数学高考圆锥曲线压轴题

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2024年高考数学一轮复习(新高考版)《圆锥曲线压轴小题突破练》课件ppt

|PF1|＋|PF2|＝2a1， |PF1|－|PF2|＝2a2，
得||PPFF12||＝＝aa11＋－aa22，，
设|F1F2|＝2c，因为∠F1PF2＝π3，
由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，
即 4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos π3，整理得 a21＋3a22＝4c2，故e121＋e322＝4. 又 4＝e121＋e322≥2 e121×e322＝2e1e32，即 2≥e1e32，所以 e1e2≥ 23，
即 p2 ＝ 42
32·94p⇒p＝2，∴|AB|＝92.
3
题型三圆锥曲线与其他知识的综合
例4 (多选)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则
唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C： ax22－by22 ＝1(a>0，b>0) 的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一
周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为
3
2
√C.0，12
B.
23，1
D.12，1
连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时，设直线PA，PB分别与圆O切于点A，B，∠OPA＝α， ∵存在M，N使得∠MPN＝120°， ∴∠APB≥120°，即α≥60°，又α<90°， ∴sin α≥sin 60°，连接 OA，则 sin α＝||OOPA||＝|ObP|≥ 23， ∴|OP|≤ 2b3.

高考圆锥曲线压轴题(抛物线)

高考压轴题（抛物线）1、 (本小题满分14分)如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0),M 为直线y =-2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .（Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M 点的坐标为（2，-2p ）时，410AB =，求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.2、（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．3、如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB.（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹4、如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB.5、抛物线C 的方程为)0(2<=a ax y ，过抛物线C 上一点P(x 0,y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1,k 2的两条直线分别交抛物线C 于A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)两点(P,A,B 三点互不相同)，且满足)10(012-≠≠=+λλλ且k k .（Ⅰ）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线AB 上一点M ，满足MA BM λ=，证明线段PM 的中点在y 轴上；（Ⅲ）当λ=1时，若点P 的坐标为（1，-1），求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围.x y O A B P F l6、已知动圆过定点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >. （I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.7、如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线，与抛物线2y x =相交于AB 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于,P Q ，（1）若2OA OB ⋅=，求c 的值；（5分）（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。

高中数学圆锥曲线压轴题大全

高中数学圆锥曲线压轴题大全(总25页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-数学压轴题圆锥曲线类一1．如图，已知双曲线C ：x a yba b 2222100-=>>()，的右准线l 1与一条渐近线l 2交于点M ，F 是双曲线C 的右焦点，O 为坐标原点.（I ）求证：O M M F→⊥→；（II ）若||MF →=1且双曲线C 的离心率e =62，求双曲线C 的方程；（III ）在（II ）的条件下，直线l 3过点A （0，1）与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q 且P在A 、Q 之间，满足A P A Q →=→λ，试判断λ的范围，并用代数方法给出证明.2．已知函数f x x n x n f n n x n n N ()()[()]()(*)=≤--+--<≤∈⎧⎨⎩00111，，数列{}a n 满足a f n nN n=∈()(*) （I ）求数列{}a n 的通项公式；（II ）设x 轴、直线x a =与函数y f x =()的图象所围成的封闭图形的面积为Sa a ()()≥0，求S nS n n N ()()(*)--∈1；（III ）在集合M N N kkZ ==∈{|2，，且10001500≤<k }中，是否存在正整数N ，使得不等式a S n S n n->--10051()()对一切n N >恒成立？若存在，则这样的正整数N 共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N ；若不存在，请说明理由.（IV ）请构造一个与{}a n 有关的数列{}b n ，使得l i m ()n nb b b →∞+++12 存在，并求出这个极限值. 19. 设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||A B F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP O Q →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.3. 已知数列{}a n 的前n 项和为S n N n ()*∈，且S m m a n n=+-()1对任意自然数都成立，其中m 为常数，且m <-1. （I ）求证数列{}a n 是等比数列；（II ）设数列{}a n 的公比q f m =()，数列{}b n 满足：b a b f b n n 11113==-，() ()*n n N ≥∈2，，试问当m 为何值时，l i m (l g )l i m (n b a n b b b b b b n n →∞=→∞+++3122334…+-b b n n 1)成立？4．设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆和x 轴正半轴于P ，Q 两点，且P 分向量AQ 所成的比为8∶5．（1）求椭圆的离心率；（2）若过F Q A ,,三点的圆恰好与直线l ：033=++y x 相切，求椭圆方程．5．（理）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n ≥-+211的所有无穷等差数列{}n a ，试求1221++++++=n n n a a a y 的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．（文）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n =-+211的所有无穷等差数列{}n a ，试求1221++++++=n n n a a a y 的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．6．垂直于x 轴的直线交双曲线2222=-y x 于M 、N 不同两点，A 1、A 2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A 1M 与A 2N 交于点P （x 0，y 0）（Ⅰ）证明：;2202为定值y x +（Ⅱ）过P 作斜率为02y x -的直线l ，原点到直线l 的距离为d ，求d 的最小值. 7．已知函数x x x f sin )(-= （Ⅰ）若;)(],,0[的值域试求函数x f x π∈（Ⅱ）若);32(3)()(2:),,0(],,0[xf x f f x +≥+∈∈θθπθπ求证（Ⅲ）若)32(3)()(2,),)1(,(],)1(,[xf x f f Z k k k k k x ++∈+∈+∈θθππθππ与猜想的大小关系（不必写出过程）.数学压轴题圆锥曲线类二1．如图，设抛物线2:xy C=的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB. 2．设A 、B 是椭圆λ=+223y x上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图）3．已知不等式n n n 其中],[log 21131212>+++ 为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足 ,4,3,2,),0(111=+≤>=--n a n na a b b a n n n（Ⅰ）证明 ,5,4,3,][log 222=+<n n b ba n （Ⅱ）猜测数列}{n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当N n>时，对任意b>0，都有.51<n a4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若点P 为l 上的动点，求∠F 1PF 2最大值．5．已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且()22f x x x =+．(Ⅰ)求函数()g x 的解析式；(Ⅱ)解不等式()()1g x f x x ≥--；(Ⅲ)若()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围．数学压轴题圆锥曲线类三1．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x aca P F +=||1；（Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2b若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.2．函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g += （Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ；（Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.3．已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈（I ）证明数列{}1n a +是等比数列；（II ）令212()nn f x a x a x a x=+++，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小.4．已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.5．椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程；（Ⅱ）若直线2:+=kx y l与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围.6.数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a n n a a nn n 且. （Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=….7．已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(,21,110N n a a a a n n n ∈-==+ （1）证明;,21N n a a n n ∈<<+（2）求数列}{n a 的通项公式a n .1.解：（I ）右准线l 12：x a c =，渐近线l 2：y bax =∴=+M a c a b cF c c a b()()22220，，，，，∴→=O M a c a b c ()2， M F c a c a b c b c a bc →=--=-()()22，，O M M F a b c a bc O M M F →⋅→=-=∴→⊥→2222220 ……3分（II ） e b a e a b =∴=-=∴=621222222，，||()M F b c a b c b b a cb a →=∴+=∴+=∴==1111142222222222，，， ∴双曲线C 的方程为：x y 2221-= ……7分（III ）由题意可得01<<λ ……8分证明：设l 31：y k x =+，点P x y Q x y ()()1122，，， x =由x y y kx 22221-==+⎧⎨⎩得()1244022--+=kx k x l 3与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q∴-≠=+->+=->=-->⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪∴≠±<<-<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪120161612041204120221012022212212222k k k x x k k x x k k k k k ∆() ∴-<<-122k ……11分 A P A Q x y x y →=→∴-=-λλ，，，()()112211，得x x 12=λ∴+=-=--∴+=--=-=+-()()()1412412116412421222122222222222λλλλx k k x kk k k k k ， -<<-∴<-<∴+>12202111422k k ，，()λλ∴+>∴-+>()1421022λλλλ∴λ的取值范围是（0，1）……13分 2.解：（I ） nN ∈* ∴=--+-=+-f n n n n f nn f n ()[()]()()111 ∴--=f n f n n()()1 ……1分 ∴-=-=-=f f f f f f ()()()()()()101212323……fn fn n ()()--=1 将这n 个式子相加，得fnf n n n ()()()-=++++=+012312f f n n n ()()()0012=∴=+∴=+∈a n n n N n()(*)12……3分（II ）S n S n ()()--1为一直角梯形（n =1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为fn f n ()()-1，，高为1∴--=-+⨯=+-S n S n f n f n a a n n()()()()112121=-++=12121222[()()]n n n n n……6分（III ）设满足条件的正整数N 存在，则n n n nn ()+->⇔>⇔>12100522100520102 又M ={}200020022008201020122998，，，，，，，∴=N 201020122998，，……，均满足条件它们构成首项为2010，公差为2的等差数列. 设共有m 个满足条件的正整数N ，则2010212998+-=()m ，解得m =495 ∴M 中满足条件的正整数N 存在，共有495个，N m i n =2010 ……9分（IV ）设b a nn=1，即b n n n n n =+=-+212111()()则b b b n n n n 122112121313141112111+++=-+-+-++-+=-+ [()()()()]()显然，其极限存在，并且l i m ()l i m []n nn b b b n →∞→∞+++=-+=122112 ……10分注：b c a n n=（c 为非零常数），b b q q n a n n a n n n ==<<++()(||)12012121，等都能使l i m ()n n b b b →∞+++12 存在. 19.解：（I ） ec a =∴=2422，c a a c 22312=+∴==，， ∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±33 4分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()Mx y ，[]2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分）（III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[] O P O Q xx y y xx k x x xx k xx x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·0110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k xx k k i i =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222 由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l . 14分3.解：（I ）由已知S m m a n n ++=+-1111()()S m m a n n=+-()1 （2）由()()12-得：a m a m a n n n ++=-11，即()m a m a n n+=+11对任意n N ∈*都成立 {} m m a a m m a n n n 为常数，且即为等比数列分<-∴=++1151（II ）当n =1时，a m m a 111=+-() ∴====+∴==+≥∈---a b I q f m mm b f b bb n n N n n n n 11111113112，从而由（）知，()()()* ∴=+-=∴⎧⎨⎩⎫⎬⎭∴=+-=+=+∈--1111111131212911b b b b b b n n b n n N n n n n n n n，即为等差数列，分()()*a m m n n =+⎛⎝ ⎫⎭⎪-11∴→∞=→∞-++=+→∞+++=→∞-+-+++-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-l i m (l g )l i m l g l g l i m ()l i m n b a n n n m m mm n bb bb b b n n n n nn n 121133131414151112112231·……由题意知lg mm +=11，∴+=∴=-m m m 110109， 13分4.解：（1）设点),0,(),0,(0c F x Q -其中),0(,22b A b a c -=．由P 分AQ 所成的比为8∶5，得)135,138(0b x P ， 2分 ∴a x a x 231)135()138(022202=⇒=+．①， 4分而AQ FA b x AQ b c FA ⊥-==),,(),,(0，∴0=⋅AQ FA ．cb x b cx 2020,0==-∴．②， 5分由①②知0232,32222=-+∴=a ac c ac b ．∴21.02322=∴=-+e e e ． 6分（2）满足条件的圆心为)0,2(22cc b O -'， )0,(,2222222c O c cc c a c c b '∴=--=-， 8分圆半径a ca cb r ==+=22222．10分由圆与直线l ：033=++y x 相切得，a c =+2|3|，又3,2,1,2===∴=b a c c a ．∴椭圆方程为13422=+y x ． 12分5.（理）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分 dn a n nd a d a a a a a y n n n n n n n )21()1()()(11111221+++++=+++++=+++=+++++++d n n a n n 2)1()1(1+++=+ 4分)2)(1()2)(1(1111a a a n nda n n n n -++=++=+++)3(2111a a n n -+=+． 7分又211211,++--≤-∴≥-n n a b a b a a ．∴449449)23(332112111b b a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-≤-++++，当且仅当231=+n a 时，等号成立． 11分∴8)49)(1()3(2111b n a a n y n -+≤-+=+． 13分当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8)49)(1(b n y -+=，∴y 的最大值为8)49)(1(b n -+． 14分（文）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分 )2)(1(2)1()1()21()1()()(1111111221nda n d n n a n d n a n nd a d a a a a a y n n n n n n n n n ++=+++=+++++=++++=+++=+++++++++)3(21)2)(1(11111a a n a a a n n n n -+=-++=+++， 6分又211211,++--=-∴=-n n a b a b a a ．∴449449)23(332112111b b a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-=-++++．当且仅当231=+n a 时，等号成立． 11分∴8)49)(1()3(2111b n a a n y n -+=-+=+． 13分当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8)49)(1(b n y -+=．∴y 的最大值为8)49)(1(b n -+． 14分6.解（Ⅰ）证明：)0,2(),0,2(),,(),,(211111A A y x N y x M --- 则设)2(2111++=∴x x y y M A 的方程为直线①直线A 2N 的方程为)2(211---=x x y y ②……4分①×②，得)2(2221212---=x x y y分为定值的交点与是直线即822),(22),2(21,222020210022222121 =+∴=+--=∴=-y x N A M A y x P y x x y y x（Ⅱ）02222),(20020200000=-+=+--=-y y x x y x x x y x y y l 整理得结合的方程为22020201222242y yyx d +=+=+=于是……10分11221122220202020≥+=∴≤+∴≤∴=+y d y y y x 当1,1,1200取最小值时d y y =±=……12分7.解：（Ⅰ）为增函数时当)(,0cos 1)(,),0(x f x x f x ∴>-='∈π分的值域为即求得所以上连续在区间又4],0[)()(0),()()0(],0[)( ππππx f x f f x f fx f ≤≤≤≤（Ⅱ）设)32(3)()(2)(x f x f f x g +-+-=θθ，32sin3sin )(2)(xx f x g +++-=θθ即 )32cos cos (31)(xx x g ++-='θ……6分θπθπθπ=='∈+∴∈∈x x g xx 得由,0)(),0(32),0(],,0[ .)(,0)(,),0(为减函数时当x g x g x <'∈∴θ分为增函数时当8)(,0)(,),( x g x g x >'∈πθ 分因而有对的最小值为则上连续在区间10)32(3)()(20)()(],0[)()(],0[)( x f x f f g x g x x g g x g +≥+=≥∈θθθπθπ （Ⅲ）在题设条件下，当k 为偶数时)32(3)()(2xf x f f +≥+θθ 当k 为奇数时)32(3)()(2xf x f f +≤+θθ……14分数学压轴题圆锥曲线类二1.解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和，∴切线AP 的方程为：;02200=--x y x x切线BP 的方程为：;02211=--x y x x解得P 点的坐标为：1010,2x x y x x x P P=+=所以△APB 的重心G 的坐标为 P PG x x x x x =++=310， ,343)(3321021010212010pP P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=所以243G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即（2）方法1：因为).41,(),41,2(),41,(2111010200-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA 由于P 点在抛物线外，则.0||≠FP∴||41)1)(1(||||cos 102010010FP x x x x x x x x FA FP FA FP AFP +=--+⋅+==∠同理有||41)1)(1(||||cos 102110110FP x x x x x x x x FB FP BFP +=--+⋅+==∠∴∠AFP=∠PFB. 方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2(1x ，则P 点到直线AF 的距离为：,4141:;2||12111x x x y BF x d -=-=的方程而直线即.041)41(1121=+--x y x x x所以P 点到直线BF 的距离为：2||412||)41()()41(|42)41(|1211212122111212x x x x x x x x x d =++=+-+-=所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.②当001≠x x 时，直线AF 的方程：,041)41(),0(041410020020=+-----=-x y x x x x x x y 即直线BF 的方程：,041)41(),0(0414********=+-----=-x y x x x x x x y 即所以P 点到直线AF 的距离为：2||41)41)(2|)41(|41)2)(41(|1020201020220012010201x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=+-+-+-=，同理可得到P 点到直线BF 的距离2||012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB.（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个不同的根， ∴,0])3(3)3([422>--+=∆k k λ ②且,3)3(2221+-=+k k k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x 解得k=－1，代入②得，λλ即,12>的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即解法2：设),,(),,(2211y x B y x A 则有.0))(())((332121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠ ∵N （1，3）是AB 的中点， ∴.1,6,22121-==+=+AB k y y x x 从而又由N （1，3）在椭圆内，∴,1231322=+⨯>λ∴λ的取值范围是（12，+∞）.直线AB 的方程为y －3=－（x －1），即x+y －4=0.（Ⅱ）解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y －3=x －1，即x －y+2=0，代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x又设),,(),,(4433y x D y x C CD 的中点为4300,),,(x x y x C 则是方程③的两根，∴).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得 .)3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程得016842=-+-λx x ⑤同理可得 .)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥∵当12>λ时，||||,)12(2)3(2CD AB <∴->-λλ假设存在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为 .2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当λ>12时，A 、B 、C 、D 四点匀在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角⇔|AN|2=|CN|·|DN|，即 ).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边,212-=λ由④和⑦知，⑧式右边,2122923)2232)3(2)(2232)3(2(-=--=--+-=λλλλ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆.解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12, ∵CD 垂直平分AB ， ∴直线CD 方程为13-=-x y ，代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得 .231,21224,32,1-±-=-±=λλx x 不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλCA)21233,23123(-------+=λλλλDA计算可得0=⋅DA CA ，∴A 在以CD 为直径的圆上.又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆. （注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）3.本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想. （Ⅰ）证法1：∵当,111,0,211111na na a n a a n na a nn n n n n n n +=+≥∴+≤<≥-----时即,1111na a n n ≥-- 于是有.111,,3111,211112312na a a a a a n n ≥-≥-≥-- 所有不等式两边相加可得.13121111na a n +++≥- 由已知不等式知，当n ≥3时有，].[log 211121n a a n >- ∵.][log 22.2][log 2][log 2111,2221n b ba b n b n b a b a n n +<+=+>∴= 证法2：设n n f 13121)(+++= ，首先利用数学归纳法证不等式.,5,4,3,)(1 =+≤n bn f ba n（i ）当n=3时，由 .)3(11223313333112223b f ba a a a a a +=++⋅≤+=+≤知不等式成立.（ii ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即,)(1bk f ba k+≤则1)(1)1(11)1(1)1()1(1++⋅++≤+++=+++≤+bb k f k k a k k a k a k a k k k k ,)1(1)11)((1)()1()1()1(bk f bbk k f b b b k f k k b k ++=+++=+++++=即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i ）、（ii ）知，.,5,4,3,)(1 =+≤n bn f ba n又由已知不等式得 .,5,4,3,][log 22][log 21122 =+=+<n n b bb n ba n（Ⅱ）有极限，且.0lim =∞→n n a（Ⅲ）∵,51][log 2,][log 2][log 22222<<+n n n b b 令则有,10242,10][log log 1022=>⇒>≥n n n故取N=1024，可使当n>N 时，都有.51<n a4.解：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，半焦距为c ，则()2111222222,2242,1 1.43a MA a A F a cca a a c c a abc a b c x y =-=-⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩∴===+=由题意,得故椭圆方程为 (Ⅱ)()004,,0P y y -≠设001122121102112212000121212350,22tan 115tan y y PF k PF k F PF PF M F PF y k k F PF k k y y y F PF F PF F PF π=-=-<∠<∠<∴∠-∴∠==≤=++=±∠∠∠设直线的斜率,直线的斜率为锐角。

(完整word版)圆锥曲线压轴解答题22题(含详细答案,可直接打印)

圆锥曲线压轴22题及答案一．解答题（共22小题）1．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0)的焦点是椭圆M ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点，且两曲线有公共点（,）．（1）求椭圆M 的方程;（2)O 为坐标原点，A ，B ，C 是椭圆M 上不同的三点，并且O 为△ABC 的重心，试探究△ABC 的面积是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 2．已知直线11：ax ﹣y+1=0，直线12：x+5ay+5a=0．（1）直线11与l 2的交点为M,当a 变化时，求点M 的轨迹C 的方程：（2）已知点D （2，0）,过点E （﹣2，0）的直线1与C 交于A ，B 两点，求△ABD 面积的最大值． 3．已知椭圆C:+=1（a ＞b ＞0）的四个顶点围成的菱形的面积为4，点M 与点F 分别为椭圆C 的上顶点与左焦点，且△MOF 的面积为（点O 为坐标原点）．（1）求C 的方程；(2）直线l 过F 且与椭圆C 交于P ，Q 两点，点P 关于O 的对称点为P′，求△PP′Q 面积的最大值．4．如图所示，椭圆C 1:+y 2=1，抛物线C 2：y=x 2﹣1，其中C 2与y 轴的交点为M,过坐标原点O的直线l 与C 2相交于点A ，B,直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E ．（Ⅰ）证明：MA ⊥MB;（Ⅱ）记△MAB ，△MDE 的面积分别是S 1,S 2．问：是否存在直线l ，使得=．若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．5．已知椭圆C1:的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线距离为．（1）求椭圆C1的方程；（2）点F为椭圆的左焦点，不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线C1相交于A、B两点,若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点,则求出该定点的坐标；若不存在这样的定点，请说明理由．6．椭圆的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B 两点，当直线l与x轴平行时，直线l被椭圆C截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时,总有∠PQA=∠PQB?若存在,求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知椭圆，点在椭圆C上,椭圆C的四个顶点的连线构成的四边形的面积为．（1）求椭圆C的方程；(2)设点A为椭圆长轴的左端点,P、Q为椭圆上异于椭圆C长轴端点的两点，记直线AP、AQ斜率分别为k1、k2，若k1k2=2，请判断直线PQ是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．8．已知椭圆Γ：=1（0＜b＜2）的左右焦点分别为F1、F2,上顶点为B，O为坐标原点，且向量与的夹角为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设Q(1，0），点P是椭圆Γ上的动点，求的最大值和最小值;(3）设不经过点B的直线l与椭圆Γ相交于M、N两点,且直线BM、BN的斜率之和为1，证明：直线l过定点．9．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．(Ⅰ）求椭圆E的标准方程;(Ⅱ）设直线与椭圆E交于A，C两点，与x轴交于点H，设AC的中点为Q，试问｜AQ|2+｜QH|2是否为定值?若是，求出定值;若不是,请说明理由．10．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．（Ⅰ)求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设直线与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形ABCD,记直线l与x 轴的交点为H,试问｜BH｜是否为定值?若是,求出定值；若不是，请说明理由．11．设椭圆M：+=1(a＞b＞0）经过点P（,），F1，F2是椭圆M的左、右焦点，且△PF1F2的面积为．（1）求椭圆M的方程；（2）设O为坐标原点，过椭圆M内的一点（0，t）作斜率为k的直线l与椭圆M交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若对任意实数k，存在实m，使得k1+k2=mk，求实数m的取值范围． 12．已知椭圆经过点，离心率为，过右焦点F 且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点．（ I ）求椭圆C 的方程；（ II ）当直线l 的斜率为时，求△POQ 的面积；( III ）在椭圆C 上是否存在点M ，使得四边形OPMQ 为平行四边形?若存在，求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由． 13．已知F 1、F 2是椭圆C ：(a ＞b ＞0）的左、右焦点,过F 2作x 轴的垂线与C 交于A 、B两点,F 1B 与y 轴交于点D ，AD ⊥F 1B ，且｜OD|=1，O 为坐标原点． (1）求C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上任一异于顶点的点，A 1、A 2为C 的上、下顶点,直线PA 1、PA 2分别交x 轴于点M 、N ．若直线OT 与过点M 、N 的圆切于点T ．试问:|OT|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 14．已知椭圆C ：+=1的两个焦点分别是F 1（﹣,0)，F 2（，0)，点E(，）在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M ，N 使=2，求以F 1P 为直径的圆面积取值范围． 15．已知椭圆的右焦点为F ，离心率为，平行于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且．（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点,在x 轴上是否存在定点E ，使得是定值？若存在，请求出该点的坐标;若不存在，请说明理由． 16．已知椭圆C ：(a ＞b ＞0）的离心率，抛物线E ：的焦点恰好是椭圆C的一个顶点．（1)求椭圆C 的标准方程；（2)过点P （0，1）的动直线与椭圆C 交于A,B 两点，设O 为坐标原点，是否存在常数λ，使得恒成立？请说明理由．17．在平面直角坐标系中,点F 1、F 2分别为双曲线C ：的左、右焦点，双曲线C 的离心率为2，点（1,)在双曲线C 上．不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点O 对称，且四边形PF 1QF 2的周长为．(1）求动点P 的轨迹方程；（2）在动点P 的轨迹上有两个不同的点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）,线段MN 的中点为G ，已知点(x 1，x 2)在圆x 2+y 2=2上，求｜OG ｜•|MN ｜的最大值，并判断此时△OMN 的形状． 18．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0)，其内接△ABC 中∠A=90°．（I)当点A 与原点重合时，求斜边BC 中点M 的轨迹方程；（II ）当点A 的纵坐标为常数t 0(t 0∈R ）时，判断BC 所在直线是否过定点？过定点求出定点坐标；不过定点，说明理由． 19．如图，已知F 1,F 2分别是椭圆的左、右焦点，点P （﹣2,3）是椭圆C上一点,且PF 1⊥x 轴．（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆M ：(x ﹣m ）2+y 2=r 2（r ＞0）．①设圆M 与线段PF 2交于两点A,B ，若，且AB=2，求r 的值；②设m=﹣2，过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于G ，H 两点（异于点P ）．试问：是否存在这样的正数r,使得G,H 两点恰好关于坐标原点O 对称？若存在，求出r 的值；若不存在，请说明理由．20．己知椭圆在椭圆上，过C 的焦点且与长轴垂直的弦的长度为．(1）求椭圆C 的标准方程；．（2）过点A （﹣2,0)作两条相交直线l 1，l 2，l 1与椭圆交于P ，Q 两点（点P 在点Q 的上方），l 2与椭圆交于M ，N 两点（点M 在点N 的上方），若直线l 1的斜率为，，求直线l 2的斜率．21．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2=2py （p ＞0),直线y=x 与C 交于O ，T 两点，｜OT ｜=4．（Ⅰ）求C 的方程; （Ⅱ)斜率为k （0）的直线l 过线段OT 的中点，与C 交于A,B 两点,直线OA,OB 分别交直线y=x ﹣2于M ，N 两点，求|MN|的最大值．22．已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上，焦距为4,离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l经过点P(0,﹣1），且与椭圆交于A,B两点，若,求直线l的方程．参考答案与试题解析一．解答题(共22小题）1．已知抛物线C:y2=2px（p＞0）的焦点是椭圆M：+=1(a＞b＞0)的右焦点,且两曲线有公共点（,）．（1)求椭圆M的方程；(2）O为坐标原点，A，B，C是椭圆M上不同的三点，并且O为△ABC的重心，试探究△ABC的面积是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【解答】解：(1)抛物线C:y2=2px（p＞0）的焦点是椭圆M：+=1（a＞b＞0)的右焦点,∴=c，∵两曲线有公共点（,)，∴=2p•，+=1，解得p=2，∴c=1，∴c2=a2﹣b2=1，∴a2=4，b2=3，∴椭圆的方程为+=1；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程3x2+4y2=12,可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，设A（x1，y1)，B（x2,y2），则x1x2=，x1+x2=﹣，y1+y2=k（x1+x2）+2m=，由O为△ABC的重心，可得=﹣（+)=（，﹣），由C在椭圆上，则有3（）2+4（﹣）2=12，化简可得4m2=3+4k2，|AB|=•=•=•==，C到直线AB的距离d═，S△ABC=|AB|•d=••=．当直线AB的斜率不存在时，|AB｜=3，d=3，S△ABC=｜AB｜•d=．综上可得，△ABC的面积为定值．2．已知直线11：ax﹣y+1=0，直线12:x+5ay+5a=0．（1）直线11与l2的交点为M，当a变化时,求点M的轨迹C的方程：（2）已知点D(2，0)，过点E（﹣2,0)的直线1与C交于A，B两点，求△ABD面积的最大值．【解答】解:（1）由题意设M（x，y)，M满足直线11、直线12：可得，消去a，可得x2+5y2=5，即点M的轨迹C的方程为：(2）设直线l的方程x=my﹣2．E（﹣2,0)在M的轨迹C内．ED=4，直线1与C交于A，B两点，A（x1,y1）．B（x2，y2）∴，可得（m2+5）y2﹣4my﹣1=0．∴y1+y2=．y1y2=∴△ABD面积s=×|y1﹣y2｜•|ED=×4×=2×==2×≤2×=2×=,当且仅当m=时，表达式取得最大值．△ABD面积的最大值：．3．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的四个顶点围成的菱形的面积为4，点M与点F分别为椭圆C的上顶点与左焦点，且△MOF的面积为（点O为坐标原点）．（1）求C的方程；(2）直线l过F且与椭圆C交于P,Q两点，点P关于O的对称点为P′，求△PP′Q面积的最大值．【解答】解：(1)∵△MOF的面积为,∴bc=，即bc=．又∵椭圆C的四个顶点围成的菱形的面积为4,∴=4，即ab=2．∴==,∴=，∴a=2,b=,∴C的方程为:=1．（2）由题意可知，点O为PP′的中点，则=2S△POQ．设直线l的方程为：x=my﹣1,P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得(3m2+4)y2﹣6my﹣9=0，∴y1+y2=，y1y2=,∴|y1﹣y2|===，∴S△POQ =|OF|•|y1﹣y2｜=．设=t≥1,=．∵函数g(t)=在［1，+∞）上单调递减，∴当t=1时，△PP′Q面积取得最大值=3．4．如图所示，椭圆C1：+y2=1,抛物线C2：y=x2﹣1，其中C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D,E．（Ⅰ)证明：MA⊥MB;(Ⅱ)记△MAB，△MDE的面积分别是S1,S2．问:是否存在直线l，使得=．若存在,求出直线l的方程，若不存在,请说明理由．【解答】解:(Ⅰ)证明：由题得,直线l 的斜率存在，设为k,则直线l 的方程为:y=kx, 由y=kx 和y=x 2﹣1，得x 2﹣kx ﹣1=0．设A(x 1，y 1），B(x 2,y 2), 于是x 1+x 2=k ，x 1•x 2=﹣1，又点M 的坐标为（0，﹣1）．所以k MA •k MB =•====﹣1．故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME;(Ⅱ）设直线MA 的斜率为k 1,则直线MA 的方程为y=k 1x ﹣1．联立y=x 2﹣1可得或则点A 的坐标为（k 1，k 12﹣1）．又直线MB 的斜率为﹣，同理可得点B 的坐标为（﹣，﹣1）．于是S 1=|MA ｜•｜MB ｜=｜k 1|•••|﹣｜•=．由椭圆方程x 2+4y 2=4和y=k 1x ﹣1，得（1+4k 12）x 2﹣8k 1x=0,解得,或,则点D的坐标为（,）．又直线ME的斜率为﹣,同理可得点E的坐标为（﹣，)．于是S2=｜MD｜•|ME｜=．故=（4k12++17)=，解得k12=4，或k12=．又由点A，B的坐标得，k==k1﹣．所以k=±．故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程为y=±x．5．已知椭圆C1：的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线距离为．（1)求椭圆C1的方程；（2）点F为椭圆的左焦点,不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线C1相交于A、B两点，若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐标;若不存在这样的定点，请说明理由．【解答】解:（1)由题意可知：a=2……………………………………1分又椭圆的上顶点为(0，b）双曲线的渐近线为：2y±x=0由点到直线的距离公式有：得……………………3分所以椭圆的方程为．……………………4分（2）设直线线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1）、B（x2，y2）联立得（3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0……………………5分则……………………7分由已知直线FA、FB的斜率之和为0，有,2kx1x2+（k+m)（x1+x2)+2m=0…………………9分所以化简得m=4k………………11分此时△=（8km)2﹣4×(3+4k2)(4m2﹣12）=(32k2）2﹣4×（3+4k2)（64k2﹣12)=16×64k4﹣16(4k2+3）（16k2﹣3)=16×9（1﹣4k2）显然△=16×9（1﹣4k2）＞0有机会成立．所以直线l的方程为：y=kx+m=k（x+4）所以存在这样的定点（﹣4，0）符合题意．…………12分6．椭圆的离心率是，过点P(0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点,当直线l与x轴平行时，直线l被椭圆C截得的线段长为．（1)求椭圆C的方程;（2）在y 轴上是否存在异于点P 的定点Q,使得直线l 变化时，总有∠PQA=∠PQB?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵，∴a 2=2c 2=b 2+c 2，b=c,a 2=2b 2,椭圆方程化为:，由题意知，椭圆过点，∴，解得b 2=4，a 2=8，所以椭圆C 的方程为：;（2）当直线l 斜率存在时,设直线l 方程:y=kx+1，由得(2k 2+1）x 2+4kx ﹣6=0，△=16k 2+24（2k 2+1）＞0,设,假设存在定点Q （0，t)符合题意，∵∠PQA=∠PQB ，∴k QA =﹣k QB , ∴=,∵上式对任意实数k 恒等于零，∴4﹣t=0，即t=4，∴Q （0,4），当直线l 斜率不存在时,A ，B 两点分别为椭圆的上下顶点（0，﹣2），（0,2），显然此时∠PQA=∠PQB ，综上，存在定点Q （0，4）满足题意． 7．已知椭圆，点在椭圆C 上，椭圆C 的四个顶点的连线构成的四边形的面积为．（1）求椭圆C 的方程;（2）设点A 为椭圆长轴的左端点，P 、Q 为椭圆上异于椭圆C 长轴端点的两点，记直线AP 、AQ 斜率分别为k 1、k 2，若k 1k 2=2,请判断直线PQ 是否过定点?若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．【解答】解:（1）由点在椭圆C 上可得：，整理为：9a 2+4b 2=4a 2b 2，由椭圆C 的四个顶点的连接线构成的四边形的面积为可得：，即，可得，由a ＞b ＞0可解得：，故椭圆C 的方程为：．（2）设点P 、Q 的坐标分别为（x 1,y 1)，（x 2，y 2），点A 的坐标为（﹣2，0），故，可得y 1y 2=2（x 1+2)（x 2+2），设直线PQ 的方程为y=kx+m （直线PQ 的斜率存在），可得（kx 1+m)(kx 2+m ）=2（x 1+2）（x 2+2），整理为：，联立，消去y 得:(4k 2+3）x 2+8kmx+(4m 2﹣12）=0，由△=64k 2m 2﹣4(4k 2+3）（4m 2﹣12）=48（4k 2﹣m 2+3)＞0,有4k 2+3＞m 2，有，，故有:，整理得：44k 2﹣32km+5m 2=0，解得：m=2k 或,当m=2k 时直线PQ 的方程为y=kx+2k,即y=k(x+2)，过定点（﹣2，0)不合题意，当时直线PQ 的方程为，即,过定点．8．已知椭圆Γ：=1(0＜b ＜2）的左右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为B ，O 为坐标原点,且向量与的夹角为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设Q （1，0），点P 是椭圆Γ上的动点，求的最大值和最小值；(3）设不经过点B 的直线l 与椭圆Γ相交于M 、N 两点，且直线BM 、BN 的斜率之和为1，证明：直线l 过定点．【解答】解:（1)椭圆Γ:=1（0＜b ＜2）的a=2，向量与的夹角为,可得｜BF 1｜=|BF 2｜=a==2b=2，即b=1,则椭圆方程为+y 2=1；(2）设P （m ，n ），可得+n 2=1，即n 2=1﹣，•=（1﹣m ，﹣n ）•(﹣m ，﹣n ）=m 2﹣m+n 2=m 2﹣m+1=（m ﹣）2+，由﹣2≤m ≤2可得m=时，上式取得最小值;m=﹣2时,取得最大值6，则•的范围是［，6]；（3）证明:当直线l 的斜率不存在时，设M （x 1，y 1），N(x 2，y 2），由k BM +k BN =+==1，x 1=x 2,y 1=﹣y 2，得x 1=﹣2，此时M ，N 重合，不符合题意；设不经过点P 的直线l 方程为：y=kx+m ，M （x 1,y 1)，N （x 2，y 2），由得（1+4k 2)x 2+8ktx+4t 2﹣4=0，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=,k BM +k BN =+==1,⇒（kx1﹣1+t）x2+（kx2﹣1+t）x1=x1x2⇒(2k﹣1）x1x2+（t﹣1）（x1+x2）=0⇒（t﹣1)（2k﹣t﹣1）=0，∵t≠1，∴t=2k﹣1,∴y=k（x+2）﹣1，直线l必过定点（﹣2，﹣1）．9．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程;（Ⅱ）设直线与椭圆E交于A,C两点，与x轴交于点H，设AC的中点为Q，试问|AQ|2+｜QH|2是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由．【解答】（本小题满分12分)解:（Ⅰ）过且斜率为的直线方程为,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分)令，则y=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由题意可得，解得a2=16，b2=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分)所以椭圆E的标准方程．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ)由可得x2+2mx+2m2﹣8=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分)设A（x1，y1），C（x2，y2）则有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又，∵Q为AC的中点，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分)直线l与x轴的交点为H（﹣2m，0），所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）=，所以｜AQ｜2+|HQ｜2为定值10．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）10．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设直线与椭圆E交于A、C两点,以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x 轴的交点为H，试问｜BH|是否为定值？若是，求出定值；若不是,请说明理由．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）过且斜率为的直线方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分）令，则y=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分)由题意可得，解得a2=16，b2=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以椭圆E的标准方程．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）由可得x2+2mx+2m2﹣8=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分)设A（x1，y1），C(x2，y2）则有,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分）又，设AC的中点为Q，则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）直线l与x轴的交点为H(﹣2m,0），所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）=，所以｜BH｜为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分）11．设椭圆M：+=1（a＞b＞0）经过点P（,），F1，F2是椭圆M的左、右焦点，且△PF1F2的面积为．(1）求椭圆M的方程；（2）设O为坐标原点，过椭圆M内的一点（0，t）作斜率为k的直线l与椭圆M交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若对任意实数k，存在实m,使得k1+k2=mk，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设M的焦点F1（﹣c，0），F2(c,0），∵，△PF1F2面积为，∴，∴c=1，由，得∴椭圆M的方程为．(2）设直线l的方程为y=kx+t，由•得（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12=0，设A（x1•y2)，B（x2•y2),则．．由k1+k2=mk对任意k成立，得，∴，又（0，t）在椭圆内部，∴0≤t2＜3，∴m≥2，即m∈[2，+∞）．12．已知椭圆经过点，离心率为，过右焦点F且与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（ I）求椭圆C的方程；( II）当直线l的斜率为时，求△POQ的面积；（ III)在椭圆C上是否存在点M，使得四边形OPMQ为平行四边形？若存在,求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解:（I) 根据题意,解得，故椭圆C的方程为．…(5分）（ II) 根据题意，直线l的方程为．设P（x1,y1），Q（x2，y2）．由得15x2﹣24x=0．解得．法一：．法二:，原点O到直线l的距离．所以…（10分)（ III）设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）．设P(x1，y1）,Q（x2,y2），由得（3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．由韦达定理得，．所以PQ 的中点．要使四边形OPMQ 为平行四边形，则N 为OM 的中点，所以．要使点M 在椭圆C 上，则，即12k 2+9=0，此方程无解．所以在椭圆C 上不存在点M ，使得四边形OPMQ 为平行四边形．…．（14分) 13．已知F 1、F 2是椭圆C ：（a ＞b ＞0）的左、右焦点,过F 2作x 轴的垂线与C 交于A 、B 两点,F 1B 与y 轴交于点D ，AD ⊥F 1B ，且｜OD ｜=1,O 为坐标原点．（1）求C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上任一异于顶点的点,A 1、A 2为C 的上、下顶点，直线PA 1、PA 2分别交x 轴于点M 、N ．若直线OT 与过点M 、N 的圆切于点T ．试问：|OT ｜是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）如图：AF 2⊥x 轴，｜OD|=1， ∴AB ∥OD,∵O 为F 1F 2为的中点, ∴D 为BF 1的中点， ∵AD ⊥F 1B ，∴｜AF 1｜=|AB ｜=2｜AF 2｜=4｜OD ｜=4， ∴2a=|AF 1｜+｜AF 2｜=4+2=6， ∴a=3, ∴｜F 1F 2｜==2，∴c=,a=3，∴b2=a2﹣c2=6，∴+=1，（2）由（1）可知,A1(0，），A2（0，﹣)．设点P（x0，y），直线PA1：y﹣=x，令y=0，得xM=；直线PA2:y+=x，令y=0，得xN=;|OM｜•｜ON|=,∵+=1，∴6﹣y02=x2,∴｜OM｜•|ON｜=．由切割线定理得OT2=OM•ON=．∴OT=，即线段OT的长度为定值．14．已知椭圆C ：+=1的两个焦点分别是F 1（﹣，0)，F 2（，0），点E （，）在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M,N 使=2，求以F 1P 为直径的圆面积取值范围．【解答】解:（Ⅰ）由已知,c=， ∴2a=|EF 1|+|EF 2|=+=4，∴a=2,∴b 2=a 2﹣c 2=8﹣2=6， ∴椭圆方程为+=1，（Ⅱ）设点P 的坐标为（0，t)，当直线MN 的斜率不存在时，可得M,N 分别是椭圆的两端点,可得t=±，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y=kx+t ，M(x 1，y 1），N （x 2，y 2），则由=2可得x 1=﹣2x 2，①，由，消y 可得（3+4k 2）x 2+8ktx+4t 2﹣24=0，由△＞0,可得64k 2t 2﹣4（3+4k 2）(4t 2﹣24）＞0，整理可得t 2＜8k 2+6，由韦达定理可得x 1+x 2=﹣,x 1x 2=，②,由①②,消去x 1，x 2可得k 2=，由，解得＜t 2＜6, 综上得≤t 2＜6，又以F 1P 为直径的圆面积S=π•，∴S 的范围为[，2π）．15．已知椭圆的右焦点为F ，离心率为，平行于x 轴的直线交椭圆于A,B 两点,且．（I)求椭圆C 的方程;（Ⅱ）过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点,在x 轴上是否存在定点E ，使得是定值?若存在，请求出该点的坐标；若不存在,请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：，∵平行于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且．∴，a=,∴c=2，b 2=a 2=﹣c 2=2． ∴椭圆C 的方程为（Ⅱ）设直线l 的方程为y=k （x ﹣2），代入椭圆C 的方程,得（3k 2+1）x 2﹣12k 2x+12k 2﹣6=0，设M（x3，y3），N（x4，y4）,则，，x3x4=．根据题意，假设x轴上存在定点E（t，0），使得是为定值,=(x3﹣t,y3）•（x4﹣t,y4）=(x3﹣t）•(x4﹣t)+y3y4，=（x3﹣t)•（x4﹣t)+k2（x3﹣2）•（x4﹣2）,=（k2+1)x3x4﹣（2k2+t)(x3+x4）+4k2+t2,=要使上式为定值,即与k无关，则应3t2﹣12t+10=3（t2﹣6），即t=，故当点E的坐标为（,0）时，使得为定值．16．已知椭圆C：(a＞b＞0）的离心率，抛物线E：的焦点恰好是椭圆C 的一个顶点．（1)求椭圆C的标准方程；（2)过点P（0，1)的动直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数λ，使得恒成立?请说明理由．【解答】解：（1)由抛物线E：的焦点（0,)，椭圆的C的焦点在x轴，由题意可知：b=,椭圆的离心率e===,则a=2，∴椭圆的标准方程:；（2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1,A，B的坐标分别为（x1,y1），（x2，y2)．联立,整理得（4k 2+3）x 2+8kx ﹣8=0．其判别式△＞0，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=﹣．∴•+λ•=x 1x 2+y 1y 2+λ［x 1x 2+（y 1﹣1）(y 2﹣1）］，=（1+λ)（1+k 2)x 1x 2+k （x 1+x 2)+1==﹣2λ﹣3，当λ=2时，﹣2λ﹣3=﹣7，即•+λ•=﹣7为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时•+λ•=•+2•=﹣3﹣4=﹣7，故存在常数λ=2，使得•+λ•为定值﹣7．17．在平面直角坐标系中，点F 1、F 2分别为双曲线C ：的左、右焦点,双曲线C 的离心率为2,点(1，）在双曲线C 上．不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点O 对称，且四边形PF 1QF 2的周长为．（1）求动点P 的轨迹方程；（2)在动点P 的轨迹上有两个不同的点M （x 1,y 1）、N （x 2，y 2），线段MN 的中点为G,已知点(x 1，x 2）在圆x 2+y 2=2上，求|OG ｜•｜MN|的最大值,并判断此时△OMN 的形状．【解答】解：（1）设F 1，F 2分别为（﹣c ，0)，（c ，0）可得，b 2=c 2﹣a 2=3a 2,又点（1,)在双曲线C 上，∴，解得，c=1．连接PQ ，∵OF 1=OF 2,OP=OQ ，∴四边形PF 1QF 2的周长为平行四边形． ∴四边形PF 1+PF 2=2＞2，∴动点P 的轨迹是以点F 1、F 2分别为左右焦点的椭圆（除左右顶点),∴动点P 的轨迹方程（y ≠0）;（2）∵x 12+x 22=2，,∴y 12+y 22=1．∴｜OG ｜•｜MN｜=•=•=．∴当3﹣2x 1x 2﹣2y 1y 2=3+2x 1x 2+2y 1y 2⇒x 1x 2+y 1y 2=0时取最值，此时OM ⊥ON ，△OMN 为直角三角形．18．已知抛物线C:y 2=2px （p ＞0），其内接△ABC 中∠A=90°．（I ）当点A 与原点重合时,求斜边BC 中点M 的轨迹方程；（II)当点A 的纵坐标为常数t 0（t 0∈R ）时，判断BC 所在直线是否过定点？过定点求出定点坐标；不过定点，说明理由．【解答】解：（I ）设B （，y 1)，C （，y 2）,∵AB ⊥AC ，∴+y 1y 2=0,∴y 1y 2=﹣4p 2．∴设BC 的中点M （x ，y ），则=x ，y 1+y 2=2y ，∵y 12+y 22=(y 1+y 2）2﹣2y 1y 2, ∴px=4y 2+8p 2，∴M 的轨迹方程为：y 2=（x ﹣8p ）．（II ）A （，t 0)，设直线BC 的方程为y=kx+b,B （，y 1），C （,y 2),∴k AB ==,k AC ==,∵AB⊥AC，∴•=﹣1．即y1y2+t（y1+y2）+t2+4p2=0．联立方程组，消去x可得y2﹣y+=0，∴y1y2=,y1+y2=，∴+t0+t2+4p2=0．解得b=﹣t﹣﹣2pk，∴直线BC的方程为：y=kx﹣t0﹣﹣2pk=k（x﹣2p﹣）﹣t，∴直线BC过定点(2p+，﹣t）．19．如图,已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点,点P（﹣2，3）是椭圆C上一点，且PF1⊥x轴．（1）求椭圆C的方程；（2)设圆M：（x﹣m）2+y2=r2（r＞0）．①设圆M与线段PF2交于两点A，B,若,且AB=2，求r的值；②设m=﹣2，过点P作圆M的两条切线分别交椭圆C于G,H两点（异于点P)．试问:是否存在这样的正数r，使得G，H两点恰好关于坐标原点O对称？若存在,求出r的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：(1）因点P（﹣2，3)是椭圆C上一点，且PF1⊥x轴，所以椭圆的半焦距c=2，由,得，所以,……（2分）化简得a2﹣3a﹣4=0，解得a=4，所以b2=12，所以椭圆C的方程为．……(4分)（2）①因，所以，即，所以线段PF2与线段AB的中点重合(记为点Q），由（1）知,……（6分）因圆M与线段PF2交于两点A，B，所以，所以,解得，……（8分）所以，故．……(10分）②由G，H两点恰好关于原点对称,设G(x0，y），则H（﹣x，﹣y）,不妨设x＜0，因P（﹣2,3），m=﹣2,所以两条切线的斜率均存在,设过点P与圆M相切的直线斜率为k，则切线方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，由该直线与圆M相切，得，即，……（12分）所以两条切线的斜率互为相反数，即kGP =﹣kHP,所以，化简得x0y=﹣6，即，代入,化简得，解得x=﹣2(舍），，所以，……(14分）所以，,所以，所以．故存在满足条件的,且．……(16分）20．己知椭圆在椭圆上,过C的焦点且与长轴垂直的弦的长度为．（1)求椭圆C的标准方程;．（2）过点A(﹣2，0）作两条相交直线l1，l2,l1与椭圆交于P，Q两点（点P在点Q的上方），l2与椭圆交于M，N两点（点M在点N的上方），若直线l1的斜率为，，求直线l2的斜率．【解答】解：（1）由已知得：，…………………………(2分）解得a=6，b=1．故椭圆C的方程为．………………………（4分）(2）由题设可知:l1的直线方程为x=﹣7y﹣2．联立方程组，整理得:85y2+28y﹣32=0.．…………………………（6分）∴．…………………………………………（7分)∵，∴，即．…………………………………………（8分)设l2的直线方程为x=my﹣2（m≠0)．将x=my﹣2代入+y2=1得(m2+36)y2﹣4my﹣32=0．设M（x1，y1），N(x2，y2），则．……………………………………(10分)又∵，∴．解得m2=4，∴m=±2．故直线l2的斜率为．………………………（12分）21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=2py(p＞0），直线y=x与C交于O，T两点，｜OT|=4．（Ⅰ)求C的方程；（Ⅱ）斜率为k（0)的直线l过线段OT的中点，与C交于A,B两点,直线OA,OB分别交直线y=x﹣2于M,N两点，求｜MN|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由方程组得x2﹣2px=0，解得x1=0,x2=2p，所以O（0，0）,T(2p,2p），则｜OT｜=2p，又｜OT|=2p=4，所以p=2．故C的方程为x2=4y．(Ⅱ)由（Ⅰ）O（0，0),T(4，4）,则线段OT的中点坐标(2，2）．故直线l的方程为y﹣2=k(x﹣2)．由方程组得x2﹣4kx+8k﹣8=0．设A(x1,x12），B（x2，x22）,则x1+x2=4k，x1x2=8k﹣8，直线OA的方程y=x,代入y=x﹣2，解得x=,所以M（，），同理得N(,）,所以|MN|=•|﹣｜=|｜=×|=4•因为0＜k≤，所以8＜|MN｜≤4．当k=时，｜MN|取得最大值4．22．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为．（1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l经过点P（0,﹣1），且与椭圆交于A，B两点,若，求直线l的方程．【解答】（本小题满分12分）解:(1）依题意可设椭圆方程为(a＞b＞0)，由2c=4，c=2，e==，则a=2,b2=a2﹣c2=4，∴椭圆C的方程为：．(2）由题意可知直线l的斜率存在,设l的方程为:y=kx﹣1，A（x1，y1）,B（x2,y2），由，整理得（2k2+1）x2﹣4kx﹣6=0,且△＞0，则x1+x2=，x1x2=﹣,由,即（﹣x1，﹣1﹣y1)=2（x2,y2+1），x1=﹣2x2,，消去x2并解关于k的方程得:k=±，∴l的方程为：y=±x﹣1．。

2025届高考数学复习：压轴好题专项(圆锥曲线中的定点问题)练习(附答案)

2025届高考数学复习：压轴好题专项(圆锥曲线中的定点问题)练习1．（2023届江苏省金陵中学、海安中学高三上学期10月联考）在一张纸上有一个圆C ：(224x y ++=，定点)M，折叠纸片使圆C 上某一点1M 好与点M 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ ，设折痕PQ 与直线1M C 的交点为T ．(1)求证：TC TM -为定值，并求出点T 的轨迹C '方程；(2)设()1,0A -，M 为曲线C '上一点，N 为圆221x y +=上一点（M ，N 均不在x 轴上）．直线AM ，AN 的斜率分别记为1k ，2k ，且2114k k =-，求证：直线MN 过定点，并求出此定点的坐标．2．（2023届广东省广东广雅中学高三上学期9月测试）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2．圆O （O 为坐标原点）在椭圆C 的内部，．P ，Q 分别为椭圆C和圆O 上的动点，且P ，Q 两点的最小距离为1． (1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 是椭圆C 上不同的两点，且直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上．求证：以AB 为直径的圆过定点．3（2023届湖南省永州市高三上学期第一次考试）点(4,3)P 在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上，离心率e =(1)求双曲线C 的方程；(2),A B 是双曲线C 上的两个动点（异于点P ），12,k k 分别表示直线,PA PB 的斜率，满足1232k k =，求证：直线AB 恒过一个定点，并求出该定点的坐标. 4．（2023届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期联考）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，O 是坐标原点，F 是C 的焦点，M 是C 上一点，||4FM =，120OFM ∠=︒．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)设点()0,2Q x 在C 上，过Q 作两条互相垂直的直线,QA QB ，分别交C 于A ，B 两点（异于Q 点）．证明：直线AB 恒过定点．5．（2023届四川省部分重点中学高三上学期9月联考）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点是M （2，0），离心率为12． (1)求椭圆C 的标准方程．(2)过点T （4，0）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，点B 关于x 轴的对称点为D ，问直线AD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 6．（2023届安徽省滁州市定远县高三上学期9月月考）设直线x m =与双曲线22:(0)3-=>y C x m m 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且三角形OAB(1)求m 的值；(2)已知直线l 与x 轴不垂直且斜率不为0，l 与C 交于两个不同的点M ，N ，M 关于x 轴的对称点为M '，F 为C 的右焦点，若M '，F ，N 三点共线，证明：直线l 经过x 轴上的一个定点．7．（2023届江西省智慧上进高三上学期考试）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的右焦点为F ，过点F 作一条直线交C 于R ，S 两点，线段RS，C的离心率为2． (1)求C 的标准方程；(2)斜率不为0的直线l 与C 相交于A ，B 两点，(2,0)P ，且总存在实数R λ∈，使得PA PBPF PA PB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭ ，问：l 是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．8．（2023届山西省高三上学期第一次摸底）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是()11,0F -，()21,0F ，点()0,A b ，若12AF F △的内切圆的半径与外接圆的半径的比是1:2． (1)求椭圆C 的方程；(2)过C 的左焦点1F 作弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若0DE MN ⋅=，证明：直线PQ 过定点．9．（2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试）已知双曲线C 与双曲线221123y x -=有相同的渐近线，且过点1)A -. (1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知(2,0),,D E F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且0,DE DF DG EF ⋅=⊥于G ，证明：存在定点H ，使||GH 为定值.10．（2023届江苏省南京市高三上学期9月学情调研）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点． (1)求p 的值；(2)是否存在定点T ，使得TA TB ⋅为常数？若存在，求出点T 的坐标及该常数；若不存在，说明理由．11．（2023届江苏省百校联考高三上学期第一次考试）设F 为椭圆C ：2212x y +=的右焦点，过点F 且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.(1)当2BF FA =时，求FA ；(2)在x 轴上是否存在异于F 的定点Q ，使QA QBk k 为定值（其中QA k ，QB k 分别为直线QA ，QB 的斜率）？若存在，求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【例12】（2022届辽宁省名校联盟高三上学期12月联考）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点0(,4)M x 在C 上，且52pMF =．（1）求点M 的坐标及C 的方程；（2）设动直线l 与C 相交于,A B 两点，且直线MA 与MB 的斜率互为倒数，试问直线l 是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．13.（2022届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F .离心率等于3，点P 在y 轴正半轴上，12PF F △为直角三角形且面积等于2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知斜率存在且不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上时，直线l 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由. 14．（2022届江苏省南通市高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22x a －22y b＝1(a 、b 为正常数．．)的右顶点为A ，直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点，且P 、Q 均不是双曲线的顶点，M 为PQ 的中点．（1）设直线PQ 与直线OM 的斜率分别为k 1、k 2，求k 1ꞏk 2的值；（2）若AMPQ ＝12，试探究直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．15．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，当l x ⊥轴时，2AB =. （1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 交y 轴于点D ，过点D 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于点P ，直线PF 交抛物线C 于另一点Q .①是否存在定点M ，使得四边形AQBM 为平行四边形？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由.②求证：QAF QBFS S ⋅△△为定值.参考答案1．（2023届江苏省金陵中学、海安中学高三上学期10月联考）在一张纸上有一个圆C：(224x y ++=，定点)M，折叠纸片使圆C 上某一点1M 好与点M 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ ，设折痕PQ 与直线1M C 的交点为T ．(1)求证：TC TM -为定值，并求出点T 的轨迹C '方程；(2)设()1,0A -，M 为曲线C '上一点，N 为圆221x y +=上一点（M ，N 均不在x 轴上）．直线AM ，AN 的斜率分别记为1k ，2k ，且2114k k =-，求证：直线MN 过定点，并求出此定点的坐标．【过程详解】（1）由题意得1TM TM =，所以12TC TM TC TM CM -=-=<=，即T 的轨迹是以C ，M 为焦点，实轴长为2的双曲线，即C '：2214y x -=；（2）由已知得AM l ：()11y k x =+，AN l ：()21y k x =+，联立直线方程与双曲线方程()()12222211121424014y k x k x k x k y x ⎧=+⎪⇒----=⎨-=⎪⎩，由韦达定理得212144A M k x x k --=-，所以212144M k x k +=-，即()1121814M Mk y k x k =+=-，所以211221148,44k k M k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，联立直线方程与圆方程()()2222222222112101y k x k x k x k x y ⎧=+⇒+++-=⎨+=⎩，由韦达定理得222211A N k x x k -=+，所以222211Nk x k -+=+，即()2222211N N k y k x k =+=+，因为14ANAM k k =-，即2114k k =-，所以2112211168,1616k k N k k ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭，若直线MN 所过定点，则由对称性得定点在x 轴上，设定点(),0T t ，由三点共线得MT NT k k =，即()()1122222211111122112211884164416161416416k k k k k k t k k t t k k t t k k --+=⇒++-=-++⇒=+-+---+，所以直线MN 过定点()1,0T ．2．（2023届广东省广东广雅中学高三上学期9月测试）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2．圆O （O 为坐标原点）在椭圆C 的内部，半径为3．P ，Q 分别为椭圆C和圆O 上的动点，且P ，Q两点的最小距离为1． (1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 是椭圆C 上不同的两点，且直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上．求证：以AB 为直径的圆过定点．【过程详解】（1）设椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，半焦距为c ，由圆的性质，||||PQ PO ≥当点P 在椭圆上运动时，当P 处于上下顶点时||PO最小，故||||33PQ PO b ≥-≥-，即133-=-b依题意得2221c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩11a b c ⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上，所以直线AB 与圆O 相切.（i ）当直线AB 垂直于x轴时，不妨设33A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,33B -⎝⎭，此时0OA OB ⋅=，所以OA OB ⊥，故以AB 为直径的圆过点O .（ii ）当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y .因为AB 与圆O 相切，所以O 到直线AB3=，即223220m k --=.由22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222214220k x kmx m +++-=，所以2121222422,2121km m x x x x k k --+==++， ()()()()221212*********OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++()2222222412121m km k km m k k ⎛⎫--⎛⎫=+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()22222122(4)2121k mkm km m k k +-+-++=+222322021mk k --==+，所以OA OB ⊥，故以AB 为直径的圆过点O . 综上，以AB 为直径的圆过点O .3（2023届湖南省永州市高三上学期第一次考试）点(4,3)P 在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>上，离心率2e =. (1)求双曲线C 的方程；(2),A B 是双曲线C 上的两个动点（异于点P ），12,k k 分别表示直线,PA PB 的斜率，满足1232k k =，求证：直线AB 恒过一个定点，并求出该定点的坐标. 【过程详解】（1）由题意点(4,3)P 在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>上，离心率e =可得；221691a b⎧-=⎪=，解出，2,a b == 所以，双曲线C 的方程是22143x y -=（2）①当直线AB 的斜率不存在时，则可设()()00,,,A n y B n y -，代入22143x y -=，得220334y n =-，则221222003123393444(4)(4)2n y y k k n n y n n -----=⋅===----，即2948480n n -+=，解得43n =或4n =，当4n =时，03y =±，,A B 其中一个与点()4,3P 重合，不合题意；当43n =时，直线AB 的方程为43x =，它与双曲线C 不相交，故直线AB 的斜率存在；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程y kx m =+代入22143x y -=，整理得，()2223484120k x kmx m ----=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212228412,3434km m x x x x k k ++==---，由()()22222Δ(8)4344120,34km kmm k =----->∴+>，所以()()()221212121212121212123(3)33334444416k x x k m x x m y y kx m kx m k k x x x x x x x x +-++---+-+-=⋅=⋅=-----++ 32=所以，()()()221212232612212300k x x km k x x m m -+-+++--=，即()()2222241282326122123003434m km k km k m m k k ---⋅+-+⋅+--=--, 整理得()2231661690m k m k +-+-=，即()()343430m k m k +++-=，所以3430m k ++=或430m k +-=，若3430m k ++=，则433k m +=-，直线AB 化为413y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，过定点4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭；若430m k +-=，则43m k =-+，直线AB 化为()43y k x =-+，它过点()4,3P ，舍去综上，直线AB 恒过定点4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭4．（2023届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期联考）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，O 是坐标原点，F 是C 的焦点，M 是C 上一点，||4FM =，120OFM ∠=︒．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)设点()0,2Q x 在C 上，过Q 作两条互相垂直的直线,QA QB ，分别交C 于A ，B 两点（异于Q 点）．证明：直线AB 恒过定点．【过程详解】（1）由||4,120FM OFM =∠=︒，可得2,2p M ⎛+± ⎝，代入2:122242p C p p p ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．解得2p =或6p =-（舍），所以抛物线的方程为：24y x =．（2）由题意可得(1,2)Q ，直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为x my n =+，设()()1122,,,A x y B x y ，由24y x x my n ⎧=⎨=+⎩，得2440y my n --=，从而216160m n ∆=+>，则121244y y m y y n+=⎧⎨=-⎩．所以()21212242x x m y y n m n +=++=+，()()()22212121212x x my n my n m y y mn y y n n =++=+++=， ∵QA QB ⊥ ， ∴()()()()121211220QA QB x x y y ⋅=--+--=uu r uur，故()()121212121240x x x x y y y y -+++-++=，整理得2246850n m n m ---+=．即22(3)4(1)n m -=+，从而32(1)n m -=+或32(1)n m -=-+，即25n m =+或21n m =-+．若21n m =-+，则21(2)1x my n my m m y =+=-+=-+，过定点(1,2)，与Q 点重合，不符合；若25n m =+，则25(2)5x my n my m m y =+=++=++，过定点(5,2)-．综上，直线AB 过异于Q 点的定点(5,2)-．5．（2023届四川省部分重点中学高三上学期9月联考）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点是M （2，0），离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)过点T （4，0）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，点B 关于x 轴的对称点为D ，问直线AD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【过程详解】（1）由右顶点是M （2，0），得a ＝2，又离心率12ce a==，所以1c =，所以2223b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，显然直线l 的斜率存在．直线l 的方程为()4y k x =-，联立方程组()224,3412y k x x y ⎧=-⎨+=⎩消去y 得()2222433264120k x k x k +-+-=，由0∆>，得1122k -<<，所以21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+．因为点()22,D x y -，所以直线AD 的方程为()()1211124y y y x x k x x x +=-+--．又()12128y y k x x +=+-，所以直线AD 的方程可化为()()()()()1121212212121842443kx x x k x x x ky x x x x x x x k +---=++---+，即()()()()()()()2222121212424241434343k k ky x x x x k x x k x x k =-=--+-+-+，所以直线AD 恒过点（1，0）．（方法二）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为4x my =+，联立方程组224,3412x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得()223424360m y my +++=，由0∆>，得2m >或2m <-，所以1222434m y y m +=-+，1223634y y m =+．因为点()22,D x y -，则直线AD 的方程为()121112y y y x x y x x +=-+-．又()12121244x x my my m y y -=+--=-，所以直线AD 的方程可化为()()()()()()()()12121121121121212144y y y y my y m y y y y y x my y x m y y m y y m y y -++++-+=--+=-+---()()()()()()12121222121212424134my y y y y y x x m y y m y y m y y +++=-+=---+-，此时直线AD 恒过点（1,0），当直线l 的斜率为0时，直线l 的方程为y ＝0，也过点（1，0）．综上，直线AD 恒过点（1，0）．6．（2023届安徽省滁州市定远县高三上学期9月月考）设直线x m =与双曲线22:(0)3-=>y C x m m 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且三角形OAB(1)求m 的值；(2)已知直线l 与x 轴不垂直且斜率不为0，l 与C 交于两个不同的点M ，N ，M 关于x 轴的对称点为M '，F 为C 的右焦点，若M '，F ，N 三点共线，证明：直线l 经过x 轴上的一个定点．【过程详解】（1）双曲线22:(0)3-=>y C x m m的渐近线方程为y =，则不妨令点(),(,)A m B m ，||AB =，而点O 到直线AB 的距离为m ，因此212OAB S m =⋅⋅== ，解得1m =，所以1m =．（2）由（1）知，双曲线C 的方程为22:13y C x -=，右焦点(2,0)F ，因直线l 与x 轴不垂直且斜率不为0，设直线l 与x 轴交于点(,0)t ，直线l 的方程为()(0)y k x t k =-≠，设()()1122,,,M x y N x y ，则()11,M x y '-，由22()13y k x t y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理得()()222223230k xtk x k t -+-+=，显然有230k -≠且()()()22222Δ24330tk k k t =+-+>，化简得23k ≠且()22130t k -+>，则22212122223,33tk k t x x x x k k ++=-=---，1122(2,),(2,)FM x y FN x y '=--=-，而M '，F ，N 三点共线，即//FM FN '，则()()122122y x y x --=-，因此()()()()122122k x t x k x t x ---=--，又0k ≠，有()()()()1221220x t x x t x --+--=，整理得()12122(2)40x x t x x t -+++=，于是得22222322((2)()4033k t tk t t k k +⋅--+-+=--，化简得12t =，即直线l ：1()2y k x =-，0k ≠过定点1(,0)2，所以直线l 经过x 轴上的一个定点1(,0)2．7．（2023届江西省智慧上进高三上学期考试）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的右焦点为F ，过点F 作一条直线交C 于R ，S 两点，线段RS，C的离心率为2． (1)求C 的标准方程；(2)斜率不为0的直线l 与C 相交于A ，B 两点，(2,0)P ，且总存在实数R λ∈，使得PA PB PF PA PB λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，问：l 是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．【过程详解】（1）由线段RS22b a=又2c a =，所以22212a b a -=，解得222,1,a b ⎧=⎨=⎩ 所以C 的标准方程为2212x y +=．（2）由PA PB PF PA PB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，可知PF 平分APB ∠，∴0PA PB k k +=．设直线AB 的方程为x my t =+，()11,A my t y +，()22,B my t y +，由2222x my t x y =+⎧⎨+=⎩得()2222220m y mty t +++-=， ()22820m t ∆=-+>，即222m t >-，∴12222mt y y m -+=+，212222t y y m -=+，∴1212022PA PB y y k k my t my t +=+=+-+-，∴()()1212220my y t y y +-+=，∴()()222220m t t mt ---⋅=，整理得()410m t -=，∴当1t =时，上式恒为0，即直线l 恒过定点()1,0Q ．8．（2023届山西省高三上学期第一次摸底）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是()11,0F -，()21,0F ，点()0,A b ，若12AF F △的内切圆的半径与外接圆的半径的比是1:2． (1)求椭圆C 的方程；(2)过C 的左焦点1F 作弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若0DE MN ⋅=，证明：直线PQ 过定点．【过程详解】（1）由题设1c =，又12||2F F c =，112||||AF A F a ==，若内切圆半径为r ，则外接圆半径为2r ，所以112()222r a c c b ⨯+=⨯⨯，即()r a c bc +=，222(2)4c r b r +-=，而222a b c =+，即24a rb =，综上，22()4a a c b c +=，即222(1)444a a b a +==-，可得2a =，所以24a =，23b =，则22:143x y C +=.（2）当直线斜率都存在时，令DE 为1x ky =-，联立22:143x y C +=，整理得：22(34)690k y ky +--=，且2144(1)0k ∆=+>，所以2634D E k y y k +=+，则28()234D E D E x x k y y k +=+-=-+，故2243,33)44(kk k P -++，由0DE MN ⋅= ，即DE MN ⊥，故MN 为1y x k =--，联立22:143x y C +=，所以2236(4)90y y k k ++-=，有2634M N k y y k +=-+，则228234M N M N y y k x x kk ++=--=-+，故22243,(3434k kQ k k +--+，所以274(1)PQ k k k =-，则PQ 为222374()344(1)34k k y x k k k -=++-+，整理得2(74)4(1)k x k y +=-，所以PQ 过定点4(,0)7-；当一条直线斜率不存在时,P Q 对应1,O F ，故PQ 即为x 轴，也过定点4(,0)7-；综上，直线PQ 过定点．9．（2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试）已知双曲线C 与双曲线221123y x -=有相同的渐近线，且过点1)A -.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知(2,0),,D E F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且0,DE DF DG EF ⋅=⊥于G ，证明：存在定点H ，使||GH 为定值.【过程详解】（1）因为双曲线C 与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线C 的标准方程为224x y λ-= 代入点A 坐标，解得4λ=所以双曲线C 的标准方程为2214x y -=（2）（i ）当直线EF 斜率存在时，设:EF y kx m =+，设()()1122,,E x y F x y ，联立y kx m =+与双曲线2214xy -=，化简得()()222418410k x kmx m -+++=，()()222Δ(8)444410km m k =-+->，即22410k m --<，则有12221228414441km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，又()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，因为()()1212220DE DF x x y y ⋅=--+=，所以()()()2212121240k x x km x x m +⋅+-⋅+++=，所以()()2222244812404141m kmk km m k k +-+⋅+-⋅++=--，化简，得22316200m km k ++=，即()()31020m k m k ++=，所以12102,3m k m k =-=-，且均满足22410k m --<，当12m k =-时，直线l 的方程为()2y k x =-，直线过定点()2,0，与已知矛盾，当2103m k =-时，直线l 的方程为103y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点10,03⎛⎫⎪⎝⎭（ii ）当直线EF 斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE ：2y x =-，与双曲线C 方程联立解得103E F x x ==，此时EF 也过点10,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，综上，直线EF 过定点10,03M ⎛⎫⎪⎝⎭.由于DG EF ⊥，所以点G 在以DM 为直径的圆上，H 为该圆圆心，GH 为该圆半径，所以存在定点8,03H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使GH 为定值23.10．（2023届江苏省南京市高三上学期9月学情调研）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点．(1)求p 的值；(2)是否存在定点T ，使得TA TB ⋅为常数？若存在，求出点T 的坐标及该常数；若不存在，说明理由．【过程详解】（1）因为(),0,0,22p F P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且点A 恰好为线段PF 中点，所以,14p A ⎛⎫⎪⎝⎭，又因为A 在抛物线上，所以2124pp =⋅，即22p =，解得P = （2）设(),T m n ，可知直线l 斜率存在；设l ：2y kx =+，()()1122,,,A x y B x y联立方程得：22y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，所以220y k -+=，所以1212y y y y +==又：()()()1212)(TA TB x m x m y n y n ⋅=--+--()()22121244y m y m y n y n ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝()()222222*********y y m y y m n y y n -++-++=2222484m m n k k k k k ⎛⎫=--++-+ ⎪ ⎪⎝⎭22244m m n k k++++=-，令4040m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解之得：4m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩)4T，此时2218TA TB m n ⋅=+=11．（2023届江苏省百校联考高三上学期第一次考试）设F 为椭圆C ：2212x y +=的右焦点，过点F 且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.(1)当2BF FA =时，求FA ；(2)在x 轴上是否存在异于F 的定点Q ，使QA QBk k 为定值（其中QA k ，QB k 分别为直线QA ，QB 的斜率）？若存在，求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【过程详解】（1）设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立22122x my x y =+⎧⎨+=⎩，得()222210m y my ++-=，又因为2BF FA = ，所以1221222122122m y y m y y m y y ⎧+=-⎪+⎪-⎪=⎨+⎪=-⎪⎪⎩，解得227m =，12228m y m ==+，所以18FA == ，即8FA = . （2）假设在x 轴上存在异于点F 的定点()(),01Q t t ≠，使得QA QBk k 为定值.设直线AB 的方程为1x my =+，联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222210m y my ++-=，则12222m y y m -+=+，12212y y m -=+，所以12122y y my y +=. 所以()()()()11212122121211QA QBy k y x t y my t x t y k y x t y my t x t⋅-+--===⋅-+--1211211212212212(1)22(1)(32)(1)22(1)(32)my y t y my y t y t y y my y t y my y t y y t y +-+--+===+-+-+-.要使QA QBk k 为定值，则321132t t-=-，解得2t =或1t =（舍去），此时1QA QBk k =-.故在x 轴上存在异于F 的定点()2,0Q ，使得QA QBk k 为定值.【例12】（2022届辽宁省名校联盟高三上学期12月联考）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点0(,4)M x 在C 上，且52pMF =．（1）求点M 的坐标及C 的方程；（2）设动直线l 与C 相交于,A B 两点，且直线MA 与MB 的斜率互为倒数，试问直线l 是否恒过定点？若过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．【分析】(1)利用抛物线定义求出0x ，进而求出p 值即可得解.(2)设出直线l 的方程x my n =+，再联立直线l 与抛物线C 的方程，借助韦达定理探求出m 与n 的关系，再根据1MA MB k k ⋅=求解.【过程详解】（1）抛物线2:2C y px =的准线：2p x =-，于是得0522p pMF x =+=，解得02x p =，而点M 在C 上，即2164p =，解得2p =±，又0p >，则2p =，所以M 的坐标为()4,4，C 的方程为24y x =.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为x my n =+，由24x my n y x =+⎧⎨=⎩消去x 并整理得：2440y my n --=，则()2160m n ∆=+>，124y y m +=，124y y n =-，因此，121222121212444444144444444MA MB y y y y k k y y x x y y ----⋅=⋅=⋅=⋅=--++--，化简得()121240y y y y ++=，即4n m =，代入l 方程得4x my m =+，即()40x m y -+=，则直线l 过定点()0,4-，所以直线l 过定点()0,4-.13.（2022届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F .离心率等于3，点P 在y 轴正半轴上，12PF F △为直角三角形且面积等于2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知斜率存在且不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上时，直线l 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由.【过程详解】（1）根据题意，由对称性得12PF F △为等腰直角三角形，且1290F PF ︒∠=，因为12PF F △的面积等于2，所以12F F =c = 因为椭圆C，即e a==，解得a = 所以2221b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为：2213x y +=.（2）由（1）得(P ，设直线l 的方程为()0y kx m k =+≠，()()1122,,,A x y B x y ，因为点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上，所以直线PB 与直线PA 的斜率互为相反数，即0PB PA k k +=，因为12AP BP k k ==12120y y x x +=，整理得2112((0x y x y +=又因为1122,kx m y kx m y =+=+，所以(()121220kx x m x x ++=，由2233y kx mx y =+⎧⎨+=⎩消去y 得222(31)6330,k x kmx m +++-= 所以0∆>，即2231m k <+，2121222633,,3131km m x x x x k k -+=-=++所以2223362((03131m mkk m k k -⋅+⋅-=++，整理得22(33)6(0,k m mk m ⋅--= 由于0k ≠，故解方程得2m =，此时直线l的方程为2y kx =+，过定点⎛ ⎝⎭ 所以直线l恒过定点⎛ ⎝⎭. 14．（2022届江苏省南通市高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22x a －22y b＝1(a 、b 为正常数．．)的右顶点为A ，直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点，且P 、Q 均不是双曲线的顶点，M 为PQ 的中点．（1）设直线PQ 与直线OM 的斜率分别为k 1、k 2，求k 1ꞏk 2的值；（2）若AMPQ ＝12，试探究直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．【过程详解】（1）设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，因为P 、Q 在双曲线上，所以212x a －212y b ＝1，222x a －222y b＝1，两式作差得12122()()x x x x a +-－12122()()y y y y b +-＝0，即01222()x x x a -＝01222()y y y b-，即012012()()y y y x x x --＝22b a，即k 1ꞏk 2＝22b a；（2）因为AMPQ ＝12，所以 APQ 是以A 为直角顶点的直角三角形，即AP ⊥AQ ；①当直线l 的斜率不存在时，设l ：x ＝t ，代入22x a －22y b＝1得，y ＝±由|t －a |＝得，(a 2－b 2)t 2－2a 3t ＋a 2(a 2＋b 2)＝0，即[(a 2－b 2)t －a (a 2＋b 2)](t －a )＝0，得t ＝2222()a ab a b+-或a (舍)，故直线l 的方程为x ＝2222()a ab a b+-；②当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝kx ＋m ，代入22x a －22y b＝1，得(b 2－k 2a 2)x 2－2kma 2x －a 2(m 2＋b 2)＝0，Δ＝a 2b 2(m 2＋b 2－k 2a 2)＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝22222kma b k a -，x 1x 2＝－222222()a mb b k a+-；因为AP ⊥AQ ，所以AP ꞏAQ＝0，即(x 1－a ，y 1)ꞏ(x 2－a ，y 2)＝0，即x 1x 2－a (x 1＋x 2)＋a 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2－a (x 1＋x 2)＋a 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0，即(km －a )(x 1＋x 2)＋(k 2＋1)x 1x 2＋m 2＋a 2＝0，即32222222242222kma k a b m a m b k a b k a ---+--＝0，即a 2(a 2＋b 2)k 2＋2ma 3k ＋m 2(a 2－b 2)＝0，即[a (a 2＋b 2)k ＋m (a 2－b 2)](ak ＋m )＝0，所以k ＝－2222()()m a b a a b -+或k ＝－ma；当k ＝－m a 时，直线l 的方程为y ＝－max ＋m ，此时经过A ，舍去；当k ＝－2222()()m a b a a b -+时，直线l 的方程为y ＝－2222()()m a b a a b -+ x ＋m ，恒过定点(2222()a ab a b +-，0)，经检验满足题意；综上①②，直线l 过定点(2222()a ab a b+-，0)．15．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，当l x ⊥轴时，2AB =. （1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 交y 轴于点D ，过点D 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于点P ，直线PF 交抛物线C 于另一点Q .①是否存在定点M ，使得四边形AQBM 为平行四边形？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由.②求证：QAF QBF S S ⋅△△为定值.【过程详解】（1）当l x ⊥轴时，易得2AB p =，所以22p =，解得1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =；（2）①解：易知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()102x my m =+≠，代入抛物线C 的方程22y x =，并整理得2210y my --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由根与系数的关系得12=2y y m +，121y y =-.所以21212121222x x my my m ++++==，所以线段AB 的中点N 的坐标为221,2m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，连接QM ，若四边形AQBM 为平行四边形，则N 是QM 的中点，易知10,2D m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因此211,82P mm ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线PQ 的方程为12x ty =+，代入抛物线C 的方程22y x =，整理得2210y ty --=，所以112P Q Q y y y m=-⋅=-，故2Q y m =，因此()22,2Q m m ，故可得22212212M m x m +=⨯-=，220M y m m =-=，故点M 的坐标为()1,0M ，因此存在定点()1,0M ，使得四边形AQBM 为平行四边形；②证明：点()22,2Q m m 到直线1:2l x my =+的距离d == 由()11,A x y ，1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得1AF =，因此11124QAF S AF d y =⋅=△，同理可得214QBF S y = ，所以12111616QAF QBF S S y y ⋅== ，为定值.。

高考数学复习---圆锥曲线压轴解答题常考套路归类真题专项练习题(含答案解析)

高考数学复习---圆锥曲线压轴解答题常考套路归类真题专项练习题（含答案解析）1．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点0,21Q ⎛⎫⎪⎝⎭在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =−+于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值； (2)求||CD 的最小值．【解析】（1）设,sin )H θθ是椭圆上任意一点,(0,1)P ,222221144144||12cos (1sin )1311sin 2sin 11sin 111111PH θθθθθ⎛⎫=+−=−−=−+≤⎭+ ⎪⎝，当且仅当1sin 11θ=−时取等号，故PH（2）设直线1:2AB y kx =+,直线AB 方程与椭圆22112x y +=联立,可得22130124k x kx ⎛⎫++−= ⎪⎝⎭,设()()1122,,,A x y B x y ，所以12212211231412k x x k x x k ⎧+=−⎪+⎪⎪⎨⎪=−⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩，因为直线111:1y PA y x x −=+与直线132y x =−+交于C , 则111114422(21)1C x x x x y k x ==+−+−,同理可得,222224422(21)1D x x x x y k x ==+−+−.则224||(21)1C D x CD x k x −=+−====≥=当且仅当316k=时取等号，故CD2．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b−=>>的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为y=．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点()()1122,,,P x y Q x y在C上，且1210,0x x y>>>．过P且斜率为Q M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在AB上；②PQ AB∥；③||||MA MB=．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【解析】（1）右焦点为(2,0)F，∴2c=,∵渐近线方程为y=，∴ba=∴b=，∴222244c a b a=+==，∴1a=，∴b=∴C的方程为：2213yx−=；（2）由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而12x x=，已知不符；总之，直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB方程为()2y k x=−,则条件①M在AB上，等价于()()2000022y k x ky k x=−⇔=−；两渐近线的方程合并为2230x y−=,联立消去y 并化简整理得：()22223440k x k x k −−+=设()()3344,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===−=−−, 设()00,M x y ,则条件③AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y −+−=−+−, 移项并利用平方差公式整理得：()()()()3403434034220x x x x x y y y y y ⎡⎤⎡⎤−−++−−+=⎣⎦⎣⎦，()()3403403434220y y x x x y y y x x −⎡⎤⎡⎤−++−+=⎣⎦⎣⎦−,即()000N N x x k y y −+−=,即200283k x ky k +=−；由题意知直线PM的斜率为直线QM∴由))10102020,y y x x y y x x −=−−=−,∴)121202y y x x x −=+−, 所以直线PQ的斜率)1201212122x x x y y m x x x x +−−==−−,直线)00:PM y x x y =−+,即00y y =, 代入双曲线的方程22330x y −−=,即)3yy +−=中，得：()()00003y y ⎡⎤−=⎣⎦, 解得P的横坐标：100x y ⎛⎫+⎪⎪⎭,同理：200x y ⎛⎫=⎪⎪⎭，∴0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ⎫−=++−=−−⎪−−⎭∴03x m y =, ∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =⇔=，综上所述：条件①M 在AB 上，等价于()2002ky k x =−；条件②//PQ AB 等价于003ky x =；条件③AM BM =等价于200283k x ky k +=−；选①②推③:由①②解得：2200002228,433k k x x ky x k k =∴+==−−,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223k x k =−，20263k ky k =−，∴003ky x =，∴②成立；选②③推①：由②③解得：20223k x k =−，20263k ky k =−，∴02623x k −=−，∴()2002ky k x =−，∴①成立.3．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =． (1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ−取得最大值时，求直线AB 的方程．【解析】（1）抛物线的准线为2px =−，当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ，此时=32pMF p +=，所以2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =；（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线:1MN x my =+，由214x my y x=+⎧⎨=⎩可得2440y my −−=，120,4y y ∆>=−，由斜率公式可得12221212444MN y y k y y y y −==+−，34223434444AB y y k y y y y −==+−，直线112:2x MD x y y −=⋅+，代入抛物线方程可得()1214280x y y y −−⋅−=， 130,8y y ∆>=−，所以322y y =，同理可得412y y =，所以()34124422MN AB k k y y y y ===++ 又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为,αβ，所以tan tan 22MN AB k k αβ===，若要使αβ−最大，则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设220MN AB k k k ==>，则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ−−===≤=+++，当且仅当12k k =即k =所以当αβ−最大时，AB k =:AB x n +，代入抛物线方程可得240y n −−=， 34120,4416y y n y y ∆>=−==−，所以4n =，所以直线:4AB x +. [方法二]：直线方程点斜式由题可知，直线MN 的斜率存在.设()()()()11223344,,,,,,,M x y N x y A x y B x y ,直线():1MN y k x =− 由 2(1)4y k x y x=−⎧⎨=⎩得：()2222240k x k x k −++=，121x x =,同理，124y y =−.直线MD :11(2)2y y x x =−−,代入抛物线方程可得：134x x =，同理，244x x =. 代入抛物线方程可得:138y y =−,所以322y y =，同理可得412y y =，由斜率公式可得：()()21432143212121.22114AB MN y y y y y y k k x x x x x x −−−====−−⎛⎫− ⎪⎝⎭（下同方法一）若要使αβ−最大，则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设220MN AB k k k ==>，则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ−−===≤=+++ 当且仅当12k k =即k =所以当αβ−最大时，AB k =:AB x n +，代入抛物线方程可得240y n −−=，34120,4416y y n y y ∆>=−==−，所以4n =，所以直线:4AB x =+. [方法三]：三点共线设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设(),0P t ,若 P 、M 、N 三点共线，由221212,,44y y t y t PM PN y ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22122144y y t y t y ⎛⎫⎛⎫−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得124y y t =-，反之，若124y y t =-,可得MN 过定点(),0t 因此，由M 、N 、F 三点共线，得124y y =−，由M 、D 、A 三点共线，得138y y =−，由N 、D 、B 三点共线，得248y y =−，则3412416y y y y ==−，AB 过定点（4,0）（下同方法一）若要使αβ−最大，则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设220MN AB k k k ==>，则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ−−===≤=+++ 当且仅当12k k =即2k =时，等号成立，所以当αβ−最大时，AB k =:4AB x =+. 【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线,MN AB的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB 的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线AB 过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．4．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛−−⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P −的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【解析】（1）设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛−−⎫⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B −−，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P −的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y +=，可得(1,M，N ，代入AB 方程223y x =−，可得(3,T ，由MT TH =得到(5,H −.求得HN 方程：(22y x =−，过点(0,2)−. ②若过点(1,2)P −的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y −−+=. 联立22(2)0,134kx y k x y −−+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +−+++=，可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，()()12221228234444234k y y k k k y y k ⎧−++=⎪+⎪⎨+−⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x y k −+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=−⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++− 可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x −−=−+−−，将(0,2)−，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +−+++−−=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++−−−+−−= 显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).−5．（2022·全国·统考高考真题）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a −=>−上，直线l 交C于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0． (1)求l 的斜率；(2)若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．【解析】（1）因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a −=>−上，所以224111a a −=−，解得22a =，即双曲线22:12x C y −=．易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨−=⎪⎩可得，()222124220k x mkx m −−−−=，所以，2121222422,2121mk m x x x x k k ++=−=−−，()()222222Δ16422210120m k m k m k =−+−>⇒−+>且≠k ．所以由0AP AQk k +=可得，212111022y y x x −−+=−−，即()()()()122121210x kx m x kx m −+−+−+−=，即()()()1212212410kx x m k x x m +−−+−−=，所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +⎛⎫⨯+−−−−−= ⎪−−⎝⎭，化简得，()2844410k k m k +−++=，即()()1210k k m +−+=，所以1k =−或12m k =−，当12m k =−时，直线():21l y kx m k x =+=−+过点()2,1A ，与题意不符，舍去，故1k =−．（2）［方法一］：【最优解】常规转化不妨设直线,PA AQ 的倾斜角为π,2αβαβ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，因为0AP AQ k k +=，所以παβ+=，由（1）知，212220x x m =+>，当,A B 均在双曲线左支时，2PAQ α∠=，所以tan 2α=2tan 0αα+，解得tan α=（负值舍去）此时P A 与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；当,A B 均在双曲线右支时，因为tan PAQ ∠=()tan βα−=tan 2α=−2tan 0αα−，解得tan α，于是，直线):21PA y x =−+，直线):21QA y x =−+，联立)222112y x x y ⎧=−+⎪⎨−=⎪⎩可得，)23241002x x ++−，因为方程有一个根为2，所以P x =，P y=，同理可得，103Q x +=，Q y=53−．所以5:03PQ x y +−=，163PQ =，点A 到直线PQ的距离d = 故PAQ △的面积为11623⨯=．［方法二］：设直线AP 的倾斜角为α，π02α⎛⎫<< ⎪⎝⎭，由tan PAQ ∠=tan 2PAQ ∠由2PAQ απ+∠=，得tan AP k α=1112y x −−，联立1112y x −=−221112x y −=得1x1y ，同理，2x 2y =12203x x +=，12689x x =而1||2|AP x −，2||2|AQ x −，由tan PAQ ∠=sin PAQ ∠故12121||||sin 2()4|2PAQSAP AQ PAQ x x x x =∠=−++= 【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线,PA PB 的斜率，从而联立求出点,P Q 坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；法二：前面解答与法一求解点,P Q 坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样．。

备战2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选与解析

备战2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选与解析一、有关圆幂定理型压轴题【方法点拨】1.相交弦定理：如下左图，圆O 的两条弦AB 、PC 相交于圆内一点P ，则PA PB PC PD ⋅=⋅.2. 切割线定理:如下右图，PT 为圆O 的切线，P AB 、PCD 为割线，则2PT PA PB =⋅（）;3.割线定理：如下右图，P AB 、PCD 为圆O 的割线，则PA PB PC PD ⋅=⋅.说明：上述三个定理可以统一为22PA PB PO R ⋅=-(其中R 是半径)，统称为圆幂定理.【典型题示例】例1 如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点，点P 是圆O ：上的任意一点，过点作直线BT 垂直于AP ，垂足为T ，则2P A +3PT 的最小值是__________．【答案】【分析】从题中已知寻求P A 、PT 间的关系是突破口，也是难点，思路一是从中线长定理入手，二是直接使用圆幂定理. 【解法一】由中线长公式可得，则 (1,0)A -224x y +=(1,0)B 93221862PT PA PA+=+≥=22212()2PO PA PB AB =+-22=10PA PB +CA ODPBTPOACD，则在中，，即所以时取等）【解法二】∵BT ⊥ AP ，∴点T 的轨迹是圆，其方程是：x 2+y 2=1，过点P 作该圆的切线PC ，C 为切点，则PC，由切割线定理得：所以时取等）.点评：解法二中，先运用定直线张直角，得到隐圆，然后运用切割线定理得出定值，最后再使用基本不等式予以解决，思路简洁、解法明快.在有关解析几何的题目中，首先考虑相关的几何性质是解决这类问题的首选方向.在△AOM 中，由正弦定理得：OMsinA =√5，而OA ＝OM =2，所以sinA =√5，所以tan A =2.故直线AB 的斜率为2．例3 在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)M 的直线l 与圆225x y +=交于,A B 两点，222cos 2PA PB AB P PA PB+-=⋅3cos P PA PB =⋅Rt PBT ∆cos PT PB P =3PT PA=9232PA PT PA PA+=+≥=2PA =23PC PA PT =⋅=9232PA PT PA PA+=+≥=PA =其中A 点在第一象限，且2BM MA =，则直线l 的方程为．【答案】y ＝x －1【分析】本题思路有下列几种：①利用向量坐标设点转化，点参法；②设直线方程的在x轴上的截距式，联立方程组；③垂径定理后二次解三角形；④相交弦定理；⑤利用”爪”型结构,得2133OM OA OB =+,两边平方求得AOB ∠的余弦值. 【解法一】：易知直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由BM →＝2MA →，设BM ＝2t ，MA ＝t .如图，过原点O 作OH ⊥l 于点H ，则BH ＝3t2.设OH ＝d ，在Rt △OBH 中，d 2＋⎝⎛⎭⎫3t 22＝r 2＝5. 在Rt △OMH 中，d 2＋⎝⎛⎭⎫t 22＝OM 2＝1，解得d 2＝12，则d 2＝k 2k 2＋1＝12，解得k ＝1或k ＝－1. 因为点A 在第一象限， BM →＝2MA →，由图知k ＝1，所以所求的直线l 的方程为y ＝x －1.【解法二】由2BM MA =，设BM ＝2t ，MA ＝t又过点M 的直径被M 分成两段长为51-、51+ 由相交弦定理得()()225151t =-+，解之得2t =过原点O 作OH ⊥l 于点H ，在Rt △OBH 中，d 2＋⎝⎛⎭⎫3t 22＝r 2＝5，解得d 2＝12，（下同解法一，略）.【解法三】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则BM →＝(1－x 2，－y 2)，MA →＝(x 1－1，y 1)．因为BM →＝2MA →，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝2(x 1－1)，－y 2＝2y 1.当直线AB 的斜率不存在时，BM →＝MA →，不符合题意．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 2＋y 2＝5，得(1＋k 2)y 2＋2ky －4k 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2k1＋k 2，y 1·y 2＝－4k 21＋k2，－y 2＝2y 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝2k1＋k 2，y 2＝－4k1＋k2，所以y 1·y 2＝－8k 2(1＋k 2)2＝－4k 21＋k2，即k 2＝1.又点A 在第一象限，所以k ＝1，即直线AB 的方程为y ＝x －1.【解法四】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则BM →＝(1－x 2，－y 2)，MA →＝(x 1－1，y 1)．因为BM →＝2MA →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2＝2(x 1－1)，－y 2＝2y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝2x 1－3，－y 2＝2y 1.又⎩⎪⎨⎪⎧ x 21＋y 21＝5，x 22＋y 22＝5，代入可得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝5，(2x 1－3)2＋4y 21＝5，解得x 1＝2，代入可得y 1＝±1.又点A在第一象限，故A (2,1)，由点A 和点M 的坐标可得直线AB 的方程为y ＝x －1. 点评：上述各种解法中，以解法一、解法二最简、最优.【巩固训练】1. 在平面直角坐标系xoy 中，M 是直线3x =上的动点，以M 为圆心的圆M ，若圆M 截x 轴所得的弦长恒为4，过点O 作圆M 的一条切线，切点为P ，则点P 到直线2100x y +-=距离的最大值为 .2.在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(m ＞0)．已知过原点O 且相互垂直的两条直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交于A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D ．若AB ＝OD ，则直线l 1的斜率为．3. 在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆222x y r +=(0)r >交于A B 、两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+，则r = ．4.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,1P 在圆C ：22222410++-+-+=x y mx y m m 内，若存在过点P 的直线交圆C 于A 、B 两点，且△PBC 的面积是△PAC 的面积的2倍，则实数m 的取值范围为．5.在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(2)()3C x y m ++-=．若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO =，则实数m 的取值范围是．6.已知直线3y ax =+与圆22280x y x ++-=相交于,A B 两点，点()00,P x y 在直线2y x =上且PA PB =，则0x 的取值范围为 .222()x m y r -+=【答案与提示】1.【答案】 2.【答案】【解析一】作CE ⊥AB 于点E ，则，由OECD 是矩形，知CE 2＝OD 2，∴，化简得，即cos ∠OCD ＝＝，tan ∠COB ＝tan ∠OCD ＝，∴直线l 1的斜率为．设OD ＝t (又∴直线l 13.244164416OC ⎪⎝⎭即222225159cos 16816r r r AOB r =+∠+，整理化简得3cos 5AOB ∠=-. 5±22222221144CE BC BE BC AB BC OD =-=-=-2222215()44r m r m r -=--=222254r m m r -=-r m =CDOC 3r m=55±2m t =Rt COE ∆过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则23cos 2cos 15AOB AOD ∠=∠-=-，得21cos 5AOD ∠=.又圆心到直线的距离OD ==222212cos 5OD AOD r r ∠===，r = 【解法二】注意到线性表示时的系数和为2，联想“三点共线”. 由5344OC OA OB =+，即153288OC OA OB =+ 得A B D 、、三点共线（其中D 是AB 的中点），且:3:5AD BD =，设，5BD x =思路一：垂径定理后二次解三角形，()222224r x r x ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=+⎩，解之得r =思路二：相交弦定理，()22335224r r x x r x ⎧⋅=⋅⎪⎨⎪=+⎩，解之得r =. 4.【答案】4,49⎡⎫⎪⎢⎣⎭5.【答案】[【提示】易知OA OB ⊥，考察临界状态，只需过原点作圆的切线，切点弦的张角大于等于直角即可.6.【答案】 (1,0)(0,2)-⋃二、抛物线过焦点的弦【方法点拨】设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，α为弦AB 的倾斜角．则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p1＋cos α (其中点A 在x 轴上侧，点B 在x 轴下侧) .(3)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α.(4)1|AF |＋1|BF |＝2p. 3AD x =(5)以弦AB 为直径的圆与准线相切．【典型题示例】例 1 已知抛物线()02:2>=p px y C 的焦点F 到其准线的距离为4，圆()12:22=+-y x M ，过F 的直线l 与抛物线C 和圆M 从上到下依次交于A ，P ，Q ，B四点，则BQ AP 4+的最小值为 . 【答案】13【分析】易知4p =，圆心(2,0)M 即为焦点F ，故445AP BQ AF BF +=+-，再利用抛物线的定义，进一步转化为445A B AP BQ x x +=++，利用4A B x x =、基本不等式即可. 【解析】易知4p =，圆心(2,0)M 即为焦点F所以()()414145AP BQ AF BF AF BF +=-+-=+- 根据抛物线的定义22A A p AF x x =+=+，22B B pBF x x =+=+ 所以()()4242545A B A B AP BQ x x x x +=+++-=++又244A B p x x ==所以445513A B AP BQ x x +=++≥=，当且仅当4A B x x =，即41A B x x =⎧⎨=⎩时等号成立，此时直线l的方程是y =-所以BQ AP 4+的最小值为13.例2 已知斜率为k 的直线l 过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，且与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C 的准线上一点M （－1，－1）满足MA ·MB ＝0，则｜AB ｜＝（） A． B． C ．5 D ．6 【答案】C【分析】将MA ·MB ＝0直接代入坐标形式，列出关于A ，B 中点坐标的方程，再利用斜率布列一方程，得到关于A ，B 中点坐标的方程组即可.这里需要说明的是，MA ·MB ＝0转化的方法较多，如利用斜边中线等于斜边一半等，但均不如上法简单. 【解析】易知p =2设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1x 2=1，y 1y 2=－4，11(1,1)MA x y =++，22(1,1)MB x y =++ ∵MA ·MB ＝0∴1212(1)(1)(1)(1)0x x y y +++++=，化简得12121x x y y +++= 设A 、B 中点坐标为（x 0，y 0），则0012x y += ① 又由直线的斜率公式得12122212121204244AB y y y y k k y y x x y y y --=====-+-，001y k x =-∴00021y y x =-，即2002(1)y x =- ② 由①、②解得032x =∴12025AB x x p x p =++=+=，答案选C. 点评：本题的命题的原点是阿基米德三角形，即从圆锥曲线准线上一点向圆锥曲线引切线，则两个切点与该点所构成的三角形是以该点为直角顶点的直角三角形.以此为切入点解决此题，方法则更简洁.例3 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4 B.92C.5D.6【答案】B【解析】由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ，由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92. 【巩固训练】1.设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334B.938C.6332D.942.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是( ) A.抛物线C 的准线方程为y ＝－1 B.线段PQ 的长度最小为4 C.点M 的坐标可能为(3，2) D.OP →·OQ →＝－3恒成立3.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，分别过A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为P ，Q .若|AF |＝3|BF |，则|PQ |＝________.4.已知抛物线C 的焦点为F ，过F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若112AF BF+=，则符合条件的抛物线C 的一个方程为__________．5.过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若25,,12AB AF BF =<则AF = .6.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若||3AF =，则||BF =______.【答案与提示】1.【答案】D【解析一】由已知得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0，故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.【解析二】由2p ＝3，及|AB |＝2p sin 2α得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12. 原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38，故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94.2.【答案】 BCD【解析】因为焦点F 到准线的距离为2，所以抛物线C 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1，A 错误.当线段PQ 垂直于x 轴时长度最小，此时|PQ |＝4，B 正确.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x ＝my ＋1.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1.消去x 并整理，得y 2－4my －4＝0，Δ＝16m 2＋16>0，则y 1＋y 2＝4m ，所以x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2，所以M (2m 2＋1，2m ).当m ＝1时，可得M (3，2)，C 正确.可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝1，所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3，D 正确.故选BCD.3.【答案】 833【解析】F (1，0)，不妨设A 在第一象限，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|AF |＝3|BF |得y 1＝－3y 2①设l AB ：y ＝k (x －1)与抛物线方程联立得 ky 2－4y －4k ＝0，y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝－4，②结合①②解得y 2＝－233，|PQ |＝|y 1－y 2|＝|－3y 2－y 2|＝－4y 2＝833.4.【答案】满足焦准距为1即可，如22y x =. 【解析】由公式112AF BF p +=得22p=，解得1p =，满足焦准距为1即可，如22y x =等. 5.【答案】65 【解析一】设AF =m ，BF =n ，则有25121121mnm n Pp ，解得65=m 或45m =(舍).【解析二】抛物线22y x =的焦点坐标为)0,21(，准线方程为21-=x 设A ，B 的坐标分别为),(),,(2211y x y x ，则414221==p x x 设n BF m AF ==,，则21,2121-=-=n x m x 所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=--122541)21)(21(n m n m ，解得65=m 或45=n ，所以65=AF . 6.【答案】32【解析】直接由112n m p+=立得（其中m ，n 是焦点弦被焦点所分得的两线段长，p 就是焦准距）.三、椭圆、双曲线的焦点弦被焦点分成定比【方法点拨】1. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆相交于A B、两点，直线l 的倾斜角为θ，且=()AF FB λλ＞0，则e θλ、、间满足1cos 1e λθλ-=+. 2.长短弦公式:如下图,长弦=1cos ep AF e θ-,短弦=1cos epBF e θ+（其中p 是焦参数，即焦点到对应准线的距离，θ是直线l 与x 轴的夹角，而非倾斜角）. 说明：（1）公式1的推导使用椭圆的第二定义，不必记忆，要有“遇过将焦半径转化为到准线距离”的意识即可.（2）双曲线也有类似结论.【典型题示例】例1 已知椭圆方程为2214x y +=，AB 为椭圆过右焦点F 的弦，则的最小值||2||AF FB ∴+F xA BO为．【解析】由，得，，则椭圆的离心率为，右准线方程为如图，过作于，则，① 设的倾斜角为，则，② 联立①②，可得，同理可得，．令，，，．．当且仅当时上式取等号．的最小值为． 2214x y +=2a =c =e =:l x =A AM l ⊥M ||||AF AM =AB θ||||||cos ||cos ||cos AM CF AF AF AF θθθ=-==||AF =||BF ||2||AF BF ∴++==cos t θ=[1t ∈-1]1||2||32(6)12AF FB ∴+==-+-322(6)1263t-+++326363t =+t ||2||AF FB ∴+34+故答案为：．例 2 （2021·江苏南京盐城二调·7）已知双曲线()2222100x y C a b a b-=>>：，的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作倾斜角为θ的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且cos θ＝14.若|AB |＝|AF 1|，则双曲线C 的离心率为A ．4B ．15C ．32 D ．2【答案】D【解析】22cos b AF a c θ=-，22cos b BF a c θ=+，2222122122230124b AB AF BF AF a AF BF a a e e ac =+==+⇒=⇒=⇒--=⇒+2e =．例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，与过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线相交于A ，B 两点．若AF →＝3FB →，则k ＝________.【答案】2【解析】如右图，设l 为椭圆的右准线，过A 、B3224+分别向l 作垂线AA /、BB /，A /、B /分别是垂足，过B 作AA /垂线BD ，D 是垂足设BF =t ，AF =3t则t BB e '=，3t AA e'= Rt ABD 中，2,4tAD AB t e==故11cos 23AD AB e θ=== 又k >0，所以tan 2k θ==.xDF B BAyO B / A /【巩固训练】1. 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的离心率为________．2.已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为________．3. 已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于．4.已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点，若E 上存在不同两点A ，B ，使得123F A F B =，则该椭圆的离心率的取值范围为( )A ．1，1)B ．1)-C ．(2-，1)D ．(0,2【答案与提示】1.【解析】如右图，设直线AB 的倾斜角为θ则12Rt AF F ，21212,b F F c AF a==所以cos θ=由|AF1|＝3|F1B|、长短弦公式得：31cos1cosep epe eθθ=-+，化简得：2cos1eθ=1=，即4e===解之得：213e（负值已舍），所以33e.2.【答案】333.【答案】3+4.【答案】C【解析】延长1AF交椭圆于1A，根据椭圆的对称性，则211F B A F=，1113F A A F=，由12F A F Bλ=，且1||1cosepF Aeθ=-，11||1cosepA Feθ=+，由112A F F B=，所以1cos1cosep epe eλθθ=-+，整理得1cos1eλθλ-=+，其中[0θ∈，2)π，由A，B不重合，所以0θ≠，cose eθ=<，解得2e>，所以，椭圆的离心率的取值范围(2，1)．。

2024届高考数学专项练习压轴题型11 圆锥曲线压轴解答题的处理策略(解析版)

压轴题型11 圆锥曲线压轴解答题的处理策略命题预测解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：（1）解析几何通性通法研究；（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题；（3）解析几何中的常见模型；解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大考向展开．高频考法（1）直线交点的轨迹问题（2）向量搭桥进行翻译（3）弦长、面积范围与最值问题（4）斜率之和差商积问题（5）定点定值问题01 直线交点的轨迹问题交轨法解决.【典例1-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线22:13y C x −=的左､右顶点分别是12,A A ，直线l 与C 交于,M N 两点（不与2A 重合），设直线22,,A M A N l 的斜率分别为12,,k k k ，且()126k k k +=−.(1)判断直线l 是否过x 轴上的定点.若过，求出该定点；若不过，请说明理由.(2)若,M N 分别在第一和第四象限内，证明：直线1MA 与2NA 的交点P 在定直线上.【解析】（1）由题意可知12(1,0),(1,0),0A A k −≠，设直线l 的方程为1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+.2024届高考数学专项练习由2213y x y kx m ⎧−=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，可得222(3)230k x kmx m −−−−=，则23k ≠，2212(3)0m k ∆=+−>，即223k m <+，212122223,33km m x x x x k k ++==−−−. 因为()121212*********()()211()1kx m kx m kx x m k x x m k k k k k x x x x x x ⎛⎫⎡⎤+++−+−+=+= ⎪⎢⎥−−−++⎝⎭⎣⎦222222322()2336632133m kmk m k m k k k km kmm k k k ⎡⎤⎛⎫+−+−−⎢⎥ ⎪−−⎝⎭⎢⎥===−⎢⎥++−−+⎢⎥−−⎣⎦，所以2m k =−，故直线l 的方程为(2)y k x =−，恒过点(2,0). （2）由题可知，直线1MA 的方程为11(1)1y y x x =++，直线2NA 的方程为22(1)1yy x x =−−，因为2121121212121212(1)(2)(1)2211(1)(2)(1)22y x x x x x x x x x y x x x x x x x +−+−+−+===−−−−−−+ 1212112121()322()2x x x x x x x x x x ++−−=−+++21221269333233k x k k x k −−−−==−++− 所以12x =，故点P 在定直线12x =上.【典例1-2】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅，PA PC⋅的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a ⎛⎫=− ⎪⎝⎭平移后得到曲线2C ，曲线2C 上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ，如果MON ∠（O 为坐标原点）为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b =时，曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上．【解析】（1）由题意可得(1,)PA x y =−−，(,1)PB x y =−−，(1,1)PC x y =−−，则22(1)()()(1)PA PB x x y y x y x y ⋅=−⋅−+−⋅−=+−−，22(1)(1)()(1)21PA PC x x y y x y x y ⋅=−⋅−+−⋅−=+−−+，又2y 是PA PB ⋅，PA PC ⋅的等差中项，()()22222212x y x y x y x y y ∴+−−++−−+=，整理得点(,)P x y 的轨迹方程为23122y x x =−+．（2）由（1）知2131:22C y x x =−+，又31,416a ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，∴平移公式为34116x x y y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+'⎩'⎪即34116x x y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−'⎩'⎪，代入曲线1C 的方程得到曲线2C 的方程为：213331164242y x x ''⎛⎫⎛⎫−=+−++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，即2yx ．曲线2C 的方程为2yx ．如图由题意可设M ，N 所在的直线方程为y kx b =+，由2y x y kx b⎧=⎨=+⎩消去y 得20x kx b −−=，令()11,M x y ，()()2212,N x y x x ≠，则1212x x kx x b+=⎧⎨=−⎩， ()()21111,,OM x y x x ∴==，()()22222,,ON x y x x ==，又MON ∠为锐角，cos 0||||OM ONMON OM ON ⋅∴∠=>⋅，即2212120||||x x x x OM ON +>⋅， 2212120x x x x ∴+>，又12x x b =−，2()0b b ∴−+−>，得0b <或1b >．（3）当2b =时，由（2）可得12122x x k x x b +=⎧⎨=−=−⎩，对2yx 求导可得2y x '=，∴抛物线2C 在点，()211,M x x ∴=，()222,N x x 处的切线的斜率分别为12M k x =，22N k x =，∴在点M ，N 处的切线方程分别为()2111:2M l y x x x x −=−，()2222:2N l y x x x x −=−，由()()()211112222222y x x x x x x y x x x x ⎧−=−⎪≠⎨−=−⎪⎩，解得交点R 的坐标(,)x y ．满足12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⋅⎩即22k x y ⎧=⎪⎨⎪=−⎩，R ∴点在定直线=2y −上．【变式1-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点2,3P，且离2. (1)求椭圆C 的方程；(2)记椭圆C 的上下顶点分别为,A B ，过点()0,4斜率为k 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，证明：直线BM 与AN 的交点G 在定直线上，并求出该定直线的方程.【解析】（1）由椭圆过点2,3P，且离心率为22，所以2222223122a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2284a b ⎧=⎨=⎩，故所求的椭圆方程为22184x y +=．（2）由题意得()0,2A ，()0,2B −，直线MN 的方程4y kx =+，设()()1122,,,M x y N x y ，联立224184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221216240k x kx +++=，由()22Δ25696120k k =−+>，即232k >，所以1221612kx x k −+=+，1222412x x k =+. 由求根公式可知，不妨设218246k k x −−−，228246k k x −+−= 直线AN 的方程为2222y y x x −−=，直线BM 的方程为1122y y x x ++=，联立22112222y y x x y y xx −⎧−=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，得()()()()2121121121212222222266y x kx x kx x x y y y x kx x kx x x −++−===++++，代入12,x x ，得222222241644628446112122324481246241246k k k y k k k k y k k k k k −−−−−−++===−+−+−−+−+，解得1y =，即直线BM 与AN 的交点G 在定直线1y =上.【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C 的中心为坐标原点O ，C 的一个焦点坐标为()10,3F ，离3 (1)求C 的方程；(2)设C 的上、下顶点分别为1A ，2A ，若直线l 交C 于()11,M x y ，()22,N x y ，且点N 在第一象限，120y y >，直线1A M 与直线2A N 的交点P 在直线35y =上，证明：直线MN 过定点．【解析】（1）由题意得3c =，3ca3a =2226b c a =−=，故C 的方程为22136y x −=；（2）证明：由已知条件得直线MN 的斜率存在，设直线MN ：y kx t =+，联立2226y kx t y x =+⎧⎨−=⎩，消去y 整理得，()222214260k x ktx t −++−=，由题设条件得2210k −≠，()()2222Δ16421260k t k t =−−−>，则122412kt x x k +=−，21222621t x x k −=−．由（1）得(13A ，(20,3A −，则直线1A M ：1133y y −，直线2A N ：2233y y x +=， 11223333y y y y −−=++ 因为直线1A M 与直线2A N 的交点P 在直线35y =上，所以112233353335y y −=++因为2222136y x−=2222222233312y y y x −+−==，即()2222323y y x +=−所以(11211212122233323333523335y y y y y x x y −−−===+．又((()(221212123333y y k x x k t x x t =+++，(((2222222326433212121t t ktk k t t k k k −−=⨯−+=−−−，所以33353335t t −=+，解得5t =，所以直线MN 过定点()0,5．02 向量搭桥进行翻译将向量转化为韦达定理形式求解.【典例2-1】（2024·上海普陀·二模）设椭圆222:1(1)x y a a Γ+=>，Γ2倍，直线l 交Γ于A 、B 两点，C 是Γ上异于A 、B 的一点，O 是坐标原点. (1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线l 过Γ的右焦点F ，且CO OB =，0CF AB ⋅=，求CBFS的值；(3)设直线l 的方程为(,R)y kx m k m =+∈，且OA OB CO +=，求||AB 的取值范围. 【解析】（1）由Γ24倍，得212a −22(1)a a −=，又1a >，则2a =故椭圆Γ的方程为2212x y +=.（2）设Γ的左焦点为1F ，连接1CF ，因为CO OB =，所以点B 、C 关于点O 对称，又0CF AB ⋅=，则CF AB ⊥，由椭圆Γ的对称性可得，1CF CF ⊥，且三角形1OCF 与三角形OBF 全等，则1112CBFCF FSSCF CF ==⋅，又122211224CF CF CF CF F F ⎧+=⎪⎨+==⎪⎩，化简整理得， 12CF CF ⋅=，则1CBFS=.（3）设11(,)A x y ，11(,)B x y ，00(,)C x y ，又 OA OB CO +=，则012()x x x =−+，012()y y y =−+，由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，222(12)4220k x mkx m +++−=， 222222168(12)(1)8(21)m k k m k m ∆=−+−=−+，由韦达定理得，122412mk x x k −+=+，21222212m x x k −=+，又121222()212my y k x x m k +=++=+，则02412mkx k =+，02212m y k −=+，因为点C 在椭圆Γ上，所以222242()2()21212mk m k k −+=++，化简整理得，22412m k =+，此时，22222218(21)8(21)6(21)04k k m k k +∆=−+=+−=+>，则2222212121()()(1)()AB x x y y k x x =−+−=+−222224221()4()1212mk m k k k−−+−++ 226(21)1k k ++226612k k ++ 令212t k =+，即1t ≥，则(]2266333=33,612k t k t t ++=+∈+，则AB 的取值范围是3,6.【典例2-2】（2024·贵州安顺·一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的一条渐近线方程为3y x =，右焦点F 3 (1)求双曲线C 的标准方程；(2)过点F 的直线l 与双曲线C 交于,M N 两点，()1,0A −．求AM AN ⋅的值．【解析】（1）由双曲线2222:1x y C a b −=的渐近线方程为3y =，可得3b a =又由焦点(c,0)F 32233(3)1c d ==+2c =，又因为222c a b =+，可得1,3a b =2213y x −=.（2）由（1）知2c =，可得(2,0)F ，当直线l 的斜率不存在时，即:2l x =，将2x =代入2213y x −=，可得13y =或23y =−，不妨设(2,3),(2,3)M N −，又由(1,0)A −，可得(3,3),(3,3)AM AN ==−，所以333(3)0AM AN ⋅=⨯+⨯−=；当直线l 的斜率存在时，即:(2)l y k x =−，联立方程组22(2)13y k x y x =−⎧⎪⎨−=⎪⎩，整理得2222(3)4430k x k x k −+−−=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则2222(4)4(3)(43)0k k k ∆=+−+>，且22121222443,33k k x x x x k k ++==−−，则222212121212(2)(2)2()4y y k x x k x x k x x k =−−=−++，且1122(1,),(1,)AM x y AN x y =+=+，则1212121212(1)(1)()1AM AN x x y y x x x x y y ⋅=+++=++++ 22212121212()12()4x x x x k x x k x x k =++++−++2221212(12)(1)()41k x x k x x k =−+++++=2222222434(12)(1)4133k k k k k k k +=−⋅++⋅++−−242244222484343412303k k k k k k k k k −+++++−+−==−，综上可得：0AM AN ⋅=.【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）如图，已知抛物线()2:20E y px p =>，其焦点为F ，其准线与x 轴交于点C ，以FC 为直径的圆交抛物线于点B ，连接BF 并延长交抛物线于点A ，且4AF BF −=．(1)求E 的方程．(2)过点F 作x 轴的垂线与抛物线E 在第一象限交于点P ，若抛物线E 上存在点M ，N ，使得0MP NP ⋅=．求证：直线MN 过定点．【解析】（1）根据抛物线的性质可知CF p =．设直线AB 的倾斜角为θ，则在Rt CBF △中，cos BF p θ=．由抛物线的定义知cos AF AF p θ=+，cos BF p BF θ=−，所以1cos p AF θ=−，cos 1cos pBF p θθ==+，所以2sin cos θθ=．所以222sin cos p p AB AF BF θθ=+==．由24AF BF AB BF −=−=，得221cos 2cos 224cos cos p p p p θθθθ−−=⋅==，解得2p =．所以E 的方程为24y x =．（2）由（1）知()1,2P ．设直线MN 的方程为x my n =+，()11,M x y ，()22,N x y ．联立抛物线方程，得2,4.x my n y x =+⎧⎨=⎩代入并整理，得2440y my n −−=．则124y y m +=，124y y n =−，且216160m n ∆=+>．由0MP NP ⋅=，得()()11221,21,20x y x y −−⋅−−=，则()()()()()()()()12121212112211220x x y y my n my n y y ⎡⎤⎡⎤−−+−−=−+−++−−=⎣⎦⎣⎦，得()()()22121212250m y y mn m y y n n ++−−++−+=，所以()()()221424250m n mn m m n n +⨯−+−−⨯+−+=．整理得()()22341n m −=+．当()321n m −=−+，即21n m =−+时，直线MN 的方程为()21x m y =−+，则直线MN 恒过定点()1,2P ，不符合题意．当()321n m −=+，即25n m =+时，直线MN 的方程为()25x m y =++，则直线MN 恒过定点()5,2−．【变式2-2】（2024·山东聊城·二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为26. (1)求C 的方程；(2)直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与C 交于,M N 两点，与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，且,AM BM AN BN λμ==. （ⅰ）当12μλ==时，求k 的值；（ⅱ）当3λμ+=时，求点(0,3到l 的距离的最大值.【解析】（1）由题意得222226b c a b a a =⎧⎪⎨−==⎪⎩13b a =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以C 的方程为2213x y +=．（2）（ⅰ）由题意得()0,,,0m A m B k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，由12AM BM =，得2OM OA OB =−，即,2m M m k ⎛⎫⎪⎝⎭，由2AN BN =，得2ON OB OA =−，即2,m N m k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，将,M N 的坐标分别代入C 的方程，得222413m m k +=和222413m m k+=，解得213k =，又0k >，所以3k =（ⅱ）由22,13y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()222316330k x kmx m +++−=，其中()()()222222Δ361231112310k m k m k m =−+−=−+>，设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222633,3131km m x x x x k k −−+==++，由(),,0,,,0m AM BM AN BN A m B k λμ⎛⎫==− ⎪⎝⎭，得1122,m m x x x x k k λμ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以121212112x x m m m m m k x x x x k k k k λμ⎛⎫ ⎪+=+=−+ ⎪ ⎪++++⎝⎭，由3λμ+=，得()221212230k x x mk x x m +++=，即222222223312303131m k k m k m k k −−++=++，所以222222223312930m k k m k m k m −−++=，因此22k m =，又0,0k m >>，所以k m =. 所以l 的方程为()1y k x =+，即l 过定点()1,0−，所以点(0,3−到l 的最大距离为点(0,3−与点()1,0−的距离21(3)2d =+=，即点(0,3−到l 的距离的最大值为2.03 弦长、面积范围与最值问题1、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．2、建立目标函数，使用基本不等式求最值．【典例3-1】（2024·浙江台州·二模）已知椭圆C ：229881x y +=，直线l ：=1x −交椭圆于M ，N 两点，T 为椭圆的右顶点，TMN △的内切圆为圆Q . (1)求椭圆C 的焦点坐标； (2)求圆Q 的方程；(3)设点()1,3P ，过P 作圆Q 的两条切线分别交椭圆C 于点A ，B ，求PAB 的周长.【解析】（1）椭圆的标准方程为2218198x y +=，因为819988−=，所以焦点坐标为320,⎛ ⎝⎭. （2）将=1x −代入椭圆方程229881x y +=得3=±y ，由对称性不妨设()1,3M −，()1,3N −−，直线MT 的方程为()3313y x =−−−，即3490x y +−=，设圆Q 方程为()222x t y r −+=，由于内切圆Q 在TMN △的内部，所以1t >−，则Q 到直线MN 和直线MT 的距离相等，即223409134t t r +⨯−+==+，解得12t =，32r =，所以圆Q 方程为221924x y ⎛⎫−+= ⎪⎝⎭.（3）显然直线PA 和直线PB 的斜率均存在，设过P 作圆Q 的切线方程为()13y k x =−+，其中k 有两个不同的取值1k 和2k 分别为直线PA 和PB 的斜率.由圆Q 21132321k k ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭=+，化简得：2812270k k +−=，则121232278k k k k ⎧+=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩，由()122139881y k x x y ⎧=−+⎨+=⎩得()()222111119816384890k x k k x k k ++−+−−=，可得21121848989A P A k k x x x k −−==+，所以()221111112211848924182713138989A A k k k k y k x k k k ⎛⎫−−−−+=−+=−+= ⎪++⎝⎭()()()111113271218271833271291232k k k k k −−−+−===−−+−.同理22222848989B k k x k −−=+，32B y =−，所以直线AB 的方程为32y =−，所以AB 与圆Q 相切，将32y =−代入229881x y +=得7x =所以7AB =P 到直线AB 的距离为92，设PAB 的周长为m ，则PAB 的面积1319272222ABC S m =⨯=⨯△，解得67m =.所以PAB 的周长为67.【典例3-2】（2024·高三·浙江金华·阶段练习）设抛物线()2:20C y px p =>，直线=1x −是抛物线C 的准线，且与x 轴交于点B ，过点B 的直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，()1,A n 是不在直线l 上的一点，直线AM ，AN 分别与准线交于P ，Q 两点． (1)求抛物线C 的方程； (2)证明：BP BQ =：(3)记AMN △，APQ △的面积分别为1S ，2S ，若122S S =，求直线l 的方程．【解析】（1）因为=1x −为抛物线的准线，所以12p=，即24p =，故抛物线C 的方程为24y x = （2）如图，设l ：1x ty =−，()()1122,,,M x y N x y ，联立24y x =，消去x 得2440y ty −+=，则()2Δ1610t =−>，且121244y y t y y +=⎧⎨=⎩，又AM ：()1111y ny n x x −−=−−，令=1x −得()1121,1y n P n x ⎛⎫−−− ⎪−⎝⎭，同理可得()2221,1y n Q n x ⎛⎫−−− ⎪−⎝⎭，所以()()()()12121212222221122P Q y n y n y n y n y y n n n x x ty ty ⎡⎤−−−−+=−+−=−+⎢⎥−−−−⎣⎦()()()()()()1221122222222y n ty y n ty n ty ty −−+−−=−−⋅−，()()()212122212124248882202444ty y nt y y nn nt n n t y y t y y t −−++−=−=−=−++−，故BP BQ =.（3）由（2）可得：()()1222122222221nt y n y n S PQ ty ty t −−−==−=−−−22212211141212221nt S MN d t t t nt t −==++=−−+，由122S S =，得：212t −=，解得3t = 所以直线l 的方程为310x +=．【变式3-1】（2024·上海闵行·二模）如图，已知椭圆221:14x C y +=和抛物线()22:20C x py p =>，2C 的焦点F 是1C 的上顶点，过F 的直线交2C 于M 、N 两点，连接NO 、MO 并延长之，分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ，设OMN 、OAB 的面积分别为OMN S △、OABS．(1)求p 的值； (2)求OM ON ⋅的值； (3)求OMNOABS S 的取值范围. 【解析】（1）椭圆221:14x C y +=的上顶点坐标为()0,1，则抛物线2C 的焦点为()0,1F ，故2p =.（2）若直线MN 与y 轴重合，则该直线与抛物线2C 只有一个公共点，不符合题意，所以直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为1y kx =+，点()11,M x y 、()22,N x y ，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩可得2440x kx −−=，216160k ∆=+>恒成立，则124x x =−，221212121241344x x OM ON x x y y x x ⋅=+=+=−+=−.（3）设直线NO 、MO 的斜率分别为1k 、2k ，其中10k >，20k <，联立12244y k x x y =⎧⎨+=⎩可得()221414k x +=，解得2141x k =+ 点A 在第三象限，则2141A x k =+点B 在第四象限，同理可得2241B x k =+，且121212121164y y x x k k x x ===− 121222124141OMN OAB B AOM ONx x x x S S OB OA x x k k ⋅⋅⋅===⋅⋅++()()2221212114141424k k k k ++++2121124224k k ≥⋅+，当且仅当112k =时，等号成立. OMNOABS S 的取值范围为[)2,+∞. 【变式3-2】（2024·辽宁·二模）已知点P 为双曲线22:14x E y −=上任意一点，过点P 的切线交双曲线E 的渐近线于,A B 两点． (1)证明：P 恰为AB 的中点；(2)过点P 分别作渐近线的平行线，与OA 、OB 分别交于M 、N 两点，判断PMON 的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由；【解析】（1）由切线不可能平行于x 轴，即切线的斜率不可能为0，设切线方程为:l x ty m =+，联立方程组2214x ty m x y =+⎧⎪⎨−=⎪⎩，整理得222(4)240t y tmy m −−+=+，所以()()222Δ24(4)40tm t m =−−−=，可得2240t m +−=，即224m t =−，所以22220m y tmy t −++=，即2()0my t −=，所以t y m =，则2t x m m=+，所以点2(,)t tP m m m+，又由双曲线22:14x E y −=的渐近线方程为12y x =±，联立方程组12y xx ty m⎧=⎪⎨⎪=+⎩，可得2,22m m x y t t ==−−，即2(,)22m m A t t −−，联立方程组12y xx ty m⎧=−⎪⎨⎪=+⎩，可得2,22m m x y t t −==++，即2(,)22m m B t t −++，所以222222244422244m mm tm m tmm m t t t t m m+++−−+====−− 222224m mtm tm t t t t m m−+−+===−，所以AB 的中点坐标为4(,)t m m又因为2224t t m m m m m++==，所以4(,)t P m m ，所以点P 与AB 的中点重合.（2）由2(,)22m m A t t−−，2(,)22m mB t t −++，可得2222225()()22(2)m m m OA t t t =+=−−−，2222225()()22(2)m m m OB t t t −=+=+++，所以44422222425252525[(2)(2)](4)m m m OA OB t t t m ⋅====−+−，即5OA OB =，又由22223322224m m m m m OA OB t t t t t−⋅=⨯+⨯==−+−+−，可得3cos 5OA OB AOB OA OB ⋅∠==，所以24sin 1cos 5AOB AOB ∠=−∠=，所以114sin 52225AOBSOA OB AOB =∠=⨯⨯=，因为P 为AB 的中点，所以112122PMON AOBS S ==⨯=，所以四边形PMON 的面积为定值1.04 斜率之和差商积问题1、已知00(,)P x y 是椭圆22221x y a b +=上的定点，直线l （不过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，且0PA PBk k +=，则直线l 斜率为定值2020b x a y ．2、已知00(,)P x y 是双曲线22221x y a b−=上的定点，直线l （不过P 点）与双曲线交于A ，B 两点，且0PA PBk k +=，直线l 斜率为定值2020b x a y −．3、已知00(,)P x y 是抛物线22y px =上的定点，直线l （不过P 点）与抛物线交于M ，N 两点，若0PA PB k k +=，则直线l 斜率为定值0p y −． 4、00(,)P x y 为椭圆222:x y a bΓ2+=1)0,0(a b >>上一定点，过点P 作斜率为1k ，2k 的两条直线分别与椭圆交于,M N 两点．（1）若12(0)k k λλ+=≠，则直线MN 过定点2000222(,)y b x x y aλλ−−−；（2）若2122()b k k a λλ⋅=≠，则直线MN 过定点2222002222(,)a b a b x y a b a b λλλλ++−−−．5、设00(,)P x y 是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过P 作两条直线AB ，CD 交椭圆222:x y a b Γ2+=1)0,0(a b >>于A 、B 、C 、D ，直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k ，弦AB ，CD 的中点记为M ，N ．（1）若12(0)k k λλ+=≠，则直线MN 过定点2002(,)y b x x aλλ−−；（2）若2122()b k k a λλ⋅=≠，则直线MN 过定点22002222(,)a x b y a b a b λλλ−−．6、过抛物线22(0)y px p =>上任一点00(,)P x y 引两条弦PA ，PB ，直线PA ，PB 斜率存在，分别记为12,k k ，即12(0)k k λλ+=≠，则直线AB 经过定点00022(,)y px y λλ−−．【典例4-1】（2024·上海徐汇·二模）已知椭圆22:143x y C +=，12A A 、分别为椭圆C 的左、右顶点，12F F 、分别为左、右焦点，直线l 交椭圆C 于M N 、两点（l 不过点2A ）.(1)若Q 为椭圆C 上（除12A A 、外）任意一点，求直线1QA 和2QA 的斜率之积； (2)若112NF F M =，求直线l 的方程；(3)若直线2MA 与直线2NA 的斜率分别是12k k 、，且1294k k =−，求证：直线l 过定点.【解析】（1）在椭圆 22:143x y C +=中，左、右顶点分别为12(2,0)(2,0)A A −、，设点()000,(2)Q x y x ≠±，则12202000220000314322444QA QA x y y y k k x x x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭⋅=⋅===−+−−−. （2）设()()1122,,,M x y N x y ，由已知可得1(1,0)F −，122111(1,)(+1,)NF x y F M x y =−−−=，，由112NF F M =得2211(1,)2(+1,)−−−=x y x y ，化简得2121=322x x y y −−⎧⎨=−⎩代入2222143x y +=可得22114(32)(32)1−−−+=x y ，联立2211143x y +=解得117=435=x y ⎧−⎪⎪⎨⎪⎪⎩由112NF F M =得直线l 过点1(1,0)F −，73(,5)48−N ，所以，所求直线方程为5=1)y x ±+.（3）设()()3344,,,M x y N x y ，易知直线l 的斜率不为0，设其方程为x my t =+（2t ≠），联立22143x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2223463120m y mty t +++−=，由2222364(34)(312)0m t m t ∆=−+−>，得2234t m <+.由韦达定理，得234342263123434，−+=−=++mt t y y y y m m .1294k k =−，34349224∴⋅=−−−y y x x . 可化为()()343449220y y my t my t ++−+−=，整理即得()()223434499(2)9(2)0my ym t y y t ++−++−=，()222223126499(2)9(2)03434t mt m m t t m m −⎛⎫∴+⨯+−−+−= ⎪++⎝⎭，由20t −≠，进一步得2222(49)(2)183(2)03434m t m tt m m ++−+−=++，化简可得16160t −=，解得1t =，直线MN 的方程为1x my =+，恒过定点(1,0).【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为()(),,2,2A B C a b D a b −，直线AC 的斜率为12，直线AC 与椭圆E 交于另一点G ，且点G 到x 轴的距离为43． (1)求椭圆E 的方程．(2)若点P 是E 上与点,A B 不重合的任意一点，直线,PC PD 与x 轴分别交于点,M N ． ①设直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，求2112k k k k −的取值范围． ②判断22||AM BN +是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．【解析】（1）由题意知，(),0A a −．由直线AC 的斜率为12()2012b a −=，所以2a b =．直线AC 的方程为()12y x a =+．设(),G s t ，则0,0s t >>．由点G 到x 轴的距离为43，得43t =．由点G 在直线AC 上，得()4132s a =+，所以83s a =−．由点G 在椭圆E 上，得2222843312a a a⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得2a =．所以2b =．所以椭圆E 的方程为22142x y+=．（2）①设()00,P x y （020y ≤<或002y < 由（1）知，()()2,2,2,2C D −，则00120022,22PC PD y y k k k k x x −−====−+，所以0021121200002211442222x x k k k k k k y y y y −+−−=−=−==−−−−．由020y −<或002y <≤得02222y −<或02222y <−≤ 所以0442222y −<−或0424222y <≤+− 故2112k k k k −的取值范围是)(422,22,422⎡−⋃+⎣． ②由①知2200142x y +=，即2220004x y y +=−．设()()12,0,,0M x N x ．因为,,P C M 三点共线，所以00120222y x x −−=−−，得0001002422222x y x x y y −+−=+=−−．因为,,P D N 三点共线，所以00220222y x x −−=++，得0002002422222x x y x y y −−−−=−=−−．所以()()222222000012002222222222y x x y AM BN x x y y ⎛⎫⎛⎫−−−+=++−=++−= ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭()220002008816822x y y y y +++=−−()()()()()2000220000848221616882222y y y yy y y y y −+−++=++=−−−−()0000821681622y y y y −+++=−−．故22||AM BN +为定值16．【变式4-1】（2024·高三·上海闵行·期中）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b −=>>2()3,1−在双曲线C 上．过C 的左焦点F 作直线l 交C 的左支于A 、B 两点． (1)求双曲线C 的方程；(2)若()2,0M −，试问：是否存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上?请说明理由．(3)点()4,2P −，直线AP 交直线2x =−于点Q ．设直线QA 、QB 的斜率分别1k 、2k ，求证：12k k −为定值．【解析】（1）由双曲线2222y :1x C a b −=2，且()3,1M −在双曲线C 上，可得222229112a b c e a c a b ⎧−=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得228,8a b ==，∴双曲线的方程为22188x y −=．（2）双曲线C 的左焦点为()4,0F −，当直线l 的斜率为0时，此时直线为0y =，与双曲线C 左支只有一个交点，舍去；当直线l 的斜率不为0时，设:4l x my =−，联立方程组2248x my x y =−⎧⎨−=⎩，消x 得()221880m y my −−+=，易得Δ0>，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122288,011m y y y y m m +==<−−，可得11m −<<， ∵()()11222,,2,MA x y MB x y =+=+，则()()()()211212122222MA MB x x y y my my y y ⋅=+++=−−+()()()22212122281161244411m mm y y m y y m m +=+−++=−+=−−−，即0MA MB ⋅≠，可得MA 与MB 不垂直，∴不存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上．（3）由直线()1:24AP y k x −=+，得(12,22)Q k −+， ∴2121222222222y k y k k x my −−−−==+−，又11111224PAy y k k x my −−===+，∴()()()()12121121121212222222222y my my y k y y k k k my my my my −−−−−−−−−=−=−− ()2111112224222my y my mk y my my −−+++=−，∵1112y k my −=，∴1112k my y =−，且1212y y my y +=， ∴()()()1212121212122222m y y y y k k my my y y y −−−===−−+−，即12k k −为定值．【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，从下面3个条件中选出2个作为已知条件，并回答下面的问题：①点()32,1P −在双曲线C 上；②点Q 在双曲线C 上，1290QF F ∠=︒，且113QF =；③双曲线C 的一条渐近线与直线33y x =−垂直. (1)求双曲线C 的方程；(2)设,A B 分别为双曲线C 的左、右顶点，过点()0,1−的直线l 与双曲线C 交于,M N 两点，若AMBNk a k =−，求直线l 的斜率.【解析】（1）选①②，因为点()32,1P −在双曲线C 上，所以221811a b −=，由题意可设()1(,0),,Q F c Q c y −−，因为点Q 在双曲线C 上，所以22221Q y ca b−=，所以2Q b y a =±，又113QF =，所以213b a =，联立222181113a b b a ⎧−=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3,1a b ==（负值舍去），故双曲线C 的方程为2219x y −=；选①③，由①，得221811a b −=，由③，得31ba−⨯=−，联立22181131a b b a⎧−=⎪⎪⎨⎪−⨯=−⎪⎩，解得3,1a b ==（负值舍去），故双曲线C 的方程为2219x y −=，选②③，由题意可设()1(,0),,Q F c Q c y −−，因为点Q 在双曲线C 上，所以22221Q y ca b−=，所以2Q b y a =±，又113QF =，所以213b a =，又由③，得31ba−⨯=−，联立21331b a b a⎧=⎪⎪⎨⎪−⨯=−⎪⎩，解得3,1a b ==（负值舍去），故双曲线C 的方程为2219x y −=.（2）依题意可知()()3,0,3,0A B −，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =−，()()1122,,,M x y N x y ，联立22119y kx x y =−⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去y 并整理，得()221918180k x kx −+−=，由()()()222Δ(18)4191836290k k k =−−⨯−=−>，且2190k −≠，得229k <且219k ≠，所以1212221818,1919k x x x x k k +=−=−−−，又221119x y −=，即221199x y −=，则1111339y x x y −=+，所以()()11121122122233339933AMBNy x x x k x y y y k y y x x −−−+===−−()()()()()121212122121212393991191x x x x x x x x kx kx k x x k x x −++−++==−−⎡⎤−++⎣⎦2222222218183996119193911818911919kk k k k k k k k k −+⨯+−+−−===−−⎛⎫−++ ⎪−−⎝⎭，整理得218310k k −−=，解得16k =−或13k =（舍去），故直线l 的斜率为16−.05 定点定值问题1、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量----选择适当的量为变量．（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值． 2、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 3、求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x −=−或截距式y kx b =+来证明．一般解题步骤：①斜截式设直线方程：y kx m =+，此时引入了两个参数，需要消掉一个．②找关系：找到k 和m 的关系：m =()f k ，等式带入消参，消掉m ． ③参数无关找定点：找到和k 没有关系的点．【典例5-1】（2024·全国·模拟预测）已知离心率为23的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，点P 为椭圆C 上的动点，且12A PA 面积的最大值为35():20l x my m =−≠与椭圆C 交于,A B 两点，点()1,0D −，直线,AD BD 分别交椭圆C 于,G H 两点，过点2A 作直线GH 的垂线，垂足为M ． (1)求椭圆C 的方程．(2)记直线GH 的斜率为k ，证明：km 为定值．(3)试问：是否存在定点N ，使MN 为定值？若存在，求出定点N 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）由题意，得22235,2,3,ab c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2229,5,4.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22195x y +=．（2）证明：设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y G x y H x y ．又()1,0D −，所以可设直线AD 的方程为1111x x y y +=−．联立椭圆方程与直线AD 的方程，得112211,1.95x x y y x y +⎧=−⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去x ，得()()222211111519101400x y y x y y y ⎡⎤++−+−=⎣⎦．又2211195x y +=，所以22115945x y +=，可得()()2211115140x y x y y y +−+−=．由根与系数的关系，得2113145y y y x −=+，则13145y y x −=+，所以11131111459155x y x x y x x +−−−=⋅−=++，同理，得224422594,55x y x y x x −−−==++．从而直线GH 的斜率()()()()()()2112214321214312212144454555595959559555y y y x y x y y x x k x x x x x x x x x x −−−+−+−++====−−−−−++−++−++()()()122112454516y x y x x x +−+−．又11222,2x my x my =−=−，所以()()()()()1221121212434312316164y my y my y y k x x x x m +−+−===−−，即34km =，为定值．（3）由（2）可得直线GH 的方程为11114594355y x m x y x x ⎛⎫+=⋅+− ⎪++⎝⎭．由椭圆的对称性可知，若直线GH 恒过定点，则此定点必在x 轴上，所以令0y =，得()()()()()11111111116235916595135535353x x my x x x x x x x +−+++=−===++++．故直线GH 恒过定点T ，且点T 的坐标为1,03⎛⎫⎪⎝⎭．因为2A M GH ⊥，垂足为M ，且()23,0A ，所以点M 在以2A T 为直径的圆上运动．故存在点5,03N ⎛⎫⎪⎝⎭，使21423MN A T ==．【典例5-2】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>的焦距为25点3)D 在C 上. (1)求C 的方程;(2)直线:1l x my =+与C 的右支交于A ，B 两点，点E 与点A 关于x 轴对称，点D 在x 轴上的投影为点G . （ⅰ）求m 的取值范围；（ⅱ）求证：直线BE 过点G .【解析】（1）由已知得222251631a b a b ⎧+=⎪⎨−=⎪⎩，解得224,1a b ==，所以C 的方程为2214x y −=.（2）（i ）设()11,A x y ，()22,B x y ，则()11,E x y −，联立22144x my x y =+⎧⎨−=⎩，消去x 得()224230m y my −+−=，则240m −≠，()()222Δ41241630m m m =+−=−>，解得||3m >||2m ≠.又l 与C 的右支交于A ，B 两点，C 的渐近线方程为12y x =±，则11||2m >，即0||2m <<，所以|m 的取值范围为(3,2). （ii ）由（i ）得12224my y m +=−−，12234y y m −=−，又点3)D 在x 轴上的投影为(4,0)G ，所以()224,GB x y =−，()114,GE x y =−−，所以()()122144x y x y −+−()()122133my y my y =−+−()121223my y y y =−+，223223044mm m m −−=⋅−⋅=−−，所以//GB GE ，又GB ，GE 有公共点G ，所以B ，G ，E 三点共线，所以直线BE 过点G .【变式5-1】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，且1F ，2F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形，点23P ⎝⎭在椭圆E ，过点2F 作互相垂直且与x 轴不重合的两直线AB ，CD 分别交椭圆E 于A ，B 和点C ，D ，且点M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若()0,1D ，求以CD 为直径的圆的方程；(3)直线MN 是否过x 轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．【解析】（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点23P ⎝⎭，且1F ，2F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形，可得b c =，则22222a b c b =+=，所以2223122b b+=⨯，解得222,1a b ==，所以椭圆E 的标准分别为2212x y +=.（2）由（1）得1(1,0),(0,1)F D −，所以直线CD 的方程为1x y +=，联立方程组22112x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得41,33x y ==−或0,1x y ==，所以41(,)33C −，则CD 的中点为21(,)33N 且423CD =CD 为直径的圆的方程为22218()()339x y −+−=. （3）设直线AB 的方程为1x my =+，且0m ≠，则直线CD 的方程为11x y m=−+，联立方程组22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22(2)210m y my ++−=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则0∆>且12122221,22y y y y m m +=−=−++，所以12121224(1)(1)()22x x my my m y y m +=+++=++=+，由中点坐标公式得222(,)22mM m m −++，将M 的坐标中的用1m −代换，可得CD 的中点为2222(,)2121m mN m m ++，所以232(1)MN mk m =−，所以直线MN 的方程为22232()22(1)2m m y x m m m +=−+−+，即23(1)12m y x m =−−，则直线MN 过定点2(,0)3. 【变式5-2】（2024·浙江·二模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>左右焦点分别为1F ，2F ，点()3,2P 在双曲线上，且点()3,2P 到双曲线两条渐近线的距离乘积为65，过1F 分别作两条斜率存在且互相垂直的直线1l ，2l ，已知1l 与C 双曲线左支交于A ，B 两点，2l 与C 左右两支分别交于E ，F 两点. (1)求双曲线C 的方程；(2)若线段AB ，EF 的中点分别为M ，N ，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点坐标. 【解析】（1）设双曲线C 的两渐近线方程分别为b y x a=，by x a =−，点()3,2P 到双曲线两渐近线的距离乘积为22294323265b a b a b a ccc −−+⨯==，由题意可得：222222229465941a b c b a c a b ⎧+=⎪⎪−⎪=⎨⎪⎪−=⎪⎩，解得23a =，22b =，所以双曲线C 的方程为22132x y −=.（2）设直线1l 的方程为(5y k x =，由1l ，2l 互相垂直得2l 的方程(15y x k=−，联立方程得(225132y k x x y ⎧=⎪⎨⎪−=⎩，消y 得()222223651560k x k x k −−−−=，0∆>成立，所以212352M x x k x +=，(255M M ky k x == 所以点M 坐标为23525k k ⎝⎭，联立方程得(2215132y x k x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，所以34352N x x x +==(1255N N k y x k −=−=，所以点N 坐标为223525,2323k k k ⎛⎫− ⎪ ⎪−−⎝⎭，根据对称性判断知定点在x 轴上，直线MN 的方程为()N MM M N My y y y x x x x −−=−−，则当0y =时，222223525352523232323351252525M N N M N M k k kx y x y k k k k x y y kk k −−−−−−===−−−−−−所以直线MN 恒过定点，定点坐标为()35,0−.1．已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>的上顶点为()0,1A ，离心率3e =()2,1P −的直线l 与椭圆Γ交于B ，C 两点，直线AB 、AC 分别与x 轴交于点M 、N .(1)求椭圆Γ的方程；(2)已知命题“对任意直线l ，线段MN 的中点为定点”为真命题，求AMN 的重心坐标；(3)是否存在直线l ，使得2AMN ABC S S =△△？若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程；若不存在，请说明理由.（其中AMNS、ABCS分别表示AMN 、ABC 的面积）【解析】（1）依题意1b =，3c e a ==222c a b =−，解得2a =，所以椭圆Γ的方程为2214x y +=；（2）因为命题“对任意直线l ，线段MN 的中点为定点”为真命题，。

圆锥曲线压轴解答题22题(含详细答案,可直接打印)

圆锥曲线压轴22题及答案一．解答题（共22小题）1．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点是椭圆M：+=1（a＞b＞0）的右焦点，且两曲线有公共点（，）．（1）求椭圆M的方程；（2）O为坐标原点，A，B，C是椭圆M上不同的三点，并且O为△ABC的重心，试探究△ABC的面积是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．2．已知直线11：ax﹣y+1=0，直线12：x+5ay+5a=0．（1）直线11与l2的交点为M，当a变化时，求点M的轨迹C的方程：（2）已知点D（2，0），过点E（﹣2，0）的直线1与C交于A，B两点，求△ABD面积的最大值．3．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的四个顶点围成的菱形的面积为4，点M与点F分别为椭圆C的上顶点与左焦点，且△MOF的面积为（点O为坐标原点）．（1）求C的方程；（2）直线l过F且与椭圆C交于P，Q两点，点P关于O的对称点为P′，求△PP′Q 面积的最大值．4．如图所示，椭圆C1：+y2=1，抛物线C2：y=x2﹣1，其中C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E．（Ⅰ）证明：MA⊥MB；（Ⅱ）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得=．若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．5．已知椭圆C1：的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线距离为．（1）求椭圆C1的方程；（2）点F为椭圆的左焦点，不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线C1相交于A、B两点，若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐标；若不存在这样的定点，请说明理由．6．椭圆的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l与x轴平行时，直线l被椭圆C截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时，总有∠PQA=∠PQB？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知椭圆，点在椭圆C上，椭圆C的四个顶点的连线构成的四边形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）设点A为椭圆长轴的左端点，P、Q为椭圆上异于椭圆C长轴端点的两点，记直线AP、AQ斜率分别为k1、k2，若k1k2=2，请判断直线PQ是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．8．已知椭圆Γ：=1（0＜b＜2）的左右焦点分别为F1、F2，上顶点为B，O为坐标原点，且向量与的夹角为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设Q（1，0），点P是椭圆Γ上的动点，求的最大值和最小值；（3）设不经过点B的直线l与椭圆Γ相交于M、N两点，且直线BM、BN的斜率之和为1，证明：直线l过定点．9．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设直线与椭圆E交于A，C两点，与x轴交于点H，设AC的中点为Q，试问|AQ|2+|QH|2是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．10．椭圆E：的左、右焦点分别为、且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰，过F好为F2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设直线与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为H，试问|BH|是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．11．设椭圆M：+=1（a＞b＞0）经过点P（，），F1，F2是椭圆M的左、右焦点，且△PF1F2的面积为．（1）求椭圆M的方程；（2）设O为坐标原点，过椭圆M内的一点（0，t）作斜率为k的直线l与椭圆M交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若对任意实数k，存在实m，使得k1+k2=mk，求实数m的取值范围．12．已知椭圆经过点，离心率为，过右焦点F且与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（I）求椭圆C的方程；（II）当直线l的斜率为时，求△POQ的面积；（III）在椭圆C上是否存在点M，使得四边形OPMQ为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．13．已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A、B两点，F1B与y轴交于点D，AD⊥F1B，且|OD|=1，O为坐标原点．（1）求C的方程；（2）设P为椭圆C上任一异于顶点的点，A1、A2为C的上、下顶点，直线PA1、PA2分别交x轴于点M、N．若直线OT与过点M、N的圆切于点T．试问：|OT|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．14．已知椭圆C：+=1的两个焦点分别是F1（﹣，0），F2（，0），点E（，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是y轴上的一点，若椭圆C上存在两点M，N使=2，求以F1P 为直径的圆面积取值范围．15．已知椭圆的右焦点为F，离心率为，平行于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F且斜率不为零的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在定点E，使得是定值？若存在，请求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．16．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，抛物线E：的焦点恰好是椭圆C的一个顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（0，1）的动直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数λ，使得恒成立？请说明理由．17．在平面直角坐标系中，点F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，双曲线C的离心率为2，点（1，）在双曲线C上．不在x轴上的动点P与动点Q关于原点O对称，且四边形PF1QF2的周长为．（1）求动点P的轨迹方程；（2）在动点P的轨迹上有两个不同的点M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点为G，已知点（x1，x2）在圆x2+y2=2上，求|OG|•|MN|的最大值，并判断此时△OMN的形状．18．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），其内接△ABC中∠A=90°．（I）当点A与原点重合时，求斜边BC中点M的轨迹方程；（II）当点A的纵坐标为常数t0（t0∈R）时，判断BC所在直线是否过定点？过定点求出定点坐标；不过定点，说明理由．19．如图，已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P（﹣2，3）是椭圆C上一点，且PF1⊥x轴．（1）求椭圆C的方程；（2）设圆M：（x﹣m）2+y2=r2（r＞0）．①设圆M与线段PF2交于两点A，B，若，且AB=2，求r的值；②设m=﹣2，过点P作圆M的两条切线分别交椭圆C于G，H两点（异于点P）．试问：是否存在这样的正数r，使得G，H两点恰好关于坐标原点O对称？若存在，求出r的值；若不存在，请说明理由．20．己知椭圆在椭圆上，过C的焦点且与长轴垂直的弦的长度为．（1）求椭圆C的标准方程；．（2）过点A（﹣2，0）作两条相交直线l1，l2，l1与椭圆交于P，Q两点（点P 在点Q的上方），l2与椭圆交于M，N两点（点M在点N的上方），若直线l1的斜率为，，求直线l2的斜率．21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=2py（p＞0），直线y=x与C交于O，T两点，|OT|=4．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）斜率为k（0）的直线l过线段OT的中点，与C交于A，B两点，直线OA，OB分别交直线y=x﹣2于M，N两点，求|MN|的最大值．22．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l经过点P（0，﹣1），且与椭圆交于A，B两点，若，求直线l的方程．参考答案与试题解析一．解答题（共22小题）1．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点是椭圆M：+=1（a＞b＞0）的右焦点，且两曲线有公共点（，）．（1）求椭圆M的方程；（2）O为坐标原点，A，B，C是椭圆M上不同的三点，并且O为△ABC的重心，试探究△ABC的面积是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点是椭圆M：+=1（a＞b＞0）的右焦点，∴=c，∵两曲线有公共点（，），∴=2p•，+=1，解得p=2，∴c=1，∴c2=a2﹣b2=1，∴a2=4，b2=3，∴椭圆的方程为+=1；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程3x2+4y2=12，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=，x1+x2=﹣，y1+y2=k（x1+x2）+2m=，由O为△ABC的重心，可得=﹣（+）=（，﹣），由C在椭圆上，则有3（）2+4（﹣）2=12，化简可得4m2=3+4k2，|AB|=•=•=•==，C到直线AB的距离d═，S△ABC=|AB|•d=••=．当直线AB的斜率不存在时，|AB|=3，d=3，S=|AB|•d=．△ABC综上可得，△ABC的面积为定值．2．已知直线11：ax﹣y+1=0，直线12：x+5ay+5a=0．（1）直线11与l2的交点为M，当a变化时，求点M的轨迹C的方程：（2）已知点D（2，0），过点E（﹣2，0）的直线1与C交于A，B两点，求△ABD面积的最大值．【解答】解：（1）由题意设M（x，y），M满足直线11、直线12：可得，消去a，可得x2+5y2=5，即点M的轨迹C的方程为：（2）设直线l的方程x=my﹣2．E（﹣2，0）在M的轨迹C内．ED=4，直线1与C交于A，B两点，A（x1，y1）．B（x2，y2）∴，可得（m2+5）y2﹣4my﹣1=0．∴y1+y2=．y1y2=∴△ABD面积s=×|y1﹣y2|•|ED=×4×=2×==2×≤2×=2×=，当且仅当m=时，表达式取得最大值．△ABD面积的最大值：．3．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的四个顶点围成的菱形的面积为4，点M与点F分别为椭圆C的上顶点与左焦点，且△MOF的面积为（点O为坐标原点）．（1）求C的方程；（2）直线l过F且与椭圆C交于P，Q两点，点P关于O的对称点为P′，求△PP′Q 面积的最大值．【解答】解：（1）∵△MOF的面积为，∴bc=，即bc=．又∵椭圆C的四个顶点围成的菱形的面积为4，∴=4，即ab=2．∴==，∴=，∴a=2，b=，∴C的方程为：=1．．（2）由题意可知，点O为PP′的中点，则=2S△POQ设直线l的方程为：x=my﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，∴y1+y2=，y1y2=，∴|y1﹣y2|===，∴S=|OF|•|y1﹣y2|=．△POQ设=t≥1，=．∵函数g（t）=在[1，+∞）上单调递减，∴当t=1时，△PP′Q面积取得最大值=3．4．如图所示，椭圆C1：+y2=1，抛物线C2：y=x2﹣1，其中C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E．（Ⅰ）证明：MA⊥MB；（Ⅱ）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得=．若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：由题得，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为：y=kx，由y=kx和y=x2﹣1，得x2﹣kx﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），于是x1+x2=k，x1•x2=﹣1，又点M的坐标为（0，﹣1）．所以k MA•k MB=•====﹣1．故MA⊥MB，即MD⊥ME；（Ⅱ）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为y=k1x﹣1．联立y=x2﹣1可得或则点A的坐标为（k1，k12﹣1）．又直线MB的斜率为﹣，同理可得点B的坐标为（﹣，﹣1）．于是S1=|MA|•|MB|=|k1|•••|﹣|•=．由椭圆方程x2+4y2=4和y=k1x﹣1，得（1+4k12）x2﹣8k1x=0，解得，或，则点D的坐标为（，）．又直线ME的斜率为﹣，同理可得点E的坐标为（﹣，）．于是S2=|MD|•|ME|=．故=（4k12++17）=，解得k12=4，或k12=．又由点A，B的坐标得，k==k1﹣．所以k=±．故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程为y=±x．5．已知椭圆C1：的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线距离为．（1）求椭圆C1的方程；（2）点F为椭圆的左焦点，不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线C1相交于A、B两点，若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐标；若不存在这样的定点，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可知：a=2……………………………………1分又椭圆的上顶点为（0，b）双曲线的渐近线为：2y±x=0由点到直线的距离公式有：得……………………3分所以椭圆的方程为．……………………4分（2）设直线线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1）、B（x2，y2）联立得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0……………………5分则……………………7分由已知直线FA、FB的斜率之和为0，有，2kx1x2+（k+m）（x1+x2）+2m=0…………………9分所以化简得m=4k………………11分此时△=（8km）2﹣4×（3+4k2）（4m2﹣12）=（32k2）2﹣4×（3+4k2）（64k2﹣12）=16×64k4﹣16（4k2+3）（16k2﹣3）=16×9（1﹣4k2）显然△=16×9（1﹣4k2）＞0有机会成立．所以直线l的方程为：y=kx+m=k（x+4）所以存在这样的定点（﹣4，0）符合题意．…………12分6．椭圆的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l与x轴平行时，直线l被椭圆C截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时，总有∠PQA=∠PQB？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵，∴a2=2c2=b2+c2，b=c，a2=2b2，椭圆方程化为：，由题意知，椭圆过点，∴，解得b2=4，a2=8，所以椭圆C的方程为：；（2）当直线l斜率存在时，设直线l方程：y=kx+1，由得（2k2+1）x2+4kx﹣6=0，△=16k2+24（2k2+1）＞0，设，假设存在定点Q（0，t）符合题意，∵∠PQA=∠PQB，∴k QA=﹣k QB，∴=，∵上式对任意实数k恒等于零，∴4﹣t=0，即t=4，∴Q（0，4），当直线l斜率不存在时，A，B两点分别为椭圆的上下顶点（0，﹣2），（0，2），显然此时∠PQA=∠PQB，综上，存在定点Q（0，4）满足题意．7．已知椭圆，点在椭圆C上，椭圆C的四个顶点的连线构成的四边形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）设点A为椭圆长轴的左端点，P、Q为椭圆上异于椭圆C长轴端点的两点，记直线AP、AQ斜率分别为k1、k2，若k1k2=2，请判断直线PQ是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．【解答】解：（1）由点在椭圆C上可得：，整理为：9a2+4b2=4a2b2，由椭圆C的四个顶点的连接线构成的四边形的面积为可得：，即，可得，由a＞b＞0可解得：，故椭圆C的方程为：．（2）设点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），点A的坐标为（﹣2，0），故，可得y1y2=2（x1+2）（x2+2），设直线PQ的方程为y=kx+m（直线PQ的斜率存在），可得（kx1+m）（kx2+m）=2（x1+2）（x2+2），整理为：，联立，消去y得：（4k2+3）x2+8kmx+（4m2﹣12）=0，由△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=48（4k2﹣m2+3）＞0，有4k2+3＞m2，有，，故有：，整理得：44k2﹣32km+5m2=0，解得：m=2k或，当m=2k时直线PQ的方程为y=kx+2k，即y=k（x+2），过定点（﹣2，0）不合题意，当时直线PQ的方程为，即，过定点．8．已知椭圆Γ：=1（0＜b＜2）的左右焦点分别为F1、F2，上顶点为B，O为坐标原点，且向量与的夹角为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设Q（1，0），点P是椭圆Γ上的动点，求的最大值和最小值；（3）设不经过点B的直线l与椭圆Γ相交于M、N两点，且直线BM、BN的斜率之和为1，证明：直线l过定点．【解答】解：（1）椭圆Γ：=1（0＜b＜2）的a=2，向量与的夹角为，可得|BF1|=|BF2|=a==2b=2，即b=1，则椭圆方程为+y2=1；（2）设P（m，n），可得+n2=1，即n2=1﹣，•=（1﹣m，﹣n）•（﹣m，﹣n）=m2﹣m+n2=m2﹣m+1=（m﹣）2+，由﹣2≤m≤2可得m=时，上式取得最小值；m=﹣2时，取得最大值6，则•的范围是[，6]；（3）证明：当直线l的斜率不存在时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由k BM+k BN=+==1，x1=x2，y1=﹣y2，得x1=﹣2，此时M，N重合，不符合题意；设不经过点P的直线l方程为：y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），由得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，x1+x2=﹣，x1x2=，k BM+k BN=+==1，⇒（kx1﹣1+t）x2+（kx2﹣1+t）x1=x1x2⇒（2k﹣1）x1x2+（t﹣1）（x1+x2）=0⇒（t﹣1）（2k﹣t﹣1）=0，∵t≠1，∴t=2k﹣1，∴y=k（x+2）﹣1，直线l必过定点（﹣2，﹣1）．9．椭圆E：的左、右焦点分别为、且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰，过F好为F2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设直线与椭圆E交于A，C两点，与x轴交于点H，设AC的中点为Q，试问|AQ|2+|QH|2是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）过且斜率为的直线方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）令，则y=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由题意可得，解得a2=16，b2=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以椭圆E的标准方程．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）由可得x2+2mx+2m2﹣8=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）设A（x1，y1），C（x2，y2）则有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又，∵Q为AC的中点，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）直线l与x轴的交点为H（﹣2m，0），所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）=，所以|AQ|2+|HQ|2为定值10．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）10．椭圆E：的左、右焦点分别为、且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰，过F好为F2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设直线与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为H，试问|BH|是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）过且斜率为的直线方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）令，则y=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由题意可得，解得a2=16，b2=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以椭圆E的标准方程．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）由可得x2+2mx+2m2﹣8=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）设A（x1，y1），C（x2，y2）则有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又，设AC的中点为Q，则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）直线l与x轴的交点为H（﹣2m，0），所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）=，所以|BH|为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）11．设椭圆M：+=1（a＞b＞0）经过点P（，），F1，F2是椭圆M的左、右焦点，且△PF1F2的面积为．（1）求椭圆M的方程；（2）设O为坐标原点，过椭圆M内的一点（0，t）作斜率为k的直线l与椭圆M交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若对任意实数k，存在实m，使得k1+k2=mk，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设M的焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），∵，△PF1F2面积为，∴，∴c=1，由，得∴椭圆M的方程为．（2）设直线l的方程为y=kx+t，由•得（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12=0，设A（x1•y2），B（x2•y2），则．．由k1+k2=mk对任意k成立，得，∴，又（0，t）在椭圆内部，∴0≤t2＜3，∴m≥2，即m∈[2，+∞）．12．已知椭圆经过点，离心率为，过右焦点F且与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（I）求椭圆C的方程；（II）当直线l的斜率为时，求△POQ的面积；（III）在椭圆C上是否存在点M，使得四边形OPMQ为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）根据题意，解得，故椭圆C的方程为．…（5分）（II）根据题意，直线l的方程为．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由得15x2﹣24x=0．解得．法一：．法二：，原点O到直线l的距离．所以…（10分）（III）设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）．设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．由韦达定理得，．所以PQ的中点．要使四边形OPMQ为平行四边形，则N为OM的中点，所以．要使点M在椭圆C上，则，即12k2+9=0，此方程无解．所以在椭圆C上不存在点M，使得四边形OPMQ为平行四边形．…．（14分）13．已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A、B两点，F1B与y轴交于点D，AD⊥F1B，且|OD|=1，O为坐标原点．（1）求C的方程；（2）设P为椭圆C上任一异于顶点的点，A1、A2为C的上、下顶点，直线PA1、PA2分别交x轴于点M、N．若直线OT与过点M、N的圆切于点T．试问：|OT|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）如图：AF2⊥x轴，|OD|=1，∴AB∥OD，∵O为F1F2为的中点，∴D为BF1的中点，∵AD⊥F1B，∴|AF1|=|AB|=2|AF2|=4|OD|=4，∴2a=|AF1|+|AF2|=4+2=6，∴a=3，∴|F1F2|==2，∴c=，a=3，∴b2=a2﹣c2=6，∴+=1，（2）由（1）可知，A1（0，），A2（0，﹣）．设点P（x0，y0），直线PA1：y﹣=x，令y=0，得x M=；直线PA2：y+=x，令y=0，得x N=；|OM|•|ON|=，∵+=1，∴6﹣y02=x02，∴|OM|•|ON|=．由切割线定理得OT2=OM•ON=．∴OT=，即线段OT的长度为定值．14．已知椭圆C：+=1的两个焦点分别是F1（﹣，0），F2（，0），点E（，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是y轴上的一点，若椭圆C上存在两点M，N使=2，求以F1P 为直径的圆面积取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，c=，∴2a=|EF1|+|EF2|=+=4，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=8﹣2=6，∴椭圆方程为+=1，（Ⅱ）设点P的坐标为（0，t），当直线MN的斜率不存在时，可得M，N分别是椭圆的两端点，可得t=±，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+t，M（x1，y1），N（x2，y2），则由=2可得x1=﹣2x2，①，由，消y可得（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣24=0，由△＞0，可得64k2t2﹣4（3+4k2）（4t2﹣24）＞0，整理可得t2＜8k2+6，由韦达定理可得x1+x2=﹣，x1x2=，②，由①②，消去x1，x2可得k2=，由，解得＜t2＜6，综上得≤t2＜6，又以F1P为直径的圆面积S=π•，∴S的范围为[，2π）．15．已知椭圆的右焦点为F，离心率为，平行于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F且斜率不为零的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在定点E，使得是定值？若存在，请求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：，∵平行于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且．∴，a=，∴c=2，b2=a2=﹣c2=2．∴椭圆C的方程为（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆C的方程，得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，设M（x3，y3），N（x4，y4），则，，x3x4=．根据题意，假设x轴上存在定点E（t，0），使得是为定值，=（x3﹣t，y3）•（x4﹣t，y4）=（x3﹣t）•（x4﹣t）+y3y4，=（x3﹣t）•（x4﹣t）+k2（x3﹣2）•（x4﹣2），=（k2+1）x3x4﹣（2k2+t）（x3+x4）+4k2+t2，=要使上式为定值，即与k无关，则应3t2﹣12t+10=3（t2﹣6），即t=，故当点E的坐标为（，0）时，使得为定值．16．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，抛物线E：的焦点恰好是椭圆C的一个顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（0，1）的动直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数λ，使得恒成立？请说明理由．【解答】解：（1）由抛物线E：的焦点（0，），椭圆的C的焦点在x轴，由题意可知：b=，椭圆的离心率e===，则a=2，∴椭圆的标准方程：；（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．联立，整理得（4k2+3）x2+8kx﹣8=0．其判别式△＞0，x1+x2=﹣，x1x2=﹣．∴•+λ•=x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）]，=（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1==﹣2λ﹣3，当λ=2时，﹣2λ﹣3=﹣7，即•+λ•=﹣7为定值．当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时•+λ•=•+2•=﹣3﹣4=﹣7，故存在常数λ=2，使得•+λ•为定值﹣7．17．在平面直角坐标系中，点F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，双曲线C的离心率为2，点（1，）在双曲线C上．不在x轴上的动点P与动点Q关于原点O对称，且四边形PF1QF2的周长为．（1）求动点P的轨迹方程；（2）在动点P的轨迹上有两个不同的点M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点为G，已知点（x1，x2）在圆x2+y2=2上，求|OG|•|MN|的最大值，并判断此时△OMN的形状．【解答】解：（1）设F1，F2分别为（﹣c，0），（c，0）可得，b2=c2﹣a2=3a2，又点（1，）在双曲线C上，∴，解得，c=1．连接PQ，∵OF1=OF2，OP=OQ，∴四边形PF1QF2的周长为平行四边形．∴四边形PF1+PF2=2＞2，∴动点P的轨迹是以点F1、F2分别为左右焦点的椭圆（除左右顶点），∴动点P的轨迹方程（y≠0）；（2）∵x12+x22=2，，∴y12+y22=1．∴|OG|•|MN|=•=•=．∴当3﹣2x1x2﹣2y1y2=3+2x1x2+2y1y2⇒x1x2+y1y2=0时取最值，此时OM⊥ON，△OMN为直角三角形．18．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），其内接△ABC中∠A=90°．（I）当点A与原点重合时，求斜边BC中点M的轨迹方程；（II）当点A的纵坐标为常数t0（t0∈R）时，判断BC所在直线是否过定点？过定点求出定点坐标；不过定点，说明理由．【解答】解：（I）设B（，y1），C（，y2），∵AB⊥AC，∴+y1y2=0，∴y1y2=﹣4p2．∴设BC的中点M（x，y），则=x，y1+y2=2y，∵y12+y22=（y1+y2）2﹣2y1y2，∴px=4y2+8p2，∴M的轨迹方程为：y2=（x﹣8p）．（II）A（，t0），设直线BC的方程为y=kx+b，B（，y1），C（，y2），∴k AB==，k AC==，∵AB⊥AC，∴•=﹣1．即y1y2+t0（y1+y2）+t02+4p2=0．联立方程组，消去x可得y2﹣y+=0，∴y1y2=，y1+y2=，∴+t0+t02+4p2=0．解得b=﹣t0﹣﹣2pk，∴直线BC的方程为：y=kx﹣t0﹣﹣2pk=k（x﹣2p﹣）﹣t0，∴直线BC过定点（2p+，﹣t0）．19．如图，已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P（﹣2，3）是椭圆C上一点，且PF1⊥x轴．（1）求椭圆C的方程；（2）设圆M：（x﹣m）2+y2=r2（r＞0）．①设圆M与线段PF2交于两点A，B，若，且AB=2，求r的值；②设m=﹣2，过点P作圆M的两条切线分别交椭圆C于G，H两点（异于点P）．试问：是否存在这样的正数r，使得G，H两点恰好关于坐标原点O对称？若存在，求出r的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因点P（﹣2，3）是椭圆C上一点，且PF1⊥x轴，所以椭圆的半焦距c=2，由，得，所以，……（2分）化简得a2﹣3a﹣4=0，解得a=4，所以b2=12，所以椭圆C的方程为．……（4分）（2）①因，所以，即，所以线段PF2与线段AB的中点重合（记为点Q），由（1）知，……（6分）因圆M与线段PF 2交于两点A，B，所以，所以，解得，……（8分）所以，故．……（10分）②由G，H两点恰好关于原点对称，设G（x0，y0），则H（﹣x0，﹣y0），不妨设x0＜0，因P（﹣2，3），m=﹣2，所以两条切线的斜率均存在，设过点P与圆M相切的直线斜率为k，则切线方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，由该直线与圆M相切，得，即，……（12分）所以两条切线的斜率互为相反数，即k GP=﹣k HP，所以，化简得x0y0=﹣6，即，代入，化简得，解得x 0=﹣2（舍），，所以，……（14分）所以，，所以，所以．故存在满足条件的，且．……（16分）20．己知椭圆在椭圆上，过C的焦点且与长轴垂直的弦的长度为．（1）求椭圆C的标准方程；．（2）过点A（﹣2，0）作两条相交直线l1，l2，l1与椭圆交于P，Q两点（点P 在点Q的上方），l2与椭圆交于M，N两点（点M在点N的上方），若直线l1的斜率为，，求直线l2的斜率．【解答】解：（1）由已知得：，…………………………（2分）解得a=6，b=1．故椭圆C的方程为．………………………（4分）（2）由题设可知：l1的直线方程为x=﹣7y﹣2．联立方程组，整理得：85y2+28y﹣32=0.．…………………………（6分）∴．…………………………………………（7分）∵，∴，即．…………………………………………（8分）设l2的直线方程为x=my﹣2（m≠0）．将x=my﹣2代入+y2=1得（m2+36）y2﹣4my﹣32=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则．……………………………………（10分）又∵，∴．解得m2=4，∴m=±2．故直线l2的斜率为．………………………（12分）21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=2py（p＞0），直线y=x与C交于O，T两点，|OT|=4．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）斜率为k（0）的直线l过线段OT的中点，与C交于A，B两点，直线OA，OB分别交直线y=x﹣2于M，N两点，求|MN|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由方程组得x2﹣2px=0，解得x1=0，x2=2p，所以O（0，0），T（2p，2p），则|OT|=2p，又|OT|=2p=4，所以p=2．故C的方程为x2=4y．（Ⅱ）由（Ⅰ）O（0，0），T（4，4），则线段OT的中点坐标（2，2）．故直线l的方程为y﹣2=k（x﹣2）．由方程组得x2﹣4kx+8k﹣8=0．设A（x1，x12），B（x2，x22），则x1+x2=4k，x1x2=8k﹣8，直线OA的方程y=x，代入y=x﹣2，解得x=，所以M（，），同理得N（，），所以|MN|=•|﹣|=||=×|=4•因为0＜k≤，所以8＜|MN|≤4．当k=时，|MN|取得最大值4．22．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l经过点P（0，﹣1），且与椭圆交于A，B两点，若，求直线l的方程．【解答】（本小题满分12分）解：（1）依题意可设椭圆方程为（a＞b＞0），由2c=4，c=2，e==，则a=2，b2=a2﹣c2=4，∴椭圆C的方程为：．（2）由题意可知直线l的斜率存在，设l的方程为：y=kx﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，整理得（2k2+1）x2﹣4kx﹣6=0，且△＞0，则x1+x2=，x1x2=﹣，由，即（﹣x1，﹣1﹣y1）=2（x2，y2+1），x1=﹣2x2，，消去x2并解关于k的方程得：k=±，∴l的方程为：y=±x﹣1．。

2024年高考数学专题18 圆锥曲线高频压轴解答题(16大题型)(练习)(原卷版)

专题18 圆锥曲线高频压轴解答题目录01 轨迹方程 (2)02 向量搭桥进行翻译 (3)03 弦长、面积背景的条件翻译 (4)04 斜率之和差商积问题 (5)05 弦长、面积范围与最值问题 (6)06 定值问题 (7)07 定点问题 (9)08 三点共线问题 (10)09 中点弦与对称问题 (11)10 四点共圆问题 (12)11 切线问题 (13)12 定比点差法 (14)13 齐次化 (16)14 极点极线问题 (16)15 同构问题 (18)16 蝴蝶问题 (19)01 轨迹方程1．（2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条浙近线方程为y x =，且点P在双曲线上.(1)求双曲线的标准方程；(2)设双曲线左右顶点分别为,A B ，在直线1x =上取一点()()1,0P t t ¹，直线AP 交双曲线右支于点C ，直线BP 交双曲线左支于点D ，直线AD 和直线BC 的交点为Q ，求证：点Q 在定直线上.2．（2024·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，直线12y x =被椭圆截得的弦长为4．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N ，P ，Q 为椭圆C 上的动点，且四边形MNPQ 为菱形，原点О在直线MN 上的垂足为点H ，求H 的轨迹方程．3．（2024·福建莆田·统考一模）曲线C 上任意一点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线4x =的距离之比等于(4,0)M 且与x 轴不重合的直线l 与C 交于不同的两点,A B ．（1）求C 的方程；（2）求证：ABF △内切圆的圆心在定直线上．02 向量搭桥进行翻译4．（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是双曲线2213x y -=的离心率的倒数，椭圆C 的左､右焦点分别为12,F F ，上顶点为P ，且122PF PF ×=-uuu r uuu u r.(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点()0,2Q 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同点,A B 时，设AQ QB l =uuu ruuu r，求l 的取值范围.5．（2024·上海奉贤·统考一模）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为，椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，直角坐标原点记为O ．设点()0,P t ，过点P 作倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于不同的两点B 、C ．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆上有一动点T ，求()12PT TF TF ×-uuu r uuu r uuu r的取值范围；(3)设线段BC 的中点为M ，当t ³Q ，使得非零向量OM uuuu r与向量PQ uuu r 平行，请说明理由．6．（2024·云南昆明·高三统考期末）已知动点P 到定点()0,4F 的距离和它到直线1y =距离之比为2；(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)直线l 在x 轴上方与x 轴平行，交曲线C 于A ，B 两点，直线l 交y 轴于点D .设OD 的中点为M ，是否存在定直线l ，使得经过M 的直线与C 交于P ，Q ，与线段AB 交于点N ，PM PN l =uuuu r uuu r ，MQ QN l =uuuur uuu r 均成立；若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由.03 弦长、面积背景的条件翻译7．（2024·陕西榆林·统考一模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过()830,1,,55A P æö-ç÷èø两点.(1)求C 的方程；(2)斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，且点A 不在l 上，AM AN ^，过点P 作y 轴的垂线，交直线=1x -于点S ，与椭圆C 的另一个交点为T ，记SMN V 的面积为1S ，TMN △的面积为2S ，求12S S .8．（2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点为1F ，2F ，若E 上任意一点到两焦点的距离之和为4，且点æççè在E 上.(1)求椭圆E 的方程；(2)在（1）的条件下，若点A ，B 在E 上，且14OA OB k k ×=-(O 为坐标原点)，分别延长AO ，BO 交E 于C ，D 两点，则四边形ABCD 的面积是否为定值？若为定值，求四边形ABCD的面积，若不为定值，请说明理由.9．（2024·上海·高三上海市大同中学校考期末）已知双曲线H ：2214x y -=的左、右焦点为1F ，2F ，左、右顶点为1A ，2A ，椭圆E 以1A ，2A 为焦点，以12F F 为长轴．(1)求椭圆E 的离心率；(2)设椭圆E 交y 轴于1B ，2B ，过1B 的直线l 交双曲线H 的左、右两支于C ，D 两点，求2B CD △面积的最小值；(3)设点(),M m n 满足224m n <．过M 且与双曲线H 的渐近线平行的两直线分别交H 于点P ，Q ．过M 且与PQ 平行的直线交H 的渐近线于点S ，T ．证明：MSMT为定值，并求出此定值．04 斜率之和差商积问题10．（2024·贵州铜仁·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知过动点(),M x y 作x 轴垂线，分别与1y =和4y =-交于P ，Q 点，且()12,0A -，()22,0A ，若实数l 使得212OP OQ MA MA l ×=×uuu r uuu r uuuu r uuuu r成立（其中O 为坐标原点）．(1)求M l 为何值时M 点的轨迹为椭圆；(2)当l =()4,0B 的直线l 与轨迹M 交于y 轴右侧C ，D 两点，证明：直线1A C ，2A D 的斜率之比为定值．11．（2024·安徽·高三校联考期末）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()04,P y 是抛物线C 上一点，点Q 是PF 的中点，且Q 到抛物线C 的准线的距离为72．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知圆22:(2)4M x y -+=，圆M 的一条切线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求证：OA ，OB 的斜率之差的绝对值为定值．12．（2024·海南海口·统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，焦点到渐近线的距离为2.直线l 过点(),0(02)P t t <<，且垂直于x 轴，过P 的直线l ¢交C 的两支于,G H 两点，直线,AG AH 分别交l 于,M N 两点.(1)求C 的方程；(2)设直线,AN OM 的斜率分别为12,k k ，若1212k k ×=，求点P 的坐标.05 弦长、面积范围与最值问题13．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的左､右焦点，直线1l 过点2F 与椭圆交于,A B 两点，且12AF F △的周长为(2a +.(1)求椭圆M 的离心率；(2)直线2l 过点2F ，且与1l 垂直，2l 交椭圆M 于,C D 两点，若a =ACBD 面积的范围.14．（2024·河南·统考模拟预测）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 交C 于,A B 两点，过F 与l 垂直的直线交C 于,D E 两点，其中,B D 在x 轴上方，,M N 分别为,AB DE 的中点．(1)证明：直线MN 过定点；(2)设G 为直线AE 与直线BD 的交点，求GMN V 面积的最小值．15．（2024·上海嘉定·统考一模）抛物线24y x =上有一动点(,),0P s t t >．过点P 作抛物线的切线l ，再过点P 作直线m ，使得m l ^，直线m 和抛物线的另一个交点为Q ．(1)当1s =时，求切线l 的直线方程；(2)当直线l 与抛物线准线的交点在x 轴上时，求三角形OPQ 的面积（点O 是坐标原点）；(3)求出线段||PQ 关于s 的表达式，并求||PQ 的最小值；06 定值问题16．（2024·全国·模拟预测）如图，已知12,F F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 为椭圆C 上一点，若12124PF PF PF PF +=-=uuu r uuu u r uuu r uuu u r，122PF F S =△.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 坐标为)，设不过点P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，A 关于原点的对称点为A ¢，记直线l ，PB ，PA ¢的斜率分别为k ，1k ，2k ，若1213k k ×=，求证：直线l 的斜率k 为定值.17．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）已知双曲线221222:1(0,0),,x y C a b F F a b -=>>分别是C 的左、右焦点．若C 的离心率2e =，且点()4,6在C 上．(1)求C 的方程．(2)若过点2F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于,A B 两点（不同于双曲线的顶点），问：2211AF BF -是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．18．（2024·全国·高三阶段练习）如图所示，已知抛物线()21,0,1,,y x M A B =-是抛物线与x 轴的交点，过点M 作斜率不为零的直线l 与抛物线交于,C D 两点，与x 轴交于点Q ，直线AC 与直线BD 交于点P ．(1)求CM DM CD×的取值范围；(2)问在平面内是否存在一定点T ，使得TP TQ ×uur uuu r为定值？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．07 定点问题19．（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）设抛物线2:2(0)E y px p =>，过焦点F 的直线与抛物线E 交于点()11,A x y 、()22,B x y .当直线AB 垂直于x 轴时，2AB =.(1)求抛物线E 的标准方程.(2)已知点()1,0P ，直线AP 、BP 分别与抛物线E 交于点C 、D .求证：直线CD 过定点.20．（2024·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右顶点分别为A 、B ，点F 是椭圆的右焦点，3AF FB =uuu r uuu r ，3AF FB ×=uuu r uuu r .(1)求椭圆C 的方程；(2)经过椭圆右焦点F 且斜率不为零的动直线l 与椭圆交于M 、N 两点，试问x 轴上是否存在异于点F 的定点T ，使||||||||MF NT NF MT ×=×恒成立？若存在，求出T 点坐标，若不存在，说明理由.21．（2024·四川甘孜·统考一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为,F E 的准线l 交x 轴于点K ，过K 的直线l 与抛物线E 相切于点A ，且交y 轴正半轴于点P .已知E 上的动点B 到点F 的距离与到直线2x =-的距离之和的最小值为3.(1)求抛物线E 的方程；(2)过点P 的直线交E 于,M N 两点，过M 且平行于y 轴的直线与线段OA 交于点T ，点H 满足MT TH =uuur uuu r.证明：直线HN 过定点.08 三点共线问题22．（2024·广东·高三校联考阶段练习）点F 是抛物线G ：22y px =（0p >）的焦点，O 为坐标原点，过点F 作垂直于x 轴的直线l ，与抛物线G 相交于A ，B 两点，AB 4=，抛物线G 的准线与x 轴交于点K ．(1)求抛物线G 的方程；(2)设C 、D 是抛物线G 上异于A 、B 两点的两个不同的点，直线AC 、BD 相交于点E ，直线AD 、BC 相交于点G ，证明：E 、G 、K 三点共线．23．（2024·贵州毕节·校考模拟预测）已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线C 于,A B 两点，当AB 平行于y 轴时，2AB =.(1)求抛物线C 的方程；(2)若O 为坐标原点，过点B 作y 轴的垂线交直线AO 于点D ，过点A 作直线DF 的垂线与抛物线C 的另一交点为,E AE 的中点为G ，证明：,,G B D 三点共线.24．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知A ，B 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点，P 为椭圆上异于A ，B 的一点，直线AP 与直线BP 的斜率之积为14-，且椭圆C 过点12ö÷ø．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线AP ，BP 分别与直线:4l x =相交于M ，N 两点，且直线BM 与椭圆C 交于另一点Q ，证明：A ，N ，Q 三点共线．09 中点弦与对称问题25．（2024·福建福州·高三福建省福州格致中学校考期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，椭圆上的点到焦点的最小距离是3．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点31,2Q æöç÷èø的直线交曲线C 于AB 两点，使得Q 为AB 中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．26．（2024·全国·高三专题练习）已知圆22:(3)4M x y ++=，圆22:(3)100N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C (1)求C 的方程；(2)是否存在过点31,2Q æöç÷èø的直线交曲线C 于AB 两点，使得Q 为AB 中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．27．（2024·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为()1,0F -，且点F 到C 的左、右顶点的距离之积为5．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点F 作斜率乘积为1-的两条直线1l ，2l ，1l 与C 交于A ，B 两点，2l 与C 交于D ，E 两点，线段AB ，DE 的中点分别为M ，N ．证明：直线MN 与x 轴交于定点，并求出定点坐标．10 四点共圆问题28．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）已知双曲线22:1x C a =的离心率为2，过C 上的动点M 作曲线C 的两渐近线的垂线，垂足分别为A 和,B ABM V .(1)求曲线C 的方程；(2)如图，曲线C 的左顶点为D ，点N 位于原点与右顶点之间，过点N 的直线与曲线C 交于,G R 两点，直线l 过N 且垂直于x 轴，直线DG ,DR 分别与l 交于,P Q 两点，若,,,O D P Q 四点共圆，求点N 的坐标.29．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点D 在C 上，132DF =，252DF =，212DF F F >，且12DF F △的面积为32．(1)求C 的方程；(2)设C 的左顶点为A ，直线:6l x =-与x 轴交于点P ，过P 作直线交C 于G ，H 两点直线AG ，AH 分别与l 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，证明：O ，A ，N ，M 四点共圆．30．（2024·江苏南通·统考模拟预测）已知动圆M 过点(1,0)F 且与直线=1x -相切，记动圆圆心M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)若直线():0l x m m =<与x 轴相交于点P ，点B 为曲线C 上异于顶点O 的动点，直线PB 交曲线C 于另一点D ，直线BO 和DO 分别交直线l 于点S 和T ．若,,,O F S T 四点共圆，求m 的值．11 切线问题31．（2024·河南周口·高三校联考阶段练习）已知点()2,1A 的椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>上，点,B C 为椭圆M 上异于点A 的两点．(1)求椭圆M 的方程；(2)若AB AC ^，过点,B C 两点分别作椭圆M 的切线，这两条切线的交点为D ，求AD 的最小值．32．（2024·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）如图所示，已知椭圆C ：22163x y +=与直线l ：163xy +=.点P 在直线l 上，由点P 引椭圆C 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，O 是坐标原点.(1)若点P 为直线l 与y 轴的交点，求PAB V 的面积S ；(2)若OD AB ^，D 为垂足，求证：存在定点Q ，使得DQ 为定值.（注：椭圆22221x ya b+=在其上一点处()00,M x y 的切线方程为00221x x y ya b+=）33．（2024·辽宁辽阳·高三统考期末）在平面直角坐标系xOy 内，已知定点()2,0F ，定直线3:2l x =，动点P 到点F 和直线l P 的轨迹为曲线E ．(1)求曲线E 的方程．(2)以曲线E 上一动点M 为切点作E 的切线l ¢，若直线l ¢与直线l 交于点N ，试探究以线段MN 为直径的圆是否过x 轴上的定点．若过定点．求出该定点坐标；若不过，请说明理由．12 定比点差法34．（2024·吉林·统考一模）已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为4，椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>经过抛物线1C 的焦点F ．(1)求抛物线1C 的方程及a ；(2)已知O 为坐标原点，过点(1,1)M 的直线l 与椭圆2C 相交于A ，B 两点，若=uuuu r uuurAM mMB ，点N 满足=-uuu r uuu r AN mNB ，且||ON 最小值为125，求椭圆2C 的离心率．35．（2024·江苏·高二专题练习）已知椭圆()2222:10x y a b a bG +=>>的离心率为23，半焦距为()0c c >，且1a c -=．经过椭圆的左焦点F ，斜率为()110k k ¹的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆G 的标准方程；(2)当11k =时，求AOB S V 的值；(3)设()1,0R ，延长AR ，BR 分别与椭圆交于C ，D 两点，直线CD 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值．36．（2024·安徽合肥·统考一模）在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线()2:20C x py p =>的焦点，M是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过,,M F O 三点的圆的圆心为N ，点N 到抛物线C 的准线的距离为34.（1）求抛物线C 的方程；（2）当过点()4,1P 的动直线l 与抛物线C 相交于不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ×=×u u u r u u u r u u u r u u r，证明：点Q 总在某定直线上.13 齐次化37．已知椭圆22:13x C y +=，()0,1B ，P ，Q 为上的两个不同的动点，23BP BQ k k =，求证：直线PQ 过定点．38．已知椭圆22:14x C y +=，设直线l 不经过点2(0,1)P 且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：直线l 过定点．39．如图，椭圆22:12x E y +=，经过点(1,1)M ，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q（均异于点(0,1)A -，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2．14 极点极线问题40．（2024·江苏南通·高二统考开学考试）已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）实轴端点分别为()1,0A a -，()2,0A a ，右焦点为F ，离心率为2，过1A 点且斜率1的直线l 与双曲线C 交于另一点B ，已知1A BF △的面积为92．(1)求双曲线的方程；(2)若过F 的直线l ¢与双曲线C 交于M ，N 两点，试探究直线1A M 与直线2A N 的交点Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．41．（2024·安徽六安·校联考一模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，短轴长为（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，若过点()4,0P 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 与BN 相交于点Q ．证明：点Q 在定直线上．42．（2024·北京海淀·统考模拟预测）已知椭圆M ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）过A （－2，0），B （0，1）两点．（1）求椭圆M 的离心率；（2）设椭圆M 的右顶点为C ，点P 在椭圆M 上（P 不与椭圆M 的顶点重合），直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点S ，求证：直线SQ 过定点．15 同构问题43．（2024·广东广州·统考一模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，圆M 与y 轴相切，且圆心M 与抛物线C 的焦点重合.(1)求抛物线C 和圆M 的方程；(2)设()()000,2P x y x ¹为圆M 外一点，过点P 作圆M 的两条切线，分别交抛物线C 于两个不同的点()()1122,,,A x y B x y 和点()()3344,,,Q x y R x y .且123416y y y y =，证明：点P 在一条定曲线上.44．（2024·湖北襄阳·襄阳五中校考一模）已知抛物线21:C y x =，圆()222:41C x y -+=．（1）求圆心2C 到抛物线1C 准线的距离；（2）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于A 、B 两点，若直线2PC 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k ，125·24k k =-，求点P 的坐标．45．（2024·内蒙古呼和浩特·统考一模）拋物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线l ：2x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ^．已知点M 的坐标为()4,0，M e 与直线l 相切．(1)求抛物线C 和M e 的标准方程；(2)已知点()8,4N ，点1A ，2A 是C 上的两个点，且直线1NA ，2NA 均与M e 相切．判断直线12A A 与M e 的位置关系，并说明理由．46．（2024·浙江杭州·高二萧山中学校考期末）已知圆C 的方程为：()()22210x y r r ++=>(1)已知过点15,22M æö-ç÷èø的直线l 交圆C 于,A B 两点，若1r =，求直线l 的方程；(2)如图，过点()1,1N -作两条直线分别交抛物线2y x =于点P ，Q ，并且都与动圆C 相切，求证：直线PQ 经过定点，并求出定点坐标.16 蝴蝶问题47．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，B ，A 是椭圆22:14x C y +=的左、右顶点，P ，Q 是椭圆C 上都不与A ，B 重合的两点，记直线BQ ，AQ ，AP 的斜率分别是BQ k ，AQ k ，AP k .（1）求证：14BQ AQ k k ×=-；（2）若直线PQ 过定点6,05æöç÷èø，求证：4AP BQ k k =.48．（2024·江苏宿迁·高二统考期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为1(F ，且过点P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知12,A A 分别为椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线1x =上任意一点，直线12,AQ A Q 分别交椭圆C 于不同的两点,M N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.49．如图，椭圆的长轴12A A 与x 轴平行，短轴12B B 在y 轴上，中心为(0,)(0)M r b r >>．(1)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；(2)直线1y k x =交椭圆于两点()()()11222,,,0C x y D x y y >；直线2y k x =交椭圆于两点()33,G x y ，()()444,0H x y y >．求证：1122341234k x x k x x x x x x =++；(3)对于（2）中的中的在C ，D ，G ，H ，设CH 交x 轴于P 点，GD 交x 轴于Q 点，求证：||||OP OQ =（证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x轴的情形）。

高考数学压轴题突破训练——圆锥曲线(含详解)

14. 已知双曲线的左右两个焦点分别为 ,点P在双曲线右支上.
（Ⅰ）若当点P的坐标为时, ,求双曲线的方程；
（Ⅱ）若 ,求双曲线离心率的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.
15. 若F 、F 为双曲线的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线的左支上，点M在右准线上，且满足； .
（1）求该双曲线的离心率；
（Ⅱ）若直线与（Ⅰ）中所求点Q
的轨迹交于不同两点F，H，O是坐标原点，
且，求△FOH的面积的取值范围。
18. 如图所示，O是线段AB的中点，|AB|＝2c，以点A为圆心，2a为半径作一圆，其中。
（1）若圆A外的动点P到B的距离等于它到圆周的最短距离，建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线；
（2）D分有向线段的比为，A、D同在以B、C为焦点的椭圆上，
当 ―5≤ ≤ 时，求椭圆的离心率e的取值范围．
29.在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，，平面内两点同时满足下列条件：
① ；② ；③ ∥
（1）求的顶点的轨迹方程；
（2）过点的直线与（1）中轨迹交于两点，求的取值范围
由消去得： ①
，
而
由方程①知＞＜
，＜＜， .
7.解：解：令
则即
即
又∵ ∴
所求轨迹方程为
（Ⅱ）解：由条件（2）可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在
设AB方程为
则
∵OAPB为矩形，∴OA⊥OB
∴ 得
所求直线方程为 …
8.解：（I）由题意，抛物线顶点为（－n，0），又∵焦点为原点∴m＞0
高考数学压轴题突破训练：圆锥曲线
1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A，点B、D在直线l1上(B、D 位于点A右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平面上的一个动点，M在l1上的射影点是N，且|BN|=2|DM|.

压轴题09 圆锥曲线压轴小题常见题型(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)

压轴题09圆锥曲线压轴小题常见题型1、圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容．一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题．多以选择、填空题的形式考查，难度中等．2、通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养．考向一：阿波罗尼斯圆、蒙日圆与圆锥曲线考向二：离心率考向三：焦半径问题考向四：切线问题考向五：焦点三角形问题1、在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹曲线并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．2、应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求12>；2a F FF F；在抛物线的定义中，定直线不经过定点．此外，在双曲线的定义中，要求2a<12通过到定点和到定直线的距离之比为定值可将三种曲线统一在一起，称为圆锥曲线．3、圆锥曲线定义的应用主要有：求标准方程，将定义和余弦定理等结合使用，研究焦点三角形的周长、面积，求弦长、最值和离心率等．4、用解析法研究圆锥曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，再通过方程来研究圆锥曲线的几何性质．不仅要能由方程研究曲线的几何性质，还要能运用儿何性质解决有关问题，如利用坐标范围构造函数或不等关系等．一、单选题1．（2023·湖南·校联考二模）已知()2,0A ，点P 为直线50x y -+=上的一点，点Q 为圆221x y +=上的一点，则12PQ AQ +的最小值为（）AB．22-CD【答案】D【解析】设()()110,,,M x Q x y ，令12AQ MQ =，则()22211148144233x x x xy --=⇒++=2211112x y x ⇔+=⇒=，则M 1,02⎛⎫⇒ ⎪⎝⎭12PQ AQ +=PQ MQ +.如图，当,,P Q M 三点共线时，且PM 垂直于直线50x y -+=时，PQ MQ +有最小值，为PM ，即直线50x y -+=到点M4=.故选：D2．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点,M N 是C 的一条渐近线上的两点，且2MN MO =（O 为坐标原点），12MN F F =.若P 为C 的左顶点，且135MPN ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（）A 3B ．2C 5D 7【答案】C【解析】设双曲线的焦距为2(0)c c >，因为2MN MO = ，所以ON MO = ，所以,M N 关于原点对称，所以四边形12MF NF 为平行四边形，又12MN F F =，所以四边形12MF NF 为矩形，因为以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，不妨设,M N 所在的渐近线方程为()00,,by x M x y a=，则()00,N x y --，由222,,b y x a x yc ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得,x a y b =⎧⎨=⎩或,.x a y b =-⎧⎨=-⎩，不妨设()(),,,M a b N a b --，因为P 为双曲线的左顶点，所以(),0P a -，所以,PM PN b ==，又2,135MN c MPN ∠==︒，由余弦定理得222||||||2||||cos135MN MP NP MP NP ︒=+-⋅，即22224()c a a b b =+++2b a =，所以离心率c e a ==.故选：C.3．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知A 、B 是椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的公共顶点，P 是双曲线上一点，PA ，PB 交椭圆于M ，N .若MN 过椭圆的焦点F ，且tan 3AMB ∠=-，则双曲线的离心率为（）A ．2BC D 【答案】D【解析】如图，设00(,)P x y ，点,,P M A 共线，点,,P B N 共线，所在直线的斜率分别为,PA PB k k，点P 在双曲线上，即2200221x y a b -=，有200200y y b x a x a a ⋅=-+，因此22PA PB b k k a⋅=，点11(,)M x y 在椭圆上，即2211221x y a b +=，有211211y y b x a x a a⋅=--+，直线,MA MB 的斜率,MA MB k k ，有22MA MBb k k a⋅=-，即22PA MBb k k a⋅=-，于是MB PB BN k k k =-=-，即直线MB 与NB 关于x 轴对称，又椭圆也关于x 轴对称，且,M N 过焦点F ，则MN x ⊥轴，令(c,0)F ，由22221x c x y a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩得2||b y a=，显然222tan a c a ac AMF b b a ++∠==，222tan a c a acBMF b b a--∠==，22222222222tan tan 2tan 31tan tan 1a ac a acAMF BMF a b b AMB a ac a ac AMF BMF b a b b +-+∠+∠∠====-+--∠⋅∠--⋅，解得2213b a =，所以双曲线的离心率233e a ===.故选：D4．（2023·辽宁·校联考二模）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上一点，212PF F F ⊥，12F PF ∠的平分线与x 轴交于点Q ，1253PF Q PF Q S S =△△，则双曲线E 的离心率为（）AB ．2CD【答案】B【解析】∵212PF F F ⊥，则122122152132△△PF Q PF QPF F Q S S PF F Q ⋅==⋅，可得1253F Q F Q =，分别在12,PQF PQF 中，由正弦定理可得：12121122sin sin ,sin sin PF PF PQF PQF FQ QPF F Q QPF ∠∠==∠∠∵PQ 平分12F PF ∠，可得12QPF QPF ∠=∠，即12sin sin QPF QPF ∠=∠，且()122sin sin πsin PQF PQF PQF ∠=-∠=∠，故1212sin sin sin sin PQF PQF QPF QPF ∠∠=∠∠，则1212PF PF F Q F Q=，所以112253PF F Q PF F Q==，又∵22b PF a =，则21222b PF PF a a a =+=+，所以22253b aa b a+=，整理得223b a =，故2223c a a -=，得224c a =，即2c a =，所以2ce a==.故选：B.5．（2023·江西宜春·统考一模）已知双曲线221927x y -=的左､右焦点分别为12,F F ，过右焦点2F 的直线l 与双曲线的右支交于,A B 两点，若1212,AF F BF F 的内心分别为,I K ，则12IF F △与12KF F 面积之和的取值范围是（）A ．36,3⎡⎣B ．36,483⎡⎣C ．[)18π,30πD ．[)18π,36π【答案】A 【解析】由双曲线方程得：3a =，33b =226c a b +=，设12AF F △内切圆与三边相切于点,,M N E ，AM AN = ，11F M F E =，22F N F E =，12121226AF AF F M F N F E F E a ∴-=-=-==，又12212F E F E c +==，19F E ∴=，23F E =，设(),0E t ，则6963t t +=⎧⎨-=⎩，解得：3t =，即()3,0E ；同理可知：12KF F 内切圆与x 轴相切于点()3,0E ；22,IF KF 分别为212,AF F BF F ∠∠的角平分线，2121π2IF F KF F ∴∠+∠=，又12IK F F ⊥，2IF E ∴ ∽2F KE ，则22IE EF EF KE=，设1212,AF F KF F 内切圆半径分别为12,r r ，2633EF =-= ，229IE KE EF ∴⋅==，即129r r =，()12121212111962IF F KF F S S F F r r r r ⎛⎫∴+=⋅+=+ ⎪⎝⎭，双曲线的渐近线斜率k =，∴直线l 的倾斜角π2π,33θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()2211π22IF E AF E θ∴∠=∠=-，则2ππ,63IF E ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，122tan 3IE r IF E F E∴∠==∈⎝，解得：1r ∈，又119r r +在)上单调递减，在(上单调递增，当1r =119r r +=1r =时，119r r +=；当13r =时，1196r r +=；1196,r r ⎡∴+∈⎣，1212119636,IF F KF F S S r r ⎛⎫⎡∴+=+∈ ⎪⎣⎝⎭.故选：A.6．（2023·江西吉安·统考一模）椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的内接四边形ABCD 的对角线,AC BD 交于点()1,1P ，满足2AP PC = ，2BP PD = ，若直线AB 的斜率为14-，则椭圆的离心率等于（）A ．14BC ．12D ．13【答案】B【解析】设点()()()1122,,,,,A x y B x y C x y ，()1,1P ，且2AP PC =，可得()()111,121,1x y x y --=--，即()()11121121x x y y ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，解得1133,22x y C --⎛⎫⎪⎝⎭，由,A C 两点在椭圆E 上，有()()()()22112222112211331244x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩，()()124-⨯得：()()11223233233x y ab--+=-，即2222221122330b x a y a b a b ++--=，同理可得2222222222330b x a y a b a b ++--=，因此，直线AB 的方程为22222222330b x a y a b a b ++--=，从而直线AB 的斜率为2214b a -=-，由222131144b e a =-=-=，可得e =故选：B7．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且斜率为()0k k ≠的直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D .若AB ≥，则双曲线的离心率取值范围是（）A．⎛ ⎝⎦B．(C．)+∞D．⎫+∞⎪⎪⎣⎭【答案】A【解析】设双曲线的右焦点为()()()1122,0,,,,F c A x y B x y ，则直线():l y k x c =-，联立方程()22221x y a b y k x c ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得：()()222222222220b a k x a k cx a k c b -+-+=，则可得()222222222121222222220,0,,a k c b a k cb a k x x x x b a k b a k+-≠∆>+=-=---，则()2222221ab k AB b k a +==-，设线段AB 的中点()00,M x y ，则()2222212000222222222,2x x a k c a k c b kcx y k x c k c b a k b a k b a k ⎛⎫+==-=-=--=- ⎪---⎝⎭，即222222222,a k c b kc M b a k b a k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，且0k ≠，线段AB 的中垂线的斜率为1k-，则线段AB 的中垂线所在直线方程为2222222221b kc a k c y x b a k k b a k ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭，令0y =，则2222222221b kc a k c x b a k k b a k ⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭，解得23222k c x b a k =--，即23222,0k c D b a k ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，则()22232222221b c k k c DF c b a k b a k +=--=--，由题意可得：AB ≥，即()()2222222222121ab k b a k c k b a k +≥-+-，整理得2a ，则c e a=注意到双曲线的离心率1e >，∴双曲线的离心率取值范围是⎛ ⎝⎦.故选：A.8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知实数a ，b 满足22122a b a b ++=+，则()2341a b +-的最小值是（）A ．1B ．2C ．4D ．16【答案】A 【解析】依题意可知曲线(),0f a b =表示一个以()1,1为圆心，1为半径的圆，求()2341a b +-的最小值相当于先求341a b d +-==的最小值，即求圆()()22111a b -+-=上一点到直线3410x y +-=的距离d 的最小值，所以min 314111155d ⨯+⨯-=-=，即()2341a b +-的最小值为1．故选：A ．9．（2023·全国·模拟预测）已知O 为坐标原点，椭圆22:142x y C +=上两点A ，B 满足12OA OB k k ⋅=-．若椭圆C 上一点M 满足OM OA OB λμ=+ ，则λμ+的最大值为（）A ．1BCD ．2【答案】B【解析】设()()001122(,),,,,M x y A x y B x y ，则220022112222142142142x y x y x y ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩，由OM OA OB λμ=+ ，得01212x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩，222222222200121211221212()()()()424242422x y x x y y x y x y x x y y λμλμλμλμλμ+++=++++++221212()2x xy y λμλμ=+++，由12OA OBk k ⋅=-，得121212y y x x =-，即121202x x y y +=，又2200142x y +=，因此221λμ+=，而2222()()2()2λμλμλμ++-=+=，于是||λμλμ+≤+≤λμ==“＝”，所以λμ+.故选：B10．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点2F 与抛物线()22:20C y px p =>的焦点重合，点P 为1C 与2C 的一个交点，若△12PF F 的内切圆圆心的横坐标为4，2C 的准线与1C 交于A ，B 两点，且92AB =，则1C 的离心率为（）A ．94B ．54C ．95D ．74【答案】B【解析】由题设12(,0),(,0)F c F c -，又点2F 与抛物线的焦点重合，即02pc =>，由()22222221c y a ba b c ⎧-⎪-=⎨⎪+=⎩，则2b y a =±，故2292b AB a ==，即249b a =，如下图示，内切圆与△12PF F 各边的切点为,,D E K，所以1122,,PD PE DF KF EF KF ===，又12||||2PF PF a -=，则121212()()2PD DF PE EF DF EF KF KF a+-+=-=-=，所以K 为双曲线右顶点，又△12PF F 的内切圆圆心的横坐标为4，即4a =，故29b =，则5c =，所以离心率为54c e a ==.故选：B11．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知直线l 与椭圆221:12x C y +=相切于点P ，与圆222:4C x y +=交于A ，B 两点，圆2C 在点A ，B 处的切线交于点Q ，O 为坐标原点，则OPQ △的面积的最大值为（）A ．22B ．1C D ．2【答案】A【解析】设()00,P x y ，(,)Q m n ，由AQ AO ⊥，BQ BO ⊥，可得四点Q ，A ，O ，B 共圆，可得以OQ 为直径的圆，方程为2222((224m n m n x y +-+-=，联立圆222:4C x y +=，相减可得AB 的方程为40mx ny +-=，又AB 与椭圆相切，若AB 不与x 轴垂直时，当0y >时，2212x y +=可化为y =，设y '=P 的切线方程为00000)()2x y y x x x x y -=--=-，即220000122x x x y y y +=+=，同理可得0y >时，在P 的切线方程为0012x x y y +=，若AB x ⊥轴时，在点()P 处的切线方程为x =0012x xy y +=故过P 的切线方程为0012x xy y +=，即为002440x x y y +-=，由两直线重合的条件可得02m x =，04n y =，由于P 在椭圆上，可设0x α，0sin y α=，02απ≤<，即有m α=，4sin n α=，可得22004cos 4sin 4OP OQ mx ny αα⋅=+=+=uu u r uuu r，且||OP ||OQ =即有1sin ,2OPQ S OP OQ OP OQ =△==22α==≤，当sin 21α=±即π4α=或3π4或5π4或7π4时，OPQ S ．故选：A ．12．（2023·全国·模拟预测）中国结是一种盛传于民间的手工编织工艺品，它身上所显示的情致与智慧正是中华民族古老文明中的一个侧面.已知某个中国结的主体部分可近似地视为一个大正方形（内部是16个全等的边长为1的小正方形）和凸出的16个半圆所组成，如图，点A 是大正方形的一条边的四等分点，点C 是大正方形的一个顶点，点B 是凸出的16个半圆上的任意一点，则AC AB ⋅的最大值为（）A ．333172+B ．332172+C ．332D ．9172【答案】C【解析】AC AB ⋅ 等于AB 在AC 上的投影向量与AC 的数量积，因此当AB在AC 上的投影向量与AC同向，且投影向量的模最大时，AC AB ⋅取到最大值，此时点B 在以点C 为半圆弧端点且在AC 上方的半圆上，以大正方形的相邻两边分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系xOy ，如图，(0,1),(4,0)A C，则直线AC 的方程为14x y +=，以点C 为半圆弧端点且在AC 上方的半圆圆心为1(4,)2M ，半圆M 的方程为22119(4)()(4)242x y x -+-=≤≤，显然半圆M 在点B 处切线l 垂直于直线AC 时，AC AB ⋅取得最大值，设切线l 的方程为40x y b -+=1|16|122b -+=，而点M 在切线l的左上方，解得b =，即切线l：40x y -=，由4014x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此切线l 与直线AC 的交点2(1733)117(,)1734D +-，此时33171734AD =，又AC =，所以AC AB ⋅的最大值为3317173317342=.故选：C13．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）设双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的右焦点为F ，()0,3M b ，若直线l 与E 的右支交于A ，B 两点，且F 为MAB △的重心，则直线l 斜率的取值范围为（）A．)3∞⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭B．)⋃+∞⎝C．(,∞⎛-⋃- ⎝⎭D．(,∞⎛-⋃- ⎝⎭【答案】C【解析】设D 为AB 的中点，根据重心性质可得2MF FD =，因为()(),0,0,3F c M b ，则33,22c b D ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为直线l 与E 的右支交于,A B 两点，所以点D 在双曲线右支内部，故有222299441c b a b ->，解得c a >，当直线l 斜率不存在时，AB 的中点D 在x 轴上，故,,M F D 三点不共线，不符合题意舍，设直线l 斜率为AB k ，设()()1122,,,A x y B x y ，所以123x x c +=，123y y b +=-，因为,A B 在双曲线上，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得：2222121222x x y a b y =--，即()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=，即有()()12122233c x x b y y a b --=-成立，即有2AB bck a =-，因为,,,M F A B 不共线，即23AB MF bc b k k a c=-≠=-，即223c a ≠，即e ≠，所以E 的离心率的取值范围为)∞⎫⋃+⎪⎪⎝⎭，因为2ABbc k a =-===-因为)3e ∈+∞⎝，即()213,33,9e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，所以()221152,66,2481e ⎛⎫⎛⎫--∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以(,ABk ⎛⎫=∈-∞ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C14．（2023·重庆·统考模拟预测）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ，右顶点为A ，点Q 在y 轴上，点P 在椭圆上，且满足PQ y ⊥轴，四边形1F APQ 是等腰梯形，直线1F P 与y 轴交于点N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）．A ．14B 3C 2D ．12【答案】D【解析】由题意，做PM x ⊥轴于点M ，因为四边形1F APQ 是等腰梯形，则1FO AM c ==，OM a c =-则点P 的横坐标为P x a c =-，代入椭圆方程()2222:10x yC a b a b+=>>，可得22p b y ac c a =-，即22bPM ac c a-因为34N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则3ON =，由11F NO F PM ，则121342F O ON cb F M PM a ac c a=⇒=-，化简可得，434332160a ac c -+=，同时除4a 可得，43163230e e -+=即()()3221812630e e e e ----=，对于()3281263f e e e e =---当1e =时，()1130f =-<，当2e =时，()210f =>，在()1,2e ∈时，方程()()3221812630e e e e ----=有根，且()0,1e ∈，故应舍，所以12e =.故选:D二、多选题15．（2023·湖南·校联考二模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F A 、B 两点（A 在第一象限），1AB BF =，P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．122AF AF =B ．双曲线C 的离心率为2C ．12AF F △D ．直线OP 的斜率为7【答案】AD【解析】如下图所示：对于A 选项，因为1AB BF =，所以，22122AF AB BF BF BF a =-=-=，由双曲线的定义可得12122AF AF AF a a -=-=，所以，1242AF a AF ==，A 对；对于B 选项，设直线AB 设直线AB 的倾斜角为α，则α为锐角且tan α=由22sin tan cos sin cos 1cos 0αααααα⎧==⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩可得cos α=()21cos cos πcos 4AF F αα∠=-=-=-，在12AF F △中，由余弦定理得2222222121212124416cos 284AF F F AF a c a AF F AF F F ac +-+-∠===-⋅，即22260c a -=，等式22260c a -=两边同时除以2a可得2260e +-=，因为1e >，解得e B 错；对于C选项，因为21cos AF F ∠=21AF F ∠为钝角，所以，21sin 4AF F ∠=，1222122111sin 2222244AF F S AF F F AF F a c a =⋅∠=⨯⨯⨯=⨯=△，C 错；对于D 选项，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212,22x x y y P ++⎛⎫⎝⎭，可得121212120202OPy y y y k x x x x +-+==++-，因为c =，则b a ，由22112222222211x y a b x y a b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得22221212220x x y y a b ---=，所以，2221212122221212121AB OP OP y y y y y yb k k x x x x x x a --+=⋅====--+，则OP k =，则直线OP，D 正确．故选：AD ．16．（2023·浙江宁波·统考二模）三支不同的曲线()|1|0,1,2,3i i y a x a i =⋅->=交抛物线24y x =于点,(1,2,3)i i A B i =，F 为抛物线的焦点，记i i A FB △的面积为i S ，下列说法正确的是（）A ．11(1,2,3)i i i FA FB +=为定值B ．112233////A B A B A B C ．若1232S S S +=，则1232a a a +=D ．若2123S S S =，则2123a a a =【答案】AD【解析】如图，设直线()1i y a x =-与抛物线24y x =的交于点,i i C B ，则i A 与i C 关于x 轴对称，设()()1122,,,i i A x y B x y -，则()11,i C x y ，联立()214i y a x y x ⎧=-⎨=⎩，消x 得2440i y y a --=，则12124,4iy y y y a +==-，又()1i y a x =-，则()()()()212121212411,114i i i iy y a x a x y y a x x a +=-+-==--=-，则21212224,1i i a x x x x a ++==，对于A ，()1,0F ，2212212121221111124221241111i i ii i i FA FB x x a a x x a x x x x a ++++++++++=+===+++，故A 正确；对于B ，212122212121444i i A B y y y y k y y x x y y ++===---因为i a 不是定值，所以i iA B k 不是定值，故B 错误；对于C ，设直线()1i y a x =-的倾斜角为i θ，则tan i i a θ=，则22222sin cos 2tan 2sin 2cos sin 1tan 1i i i ii i i i i a a θθθθθθθ===+++，所以()()122211sin 211221i i i i i i a S A F B F x x a θ==++⋅+()2121222222414111211i i i i i i ia a a x x x x a a a a ⎛⎫+=+++⋅=++= ⎪++⎝⎭，又因1232S S S +=，所以123448a a a +=，所以()1232a a a +=，故C 错误；对于D ，因为2123S S S =，所以21234416a a a ⋅=，所以2123a a a =，故D 正确.故选：AD.17．（2023·全国·校联考三模）已知直线:l y kx m =+与椭圆22:134x y C +=交于,A B 两点，点F 为椭圆C 的下焦点，则下列结论正确的是（）A ．当1m =时，k ∃∈R ，使得3FA FB +=B ．当1m =时，k ∀∈R ，2FA FB +>C ．当1k=时，m ∃∈R ，使得4FA FB +=D ．当1k =时，m ∀∈R ，65FA FB +>【答案】BC【解析】在椭圆C 中，2a =，b =1c =，由题意可得()0,1F -，上焦点记为()01F ,'，对于A 选项，设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214312y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得()2234690k x kx ++-=，()()22236363414410k k k ∆=++=+>，由韦达定理可得122634kx x k +=-+，122934x x k =-+，()2212134k AB k +==+[)2443,434k =-∈+，所以，(]484,5FA FB a AB AB +=-=-∈，选项A 错；对于B 选项，设线段AB 的中点为(),M x y ，由题意可得22112222134134x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差可得22221212034x x y y --+=，因为直线AB 的斜率存在，则12x x ≠，所以，121212122423y y y y y k x x x x x -+⋅=⋅=--+，整理可得43ky x =-，又因为1y kx =+，消去k 可得224330x y y +-=，其中0y >，所以，()()()()11221212,1,1,22,22FA FB x y x y x x y y x y +=+++=+++=+，所以，FA FB +=2=>，选项B 对；对于C 选项，当1k =时，直线l 的方程为y x m =+，即x y m =-，联立224312x y mx y =-⎧⎨+=⎩可得22784120y my m -+-=，()()2226428412162130m m m ∆=--=->，解得m <<由韦达定理可得1287m y y +=，2124127m y y -=，112222y y FA =+=+ ，同理222y FB =+，所以，124444,427y y m FA FB ⎛⎫++=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，因为544277⎛∈-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以，当1k =时，m ∃∈R ，使得52FA FB += ，选项C 对；对于D 选项，设线段AB 的中点为(),M x y ，由B 选项可知，121212122423y y y y y x x x x x -+⋅==--+，即43y x =-，即430x y +=，由22434312y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩可得x =M的横坐标的取值范围是77⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，而点F 到直线430x y +=的距离为35d =，由430314x y y x +=⎧⎪⎨=-⎪⎩可得1225x ⎛=∈- ⎝⎭，当且仅当点1216,2525M ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，FA FB + 取最小值65，选项D 错.故选：BC.18．（2023·云南·统考二模）已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，过F 作直线l与抛物线C 交于A 、B 两点，分别以A 、B 为切点作抛物线C 的切线，两切线交于点T ，设线段AB 的中点为M ．若点T 的坐标为12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则（）A ．点M 的横坐标为2B ．点M 的纵坐标为3C ．直线l 的斜率等于2D ．5TM =【答案】ACD【解析】抛物线C ：()220x py p =>，直线AB ：y kx b =+，2p b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设()()1122:,,:,A x y B x y 显然当12x x =时，根据对称性易得T 点位于x 轴上，不合题意，故12x x ≠，且均大于0，22p x xy y p '=⇒=，1AT k p x =，11:()x AT y y x x P-=-，整理：211111()2p y y x x x x x py -=--=，得：()11:AT p y y x x +=⋅，①同理()22:BT p y y x x +=⋅，②①-②：1212()()p y y x x x -=-，1212,T y y x ppk x x -==-1122:y y x y y x +=+①②()()()1221211221121212,kx b x kx b x b x x y x y x y b x x x x x x +-+--⇒====----又因为直线y kx b =+，2pb =，由此知：1122p =故22x y =；因为22x y =，所以y x'=设交点1122(,),(,)A x y B x y ，过点A 的切线斜率为11k x =，所以切线方程为111()y y x x x -=-，整理得1112y y x x y -=-，即11y x x y =-，同理，过点B 的切线的方程为22y x x y =-，又点T 在直线上，代入得AB 直线方程：12,2y x =+故选项C 正确；由21222y x x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 整理得2410x x --=，因为直线与抛物线相交，设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,1,x x x x +==-，故点M 的横坐标()1212,2x x x =+=故A 正确，因为点M 的横坐标()1212,2x x x =+=所以1922,22y =⨯+=5TM ==，故选项B 错误，D 正确；故选：ACD19．（2023·浙江杭州·统考一模）设F 为抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 交于()()1122,,A x y B x y 两点，过B 作与x 轴平行的直线，和过点F 且与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，则（）A ．1212x x y y +为定值B ．当直线l 的斜率为1时，OAB (其中O 为坐标原点)C ．若Q 为C 的准线上任意一点，则直线QA ，QF ，QB 的斜率成等差数列D ．点M 到直线FN 的距离为2p 【答案】ACD【解析】A.,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线l 的方程为2p ty x =-，联立222y px p ty x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，化为2220y pty p --=，212y y p ∴=-，122y y pt +=，22412124()p x x y y p == ，2124p x x ∴=，2121234x x y y p ∴+=-为定值，因此A 正确．B.当直线l 的斜率为1时，直线l 的方程为2p y x =-，代入椭圆方程可得：22304p x px -+=，123x x p ∴+=，124AB x x p p ∴=++=，点O 到直线l的距离24pd =，OAB ∴的面积为214242p p ⨯=，因此B 不正确．C.设,2p Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则22QF m mk p p p ==---，112211222QA y m py pm k p y p x --==+⎛⎫-- ⎪⎝⎭，222222QB py pm k y p -=+，12222212222222QF QA QB py pm py pm m k k k p y p y p --∴--=--++，通分后分子()()()()()()222222221212212m y p y p p py pm y p p py pm y p ⎡⎤=-+++-++-+⎣⎦，()()()()2224222222222212121212122212m y y mp y y mp p y y y p my mp p y y y p my mp ⎡⎤=-+++++--++--⎢⎥⎣⎦()()2224121222[m y y mp y y mp =-+++()()()242224121212122]p y y y y p y y mp y y mp ++-+-++，()()()1224412122122m y y p y y y y p y y mp ⎡⎤++⎢⎥+-⎣-+⎦=，()()()()2222442202pt pt m p p p p mp =+⎡⎤---+⎢-=⎥⎣⎦即2QF QA QB k k k --0=，则直线QA ，QF ，QB 的斜率成等差数列，因此C 正确．D.如图所示，过点M 作MH FN ⊥，垂足为H ，12AM y MNy =-，122AN y y MN y -∴=-，又AN AF MN MH =，122AF y y MH y -∴=-，22121221212121222222y p py p y p y y x p p p MH y y y y y y ⎛⎫-⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴====---，因此D 正确．故选：ACD ．20．（2023·安徽滁州·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 为等腰三角形，顶角OAB θ∠=，点()3,0D 为AB 的中点，记△OAB 的面积()S f θ=，则（）A ．()18sin 54cos f θθθ=-B ．S 的最大值为6C ．AB 的最大值为6D ．点B 的轨迹方程是()22400x y x y +-=≠【答案】ABD【解析】由OAB θ∠=，OA AB =，()3,0D 为AB 的中点，若(,)A x y 且0y ≠，则(6,)B x y --，故222222(62)(2)4(3)4x y x y x y +=-+-=-+，整理得：22(4)4x y -+=，则A 轨迹是圆心为(4,0)，半径为2的圆（去掉与x 轴交点），如下图，由圆的对称性，不妨令A 在轨迹圆的上半部分，即02A y <≤，令22OA AB AD a ===，则222||||2cos OD OA AD OA AD θ=+-，所以2254cos 9a a θ-=，则2954cos a θ=-，所以2118sin sin 2sin 254cos OAB OAD OBD S S S OA AB a θθθθ=+===- ，A 正确；由113(0,6]22OAB OAD OBD A B A S S S y OD y OD y =+=⋅+⋅=∈ ，则S 的最大值为6，B 正确；由下图知：(2,6)OA AB =∈，所以AB 无最大值，C 错误；令(,)B m n ，则60A A x my n =-⎧⎨=-≠⎩代入A 轨迹得22(2)4m n -+=，即2240m m n -+=，所以B 轨迹为2240x x y -+=且0y ≠，D 正确；故选：ABD21．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知()11,P x y ，()22,Q x y 是椭圆229144x y +=上两个不同点，且满足121292x x y y +=-，则下列说法正确的是（）A ．1122233233x y x y +-++-的最大值为65+B ．1122233233x y x y +-++-的最小值为35-C ．11223535x y x y -++-+的最大值为21025+D ．11223535x y x y -++-+的最小值为1022-【答案】AD【解析】由229144x y +=，可得2294x y +=，又()11,P x y ，()22,Q x y 是椭圆2294x y +=上两个不同点,可得2222112294,94x y x y +=+=，设,3x m y n ==，则224m n +=，设1122(,),(,)C m n D m n ,O 为坐标原点，可得11(,)OC m n =，22(,)OD m n = ,可得222211224,4m n m n +=+=，且12122m m n n +=-，所以2OC OD ⋅=-，1cos ,2OC OD OC OD OC OD⋅==-⋅，又[],0,πOC OD ∈ ，可得C D 、两点均在圆224m n +=的圆上，且2π3COD ∠=，设CD 的中点为E ，则π2cos 13OE ==,点C D 、两点到直线230x y +-=的距离12d d 、之和，设E 到直线230x y +-=的距离3d ，由题可知圆心到直线230x y +-=的距离为=，则12322(2(12d d d EO =≤==+1232)1)2d d d EO =≥==+可得12d d +的最大值为2+12d d +2；可得112212233233)x y x y d d +-++-+，可得1122233233x y x y +-++-的最大值为(26=，最小值为6-，故A 正确，B 错误；C D 、两点到直线50x y -+=的距离45d d 、之和，设E 到直线50x y -+=的距离6d ，由题可知圆心到直线50x y -+==则45621)2d d d =≤=+，45621)2d d d =≥-=-+，可得1122453535)x y x y d d -++-+=+，可得1122233233x y x y +-++-的最大值为10+10-C 错误，D 正确.故选：AD.三、填空题22．（2023·浙江·统考二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F .若1F 关于直线2y x =的对称点P 恰好在C 上，且直线1PF 与C 的另一个交点为Q ，则12cos FQF ∠=__________.【答案】1213【解析】设1(,0)F c -关于直线2y x =的对称点11(,)P x y ，由111121222y x c y x c ⎧⋅=-⎪+⎪⎨-⎪=⋅⎪⎩，得34(,)55c c P -，可知1PF =，2PF =，又知122F F c =，所以2221212PF PF F F +=，则12F PF ∠为直角，由题意，点P 恰好在C 上，根据椭圆定义122PF PF a +=，得a =，122QF QF a +=，设1QF m =，则225QF a m c m =-=-，在直角三角形2QPF △中，222())()m m +=-，解得25m c =，从而225QF =，25QP =，所以22112cos 13F QP QF F Q ∠==.故答案为：121323．（2023·山东枣庄·统考二模）已知点()1,2A 在抛物线22y px =上，过点A 作圆()2222x y -+=的两条切线分别交抛物线于B ，C 两点，则直线BC 的方程为____________．【答案】330x y ++=【解析】因为点()1,2A 在抛物线22y px =上，则2221p =⨯，解得2p =，即抛物线方程为24y x =，显然过点A 作圆()2222x y -+=的两条切线斜率存在，设此切线方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，，解得1222k k ==-221212(,),()44y y B y C y ，不妨令直线,AB AC 的斜率分别为12,k k，于是1211242214y y y -==++-，12y =，同理22y =，直线BC 的斜率122212124414432244y y k y y y y -====-+---，而点,B ，直线BC的方程为1(3y x +=-，即330x y ++=.故答案为：330x y ++=24．（2023·陕西商洛·统考二模）已知椭圆22:143x y C +=，()12,0A -，()11,0F -，斜率为(0)k k ≠的直线与C交于P ，Q 两点，若直线1A P 与1AQ 的斜率之积为14-，且1PFQ ∠为钝角，则k 的取值范围为_______．【答案】3737,00,77⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】设:PQ l y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立方程组22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()2223484120k x kmx m +++-=，由0∆>，即22430k m -+>，所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+，122634m y y k +=+，2212231234m k y y k -=+，所以()()1122122212312122416164A P A Qy y m k k k x x m km k -⋅===-++-+，解得2m k =（舍去）或m k =-．由1PFQ ∠为钝角，得110F РFQ ⋅<，即()()11221212121,1,10x y x y x x x x y y +⋅+=++++<，所以2222222241289791034343434k k k k k k k k---+++=<++++，解得k <因为0k ≠，所以0,77k ⎛⎫⎛∈-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：,00,77⎛⎫⎛-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭．25．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线右支上的一点，Q 为12F F P 的内心，且12234QF QF PQ +=，则M 的离心率为______．【答案】4【解析】如图所示，在焦点三角形中，处长PQ 交12F F 于点A ，因为Q 为12F F P 的内心，所以有111122=,=PF PQ PF AF AF QA PF AF ，()()1111111111PF PF PQ QA PQ QF F A AF PQ PF QF F AAF AF =⋅⇒=⋅+⇒⋅=⋅+ 11111111111212AF AF PQ PF QF PF F A AF PQ PF QF PF F F F F ⎛⎫⇒⋅=⋅+⋅⇒⋅=⋅+⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ ()111111212AF AF PQ PF QF PF FQ QF F F ⇒⋅=⋅+⋅⋅+()11211211112AF F F PQ PF F F QF PF AF F Q QF ⇒⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+1121121111112AF F F PQ PF F F QF PF AF F Q PF AF QF ⇒⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅112121112AF F F PQ PF AF QF PF AF QF ⇒⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅12121121PF AF F F PQ QF PF QF AF ⋅⇒⋅=⋅+⋅12121121PF PF F F PQ QF PF QF PF ⋅⇒⋅=⋅+⋅122112F F PQ PF QF PF QF ⇒⋅=⋅+⋅，因为12234QF QF PQ += ，所以有12124,3,2F F k PF k PF k ===，因此M 的离心率为1212242F F c ca a PF PF ===-，故答案为：426．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为e ，点P 在椭圆上，连接1PF 并延长交C 于点Q ，连接2QF ，若存在点P使2PQ QF =成立，则2e 的取值范围为___________.【答案】)8211,1⎡-⎣【解析】设11,QF m PF n ==，则22QF a m =-.显然当P 靠近右顶点时，2PQ QF >，所以存在点P 使2PQ QF =等价于()22min0,22PQ QF PQ QF m n a -≤-=+-，在12PF F △中由余弦定理得22221121122cos PF PF F F PF F F θ=+-⋅⋅，即()2222422cos a n n c n c θ-=+-⋅⋅，解得2cos b n a c θ=-，同理可得2cos b m a c θ=+，所以2112a m n b +=，所以()(222322112223222b b b n m m n m n a m n a m n a +⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22min(21)(22)22b m n a a a+-=-，当且仅当2n m =时等号成立.由221)202b a a-≤得2212b a ≤-，所以2111e -≤<.故答案为：)11,1⎡⎣27．（2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，过点F 且斜率为2的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于M ､N 两点，若P 是线段MN的中点，且5PF c =，则双曲线的离心率为___________.【答案】()()()222111.8?1211.7?1211.9?1220⎡⎤⨯+++⎣⎦【解析】设直线MN 为()2y x c =-，双曲线的渐近线方程为by x a=±，联立()2b y x a y x c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩可得，22ac x a b =-，22bc y a b =-，不妨令22,22c M acb a b a b ⎛⎫ ⎝-⎭-，同理可得22,22b N ac c a b a b ⎛⎫⎪⎝-+⎭+，设()00,P x y ，则20222242224ac ac a c a b a b x a b +-+==-，2222222224bc bcb c a b a b y a b --+==-，故22222242,44a c b cP a b a b⎛⎫ ⎪--⎝⎭，故PF ==，解得4224320b a b a +-=，方程两边同时除以4a 得，42320b b a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令22b t a =，可得2320t t +-=，解得23t =或-1（舍去），故c e a =.28．（2023·陕西汉中·统考二模）已知()30A -,，()3,0B ，P 为平面内一动点（不与,A B 重合），且满足2PA PB=，则PA PB ⋅的最小值为______．【答案】8-【解析】设(),P x y ，∵2PA PB=2=，整理得221090x y x +-+=，即()22516x y -+=，可得[]22109,1,9x y x x +=-∈，又∵()()3,,3,PA x y PB x y =---=--uu r uu r，则()()()()22233910991018PA PB x x y x y x x ⋅=---+-=+-=--=-uu r uu r ，∵[]1,9x ∈，可得当1x =时，PA PB ⋅取到最小值101188⨯-=-.故答案为：8-.29．（2023·辽宁丹东·统考一模）经过坐标原点O 的直线与椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>相交于A ，B 两点，过A 垂直于AB 的直线与C 交于点D ，直线DB 与y 轴相交于点E ，若22OB OE OE ⋅=，则C 的离心率为_______．【解析】设直线BD 的方程为()11(0),,y kx m k B x y =+≠，()22,D x y ，则()()11,,0,A x y E m --，由22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22222222220b a k x kma x a m a b +++-=，显然存在,k m ，使得0∆>，故由韦达定理得222121222222222,2kma k ma x x y y m b a k b a k +=-+=-+++，因为22OB OE OE ⋅= ，则212y m m =，即12y m =，则2211222212,,2,2,AB y m m k ma x B m k k y k k x b a k ⎛⎫====- ⎪+⎝⎭，因为AB AD ⊥，所以121212ADy y k x x k +==-+，即22222222221222k ma kma m b a k k b a k ⎛⎫-+=-- ⎪++⎝⎭，即222222222k a b k a a -++=，化简得222a b =，所以2c e a ===，故答案为：2.30．（2023·山西·校联考模拟预测）抛物线的光学性质是：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射线都与抛物线的对称轴平行或重合．设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点()7,0的直线交C 于A ，B 两点，且AF BF ⊥，若C 在A ，B 处的切线交于点P ，Q 为PAB 的外心，则QAB 的面积为______．【答案】108【解析】如图，易知C 的焦点为()1,0F ，显然当AB ⊥x 轴时，AF 不垂直于BF ，设过点()7,0的直线l 的斜率为k （0k >）．则l ：()7y k x =-，将()7y k x =-代入24y x =，得()2274k x x -=，即22222(72)490k x k x k -++=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则()2122272k x x k++=，1249x x=，又()111,FA x y =- ，()221,FB x y =-，所以()()1212110FA FB x x y y ⋅=--+= ，所以()()()()121211770x x k x k x --+-⨯-=，即()()()22212121171490kx x k x x k+-++++=，所以()()()22222272149171490k k k kk ++⨯-+⨯++=，即2840k -=，解得212k =，所以()222222121212227211()41()449k AB k x kx x x x kk+=+-=++-=+-⨯242161121123k k k=++=，设PA ，PB 与x 轴正方向的夹角分别为,αβ，由抛物线的光学性质可知APB αβ∠=+，π222AFB αβ∠=+=，故π4APB αβ∠=+=，且由圆的性质可知π22AQB APB ∠=∠=，所以QAB 是等腰直角三角形，其中22AQ BQ ==，故221|108224QAB AQ S AQ BQ AB∆=⋅===.故答案为：108.。

高考数学压轴题——圆锥曲线大题十个大招含答案全解析

终结圆锥曲线大题十个大招招式一：弦的垂直平分线问题 (25)招式二：动弦过定点的问题 (26)招式四：共线向量问题 (28)招式五：面积问题 (35)招式六：弦或弦长为定值、最值问题 (38)招式七：直线问题 (43)招式八：轨迹问题 (47)招式九：对称问题 (54)招式十、存在性问题 (57)招式一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。

有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。

例题分析1：已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b⎧=-+⇒++-=⇒+=-⎨=+⎩，进而可求出AB 的中点11(,)22M b --+，又由11(,)22M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦长公式可求出221114(2)32AB =+-⨯-=．招式二：动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。

(word完整版)圆锥曲线压轴题含答案,推荐文档

x2 y21.已知点仆0，＞0)为双曲线正味二K b为正常数)上任一点，勺为双曲线的右焦点, 过P1作右准线的垂线，垂足为4连接F2 A并延长交y轴于点J(1)求线段P1 P2的中点P的轨迹E的方程;(2)设轨迹E与％轴交于B, D两点，在E上任取一点Q (\，y)(y1W 0)，直线QB, QD 分别交于y轴于M, N两点.求证：以MN为直径的圆过两定点.x22.如图，已知圆G：(x—2)2 + y2= r2是椭圆—+ y2=1的内接△ ABC的内切圆，其中A16为椭圆的左顶点．(1)求圆G的半径丫；(2)过点M(0, 1)作圆G的两条切线交椭圆于E, F两点，证明：直线EF与圆G相切.3.设点a”0»0)在直线'=m(y w±m'0<m< 1)上，过点夕作双曲线x2-y2=1的两条..—_ 」1 0切线尸A, PB，切点为A,B，定点M—,0 .(1)过点A作直线x- y = 0的垂线，垂足为N，试求△ AMN的垂心G所在的曲线方程；(2)求证：A、M、B三点共线.4.作斜率为3的直线I与椭圆。

磊+ 十二1交于A，B两点(如图所示),且—2)在直线l的左上方.(1)证明：A PAB的内切圆的圆心在一条定直线上;(2)若/APB = 60。

，求A PAB的面积.5 .如图，椭圆°」2吒=1(a >" 0)的离心率为13，、轴被曲线J 丁二,2一 b 截得的线段长等于°1的长半轴长.⑴求°1，02的方程；⑵设C 2与 > 轴的焦点为M ，过坐6 .已知抛物线C : y 2 = 4x 的焦点为F ，过点K (-1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D . (1)证明：点F 在直线BD 上；8(2)设FA FB = 9，求A BDK 的内切圆M 的方程.标原点O 的直线l 与0相交于点A,B ，直线MA,MB 分别与c 相交与D , E . 2 1x 2 y 27. P （x , y ）（x 。

2025届高考数学复习：压轴好题专项(圆锥曲线中的斜率问题)练习(附答案)

2025届高考数学复习：压轴好题专项(圆锥曲线中的斜率问题)练习1．（2023届山西省长治市高三上学期9月质量检测）已知点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）上,且点P 到椭圆右顶点M 的距离为2． (1)求椭圆C 的方程；(2)若点A ,B 是椭圆C 上不同的两点（均异于M ）且满足直线MA 与MB 斜率之积为14．试判断直线AB 是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由．2．（2023届重庆市第八中学校高三上学期月考）已知椭圆C 的中心为坐标原点,对称轴为x 轴,y 轴,且过3(2,0),1,2A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)F 为椭圆C 的右焦点,直线l 交椭圆C 于,P Q （不与点A 重合）两点,记直线,,AP AQ l 的斜率分别为12,,k k k ,若123k k k+=-,证明：FPQ △的周长为定值,并求出定值.3．（2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2,上顶点为D ,斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ,B ,M 为线段AB 的中点,当点M 的坐标为(2,1)时,直线l 恰好经过D 点.(1)求椭圆C 的方程：(2)当l 不过点D 时,若直线DM 与直线l 的斜率互为相反数,求k 的取值范围. 4．（2023届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测）已知,A A '分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右顶点,,B F 分别是C 的上顶点和左焦点.点P 在C 上,满足,,2PF A A AB OP FA '⊥='∥.(1)求C 的方程；(2)过点F 作直线l （与x 轴不重合）交C 于,M N 两点,设直线,AM AN 的斜率分别为12,k k ,求证：12k k 为定值.5．（2023届重庆市第一中学校高三上学期9月月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点12⎫⎪⎭,其右焦点为)F.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若点,P Q 在椭圆C 上,右顶点为A ,且满足直线AP 与AQ 的斜率之积为120.求APQ 面积的最大值.6．（2023届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考）已知双曲线22:1C x y -=和点()0,1B . (1)斜率为k 且过原点的直线与双曲线C 交于,E F 两点,求EBF ∠最小时k 的值.(2)过点B 的动直线与双曲线C 交于,P Q 两点,若曲线C 上存在定点A ,使AP AQ k k +为定值λ,求点A 的坐标及实数λ的值.7．（2023届河北省邢台市名校联盟高三上学期考试）已知1A 、2A 为椭圆C ：2213y x +=的左右顶点,直线0x x =与C 交于AB 、两点,直线1A A 和直线2A B 交于点P . (1)求点P 的轨迹方程.(2)直线l 与点P 的轨迹交于M N 、两点,直线1NA 的斜率与直线2MA 斜率之比为13-,求证以MN 为直径的圆一定过C 的左顶点.8．（2023届安徽省皖南八校高三上学期考试）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左､右焦点为1F ,2F ,且左焦点坐标为(),P 为椭圆上的一个动点,12F PF ∠的最大值为2π.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)若过点()2,4--的直线l 与椭圆M 交于,A B 两点,点()2,0N ,记直线NA 的斜率为1k ,直线NB 的斜率为2k ,证明：12111k k +=. 9.（2022届河北省石家庄高三上学期11月月考）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,椭圆Γ的离心率为2,椭圆Γ上的一点P 满足2PF x ⊥轴,且21PF =．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）已知点A 为椭圆Γ的左顶点,若点,B C 为椭圆Γ上异于点A 的动点,设直线,AB AC 的斜率分别为AB AC k k ⋅,且1AB AC k k ⋅=,过原点O 作直线BC 的垂线,垂足为点D ,问：是否存在定点E ,使得线段DE 的长为定值？若存在,求出定点E 的坐标及线段DE 的长；若不存在,请说明理由．10．（2022届八省八校（T8联考）高三上学期联考）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>,圆22:(2)(4)1(0)C x m y m m -+-=≠,点12,F F ,分别为E 的左右焦点,点C 为圆心,O 为原点,线段OC 的垂直平分线为l ．已知E 的离心率为12,点12,F F 关于直线l 的对称点都在圆C 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线l 与椭圆E 相交于A ,B 两点,问：是否存在实数m ,使直线AC 与BC 的斜率之和为23？若存在,求实数m 的值；若不存在,说明理由． 11．（2022届上海市嘉定区高三一模）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A 、B ,右焦点为F ,且椭圆Γ过点(、5(2,3,过点F 的直线l 与椭圆Γ交于P 、Q 两点（点P 在x 轴的上方）.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若20PF QF += ,求点P 的坐标；（3）设直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ,是否存在常数λ,使得120k k λ+=?若存在,请求出λ的值；若不存在,请说明理由.12．(2022届海南省海口市高三上学期考试)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的虚轴长为4,直线2x －y ＝0为双曲线C 的一条渐近线．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）记双曲线C 的左、右顶点分别为A ,B ,过点T (2,0)的直线l 交双曲线C 于点M ,N (点M 在第一象限),记直线MA 斜率为1k ,直线NB 斜率为2k ,求证：12k k 为定值． 13．（2023届江苏省南京市六校联合体高三上学期调研）已知椭圆C :22154x y +=的上下顶点分别为A B ，,过点P ()03，且斜率为k (k <0)的直线与椭圆C 自上而下交于M N ，两点,直线BM 与AN 交于点G .(1)设AN BN ，的斜率分别为12k k ，,求12k k ⋅的值; (2)求证：点G 在定直线上.14．（2023届湖南省邵阳市高三上学期第三次月考）已知(A B -,直线,PA PB 的斜率之积为34-,记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程;(2)直线l 与曲线C 交于,M N 两点,O 为坐标原点,若直线,OM ON 的斜率之积为34-, 证明:MON △的面积为定值.15．（2023届浙江省新高考研究高三上学期8月测试）已知椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b+=>>的右焦点为()2,0F ,离心率为1,2ABC 为椭圆C 的任意内接三角形,点D 为ABC 的外心.(1)求C 的方程；(2)记直线AB BC CA OD ､､､的斜率分别为1234k k k k ､､､,且斜率均存在.求证：123443k k k k =.参考答案1．（2023届山西省长治市高三上学期9月质量检测）已知点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）上,且点P 到椭圆右顶点M(1)求椭圆C 的方程；(2)若点A ,B 是椭圆C 上不同的两点（均异于M ）且满足直线MA 与MB 斜率之积为14．试判断直线AB 是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由．【过程详解】（1）点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,在椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）上代入得：221914a b +=,点P 到椭圆右顶点M的距离为2,则2=, 解得2a =,b =故椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）由题意,直线AB 的斜率存在,可设直线AB 的方程为y kx m =+（0k ≠）,()2,0M ,()11,A x y ,()22,B x y ．联立223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()2223484120k x kmx m +++-=． ()()()2222226443441248430k m k m k m ∆=-+-=-+>．∴122834km x x k -+=+,212241234m x x k -=+,∵直线MA 与直线MB 斜率之积为14． ∴12121224y y x x ⋅=--, ∴()()()()1212422kx m kx m x x ++=--．化简得()()()2212124142440k x x km x x m -++++-=,∴()()2222412841424403434m kmk km m k k ---+++-=++, 化简得22280m km k --=,解得4m k =或2m k =-．当4m k =时,直线AB 方程为()4y k x =+,过定点()4,0-． 4m k =代入判别式大于零中,解得1122k -<<（0k ≠）．当2m k =-时,直线AB 的方程为()2y k x =-,过定点()2,0,不符合题意．综上所述：直线AB 过定点()4,0-．2．（2023届重庆市第八中学校高三上学期月考）已知椭圆C 的中心为坐标原点,对称轴为x 轴,y 轴,且过3(2,0),1,2A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)F 为椭圆C 的右焦点,直线l 交椭圆C 于,P Q （不与点A 重合）两点,记直线,,AP AQ l 的斜率分别为12,,k k k ,若123k k k+=-,证明：FPQ △的周长为定值,并求出定值. 【过程详解】（1）由已知设椭圆C 方程为：221(0,0)mx ny m n +=>>, 代入()32,0,1,2A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,得11,43m n ==,故椭圆C 方程为22143x y +=.（2）设直线()()1122:,,,,l y kx m P x y Q x y =+,由()22222,43841203412y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩得, 122212284341243km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩,()()2222226444341219248144k m k m k m ∆=-+-=-+, 又11212112,222y kx m kx mk k x x x ++===+++, 故()()()12121212121212122242224kx x k x x m x x mkx m kx m k k x x x x x x ++++++++=+=+++++ 2222228241681612412161612km k k m km k m mm km k ---++=--++ 223644m km km k -=-+,由123k k k+=-,得22320m km k -+=, 故()()202m k m k m k --=⇒=或m k =,①当2m k =时,直线():22l ykx k k x =+=+,过定点()2,0A -,与已知不符,舍去；②当m k =时,直线():1l y kx kk x =+=+,过定点()1,0-,即直线l 过左焦点,此时222192481441441440k m k ∆=-+=+>,符合题意. 所以FPQ △的周长为定值48a =.3．（2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2,上顶点为D ,斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ,B ,M 为线段AB 的中点,当点M 的坐标为(2,1)时,直线l 恰好经过D 点.(1)求椭圆C 的方程：(2)当l 不过点D 时,若直线DM 与直线l 的斜率互为相反数,求k 的取值范围. 【过程详解】（1）由题意知,离心率2e =,所以a ==, 设()()1122,,,A x y B x y ,22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得2212OM b k k a ⋅=-=-,所以1k =-；所以直线为1(2)y x -=--,即3y x =-+,所以3==b c ,椭圆方程为221189x y +=；（2）设直线为y kx m =+,由22218y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()2221242180k x kmx m +++-=, 则1222212M x x km x k +-==+,212Mmy k =+,()()()2222221641221881890k m k m k m ∆=-+-=-+>, 所以236302M DMM y k m k k x km -+-===--,解得226312k m k +=-,2120-≠k,2≠±k 因为l 不过D 点,则2263312k k +≠-,即0k ≠则()()2222263189012k kk ++->-,化简得424430k k -->,解得()()2223210k k -+>,232k >,所以2k >或2k <-. 4．（2023届江苏省南通市高三上学期第一次质量监测）已知,A A '分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右顶点,,B F 分别是C 的上顶点和左焦点.点P 在C 上,满足,,2PF A A AB OP FA '⊥='∥.(1)求C 的方程；(2)过点F 作直线l （与x 轴不重合）交C 于,M N 两点,设直线,AM AN 的斜率分别为12,k k ,求证：12k k 为定值.【过程详解】（1）因为PF A A ⊥',故可设()0,P c y -,因为AB OP ∥,故AB OP k k ∥,即0y ba c-=-,解得0bcy a=. 又,bc a P c ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上,故2222221b c c a a b+=,解得2222222a c a b ==-,故a ==.又2FA '=故)12FA a c c =-=='故c =2,a b ==故C 的方程为22142x y +=.（2）因为椭圆方程为22142x y +=,故()(),2,0F A ,当l 斜率为0时,A M 或,A N 重合,不满足题意,故可设l：x ty =联立22142x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=⎩可得()22220t y +--=,设()()1122,,,M x y N x y ,则1212222,22y y y y t t +==-++. 故12121222k y y x x k =⋅=--()()()1222121222y y t y y t y y =-++(()22121212122y y t t y y y y =⎛⎫+-++⎪⎝⎭(()222212222t t t =+-+⨯32==325．（2023届重庆市第一中学校高三上学期9月月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点12⎫⎪⎭,其右焦点为)F.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若点,P Q 在椭圆C 上,右顶点为A ,且满足直线AP 与AQ 的斜率之积为120.求APQ 面积的最大值.【过程详解】（1）依题可得,222223114c a b a b c⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩,解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,所以椭圆C 的方程为2214x y +=.所以离心率2e =. （2）易知直线AP 与AQ 的斜率同号,所以直线PQ 不垂直于x 轴, 故可设()()1122:,0,,,,PQ y kx m k P x y Q x y =+≠,由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得,()222148440k x mkx m +++-=, 所以2121222844,1414mk m x x x x k k --+==++, ()22Δ16410k m =+->,而120AP AQ k k =,即121212220y y x x ⋅=--, 化简可得()()()()12122022kx m kx m x x ++=--, 22121212122020()202()4k x x km x x m x x x x +++=-++, 222222224484482020202414141414m mk m mk k km mk k k k ----⋅+⋅+=-⨯+++++ 化简得2260k mk m +-=, 所以2m k =-或3m k =,所以直线():2PQ y k x =-或()3y k x =+, 因为直线PQ 不经过点A , 所以直线PQ 经过定点()3,0-. 设定点()1212153,0,22APQ ABP ABQ B S S S AB y y k x x -=-=-=-52=52===,因为2150k ->,所以2105k <<,设29411,5t k ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭,所以53APQS ==≤ , 当且仅当97t =即2114k =时取等号,即APQ 面积的最大值为53.6．（2023届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考）已知双曲线22:1C x y -=和点()0,1B . (1)斜率为k 且过原点的直线与双曲线C 交于,E F 两点,求EBF ∠最小时k 的值.(2)过点B 的动直线与双曲线C 交于,P Q 两点,若曲线C 上存在定点A ,使AP AQ k k +为定值λ,求点A 的坐标及实数λ的值.【过程详解】（1）由对称性可设()(),,,E x y F x y --,则()()22,1,11BE BF x y x y x y ⋅=-⋅---=--+ ,因为E 点在双曲线C 上,所以221x y -=,即221y x =-,且1x ≥所以()2210BE BF x ⋅=-≤ ,当1x =时,0,BE BF EBF ∠⋅=为直角,当1x >时,0,BE BF EBF ∠⋅<为钝角,所以EBF ∠最小时,1,0x k ==.（2）设(),A m n ,由题意知动直线一定有斜率,设点B 的动直线为1y tx =+, 设()()1122,,,P x y Q x y联立221,1,x y y tx ⎧-=⎨=+⎩得()221220,t x tx ---=,所以()22212212210,Δ4810,2,12,1t t t t x x t x x t ⎧-≠⎪=+->⎪⎪⎨+=⎪-⎪⎪=--⎩,解得22t <且21t ≠, AP AQ k k λ+=,即1212y n y nx m x mλ--+=--, 即121211tx n tx nx m x mλ+-+-+=--,化简得()()()2121221220t x x mt n m x x m mn m λλλ-+-+-++-+-=,()()222222122011tt mt n m m mn m t tλλλ--+-+-+-+-=--,化简得()()2222212220m mn t m n t m mn m λλλλ-+--+-+-=,由于上式对无穷多个不同的实数t 都成立,所以2220,10,2220,m mn m n m mn m λλλλ⎧-=⎪--=⎨⎪-+-=⎩①② 将①代入②得m λ=,从而322,1.m mn m n ⎧=⎨=+⎩如果0m =时,那么1n =-,此时()0,1A -不在双曲线C 上,舍去, 因此0m ≠,从而22m n =,代入21m n =+,解得1,n m ==此时()A 在双曲线上,综上,),A λ=,或者(),A λ=.7．（2023届河北省邢台市名校联盟高三上学期考试）已知1A 、2A 为椭圆C ：2213y x +=的左右顶点,直线0x x =与C 交于AB 、两点,直线1A A 和直线2A B 交于点P . (1)求点P 的轨迹方程.(2)直线l 与点P 的轨迹交于M N 、两点,直线1NA 的斜率与直线2MA 斜率之比为13-,求证以MN 为直径的圆一定过C 的左顶点.【过程详解】（1）由题意得()11,0A -,()21,0A , 设()00,A x y ,()()000,0B x y y -≠,(),P x y , 则11PA AA k k =,22PA BA k k =,即0011y y x x =++,0011y y x x -=--,得22022011y y x x -=--, 又∵点()00,x y 在C 上,即220013y x -=-,得2231yx =-,∴()22103y x y -=≠；（2）∵1213NA NA k k =-,设直线1NA 方程为()310x my m =--≠，,则2MA 方程为1x my =+, 联立223113x my y x =--⎧⎪⎨-=⎪⎩,得()22271180m y my -+=（22710m -≠且0∆>）,设(),N N N x y ,得22541271N mx m =--,218271N m y m -=-, 同理设(),M M M x y ,得226131M m x m -=+-,2631Mm y m -=-, ()1226316231M MA M y m k m x m m -===+-+-,121811543N NA N y m k x m m-===-+, ∴111MA NA k k ⋅=-,即11MA NA ⊥,∴以MN 为直径的圆一定过C 的左顶点.8．（2023届安徽省皖南八校高三上学期考试）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左､右焦点为1F ,2F ,且左焦点坐标为(),P 为椭圆上的一个动点,12F PF ∠的最大值为2π.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)若过点()2,4--的直线l 与椭圆M 交于,A B 两点,点()2,0N ,记直线NA 的斜率为1k ,直线NB 的斜率为2k ,证明：12111k k +=. 【过程详解】（1）因为左焦点坐标为(),所以c =当点P 在上､下顶点时,12F PF ∠最大,又12F PF ∠的最大值为2π.所以b c ==由222a b c =+得24a =,所以椭圆M 的标准方程为22142x y +=；（2）当直线l 的斜率为0时,直线l 的方程为4y =-,直线4y =-与椭圆22142x y+=没有交点,与条件矛盾,故可设直线l 的方程为x my t =+,联立直线l 的方程与椭圆方程可得,22142x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 化简可得()2224my t y ++=,所以()2222240m y mtx t +++-=,由已知方程()2222240m y mtx t +++-=的判别式()()2222224424168320m t m t m t ∆=-+-=-+>, 又直线x my t =+过点()2,4--,所以24m t -=-+,所以2780m m -<,所以807m <<, 设()()1122,,,A x y B x y ,则12222mt y y m +=-+,212242t y y m -=+, 因为()2,0N 所以()1212121212121222221122x x my t my t y y m t k k y y y y y y --+-+-++=+=+=+-, 所以()212112222222214242mt mt mt tm t m m m k k t t m -+=+-=-=-=-=-+ 方法二：设直线l 的方程为()()()112221,,,,m x ny A x y B x y -+=,由椭圆M 的方程2224x y +=,得()22(2)242x y x -+=--.联立直线l 的方程与椭圆方程,得()()22(2)2422x y x m x ny ⎡⎤-+=---+⎣⎦, 即()()2214(2)4220m x n x y y +-+-+=,()22214420x x m n y y ⎛⎫⎛⎫--+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以1212122211414x x n k k y y m--+=+=-+. 因为直线l 过定点()2,4--,所以14m n +=-,代入1211k k +, 得121212221141411414x x n mk k y y m m--++=+=-==++. 9.（2022届河北省石家庄高三上学期11月月考）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,椭圆Γ的离心率为2,椭圆Γ上的一点P 满足2PF x ⊥轴,且21PF =．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）已知点A 为椭圆Γ的左顶点,若点,B C 为椭圆Γ上异于点A 的动点,设直线,AB AC 的斜率分别为AB AC k k ⋅,且1AB AC k k ⋅=,过原点O 作直线BC 的垂线,垂足为点D ,问：是否存在定点E ,使得线段DE 的长为定值？若存在,求出定点E 的坐标及线段DE 的长；若不存在,请说明理由．【过程详解】（1）由椭圆Γ上的一点P 满足2PF x ⊥轴,且21PF =,可得21ba=,即2b a =,又由椭圆Γ的离心率为2,可得2c a =,即a =,因为222a c b -=,联立方程组,可得2,a b ==所以椭圆Γ的标准方程为22142x y +=.（2）由椭圆22:142x y Γ+=,可得(2,0)A -,设直线BC 的方程为(2)y mx n n m =+≠,则1122(,),(,)B x mx n C x mx n ++, 联立方程组22142y mx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得222(21)4240m x mnx n +++-=, 则2221212224248(42)0,,2121mn n m n x x x x m m -∆=-+>+==++, 由1AB AC k k ⋅=,可得1212()()1(2)(2)mx n mx n x x ++=++,即221212(1)(2)()40m x x mn x x n -+-++-=,可得2222(1)(24)(2)(4)(4)(21)0m n mn mn n m --+--+-+=,整理得221280m mn n -+=,所以(6)(2)0m n m n --=,所以6n m =或2n m =（舍去）, 所以直线BC 的方程为6y mx m =+,即(6)y m x =+, 当6x =-时,0y =,可得直线BC 过定点()6,0F -, 因为OD BC ^,所以点D 在以OF 为直径的圆上,所以当点E 为线段OF 的中点时,线段DE 的长为定值,此时线段DE 的长为3,点()3,0E . 10．（2022届八省八校（T8联考）高三上学期联考）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>,圆22:(2)(4)1(0)C x m y m m -+-=≠,点12,F F ,分别为E 的左右焦点,点C 为圆心,O 为原点,线段OC 的垂直平分线为l ．已知E 的离心率为12,点12,F F 关于直线l 的对称点都在圆C 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线l 与椭圆E 相交于A ,B 两点,问：是否存在实数m ,使直线AC 与BC 的斜率之和为23？若存在,求实数m 的值；若不存在,说明理由．【过程详解】（1）由已知,12c e a ==,则2a c = 设点12,F F 关于直线l 的对称点分别为M ,N ,因为点O ,C 关于直线l 对称,O 为线段12F F 的中点,则C 为线段MN 的中点,从而线段MN 为圆C 的一条直径,所以12||2F F MN ==,即22c =,即1c =．于是2222,3a b a c ==-=,所以椭圆E 的方程是22143x y +=．（2）因为原点O 为线段12F F 的中点,圆心C 为线段MN 的中点,直线l 为线段OC 的垂直平分线,所以点O 与C 也关于直线l 对称,因为点(2,4)C m m ,则线段OC 的中点为(,2)m m ,直线OC 的斜率为2,又直线l 为线段OC 的垂直平分线,所以直线l 的方程为12()2y m x m -=--,即1522m y x =-+．将1522m y x =-+代入22143x y +=,得225341222x m x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭,即2241025120x mx m -+-=．设点()()1122,,,A x y B x y ,则2121252512,24m m x x x x -+==．所以121212124413322222AC BC y m y m x m x m k k x m x m x m x m ⎛⎫--+++=+=-+ ⎪----⎝⎭()()()()()()1221123232222x m x m x m x m x m x m +-++-=---()()2121221212212248x x m x x m x x m x x m ++-=--++．由已知,23AC BCk k +=,则()()2121221212212202483x x m x x m x x m x x m ++-+=-++,得()21212240x x m x x m -+-=．所以222251254022m m m ---=,即21m =,即1m =±．因为直线l 与椭圆E 相交,则()22Δ1001625120m m =-->,解得21625m <,即4||5m <．因为415<,所以不存在实数m ,使直线AC 与BC 的斜率之和为23． 11．（2022届上海市嘉定区高三一模）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ,右焦点为F ,且椭圆Γ过点(、5(2,3,过点F 的直线l 与椭圆Γ交于P 、Q 两点（点P 在x 轴的上方）.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若20PF QF +=,求点P 的坐标；（3）设直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ,是否存在常数λ,使得120k k λ+=?若存在,请求出λ的值；若不存在,请说明理由.【过程详解】（1）因为椭圆Γ过点(、5(2,)3,则有2242519b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,解得3a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆Γ的标准方程为22195x y +=.（2）设()()111,0P x y y >,()22,Q x y .由（1）知,()2,0F .因为20PF QF +=,则有()()()11222,22,0,0x y x y --+--=, 即()()121262,20,0x x y y ----=,所以1212620,20,x x y y --=⎧⎨--=⎩解得12126,2,2x x y y -⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 即116,22x y Q -⎛⎫-⎪⎝⎭. 分别将P 、Q 两点的坐标代入22195x y +=得 221122111,956221,95x y x y ⎧+=⎪⎪⎪⎨-⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪+=⎪⎩解得113,44x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍）或113,44x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以所求点P的坐标为3,44⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.（3）设存在常数λ,使得120k k λ+=.由题意可设直线l 的方程为2x my =+,点()11,P x y ,()22,Q x y ,则()()11211222123333y y x k x y k y x x λ-+-===+-.又因为2222195x y +=,即2222599y x =--,即()22225339x y x y +=--, 所以()()()()1212121299533555y y y y x x my my λ---==++++即()122121295525y y m y y m y y λ--=⎡⎤+++⎣⎦（*）又由222,1,95x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()225920250m y my ++-=,()290010m =+>△,且1222059m y y m +=-+,1222559y y m =-+.代入（*）得 22222591595252055255959m m m m m m λ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭-==⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦即15λ=-,所以存在常数15λ=-,使得120k k λ+=.12．(2022届海南省海口市高三上学期考试)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的虚轴长为4,直线2x －y ＝0为双曲线C 的一条渐近线．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）记双曲线C 的左、右顶点分别为A ,B ,过点T (2,0)的直线l 交双曲线C 于点M ,N (点M 在第一象限),记直线MA 斜率为1k ,直线NB 斜率为2k ,求证：12k k 为定值．【过程详解】（1）虚轴长为4,24b ∴=,即2b =,直线20x y -=为双曲线C 的一条渐近线, ∴2ba=,1a \=, 故双曲线C 的标准方程为2214y x -=．（2）由题意知,(1,0)A -,(1,0)B ,由题可知,直线l 斜率不能为零,故可设直线l 的方程为2x ny =+, 设1(M x ,12)(y N x ,2)y ,联立22142y x x ny ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩,得22(41)16120n y ny -++=, 1221641ny y n ∴+=--,1221241y y n =-, 12123()4ny y y y ∴=-+,直线MA 的斜率1111y k x =+,直线NB 的斜率2221y k x =-,∴11211112121222112212223()1(1)143(3)33()341y y y y k x y ny ny y y y k y ny ny y y y y y x -+++++=====-++-++-,为定值． 13．（2023届江苏省南京市六校联合体高三上学期调研）已知椭圆C :22154x y +=的上下顶点分别为A B ，,过点P ()03，且斜率为k (k <0)的直线与椭圆C 自上而下交于M N ，两点,直线BM 与AN 交于点G .(1)设AN BN ，的斜率分别为12k k ，,求12k k ⋅的值; (2)求证：点G 在定直线上.【过程详解】（1）设1122(,),(,)M x y N x y ,()()0,2,0,2A B -,2222122222224y y y k k x x x +--⋅=⋅=, 2222154x y +=又22224(15x y =⋅-所以, 所以2212224(1)4455x k k x --⋅==-. （2）设:3PM y kx =+224520x y +=联立, 得到22(45)30250k x kx +++=, 1223045k x x k -∴+=+1222545x x k ⋅=+, 222900100(45)400(1)0k k k ∆=-+=->,直线:MB 1122y y x x +=-, 直线:NA 2222y y x x -=+, 联立得:2121(2)22(2)x y y y y x ++=--, 法一：()()2121222524y y y y x x +++=-⋅-21212125()25554k x x k x x x x +++=-⋅=-, 解得43y =. 法二：由韦达定理得121265x x k x x +=-,2112221121(5)5221x kx kx x x y y kx x kx x x +++∴==-++1221215()5655()6x x x x x x -++=--++.解得43y =, 所以点G 在定直线43y =上. 14．（2023届湖南省邵阳市高三上学期第三次月考）已知(A B -,直线,PA PB 的斜率之积为34-,记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程;(2)直线l 与曲线C 交于,M N 两点,O 为坐标原点,若直线,OM ON 的斜率之积为34-, 证明:MON △的面积为定值.【过程详解】（1）设(,)P x y ,则直线PA的斜率PA k x =≠-,直线PB 的斜率PBk x =≠,由题意22384PA PB y k k x ⋅===--, 化简得221(86x y x +=≠±；（2）直线l 的斜率存在时,可设其方程为y kx m =+, 联立22,1,86y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得()2223484240+++-=k x kmx m ,设()()1122,,,M x y N x y ,则()()()22222(8)43442448860km k m k m ∆=-+-=+->,21212228424,3434-+=-=++km m x x x x k k , 所以 ()()()2212121212121212+++++⋅===OM ONkx m kx m k x x km x x m y y k k x x x x x x 222222222224248343442434--+++=-+m k k k m m k m k m k22224334244k m m -+==-- 化简得2243m k =+则12||=-==MN x==又O 到MN的距离d ==所以11||22OMNS MN d =⋅== 为定值.当直线l 的斜率不存在时,可设 ()()0000,,,M x y N x y -, 则202034CM ONy k k x ⋅=-=-,且2200186x y +=,解得22004,3x y ==,此时00122OMN S x y =⨯⨯= 综上,OMN 的面积为定值15．（2023届浙江省新高考研究高三上学期8月测试）已知椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b+=>>的右焦点为()2,0F ,离心率为1,2ABC 为椭圆C 的任意内接三角形,点D 为ABC 的外心.(1)求C 的方程；(2)记直线AB BC CA OD ､､､的斜率分别为1234k k k k ､､､,且斜率均存在.求证：123443k k k k =. 【过程详解】（1）由椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>的右焦点为()2,0F ,离心率为12c a =得4,2a c ==.所以b ==所以椭圆C 的方程为2211612xy +=.（2）证明：设A ()()()()11223344,,,,,,,x y B x y C x y D x y ,则233121412342123314,,,y y y y y y y k k k k x x x x x x x ---====---. 设ABC 的外接圆方程为2244220x y x x y y F +--+=, 得2222114141224242220,220x y x x y y F x y x x y y F +--+=+--+=, 两式相减得()()2222212142142122x x y y x x x y y y -+-=-+-,因为()2222212134y y x x -=--,所以()214411224x x x y k +=+,同理：()234421224x x x y k +=+. 两式相减得：()3142124x x y k k -=-,于是：()31214121244x x x x x k k k -+=-⋅- 所以()()()()3121314431214212321121444x x k k x x y k x x x x x x x k x x k k k k ---===-++-+-- 将2321122123,y y y y k k x x x x --==--代入4k 得：()()()()()()()3132214222221323221x x x x x x k x x y y x x y y ---=-----因为()()22222222212132324433x x y y x x y y -=---=--，所以()()()()()()322131432213134x x x x x x k y y y y y y ---=---所以123443k k k k =得证.。

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数学高考圆锥曲线压轴题经典预测
一、圆锥曲线中的定值问题
y2
＝
b2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m－k为定值．
y2
＝
b2
二、圆锥曲线中的最值问题
y2
＝
b2
（Ⅰ）求C1、C2的方程；
（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
三、圆锥曲线与过定点（定直线）问题
四、圆锥曲线与求参数
★★在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
的中点，射线OE交椭圆C与点P，设OP→＝tOE→，数t的值．
五、存在性问题
y2
＝
b2
焦点分别为F1、F2．点P为直线l：x＋y＝2上且不在x轴上的任意一点，直线
六、轨迹方程。