江苏省无锡市、常州市2020届高三第二学期5月联考数学试卷含附加题试题与答案

无锡市、常州市2020届高三5月学情调查数学试题Ⅰ一、填空题：本题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．1．已知集合{}0,1,2M =，集合{}0,2,4N =，则M N ⋃=_________．2．已知复数12z i =+（i 为虚数单位），则2z 的值为_________．3．袋中装有形状，大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_________．4．某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600．现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n =_________．5．执行如图所示的伪代码，输出的结果是_________．6．若曲线()x f x mxe n =+在()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +=_________． 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是抛物线24y x =与双曲线2221(0)4x y b b -=>的一个交点．若抛物线的焦点为F ，且5FA =，则双曲线的渐近线方程为_________．8．已知{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和．若32a =，1264S S =，则9a 的值为_________．9．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是a ，点P ，Q 分别为棱1CC ，BC 的中点，四面体11A B PQ 的体积为2，则a 的值为_________．10．已知(0,)2πα∈且3cos25α=，则tan 4tan 4παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭_________． 11．若关于x ，y 的方程组：1mx y x y n+=⎧⎨+=⎩在[]1,2x ∈上有解，则22m n +的最小值为__________． 12．已知正实数a ，b 满足22a b +=，则41()()a b a b ++的最小值为_________． 13．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆22:40C x x y -+=上两动点，且2AB =，点P坐标为，则3|2|PB PA -u u u r u u u r 取值范围为__________．14．已知函数324,0()2,0x x b x f x x x ⎧-++<=⎨≥⎩，若函数()()1g x f f x =-⎡⎤⎣⎦恰有三个不同的零点，则实数b 的取值范围是_________．二、解答题：本答题共6分，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．15．（本小题满分14分）'在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知os c A =，b =c = （1）求边a 的值；（2）求()cos B A -的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中．（1）若AD ⊥平面P AB ，PB PD ⊥，求证：平面PBD ⊥平面P AD ；（2）若//AD BC ，2AD BC =，E 为P A 的中点，求证：//BE 平面PCD ．17．（本小题满分14分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，P 是椭圆上的一个动点（不与左右顶点重合），且12PF F V 的周长为6．点P 关于原点的对称点为Q ，直线AP ，2OF 交于点M ．（1）求椭圆的方程；（2）若直线2PF 与椭圆交于另一点N ，且224AF M AF N S S =V V ，求点P 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，建筑公司是某单位委托，拟新建两栋办公楼AB ，CD （AC 为楼间距），两楼的楼高分别为m a ，m b ，其中b a >．由于委托单位的特殊工作性质，要求配电房设在AC 的中点M 处，且满足两个设计要求：①90BMD ∠=︒，②楼间距与两楼的楼高之和的比()0.8,1λ∈．（1）求楼间距AC （结果用a ，b 表示）；（2）若45CBD ∠=︒，设k =，用k 表示λ，并判断是否能满足委托单位的设计要求？19．（本小题满分16分〉 已知函数2()1xe f x ax bx =++，其中0a >，b R ∈，e 为自然对数的底数． （1）若1b =，[0,)x ∈+∞，①若函数()f x 单调递增，求实数a 的取值范围；②若对任意0x ≥，()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值前围．（2）若0b =，且()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：1231()()2f x f x e a +<+<． 20．（本小题满分16分）已知数列{}*,n a n N ∈满足奇数项6{}*21,n a n N -∈成等差，公差为d ，偶数项{}*2,n a n N ∈成等比，公比为q ，且数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =．（1）若5452S a a =+，934a a a =+．①求数列{}n a 的通项公式；②若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值；（2）若1d =，1q >，对任意给定的q ，是否存在实数λ，使得212||n na a λ-<对任意n N *∈恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．2020届高三5月学情调查数学试题Ⅱ注意事项：21．（B ）（本小题满分10分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1205B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求矩阵AB ；（2）若1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求a ，b 的值． 21．（C ）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos2x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）已知正四棱锥P ABCD -的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）：若这两条棱所在的直线平行，则0ξ=；若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）．（1）求()0P ξ=的值：（2）求随机变量ξ的分布列及数学期望()E ξ．23．（本小题满分10分）给定整数3()n ≥，记()f n 为集{}1,2,,21n -L 满足如下两个条件的子集A 的元素个数的最小值：（a ）1A ∈，21n A -∈；（b ）A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和． （1）求()3f 的值；（2）求证：()100108f ≤．2020届高三5月学情调查数学Ⅰ试题答案一、填空题，本题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．1．{}0,1,2,4 2．34i -+ 3．564．635．8 6．12e + 7．3y x =± 8．6 9．210．19 11．95 12．25213． 14．2b <-二、解答题；本答题共6分，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．15．（本小题满分14分）解：（1）在ABC V 中，os c A =b =c =∴222cos 2252()910A a b c bc =+-=+--=， ∵0a >，∴3a =．（2）在ABC V 中，∵1os 0c A =- ∴(,)2A ππ∈，∴in s A ===，在ABC V 中，sin sin a b A B =sin B =，∴sin 5B =， 又(,)2A ππ∈，∴(0,)2B π∈，∴cos B ===． ∴cos cos co s s(i n )n si B A AA B B -=+(10=+=． 16．（本小题满分14分）（1）因为AD ⊥平面P AB ，PB ⊂平面P AB ，所以AD PB ⊥，又因为PB PD ⊥，且AD PD D =，,AD PD ⊂平面P AD ，所以PB ⊥平面P AD ，又因为PB?平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面P AD ．（2）取PD 的中点F ，连结EF ，因为E ，F 分别是P A ，PD 的中点，所以//EF AD ，且2AD EF =，又因为四边形ABCD 为直角梯形且//AD BC ，2AD BC =， 所以//EF BC 且EF BC =，所以四边形EFCB 是平行四边形，所以//BE CF ， 又CF ⊂平面PCD ，BE ⊄平面PCD ，所以//BE 平面PCD ．17．（本小题满分14分）解：（1）因为椭圆的离心率为12，12PF F ∆的周长为6， 设椭圆的焦距为2c ，则2222612a c c abc a+=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩解得，2a =，1c =，b = 所以椭圆的方程为22143x y +=．（2）设,()P m n ，则22143m n +=，(,)Q m n --， 所以AP 的方程为(2)2n y x m =++① 若1m =-，则2QF 方程为1x =②，由对称性不妨令P 在x 轴上方， 则3(1,)2P -，3(1,)2Q -，联立①②解得9(1,)2M ，2PF 方程为3(1)4y x =--， 代入椭圆方程得139(,)714N -， 故22||74||M N N AF MAF S y S y ==≠V V ，不合题． 若1m ≠-，则2QF 方程为(1)1n y x m =-+③． 联立①③可得343x m y n =+⎧⎨=⎩，(34,3)M m n +． 因为224AF M AF N S S =V V ，所以4M N y y =． 又因为M ，N 位于x 轴异侧，所以34N n y =-． 由直线2PF 方程(1)1n y x m =--得：734N m x -=， 将点733(,)44m n N --，代入椭圆方程得22733()()44143m r --+= 又2143m n +=，故22()1634397m n -+= 即22()734974m m --=， 所以12m =，4n =± 所以点P坐标为1(,24或1(,24-． 解法二：设(),P m n ，则22143m n +=(,)Q m n --， 所以AP 的方程为(2)2n y x m =++①2QF 方程为11m x y n+=+②， 联立①②解得()34,3M m n +，因为224AF M AF N S S =V V ，所以4M N y y =又因为M ，N 位于x 轴异侧，所以34N n y =-． 山直线2PF 方程11m x y n -=+得：734N m x -=（下同法一）． 18．（本小题满分16分） 解：（1）∵在ABM V 中，2tan 2BMA a c c c∠==， 在CDM V 中，2tan DMC b b c c∠==， ∵90BMD ∠=︒，∴90BMA DMC ∠+∠=︒， ∴tan tan 1BMA DMC ∠⋅∠=，即24c ab =，∴c =．（2）22211k k k kλ===++ 在CBD V 中，过点B 作CD 的垂线，垂足为E ， ∴tan CB a E c ∠=，tan DBE b a c-∠=， ∴tan tan()CBD CBE DBE ∠=∠+∠ tan tan 1tan tan CBE DBE CBE DBE∠+∠=-∠⋅∠1114b ===-322a b=+.因为k =23122k k =+，即322310k k --=， 设32()231f x x x =--，1x >，∴2()666(1)0f x x x x x '=-=->，∴函数()f x 单调递增，若()0.8,1λ∈，则1522k k <+<，即12k <<． ∵()120f =-<，()230f =>，∴12k <<成立，∴()0.8,1λ∈，∴能满足委托单位的设计要求．答：（1）楼间距AC为m ；（2）能满足委托单位的设计要求．19．（本题满分16分）解：（1）①因为2()1xe f x ax x =++单调递增， 所以222(12)()0(1)x e ax a x f x ax x ⎡⎤+-⎣⎦'=≥++任意,[)0x ∈+∞恒成立，即21ax a ≥-对任意,[)0x ∈+∞恒成立，∴210a -≤，即102a <≤； ②由①当102a <≤时，2()1xe f x ax x =++单调递增，故()1f x ≥成立， 当12a >，令()0f x '=得21a x a-= ∴()f x 在21(0,)a a -上递减， ∴21()(0)1a f f a-<=不合题； （2）因为2()1xe f x ax =+，x R ∈存在两个极值点1x ，2x 所以222(21)()0(1)x e ax ax f x ax -+'==+有两个不同的解， 故2440a a ∆=->，又0a >，所以1a >，设两根为()1212,x x x x <，则122x x +=，121x x a=，故101x <<， ()()121212221212211111x x x x e e e e f x f x x x ax ax x x +=+=+++++()1112211211222x x x x e x e x e x e x x x --++==+ 令2(2)()2x x e x e F x x --+=， 因为2(1)(1)()02xx e x e x e F x --+'=>， 所以()F x 在()0,1上递增，所以()()1F x F e <=；又()()1121211132()23(2)x x e x f x f x e x x x a e +-=-+--⎡⎤⎣⎦令()0G x '=得3x e =±又(0,1)x ∈，则3x e =即ln(3x =，记为0x ，则()G x 在()00,x 上递增，在()0,1x 上递减，又()02G =，()1232G e =->，所以()()02G x G >=， 即23()()12f x f x a+>+， 综上：1231()()2f x f x e a+<+<． 解法二：由（1）当0x ≥时，21112xe x x ≥++恒成立， 所以有当0x >时，2112x e x x >++， 所以21121222121221()()1111x x x x e e e e f x f x x x ax ax x x +=+=+++++ 22211122121111222x x x x x x x x e x e x x x ⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=>+ ()1221212121233211222x x x x x x x x x x a++++==+=+． 20．（本题满分16分）（1）①因为5452S a a =+，934a a a =+，所以1234a a a a ++=，934a a a =+即4232d q d q+=⎧⎨=⎩，解得2d =，3q =．当n 为奇数时，设21n k =-，则211(1)21n k a a a k d k n -==+-=-=当n 为偶数时，设2n k =， 则1122223n k n k a a a q --===⋅ 综上12,21,23,2n n n n k a k N n k-=-⎧⎪=∈⎨⎪⋅=⎩. ②当n 为奇数时，12232m m m -⋅=+，即122231m m -⋅=+， 当1m =时，不合题；当3m ≥时，右边小于2，左边大于2，等式不成立； 当n 为偶数时，13m +=，所以2m =．综上，2m =．（2）当0λ=时，由于212122n n a na q--==各项， 所以2120n na a ->，所以0λ=合题； 当0λ≠时，假设212||n n a a λ-<对任意n N ∈恒成立， 即1||2n n q λ->对任意n N ∈恒成立，所以2||n q qλ>. 令02||q λλ=，即0q n qλ>对任意n N ∈恒成立．先证：ln x <对任意0x >恒成立．令()ln f x x =，则1()2f x x x'=-=， 所以()f x 在()0,4上递减，在(4,)+∞上递增， 所以()()min 42ln40f x f ==->，即ln x <对任意0x >恒成立，所以ln n <所以当24ln n q>时，n n q n >， 即02n n n n qλ>>解得01n λ<， 所以当01n λ>且24ln n q>时，021n n n q n n λ<=< 这与0n n qλ>对任意n N ∈恒成立不后， 所以当0λ≠时不合题； 综上λ的取值范围为{0}．。