函数的极大值与极小值
高等数学 函数的极值与最大值、最小值
解：（1）设平均成本为 y ，则 y = 25000 + 200 + x
x
40
由
y′
=
−
25000 x2
+
1 40
=
0
，得
x1
= 1000
，
x2
=
−1000
（舍去）
因为 y′′ |x=1000 = 5×10−5 > 0 ，所以当 x = 1000 时， y 取极小值，
也即最小值，因此，要使平均成本最小，应生产 1000 件产品。
2009年7月3日星期五
21
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（2） 利润函数为
L(x)
=
500x
−
⎛ ⎜⎝
问 x = a 是为 f (x) 的极值点？如果是极值点， f (x) 在
x = a 取得极大值还是极小值？（课本 例 3）
解题思路：
（1） f ′(x) 在点 x = a 处连续
lim f ′(x) = f ′(a)
x→a
（2） f ′(a) = lim f ′(x) = lim f ′(x) × (x − a) = (−1) × 0 = 0
又因为 f ′′(x) = − 1 < 0 ， 25
所以当 x = 1800 时， f (x) 取得最大值，
即房租定为 1800 元时，可获得最大收入。
2009年7月3日星期五
17
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例8
证明
1 2 p−1
≤
xp
+
(1 −
x) p
≤1
(0 ≤ x ≤ 1, p > 1) ．
极大值与极小值
4.(2006年北京卷)已知函数 f ( x) ax bx cx 在点 x0 处取得极大值5,其导函数 y f '( x) 的图像 (如图)过点（1,0）,（2,0）, 求： （1） x0 的值；（2）a,b,c的值； 略解： (1)由图像可知：x0 1
3 2
(2)
f / ( x）＝3ax 2 2bx c (a 0) f (1) a b c 5
0
1 1 9 因此,当x 时, f(x)有极小值f( ) . 2 2 4
1 3 1 例2 求函数 y x 4x 的极值。 3 3 解：定义域为R，y′=x2-4 由y′=0可得x=-2或 x=2
当x变化时，y′, y的变化情况如下表：
x y′ y
(-∞，-2）
-2
0 极大值 17/3
练习：
1、函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为 ( D)
A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值
D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值
2（ 、2006年天津卷)函数 f ( x) 的定义域为开区间( a, b) 导函数 f ( x)在 ( a, b) 内的图像如图所示，则函数f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有（ A ）个极小值点。
再根据解集写出单调递增区间
（4）求解不等式f ′(x)<0，求得其解集，
再根据解集写出单调递减区间
（5）确定f(x)的单调区间
观察图像：函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的
函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右 近旁各点处的函数值，相比有什么特点?
函数的极值与最大值最小值
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点 使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.
极大值与极小值
(-1,0) －
0 0
极小值 0
(0,1) +
1 0
无极 值
(1,+∞) +
因此，当x=0时， y极小值=0
点评：一点是极值点的充分条件是这点两侧的导数异号。
课堂练习
1.（2006年天津卷)函数 f (x) 的定义域为开区间 (a, b) 导函数 f (x)在 (a, b) 内的图像如图所示，则函数f (x) 在开区间 (a, b) 内有（ A ）个极小值点。
解:函数的定义域为( ,0) (0,),
a 2 ( x a )( x a ) f ( x ) 1 2 . 2 x x
令 f ( x ) 0 ,解得x1=-a,x2=a(a>0). 当x变化时, f ( x ) ,f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞)
3 2
f (1) a b c 5
.
2b － 3a 3 或 c 2 3a
f / (1) 3a 2b c 0 f / ( 2) 12a 4b c＝0
a 2, b 9, c 12
a2 例2:求函数 f ( x ) x x (a 0) 的极值.
•极值点处的导数不一定是存在的； •导数为0的点不一定是极值点； •若极值点处的导数存在，则一定为0
二、求可导函数f(x)极值的 步骤：
(1) 确定函数的定义域； (2)求导数f ’(x)； (3)求方程f ’(x）=0的根； (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格 检查f ’(x)在方程根左右的符号—— •如果左正右负（+ ~ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值；
函数的极值与最大值最小值
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
函数极值的判定法 由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点 .
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质.
2) 对常见函数, 极值可能出现在驻点或导数 不存在的点.
y
3) 函数的最值是函数的全局性质.
x 1 , x4 为极大点 x 2 , x5 为极小点
提示: 利用 f ( x) 单调增加 , 及
f (1) f (0) f ( ) (0 1)
利用导数求函数的最值是导数的又一重要应用.
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则值的方法: (1) 求 f ( x)在 (a , b) 内的极值可疑点
x1 , x2 , , xm
(2) 最大值
M max f ( x1 ) , f ( x2 ) ,, f ( xm ) , f (a) , f (b)
最小值
m min f ( x1 ) , f ( x2 ) , , f ( xm ) , f (a) , f (b)
特别:
• ●当 f ( x) 在 [a , b]内只有一个极值可疑点时, 若在 此点取极大 (小)值 , 则也是最大 (小)值 . • ●当 f ( x) 在 [a , b]上单调时, 最值必在端点处达到.
(证明略)
例如, 容易验证x=0是 y x2 , x ( , ) 的极小 值点. 而 x=0不是 y x , x ( , ) 的极值点.
3
例3 求函数 f ( x) ( x 1) x 的极值 . 2 x 2 1 2 5 解 1) 求导数 f ( x) x 3 ( x 1) x 3 5 3 3 3x 2) 求极值可疑点 2 令 f ( x) 0 , 得 x1 ; 令 f ( x) , 得 x2 0 5 3) 列表判别
4.3.2函数的极大值和极小值
6
6
即y=f′(x)关于直线x=- a 对称.
6
从而由题设条件知- a =- 1 ,即a=3.
62
又由于f′(1)=0,即6+2a+b=0,
得b=-12.
②由①知f(x)=2x3+3x2-12x+1, 所以f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2), 令f′(x)=0,即6(x-1)(x+2)=0,解得x=-2或x=1. 当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0, 即f(x)在(-∞,-2)上单调递增;
因为ex>0,所以y=f′(x)的零点就是g(x)=-ax2+
(2a-b)x+b-c的零点,且f′(x)与g(x)符号相同.
又因为a>0,所以-3<x<0时, g(x)>0,即f′(x)>0, 当x<-3或x>0时,g(x)<0,即f′(x)<0, 所以f(x)的单调增区间是(-3,0), 单调减区间是(-∞,-3),(0,+∞).
2.(2017·全国卷Ⅱ)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1
的极值点,则f(x)的极小值为 ( )
A.-1
B.-2e-3 C.5e-3
D.1
【解析】选A.由题可得f′(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax1)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1,因为f′(-2)=0,所以a= -1,f(x)=(x2-x-1)ex-1,故f′(x)=(x2+x-2)ex-1,令 f′(x)>0,解得x<-2或x>1,所以f(x)在(-∞,-2)和 (1,+∞)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,所以f(x) 的极小值=f(1)=(1-1-1)e1-1=-1.
函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题
一、函数的极值及其求法
极值定义 设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
如果对 x U ( x0 ) ,有 f ( x ) f ( x0 ) ( 或 f ( x ) f ( x0 ) ),
求函数 f ( x ) x 2 3 x 2 在 [3,4] 上的 例3 最大值与最小值 .
解: 显然
一定取得最大值与最小值.
f ( x) ( x 2)( x 1)
又
x 1, x 2为不可导点
x [3,1] [2,4] x (1,2).
x 2 3 x 2, f ( x) 2 x 3 x 2,
2 5
0 0.33
2 ( 5 , )
其极大值为 是极大点，
是极小点， 其极小值为
确定函数极值点和极值的步骤
(1) 确定函数定义域 , 并求导数 f ( x );
(2) 求出 f ( x ) 的全部驻点与不可导点;
(3)驻点和不可导点将定义域区间分成若干个区间， 列表考察导函数在各个区间内的符号，以便确定该点
x 最大(小)值若在区间内部取得,则它一定是极大(小)值. o a x1 x2 x3x4 b x 2 , x4 为极小值点
费马( Fermat )引理
设函数 f ( x)在 x0 的某邻域U ( x0 )内有定义,
若 (1) f ( x)在 x0 点可导
则 f ( x0 ) 0.
(2) f ( x)在 x0 点取得极大值或极小值
点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成的三角形
高二数学极大值与极小值
新
课
讲
授
一、函数极值的定义
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果 f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就 说f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0 是极大值点。如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函
数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。记
作y极小值=f(x0)，x0是极小值点。极大值与极小值统
称为极值.
注
意
1 、在定义中，取得极值的点称 为极值点，极值点是自变量 (x)
的值，极值指的是函数值(y)。
2、极值是一个局部概念，极值只 是某个点的函数值与它附近点的函
数值比较是最大或最小,并不意味
着它在函数的整个的定义域内最大
或最小。
3、函数的极值不是唯一的即一个函
2 、如果 x0 是 f′(x)=0 的一个根，并 且在x0的左侧附近f′(x)<0，在x0右 侧附近 f′(x)>0 ，那么是 f(x0) 函数 f(x)的一个极小值。
例１：求f（x）＝x２－x－２的极值.
解：
x f ( x ) f ( x)
1 f ( x ) 2 x 1, 令f ( x ) 0, 解得 x .列表 2 1 1 1
知识回顾
1、一般地,设函数y=f(x)在某个区间
内可导,则函数在该区间
如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数;
王新敞
奎屯 新疆
如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
２、用导数法确定函数的单调性时的 步骤是： （1）求出函数的导函数 求解不等式f′(x)>0，求得其解集， （2） 再根据解集写出单调递增区间 求解不等式f′(x)<0，求得其解集， （3） 再根据解集写出单调递减区间
极大值极小值知识点-概述说明以及解释
极大值极小值知识点-概述说明以及解释1.引言1.1 概述极值问题是数学分析中的一个重要内容，它在数学、物理、经济等领域都有着广泛的应用。
极大值和极小值是函数在一定区间内取得的最大值和最小值，它们是优化问题中的关键概念。
本文将从极值的基本概念出发，介绍如何求解极值，以及极值在实际问题中的应用。
让我们一起深入了解极值的知识，掌握求解极值的方法，从而更好地应用于实际问题中。
1.2 文章结构文章结构部分是对整篇文章的框架和内容进行概述和介绍。
在这一部分，我们将简要介绍本文的章节安排和各个部分的主要内容。
第一部分是引言部分，包括概述本文要讨论的内容、文章结构和目的。
在引言部分，我们将简要介绍极大值和极小值的概念，以及为什么学习这些知识点是重要的。
第二部分是正文部分，包括极大值的概念、求解极大值的方法和极小值的概念。
在这一部分，我们将详细讨论极大值和极小值的含义，以及如何通过不同的方法来求解极值的问题。
第三部分是结论部分，包括总结极值概念、应用实例和展望。
在结论部分，我们将对本文所讨论的内容进行总结，并展示极大值和极小值在实际问题中的应用和未来的发展方向。
通过这样的文章结构，读者可以清楚地了解到本文的主要内容和各个部分的重点，帮助他们更好地理解极值的知识点。
1.3 目的目的部分的内容:本文旨在系统地介绍极大值和极小值的概念，以及求解极值的方法，从而帮助读者更全面地理解这一数学知识点。
同时，通过应用实例的分析，读者能够更好地理解极值在实际问题中的应用，并对未来在相关领域的研究和实践提供一定的启发和参考。
最终，期望本文能够为读者提供一个清晰的极值概念框架，帮助他们更有效地应用这一知识，解决实际问题。
2.正文2.1 极大值的概念极大值是在函数曲线上某一点附近的最大函数值。
具体来说，对于函数f(x)，如果存在一个区间[a, b]，使得在该区间内，当x不等于a或b时，f(x)小于等于f(a)或f(b)，那么f(x)在该区间内的最大值就是极大值。
4函数的极值与最大小值
解 由于 f (x) = x3(x - 1)2(7x - 4) ， 因此 x 0,1, 4 是函数
的三个稳定点． f 的二阶导数为
7
f (x) = 6x2 (x - 1)(7x2 - 8x + 2)
由此得 f (0) f (1) 0及f ( 4) 0，所以 f ( x)在x 4 时取得极小
有 f (4)(0) 0. 因为n = 4 为偶数，故 f 在 x 0 取得极大值.
综上所述， f (0) 0 为极大值，
f( 4 ) = -( 4 )4 ( 3 )3 = - 6912
7
77
823543
为极小值.
注 定理6.12仍是判定极值的充分条件而非必要条件．
考察函数
f(x)
=
e -
f n x0 0, 则
（ⅰ）当n为偶数时， f 在 x0处取得极值，且当 f (n)( x0 ) 0 时 取极大值，f (n) ( x0 ) 0 时取极小值.
（ⅱ）当n为奇数时， f 在 x0 处不取极值.
该定理的证明类似于定理6.11，我们将它留给读者.
例3 试求函数 x4( x 1)3的极值.
(析) 由条件及 f 在 x0 处的二阶泰勒公式
f (x)
f ( x0 )
f
( x0 )( x
x0 )
1 2!
f x0 x
x0 2
x x0 2
知
f
( x)
f
( x0 )
f
x0
2
1 x
x0 2
0,
a 2
内解得稳定点
函数的极大(小)值和最大(小)值
§2-6 函数的极大(小)值和最大(小)值1.函数的极大(小)值 一个函数在它有定义的区间上可能没有最大(小)值，但它在某个部分区间上可能会有最大(小)值，即局部最大值或局部最小值.函数的局部最大值或局部最小值，又称为函数的极大值或极小值.具体地说，设函数)(x f 在点),(0b a x ∈连续.若有足够小的正数δ，使)||0()()(00δ<-<<x x x f x f (图2-21) 则称函数)(x f 在点0x 取到极大值)(0x f ，并称点0x 为函数)(x f 的极大值点.同理，使 )||0()()(11δ<-<>x x x f x f (图2-21) 则称函数)(x f 在点1x 取到极小值)(1x f ，并称点1x 为函数)(x f 的极小值点.函数的极大值和极小值统称为函数的极值，而函数的极大值点和极小值点统称为函数的极值点. 因为函数的极值是函数在小范围内的最大值或最小值，根据定理2-1，我们就有下面的结论：若函数()f x 在某区间内的点0x 处取到极值且有导数'0()f x ，则'=0()0f x .因此，0()0f x '=是可微函数．．．．在点0x 取到极值的必要条件,但它不是可微函数取到极值的充分条．．．．．．．．．．．．．．．．件．! 例如函数3)(x x f =，尽管有0)0(='f ，但0不是它的极值点(图2-22).以后，就把使0()0f x '=的点0x 称为函数)(x f 的驻点(可能不是极值点．．．．．．．).需要指出，不能把上面的结论简单说成“函数取到极值的必要条件”.例如，函数()f x x =(图2-23)，它在点0有极小值(也是最小值)，可是它在点0没有导数.因此，函数在区间内部的极值点只可能是它的驻点或没有导数的点.它们合在一起称为函数的临界点.一般情形下，求连续函数)(x f 在开区间),(b a 内的极值时，一般步骤是：第一步，求出)(x f 在区间),(b a 内的所有临界点(即驻点或没有导数的点)；第二步，对于每一个临界点，再用下面的判别法验证它是否为极值点；第三步，求出函数在极值点处的函数值(即函数的极大值或极小值).判别法Ⅰ 设0x 为连续函数)(x f 在区间),(b a 内的临界点(驻点或没有导数的点).若有足够小的正数δ，使(见图2-24)⑴)(x f 在),(00x x δ-内是增大的且在),(00δ+x x 内又是减小的，则)(0x f 是极大值； 图2-23x图2-21[或] [或]⑵)(x f 在),(00x x δ-内是减小的且在),(00δ+x x 内又是增大的，则)(0x f 是极小值；[或0)(<'x f ] [或0)(>'x f ]⑶)(x f 在),(00δδ+-x x 内是增大的或是减小的，则)(0x f 不是极值.当0x 为函数)(x f 的驻点且0)(0≠''x f 时，就用下面的判别法Ⅱ.判别法Ⅱ 设0x 为函数)(x f 在区间),(b a 内的驻点[即0)(0='x f ].若有二阶导数0)(0≠''x f ，则⑴ 当0)(0<''x f 时，)(0x f 是极大值； ⑵ 当0)(0>''x f 时，)(0x f 是极小值.[当0)(0=''x f 时，函数)(x f 在点0x 是否取到极值，需要做进一步的讨论]证 根据例22（§2-5），则有222200000011()()()()()()()()22f x h f x f x h f x h o h f x f x h o h '''''+=+++=++于是得 20001()()[()(1)]2f x h f x f x o h ''+-=+ 因为0)(0≠''x f ，所以当||h 足够小时，)]1()([0o x f +''与)(0x f ''同符号.因此，有正数δ，使当0||h δ<≤时，0()f x h +0()f x -=000,()00,()0f x f x ''<<⎧⎨''>>⎩ 这就是要证的结论.例23 求函数1323-+=x x y 的极值.解 2363(2)y x x x x '=+=+，666(1)y x x ''=+=+由0='y 得驻点122,0x x =-=.因为2060,60x x y y =-=''''=-<=>，所以31)2(3)2(232=--+-=-=x y 是极大值； 01x y ==-是极小值.【注】若函数()f x 在点0x 没有导数或二阶导数0()0f x ''=，就去用上面的判别法Ⅰ.2.函数的最大(小)值(又称为绝对极值) 函数的最大(小)值是指函数在定义域或定义域中某个区间上的最大(小)值.求连续函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最大值和最小值时，方法更简单：第一步，先求出)(x f 在开区间),(b a 内的临界点；并求出)(x f 在所有临界点上的函数值.(1) 0图2-24 (2)(3)第二步，把以上函数值与区间端点上的函数值)(a f 和)(b f 放在一起做比较，其中最大者就是函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最大值，最小者就是函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最小值.非闭区间上的连续函数可能没有最大值或最小值.在这种情形下，就要根据具体问题，经过分析后才能确定某个函数值是最大值或最小值.例如，⑴ 函数)(x f 在区间),[b a 上增大(减小)时，)(a f 就是最小值(最大值)；⑵ 函数)(x f 在区间],(b a 上增大(减小)时，)(b f 就是最大值(最小值)；⑶ 设有点),(b a c ∈. 若函数)(x f 在区间],(c a 上增大且又在区间),[b c 上减小，则)(c f 就是最大值；若函数)(x f 在区间],(c a 上减小且又在区间),[b c 上增大，则)(c f 就是最小值.例24 证明不等式：)0(1e >+>x x x .证 令)0()1(e )(≥+-=x x x f x ，则)(x f 在),0[+∞上是连续函数.因为)0(01e )(>>-='x x f x [即函数()f x 是增函数]所以(0)0f =是最小值.因此，()0(0)f x x >>，即)0(1e >+>x x x .例25 证明：函数)10()(<<-=αααx x x f 在区间),0(+∞内有最大值α-=1)1(f . 由此再证明近代数学中著名的赫尔窦(H ölder)不等式:11110,0,0,0;1p q ab a b a b p q p qp q ⎛⎫≤+>>>>+= ⎪⎝⎭ 证 由0)1()(11=-=-='--αααααx x x f 得驻点1=x . 因为 当10<<x 时， 0)1()(1>-='-ααx x f [即)(x f 增大]，当+∞<<x 1时， 0)1()(1<-='-ααx x f [即)(x f 减小]，所以α-=1)1(f 是最大值.其次，令q p b a x p ==-,1α，则111qp p p p p q p q q q a a a f ab a b b b p b p --⎛⎫⎛⎫=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 而根据上述结论，即α-≤1)(x f ，则得不等式111(1)11q p q p aba b f p p q α---≤=-=-= 两端同乘q b ，并注意1=-p q q ，则得要证的不等式q p b qa p ab 11+≤. 在非闭区间上求一个函数的最大(小)值问题，常常出现在实际应用问题中.解这类问题时，首先需要根据问题本身，运用几何学或物理学或其他有关科学中的知识，列出“目标函数”(即要求它的最大值或最小值的函数)的函数式.这样，问题就变成求目标函数的最大值或最小值.例如， “当矩形周长l 为定值时，它的长和宽为何值时面积最大？”或“当矩形面积S 为定值时，它的长和宽为何值时周长最小？”设矩形的一边长为x ，则前一个问题的目标函数就是(矩形面积)()2l S x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 02l x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 而后一个问题的目标函数就是(矩形周长)()2S l x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ )0(+∞<<x 这样，问题就变成求函数)(x S 的最大值或求函数)(x l 的最小值.例26 设有闭合电路如图2-25. 它由电动势E 、内阻r 和纯电阻负载E 所构成.若E 和r 是已知常数，问负载R 为何值时，电流的电功率最大？解 根据电学的知识，闭合电路中电流的电功率为R I P 2=(I 为电流强度)而根据闭合电路的欧姆定律，电流强度R r E I +=. 因此，电功率为 22)(R r R E P += (自变量为R ) 由0='P ，即由0)()()()(2)(324222=+-=++⋅-+⋅='R r R r E R r R r R E R r E P 得r R =. 因此，当负载r R =(内阻)时，电功率取到最大值r E P 4/2=.例27 由材料力学的知识，横截面为矩形的横梁的强度是2h x k =ε(k 为比例系数，x 为矩形的宽，h 为矩形的高)今要将一根横截面直径为d 的圆木，切成横截面为矩形且有最大强度的横梁，那么矩形的高与宽之比应该是多少？解 如图2-26，因为222x d h -=，所以22()(0)kx d x x d ε=-<<.令0='x ε，即22222()2(3)0x k d x x k d x ε'=--=-=⎡⎤⎣⎦ 则得驻点x d=根据实际问题的提法，当矩形的宽/x d =强度ε取到最大值.此时，因为d dd x d h 32)3(2222=-=-= 所以2/=x h .图2-26在实际工作中，技术人员是按下面的几何方法设计的：把圆木的横截面(圆)的直径AB 分成三等份(如图2-27)，再分别自分点C 和D 向相反方向作直径AB 的垂线，交圆周后做成图中那样的矩形.这个矩形的长边与短边的比值就是2.例28 已知某工厂生产x 件产品的成本为21()2500020040C x x x =++(元) 问：⑴ 要使平均成本最小，应生产多少件产品？ ⑵ 若产品以每件500元售出，要获得最大利润，应生产多少件产品？最大利润是多少? 解 ⑴ 平均成本为x x x x C x C 40120025000)()(++==(元/件) 让040125000)(2=+-='x x C ，则得1000=x (件).因此，生产1000件产品时平均成本最小. ⑵ 售出x 件产品时，收入为x 500(元)，而利润为=)(x L (收入)x 500-(成本))40120025000(500)(2x x x x C ++-= 212500030040x x =-+- 让020300)(=-='x x L ，则得6000=x (件).因此，生产6000件产品并全部售出时，获得的利润最大.最大利润为900000)6000(=L (元). 习 题1.求下列函数的极值(极大值或极小值)：求连续函数在定义区间内的极值时，应先找出导数等于零的点（驻点）和没有导数的点，然后按上面指出的判别法，去判别函数在这些点上是否取到极大值或极小值.⑴x x x f -=3)(； ⑵242)(x x x f -=； ⑶122)(2-+-=x x x x f ；⑷()f x x = ⑸x x x f -=e )(； ⑹x x x f ln )(=； ⑺x x x f -+=e )1()(3； ⑻3231)1()(x x x f -=.答案：⑴max minf f ⎛= ⎝；⑵1)1(,0)0(m in m ax -=±=f f ； ⑶2)2(,2)0(m in m ax =-=f f ；⑷min 34f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑸1m ax e )1(-=f ；⑹12m in e 2)e (---=f ；⑺2m ax e 27)2(-=f ；⑻max min 1(1)03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 2.求下列函数在指出区间上的最大值和最小值：⑴];2,2[,1823-+--=x x x y ⑵];1,1[,15-++=x x y⑶];2,1[,13--=x x y ⑷511,,1;12y x x ⎡⎤=-⎢⎥++⎣⎦ ⑸211,1,12x y x +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦. 答案：⑴;11,27203-⑵;1,3-⑶;443,23-⑷;31,1532⑸0,2242-. 3.设n a a a <<< 21. 当x 为何值时，函数∑=-=ni i a x x f 12)()(取最小值？答案：n a a a x n +++=21(算术平均值). 4.设.0>a 求函数||11||11)(a x x x f -+++=的最大值. 提示：把区间),(+∞-∞分成三个区间(,0),(0,),(,)a a -∞+∞. 答案：21a a++. 5.证明下面的不等式： ⑴ );01(2)1ln(2<<--<+x x x x ⑵ 12ln 1(0);21x x x ⎛⎫+>> ⎪+⎝⎭ ⑶ );0(arctan 33><<-x x x x x ⑷ 1e 1(0)x x x -≥>. 6.设有方程033=+-c x x (c 为常数).问：当c满足什么条件时，方程有:⑴三个实根，⑵两个实根，⑶一个实根？ [提示：分别研究下图⑴，⑵，⑶]答案：⑴22<<-c ；⑵2±=c ；⑶2-<c 或2>c .7.在什么条件下，方程()300x px q pq ++=≠有：⑴一个实根，⑵三个实根？提示：参考上一题的做法. 答案：⑴042723>+q p ；⑵042723<+q p . 8.确定下列各方程实根的个数，并指出只含有一个实根的区间：⑵ 第6题图⑴ 0109623=-+-x x x ； ⑵ 020********=-+--x x x x ；⑶ )0(ln ≠=k kx x ； ⑷2e (0)x ax a =>.答案：⑴一个实根，在)5,4(内；⑵两个实根，32,1221<<-<<-x x ；⑶当0<k 时有一个实根，在)1,0(内；当1e0-<<k 时有两个实根，+∞<<<<21e ,e 1x x ； 当1e -=k 时有一个实根e =x ；当1e ->k 时没有实根.⑷当4e 02<<a 时有一个实根，在)0,(-∞内；当4e 2>a 时有三个实根， 1230,02,2x x x -∞<<<<<<+∞.9.设有二阶导数)(a f ''. 证明：⑴ 若函数)(x f 在点a 取到极大值，则0)(≤''a f ；⑵ 若函数)(x f 在点a 取到极小值，则0)(≥''a f .10.设函数21()22sin (0),(0)2f x x x f x ⎛⎫=-+≠= ⎪⎝⎭. 证明：)(x f 有最大值2)0(=f ，但)(x f 在点0的左旁附近不是增大的，而且在点0的右旁附近不是减小的(这说明判别法Ⅰ中的条件不是必要的).11.应用题 ⑴设两正数x 与y 的和等于常数a (a y x =+).求)0,0(>>n m y x n m 的最大值.⑵设两正数x 与y 的乘积等于常数a (a xy =).求)0,0(>>+n m y x n m 的最小值.⑶在有一定体积的所有正圆柱体中，当底圆半径与高之比为何值时，它有最小的表面积？⑷用薄钢板做一个容积为定值v 的无盖圆柱形桶.假若不计钢板厚度和剪裁时的损耗，问桶底半径r 与高h 各为多少时，用料最省？⑸从半径为R 的圆上切掉一个扇形后，把余下部分卷成一个漏斗.问余下部分扇形的圆心角θ为何值时，卷成漏斗的容积最大？第11⑸题图⑵ ⑴ 第11⑹题图x⑹(反射定律) 如图示，由点A 经点B ，再到点C . 证明：当入射角α等于反射角β时，折线ABC 的长度最短.⑺一商家销售某种商品的价格为x p 2.07-=(万元/T)，其中x 为销售量(单位:T)；商品的成本为13+=x C (万元).（i ）若每销售一吨商品，政府要征税t 万元，求商家获最大利润时的销售量；（ii ）t 为何值时，政府税收的总额最大？答案：⑴n m n m n m n m n m a +++)(；⑵n m n m mn n m a n m +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1)(；⑶1∶2；⑷r h ==⑸2θ=弧度)；⑺（i ）t x 5.210-=；（ii ）2=t .。
函数的极值与最大值最小值
函数的极值与最大值最小值在数学中，对于一个给定的函数，我们常常关心它的极值以及最大值和最小值。
这些概念在微积分中扮演着重要的角色，不仅在数学理论中有着深刻的意义，也在实际问题中有着广泛的应用。
1. 极值的定义极值是指函数在某个区间内取得的局部最大值或最小值。
具体来说，设函数f(x)在区间I上有定义，若存在$x_0 \\in I$，使得对任意$x\\in I$，有$f(x)\\leqf(x_0)$或者$f(x) \\geq f(x_0)$，则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的一个极大值或极小值。
2. 求极值的方法常见求函数极值的方法有：•导数法：通过求函数的导数（一阶导数或高阶导数）来找到函数的驻点，然后通过二阶导数的符号来判断是极大值还是极小值。
•边界法：求出函数在区间端点处的函数值，以及在可能的间断点处的函数值，然后比较这些值来确定最大值和最小值。
•微分中值定理：借助中值定理的思想，将函数f(x)在区间I上的极值归结为函数导数在该区间上的零点问题。
3. 最大值与最小值与极值类似，函数的最大值和最小值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。
最大值可以是有限值，也可以是无穷大；最小值也可以是有限值，也可以是负无穷。
4. 求最大值最小值的方法确定函数的最大值和最小值，主要采用以下方法：•导数法：同样利用导数的性质来判断函数的最大值和最小值，这一点与求极值的方法类似。
•二次型法：当函数为二次函数时，可以通过完全平方的方式将其转化为标准形式，进而求得最值。
•辅助线法：有时候在求最值的过程中，通过引入一条辅助线，并考虑其和原函数之间的关系，来得到最值的情况。
5. 总结函数的极值和最值是微积分中一个重要的概念，通过对函数的极值和最值进行研究，我们可以更好地理解函数的性质，优化问题和实际问题也经常涉及到函数的极值和最值。
因此，熟练掌握求解函数极值和最值的方法是数学学习中的关键一环。
函数的极值与最大值最小值
∴ f (x) 在 x = ±1处没有极值. 说明 极值的判别法 (定理2 ~ 定理4) 都是充分的. 当这些充分条件不满足时，不能说明极值不存在. 无极值的判断 ① 无可疑极值点的函数必无极值；
② 单调函数无极值； ③ 无定义的点一定不是极值点.
2 x2 的极值. 例5 求函数 f ( x) 2 (1 x)
① 求出 f (x) 在 (a , b) 内的驻点 x1 , x2 , 及不可导点 xm1 , xm2 ,
, xn ;
, xm
② 计算 f ( xi ) (i 1,2, , n) 及 f (a) , f (b) ; ③ 比较大小.
最大值：
M max f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ), f (a), f (b) , f ( xn ), f (a), f (b)
所以，极大值为 f (1) 10 , 极小值为 f (3) 22 .
例4 求函数 f ( x) ( x 2 1)3 1 的极值. 解
f ( x) 6 x ( x 2 1) 2 , f ( x) 6( x 2 1)(5 x 2 1)
令 f ( x) 0, 得驻点 x1 0, x2 1, x3 1
L( x ) R ( x ) C ( x ) ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
那么生产多少件产品时，利润函数 L(x) 最大？ 解题思路
① 根据题意建立数学模型，即写出利润函数；
② 对利润函数求最值.
例7 已知某厂生产 x 件产品的成本为 1 2 C ( x) 25000 200 x x (元). 40 若产品以每件 500 元售出，要使利润最大，应生产 多少件产品？
1 2 解 利润函数为 L( x) 25000 300 x x 40
第3章 3.3.2 函数的极大值和极小值
3．3.2函数的极大值和极小值[读教材·填要点]1．极大值和极小值(1)极大值：设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都小于f(x0)(即f(x)<f(x0)，x∈(a，b))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，x0称为f(x)的一个极大值点．(2)极小值：设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都大于f(x0)(即f(x)>f(x0)，x∈(a，b))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，x0称为f(x)的一个极小值点．(3)极值：极大值和极小值统称极值，极大值点和极小值点统称为极值点．2．函数极值的求法(1)求导数f′(x)；(2)求f(x)的驻点，即求f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在驻点左右的符号，如果在驻点左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个驻点处取得极大值；如果在驻点的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个驻点处取得极小值．[小问题·大思维]1．导数为0的点都是极值点吗？提示：不一定．y＝f(x)在x＝x0及附近有定义，且f′(x0)＝0，y＝f(x)是否在x＝x0处取得极值，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否异号．例如f(x)＝x3，由f′(x)＝3x2知f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．2.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？提示：由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f′(x)>0；在区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)<0.即f(x)在(a，x1)内单调递增，在(x1，x2)内单调递减，在(x2，x3)内单调递增，在(x3，b)内单调递减．所以，函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值点，极小值点为x＝x2.3．函数y＝f(x)在给定区间上一定有极值点吗？极大值是否一定比极小值大？提示：(1)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．(2)极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 4－2x 2；(2)f (x )＝x 2e －x .[自主解答] (1)函数f (x )的定义域为R. f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)．令f ′(x )＝0，得驻点x ＝0，或x ＝－1，或x ＝1. 列表：当x ＝0时，函数有极大值，且f (0)＝0； 当x ＝－1，或x ＝1时，函数有极小值， 且f (－1)＝f (1)＝－1. (2)函数的定义域为R.f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x 2e x ′＝(x 2)′e x －(e x )′x 2(e x )2＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x ＝－e －x x (x －2)．令f ′(x )＝0，得驻点x ＝0，或x ＝2. 列表：当x ＝0时，函数有极小值，且f (0)＝0； 当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e2.求可导函数f (x )极值的步骤：①求函数的导数f′(x)；②令f′(x)＝0，求驻点x0；③列表，方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在这个表格内；④判断得结论，若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．1．求下列函数的极值．(1)f(x)＝ln xx；(2)f(x)＝2xx2＋1－2.解：(1)函数f(x)＝ln xx的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1－ln xx2.由f′(x)＝0得ln x＝1，即x＝e.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：所以f(x)极大值＝f(e)＝1e，无极小值．(2)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝2(x2＋1)－4x2(x2＋1)2＝－2(x－1)(x＋1)(x2＋1)2.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：且f(x)极小值＝f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且f(x)极大值＝f(1)＝－1.已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0.求a ，b 的值．[自主解答] ∵f (x )在x ＝－1时有极值0且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数．所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.若将“在x ＝－1时有极值0”改为“在x ＝－1和x ＝3处有极值”，如何求解？ 解：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ， ∵－1,3是f (x )的极值点， ∴－1,3是f ′(x )＝0的两个根， 即－1,3是3x 2＋6ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎨⎧－6a3＝－1＋3，b3＝(－1)×3，解得a ＝－1，b ＝－9.解决此类问题通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．2．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由．解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由f′(－1)＝f′(1)＝0，得：3a＋2b＋c＝0, 3a－2b＋c＝0.又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.∴a＝12，b＝0，c＝－32.(2)由(1)可得f(x)＝12x3－32x，∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)．当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数．∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y ＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．[自主解答]因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1.所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0.所以由f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.作出f(x)的大致图象如图所示：因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(－3,1)．若本例中条件改为“已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4”在x ＝43处取得极值，其他条件不变，求m 的取值范围．解：由题意可得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f ′⎝⎛⎭⎫43＝0， 可得a ＝2，所以f (x )＝－x 3＋2x 2－4， 则f ′(x )＝－3x 2＋4x .令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝43，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：作出函数f (x )的大致图象如图所示：因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－4，－7627.利用导数求极值，要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论，在存在极值的情况下，求出极值．3．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝⎛⎭⎫－13＝527＋a ， 极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1.由此可知x 取足够大的正数时有f (x )＞0，x 取足够小的负数时有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．结合f (x )的单调性可知，当f (x )的极大值527＋a ＜0，即a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－527时它的极小值也小于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在(1，＋∞)上；当f (x )的极小值a －1＞0，即a ∈(1，＋∞)时它的极大值也大于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在⎝⎛⎭⎫－∞，－13上．所以当a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点.a 为何值时，方程x 3－3x 2－a ＝0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根，有没有可能无实根？[巧思] 方程x 3－3x 2－a ＝0根的个数，即为直线y ＝a 和函数f (x )＝x 3－3x 2图象交点的个数，因此可借助函数的单调性和极值画出函数f (x )＝x 3－3x 2的图象，然后借助图象判断根的个数．[妙解] 令f (x )＝x 3－3x 2， 则f (x )的定义域为R ，由f ′(x )＝3x 2－6x ＝0， 得x ＝0或x ＝2，所以当x ＜0或x ＞2时，f ′(x )＞0； 当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0.函数f (x )在x ＝0处有极大值0，在x ＝2处有极小值－4，如图所示，故当a ∈(－∞， －4)∪(0，＋∞)时，原方程有一个根； 当a ＝0或a ＝－4时，原方程有两个不等实根；当a ∈(－4,0)时，原方程有三个不等实根；由图象可知，原方程不可能无实根．1．下列结论中，正确的是( ) A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果f ′(x 0)＝0且在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值C ．如果f ′(x 0)＝0且在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极小值D ．如果f ′(x 0)＝0且在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极大值 解析：根据极值的概念，左侧f ′(x )>0，单调递增；右侧f ′(x )<0，单调递减，f (x 0)为极大值．答案：B2．函数f (x )＝32x 2－ln x 的极值点为( )A ．0,1，－1 B.33C ．－33 D.33，－33解析：由已知，得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝3x －1x ＝3x 2－1x ，令f ′(x )＝0，得x ＝33⎝⎛⎭⎫x ＝－33舍去. 当x ＞33时，f ′(x )＞0；当0＜x ＜33时，f ′(x )＜0. 所以当x ＝33时，f (x )取得极小值．从而f (x )的极小值点为33，无极大值点，选B. 答案：B3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3， 则f ′(－3)＝27－6a ＋3＝0. ∴a ＝5. 答案：D4．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中正确的是________．①当x ＝32时函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时函数取得极小值； ④当x ＝1时函数取得极大值．解析：由图象可知，当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值，故②③④正确．答案：②③④5．函数f (x )＝ax 2＋bx 在x ＝1a 处有极值，则b 的值为________．解析：f ′(x )＝2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝1a 处有极值， ∴f ′⎝⎛⎭⎫1a ＝2a ·1a ＋b ＝0，即b ＝－2. 答案：－2 6．求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值． 解：函数的定义域为R.f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1，或x ＝1. 列表：由上表可以看出：当x ＝－1时，函数有极小值，且f (－1)＝－22－2＝－3；当x ＝1时，函数有极大值，且f (1)＝22－2＝－1.一、选择题1．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( )A ．2B ．2，－1C ．－1D ．－3解析：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x －2)(x ＋1)， ∵在x ＝－1的附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，∴x ＝－1时取极小值． 同理可知x ＝2时取极大值． 答案：C2．如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，下列说法错误的是( )A ．－2是函数y ＝f (x )的极小值点B ．1是函数y ＝f (x )的极值点C ．y ＝f (x )在x ＝0处切线的斜率大于零D ．y ＝f (x )在区间(－2,2)上单调递增解析：由图象可知f ′(1)＝0，但是当－2<x <1时，f ′(x )>0，且当1<x <2时，f ′(x )>0.故1不是函数f (x )的极值点．答案：B3．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于点(1,0)，则f (x )的极值情况为( ) A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为427C ．极小值为－427，极大值为0D ．极大值为－427，极小值为0解析：f ′(x )＝3x 2－2px －q ，根据题意，x ＝1是函数的一个极值点，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，所以f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝13.易判断当x ＝13时，f (x )有极大值为427，当x ＝1时，f (x )有极小值为0.答案：A4．设函数f (x )＝e x sin x ，x ∈[0，π]，则( ) A.π2为f (x )的极小值点 B.π2为f (x )的极大值点 C.3π4为f (x )的极小值点 D.3π4为f (x )的极大值点 解析：∵f (x )＝e x sin x ，∴f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )＝2e x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，由f ′(x )≤0，得sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤0， ∴2k π＋π≤x ＋π4≤2k π＋2π，k ∈Z ，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z.∵x ∈[0，π]，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π4上单调递增， f (x )在⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减，∴x ＝3π4为f (x )的极大值点．答案：D 二、填空题5.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导数f ′(x )的图象如图所示，则函数的极小值是________．解析：由图象可知，当x ＜0时， f ′(x )＜0，当0＜x ＜2时，f ′(x )＞0， 故x ＝0时函数f (x )取极小值f (0)＝c . 答案：c6．已知实数a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝3x －x 3的极大值点坐标为(b ，c )，则ad ＝________.解析：∵y ′＝3－3x 2，令y ′＝0得x ＝±1， 且当x >1时，y ′<0， 当－1≤x ≤1时，y ′≥0， 当x <－1时，y ′<0，故x ＝1为y ＝3x －x 3的极大值点，即b ＝1， 又c ＝3b －b 3＝3×1－1＝2，∴bc ＝2. 又∵a ，b ，c ，d 成等比数列， ∴ad ＝bc ＝2. 答案：27．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为________． 解析：y ′＝e x ＋a ，由y ′＝0，得x ＝ln(－a )， 由题意知ln(－a )>0，∴a <－1. 答案：(－∞，－1)8．若函数y ＝－x 3＋3x 2＋m 的极大值等于2，则实数m 等于________．解析：y ′＝－3x 2＋6x ，由y ′＝0，得x ＝0或x ＝2，容易得出当x ＝2时函数取得极大值，所以－23＋3·22＋m ＝2，解得m ＝－2.答案：－2 三、解答题9．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．10．已知函数f (x )＝ax －ae x(a ∈R ，a ≠0)． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的极值；(2)若函数F (x )＝f (x )＋1没有零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋1e x ，f ′(x )＝x －2ex . 由f ′(x )＝0，得x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的极小值为f (2)＝－1e 2，函数f (x )无极大值．(2)F ′(x )＝f ′(x )＝a e x －(ax －a )e x e 2x ＝－a (x －2)e x .①当a <0时，F (x )，F ′(x )的变化情况如下表：若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)＝ae2＋1>0，解得a>－e2，所以此时－e2<a<0；②当a>0时，F(x)，F′(x)的变化情况如下表：当x>2时，F(x)＝a(x－1)e x＋1>1，当x<2时，令F(x)＝a(x－1)e x＋1<0，即a(x－1)＋e x<0，由于a(x－1)＋e x<a(x－1)＋e2，令a(x－1)＋e2≤0，得x≤1－e2a，即x≤1－e2a时，F(x)<0，所以F(x)总存在零点，综上所述，所求实数a的取值范围是(－e2,0)．。
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B
) B.y=x2
A.y=-x3 A.y=-
C.y=x2-x
D.y=1/x
分析: 做这题需要按求极值的三个步骤, 分析 : 做这题需要按求极值的三个步骤 , 一个一个求出来吗? 不需要, 一个一个求出来吗 ? 不需要 , 因为它只要判断 x=0是否是极值点,只要看x=0点两侧的导数是否 是否是极值点, 异号就可以了. 异号就可以了.
减 极小植f(x 极小植 2) 增
f (x)
(三),导数的应用 ),导数的应用
2-x-2的极值. )=x 的极值. 例1:求f(x)=x
解:
1 f ′( x) = 2 x 1, 令f ′( x) = 0, 解得x = .列表 2
xf ′(x ) Fra bibliotek (x )(∞,
1 ) 2
1 2
1 ( ,+∞) 2
a 解: y ' = ( a ln x + bx + x) ' = + 2bx + 1 x
2
因为在x=1和x=2处,导数为 和 导数为0 因为在 处 导数为
2 a + 2b + 1 = 0 a = 3 ∴ a 1 + 4b + 1 = 0 2 b = 6
解 : y′ = e ( cos x sin x ) , 令y′ = 0,
(二),极值与导数的关系 ),极值与导数的关系 极大值与导数之间的关系
X X1左侧 X1 X1右侧
f ′(x )
f ′( x ) > 0 f ′( x ) = 0 f ′( x ) < 0
增 极大植f(x1) 极大植 减
f (x )
X
极小值与导数之间的关系
X2左侧 X2 X2右侧
f ′(x )
f ′( x ) < 0 f ′( x ) = 0 f ′( x ) > 0
注
意
在定义中, 1 , 在定义中 , 取得极值的点称为极值 极值点是 自变量(x) 的值, 极值指 (x)的值 点 , 极值点 是 自变量 (x) 的值 , 极值 指 函数值(y) 的是函数值(y). 的是函数值(y).
2,极值是一个局部概念,极值只是某个点 极值是一个局部概念, 局部概念 的函数值与它附近点的函数值比较是最大 的函数值与它附近点的函数值比较是最大 附近点 或最小, 不意味着它在函数的整个的定义 或最小,并不意味着它在函数的整个的定义 域内最大或最小. 域内最大或最小.
三,课堂练习
1,下列说法正确的是( 下列说法正确的是( 极小值大 B.函数在闭区间上的最大值一定是 极大值 x+1 |p|< C.对于f(x)=x3+px2+2x+1,若|p|< 6 , 对于f(x)=x 则f(x)无极值 f(x)无极值 D.函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值 函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值 f(x)在区间(a
函数的极大值与极小值
一,构建数学
二,新课讲授
(一),函数极值的定义 ),函数极值的定义
一般地,设函数y=f(x)在 及其附近有定义, 一般地,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义, y=f(x) 如果f(x 的值比x 附近所有各点的函数值都大, 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我 们就说f(x 是函数的一个极大值 记作y 极大值, 们就说f(x0)是函数的一个极大值,记作y极大值=f(x0), x0是极大值点. 是极大值点. 如果f(x 的值比x 附近所有各点的函数值都小, 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小, 我们就说f(x 是函数的一个极小值.记作y 我们就说f(x0)是函数的一个极小值.记作y极小值 极小值 是极小值点. =f(x0),x0是极小值点. 极大值与极小值统称为极值. 极大值与极小值统称为极值. 极值
1 解: f '( x ) = (a sin x + sin 3 x ) ' = a cos x + cos 3 x 3
∵ f '( ) = 0 , 3 π π 1 ∴ a cos + cos(3 × ) = 0 a 1 = 0
3 3 2
π
∴a=2 ∴a=2.
处有极值, 3,y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值, 求a,b的值. 的值.
0
1 极小值f ( ) 2
+
1 1 9 因此, 因此 ,当 x = 时 , f ( x ) 有极小值 f ( ) = . 有极小值f 2 2 4
小结:求函数f(x)的极值的步骤: 小结:求函数f(x)的极值的步骤: f(x)的极值的步骤 (1)求导数f (1)求导数f′(x); 求导数 (x为极值点 (2)求方程f (x)=0的根 (x为极值点.) 的根; (2)求方程f′(x)=0的根; 为极值点.) 求方程 用函数的导数为0的点, (3)用函数的导数为0的点,顺次将函 数的定义区间分成若干小开区间, 数的定义区间分成若干小开区间 , 并 列成表格. 检查f (x)在方程根左右的 列成表格 . 检查 f′(x) 在方程根左右的 值的符号,求出极大值和极小值. 值的符号,求出极大值和极小值.
1 3 例2:求 y = x 4 x + 4 的极值 1 3 3 2
3 y′=0,解得x 令y′=0,解得x1=-2,x2=2
解: y ' = ( x 4 x + 4) ' = x 4 = ( x + 2)( x 2)
当x变化时,y′,y的变化情况如下表 变化时,
x
(-∞,-2)
-2 0
28 极大值 3
�
C
)
A.函数在闭区间上的极大值一定比
1 2,函数 f ( x) = a sin x + sin 3 x 在 π 处具有极值,3 a的值 x = 处具有极值,求
3
分析:f(x)在 分析:f(x)在 x = 必要条件可知, 必要条件可知, f
π
3
'(
处有极值, 处有极值,根据一点是极值点的
π
3
可求出a的值. ) = 0可求出a的值.
(-2,2)
2 0
4 极小值 3
(2,+∞)
f ′(x )
f (x )
↗ 28 x=- 有极大值且y ∴当x=-2时,y有极大值且y极大值= 3 4
当x=2时,y有极小值且y极小值= x=2 有极小值且y
+ ↗
-
+
↘
3
例3:下列函数中,x=0是极值点的函数 3:下列函数中,x=0是极值点的函数 下列函数中 是(
x
4,求 y = e cos x的极值. 的极值.
x
即cos x sin x = 0得,x = kπ +
π
π 5π 当x ∈ 2kπ + ,2kπ + ( k ∈ Z )时,y′ < 0, f ( x ) 为减函数, 4 4 3π π 当x ∈ 2kπ ,2kπ + ( k ∈ Z )时,y′ > 0, f ( x ) 为增函数, 4 4 π 2 kπ + π 2 4, 因此当x= 2kπ + ( k ∈ Z )时, y极大值 = e 4 2
3,函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间 函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间 极值不是唯一 上或定义域内极大值或极小值可以不止一个. 上或定义域内极大值或极小值可以不止一个. 4,极大值与极小值之间无确定的大小关系即一 个函数的极大值未必大于极小值 如下图所示, 极大值未必大于极小值, 个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示, x1 是极大值点,x4是极小值点,而 f ( x4 ) > f ( x1 ) 是极大值点, 是极小值点,
4
(k ∈ Z ),
3π 2 当x= 2kπ ( k ∈ Z )时, y极小值 = 4 2
3π 2 kπ 4 . e
四,课堂小结
求函数f(x)的极值的步骤: 求函数f(x)的极值的步骤: f(x)的极值的步骤 (1)求导数f (1)求导数f′(x); 求导数 (x为极值点 (2)求方程f (x)=0的根 (x为极值点.) 的根; (2)求方程f′(x)=0的根; 为极值点.) 求方程 用函数的导数为0的点, (3)用函数的导数为0的点,顺次将函 数的定义区间分成若干小开区间, 并 数的定义区间分成若干小开区间 , 列成表格. 检查f (x)在方程根左右的 列成表格 . 检查 f′(x) 在方程根左右的 值的符号,求出极大值和极小值. 值的符号,求出极大值和极小值.