极大值点与极小值点

例1
求下列函数的极值： (1) f ( x ) x x 2
2
1 3 1 (2) f ( x ) x 4 x 3 3
思考： 当f ( x0 ) 0时，能否肯定
'
函数f ( x )在x0处取得极值？
不能
求函数y f ( x )的极值的方法：
(1)解方程f ( x ) 0求出可能的极值x0
如果对x0附近的所有点x，都有f ( x ) f ( x0 ) 则称f ( x0 )是函数f ( x )的一个
极小值
称x0是函数f ( x )的一个 极小值点
函数的极值与函数的导数有怎样的关系呢？
x1
x2
x3
x4
x5
x6
(1)函数在极值点处的导数均为0
极值是一个局部概念 (2)函数在极值点附近的左右两侧 极值不唯一 单调性相反 导数异号 极大值与极小值没有确定的大小关系
f ( x ) 0和f ( x ) 0
' '
(4)确定 f ( x ) 的单调区间
f(x1)是函数 的极大值
x1
极大值点
x2
极小值点
f(x2)是函数 的极小值
极大值与极小值
设函数f ( x )在x0及其附近有定义， 如果对x0附近的所有点x，都有f ( x ) f ( x0 ) 则称f ( x0 )是函数f ( x )的一个 极大值 称x0是函数f ( x )的一个 极大值点
1.3 导数在研究函数中的应用
——极大值与极 小值
淮安市清河中学 丁婵婵
对于函数f ( x )， 如果在某区间上 f ( x ) 0 ,
'
那么f ( x )为该区间上的增函数 如果在某区间上 f ( x ) 0 ,
'
那么f ( x )为该区间上的减函数
利用导数判断函数单调性的基本步骤： (1)确定函数 f ( x )的定义域 ' (2)求导数 f ( x ) (3)在函数定义域内解不等式
'
(2)列表判断 (3)下结论
例2
设函数f ( x ) ax bx cx ,
3 2
Biblioteka Baidu
在x 1和x 1处有极值， 且f (1) 1, 求a , b, c的值， 并求出相应的极值
例3
设函数f ( x ) ax bx cx d
3 2
的图象与y轴交于点P，且曲线 在点P处的切线方程为24 x y 12 0 若函数在x 2处取得极值 16，试求 函数解析式并确定函数的单调区间