )在闭域 Ω + Γ 上连 续,在 Ω 内有一阶连续偏导数，则
∂P ∂Q ∂R ∫∫∫ ∂x + ∂y + ∂z dV = ∫∫ ( P cos ( n, x ) + Q cos ( n, y ) + R cos ( n, z ) ) dS Ω Γ
∆u = 0 (Ω)
u |Γ = f .
狄利克雷(Direchlet)问题 2)第二边值问题
∆u = 0 (Ω)
∂u = f ∂n Γ
纽曼(Neumann)问题
以上两个边值问题都是在边界Γ上给定某些边界条件, 在 上给定某些边界条件, 区域内部求拉普拉斯方程的解, 这样的问题称为内问题 区域内部求拉普拉斯方程的解, 这样的问题称为内问题. 内问题. 在应用中我们还会遇到狄氏问题和牛曼问题的另一种提法. 在应用中我们还会遇到狄氏问题和牛曼问题的另一种提法. 例如, 当确定某物体外部的稳恒温度场时, 例如, 当确定某物体外部的稳恒温度场时, 就归结为在区 的外部求调和函数u 使满足边界条件u 域Ω 的外部求调和函数u, 使满足边界条件u|Γ = f, 这里Γ 是Ω 的边界, f 表示物体表面的温度分布. 像这样的定解问 的边界, 表示物体表面的温度分布. 题称为拉普拉斯方程的外问题 题称为拉普拉斯方程的外问题. 外问题. 由于拉普拉斯方程的外问题是在无穷区域上给出的, 由于拉普拉斯方程的外问题是在无穷区域上给出的, 定解 问题的解是否应加以一定的限制? 问题的解是否应加以一定的限制? 基于在电学上总是假定 在无穷远处的电位为零, 在无穷远处的电位为零, 所以在外问题中常常要求附加如 下条件: 下条件:
第四章 -green函数法
1 在区域 K 内直到边界上，v r 可任意求导。
M 0
K
数学物理方程与特殊函数
2
第4章格林函数法
2
v u 在第二格林公式 (u v v u)dV (u v )dS n n 1 中, 取 u 为调和函数, 而令 v , 并以 K r
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
第四章
拉普拉斯方程的格林函数法
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法 4.2 格林公式 4.3 格林函数 4.4 两种特殊区域的格林函数及狄利克雷问题的解
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
三维拉普拉斯方程的球对称解
x r sin cos 球面坐标： y r sin sin z r cos
故
u M0 1 4 1 u M n rM 0 M
2
1 u M dS rM M n 0
2 2
rM 0 M 表示距离
x x0 y y0 z z0
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
3）调和函数的积分表达式 所谓调和函数的积分表达式, 是指用调和函数及 其在区域 边界 上的法向导数沿 的积分来表 达调和函数在区域 内任一点的值。 设 M 0 x0 , y0 , z0 是 内的点, 下面求调和函数在 该点的值。构造辅助函数
r
(r x 2 y 2 z 2 ).
以保证解的唯一性。
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
§4.2
高斯(Gauss)公式
格林公式
设 是以光滑曲面 为边界的有界区域，P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) 在闭域 上连续,在 内 有一阶连续偏导数，即 P , Q , R C C 1 则：
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u 0, u f
( x, y , z )
证明： u1 和 u2 均为该问题的解，则 u u1 u2 满足 设
由极值原理， u 0
u 0, u 0
( x, y , z )
西安理工大学应用数学系
( x, y , z ) u 0, 推论3：对狄利克莱问题 u a (常数)
udS
a
证明：将调和函数积分表达式用于此球面上，有
1 u(M 0 ) 4
而
1 1 u [u n ( rMM ) rMM n ]dS a 0 0
1 ( ) r rMM 0 1 2 a
为什么？
1 ( ) n rMM 0
a
a
西安理工大学应用数学系
（4）
令 G( M , M ) 0 则（4）式表示为
称为Green函数法
（5）
G u(M 0 ) u n dS
于是狄利克莱问题的解可表示为 u ( M ) 0
G f dS n
西安理工大学应用数学系
问题：Green函数 G(M , M 0 ) 如何构造？即 v 如何构造？ 在上面的分析中，我们要求 v 应满足
推导：由第一Green公式，有
v u v u v u v uvd u n dS ( x x y y z z )d u u v u v u v vud v n dS ( x x y y z z )d
1 rMM 0
1 ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 ) 2
特点：除 M 0 ( x0 , y0 , z0 )点外，任一点满足Laplace方程。 同学们自己验证。
西安理工大学应用数学系
二维Laplace方程的基本解：
u ( x, y) ln
特点：除
1 rMM 0
西安理工大学应用数学系
代入上式，得
1 1 u u [u n ( rMM ) rMM n ]dS 4 u 4 n 0 0 0 u ( M 0 ) u 令 0 ，则 u u ( M 0 ) n n
从而得证
1 u(M 0 ) 4
满足
1 g (M , M 0 ) 4 rMM 0
我们采用如下方法获得 g (M , M 0 ) 假设区域外也有一个点电荷（不一定单位电荷），它对自由 空间的电场也产生一个电位。设这两个点电荷所产生的电位 在导电面上恰好抵消，则这个假想的点电荷在区域内电位就 g (M , M 等于感应电荷所产生的电位，这样0 ) 就得到了。 这种获得 g (M , M 0 ) 的方法称为静电源象法（镜象法）
v u v u v u v uvd u n dS ( x x y y z z )d v v v 推导：令 Pu , Qu , Ru x y z
代入高斯公式，并注意方向导数公式即可得。
西安理工大学Biblioteka 用数学系1 G(M , M 0 ) g (M , M 0 ) 4 rMM 0
其中 g (M , M 0 ) 表示导电面上感应电荷所产生的电位。
（该函数结构即是Green函数）
西安理工大学应用数学系
可见只要将 g (M , M 0 ) 确定了，则 G(M , M 0 ) 也就确定了。
g (M , M 0 ) 如何确定呢？根据Green函数的结构， (M , M 0 ) 必须 g
( x, y , z ) v 0, 1 v 4 r MM 0
这又是一个狄利克莱问题。如何求解？
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2 Green函数的静电学意义
设在 M 0 处有一个单位点电荷，则其在空间任一点 产生的电场电位为
M
处所
1 4 rMM 0
若在 M 0 点的点电荷是包围在一个封闭的导电面内，而这个 导电面又是接地的，此时在导电面上的电位恒等于零，在 M 导电面内任一点 的电位由两部分组成：
在 上（其外法线方向如何？）
于是
1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 n rMM 0 r rMM rMM
0 0
1 1 u n ( rMM )dS 2 0
udS
1
2
4 2 u 4 u
1 u 1 u u dS n dS 4 n rMM 0 n
1 1 u( M ) [u(M ) n ( rMM ) rMM n ]dS 0 0
西安理工大学应用数学系
4 调和函数的基本性质 性质1：设 u ( x, y, z ) 在有界区域 内为调和函数，且在 上有一阶连续偏导数，则 u n dS 0 证：令 v 1 将 u, v 代入第二Green公式即可。 ( x, y , z ) 推论1：诺伊曼问题 u 0, u n f
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那么，这个假想的点电荷应在区域外的什么位置，所带电量 又如何呢？ 这个点应是 M 0 关于边界曲面 的对称点。但是，对一般 区域而言，这个对称点并不易得到。下面看两个特殊问题。
§4.３ 格林（Green）函数的应用
1 半空间上Green函数及狄利克莱问题的解
如我们研究上半空间 {( x, y, z) z 0, x, y } 用静电源象法求其Green函数： M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 在M 0 关于边界曲面 z 0 的对称点为 M1 ( x0 , y0 , z0 ) 在 M1放置一单位负电荷，则它们所形成的静电场的电位在边 界 z 0 上恰好为零。
证明从略
推论1：设 u, v 在有界区域 内为调和函数，在 上连 续，若在 上 有 u v ，则在 内也有
uv
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证明：用反证法 若在 内有 u v ，即 u v 0 ，而在边界上 u v 0 ， 说明 u v 在内部可能取最大值。 推论2：狄利克莱问题 的解唯一。
有 ua
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§4.2 格林（Green）函数
1 Green函数的引入 对狄利克莱问题 u 0, u f
1 u(M 0 ) 4 1 4
( x, y , z )
由调和函数的积分表达式，其解可以表示成 M 0
1 1 u [u n ( rMM ) rMM n ]dS 0 0 1 1 u [ f n ( rMM ) rMM n ]dS 0 0
ln
1 ( x x0 )2 ( y y0 )2
M 0 ( x0 , y0 ) 点外，任一点满足Laplace方程。
同学们自己验证。 问题：基本解是否为整个区域内的解？
2 Green公式
（1）奥－高公式（高斯公式）：设 是有界区域， 是其 边界曲面且足够光滑， P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) 在 上连续，在 内有连续偏导数，则
为什么？
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又为什么？
因此上半空间的Green函数为：
1 1 1 G(M , M 0 ) ( ) 4 rMM 0 rMM1
z0 u 0, 对狄利克莱问题 u z 0 f ( x, y) x, y
意义：调和函数在 内任一点的函数值可用其边界上的函数值 及其法向导数值表示。 证明： 取 v
1
rMM 0
M0
如图作球 KM
0
M0
则 u 和 v 在 K 内均为调和函数， 由第二Green公式有
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1 1 u [u n ( rMM ) rMM n ]dS 0 0 0
两式相减即可得。
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3 调和函数的积分表达式 定理：设 u ( x, y, z )在有界区域 内为调和函数，且在 上 有一阶连续偏导数，则 M 0 ，有
1 u(M 0 ) 4 1 1 u( M ) [u(M ) n ( rMM ) rMM n ]dS (M ) 0 0
u(M 0 ) 1 4
（2）
[u
（1）式＋（2）式，得
1 1 u ( ) ]dS n rMM 0 rMM 0 n
（1）
v 1 1 1 u u ( M 0 ) {u[ n 4 n ( rMM )] ( 4 rMM v) n}dS 0 0
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P Q R ( x y z )d ( P cos Q cos R cos )dS
其中n {cos , cos , cos } 是 的外法线方向。 （2）第一Green公式：设 是有界区域， 是其边界曲面且 足够光滑，u( x, y, z ), v( x, y, z ) 及其一阶偏导数在 上连 续，在 内有二阶连续偏导数，则
（3）
西安理工大学应用数学系
选 v ，使 v
1 4 rMM 0
，则（3）式变成
称为Green函数
v 1 1 u ( M 0 ) u[ n 4 n ( rMM )]dS 0 1 u ( n 4 rMM v)dS 0 1 v 4 rMM 0
（2）第二Green公式：设 是有界区域， 是其边界曲面且 足够光滑，u( x, y, z ), v( x, y, z ) 及其一阶偏导数在 上连 续，在 内有二阶连续偏导数，则
v u (uv vu)d (u n v n )dS