极大值点与极小值点
高中数学《函数的极值》知识点讲解及重点练习
5.3.2 函数的极值与最大(小)值第1课时 函数的极值学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一 函数极值的定义1．极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．知识点二 函数极值的求法与步骤1．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．2．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)列表；(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．1．导数为0的点一定是极值点．( × )2．函数的极大值一定大于极小值．( × )3．函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．( × )4．函数的极值点是自变量的值，极值是函数值．( √ )一、求函数的极值例1 求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5；(2)f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．解 (1)f ′(x )＝3x 2－6x －9，令f ′(x )＝0，即3x 2－6x －9＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f ′(x )＋0－0＋f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝－1时，函数y ＝f (x )有极大值，且f (－1)＝10；当x ＝3时，函数y ＝f (x )有极小值，且f (3)＝－22.(2) f (x )＝x －a ln x 的定义域为(0，＋∞)，由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0，知①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．反思感悟 函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域．(2)求方程f ′(x )＝0的根．(3)用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．(4)由f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，来判断f (x )在这个根处取极值的情况．跟踪训练1 (1)求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值．解 函数f (x )的定义域为R .f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f ′(x )－0＋0－f (x )↘极小值↗极大值↘由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3；当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1.(2)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋1，a ∈R .求此函数的极值．解 函数的定义域为{x |x ≠0}，f ′(x )＝1－ax 2＝x 2－ax2.当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时函数f (x )在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递增，此时函数无极值．当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－a )－a (－a ，0)(0，a )a (a ，＋∞)f ′(x )＋0－－0＋f (x )↗极大值↘↘极小值↗由上表可知，当x ＝－a 时，函数取得极大值f (－a )＝－2a ＋1.当x ＝a 时，函数取得极小值f (a )＝2a ＋1.综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝－a 处取得极大值－2a ＋1，在x ＝a 处取得极小值2a ＋1.二、由极值求参数的值或取值范围例2 (1)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则a ＝________，b ＝________.答案 4 －11解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意得Error!即Error!解得Error!或Error!但由于当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故f (x )在R 上单调递增，不可能在x ＝1处取得极值，所以Error!不符合题意，应舍去．而当a ＝4，b ＝－11时，经检验知符合题意，故a ，b 的值分别为4，－11.(2)已知函数f (x )＝13x 3－12(m ＋3)x 2＋(m ＋6)x (x ∈R ，m 为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m 的取值范围．解 f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6.因为函数f (x )在(1，＋∞)内有两个极值点，所以f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6在(1，＋∞)内与x 轴有两个不同的交点，如图所示．所以Error!解得m >3.故实数m 的取值范围是(3，＋∞)．反思感悟 已知函数的极值求参数的方法(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．跟踪训练2 (1)若函数f (x )＝ax －ln x 在x ＝22处取得极值，则实数a 的值为( )A.2B.22C ．2 D.12答案 A解析 因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(22)＝0，即a －122＝0，解得a ＝2.(2)已知函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1.①若函数的极大值点是－1，求a 的值；②若函数f (x )有一正一负两个极值点，求a 的取值范围．解 ①f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意得，f ′(－1)＝1＋2＋a ＝0，解得a ＝－3，则f ′(x )＝x 2－2x －3，经验证可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值，故a ＝－3.②由题意得，方程x 2－2x ＋a ＝0有一正一负两个根，设为x 1，x 2，则x 1x 2＝a <0，故a 的取值范围是(－∞，0)．三、利用函数极值解决函数零点(方程根)问题例3 已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围．解 由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，13 f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m .则由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图象与x 轴有三个不同的交点．∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)，∴令g ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：x (－∞，23)23(23，4)4(4，＋∞)g ′(x )＋0－0＋g (x )↗极大值↘极小值↗则函数g (x )的极大值为g (23)＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m .由g (x )的图象与x 轴有三个不同的交点，得Error!解得－16<m <6827.∴实数m 的取值范围为(－16，6827).反思感悟 (1)利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．(2)解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值．跟踪训练3 若函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象与直线y ＝a 恰有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是________．答案 (－43，283)解析 ∵f (x )＝13x 3－4x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f ′(x )＋0－0＋f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝－2时，函数取得极大值f (－2)＝283；当x ＝2时，函数取得极小值f (2)＝－43.且f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示，结合图象知－43<a <283.1．(多选)函数f (x )的定义域为R ，它的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，则下面结论正确的是( )A．在(1,2)上函数f(x)单调递增B．在(3,4)上函数f(x)单调递减C．在(1,3)上函数f(x)有极大值D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点答案 ABC解析 由题图可知，当1＜x＜2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当2＜x＜4时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当4＜x＜5时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，∴x＝2是函数f(x)的极大值点，x＝4是函数f(x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．2．(多选)已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是( )A．(－∞，2) B．(3，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，3)答案 AB解析 ∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，∴f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15，∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，由f′(x)＞0得x＜2或x＞3.3．设函数f(x)＝x e x，则( )A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点答案 D解析 令f′(x)＝e x＋x·e x＝(1＋x)e x＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f′(x)＜0；当x＞－1时，f′(x)＞0.故x＝－1为f(x)的极小值点．4．函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________．答案 2解析 由f ′(x )＝3x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝2.列表如下：x (－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f ′(x )＋0－0＋f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝2时，f (x )取得极小值．5．已知曲线f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23是y ＝f (x )的极值点，则a ＝___________，b ＝________.答案 2 －4解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意知Error!即Error!解得Error!经验证知符合题意．1．知识清单：(1)函数极值的定义．(2)函数极值的判定及求法．(3)函数极值的应用．2．方法归纳：方程思想、分类讨论．3．常见误区：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件．1．下列函数中存在极值的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝x －e xC ．y ＝2D ．y ＝x 3答案 B解析 对于y ＝x －e x ，y ′＝1－e x ，令y ′＝0，得x ＝0.在区间(－∞，0)上，y ′>0；在区间(0，＋∞)上，y ′<0.故当x ＝0时，函数y ＝x －e x 取得极大值．2．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)答案 D解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．3．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e)上的极大值为( )A ．－e B ．－1C ．1－e D ．0答案 B解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1，e)时，f ′(x )<0，故f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.4．已知a 是函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a 等于( )A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．2答案 D解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减，∴f (x )的极小值点为a ＝2.5．(多选)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的值可以是( )A ．－4 B ．－3 C ．6 D ．8答案 AD解析 由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)＝0有两个不相等的根，所以Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，解得a >6或a <－3.6．f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极小值为________．答案 －12解析 f ′(x )＝2(x 2＋2)－2x (2x ＋1)(x 2＋2)2＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2.令f ′(x )<0，得x <－2或x >1；令f ′(x )>0，得－2<x <1.所以f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，在(－2,1)上单调递增，所以f (x )极小值 ＝f (－2)＝－12.7．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点，则常数a ＝________.答案 －23解析 因为f ′(x )＝ax ＋2bx ＋1，由题意得Error!所以a ＝－23.8．已知关于x 的函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc ，如果函数f (x )在x ＝1处取得极值－43，则b ＝________，c ＝________.答案 －1 3解析 f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，由Error!解得Error!或Error!若b ＝1，c ＝－1，则f ′(x )＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2≤0，此时f (x )没有极值；若b ＝－1，c ＝3，则f ′(x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)，当－3<x <1时，f ′(x )>0，当x >1时，f ′(x )<0，所以当x ＝1时，f (x )有极大值－43.故b ＝－1，c ＝3即为所求．9.设函数f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．解 (1)f ′(x )＝a x －12x 2＋32(x >0)．由题意知，曲线在x ＝1处的切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上单调递增．故f (x )在x ＝1处取得极小值，极小值为f (1)＝3，无极大值．10．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a .(1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？解 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1.令f ′(x )＝0，得x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－13)－13(－13，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值 ↗∴f(x)的极大值是f (－13)＝527＋a，极小值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f (－13)＝527＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，即527＋a<0或a－1>0，∴a<－527或a>1，∴当a∈(－∞，－527)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．11．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )答案 C解析 因为f(x)在x＝－2处取得极小值，所以当x＜－2时，f(x)单调递减，即f ′(x )＜0；当x ＞－2时，f (x )单调递增，即f ′(x )＞0.所以当x ＜－2时，y ＝xf ′(x )＞0；当x ＝－2时，y ＝xf ′(x )＝0；当－2＜x ＜0时，y ＝xf ′(x )＜0；当x ＝0时，y ＝xf ′(x )＝0；当x ＞0时，y ＝xf ′(x )＞0.结合选项中的图象知选C.12．函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________．答案 y ＝－1e解析 由题意知y ′＝e x ＋x e x ，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为(－1，－1e )，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y ＝－1e.13．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为________．答案 [1,5)解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2x －a ，函数f (x )在区间(－1,1)上恰有一个极值点，即f ′(x )＝0在(－1,1)内恰有一个根．又函数f ′(x )＝3x 2＋2x －a 的对称轴为x ＝－13.∴应满足Error!∴Error!∴1≤a <5.14．若函数f (x )＝x 3－3ax ＋1在区间(0,1)内有极小值，则a 的取值范围为________．答案 (0,1)解析 f ′(x )＝3x 2－3a .当a ≤0时，在区间 (0,1)上无极值．当a >0时，令f ′(x )>0，解得x >a 或x <－a .令f ′(x )<0，解得－a <x <a .若f (x )在(0,1)内有极小值，则0<a <1.15．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，且f (x )在x ＝x 0与x ＝2处取得极值，则f (1)＋f (－1)的值一定( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．小于或等于0答案 B解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .令f ′(x )＝0，则x 0和2是该方程的根．∴x 0＋2＝－2b 3a <0，即b a>0.由题图知，f ′(x )<0的解集为(x 0,2)，∴3a >0，则b >0，∵f (1)＋f (－1)＝2b ，∴f (1)＋f (－1)>0.16．设函数f (x )＝x 33－(a ＋1)x 2＋4ax ＋b ，其中a ，b ∈R .(1)若函数f (x )在x ＝3处取得极小值12，求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)若函数f (x )在(－1,1)上只有一个极值点，求实数a 的取值范围．解 (1)因为f ′(x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋4a ，所以f ′(3)＝9－6(a ＋1)＋4a ＝0，得a ＝32.由f (3)＝13×27－52×9＋4×32×3＋b ＝12，解得b ＝－4.(2)因为f ′(x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋4a ＝(x －2a )(x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝2a 或x ＝2.当a >1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，2)，(2a ，＋∞)；当a ＝1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a <1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，2a )，(2，＋∞)．(3)由题意可得Error!即Error!解得－12<a<12，所以实数a的取值范围是(－12，12).。
函数的极大值与极小值(使用)
3、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间 上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一
个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示。
x1
x4
f(x4)f(x1)
观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研
究方法,看极值与导数之间有什么关系?
y
oa
y
x0 b x
f(x) >0 f(x) =0 f(x) <0
由 f(－1)＝－1－12＋2＋c＝32，得 c＝1.
∴f(x)＝x3－12x2－2x＋1.∴f′(x)＝3x2－x－2. 当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－23) －23 (－23，1) 1 (1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
∴f(x)的递增区间为(－∞，－23)和(1，＋∞)，递 减区间为(－23，1)． 当 x＝－23时，f(x)有极大值，f(－23)＝4297； 当 x＝1 时，f(x)有极小值，f(1)＝－12.
在极大值点附近 y
y=f(x) f (x)>0
f (x)<0
•极值点处的导数不一定是存在的；
f (x)<0
f (x)>0
•导数为0的点不一定是极值点；
O a在极小x值1 点附近•x若2 极值点b x处的导数存在，则一定为0
1、如果在x0附近的左侧f ’(x)>0，右侧f ’(x)<0， 则f (x0)是极大值； 2、如果在x0附近的左侧f ’(x)<0，右侧f ’(x)>0， 则f (x0)是极小值；
极值判别法知识点总结
极值判别法知识点总结极值判别法是数学分析中的一种重要的方法，用于求解函数的最大值和最小值问题。
在高等数学、微积分等课程中，极值判别法是一个重要的内容，对于理解函数的性质和求解实际问题都具有重要意义。
下面将对极值判别法的相关知识点进行总结。
一、极值的概念在解析几何中，极值通常指的是函数的最大值和最小值。
设函数f(x)在区间(a,b)上有定义，在点x0处取得了极值的情况，分别称x0为函数f(x)的极大值点和极小值点。
如果在x0处左极限和右极限都存在，且f(x)在x0处取得了极大值或极小值，则称f(x)在x0处有极值，x0为极值点。
如果f(x0)是f(x)在区间(a,b)上的最大值，则称f(x0)是f(x)在(a,b)上的最大值，简称最大值；如果f(x0)是f(x)在区间(a,b)上的最小值，则称f(x0)是f(x)在(a,b)上的最小值，简称最小值。
二、函数的极值判别法1.必要条件与充分条件如果函数f(x)在点x0处可导，并且取得了极值，则f'(x0)=0。
这是函数极值的一个必要条件。
但是，对于函数的充分条件来说，如果函数f(x)在某点x0可导并且f'(x0)=0，那么极值不一定存在，即可以是极值也可能不是极值点。
所以f'(x0)=0只是极值的一个必要条件，而不是充分条件。
2.李松法求极值设函数f(x)在区间(a,b)上可导，x0为开区间(a,b)上的驻点，则有：（1）若x0为极大值点，且f"(x0)存在，则f"(x0)<0；（2）若x0为极小值点，且f"(x0)存在，则f"(x0)>0。
3.二阶导数判别法设函数f(x)在点x0处二阶可导，如果满足以下条件：（1）f'(x0)=0；（2）f"(x0)>0，那么f(x)在x0处取得极小值；（3）f"(x0)<0，那么f(x)在x0处取得极大值。
极值判断方法
极值判断方法是一种用于确定函数的最大值和最小值的数学方法。
以下是两种常见的极值判断方法：
1. 导数法（一阶导数法）：该方法基于函数在极值点处的导数为零的性质。
首先，求函数的导数，并找出导数为零的点，这些点可能是函数的极值点。
然后，通过求取导数的二阶导数来确定这些点的极值类型。
若二阶导数为正，则该点为函数的极小值点；若二阶导数为负，则该点为函数的极大值点。
2. 边界点法：该方法适用于在给定的闭区间内寻找函数的最大值和最小值。
首先，计算函数在区间的端点处的函数值，然后计算函数在区间内的临界点处的函数值。
最后，比较所有这些函数值，找出最大值和最小值。
这个方法适用于函数在闭区间上是连续的情况。
需要注意的是，极值判断方法可以用于一元函数和多元函数。
在多元函数的情况下，需要对每个自变量求偏导数，并解出偏导数为零的方程组，以确定极值点。
这些方法是常用的极值判断方法，但在具体应用时还需要考虑函数的性质和特点，并结合具体问题进行分析和判断。
4.3.2函数的极大值和极小值
6
6
即y=f′(x)关于直线x=- a 对称.
6
从而由题设条件知- a =- 1 ,即a=3.
62
又由于f′(1)=0,即6+2a+b=0,
得b=-12.
②由①知f(x)=2x3+3x2-12x+1, 所以f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2), 令f′(x)=0,即6(x-1)(x+2)=0,解得x=-2或x=1. 当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0, 即f(x)在(-∞,-2)上单调递增;
因为ex>0,所以y=f′(x)的零点就是g(x)=-ax2+
(2a-b)x+b-c的零点,且f′(x)与g(x)符号相同.
又因为a>0,所以-3<x<0时, g(x)>0,即f′(x)>0, 当x<-3或x>0时,g(x)<0,即f′(x)<0, 所以f(x)的单调增区间是(-3,0), 单调减区间是(-∞,-3),(0,+∞).
2.(2017·全国卷Ⅱ)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1
的极值点,则f(x)的极小值为 ( )
A.-1
B.-2e-3 C.5e-3
D.1
【解析】选A.由题可得f′(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax1)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1,因为f′(-2)=0,所以a= -1,f(x)=(x2-x-1)ex-1,故f′(x)=(x2+x-2)ex-1,令 f′(x)>0,解得x<-2或x>1,所以f(x)在(-∞,-2)和 (1,+∞)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,所以f(x) 的极小值=f(1)=(1-1-1)e1-1=-1.
函数的极值,最大值与最小值
m
x1
x2
x3
x4
x5
例4. 求 y 2 x 3x 12 x 14 在 [3,4] 上的最大值与最小值. 2 解: y 6 x 6 x 12 6( x 2)( x 1), 令 y 0, 得驻点 x1 2, x2 1. 因为
3 2
f (3) 23, f (2) 34, f (1) 7, f (4) 142,
(1) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极大值点.
(2) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极小值点.
如果f(x)在x0的两侧保持相同符号, 则x0 不是f(x)的极值点.
x x0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0, 当 x x0 时, x x x x0 f ( x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) 0, 0, 所以 f ( x0 ) lim x x x x0 x x0
(1) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极大值点.
(2) 当x x0时, f ( x) 0,当x x0时, f ( x) 0，
则x0为f ( x)的极小值点.
说明: 对于情形(1)，由判别定理可知, 当 x x0 时, f(x)单调增加, 当 x x0 时, f(x)单调减少, 因此可知x0为f(x)的极大值点. 同理可说明情形(2).
特殊情况下的最大值与最小值: 若 f(x)在一区间(有限或无限 开或闭)内可导且 有且只有一个驻点x0 则： 当f(x0)是极大值时 f(x0)就是f(x)在该区间上的 最大值 当f(x0)是极小值时 f(x0)就是f(x)在该区 区间上的最小值
极大值极小值知识点-概述说明以及解释
极大值极小值知识点-概述说明以及解释1.引言1.1 概述极值问题是数学分析中的一个重要内容，它在数学、物理、经济等领域都有着广泛的应用。
极大值和极小值是函数在一定区间内取得的最大值和最小值，它们是优化问题中的关键概念。
本文将从极值的基本概念出发，介绍如何求解极值，以及极值在实际问题中的应用。
让我们一起深入了解极值的知识，掌握求解极值的方法，从而更好地应用于实际问题中。
1.2 文章结构文章结构部分是对整篇文章的框架和内容进行概述和介绍。
在这一部分，我们将简要介绍本文的章节安排和各个部分的主要内容。
第一部分是引言部分，包括概述本文要讨论的内容、文章结构和目的。
在引言部分，我们将简要介绍极大值和极小值的概念，以及为什么学习这些知识点是重要的。
第二部分是正文部分，包括极大值的概念、求解极大值的方法和极小值的概念。
在这一部分，我们将详细讨论极大值和极小值的含义，以及如何通过不同的方法来求解极值的问题。
第三部分是结论部分，包括总结极值概念、应用实例和展望。
在结论部分，我们将对本文所讨论的内容进行总结，并展示极大值和极小值在实际问题中的应用和未来的发展方向。
通过这样的文章结构，读者可以清楚地了解到本文的主要内容和各个部分的重点，帮助他们更好地理解极值的知识点。
1.3 目的目的部分的内容:本文旨在系统地介绍极大值和极小值的概念，以及求解极值的方法，从而帮助读者更全面地理解这一数学知识点。
同时，通过应用实例的分析，读者能够更好地理解极值在实际问题中的应用，并对未来在相关领域的研究和实践提供一定的启发和参考。
最终，期望本文能够为读者提供一个清晰的极值概念框架，帮助他们更有效地应用这一知识，解决实际问题。
2.正文2.1 极大值的概念极大值是在函数曲线上某一点附近的最大函数值。
具体来说，对于函数f(x)，如果存在一个区间[a, b]，使得在该区间内，当x不等于a或b时，f(x)小于等于f(a)或f(b)，那么f(x)在该区间内的最大值就是极大值。
极大值点的存在性
极大值点的存在性极值是数学中的重要概念，指函数在某一点取得最大或最小值。
其中，极大值是指函数在该点附近的所有取值中最大的那个值，而极小值则是指函数在该点附近的所有取值中最小的那个值。
在数学和物理等许多领域中，研究极值点的性质和存在性非常重要。
本文将探讨极大值点的存在性以及相关的数学与物理理论。
一、对于有限区间内连续函数，必然存在极大值点对于一个有限区间内的连续函数，根据闭区间最值定理（若$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在该区间上必定有极值），该函数必然存在极大值点和极小值点。
换句话说，该函数在该区间内一定能够取到最大值和最小值，而且这些极值点都是在函数定义域内的。
证明：设函数 $f(x)$ 在有限区间 $[a,b]$ 内连续，则 $f(x)$ 在$[a,b]$ 内必定取到一个最大值和一个最小值。
如果最大值和最小值都落在端点处，那么极大值点和极小值点就是函数定义域内的端点。
如果最大值或最小值在区间内部，那么这个值点就是函数的极大值点或极小值点。
二、对于无限区间内的函数，可能不存在极大值点对于一个无限区间的函数，在上述闭区间最值定理无法奏效，因为无限区间是无边界的，即不是闭区间。
因此，在无限区间内探讨极大值点的存在性更加复杂。
针对这个问题，有两个著名的定理提供了解答。
1. 狄利克雷(Dirichlet)定理狄利克雷定理是描述区间 $[a,b]$ 内非周期函数可能存在最大值或最小值的一种方法。
其依据为：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内单调增加（或单调递减），则 $f(x)$在该区间内具有最大值（或最小值）。
换句话说，只要函数在该区间内单调递增或者单调递减，就必然存在函数的极值点。
证明：假设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内单调递增。
从而$f(x)$ 在该区间内递增，因此对于任意$x\in[a,b]$，$f(x)\leq f(b)$。
因此，存在某个点 $x_0$，使得 $f(x_0)=\max_{x \in[a,b]} f(x)$ 即$f(x_0)$ 是该函数的最大值点。
函数的极大(小)值和最大(小)值
§2-6 函数的极大(小)值和最大(小)值1.函数的极大(小)值 一个函数在它有定义的区间上可能没有最大(小)值，但它在某个部分区间上可能会有最大(小)值，即局部最大值或局部最小值.函数的局部最大值或局部最小值，又称为函数的极大值或极小值.具体地说，设函数)(x f 在点),(0b a x ∈连续.若有足够小的正数δ，使)||0()()(00δ<-<<x x x f x f (图2-21) 则称函数)(x f 在点0x 取到极大值)(0x f ，并称点0x 为函数)(x f 的极大值点.同理，使 )||0()()(11δ<-<>x x x f x f (图2-21) 则称函数)(x f 在点1x 取到极小值)(1x f ，并称点1x 为函数)(x f 的极小值点.函数的极大值和极小值统称为函数的极值，而函数的极大值点和极小值点统称为函数的极值点. 因为函数的极值是函数在小范围内的最大值或最小值，根据定理2-1，我们就有下面的结论：若函数()f x 在某区间内的点0x 处取到极值且有导数'0()f x ，则'=0()0f x .因此，0()0f x '=是可微函数．．．．在点0x 取到极值的必要条件,但它不是可微函数取到极值的充分条．．．．．．．．．．．．．．．．件．! 例如函数3)(x x f =，尽管有0)0(='f ，但0不是它的极值点(图2-22).以后，就把使0()0f x '=的点0x 称为函数)(x f 的驻点(可能不是极值点．．．．．．．).需要指出，不能把上面的结论简单说成“函数取到极值的必要条件”.例如，函数()f x x =(图2-23)，它在点0有极小值(也是最小值)，可是它在点0没有导数.因此，函数在区间内部的极值点只可能是它的驻点或没有导数的点.它们合在一起称为函数的临界点.一般情形下，求连续函数)(x f 在开区间),(b a 内的极值时，一般步骤是：第一步，求出)(x f 在区间),(b a 内的所有临界点(即驻点或没有导数的点)；第二步，对于每一个临界点，再用下面的判别法验证它是否为极值点；第三步，求出函数在极值点处的函数值(即函数的极大值或极小值).判别法Ⅰ 设0x 为连续函数)(x f 在区间),(b a 内的临界点(驻点或没有导数的点).若有足够小的正数δ，使(见图2-24)⑴)(x f 在),(00x x δ-内是增大的且在),(00δ+x x 内又是减小的，则)(0x f 是极大值； 图2-23x图2-21[或] [或]⑵)(x f 在),(00x x δ-内是减小的且在),(00δ+x x 内又是增大的，则)(0x f 是极小值；[或0)(<'x f ] [或0)(>'x f ]⑶)(x f 在),(00δδ+-x x 内是增大的或是减小的，则)(0x f 不是极值.当0x 为函数)(x f 的驻点且0)(0≠''x f 时，就用下面的判别法Ⅱ.判别法Ⅱ 设0x 为函数)(x f 在区间),(b a 内的驻点[即0)(0='x f ].若有二阶导数0)(0≠''x f ，则⑴ 当0)(0<''x f 时，)(0x f 是极大值； ⑵ 当0)(0>''x f 时，)(0x f 是极小值.[当0)(0=''x f 时，函数)(x f 在点0x 是否取到极值，需要做进一步的讨论]证 根据例22（§2-5），则有222200000011()()()()()()()()22f x h f x f x h f x h o h f x f x h o h '''''+=+++=++于是得 20001()()[()(1)]2f x h f x f x o h ''+-=+ 因为0)(0≠''x f ，所以当||h 足够小时，)]1()([0o x f +''与)(0x f ''同符号.因此，有正数δ，使当0||h δ<≤时，0()f x h +0()f x -=000,()00,()0f x f x ''<<⎧⎨''>>⎩ 这就是要证的结论.例23 求函数1323-+=x x y 的极值.解 2363(2)y x x x x '=+=+，666(1)y x x ''=+=+由0='y 得驻点122,0x x =-=.因为2060,60x x y y =-=''''=-<=>，所以31)2(3)2(232=--+-=-=x y 是极大值； 01x y ==-是极小值.【注】若函数()f x 在点0x 没有导数或二阶导数0()0f x ''=，就去用上面的判别法Ⅰ.2.函数的最大(小)值(又称为绝对极值) 函数的最大(小)值是指函数在定义域或定义域中某个区间上的最大(小)值.求连续函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最大值和最小值时，方法更简单：第一步，先求出)(x f 在开区间),(b a 内的临界点；并求出)(x f 在所有临界点上的函数值.(1) 0图2-24 (2)(3)第二步，把以上函数值与区间端点上的函数值)(a f 和)(b f 放在一起做比较，其中最大者就是函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最大值，最小者就是函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最小值.非闭区间上的连续函数可能没有最大值或最小值.在这种情形下，就要根据具体问题，经过分析后才能确定某个函数值是最大值或最小值.例如，⑴ 函数)(x f 在区间),[b a 上增大(减小)时，)(a f 就是最小值(最大值)；⑵ 函数)(x f 在区间],(b a 上增大(减小)时，)(b f 就是最大值(最小值)；⑶ 设有点),(b a c ∈. 若函数)(x f 在区间],(c a 上增大且又在区间),[b c 上减小，则)(c f 就是最大值；若函数)(x f 在区间],(c a 上减小且又在区间),[b c 上增大，则)(c f 就是最小值.例24 证明不等式：)0(1e >+>x x x .证 令)0()1(e )(≥+-=x x x f x ，则)(x f 在),0[+∞上是连续函数.因为)0(01e )(>>-='x x f x [即函数()f x 是增函数]所以(0)0f =是最小值.因此，()0(0)f x x >>，即)0(1e >+>x x x .例25 证明：函数)10()(<<-=αααx x x f 在区间),0(+∞内有最大值α-=1)1(f . 由此再证明近代数学中著名的赫尔窦(H ölder)不等式:11110,0,0,0;1p q ab a b a b p q p qp q ⎛⎫≤+>>>>+= ⎪⎝⎭ 证 由0)1()(11=-=-='--αααααx x x f 得驻点1=x . 因为 当10<<x 时， 0)1()(1>-='-ααx x f [即)(x f 增大]，当+∞<<x 1时， 0)1()(1<-='-ααx x f [即)(x f 减小]，所以α-=1)1(f 是最大值.其次，令q p b a x p ==-,1α，则111qp p p p p q p q q q a a a f ab a b b b p b p --⎛⎫⎛⎫=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 而根据上述结论，即α-≤1)(x f ，则得不等式111(1)11q p q p aba b f p p q α---≤=-=-= 两端同乘q b ，并注意1=-p q q ，则得要证的不等式q p b qa p ab 11+≤. 在非闭区间上求一个函数的最大(小)值问题，常常出现在实际应用问题中.解这类问题时，首先需要根据问题本身，运用几何学或物理学或其他有关科学中的知识，列出“目标函数”(即要求它的最大值或最小值的函数)的函数式.这样，问题就变成求目标函数的最大值或最小值.例如， “当矩形周长l 为定值时，它的长和宽为何值时面积最大？”或“当矩形面积S 为定值时，它的长和宽为何值时周长最小？”设矩形的一边长为x ，则前一个问题的目标函数就是(矩形面积)()2l S x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 02l x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ 而后一个问题的目标函数就是(矩形周长)()2S l x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ )0(+∞<<x 这样，问题就变成求函数)(x S 的最大值或求函数)(x l 的最小值.例26 设有闭合电路如图2-25. 它由电动势E 、内阻r 和纯电阻负载E 所构成.若E 和r 是已知常数，问负载R 为何值时，电流的电功率最大？解 根据电学的知识，闭合电路中电流的电功率为R I P 2=(I 为电流强度)而根据闭合电路的欧姆定律，电流强度R r E I +=. 因此，电功率为 22)(R r R E P += (自变量为R ) 由0='P ，即由0)()()()(2)(324222=+-=++⋅-+⋅='R r R r E R r R r R E R r E P 得r R =. 因此，当负载r R =(内阻)时，电功率取到最大值r E P 4/2=.例27 由材料力学的知识，横截面为矩形的横梁的强度是2h x k =ε(k 为比例系数，x 为矩形的宽，h 为矩形的高)今要将一根横截面直径为d 的圆木，切成横截面为矩形且有最大强度的横梁，那么矩形的高与宽之比应该是多少？解 如图2-26，因为222x d h -=，所以22()(0)kx d x x d ε=-<<.令0='x ε，即22222()2(3)0x k d x x k d x ε'=--=-=⎡⎤⎣⎦ 则得驻点x d=根据实际问题的提法，当矩形的宽/x d =强度ε取到最大值.此时，因为d dd x d h 32)3(2222=-=-= 所以2/=x h .图2-26在实际工作中，技术人员是按下面的几何方法设计的：把圆木的横截面(圆)的直径AB 分成三等份(如图2-27)，再分别自分点C 和D 向相反方向作直径AB 的垂线，交圆周后做成图中那样的矩形.这个矩形的长边与短边的比值就是2.例28 已知某工厂生产x 件产品的成本为21()2500020040C x x x =++(元) 问：⑴ 要使平均成本最小，应生产多少件产品？ ⑵ 若产品以每件500元售出，要获得最大利润，应生产多少件产品？最大利润是多少? 解 ⑴ 平均成本为x x x x C x C 40120025000)()(++==(元/件) 让040125000)(2=+-='x x C ，则得1000=x (件).因此，生产1000件产品时平均成本最小. ⑵ 售出x 件产品时，收入为x 500(元)，而利润为=)(x L (收入)x 500-(成本))40120025000(500)(2x x x x C ++-= 212500030040x x =-+- 让020300)(=-='x x L ，则得6000=x (件).因此，生产6000件产品并全部售出时，获得的利润最大.最大利润为900000)6000(=L (元). 习 题1.求下列函数的极值(极大值或极小值)：求连续函数在定义区间内的极值时，应先找出导数等于零的点（驻点）和没有导数的点，然后按上面指出的判别法，去判别函数在这些点上是否取到极大值或极小值.⑴x x x f -=3)(； ⑵242)(x x x f -=； ⑶122)(2-+-=x x x x f ；⑷()f x x = ⑸x x x f -=e )(； ⑹x x x f ln )(=； ⑺x x x f -+=e )1()(3； ⑻3231)1()(x x x f -=.答案：⑴max minf f ⎛= ⎝；⑵1)1(,0)0(m in m ax -=±=f f ； ⑶2)2(,2)0(m in m ax =-=f f ；⑷min 34f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑸1m ax e )1(-=f ；⑹12m in e 2)e (---=f ；⑺2m ax e 27)2(-=f ；⑻max min 1(1)03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 2.求下列函数在指出区间上的最大值和最小值：⑴];2,2[,1823-+--=x x x y ⑵];1,1[,15-++=x x y⑶];2,1[,13--=x x y ⑷511,,1;12y x x ⎡⎤=-⎢⎥++⎣⎦ ⑸211,1,12x y x +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦. 答案：⑴;11,27203-⑵;1,3-⑶;443,23-⑷;31,1532⑸0,2242-. 3.设n a a a <<< 21. 当x 为何值时，函数∑=-=ni i a x x f 12)()(取最小值？答案：n a a a x n +++=21(算术平均值). 4.设.0>a 求函数||11||11)(a x x x f -+++=的最大值. 提示：把区间),(+∞-∞分成三个区间(,0),(0,),(,)a a -∞+∞. 答案：21a a++. 5.证明下面的不等式： ⑴ );01(2)1ln(2<<--<+x x x x ⑵ 12ln 1(0);21x x x ⎛⎫+>> ⎪+⎝⎭ ⑶ );0(arctan 33><<-x x x x x ⑷ 1e 1(0)x x x -≥>. 6.设有方程033=+-c x x (c 为常数).问：当c满足什么条件时，方程有:⑴三个实根，⑵两个实根，⑶一个实根？ [提示：分别研究下图⑴，⑵，⑶]答案：⑴22<<-c ；⑵2±=c ；⑶2-<c 或2>c .7.在什么条件下，方程()300x px q pq ++=≠有：⑴一个实根，⑵三个实根？提示：参考上一题的做法. 答案：⑴042723>+q p ；⑵042723<+q p . 8.确定下列各方程实根的个数，并指出只含有一个实根的区间：⑵ 第6题图⑴ 0109623=-+-x x x ； ⑵ 020********=-+--x x x x ；⑶ )0(ln ≠=k kx x ； ⑷2e (0)x ax a =>.答案：⑴一个实根，在)5,4(内；⑵两个实根，32,1221<<-<<-x x ；⑶当0<k 时有一个实根，在)1,0(内；当1e0-<<k 时有两个实根，+∞<<<<21e ,e 1x x ； 当1e -=k 时有一个实根e =x ；当1e ->k 时没有实根.⑷当4e 02<<a 时有一个实根，在)0,(-∞内；当4e 2>a 时有三个实根， 1230,02,2x x x -∞<<<<<<+∞.9.设有二阶导数)(a f ''. 证明：⑴ 若函数)(x f 在点a 取到极大值，则0)(≤''a f ；⑵ 若函数)(x f 在点a 取到极小值，则0)(≥''a f .10.设函数21()22sin (0),(0)2f x x x f x ⎛⎫=-+≠= ⎪⎝⎭. 证明：)(x f 有最大值2)0(=f ，但)(x f 在点0的左旁附近不是增大的，而且在点0的右旁附近不是减小的(这说明判别法Ⅰ中的条件不是必要的).11.应用题 ⑴设两正数x 与y 的和等于常数a (a y x =+).求)0,0(>>n m y x n m 的最大值.⑵设两正数x 与y 的乘积等于常数a (a xy =).求)0,0(>>+n m y x n m 的最小值.⑶在有一定体积的所有正圆柱体中，当底圆半径与高之比为何值时，它有最小的表面积？⑷用薄钢板做一个容积为定值v 的无盖圆柱形桶.假若不计钢板厚度和剪裁时的损耗，问桶底半径r 与高h 各为多少时，用料最省？⑸从半径为R 的圆上切掉一个扇形后，把余下部分卷成一个漏斗.问余下部分扇形的圆心角θ为何值时，卷成漏斗的容积最大？第11⑸题图⑵ ⑴ 第11⑹题图x⑹(反射定律) 如图示，由点A 经点B ，再到点C . 证明：当入射角α等于反射角β时，折线ABC 的长度最短.⑺一商家销售某种商品的价格为x p 2.07-=(万元/T)，其中x 为销售量(单位:T)；商品的成本为13+=x C (万元).（i ）若每销售一吨商品，政府要征税t 万元，求商家获最大利润时的销售量；（ii ）t 为何值时，政府税收的总额最大？答案：⑴n m n m n m n m n m a +++)(；⑵n m n m mn n m a n m +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+1)(；⑶1∶2；⑷r h ==⑸2θ=弧度)；⑺（i ）t x 5.210-=；（ii ）2=t .。
函数的极值与最大[小]值
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2 求开区间上函数的最值稍复杂些， 因为开区间上的连续 函数甚至可以没有最值，常需要利用导函数f 的符号，即f 的 单调性，以及自变量趋于区间端点时函数的极限，对f 的全局性 态作大致的分析，进而确定函数的最值, 但有一个特殊情况下， 可确定开区间上函数的极值必是最值：
如果 （1） 目标函数 f ( x )在所讨论的区间 I（开或闭，有限或无限） 内处处可微； （2） f ( x ) 在区间 I 内部只有一个驻点 x 0 ,则在驻点 x 0 取 得极值 f ( x 0 ) ; （3）若 f ( x 0 )是极大值，这极大值就是其最大值；若 f ( x 0源自) 是极 小值，这极小值就是其最小值.
8 6 4 f( 6 ) = ( 2 + 3) 6 > 0 x = 6= x
依定理6.11， x = 6 为
f
的极小值点，极小值
f (6)=108.
定理6.12 （极值的第三充分条件） 设 f 在 x 0 的某邻域内存 ( k ) 在直到n-1阶导函数，在 x 0 处n阶可导且 f ( x ) = 0 ( k = 1 , 2 , … , n 1 ) , 0 f n x0 0, 则 （ⅰ）当n为偶数时， f 在 x 0 处取得极值，且当 f (n)(x0) 0 时 取极大值，f (n)(x0) 0 时取极小值. （ⅱ）当n为奇数时， f 在 x 0 处不取极值. 该定理的证明类似于定理6.11，我们将它留给读者.
4 4 0 ) f( 1 ) 0 及 f( ) 0 ， 由此得 f ( 所以 f ( x )在x 时取得极小 7 7
值.求三阶导数 3 2 fx ( )6 x ( 3 5 x 6 0 x 3 04 x ) ( 0 ) 0 , f ( 1 ) 0 . 由于 n = 3 为奇数，由定理6.12知 有 f 在 x 1不取极值.再求四阶导数
极值与最大(小)值
极小值- 4/3
(2,+∞) ∞ + ↗
因此,当 时有极大值,并且 因此 当x=-2时有极大值 并且 极大值=28/3; 时有极大值 并且,y 时有极小值,并且 而,当x=2时有极小值 并且 极小值=- 4/3. 当 时有极小值 并且,y
判断函数单调性的常用方法: 判断函数单调性的常用方法: (1)定义法 (2)导数法
观察高台跳水运动图象
h 单调递增 h'(t)>0 (t)>0 h'(a)=0 (a)=0 单调递减 h'(t)<0 (t)<0
o
a
t
探究, 如图,函数y=f(x) a,b,d,e,f,g,h,i等点的 y=f(x)在 探究, 如图,函数y=f(x)在a,b,d,e,f,g,h,i等点的 函数值与这些点附近的函数值有什么关系? 函数值与这些点附近的函数值有什么关系?y=f(x) 在这些点的导数值是多少?在这些点附近, 在这些点的导数值是多少?在这些点附近,y=f(x) 的导数的符号有什么规律? 的导数的符号有什么规律? y y=f(x) a b cd e f o g h i j x y=f(x)
函数极值的定义—— 函数极值的定义 1)函数y=f(x)在x=a处的函数值 函数y=f(x) 处的函数值f(a) 比它在点x=a x=a附近 1)函数y=f(x)在x=a处的函数值f(a) 比它在点x=a附近 其它各点的函数值都小,我们就说f(a) f(a)是函数的一个 其它各点的函数值都小,我们就说f(a)是函数的一个 极小值.点a叫做极小值点. 极小值. 叫做极小值点. 极小值点 2)函数y=f(x)在x=b处的函数值 函数y=f(x) 处的函数值f(b) 比它在点x=b x=b附 2)函数y=f(x)在x=b处的函数值f(b) 比它在点x=b附 近其它各点的函数值都大,我们就说f(b) f(b)是函数的一 近其它各点的函数值都大,我们就说f(b)是函数的一 极大值, 叫做极大值点 极大值点. 个极大值,点b叫做极大值点. 3)产生极大值点 极小值点统称为极值点. 产生极大值点, 3)产生极大值点,极小值点统称为极值点. f(b) 4)极大值与极小值统称为极值 极大值与极小值统称为极值. 4)极大值与极小值统称为极值. 注:函数的极大值,极小值未必 函数的极大值, 是函数的最大值,最小值. 是函数的最大值,最小值.
高中数学讲义：函数的极值
函数的极值一、基础知识：1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点（2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点极大值与极小值统称为极值2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点（2）极值点是函数最值点的候选点4、费马引理：()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点Þ()0'0f x =说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点Þ导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点）5、求极值点的步骤：（1）筛选：令()'0f x =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'f x 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性：通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。
第3章 3.3.2 函数的极大值和极小值
3．3.2函数的极大值和极小值[读教材·填要点]1．极大值和极小值(1)极大值：设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都小于f(x0)(即f(x)<f(x0)，x∈(a，b))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，x0称为f(x)的一个极大值点．(2)极小值：设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都大于f(x0)(即f(x)>f(x0)，x∈(a，b))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，x0称为f(x)的一个极小值点．(3)极值：极大值和极小值统称极值，极大值点和极小值点统称为极值点．2．函数极值的求法(1)求导数f′(x)；(2)求f(x)的驻点，即求f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在驻点左右的符号，如果在驻点左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个驻点处取得极大值；如果在驻点的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个驻点处取得极小值．[小问题·大思维]1．导数为0的点都是极值点吗？提示：不一定．y＝f(x)在x＝x0及附近有定义，且f′(x0)＝0，y＝f(x)是否在x＝x0处取得极值，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否异号．例如f(x)＝x3，由f′(x)＝3x2知f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．2.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？提示：由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f′(x)>0；在区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)<0.即f(x)在(a，x1)内单调递增，在(x1，x2)内单调递减，在(x2，x3)内单调递增，在(x3，b)内单调递减．所以，函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值点，极小值点为x＝x2.3．函数y＝f(x)在给定区间上一定有极值点吗？极大值是否一定比极小值大？提示：(1)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．(2)极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 4－2x 2；(2)f (x )＝x 2e －x .[自主解答] (1)函数f (x )的定义域为R. f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)．令f ′(x )＝0，得驻点x ＝0，或x ＝－1，或x ＝1. 列表：当x ＝0时，函数有极大值，且f (0)＝0； 当x ＝－1，或x ＝1时，函数有极小值， 且f (－1)＝f (1)＝－1. (2)函数的定义域为R.f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x 2e x ′＝(x 2)′e x －(e x )′x 2(e x )2＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x ＝－e －x x (x －2)．令f ′(x )＝0，得驻点x ＝0，或x ＝2. 列表：当x ＝0时，函数有极小值，且f (0)＝0； 当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e2.求可导函数f (x )极值的步骤：①求函数的导数f′(x)；②令f′(x)＝0，求驻点x0；③列表，方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在这个表格内；④判断得结论，若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．1．求下列函数的极值．(1)f(x)＝ln xx；(2)f(x)＝2xx2＋1－2.解：(1)函数f(x)＝ln xx的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1－ln xx2.由f′(x)＝0得ln x＝1，即x＝e.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：所以f(x)极大值＝f(e)＝1e，无极小值．(2)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝2(x2＋1)－4x2(x2＋1)2＝－2(x－1)(x＋1)(x2＋1)2.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：且f(x)极小值＝f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且f(x)极大值＝f(1)＝－1.已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0.求a ，b 的值．[自主解答] ∵f (x )在x ＝－1时有极值0且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数．所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.若将“在x ＝－1时有极值0”改为“在x ＝－1和x ＝3处有极值”，如何求解？ 解：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ， ∵－1,3是f (x )的极值点， ∴－1,3是f ′(x )＝0的两个根， 即－1,3是3x 2＋6ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎨⎧－6a3＝－1＋3，b3＝(－1)×3，解得a ＝－1，b ＝－9.解决此类问题通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．2．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由．解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由f′(－1)＝f′(1)＝0，得：3a＋2b＋c＝0, 3a－2b＋c＝0.又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.∴a＝12，b＝0，c＝－32.(2)由(1)可得f(x)＝12x3－32x，∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)．当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数．∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y ＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．[自主解答]因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1.所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0.所以由f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.作出f(x)的大致图象如图所示：因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(－3,1)．若本例中条件改为“已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4”在x ＝43处取得极值，其他条件不变，求m 的取值范围．解：由题意可得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f ′⎝⎛⎭⎫43＝0， 可得a ＝2，所以f (x )＝－x 3＋2x 2－4， 则f ′(x )＝－3x 2＋4x .令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝43，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：作出函数f (x )的大致图象如图所示：因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－4，－7627.利用导数求极值，要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论，在存在极值的情况下，求出极值．3．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝⎛⎭⎫－13＝527＋a ， 极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1.由此可知x 取足够大的正数时有f (x )＞0，x 取足够小的负数时有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．结合f (x )的单调性可知，当f (x )的极大值527＋a ＜0，即a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－527时它的极小值也小于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在(1，＋∞)上；当f (x )的极小值a －1＞0，即a ∈(1，＋∞)时它的极大值也大于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在⎝⎛⎭⎫－∞，－13上．所以当a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点.a 为何值时，方程x 3－3x 2－a ＝0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根，有没有可能无实根？[巧思] 方程x 3－3x 2－a ＝0根的个数，即为直线y ＝a 和函数f (x )＝x 3－3x 2图象交点的个数，因此可借助函数的单调性和极值画出函数f (x )＝x 3－3x 2的图象，然后借助图象判断根的个数．[妙解] 令f (x )＝x 3－3x 2， 则f (x )的定义域为R ，由f ′(x )＝3x 2－6x ＝0， 得x ＝0或x ＝2，所以当x ＜0或x ＞2时，f ′(x )＞0； 当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0.函数f (x )在x ＝0处有极大值0，在x ＝2处有极小值－4，如图所示，故当a ∈(－∞， －4)∪(0，＋∞)时，原方程有一个根； 当a ＝0或a ＝－4时，原方程有两个不等实根；当a ∈(－4,0)时，原方程有三个不等实根；由图象可知，原方程不可能无实根．1．下列结论中，正确的是( ) A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果f ′(x 0)＝0且在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值C ．如果f ′(x 0)＝0且在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极小值D ．如果f ′(x 0)＝0且在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极大值 解析：根据极值的概念，左侧f ′(x )>0，单调递增；右侧f ′(x )<0，单调递减，f (x 0)为极大值．答案：B2．函数f (x )＝32x 2－ln x 的极值点为( )A ．0,1，－1 B.33C ．－33 D.33，－33解析：由已知，得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝3x －1x ＝3x 2－1x ，令f ′(x )＝0，得x ＝33⎝⎛⎭⎫x ＝－33舍去. 当x ＞33时，f ′(x )＞0；当0＜x ＜33时，f ′(x )＜0. 所以当x ＝33时，f (x )取得极小值．从而f (x )的极小值点为33，无极大值点，选B. 答案：B3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3， 则f ′(－3)＝27－6a ＋3＝0. ∴a ＝5. 答案：D4．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中正确的是________．①当x ＝32时函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时函数取得极小值； ④当x ＝1时函数取得极大值．解析：由图象可知，当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值，故②③④正确．答案：②③④5．函数f (x )＝ax 2＋bx 在x ＝1a 处有极值，则b 的值为________．解析：f ′(x )＝2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝1a 处有极值， ∴f ′⎝⎛⎭⎫1a ＝2a ·1a ＋b ＝0，即b ＝－2. 答案：－2 6．求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值． 解：函数的定义域为R.f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1，或x ＝1. 列表：由上表可以看出：当x ＝－1时，函数有极小值，且f (－1)＝－22－2＝－3；当x ＝1时，函数有极大值，且f (1)＝22－2＝－1.一、选择题1．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( )A ．2B ．2，－1C ．－1D ．－3解析：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x －2)(x ＋1)， ∵在x ＝－1的附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，∴x ＝－1时取极小值． 同理可知x ＝2时取极大值． 答案：C2．如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，下列说法错误的是( )A ．－2是函数y ＝f (x )的极小值点B ．1是函数y ＝f (x )的极值点C ．y ＝f (x )在x ＝0处切线的斜率大于零D ．y ＝f (x )在区间(－2,2)上单调递增解析：由图象可知f ′(1)＝0，但是当－2<x <1时，f ′(x )>0，且当1<x <2时，f ′(x )>0.故1不是函数f (x )的极值点．答案：B3．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于点(1,0)，则f (x )的极值情况为( ) A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为427C ．极小值为－427，极大值为0D ．极大值为－427，极小值为0解析：f ′(x )＝3x 2－2px －q ，根据题意，x ＝1是函数的一个极值点，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，所以f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝13.易判断当x ＝13时，f (x )有极大值为427，当x ＝1时，f (x )有极小值为0.答案：A4．设函数f (x )＝e x sin x ，x ∈[0，π]，则( ) A.π2为f (x )的极小值点 B.π2为f (x )的极大值点 C.3π4为f (x )的极小值点 D.3π4为f (x )的极大值点 解析：∵f (x )＝e x sin x ，∴f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )＝2e x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，由f ′(x )≤0，得sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤0， ∴2k π＋π≤x ＋π4≤2k π＋2π，k ∈Z ，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z.∵x ∈[0，π]，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π4上单调递增， f (x )在⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减，∴x ＝3π4为f (x )的极大值点．答案：D 二、填空题5.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导数f ′(x )的图象如图所示，则函数的极小值是________．解析：由图象可知，当x ＜0时， f ′(x )＜0，当0＜x ＜2时，f ′(x )＞0， 故x ＝0时函数f (x )取极小值f (0)＝c . 答案：c6．已知实数a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝3x －x 3的极大值点坐标为(b ，c )，则ad ＝________.解析：∵y ′＝3－3x 2，令y ′＝0得x ＝±1， 且当x >1时，y ′<0， 当－1≤x ≤1时，y ′≥0， 当x <－1时，y ′<0，故x ＝1为y ＝3x －x 3的极大值点，即b ＝1， 又c ＝3b －b 3＝3×1－1＝2，∴bc ＝2. 又∵a ，b ，c ，d 成等比数列， ∴ad ＝bc ＝2. 答案：27．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为________． 解析：y ′＝e x ＋a ，由y ′＝0，得x ＝ln(－a )， 由题意知ln(－a )>0，∴a <－1. 答案：(－∞，－1)8．若函数y ＝－x 3＋3x 2＋m 的极大值等于2，则实数m 等于________．解析：y ′＝－3x 2＋6x ，由y ′＝0，得x ＝0或x ＝2，容易得出当x ＝2时函数取得极大值，所以－23＋3·22＋m ＝2，解得m ＝－2.答案：－2 三、解答题9．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．10．已知函数f (x )＝ax －ae x(a ∈R ，a ≠0)． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的极值；(2)若函数F (x )＝f (x )＋1没有零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋1e x ，f ′(x )＝x －2ex . 由f ′(x )＝0，得x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的极小值为f (2)＝－1e 2，函数f (x )无极大值．(2)F ′(x )＝f ′(x )＝a e x －(ax －a )e x e 2x ＝－a (x －2)e x .①当a <0时，F (x )，F ′(x )的变化情况如下表：若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)＝ae2＋1>0，解得a>－e2，所以此时－e2<a<0；②当a>0时，F(x)，F′(x)的变化情况如下表：当x>2时，F(x)＝a(x－1)e x＋1>1，当x<2时，令F(x)＝a(x－1)e x＋1<0，即a(x－1)＋e x<0，由于a(x－1)＋e x<a(x－1)＋e2，令a(x－1)＋e2≤0，得x≤1－e2a，即x≤1－e2a时，F(x)<0，所以F(x)总存在零点，综上所述，所求实数a的取值范围是(－e2,0)．。
极大值与极小值
=
17 3
当������=2时������ ������ 有极大值������ 2 = −5
你能否根据本 题结论画出函 数的大致图形？
−2,
17 3
-2
2
������
2，5
������
-2
2
课堂练习： 求下列函数的极值
确定定义域
1 ������ ������ = ������ + 1
������
求导 令������′ ������ = ������解方程
������ (−∞, −2) −2 (−2,2) 2 (2, +∞)
列表
������′(������) +
0
—
0
+
结论
������(������)
极大值
极小值
因此，当������=-2时������ ������ 有极大值������ −2
知识建构 ：极大值与极小值
极大值
������(������1, ������ ������1 )
������2 ������1
������(������2, ������ ������2 )
极小值
观察图像，
探讨函数 图像中P点 和Q点的函 数值及其
位置的特 点
函数图像在P点从左侧到右侧由“ 上升”变为“下降”，即函数的 单调性由单调递增 变为单调递减 这 要大是在，P我点们附称近������，(������点1)P为的函位数置������最(������高)的，一亦个即极������(大������1值)比它附近点的函数值都
【分析】函数有极大值和
极小值，则函数至少有两
个极值点。从而函数的导 数������′ ������ = 0至少要有两个 根。
5.3.2 函数的极值与最大(小)值(精讲)(解析版)
5.3.2导数的极值与最大（小）值一、导数的极值1、极值的概念：极大值与极小值统称为极值（1）函数的极大值：一般地，设函数y ＝f (x )在点x 0及附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数y ＝f (x )的一个极大值，记作y 极大值＝f (x 0)，x 0是极大值点．（2）函数的极小值：一般地，设函数y ＝f (x )在点x 0及附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)，就说f (x 0)是函数y ＝f (x )的一个极小值，记作y 极小值＝f (x 0)，x 0是极小值点．2、极值与导数的关系如图（1），若x 0是极大值点，则在x 0的左侧附近f (x )只能是增函数，即f ′(x )>0，在x 0的右侧附近f (x )只能是减函数，即f ′(x )<0.如图（2），若x 0是极小值点，则在x 0的左侧附近f (x )只能是减函数，即f ′(x )<0；在x 0的右侧附近f (x )只能是增函数，即f ′(x )>0.综合以上情形，可以得到：若x 0满足f ′(x 0)＝0，且在x 0的两侧f (x )的导数异号，则x 0是f (x )的极值点，f (x 0)是极值．若f ′(x )在x 0的两侧满足“左正右负”，则x 0是f (x )的极大值点，f (x 0)是极大值；若f ′(x )在x 0的两侧满足“左负右正”，则x 0是f (x )的极小值点，f (x 0)是极小值．【注意】（1）可导函数的极值点．必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．即“点x 0是可导函数f (x )的极值点”是“f ′(x 0)＝0”的充分不必要条件．不可导的点可能是极值点也可能不是极值点．例如：①导数为0的点是极值点：y ＝x 2，y ′|x ＝0＝0，x ＝0是极值点．②导数为0的点不是极值点：y ＝x 3，y ′|x ＝0＝0，x ＝0不是极值点．③不可导的点是极值点：y ＝|sin x |，x ＝0不可导，但x ＝0是极值点．（2）函数的极值只是一个局部性的概念，是仅对某一点及左、右两侧区域而言的．在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大，如图，点x 1、x 3是极大值点，x 2、x 4是极小值点，且在点x 1处的极大值小于在点上x 4处的极小值．（3）极值点是自变量的值，极值指的是函数值．（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．（5）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝对不会是单调函数，即在区间上的单调函数没有极值．3、利用导数求函数极值的方法步骤（1）求导数f ′(x )；（2）求方程f ′(x )＝0的所有实数根；（3）观察在每个根x 0附近，从左到右导函数f ′(x )的符号如何变化．①如果f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值；②如果由负变正，则f (x 0)是极小值．③如果在f ′(x )＝0的根x ＝x 0的左右侧f ′(x )的符号不变，则不是极值点．题型一已知函数求极值或极值点【例1】已知函数()()()2312f x x x =--，则()f x 的极大值点为（）A．1B．75C．－1D．2【答案】B【解析】因为()()()()()()()()32222123121275'=-----=---f x x x x x x x x ，所以()f x 在(,1)-∞，7,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在71,5⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 的极大值点为75．所以B 正确.故选：B.【变式1-1】设函数()1x f x xe =+，则（）A．1x =为()f x 的极大值点B．1x =为()f x 的极小值点C．1x =-为()f x 的极大值点D．1x =-为()f x 的极小值点【答案】D【解析】由()1x f x xe =+，可得()(1)x f x x e '=+，令()0f x '>可得1x >-，即函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数；令()0f x '<可得1x <-，即函数()f x 在(1)-∞-上是减函数，所以1x =-为()f x 的极小值点．故选：D.【变式1-2】求下列函数的极值：（1）()2221xf x x =-+；（2）()ln xf x x=．【答案】（1）极小值为3-；极大值为1-；（2）极大值为1e，没有极小值【解析】（1）因为()()()()()()22222221421111x x x x f x x x +-+-'==++．令()0f x '=，解得11x =-，21x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(),1-∞-－1()1,1-1()1,+∞()f x '－0＋0－()f x 单调递减－3单调递增－1单调递减由上表看出，当=1x -时，()f x 取得极小值，为()13f -=-；当1x =时，()f x 取得极大值，为()11f =-．（2）函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+，且()21ln xf x x -'=．令()0f x '=，解得e x =．当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：x()0,e e()e,+∞()f x '＋0－()f x 单调递增1e单调递减因此，e x =是函数的极大值点，极大值为()1e ef =，没有极小值．【变式1-3】知函数ln ()=xxf x e 的极值点为0x x =，则0x 所在的区间为（）A．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C．()1,2D．()2,e 【答案】C【解析】由ln ()=x x f x e ，得'1ln ()xxx f x e-=（0x >），令1()ln g x x x =-（0x >），则'211()0g x x x=+>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，因为1(1)10,(2)ln 2ln 202g g =-<=-=->，所以存在0(1,2)x ∈，使0()0g x =，即'0()0f x =，当01x x <<时，'()0,()0g x f x <>，当02x x <<时，'()0,()0g x f x ><，所以0x 为ln ()=xxf x e 的极大值点，所以0x 所在的区间为()1,2，故选：C 【变式1-4】已知函数()1ex af x x =++，求函数()f x 的极值.【答案】见解析.【解析】()1e x a f x x =++，定义域为R ，()e 1e ex x x a af x -=-='.①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上为增函数，()f x 无极值.②当0a >时，令()0f x '=，得e x a =，ln x a =.当(),ln x a ∈-∞，()0f x '<；当()ln ,x a ∈+∞，()0f x '>；∴()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，()f x 在ln x a =取得极小值，极小值为()ln ln 2f a a =+，无极大值.综上所述，当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值()ln ln 2f a a =+，无极大值.题型二函数（导函数）图象与极值的关系【例2】函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示，则下列命题不正确的是（）A．函数()f x 在(),a b 内一定不存在最小值B．函数()f x 在(),a b 内只有一个极小值点C．函数()f x 在(),a b 内有两个极大值点D．函数()f x 在(),a b 内可能没有零点【答案】A【解析】设()0f x '=的根为1x ，2x ，3x ，且123a x x x b <<<<，则由图可知，函数()f x 在()1,a x 内单调递增，在()12,x x 内单调递减，在()23,x x 内单调递增，在()3,x b 内单调递减；所以函数()f x 在区间(),a b 内有极小值()2f x ，当()()2f x f a ≤，()()2f x f b ≤时，()2f x 是函数()f x 在区间(),a b 内的最小值，所以A 错误，B 正确；函数()f x 在区间(),a b 内有极大值()1f x 、()3f x ，所以C 正确；当()0f a ≥，()20f x >，()0f b ≥时，函数()f x 在(),a b 内没有零点,所以D 正确.故选:A．【变式2-1】设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()g x x f x =⋅'的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．()f x 有两个极值点B．(2)f -为函数的极大值C．()f x 有两个极小值D．(1)f -为()f x 的极小值【答案】C【解析】()()g x x f x '=⋅，并结合其图像，可得到如下情况，当<2x -时，()0,()0g x f x '><，()f x 在(,2)-∞-单调递减；当20x -<<时，()0,()0g x f x '<>，()f x 在(2,0)-单调递增；当01x <<时，()0,()0g x f x '<<，()f x 在(0,1)单调递减；当1x >时，()0,()0g x f x '>>，()f x 在()1,∞+单调递增∴()f x 在2x =-和1x =处取得极小值，故B，D 错，C 正确；在0x =处取得极大值.所以()f x 有3个极值点，故A 错.故选:C.【变式2-2】函数()f x 的导函数是()f x '，下图所示的是函数()()()1R y x f x x '=+⋅∈的图像，下列说法正确的是（）A．=1x -是()f x 的零点B．2x =是()f x 的极大值点C．()f x 在区间()2,1--上单调递增D．()f x 在区间[]2,2-上不存在极小值【答案】B【解析】当2<<1x --时，10x +<，而0y >，故()0f x '<；当12x -<<时，10x +>，而0y >，故()0f x '>；当2x >时，10x +>，而0y <，故()0f x '<；所以(2,1),(2,)--+∞上()f x 递减；(1,2)-上()f x 递增，则=1x -、2x =分别是()f x 的极小值点、极大值点.故A、C、D 错误，B 正确.故选：B【变式2-3】如图，可导函数()f x 在点()()00,P x f x 处的切线方程为()y g x =，设()()()h x g x f x =-，()h x '为()h x 的导函数，则下列结论中正确的是（）A．()00h x '=，0x 是()h x 的极大值点B．()00h x '=，0x 是()h x 的极小值点C．()00h x '≠，0x 不是()h x 的极大值点D．()00h x '≠，0x 是()h x 的极值点【答案】B【解析】由题得，()h x 的几何意义为当x 取同值时，()g x 到()f x 的距离．根据题意，当()0,x x ∞∈-+时，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()h x 单调递增，又()()()0000h x g x f x =-''='，则有0x 是()h x 的极小值点，故选:B．题型三根据函数的极值或极值点求参数【例3】函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极值3-，则a b -的值等于（）A．0B．6C．3D．2【答案】A【解析】2()1222f x x ax b'=--因为()f x 在1x =处有极值3-，所以(1)12220(1)4223f a b f a b =--=⎧⎨=--+=-'⎩，解得3a b ==所以0a b -=故选：A【变式3-1】设函数()()330f x x mx n m =-+>的极大值为6，极小值为2，则m n +=__________．【答案】5【解析】()(2333f x x m x x '=-=，∴当(),x ∈-∞+∞时，()0f x '>；当(x ∈时，()0f x '<；∴()f x 在(,-∞，)+∞上单调递增，在(上单调递减，∴的极大值(26f m n ==；极小值22f n =-=，4n ∴=，1m =，5m n ∴+=.【变式3-2】已知函数()f x 321132x x cx d =+--有极值，则c 的取值范围为（）A．14c <-B．14c ≤-C．14c ≥-D．14c >-【答案】D【解析】由题意知，定义域为R ，()2f x x x c '=+-，要使函数()f x 有极值，则()f x '必有两个不等的实根，则140c ∆=+>，解得14c >-.故选：D.【变式3-3】已知函数32()3(1)3(1)3f x x m x m x =+-+++既有极大值，又有极小值，则m 的取值范围是（）A．3m ≥或0m ≤B．3m >或0m <C．3m >D．0m <【答案】B【解析】由2()3[2(1)(1)]f x x m x m '=+-++，又()f x 有极大值、极小值，所以()f x '有两个变号零点，则24(1)4(1)0m m ∆=--+>，整理得230m m ->，可得3m >或0m <.故选：B【变式3-4】若函数()()22e xx a f x x =++⋅在R 上无极值，则实数a 的取值范围（）A．()2,2-B．(-C．⎡-⎣D．[]22-,【答案】D【解析】由()()22e xx a f x x =++⋅可得()()()()222e 2e 22e x x xx a x ax x a x f a x ⎡⎤=+⋅+++⋅=++++⋅⎣⎦'，e 0x >恒成立，()222y x a x a =++++为开口向上的抛物线，若函数()()22e xx a f x x =++⋅在R 上无极值，则()2220y x a x a =++++≥恒成立，所以()()22420a a ∆=+-+≤，解得：22a -≤≤，所以实数a 的取值范围为[]22-,，故选：D.题型四利用导数求函数的最值【例4】函数e x y x =在[]2,4x ∈上的最小值为（）A．22e B．1eC．44e D．22e 【答案】A【解析】∵e x y x =，∴()e e 1e x x xy x x '=+=+，当[]2,4x ∈时，()1e 0xy x '=+>∴函数e x y x =在区间[]2,4上单调递增，∴当2x =时，函数e x y x =取得最小值，2min 2e y =，∴函数e x y x =在[]2,4x ∈上的最小值为22e .故选：A.【变式4-1】函数()e cos x f x x =在区间3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取得最大值时x 的值为（）A．0B．π4C．π2D．3π4【答案】B【解析】由()e cos x f x x =得()πe cos e sin cos 4x x xf x x x x ⎛⎫=-+ ⎝'⎪⎭，令()0f x '=，即πcos()04x +=在区间3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上解得π4x =，当π04x ≤<时，()0f x '>，()f x 为增函数，当π3π44x ≤≤时，()0f x '<，()f x 为减函数，所以当π4x =时，()f x 取得最大值.故选：B.【变式4-2】已知函数()ln 2f x x =+，设函数()()12h x f x x =+--，则()h x 的最大值是______．【答案】0【解析】因为()()ln 1h x x x =+-定义域为()1,-+∞，所以()1111xh x x x '=-=-++．当()1,0x ∈-时，()0h x '>；当()0,x ∈+∞时，()0h x '<．所以()h x 在()1,0-上为增函数，在()0,∞+上为减函数，从而()()max 00h x h ==．【变式4-3】设函数()()2ln 23f x x x =++（1）讨论()f x 的单调性；（2）求()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值．【答案】（1）函数()f x 单调递增区间为31,1,22⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；单调递减区间为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为17ln 162+，最小值为1ln 24+.【解析】（1）函数()()2ln 23f x x x =++的定义域为32⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，，又()()141232223232x x f x x x x x ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭'=+=>- ⎪++⎝⎭.令()0f x '>，解得12x >-或312x -<<-；令()0f x '<，解得112x -<<-.所以函数()f x 单调递增区间为31,1,22⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；单调递减区间为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）由（1）可得：函数()f x 在区间31,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦内单调递减，在11,24⎡⎤-⎢⎣⎦内单调递增.所以当12x =-时，函数()f x 取得最小值11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，又393ln 4162f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，117ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，而319317131ln ln ln ln044162162272f f ⎛⎫⎛⎫--=-=+<+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以当14x =时，函数()f x 取得最大值为：17ln 162+.即()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为17ln 162+，最小值为1ln 24+.题型五已知函数的最值求参数【例5】若函数323()42a f x x x =-+在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a 的值为（）A．－2B．－1C．2D．103【答案】C【解析】由323()42a f x x x =-+，得2()333()f x x ax x x a '=-=-，当0a ≤时，()0f x '>在[1,2]上恒成立，所以()f x 在[1,2]上递增，所以min 3()(1)1402a f x f ==-+=，解得103a =（舍去），当0a >时，由()0f x '=，得0x =或x a =，当01a <≤时，()0f x '>在[1,2]上恒成立，所以()f x 在[1,2]上递增，所以min 3()(1)1402a f x f ==-+=，解得103a =（舍去），当12a <<时，当1x a <<时，()0f x '<，当2a x <<时，()0f x '>，所以()f x 在(1,)a 上递减，在(,2)a 上递增，所以当x a =时，()f x 取得最小值，所以323()402a f a a a =-+=，解得2a =（舍去），当2a ≥时，当12x ≤≤时，()0f x '<，所以()f x 在[1,2]上递减，所以3min 3()(2)24402af x f ==-⨯+=，解得2a =，综上，2a =，故选：C 【变式5-1】若函数()ln 12,0()1,0x ax x f x x a x x ⎧+-->⎪=⎨++<⎪⎩的最大值为2a -，则实数a 的取值范围为（）A．(,e]-∞B．10,e ⎛⎤⎥⎝⎦C．1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D．[e,)+∞【答案】C【解析】当x ＜0时，()11()2f x x a x a a a xx =++=--++≤-=--，当且仅当x ＝−1时，()f x 取得最大值f （−1）＝a −2，由题意可得x ＞0时，()()ln 12f x x ax =+--的值域包含于（−∞，a −2]，即ln(1)22x ax a +--≤-在x ＞0时恒成立即ln(1)1x a x +≥+在x ＞0时恒成立，即maxln(1)1x a x +⎡⎤≥⎢⎥+⎣⎦设ln(1)()1x g x x +=+，21ln(1)()(1)x g x x -+'∴=+当0e 1x <<-时，()0,()g x g x >'在(0,e 1)-上单调递增，当e 1x >-时，()0,()g x g x <'在(e 1,)-+∞上单调递减，()()max ln e 1e 1e e g x g ∴=-==1ea ∴≥，故选：C．【变式5-2】若函数()33f x x x =-在区间()2,3a a +上有最小值，则实数a 的取值范围是（）A．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B．()2,1-C．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D．(]2,1--【答案】C【解析】因为函数()33f x x x =-，所以()233f x x ¢=-，当1x <-或1x >时，()0f x '>，当11x -<<时，()0f x '<，所以当1x =时，()f x 取得最小值，因为()f x 在区间()2,3a a +上有最小值，且(1)(2)2f f =-=-所以2213a a -≤<<+，解得112a -≤<，所以实数a 的取值范围是1[1,)2-.故选：C【变式5-3】若函数()()()()2=ln +21,+f x x ax a x x ∞--∈有最小值，则实数a 的取值范围为（）A．()1,0-B．(),1-∞-C．()0,1D．()1,1-【答案】A【解析】由题意可得：()()()()112122ax x f x ax a xx+-'=-+-=∵1x >，则120x -<当0a ≥，则10ax +>当1x >时恒成立，即()0f x '<∴()f x 在()1,+∞上单调递减，则()f x 在()1,+∞上无最值，即0a ≥不成立当1a ≤-，则10ax +<当1x >时恒成立，即()0f x '>，∴()f x 在()1,+∞上单调递增，则()f x 在()1,+∞上无最值，即1a ≤-不成立当10a -<<，令10ax +<，则11x a>->∴()f x 在1,a⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，则()f x 在()1,+∞上有最小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即10a -<<成立故选：A.【变式5-4】设函数()()3230f x ax ax b a =-+>在区间[]1,4上有最大值23，最小值3，求a ，b 的值．【答案】1a =，7b =【解析】因为()323f x ax ax b =-+，所以()236f x ax ax'=-令()()236320f x ax ax ax x '=-=-=，则0x =或2x =由于0a >，[]14x ∈，当()12x ∈，时，()0f x '<；当()24x ∈，时，()0f x '>故在2x =，()323f x ax ax b =-+取得最小值3所以()()28124313223f a a b a b f a a b a b =-+=-+=⎧⎪⎨=-+=-+=⎪⎩或者()()281243464481623f a a b a b f a a b a b =-+=-+=⎧⎪⎨=-+=+=⎪⎩所以10a =，43b =或者1a =，7b =若10a =，43b =，则()32103043f x x x =-+而()3241043044320323f =⨯-⨯+=>，不合题意，舍去；若1a =，7b =，则()3237f x x x =-+，而()3211317523f =-⨯+=<故1a =，7b =题型六函数的极值与最值综合应用【例6】已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求曲线()=y f x 在=1x 处的切线方程；（2）记函数21()2()2g x x bx f x =---，设1x ，212()x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32b ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的最大值．【答案】（1）1y =-；（2）152ln2.8-【解析】（1）()11f x x'=-，所以切线斜率为()10f '=，又()11f =-，切点为()11-，，所以切线方程为：1y =-．（2）21()ln (1)2g x x x b x =+-+，21(1)1()(1),x b x g x x b x x -++'∴=+-+=若32b ≥，则()()()214310b b b +-=+->恒成立，121x x b ∴+=+，121x x =，22112121221()()ln ()(1)()2-=+--+-x g x g x x x b x x x 11221ln (1)()2=-+-x b x x x 11212212()()1ln2+-=-x x x x x x x x 1122211ln ()2=--x x x x x x ，120x x <<，设12x t x =，则01t <<，令11()ln ()2G t t t t =--，01t <<，则222111(1)()(1)022t G t t t t -'=-+=-<，()G t ∴在()01，上单调递减；32b ≥，225(1)4b ∴+≥，2222112212122(1)()x x x x b x x x x +++=+=1221122x x t x x t =++=++，12524t t ∴++≥，241740t t ∴-+≥，104t ∴<≤，∴当14t =时，min 115()()2ln 248==-G t G ，152ln 28∴≤-k ，即实数k 的最大值为152ln 2.8-【变式6-1】己知函数21()2ln (21)(0)2f x x ax a x a =-+->．（1）若曲线(=)y f x 在点(1,(1))f 处的切线经过原点，求a 的值；（2）设2()2g x x x =-，若对任意(0,2]s ∈，均存在(0,2]t ∈，使得()()f s g t <，求a 的取值范围．【答案】（1）=4a ；（2）(0,1ln 2)-.【解析】（1）由21()2ln (21)(0)2f x x ax a x a =-+->，可得2()21f x ax a x'=-+-．因为(1)2211f a a a '=-+-=+，13(1)21122f a a a =-+-=-，所以切点坐标为3(1,1)2a -，切线方程为：()311(1)2a y a x ⎛⎫--=+- ⎪⎝⎭，因为切线经过(0,0)，所以3112aa -=+，解得=4a ．（2）由题知()f x 的定义域为(0,)+∞，21()[(21)2]f x ax a x x '=----，令()f x '=2(21)20ax a x ---=，解得1x a=-或=2x ，因为0,a >所以10a -<，所以12a-<，令()0f x '>，即2(21)20ax a x ---<，解得：12x a -<<，令()0f x '<，即2(21)20ax a x --->，解得：1x a<-或2x >，所以()f x 增区间为(0,2)，减区间为(2,)+∞．因为()22()211g t t t t =-=--，所以函数()g t 在区间(0,2]的最大值为0，函数()f s 在(0,2)上单调递增，故在区间(0,2]上max ()(2)2ln 222f s f a ==+-，所以2ln 2220a +-<，即ln 210a +-<，故1ln 2a <-，所以a 的取值范围是(0,1ln 2)-.【变式6-2】已知实数a 满足12a <≤，设函数()321132a f x x x ax +=-+．（1）当=2a 时，求()f x 的极小值；（2）若函数()()()324362g x x bx b x b =+-+∈R 与()f x 的极小值点相等，证明：()g x 的极大值不大于10.【答案】（1）23；（2）证明见解析【解析】（1）当=2a 时()3213232f x x x x =-+，所以()()()23212f x x x x x =-+=--'．列表如下：x (),1-∞1()1,22()2,+∞()f x '+0－0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以()f x 的极小值为()223f =．（2）证明：()()()()211f x x a x a x x a '=-++=--．由于1a >，所以当x a >或1x <时()0f x '>，当1x a <<时()0f x '<，即()f x 在(),1-∞和(),a +∞上单调递增，在()1,a 上单调递减，所以当=x a 时，()f x 取极小值，所以()g a 为()g x 的极小值，而()()()()2=12+66+2=612++2g x x bx b x x b --'，所以22b a +=-，即()21b a =-+．所以当x a >或1x <时()0g x '>，当1x a <<时()0g x '<，即()g x 在(),1-∞和(),a +∞上单调递增，在()1,a 上单调递减，又因为12a <≤，所以()()()14362386210g x g b b b a ==+-+=--=-≤极大值．故()g x 的极大值不大于10．【变式6-3】已知函数()2e xf x x -=.（1）求()f x 的单调区间和极值.（2）若关于x 的方程()f x k =有唯一的实数根，求实数k 的取值范围.【答案】（1）递增区间为()0,2，递减区间为(),0∞-，()2,+∞，极小值为0，极大值为24e -；（2）{}()204e,-+∞【解析】（1）()()()222e e 2e 2e x x x xf x x x x x x x ----'=-=-+=--，由()0f x '<得0x <或2x >，由()0f x '>得02x <<，所以()f x 的递增区间为()0,2，递减区间为(),0∞-，()2,+∞.极小值为()00f =，极大值为()224e f -=.（2）方程()f x k =有唯一的实数根等价于函数()y f x =与直线y k =有唯一的交点，画出()f x 的大致图像如图所示，所以实数k 的取值范围为{}()204e,-+∞.。
最大值点最小值点
最大值点最小值点在数学中，函数的最大值点和最小值点是非常重要的概念。
最大值点是函数在定义域上取得最大函数值的点，相对应的，最小值点则是函数在定义域上取得最小函数值的点。
这些点在函数的图像中通常表现为曲线的局部极大值和局部极小值。
什么是最大值点？函数的最大值点指的是在一定区间内，函数取得最大值的点。
数学上通常用极值来描述这种情况。
在实际问题中，最大值点可能表示某种最大收益、最大利润、最大产量或者最大效率等。
有时候，最大值点也可能对应着某个物体的最高点或最大速度等。
如何判断最大值点？要找到一个函数的最大值点，通常需要进行导数求解。
在数学上，导数可以描述函数在某点的斜率，而最大值点对应于函数导数为零的点。
通过求解函数的导数，然后令导数等于零，可以得到可能的最大值点所在的横坐标。
什么是最小值点？最小值点与最大值点相比，是函数在定义域上取得最小函数值的点。
在实际问题中，最小值点可能表示某种最小成本、最小损失、最小体积等。
有时候，最小值点也对应着某个物体的最低点或最小速度等。
如何判断最小值点？与最大值点类似，要找到一个函数的最小值点，同样需要进行导数求解。
函数的导数为零的点可能对应函数的最小值点。
通过求解函数的导数，然后令导数等于零，可以得到可能的最小值点所在的横坐标。
最大值点和最小值点在函数图像中的表现最大值点和最小值点在函数的图像中通常表现为曲线的局部极大值或局部极小值。
最大值点对应的是曲线上的山峰，而最小值点对应的是曲线上的低谷。
通过观察函数的图像，可以直观地找到函数的最大值点和最小值点。
总结最大值点和最小值点是函数中的重要概念，可以用来描述函数在定义域上的极值情况。
通过导数求解，我们可以找到函数的最大值点和最小值点所在的位置。
在实际问题中，最大值点和最小值点有着重要的应用，可以帮助我们优化决策和分析问题，寻找最佳解决方案。
极值的求法
极值的求法
若f（a）是函数f（x）的极大值或极小值，则a为函数f（x）的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点。
极值点是函数图像的某段子区间内上极大值或者极小值点的
横坐标。
极值点出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处（导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在）。
设函数f（x）在x。
附近有定义，如果对x。
的去心邻域，都有f（x）<f（x），则f（x）是函数f（x）的一个极大值；如果对x。
附近的所有的点，都有f（x）> f（x），则f（x）是函数f（x）的一个极小值，对应的极值点就是x。
设函数y=f(x)在点x0处连续,且在点x0的某一去心邻域内可导,如果在该邻域内
(1)当x<x0时, f ' (x)>0;而当x>x0时, f ' (x)<0,则f(x)为f(x)的极大值;
(2)当x<x0时, f ' (x)<0;而当x>x0, f ' (x)>0,则f(x)为f(x)的极小值;
(3)若在点 x0 的两侧 f ' (x)不变号,则fx0)不是f(x)的极值。
导数极值点
导数极值点
导数极值点是指利用函数的导数来研究函数的取值规律的方法，也叫极大值点和极小值点。
它可以帮助我们理解函数的变化特征，并且能够指导我们做出正确的决策。
本文将详细介绍导数极值点的概念、特性、计算方法以及在实际应用中的作用。
首先，我们来看看什么是导数极值点。
导数极值点就是指在函数曲线上凹凸变化极大或极小的点，即函数全局极大值点或极小值点。
换句话说，当函数在某一点取得极大值或极小值时，这个点就称为导数极值点。
其次，我们来了解一下导数极值点的特性。
一般来说，导数极值点的函数具有一定的特性。
例如，导数极大值点处的函数值变化为负，而导数极小值点处的函数值变化为正。
此外，导数极值点处的函数的导数值为零，即函数的导数在极值点处断绝。
再次，我们看看如何计算函数的导数极值点。
由于函数的导数极值点对应着函数的极大值点或极小值点，因此要求函数的导数极值点，就要求函数的导数为零。
一般来说，函数的导数极值点可以通过积分或微分法来求出。
最后，我们来看看导数极值点在实际应用中的作用。
导数极值点可以用于研究函数中不同参数值对函数形状的影响，并可以为运筹学、经济学、物理学以及其他学科的研究做出贡献。
此外，导数极值点也可以使我们在解决实际问题的过程中作出正确的选择，从而有效获得更好的结果。
总而言之，导数极值点是指利用函数的导数来研究函数的取值规律的方法，它的特性、计算方法及其在实际应用中的作用均有所不同。
希望通过本文的介绍，能够帮助读者理解导数极值点的概念及其应用。
极大值与极小值
一、函数极值概念的理解
问题1 如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？ 提示 在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷.
问题2 你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？
提示 以山峰x＝x1处为例来研究， 在x＝x1处，它附近的函数值都比它小， 且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，且有f′(x)>0， 在x＝x1处的右侧函数是单调递减的， 且有f′(x)<0，函数图象是连续不断的， f′(x)的变化也是连续不断的，并且有f′(x1)＝0.
知识梳理
极值的概念 一般地，若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有f(x)≤f(x1)，则称f(x1) 为函数f(x)的一个 极大值 ；当x∈(x2－δ，x2＋δ)时，都有f(x)≥f(x2)，则称 f(x2)为函数f(x)的一个 极小值 .函数的极大值、极小值统称为函数的 极值 .
注意点：(1)把函数取得极大值时的x的值称为极大值点，把函数取得极小 值时的x的值称为极小值点，极大值点与极小值点统称为极值点，故极值 点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值 与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是 极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝ x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的 极值点.
解析 对于①，当x∈(3,4)时，f′(x)<0，f(x)是减函数， 当x∈(4,5)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，所以①错误； 对于②，当 x∈－12，2时，f′(x)>0，f(x)是增函数， 当x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)是减函数，所以②错误； 对于③，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，所以③正确； 对于④，当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)是增函数， 故当 x＝－12时，f －12不是极大值，所以④错误； 对于⑤，由②知当x＝2时，函数y＝f(x)取得极大值，所以⑤正确.
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1.3 导数在研究函数中的应用
——极大值与极 小值
淮安市清河中学 丁婵婵
对于函数f ( x )， 如果在某区间上 f ( x ) 0 ,
'
那么f ( x )为该区间上的增函数 如果在某区间上 f ( x ) 0 ,
'
那么f ( x )为该区间上的减函数
利用导数判断函数单调性的基本步骤： (1)确定函数 f ( x )的定义域 ' (2)求导数 f ( x ) (3)在函数定义域内解不等式
'
(2)列表判断 (3)下结论
例2
设函数f ( x ) ax bx cx ,
3 2
在x 1和x 1处有极值， 且f (1) 1, 求a , b, c的值， 并求出相应的极值
例3
设函数f ( x ) ax bx cx d
3 2
的图象与y轴交于点P，且曲线 在点P处的切线方程为24 x y 12 0 若函数在x 2处取得极值 16，试求 函数解析式并确定函数的单调区间
如果对x0附近的所有点x，都有f ( x ) f ( x0 ) 则称f ( x0 )是函数f ( x )的一个
极小值
称x0是函数f ( x )的一个 极小值点
函数的极值与函数的导数有怎样的关系呢？
x1
x2
x3
的导数均为0
极值是一个局部概念 (2)函数在极值点附近的左右两侧 极值不唯一 单调性相反 导数异号 极大值与极小值没有确定的大小关系
f ( x ) 0和f ( x ) 0
' '
(4)确定 f ( x ) 的单调区间
f(x1)是函数 的极大值
x1
极大值点
x2
极小值点
f(x2)是函数 的极小值
极大值与极小值
设函数f ( x )在x0及其附近有定义， 如果对x0附近的所有点x，都有f ( x ) f ( x0 ) 则称f ( x0 )是函数f ( x )的一个 极大值 称x0是函数f ( x )的一个 极大值点
例1
求下列函数的极值： (1) f ( x ) x x 2
2
1 3 1 (2) f ( x ) x 4 x 3 3
思考： 当f ( x0 ) 0时，能否肯定
'
函数f ( x )在x0处取得极值？
不能
求函数y f ( x )的极值的方法：
(1)解方程f ( x ) 0求出可能的极值x0