导数运用极大值与极小值(含答案)

三、探究与拓展
13．已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.
(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)当a≠ 时，求函数f(x)的单调区间与极值．
答案
1．1
2．④
3．5
4．1－3
5．3
6．9
7．③
8．9
9．1<a<4
10．解(1)函数f(x)的定义域为R.
f(x)极小值＝f(1)＝a－1.
∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，
∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，
即 ＋a<0或a－1>0，
∴a<－ 或a>1，
∴当a∈(－∞，－ )∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．
13．解(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，
极大值
↘
极小值
↗
∴f(x)极大值＝f(－m)＝－m3＋ m3＋2m3－4＝－ ，
∴m＝1.
12．解(1)f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＝0，则x＝－ 或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－ )
－
(－ ，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
当x＝2时，函数f(x)有极小值，
且f(2)＝23－12×2＝－16.
(2)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．
∵f′(x)＝ ，
令f′(x)＝0，
得x1＝－1，x2＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，
且f(－2a)＝3ae－2a.
④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
⑤当x＝－ 时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断正确的是________．(填序号)
二、能力提升
8．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于________．
9．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是________．
10．求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－12x；
(2)f(x)＝ .
11．已知f(x)＝x3＋ mx2－2m2x－4(m为常数，且m>0)有极大值－ ，求m的值．
12．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
(a－2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)内是增函数，在(－2a，a－2)内是减函数．
函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，
且f(－2a)＝3ae－2a.
函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，
且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
③函数在定义域内有一个极大值和一个极小值；
④若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数．
3．函数y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)的极大值为________．
4．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a、b的值分别为________、________.
5．若函数f(x)＝ 在x＝1处取极值，则a＝________.
f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
从表中可以看出，当x＝－2时，函数f(x)有极大值，
且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；
6．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．
7．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间 内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间 内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；
故f′(1)＝3e.
(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
由a≠ 知，－2a≠a－2.
以下分两种情况讨论：
①若a> ，则－2a<a－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2a)
－2a
(－2a，a－2)
a－2
极大值与极小值
一、基础过关
1．函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有________个．
2．下列关于函数的极值的说法正确的是________．(填序号)
①导数值为0的点一定是函数的极值点；
②函数的极小值一定小于它的极大值；
↘
极小值
↗
所以f(x)的极大值是f(－ )＝ ＋a，
极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，
有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，
所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．
由(1)知f(x)极大值＝f(－ )＝ ＋a，
－
＋
0
＋
f(x)
↗
－
↘
↗
3
↗
故当x＝－1时，函数有极大值，
并且极大值为f(－1)＝－ .
11．解∵f′(x)＝3x2＋mx－2m2＝(x＋m)(3x－2m)，
令f′(x)＝0，则x＝－m或x＝ m.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－m)
－m
m
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
②若a< ，则－2a>a－2.当x变化时，f′(x)，
f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，a－2)
a－2
(a－2，－2a)
－2a来自百度文库
(－2a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)内是增函数，
在(a－2，－2a)内是减函数．
函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，