数学笔记-排列组合
高三排列组合知识点大全
高三排列组合知识点大全排列组合是数学中的一个重要概念，它涉及到对对象进行选择、安排和组合的方式。
在高三数学学习中，排列组合是一个重要的知识点，既存在于基础知识的学习中，也存在于解决实际问题的应用中。
在本文中，将介绍高三排列组合知识点的大全，帮助同学们更好地掌握这一内容。
一、排列与组合的基本概念排列是指从若干不同元素中按照一定的顺序选择出一部分元素进行排列。
比如从数字1、2、3中选择两个数字进行排列，有(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)和(3,2)共6种排列方式。
组合是指从若干不同元素中无顺序地选择出一部分元素进行组合。
比如从数字1、2、3中选择两个数字进行组合，有(1,2)、(1,3)和(2,3)共3种组合方式。
二、排列与组合的计算公式1. 排列的计算公式排列的计算公式为：A(n,m) = n!/(n-m)!，其中n为总元素个数，m为选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
2. 组合的计算公式组合的计算公式为：C(n,m) = n!/((n-m)!m!)，其中n为总元素个数，m为选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
三、排列与组合的性质和应用1. 唯一性在排列和组合中，每个元素只能被选择一次，保证了每种排列和组合的唯一性。
这个性质在实际问题中很重要，可以避免重复计算或重复选择。
2. 应用于实际问题排列组合在实际问题中有广泛的应用。
比如在概率中，排列与组合可以求解事件发生的可能性；在密码学中，排列与组合可以用于计算密码的强度；在组织活动中，排列与组合可以用于计算可能的活动安排等。
四、高阶排列组合问题除了基本的排列组合问题之外，高三数学中还会涉及到一些高阶的排列组合问题。
下面将介绍一些常见的高阶排列组合问题。
1. 重复元素的排列组合当有重复的元素存在时，排列与组合的计算公式需要进行相应的调整。
比如从数字1、1、2、3中选择两个数字进行排列，存在重复元素1，这时排列的总数为4!/2! = 12种。
高中排列组合知识点
高中排列组合知识点在高中数学中，排列组合是一个重要且具有一定难度的知识点。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，还对培养我们的逻辑思维和解决问题的能力起着关键作用。
首先，我们来了解一下什么是排列。
排列指的是从给定的元素集合中，按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。
比如说，从 5 个不同的数字中选取 3 个进行排列，那么不同的排列方式就有很多种。
排列的计算公式是：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！。
这里的“n”表示总数，“m”表示选取的个数。
“！”表示阶乘，比如 5! ＝ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
举个例子，从 5 个不同的元素中选取 3 个进行排列，即 A(5, 3) ＝ 5! ／（5 3)！＝ 5 × 4 × 3 ＝ 60 种不同的排列方式。
接下来是组合。
组合则是从给定的元素集合中，选取若干个元素组成一组，不考虑元素的顺序。
比如从 5 个不同的水果中选取 3 个，不管选取的顺序如何，只要是这 3 个水果就算一种组合。
组合的计算公式是：C(n, m) ＝ n! ／ m! ×（n m)！。
还是以从 5 个不同的元素中选取 3 个为例，组合的方式为 C(5, 3) ＝5! ／ 3! ×（5 3)！＝ 10 种。
在实际解题中，我们需要根据具体的问题来判断是使用排列还是组合。
如果问题中强调了顺序的重要性，那么通常使用排列；如果顺序不重要，只关注选取的元素组合，那就使用组合。
比如，安排 5 个人坐在 3 个不同的座位上，因为座位的顺序是有影响的，所以要用排列，即 A(5, 3) 。
而如果是从 5 种不同的水果中选取3 种作为礼物，不考虑选取的顺序，这时候就用组合 C(5, 3) 。
在解决排列组合问题时，还有一些常见的方法和技巧。
插空法：当要求某些元素不能相邻时，可以先将其他元素排列好，然后将不相邻的元素插入到这些元素之间的空隙中。
排列组合公式总结大全(3篇)
第1篇在数学中，排列组合是研究有限集合中元素的不同排列和组合方式的一种数学分支。
它广泛应用于统计学、概率论、计算机科学、组合数学等领域。
以下是对排列组合中常用公式的总结，以供参考。
一、排列1. 排列的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2. 排列数公式：A(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
3. 排列的运算性质：（1）交换律：A(n, m) = A(n-m, n-m)（2）结合律：A(n, m) × A(m, k) = A(n, k)（3）逆运算：A(n, m) × A(m, n-m) = n!二、组合1. 组合的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，不考虑它们的顺序，这样的取法称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
2. 组合数公式：C(n, m) = n! / [m! × (n-m)!]3. 组合的运算性质：（1）交换律：C(n, m) = C(n-m, n-m)（2）结合律：C(n, m) × C(m, k) = C(n, k)（3）逆运算：C(n, m) × C(m, n-m) = C(n, n)三、排列与组合的关系1. 排列与组合的关系：A(n, m) = C(n, m) × m!2. 排列与组合的区别：（1）排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序。
（2）排列的运算性质与组合的运算性质不同。
四、排列组合的应用1. 排列组合在概率论中的应用：计算随机事件发生的概率。
2. 排列组合在计算机科学中的应用：设计算法、密码学、数据结构等。
3. 排列组合在统计学中的应用：抽样调查、数据分析等。
排列组合基础知识点
排列组合基础知识点排列组合是组合数学的重要组成部分，它研究的是如何根据特定的规则从一个集合中选择或排列对象。
它不仅在数学中有广泛的应用，在计算机科学、统计学、金融学等领域也扮演着重要角色。
本篇文章将详细介绍排列组合的基础知识，包括其定义、性质，以及相关的公式和应用示例。
一、排列的概念排列是指从n个不同元素中，按照一定的顺序取出r个元素，所形成的不同序列。
排列强调顺序，因此a和b的排列与b和a是不同的。
排列的公式为：[ A(n, r) = ]其中，n!（n的阶乘）表示从1到n所有整数的乘积。
1. 阶乘的定义阶乘是一个自然数n的连续乘积，记作n!，其定义为：n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1，当n ≥ 1;0! = 1。
2. 排列示例设有5种不同颜色的球（红、蓝、绿、黄、白），要从中选取3种颜色并进行排列。
根据排列公式，计算方法如下：[ A(5, 3) = = = = 60 ]此时，我们可以得出60种不同的颜色排列方式，例如（红、蓝、绿）、（蓝、绿、黄）等。
二、组合的概念组合是从n个不同元素中，选择r个元素而不考虑顺序的方法。
组合只关注所选元素，不关心它们的排列顺序。
例如，从a、b、c三种元素中选出两种元素，组合为(ab, ac, bc)。
组合的公式为：[ C(n, r) = ]1. 组合示例继续使用上面的例子，即有5种颜色的球，从中选择3种颜色组合。
根据组合公式进行计算：[ C(5, 3) = = = = 10 ]此时，可以得出10种颜色组合方式，如（红、蓝、绿）、（红、蓝、黄）等。
三、排列与组合之间的联系与区别虽然排列和组合都是从一个集合中选择元素，但它们有本质上的区别。
顺序：排列关注顺序，选择a和b以及b和a，被视为两种不同情况。
组合不关注顺序，选择a和b以及b和a，被视为相同情况。
计算方法：排列使用的是A(n, r)公式。
高中数学中的排列与组合重要知识点详解
高中数学中的排列与组合重要知识点详解排列与组合是高中数学中的重要知识点之一，它们在概率统计、数论以及实际问题中的应用非常广泛。
本文将详细介绍排列与组合的相关概念、性质以及应用。
一、排列的概念与性质排列是指从给定的元素中选取一部分按照一定的顺序进行排列，其结果不同于组合。
在排列中，每个元素只能使用一次，且不同的顺序会形成不同的排列。
1. 重复排列重复排列是指从给定的元素中选取一部分进行排列，但允许元素的重复使用。
对于n个元素中选取r个进行重复排列的可能数可以表示为n^r。
2. 不重复排列不重复排列是指从给定的元素中选取一部分进行排列，但不允许元素的重复使用。
对于n个元素中选取r个进行不重复排列的可能数可以表示为A(n, r)或nPr，计算公式为A(n, r) = n!/(n-r)!。
二、组合的概念与性质组合是指从给定的元素中选取一部分，不考虑其顺序，将其组成一个集合。
在组合中，不同顺序的元素组合形成的结果是相同的。
1. 重复组合重复组合是指从给定的元素中选取一部分进行组合，允许元素的重复使用。
对于n个元素中选取r个进行重复组合的可能数可以表示为C(n+r-1, r)或C(n+r-1, n-1)，计算公式为C(n+r-1, r) = (n+r-1)! / (r!(n-1)!)。
2. 不重复组合不重复组合是指从给定的元素中选取一部分进行组合，不允许元素的重复使用。
对于n个元素中选取r个进行不重复组合的可能数可以表示为C(n, r)或nCr，计算公式为C(n, r) = n! / (r!(n-r)!。
三、排列与组合的应用排列与组合既有理论上的意义，也有广泛的实际应用。
1. 概率统计排列与组合在概率统计中经常用来计算样本空间的大小，从而计算概率。
例如，在抽取彩票号码、扑克牌的发牌问题中，可以利用排列与组合的知识来计算可能的结果数量。
2. 数论排列与组合也在数论中有重要的应用。
例如，在数论中，可能出现对排列和组合的计数问题，而排列与组合的知识可以帮助解决这些问题。
数学排列组合知识点精要讲解
数学排列组合知识点精要讲解在我们的数学世界中，排列组合是一个既有趣又实用的知识领域。
它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们解决各种各样看似复杂的计数问题。
首先，让我们来理解一下什么是排列。
排列指的是从给定的元素中，按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。
比如说，从 5 个不同的数字中选取 3 个进行排列，那么第一个位置有 5 种选择，第二个位置剩下 4 种选择，第三个位置则剩下 3 种选择。
所以总的排列数就是5×4×3 ＝ 60 种。
排列的计算公式为：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！这里的“！”表示阶乘，比如 5! ＝ 5×4×3×2×1 。
接下来，再说说组合。
组合与排列不同，它不考虑选取元素的顺序。
还是上面那个例子，如果是从 5 个不同的数字中选取 3 个进行组合，那么组合的数量就会比排列少。
因为在组合中，只要元素相同，不管顺序如何，都算作同一种情况。
组合的计算公式是：C(n, m) ＝ n! ／ m!（n m)！为了更好地理解排列组合，我们来看几个实际的例子。
假设要从 10 个人中选出 3 个人参加比赛，这就是一个组合问题。
因为选出的 3 个人去参加比赛，他们的顺序不影响结果。
但如果是要从 10 个人中选出3 个人分别参加不同的比赛项目，这就是一个排列问题，因为不同的比赛项目，人员的顺序是有影响的。
在解决排列组合问题时，有一些常见的方法和技巧。
比如插空法，如果有一些元素要求不能相邻，那么我们就先排好其他元素，然后在这些元素形成的空隙中插入不能相邻的元素。
还有捆绑法，当有一些元素必须相邻时，我们可以把它们看作一个整体，先和其他元素一起排列，然后再考虑内部的排列。
另外，在一些复杂的问题中，可能需要分类讨论。
把问题分成不同的情况，分别计算每种情况的排列组合数，最后再把结果相加。
排列组合在实际生活中的应用也非常广泛。
比如在彩票抽奖中，计算中奖的可能性就用到了排列组合的知识。
高二数学知识点详解：排列组合公式
高二数学知识点详解：排列组合公式这篇高二数学知识点详解：排列组合公式是特地为大家整理的，希望对大家有所帮助!排列组合公式/排列组合计算公式排列P------和顺序有关组合C-------不牵涉到顺序的问题排列分顺序，组合不分例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法.排列把5本书分给3个人，有几种分法组合1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n 个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n，m)表示.p(n，m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n，m)表示.c(n，m)=p(n，m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n，m)=c(n，n-m);3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n，r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1，m).排列(Pnm(n为下标，m为上标))Pnm=n(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n组合(Cnm(n为下标，m为上标))Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标)=1;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m-07-0813：30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
高考数学复习：排列与组合
【解析】(1)选C.至少要甲型和乙型电视机各一台可分 两种情况:甲型1台乙型2台;甲型2台乙型1台;故不同的 取法有 C52C14 C15C24 =70种.
【一题多解微课】解决本题(1)还可以采用以下方法: 选C.至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另 一种型号的电视机,故不同的取法共有 C39 C34=7C035 种.
【解析】方法一:可分为“乙、丙坐在前排,甲坐在前
排的八人坐法”和“乙、丙在后排,甲坐在前排的八人
坐法”两类情况.应当使用分类加法计数原理,在每类
情况下,划分“乙丙坐下”“甲坐下”“其他五人坐下”
三个步骤,又要用到分步乘法计数原理,这样可有如下
算法:
A24
A12
A55
A
2 4
A14
A55
=8
640(种).
捆绑法
插空法 除法
间接法
相邻问题捆绑处理,即可以把相邻几个元素看 作一个整体与其他元素进行排列,同时注意捆 绑元素的内部排列
不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元 素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排 列的空中
对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后, 再除以已定元素的全排列
对于分类过多的问题,按正难则反,等价转化 的方法
1
Cm n1
【常用结论】 1.排列与组合的区别
排列
排列与顺序有关
两个排列相同,当且仅当 这两个排列的元素及其排 列顺序完全相同
组合
组合与顺序无关
两个组合相同,当且仅当 这两个组合的元素完全相 同
2.巧记组合数的性质
性质
Cmn
Cnm n
记忆策略
从n个不同元素中取出m个元素的方法 数等于取出剩余n-m个元素的方法数.
排列组合学习笔记
排列组合学习笔记
排列组合学习笔记
⼀.定义
P (m ,n )表⽰在n 个数中选取m 个数，所有排列的总数。
例如我找n 个⼈来，任意选m 个⼈来排队，总共有多少种不同的排法。
PS :P (m ,n )=A (m ,n )
C (m ,n )表⽰在n 个数中选出m 个数，总共有多少种组合⽅式。
⼆.计算公式
P (m ,n )=n (n −1)(n −2)...(n −m +1) 这个没有什么好讲的了，⽤乘法原理就可以了C (m ,n )=P (m ,n )P (m ,m )=n !
(n −m )!m ! 这个解释起来也很简单，我们先算出P (m ,n ) ，下⼀步要去重，我们k 个数有P (k ,k )个排列，但是在组合中，我们只算⼀次，所以我们要除以⼀个P (k ,k )，这样就得出来了它的计算公式。
三.组合公式的变式
C (m ,n )=C (n −m ,n ) (1)
这个公式还算好理解，想象⼀下，我们有n 个同学，我们要选出m 个同学打扫卫⽣。
换⼀种思路来说就是让(n −m )个同学不⽤打扫卫⽣，⽤数学公式来表达就是公式(1)了。
剩下的有点难，到时候再说吧。
四.没了！
Processing math: 100%。
数学笔记-排列组合
排列组合题型总结排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。
因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。
一．直接法1． 特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理：25A 24A =240 2．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有14A 种，余下的有24A ，共有14A 14A 24A =192所以总共有192+60=252二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。
如上例中（2）可用间接法2435462A A A +-=252 例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ⨯⨯个，其中0在百位的有2242⨯C ⨯22A 个，这是不合题意的。
故共可组成不同的三位数333352A C ⨯⨯-2242⨯C ⨯22A =432（个） 三．插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有11019A A ⨯=100中插入方法。
四．捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A 种排法，而男生之间又有44A 种排法，又乘法原理满足条件的排法有：44A ×44A =576练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（3324A C ）2． 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（1928129A C ⋅）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列）五．阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。
高三数学排列组合知识点归纳总结
高三数学排列组合知识点归纳总结数学是一门需要大量的思考和应用的学科，其中排列组合是数学中的一个重要部分。
在高三数学学习中，排列组合也是必修的一个内容，掌握了排列组合的知识，既能够帮助我们解决实际问题，又能够培养我们的思维能力和数学思维方式。
本文将对高三数学中的排列组合知识点进行归纳总结。
一、排列问题排列是指将若干个不同的元素按照一定的顺序排列起来，根据实际问题的不同，排列分为不放回排列和放回排列。
1. 不放回排列不放回排列的特点是每次抽出一个元素后不再放回，下一次的抽取范围减少一个元素。
例如，将10个不同的球依次排列，共有多少种排列方式？解法：根据乘法原理，第一个球有10种选择，第二个球有9种选择……依次类推，最后一个球有1种选择，因此共有10*9*…*1=10!种排列方式。
2. 放回排列放回排列的特点是每次抽出一个元素后将其放回，下一次的抽取范围不变。
例如，将10个不同的球排列，每次抽取时都将球放回，共有多少种排列方式？解法：与不放回排列不同，放回排列时每次抽取的元素都是独立的，因此每个位置上都有10种选择，所以共有10*10*…*10=10^n种排列方式。
二、组合问题组合是指从若干个不同的元素中取出一部分元素，不考虑其顺序，根据实际问题的不同，组合分为不放回组合和放回组合。
1. 不放回组合不放回组合的特点是每次抽取一个元素后不再放回，下一次的抽取范围减少一个元素。
例如，从10个不同的球中取出3个球，共有多少种组合方式？解法：根据组合的定义，只要选择了球，无论其顺序如何，都算作同一种组合方式。
所以，共有C(10,3) = 10!/(3!*(10-3)!)种组合方式。
2. 放回组合放回组合的特点是每次抽取一个元素后将其放回，下一次的抽取范围不变。
例如，从10个不同的球中取出3个球，每次抽取时都将球放回，共有多少种组合方式？解法：与不放回组合不同，放回组合时每次抽取的元素都是独立的，因此每个位置上都有10种选择，所以共有C(10+3-1,3) = C(12,3) =12!/(3!(12-3)!)种组合方式。
排列组合知识点
排列组合知识点排列组合是高中数学中的一个重要内容，它是指在一组元素中选取部分元素进行排列或组合的方式。
通过对元素的不同排列和组合，可以得到不同的结果，用于解决一些与选择、分配、摆放等问题有关的情景。
本文将以3000字详细介绍排列组合的基本概念、性质以及应用领域。
一、排列的基本概念和性质1. 排列的定义排列是指从一组元素中取出若干元素进行重新排列得到不同的序列。
这个序列的顺序是明确的，不同的排列方式得到的结果是不同的。
2. 排列的计算方法（1）全排列：从n个不同元素中取出m个元素进行排列，计算全排列的个数可以使用阶乘运算：P(n,m) = n!/(n-m)!（2）部分排列：从n个不同元素中取出m个元素进行排列，计算部分排列的个数可以使用阶乘运算：A(n,m)=n!/(n-m)!3. 排列的性质（1）排列具有顺序性：即不同的元素排列顺序不同时，得到的排列结果是不同的。
（2）排列的个数与元素个数有关：排列的个数与所选取的元素个数有关，当选取的元素个数与原集合中的元素个数相同时，排列的个数达到最大值。
（3）排列的个数与元素的重复性有关：当元素中存在重复元素时，排列的个数会减少。
二、组合的基本概念和性质1. 组合的定义组合是指从一组元素中取出若干元素进行组合，组合的结果不考虑元素的顺序。
2. 组合的计算方法从n个不同元素中取出m个元素进行组合，计算组合的个数可以使用组合数公式：C(n,m) = n!/[m!(n-m)!]3. 组合的性质（1）组合不考虑元素的顺序：组合的结果不受元素排列顺序的影响。
（2）组合的个数与元素的重复性有关：当元素中存在重复元素时，组合的个数会减少。
（3）组合的个数与元素个数有关：组合的个数受选取的元素个数和原集合的元素个数的影响。
三、排列组合的应用领域1. 概率统计排列组合在概率统计中具有重要的应用，用于计算事件的可能性。
例如，计算从一组数字中选取若干数字，得到某个特定数字的概率。
《排列组合》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
排列组合考纲要求1.了解排列的意义，理解排列数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.2.了解组合的意义，理解组合数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.3. 了解组合数性质. 知识点一：排列1.排列的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.若m <n ，这样的排列叫选排列；若m ＝n ,这样的排列叫全排列.2.排列数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有排列的个数，从n 个不同元素中取出m 元素的排列数，记作mn P .(1) P m n ＝n (n －1)(n －2) … (n －m ＋1)； (2) ==!P n n n n (n －1)(n －2) … 3×2×1； (3) P m n ＝()!!n n m -； 规定：0！＝1.知识点二：解决排列问题的基本方法.1. 优限法：即先排特殊的元素，或者特殊的位置.2．捆绑法：相邻问题，把相邻的元素看成一个整体，然后再参与其他元素的排列. 3．插空法：对元素互不相邻的排列问题，常常采用插空法，首先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中.4. 排除法：即从正面难以考虑时可以考虑它的对立面，用全部结果数减去对立事件的方法数.5.枚举法：即将所有排列按照一定的规律，一一列举出来的方法. 知识点三：组合1.组合的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，组成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有组合的个数，从n个不同元素中取出m 元素的组合数，记作mn C .(1)()()()121P C P !mm nnmn n n n n m m ---+==;(2)()!C !!mn n m n m =-(n ，*N ∈m ，且m ≤n ).3. 组合数性质：(1) C =C m n mn n-； (2) 111C +C C m m m n n n +++=.知识点四：解组合问题的方法1.分类讨论：即分析题中的限定条件将所给元素按性质适当分类，并侧重其中一类，相应各类分类讨论，分类时要做到不重不漏.2.等价转化：即把所求问题转化为与之等价的组合问题去解决.3.排除法.4.枚举法.知识点五：计数需注意问题1.排列为有序问题，组合为无序问题，两者都是不重复问题.2.排列包括两个要素，一个是不同的元素，另一个是确定的顺序. 即排列可分成两步，第一步取出元素，第二步排列顺序.3.组合只有一个要素，就是取出元素即可，与元素的排列顺序无关.4.要注意区分分类和分步计数原理，排列和组合，元素允许重复是直接用计数原理，而元素不允许重复的是排列和组合问题. 题型一 排列定义例1 五个同学站一排照相，共多少种排法？分析：把5个元素放在5个位置上，相当于5的全排列，也共有120P 55=种排法. 解答：N =120P 55=种排法题型二 排列数公式例2 设x N *∈，10x <，(20)(21)(30)().x x x --⋅⋅⋅-=A. 1020P x -B. 1120P x -C. 1030P x -D. 1130P x -分析：排列数公式 P m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)的特点: （1）等号右边最大的数是n ; （2）等号右边最小的数是n -m +1; （3）共有m 个连续自然数相乘. 解答：30n x =-,(30)(20)111m x x =---+=,∴ (20)(21)(30)x x x --⋅⋅⋅-=1130P x -题型三 解决排列应用题 例3 用1、2、3、4、5、6个数. （1）可以组成多少个五位数？（2）可以组成多少个没有重复数字的五位数？ （3）可以组成多少个1和2相邻的六位数？ （4）可以组成多少个1和2不相邻的六位数？分析：先考虑是用分类分步还是用排列组合，就是要观察一下数字是否允许重复，数字允许重复用分类分步计数原理，数字不允许重复用排列组合，数字相邻用捆绑法，数字不相邻用插空法.解答：（1）数字可以重复，所以用分步计数原理，每个数位上都有6个数字可选，因此共有5666666⨯⨯⨯⨯=个.（2）数字不可以重复，还有顺序，所以用排列,共720P 56==N 个.（3）1和2相邻，用捆绑法，先排1和2共22P 种，与余下的4个元素共有55P 种，则共有240P P 5522=个.（4）1和2不相邻，插空法，先排余下的4个元素44P 种，,再从5个空中挑选2个即25P 种，则共有480P P 2544=个.题型四 组合定义及组合数公式例4 从8名男生2名女生中任选5人， （1）共有多少种不同的选法？ （2）恰好有一名女生的不同选法？ 分析：选取元素干同一件事就组合问题.解答：（1）所有不同选法数就从10人中任选5人的组合数即252C 510=种.（2）从2名女生中任选1人的选法有12C 种，从8名男生中选出4人的选法有48C 种，由分步计数原理，恰有一名女生的选法有140C C 4812=种.题型五 组合数公式例5 （1）已知321818C C -=x x 则x =____. （2）=+97999899C C _____.分析：灵活运用组合数性质.解答：（1）根据题意得 23x x =-或(23)18x x +-=则3x =或7x =.（2）4950299100C C C C 21009810097999899=⨯===+. 题型六 解组合应用题例6 从8件不同的服装快递，2件不同的食品快递中任选5件. （1）至少有一件食品快递的不同选法总数？ （2）最多有一件食品快递的不同选法总数？分析：解决带有限制条件的组合应用题要根据题意正确地分类或分步,巧妙运用直接法或间接法.解答：（1）法一（直接法）分两类情况求解，第一类恰有一件食品快递选法有4812C C 种，第二类恰有两件食品快递选法有3822C C 种，由分类计数原理得至少有一件食品快递的不同选法共有196C C C C 38224812=+种.法二（排除法）从10件快递中任选5件选法总数减去选出的5件全为服装快递的总数即至少有一件为食品快递的不同选法有55108196C C -=种.（2） 最多有一件食品快递可分为以下两类，第一类选出的五件快递中恰有一件食品快递有1428C C 种选法，第二类选出的五件快递中恰有0件食品快递，有0528C C 种选法,由分类计数原理知最多有一件食品快递的选法有14052828196C C C C +=种.一、选择题1.设*x N ∈，10x <，则(10)(11)(17)x x x --⋅⋅⋅-用排列数符号表示为（ ）.A.x x --1017PB.817P x -C. 717P x -D. 810P x -2.从4人中任选2人担任正副班长，结果共有（ ）种.A. 4B. 6C. 12D. 243.将5本不同的笔记本分配给4个三好学生（每个学生只能拥有一本笔记本），则所有的分法种数为（ ）.A. 5！B. 20C. 54D. 454.5名学生报考4所不同的学校（每名学生只能报考一所学校），则所有的报考方法有（ ）种.A. 5！B. 20C. 54D. 455.将6名优秀教师分配到4个班级，要求每个班有1名教师，则不同的分法种数有（ ）种.A. 46PB. 46C. 46CD. 646.为抗击郑州水患，某医院派3名医生和6名护士支援郑州，他们被分配到郑州的三所医院，每个医院分配1名医生和2名护士，共有（ ）种不同的分配方法.A. 24122613P P P P +B. 221124122613P P P P P P ++ C. 121212362412C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅ D. 121212362412C C C C C C ⋅+⋅+⋅7.从4名男生和5名女生中任取3人，其中男生至多有一人,则不同的取法共有（ ）种 . A. 30 B. 50 C. 70 D. 808.某小组有男生7人，女生3人，选出3人中有1名男生，2名女生的不同选法有（ ）种.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅9.10件产品中有2件次品，任取3件至少有1件次品的不同抽法为（ ）种.A. 1229C C ⋅ B. 312828C C C +⋅ C. 33108C C - D. 12122928C C C C ⋅-⋅10.式子(1)(2)(15)16!x x x x ++⋅⋅⋅+（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C. 16x CD. 17x C妙记巧学，归纳感悟 二、判断题：1. 34567⨯⨯⨯⨯等于37P .（ ）2. 从甲、乙、丙、丁中任选两人做正、副班长，共有12种.（ ）3. 6个座位，3个人去坐，每人坐一个座位，则共36C 种.（ ） 4. 6个点最多可确定26C 条直线.（ ） 5. 6个点最多可确定26C 条有向线段.（ ） 6. 某铁路有十个站点，共需准备210P 种车票.（ ）7. 某铁路有十个站点，有210P 种不同票价（同样的两个站点的票价相同）.（ ） 8. 某组学生约定，假期每两人互通一封信，共计12封，这个小组学生有5人.（ ） 9. 把语文、数学、英语、美术、历史这五门课排在一天的五节课中，数学必须比美术先上的排法总数为44C 种.（ ）10.从3、5、7、9中任选两个，可以组成12个不同的分数值.（ ） 妙记巧学，归纳感悟 三、填空题1.若57n n C C =，则n =_______..2.若56P 2=n ，则n =_______.3.从数字0、1、2、3、4、5中任选3个数，可组成______个无重复数字的三位偶数.4.将4本同样的书分给5名同学，每名同学至多分一本，而且书必须分完则不同的分法总数有______种.5.2名教师和5名学生中选3人去旅游，教师不能不去，也不能全去，则共有______种选法. 妙记巧学，归纳感悟 四、解答1.将5名学生排成一排照相，其中3名男生，2名女生，则以下情况各有多少种不同的排法？（1）甲乙必须相邻； （2）甲乙互不相邻； （3）甲乙必须站两端； （4）甲乙不在两端； （5）男女相间.2. 将6本不同的书,在下列情况下有多少种分法？ （1）分成相等的三份； （2）平均分给甲乙丙三位同学；（3）分成三份，一份一本，一份两本，一份三本； （4）甲分一本，乙分两本，丙分三本；（5）如果一人分一本，一人分两本，一人分三本，分给甲乙丙. 高考链接1.（2018）某年级有四个班，每班组成一个篮球队，每队分别同其他三个队比赛一场，共需要比赛（ ）场.A. 4B. 6C. 5D. 7 2. 某段铁路共有9个车站，共需准备（ ）种不同的车票. A. 36 B. 42 C.64 D. 723. 甲袋中装有6个小球，乙袋中装有4个小球，所有小球颜色各不相同，现从甲袋中取两个小球，乙袋中取一个小球，则取出三个小球的不同取法共有（ ）种. A. 30 B. 60 C.120 D. 3604. 某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目,要求相声节目不能相邻，则不同的出场顺序有______种. 积石成山10件产品中有2件次品任取3件，至多有一件次品的不同取法总数为（ ）种.A. 312828C C C +B. 1229C C C. 33108C C - D. 12122928C C C C -2. 从4名男生和5名女生中任取3人，其中至少有男生，女生各一名，则不同的取法有（ ）种.A. 140B. 84C. 70D. 353. 某医疗小队有护士7人，医生3人，任选3人的不同选法有（ ）.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅4. 将4名优秀教师分配到3个班级，每个班至少分到一名教师，则不同的分配方案有（ ）种.A. 72B. 36C. 18D. 125. 5个人站成一排照相，甲不站排头，乙不站排尾的排法总数有（ ）种. A. 36 B. 78 C. 60 D. 486. 5个人站成一排照相，甲站中间的排法总数有（ ）种. A .24 B. 36 C. 60 D. 487. 5个人站成2排照相，第一排2人，第二排3人则不同的排法总数有（ ）种. A. 48 B. 78 C. 60 D. 1208. 从1、2、3、4中任选2个，再从5、6、7、8、9中任选2个可组成无重复的四位数的个数是（ ）个.A .720 B. 2880 C. 1440 D .1449. 某工作小组有9名工人，3名优秀工人，各抽5人参加比赛，要求优秀工人都参加不同的选法共有（ ）种.A. 12B.15C. 30D. 36 10. 式子(1)(2)(15)1!x x x x x ++⋅⋅⋅+-（）（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C.16x C D .17x C排列组合答案一、选择题二、判断题三、填空题1．12 解析：根据组合数性质1得5712n =+=2．8 解析：2(1)56n P n n =-= 8n ∴=3. 52 解析:分两类，第一类个位是零则有2520P =个；第二类，个位不是零，则有11124432P P P =个，所以共有20+32=52个.4．5 解析:只需在五人中选四人得到书即可，书相同无需排序,则有455C =种. 5．20 解析:老师不能不去，也不能全去，则只能去一人即122520C C =种.妙记巧学，归纳感悟：答案全，结果简. 四、解答题1.解：（1）把甲乙捆绑在一起有22P 种，与余下的3名学生共有44P 种，则甲乙必须相邻，有242448P P =种排法.（2）先把余下的3名学生排好有33P 种，再从形成的4个空中任选两个甲乙来排有24P 种，则甲乙不相邻有323472P P =种排法.（3）甲乙必须站两端，先排甲乙有22P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙必须站两端有323212P P =种排法.（4）先从3个位置中选2个甲乙来排有23P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙不在两端有233336P P =种. （5）男女相间则有323212P P =种排法.2. 解：（1）平均分堆问题.有2226423315C C C P =种方法. （2）平均分配问题，每人均分得2本.甲先取两本26C 种，乙再取两本24C 种，丙最后取两本22C 种，由分步计数原理得222642C C C =90种方法.（3）不平均分堆问题，第一份16C 种，第二份25C 种，第三份33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（4）不平均分配问题，甲先选一本16C 种，乙再选两本25C 种，丙最后选三本33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（5）不平均分配问题，且没有指定对象，先分三份123653C C C 种，再把这三份分给甲乙丙三人有33P 种，则共有种12336533360C C C P =方法.妙记巧学，归纳感悟： 排列组合来相遇，先组后排无争议. 高考链接1.B2.D3.B4.2400 解析:相声节目不相邻，则用插空法先排5个小品节目共有55P 种,五个小品节目共形成六个空选三个空插入相声节目有36P 种,则共有53562400P P =种.积石成山。
高中数学排列组合知识点总结
高中数学排列组合知识点总结排列组合是高中数学中的一个重要概念，涉及到数学中的选择、排列和组合等问题。
在解决实际问题中，排列组合常常能够提供有效的理论框架和计算方法。
本文将对高中数学中的排列组合知识点进行总结，帮助读者更好地理解和应用这一内容。
一、基本概念在开始讨论排列组合知识点之前，先来明确一些基本概念。
1.排列（Permutation）指的是从给定的一组元素中选出若干个元素按照一定的顺序进行排列。
2.组合（Combination）指的是从给定的一组元素中选出若干个元素进行组合，不考虑其顺序。
二、排列计算1.排列定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素进行排列，称为从n个不同元素中取出m个元素的排列。
记作A(n,m)或P(n,m)。
2.排列计算公式：A(n,m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，表示从1到n的所有正整数相乘。
三、组合计算1.组合定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素进行组合，称为从n个不同元素中取出m个元素的组合。
记作C(n,m)。
2.组合计算公式：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)四、问题求解1.排列问题求解步骤：a.明确问题的条件和要求；b.根据问题的条件和要求确定排列的范围和规模；c.根据排列计算公式进行计算；d.根据问题的要求进行答案的整理和归纳。
2.组合问题求解步骤：a.明确问题的条件和要求；b.根据问题的条件和要求确定组合的范围和规模；c.根据组合计算公式进行计算；d.根据问题的要求进行答案的整理和归纳。
五、常见问题类型1.选择问题：从给定的选项中选择若干个进行排列或组合。
2.分组问题：将一组元素进行分组排列或组合。
3.座位问题：将若干个人或物品按不同的排列规则安排座位。
4.商业问题：涉及到商品的排列和组合。
5.应用问题：将排列组合运用到实际生活和科学研究中。
六、应用示例1.案例一：某队伍有7名运动员，其中需要选出3名队员参加比赛，有多少种不同的选择方式？解答：根据组合计算公式C(7,3)，可以得到答案为35种。
高中数学知识点总结之排列组合概率论篇
49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不50. 解排列与组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。
如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（）A. 24B. 15C. 12D. 10解析：可分成两类：（2）中间两个分数相等相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。
∴共有5＋10＝15（种）情况51. 二项式定理性质：（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第表示）52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？A B的和（并）。
（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。
（6）对立事件（互逆事件）：（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
53. 对某一事件概率的求法：分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。
（1）从中任取2件都是次品；（2）从中任取5件恰有2件次品；（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”（4）从中依次取5件恰有2件次品。
解析：∵一件一件抽取（有顺序）分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。
54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。
排列组合知识点总结
排列组合知识点总结一、排列组合的基本概念1.1 排列的概念排列是指从给定的元素中按照一定的顺序选取若干元素的方式。
例如，从元素集合{a, b, c}中选择2个元素，按照顺序选择的话可能得到的排列有ab, ac, ba, bc, ca, cb。
可以看出，排列与元素的顺序有关。
通常情况下，从n个元素中取出m个元素，按照顺序排列的方式有n*(n-1)*(n-2)* ... *(n-m+1)种。
1.2 组合的概念组合是指从给定的元素中按照一定的规则选取若干元素的方式，但是不考虑元素的顺序。
例如，从元素集合{a, b, c}中选择2个元素，组合的情况有ab, ac, bc，并且ba, ca, cb这三种情况都属于ab, ac, bc中的一种。
通常情况下，从n个元素中取出m个元素，不考虑顺序的组合方式有C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)种。
1.3 排列组合的关系排列和组合是紧密相关的，它们之间的关系可以通过以下公式表示：A(n,m) = n! / (n-m)!C(n,m) = A(n,m) / m!也就是说，排列是组合乘以选取的元素顺序的情况。
二、排列组合的性质2.1 基本性质（1）排列和组合的个数都是离散的，不能是负数，也不能是小数。
（2）从n个元素中取出m个元素的排列个数一定是比组合个数多的，即A(n,m) > C(n,m)。
2.2 乘法原理乘法原理是排列组合问题中的重要原理，它指出，如果一个问题可以分解为多个步骤，每个步骤有若干种选择，那么整个问题的解法个数就等于各个步骤选择方式的乘积。
例如，如果有4个选择项，分别为A、B、C、D，每个选择项都有3种情况，那么根据乘法原理，一共有3*3*3*3=81种选择方式。
2.3 加法原理加法原理是排列组合问题中的另一个重要原理，它指出，如果一个问题可以分解为多个独立的子问题，那么整个问题的解法个数就等于各个子问题解法个数之和。
例如，从n个元素中取出m个元素的排列个数等于从n个元素中取出m个元素放在前面或者放在后面的情况之和。
排列组合基础知识详解
排列组合基础知识详解概述在数学中，排列和组合是两个基本的概念。
它们是解决计数问题的重要工具。
我们通过对元素的组织和选择来计算排列和组合的数量。
本文将详细讨论排列和组合的定义、计算公式以及应用场景。
排列排列是从给定元素集合中按照一定顺序选择若干元素的方式。
假设我们有n个元素，需要从中选择r个元素，并将它们按照一定顺序排列。
这样的排列数量可以表示为P(n, r)或nPr，计算公式为：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n!表示n的阶乘，即从1到n的所有正整数的乘积。
这个计算公式可以理解为：先从n个元素中选择一个放在第一位，再从剩下的n-1个元素中选择一个放在第二位，依次类推直到选择r个元素。
例如，假设我们有4个元素A、B、C和D，需要选择2个元素进行排列。
那么有以下6种排列方式：ABACADBABCBD公式计算为：P(4, 2) = 4! / 2! = 4 × 3 = 12。
组合组合是从给定元素集合中按照某种方式选择若干元素的方式。
与排列不同，组合的选择不考虑元素的顺序。
同样假设我们有n个元素，需要从中选择r个元素，组成一个无序的集合。
这样的组合数量可以表示为C(n, r)或nCr，计算公式为：C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)公式中的计算逻辑与排列类似，不同的是排列中还需要考虑元素的顺序，而组合中只需要选择元素本身，不需要考虑顺序。
回到之前的例子，我们有4个元素A、B、C和D，需要选择2个元素进行组合。
那么有以下6种组合方式：ABACADBCBDCD公式计算为：C(4, 2) = 4! / (2! × (4 - 2)!) = 4 × 3 / 2 = 6。
排列和组合的应用场景排列和组合广泛应用于各个领域，特别是概率统计、组合数学、计算机科学等。
在概率统计中，排列和组合用来计算可能性的数量。
例如，在赌场的扑克牌游戏中，我们可以通过排列和组合来计算获胜的可能性。
排列组合知识点总结及题型归纳
排列组合知识点总结及题型归纳嘿！今天咱们来好好聊聊排列组合这个让人又爱又恨的知识点呀！首先呢，咱们得搞清楚啥是排列，啥是组合。
哎呀呀，简单来说，排列就是从一堆东西里选出来，然后再排个顺序；组合呢，只要选出来就行，不管顺序啦！一、排列的知识点1. 排列的定义：从n 个不同元素中取出m（m≤n）个元素的排列数，记为A(n,m) 。
哇，这个公式可重要啦，A(n,m) = n! / (n - m)! ，记住没？2. 排列数的计算：咱们来算个例子，比如说从5 个不同的元素里选3 个进行排列，那就是A(5,3) = 5! / (5 - 3)! = 60 呀！二、组合的知识点1. 组合的定义：从n 个不同元素中取出m（m≤n）个元素的组合数，记为C(n,m) 。
公式是C(n,m) = n! / [m!(n - m)!] 。
2. 组合数的计算：就像从6 个不同元素里选4 个的组合数，C(6,4) = 6! / [4!(6 - 4)!] = 15 呢！三、常见的排列组合题型1. 排队问题：比如说，几个人排队，有多少种排法？这就得考虑有没有特殊位置或者特殊的人啦！2. 分组问题：把一些东西分成不同的组，要注意平均分和不平均分的情况哟！3. 分配问题：把人或者物品分配到不同的地方，这里面可藏着不少小陷阱呢！四、解题技巧1. 优先考虑特殊元素或特殊位置：哎呀呀，这可是解题的关键呀！2. 捆绑法：有些元素必须在一起，那就把它们捆起来当成一个整体来处理。
3. 插空法：有些元素不能相邻，那就先排好其他的，再把不能相邻的插进去。
总之呢，排列组合虽然有点复杂，但是只要咱们掌握了这些知识点和题型，多做几道题练习练习，就一定能搞定它！哇，加油呀！。
排列组合知识点总结
排列组合知识点总结排列组合是数学中一个重要的分支，它在解决许多实际问题中都有着广泛的应用，比如抽奖、选座位、安排比赛等等。
下面让我们一起来详细了解一下排列组合的相关知识点。
一、基本概念1、排列从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同。
排列数用 A(n, m) 表示。
2、组合从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。
组合数用 C(n, m) 表示。
二、排列数与组合数的计算公式1、排列数公式A(n, m) ＝ n(n 1)（n 2)…（n m ＋ 1) ＝ n! ／（n m)！2、组合数公式C(n, m) ＝ n! ／ m!（n m)！三、排列组合的基本性质1、排列的性质（1）A(n, n) ＝ n!（2）A(n, m) ＝ nA(n 1, m 1)2、组合的性质（1）C(n, 0) ＝ C(n, n) ＝ 1（2）C(n, m) ＝ C(n, n m)四、解决排列组合问题的常用方法1、特殊元素优先法对于存在特殊元素的问题，优先考虑特殊元素的排列或组合。
2、捆绑法当要求某些元素必须相邻时，可以将这些元素看作一个整体，与其他元素一起进行排列，然后再考虑这些相邻元素的内部排列。
3、插空法当要求某些元素不能相邻时，先将其他元素排列好，然后在这些元素之间及两端的空位中插入不能相邻的元素。
4、间接法有些问题直接求解较为复杂，可以先求出总的排列或组合数，然后减去不符合要求的排列或组合数。
5、分类讨论法当问题包含多种情况时，需要对不同情况进行分类讨论，然后将各种情况的结果相加。
五、常见的排列组合问题类型1、排队问题例如，n 个人排成一排，共有多少种不同的排法；某些人必须相邻或不能相邻的排法等。
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排排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。
因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。
一． 直接法1． 特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理：25A 24A =240 2．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有14A 种，余下的有24A ，共有14A 14A 24A =192所以总共有192+60=252 二． 间接法当直2）可用间接法2435462A A A +-=252 例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ⨯⨯个，其中0在百位的有2242⨯C ⨯22A 个，这是不合题意的。
故共可组成不同的三位数333352A C ⨯⨯-2242⨯C ⨯22A =432（个） 三． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？ 分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有11019A A ⨯=100中插入方法。
四． 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？ 分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A 种排法，而男生之间又有44A 种排法，又乘法原理满足条件的排法有：44A ×44A =576 练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（3324A C ） 2． 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（1928129A C ⋅）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列）3,52,4五． 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。
分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有711C 种练习1.(a+b+c+d)15有多少项？当项中只有一个字母时，有14C 种（即a.b.c.d 而指数只有15故01414C C ⋅。
当项中有2个字母时，有24C 而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，114C 即24C 114C 当项中有3个字母时34C 指数15分给3个字母分三组即可21434C C 当项种4个字母都在时31444C C ⋅ 四者都相加即可． 练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（216C ）3．不定方程X 1+X 2+X 3+…+X 50=100中不同的整数解有（4999C ）六． 平均分堆问题 例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？ 分析：分出三堆书（a 1,a 2）,(a 3,a 4)，（a 5,a 6）由顺序不同可以有33A =6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有33222426A C C C =15种练习：1．6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？2．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。
七． 合并单元格解决染色问题例7 （全国卷（文、理））如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。
分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5． 下面分情况讨论:(ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素 ①③⑤的全排列数A44（ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得A44种着色法．（ⅲ）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格①从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有A C 3334⋅种方法．2,4由加法原理知：不同着色方法共有2A C A 333444 =48+24=72（种）练习1（天津卷（文））将3种作物种植在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ， 不同的种植方法共 种（以数字作答） （72）2．（江苏、辽宁、天津卷（理））某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）．（120）图3 图43．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE 五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）4．如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种（84）图5 图65．将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种（420）八． 递推法例八 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？分析：设上n 级楼梯的走法为a n 种，易知a 1=1,a 2=2,当n ≥2时，上n 级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有a n-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有a n-2种走法，由加法原理知：a n =a n-1+ a n-2,据此，a 3=a 1+a 2=3,a 4=a #+a 2=5,a 5=a 4+a 3=8,a 6=13,a 7=21,a 8=34,a 9=55,a 10=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法。
九.几何问题1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有 种（335C +3=33）2.四面体的棱中点和顶点共10个点（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？ (310C -436C +4-334C +3-6C 34+6+2×6=29)(2)以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？ 三棱锥 C 104-4C 64-6C 44-3C 44=141 四棱锥 6×4×4=96 3×6=18 共有114十． 先选后排法546132ED CB A4321例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有（）A.1260种 B.2025种 C.2520种 D.5054种分析：先从10人中选出2人十一．用转换法解排列组合问题例10．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．A=20种解把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．25例11．个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．C=126种解把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题．59例12 从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法．C解把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。
10991例13某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．C=35（种）解无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题．37例14一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．解根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6 C=924（种）．个相同的白球的排列问题．612例15求（a+b+c）10的展开式的项数．C=66解展开使的项为aαbβcγ,且α+β+γ=10，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题．212（种）例16亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？解设亚洲队队员为a1,a2，…,a5,欧洲队队员为b1，b2，…，b5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比C=252（种）赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为610十二．转化命题法例17圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？分析：因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的15C=1365（个）个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有415十三．概率法例18一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为21，故本例所求的排法种数就是所有排法的21，即21A=360种十四．除序法 例19 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？ 解（1）3377A A （2）443377A A A十五．错位排列例20 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有 种（9） 公式 1）))(1(21--+-=n n na a n a n=4时a 4=3(a 3+a 2)=9种 即三个人有两种错排，两个人有一种错排．2）n a =n!(1-!11+!21-!31+…+()n 1-!1n 练习 有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？（44）。