第四章格林函数法
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第四章拉氏方程的格林函数法.docx第四章拉氏方程的格林函数法前面儿章，介绍了儿种求解PDE定解问题的方法：分离变量法、行波法、积分变换法。
?本章介绍令一种求解拉氏方程的格林函数法。
首先来看一下我们要研究的定解问题是怎么捉出的。
§4.1拉氏方程边值问题的提法在第一章中，我们知道，对于无源的稳恒热传导问题满足拉氏方程，它的边值问题一般有三种提法。
研究最多的就是前面两种。
1)第一边值问题边界条件为:心要求的解心C2(Q)AC°(Q),既比在区域Q上连续，在Q上有二阶连续导数,满足拉氏方程且在边界上与/吻合。
Q = Q + 「为边界；称第一-边值问题为狄利克莱(Dirichlet)问题，简称狄氏问题。
通常称拉氏方程的连续解，也就是说，具有二阶连续偏导数并满足拉氏方程的连续函数为调和函数。
2)第二边值问题边界条件为:単=/,on r要求的解ue C2(Q)nC*(Q),既u在区域豆上有一阶连续导数，在Q 上有二阶连续导数，满足拉氏方程且在边界上满足上边界条件。
称第二边值问题为牛曼(Neumarm)问题，简称牛氏问题。
前面两种边值问题都是在Q内求解拉氏方程，故称此类方程为内问题。
另外, 冇这样一类问题，如已知某区域边界上的温度，要求该区域Z外的温度分布情况, 这就归结为在区域Q外求解拉氏问题，称这样的问题为外问题。
注：对于外问题來说，求解通常都是在无界区域上，这时需不需要对解加些限制条件呢？看下面一例了。
Aw = 0, r > 1, r = Vx2 + r2 + z2易知u = Vu = \!r都是上定解问题的解，这就出现了解的不唯一性，为了保证解的唯一性，通常我们要加一些限制条件，三维问题时limw = 0厂T8二维问题通常假定解冇界。
3）狄氏外问题（略）4）牛氏外问题（略）§ 4.2格林公式及其应用一、格林公式的推导为建立拉氏方程解的积分公式,我们先推导格林函数，它由曲面积分的Guass 公式直接导出。
4第四章格林函数法
，于是有 除在 M 0 点外处处满足三维Laplace方程 u0 内调和,则 上有一阶连续偏导数,且在 定理:若函数 u 在 调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函 数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
u ( M ) 1[ 1 1 u ( M ) u ( M ) ( ) ] dS 0 4 n r r n MM MM 0 0
3
P Q R { P , Q , R } n dS ( ) dV 由高斯公式 x y z v v v
2019/2/12
4.1.3 调和函数的积分表达式
由Green公式可导出调和函数的积分表示。由于函数：
1 1 2 2 2 r ( x x ) ( y y ) ( z z ) MM 0 0 0 0
为二维Laplace方程的基本解.
其通解为： 为任意常数)。 V ( r ) c ln r c , ( r 0 , c , c 1 2 1 2
4.1.2 格林公式
令P u , Q u ,R u ,则得到格林第一公式： x y z u v u v u v v u vdV ( ) dV u dS x x y y z z n u v u v u v u v udV ( ) dV vdS x x y y z z n 将以上两公式相减，得到格林第二公式： v u ( u v v u ) dV ( u v ) dS n n 调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。
1
2019/2/12
4.1.1 拉普拉斯方程的基本解 对拉普拉斯方程 , 其球坐标形式为： u u u u 0 xx yy zz
拉普拉斯方程的格林函数法
注：利用调和函数的极值原理，可证狄氏问题在 C2() C0()
内的解是唯一的。
整理课件
17
§3 格林函数
为 什 么 引 入 格 林 函 数 ？
调 和 函 数 的 积 分 表 达 式 为
1 1 1 u
u(M0)4u(M)n(rM M0)rM M0
dS n
对于狄氏问题或牛曼问题，利用上面公式都不能直接得到想要问
( P x Q y R z)d V P d y d z Q d z d x R d x d y
其 中 取 外 侧 位 正 向 .
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：
整理课件
7
(P xQ yR z)dV (Pcos(n,x)Qcos(n,y)Rcos(n,z))dS.
_ u n 1 r 1 r u n d S 4 u 4 u n 0
当 0 时 ， 有 l i m 0 u u ( M 0 ) ,(u 连 续 ) ____
lim 4u0( u一 阶 连 续 可 微 ， u有 界 ）
0 n
定理：若格林函数G(M,M0)存在，且G(M,M0)C1()，则狄氏
问题2uu0,f(M in)的解（存在的话）可表示为
这 时 需 不 需 要 对 解 加 些 限 制 条 件 呢 ？ 看 下 面 一 例 子 。
u0,r1,
u 1 r1
其 中 rx2y2z2
易 知
u1,
u1/r
都 是 上 述 定 解 问 题 的 解 ， 即 解 不 唯 一 .为 了 保 证 解 的 唯 一 性 ，
通 常 我 们 要 加 一 些 限 制 条 件 .
取 u 为 调 和 函 数 ， 并 假 定 其 在 上 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 取 v 1/r
内的解是唯一的。
整理课件
17
§3 格林函数
为 什 么 引 入 格 林 函 数 ？
调 和 函 数 的 积 分 表 达 式 为
1 1 1 u
u(M0)4u(M)n(rM M0)rM M0
dS n
对于狄氏问题或牛曼问题，利用上面公式都不能直接得到想要问
( P x Q y R z)d V P d y d z Q d z d x R d x d y
其 中 取 外 侧 位 正 向 .
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：
整理课件
7
(P xQ yR z)dV (Pcos(n,x)Qcos(n,y)Rcos(n,z))dS.
_ u n 1 r 1 r u n d S 4 u 4 u n 0
当 0 时 ， 有 l i m 0 u u ( M 0 ) ,(u 连 续 ) ____
lim 4u0( u一 阶 连 续 可 微 ， u有 界 ）
0 n
定理：若格林函数G(M,M0)存在，且G(M,M0)C1()，则狄氏
问题2uu0,f(M in)的解（存在的话）可表示为
这 时 需 不 需 要 对 解 加 些 限 制 条 件 呢 ？ 看 下 面 一 例 子 。
u0,r1,
u 1 r1
其 中 rx2y2z2
易 知
u1,
u1/r
都 是 上 述 定 解 问 题 的 解 ， 即 解 不 唯 一 .为 了 保 证 解 的 唯 一 性 ，
通 常 我 们 要 加 一 些 限 制 条 件 .
取 u 为 调 和 函 数 ， 并 假 定 其 在 上 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 取 v 1/r
第四章_拉普拉斯方程的格林函数法
Laplace方程的连续解，即具有二阶连续偏导数并满足Laplace 方程的连续函数. (1.u ∈ C 2 (Ω) I C 0 (Ω) 2. ∇ 2u = 0)
边值问题的提法： 二. 边值问题的提法：
1）第一边值问题(Dirichlet问题/狄氏问题) ∇ 2u = 0, in Ω uΓ = f 数学解释： 在Ω内寻求一个调和函数u, 它在边界Γ上与已知
连续函数f 吻合，即u Γ = f .
2）第二边值问题( Neumann 问题/牛氏问题 ) ∇ 2 u = 0, in Ω (其中 n是 Γ 的外法向量, f 是 连续函数 ) ∂u = f ∂n Γ
数学解释： Ω内寻求一个调和函数，它在闭区域Ω上有一阶 在 连续偏导数,即u ∈ C 2 (Ω) I C1 (Ω)，且在边界上满足边界条件。 ，且在边界上满足边界条件。
∂u ∫∫ u (M )dS + 4π a ∫∫ ∂n dS Γ Γ 1
∫∫ u (M )dS
Γ
（4）Laplace方程解的唯一性问题 ） 方程解的唯一性问题
定理：狄氏问题在C 2 (Ω) I C 1 (Ω)内解唯一，牛曼问题除相差一个
常数外解也是唯一确定的。
证明：
设u1 , u2为上述两类问题的解，则它们的差v = u1 − u2必是原问题的
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
第一节 第二节 第三节 第四节 拉普拉斯方程边值问题的提法 格林公式 格林函数 两种特殊区域的格林函数及狄氏 问题的解
格 林 函 数 法
格林函数:又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念 格林函数 又称点源影响函数， 又称点源影响函数
格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的 格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的 知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 场,知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场
边值问题的提法： 二. 边值问题的提法：
1）第一边值问题(Dirichlet问题/狄氏问题) ∇ 2u = 0, in Ω uΓ = f 数学解释： 在Ω内寻求一个调和函数u, 它在边界Γ上与已知
连续函数f 吻合，即u Γ = f .
2）第二边值问题( Neumann 问题/牛氏问题 ) ∇ 2 u = 0, in Ω (其中 n是 Γ 的外法向量, f 是 连续函数 ) ∂u = f ∂n Γ
数学解释： Ω内寻求一个调和函数，它在闭区域Ω上有一阶 在 连续偏导数,即u ∈ C 2 (Ω) I C1 (Ω)，且在边界上满足边界条件。 ，且在边界上满足边界条件。
∂u ∫∫ u (M )dS + 4π a ∫∫ ∂n dS Γ Γ 1
∫∫ u (M )dS
Γ
（4）Laplace方程解的唯一性问题 ） 方程解的唯一性问题
定理：狄氏问题在C 2 (Ω) I C 1 (Ω)内解唯一，牛曼问题除相差一个
常数外解也是唯一确定的。
证明：
设u1 , u2为上述两类问题的解，则它们的差v = u1 − u2必是原问题的
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
第一节 第二节 第三节 第四节 拉普拉斯方程边值问题的提法 格林公式 格林函数 两种特殊区域的格林函数及狄氏 问题的解
格 林 函 数 法
格林函数:又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念 格林函数 又称点源影响函数， 又称点源影响函数
格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的 格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的 知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 场,知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场
4格林函数法
u( r ) f ( r0 ) dr0 4 | r r0 |
那么，如何求解某边界条件下的泊松方程呢？
格林函数法求解拉普拉斯方程的边值问题
边值问题与无界空间的问题不同，要受到边界的影响， 边值问题的解 u(r) 与格林函数 G 的关系就更复杂了，需要 用到格林第二公式。 格林第二公式 设函数 u(r)， v(r) 在区域 Ω 直到其边界 Γ 上具有连续一阶 微商，而在 Ω 中有连续二阶微商，有格林第二公式
若知道一个点源在一定的边界条件和(或)初值 条件下所产生的场（称为格林函数），就可用叠加 的方法计算出任意源产生的场。这就是格林函数法 的基本思想。故也称点源法。
δ – 函数（狄拉克函数）
用来描述物理中集中分布的量，如点电荷、点热源、质点、单 位脉冲等，这是通常的函数概念不能描述的。
0 x x0 ( x x0 ) x x0 0 x0 ( a , b ) a ( x x0 )dx 1 x0 (a , b)
r r0 o
2
R (x0, y0, z0)
G G x x 0 , x R R
2G 2G x x0 G 1 ( x x0 )2 2 2 3 x R R R R R
2G 2G 同样计算可 2 和 ，于是 2 y z 2G R 2 G 3 R 2 2G 2 G 2G 3 2 2 R R R 2 R R 0 R R R
于是有积分形式的解
拉普拉斯方程的格林函数
根据格林函数法的基本思想，先求解方程
(x, y, z) r r0 o
G ( r , r0 ) ( r r0 )
2
那么，如何求解某边界条件下的泊松方程呢？
格林函数法求解拉普拉斯方程的边值问题
边值问题与无界空间的问题不同，要受到边界的影响， 边值问题的解 u(r) 与格林函数 G 的关系就更复杂了，需要 用到格林第二公式。 格林第二公式 设函数 u(r)， v(r) 在区域 Ω 直到其边界 Γ 上具有连续一阶 微商，而在 Ω 中有连续二阶微商，有格林第二公式
若知道一个点源在一定的边界条件和(或)初值 条件下所产生的场（称为格林函数），就可用叠加 的方法计算出任意源产生的场。这就是格林函数法 的基本思想。故也称点源法。
δ – 函数（狄拉克函数）
用来描述物理中集中分布的量，如点电荷、点热源、质点、单 位脉冲等，这是通常的函数概念不能描述的。
0 x x0 ( x x0 ) x x0 0 x0 ( a , b ) a ( x x0 )dx 1 x0 (a , b)
r r0 o
2
R (x0, y0, z0)
G G x x 0 , x R R
2G 2G x x0 G 1 ( x x0 )2 2 2 3 x R R R R R
2G 2G 同样计算可 2 和 ，于是 2 y z 2G R 2 G 3 R 2 2G 2 G 2G 3 2 2 R R R 2 R R 0 R R R
于是有积分形式的解
拉普拉斯方程的格林函数
根据格林函数法的基本思想，先求解方程
(x, y, z) r r0 o
G ( r , r0 ) ( r r0 )
2
数学物理方程课件第四章拉普拉斯方程的格林函数法
r M 0 M
M 1
1
4 xx02 y y02 zz02
解：
1
4 xx02 y y02 zz02
u(M 0)G (M n,M 0)f(M )dS G(M z,M0)|z0 f(x,y)dS
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
1
1
G ( M , M 0 ) 4 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 4 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2
调和函数的积分表达式
k
拉 普l1r拉n 斯1
1 方x程2的基y本2 解z
ln 1
2
r
x2 y2
三维 二维
1 1 1 u
u (M 0)4 S(u n(r)r n)d S
调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个
函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
2 牛曼内问题有解的必要条件
V (u 2 v v 2 u )d V S (u n v v u n )d S
一 拉普拉斯方程边值问
题 的 1提 第法一边值问题（狄氏问题）
第四章
拉普 u f
2 第二边值问题（牛曼问题）
拉斯方程的格 u f 林函数法 n
3 内问题与外问题
4 调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程 的连续函数。
二 格林公式及其结论
V (u 2 v )d V S u n vd S V u v d V 格V 林(u 公 2 式v 的v 结 2 论u )：d V S (u n v v u n )d S
半空间的格林函数
1 1 1
G(M,M0)4rM
r M 0 M
M 1
M0q d
格林函数法
两种边值问题: 两种边值问题:
第一边值问题
u |Γ = f .
这类问题也叫做狄利克雷 问题。 这类问题也叫做狄利克雷(Dirichlet)问题。 狄利克雷 问题
拉普拉斯方程的连续解，也叫调和函数， 拉普拉斯方程的连续解，也叫调和函数，所以 调和函数 狄利克雷问题也可以叙述为： 狄利克雷问题也可以叙述为：在区域 Ω 内找 一个调和函数, 上的值已知。 一个调和函数 它在边界 Γ 上的值已知。 第二边值问题 在光滑的闭曲面 Γ 上给出连续函数 f，寻找函数 ， u(x,y,z) ：在 Γ 的内部 Ω 是调和函数 在 ( Ω + Γ ) 是调和函数, 上连续， 上连续，在 Γ 上任一点法向导数存在并且等于 已知函数 f ，即： ∂u =f ∂n Γ 这类问题也叫做纽曼 纽曼(Neumann)问题。 问题。 这类问题也叫做纽曼 问题
在球面坐标下, 拉普拉斯方程为: 在球面坐标下, 拉普拉斯方程为:
1 ∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u 1 ∂2u =0 r + 2 sin θ + 2 2 2 2 r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ
球对称解 u=u(x,y,z)在以原点为中心的同一球面的 在以原点为中心的同一球面的 值为常数。 的函数:u=u(r)。 值为常数。u 仅为半径 r 的函数 。
(
)
两式相减, 两式相减 得
2 2
第二格林公式
∂v ∂u ∫∫∫ (u∇ v − v∇ u)dV = ∫∫ (u ∂n − v ∂n )dS Ω Γ
利用格林公式, 可以得到调和函数的一些性质： 利用格林公式, 可以得到调和函数的一些性质： 1) 纽曼内问题有解的必要条件 内的调和函数, 设 u 是以 Γ 为边界的区域 Ω 内的调和函数, 在 上有一阶连续偏导数, Ω + Γ上有一阶连续偏导数, 则在第二格林公式 为上述调和函数 调和函数, 中取 u 为上述调和函数,取 v ≡ 1, 有
数学物理方程第四章_格林函数
1 ⎧ ⎪∆G (r , r0 ) = − δ (r − r0 ) ε ⎨ ⎪G Γ = 0 ⎩
(4.3.7) (4.3.8)
以 G (r , r0 ) 乘式 (4.3.5), u (r ) 乘式 (4.3.7), 二式相减后在 Ω 上对 r 积分 ,以 dr 表示 r 点处的体积微元,有
∫
Ω
(G∆u − u∆G )dr = −
第 4 章 格林函数
在这一章里,我们介绍数学物理方程中另外一种常用的方法—格林函数法.从物理上看, 一个数学物理方程是表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系.例如,热传导 方程表示温度场和热源之间的关系,泊松方程表示静电场和电荷分布的关系,等等.这样,当源 被分解成很多点源的叠加时,如果能设法知道点源产生的场,利用叠加原理,我们可以求出同 样边界条件下任意源的场,这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就 叫做格林函数. 4.1
⎧0, T ( x) = ⎨ ⎩∞,
x≠0 x=0
且
∫Байду номын сангаас
所以有
+∞
−∞
cρT ( x)dx = Q
T ( x) =
Q δ ( x) cρ
通过以上两个例题,我们对 δ ( x) 有了进一步的认识.如果将坐标平移 x0 ,即集中量 出现在点 x = x 0 处,则有
δ ( x − x0 ) = ⎨
且
⎧0, ⎩∞,
∫
= ∫ (u∆v)dΩ + ∫ gradu ⋅ gradvdΩ
Ω Ω
=∫u
Γ
∂v dS ∂n
或表示为
∫
Ω
(u∆v)dΩ = ∫ u
Γ
∂v dS − ∫ gradu ⋅ gradvdΩ Ω ∂n
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u 0, u f
( x, y , z )
证明： u1 和 u2 均为该问题的解，则 u u1 u2 满足 设
由极值原理， u 0
u 0, u 0
( x, y , z )
西安理工大学应用数学系
( x, y , z ) u 0, 推论3：对狄利克莱问题 u a (常数)
udS
a
证明：将调和函数积分表达式用于此球面上，有
1 u(M 0 ) 4
而
1 1 u [u n ( rMM ) rMM n ]dS a 0 0
1 ( ) r rMM 0 1 2 a
为什么？
1 ( ) n rMM 0
a
a
西安理工大学应用数学系
（4）
令 G( M , M ) 0 则（4）式表示为
称为Green函数法
（5）
G u(M 0 ) u n dS
于是狄利克莱问题的解可表示为 u ( M ) 0
G f dS n
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问题：Green函数 G(M , M 0 ) 如何构造？即 v 如何构造？ 在上面的分析中，我们要求 v 应满足
推导：由第一Green公式，有
v u v u v u v uvd u n dS ( x x y y z z )d u u v u v u v vud v n dS ( x x y y z z )d
1 rMM 0
1 ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 ) 2
特点：除 M 0 ( x0 , y0 , z0 )点外，任一点满足Laplace方程。 同学们自己验证。
西安理工大学应用数学系
二维Laplace方程的基本解：
u ( x, y) ln
特点：除
1 rMM 0
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代入上式，得
1 1 u u [u n ( rMM ) rMM n ]dS 4 u 4 n 0 0 0 u ( M 0 ) u 令 0 ，则 u u ( M 0 ) n n
从而得证
1 u(M 0 ) 4
满足
1 g (M , M 0 ) 4 rMM 0
我们采用如下方法获得 g (M , M 0 ) 假设区域外也有一个点电荷（不一定单位电荷），它对自由 空间的电场也产生一个电位。设这两个点电荷所产生的电位 在导电面上恰好抵消，则这个假想的点电荷在区域内电位就 g (M , M 等于感应电荷所产生的电位，这样0 ) 就得到了。 这种获得 g (M , M 0 ) 的方法称为静电源象法（镜象法）
v u v u v u v uvd u n dS ( x x y y z z )d v v v 推导：令 Pu , Qu , Ru x y z
代入高斯公式，并注意方向导数公式即可得。
西安理工大学Biblioteka 用数学系1 G(M , M 0 ) g (M , M 0 ) 4 rMM 0
其中 g (M , M 0 ) 表示导电面上感应电荷所产生的电位。
（该函数结构即是Green函数）
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可见只要将 g (M , M 0 ) 确定了，则 G(M , M 0 ) 也就确定了。
g (M , M 0 ) 如何确定呢？根据Green函数的结构， (M , M 0 ) 必须 g
( x, y , z ) v 0, 1 v 4 r MM 0
这又是一个狄利克莱问题。如何求解？
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2 Green函数的静电学意义
设在 M 0 处有一个单位点电荷，则其在空间任一点 产生的电场电位为
M
处所
1 4 rMM 0
若在 M 0 点的点电荷是包围在一个封闭的导电面内，而这个 导电面又是接地的，此时在导电面上的电位恒等于零，在 M 导电面内任一点 的电位由两部分组成：
在 上（其外法线方向如何？）
于是
1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 n rMM 0 r rMM rMM
0 0
1 1 u n ( rMM )dS 2 0
udS
1
2
4 2 u 4 u
1 u 1 u u dS n dS 4 n rMM 0 n
1 1 u( M ) [u(M ) n ( rMM ) rMM n ]dS 0 0
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4 调和函数的基本性质 性质1：设 u ( x, y, z ) 在有界区域 内为调和函数，且在 上有一阶连续偏导数，则 u n dS 0 证：令 v 1 将 u, v 代入第二Green公式即可。 ( x, y , z ) 推论1：诺伊曼问题 u 0, u n f
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那么，这个假想的点电荷应在区域外的什么位置，所带电量 又如何呢？ 这个点应是 M 0 关于边界曲面 的对称点。但是，对一般 区域而言，这个对称点并不易得到。下面看两个特殊问题。
§4.３ 格林（Green）函数的应用
1 半空间上Green函数及狄利克莱问题的解
如我们研究上半空间 {( x, y, z) z 0, x, y } 用静电源象法求其Green函数： M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 在M 0 关于边界曲面 z 0 的对称点为 M1 ( x0 , y0 , z0 ) 在 M1放置一单位负电荷，则它们所形成的静电场的电位在边 界 z 0 上恰好为零。
证明从略
推论1：设 u, v 在有界区域 内为调和函数，在 上连 续，若在 上 有 u v ，则在 内也有
uv
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证明：用反证法 若在 内有 u v ，即 u v 0 ，而在边界上 u v 0 ， 说明 u v 在内部可能取最大值。 推论2：狄利克莱问题 的解唯一。
有 ua
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§4.2 格林（Green）函数
1 Green函数的引入 对狄利克莱问题 u 0, u f
1 u(M 0 ) 4 1 4
( x, y , z )
由调和函数的积分表达式，其解可以表示成 M 0
1 1 u [u n ( rMM ) rMM n ]dS 0 0 1 1 u [ f n ( rMM ) rMM n ]dS 0 0
ln
1 ( x x0 )2 ( y y0 )2
M 0 ( x0 , y0 ) 点外，任一点满足Laplace方程。
同学们自己验证。 问题：基本解是否为整个区域内的解？
2 Green公式
（1）奥－高公式（高斯公式）：设 是有界区域， 是其 边界曲面且足够光滑， P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) 在 上连续，在 内有连续偏导数，则
为什么？
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又为什么？
因此上半空间的Green函数为：
1 1 1 G(M , M 0 ) ( ) 4 rMM 0 rMM1
z0 u 0, 对狄利克莱问题 u z 0 f ( x, y) x, y
意义：调和函数在 内任一点的函数值可用其边界上的函数值 及其法向导数值表示。 证明： 取 v
1
rMM 0
M0
如图作球 KM
0
M0
则 u 和 v 在 K 内均为调和函数， 由第二Green公式有
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1 1 u [u n ( rMM ) rMM n ]dS 0 0 0
两式相减即可得。
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3 调和函数的积分表达式 定理：设 u ( x, y, z )在有界区域 内为调和函数，且在 上 有一阶连续偏导数，则 M 0 ，有
1 u(M 0 ) 4 1 1 u( M ) [u(M ) n ( rMM ) rMM n ]dS (M ) 0 0
u(M 0 ) 1 4
（2）
[u
（1）式＋（2）式，得
1 1 u ( ) ]dS n rMM 0 rMM 0 n
（1）
v 1 1 1 u u ( M 0 ) {u[ n 4 n ( rMM )] ( 4 rMM v) n}dS 0 0
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P Q R ( x y z )d ( P cos Q cos R cos )dS
其中n {cos , cos , cos } 是 的外法线方向。 （2）第一Green公式：设 是有界区域， 是其边界曲面且 足够光滑，u( x, y, z ), v( x, y, z ) 及其一阶偏导数在 上连 续，在 内有二阶连续偏导数，则
（3）
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选 v ，使 v
1 4 rMM 0
，则（3）式变成
称为Green函数
v 1 1 u ( M 0 ) u[ n 4 n ( rMM )]dS 0 1 u ( n 4 rMM v)dS 0 1 v 4 rMM 0
（2）第二Green公式：设 是有界区域， 是其边界曲面且 足够光滑，u( x, y, z ), v( x, y, z ) 及其一阶偏导数在 上连 续，在 内有二阶连续偏导数，则
v u (uv vu)d (u n v n )dS