最大值与最小值教案

班级：高二（ ）班 姓名：____________
教学目标：
1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f (x )在闭区间上所有点（包括端点a ，b ）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；
2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤．
教学重点： 利用导数求函数的最大值和最小值的方法．
教学过程：
一、问题情境
1．问题情境．函数极值的定义是什么？
2．探究活动．求函数f (x )的极值的步骤．
二、建构数学
1．函数的最大值和最小值．
观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．
图中)(1x f ,35(),()f x f x 是极小值，24(),()f x f x 是极大值．
函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．
一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 说明：
（1）在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． 如函数x
x f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； （2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的；
(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．
2．利用导数求函数的最值步骤：
由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；
（2）将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值．
三、数学运用
例1 求函数f (x )＝x 2－4x ＋3在区间内的最大值和最小值．
例2 求函数f (x )＝12
x ＋sin x 在区间上的最值．
例3．已知函数f (x )＝x 2＋ln x .
(1)求函数f (x )在上的最大值和最小值；
(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图像在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．
2.求下列函数的最大值与最小值：
（1）];3,1[,23)(-∈+=x x x f （2）];3,1[,3)(2-∈-=x x x x f
（3）];3,31
[,1
)(∈+=x x x x f
（4）].2,0[,sin 21)(π∈+=x x x x f
3.求函数]2,0[,3∈-=x x x y 的值域.
4.求函数,(0,1]x y e x x =-∈的值域.
班级：高二（ ）班 姓名：____________
1.求下列函数在所给区间上的最大值与最小值：
（1）]2,0[,21∈+-=x x x y ； （2）]2
,2[,cos 21ππ-∈-=x x x y
2.求下列函数的值域：
（1）]3,1[,1
1∈++=x x x y ； （2）]3,2[,5323-∈+-=x x x y ；
（3）]2,0[,sin π∈+=x x x y ； （4）22ln y x x =-
3．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.
(1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间．。