浙教版一元二次方程知识点及习题

一元二次方程知识点及习题（一）

1、认识一元二次方程：

概念：只含有一个未知数，并且可以化为20ax bx c ++= (,,a b c 为常数，0a ≠)的整式方程叫一元二次方程。

构成一元二次方程的三个重要条件：

①、方程必须是整式方程(分母不含未知数的方程)。

如：2230x x --=是分式方程，所以2230x x

--=不是一元二次方程。 ②、只含有一个未知数。

③、未知数的最高次数是2次。

2、一元二次方程的一般形式：

一般形式：20ax bx c ++= (0a ≠)，系数,,a b c 中，a 一定不能为0，b 、c 则可以为0，其中，2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。任何一个一元二次方程经过整理(去括号、移项、合并同类项…)都可以化为一般形式。

例题：将方程2(3)(31)x x x -+=化成一元二次方程的一般形式. 解： 2(3)(31)x x x -+=

去括号，得： 22383x x x --=

移项、合并同类项，得： 22830x x --= (一般形式的等号右边一定等于0)

3、一元二次方程的解法：

(1)、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解） 形式：2()x a b +=

(2)、配方法：（理论依据：根据完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±，将原

方程配成2()x a b +=的形式，再用直接开方法求解.）

(3)、公式法：（求根公式：x =） (4)、分解因式法：（理论依据：0a b •=，则0a =或0b =；利用提公因式、

运用

、十字相乘等分解因式方法将原方程化成两个因式相乘等于0的形式。）

一：一元二次方程的定义

例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）

A ()()12132+=+x x

B 02112=-+x x

C 02=++c bx ax

D 1222+=+x x x

2、若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（ ）

A ．2±=m

B ．m=2

C ．2-≠m

D ．2±≠m

3、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2＋x+a 2－l=0的一个根是0。则a 的值为

( )

A 、 1

B 、－l

C 、 1 或－1

D 、 12

4、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是。

5、关于x 的方程0)2(22=++-+b ax x a a 是一元二次方程的条件是（ ）

A 、a ≠1

B 、a ≠－2

C 、a ≠1且a ≠－2

D 、a ≠1或a ≠－2 二：一元二次方程的解

1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为。

2、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为，另一根是。

3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622。

4、若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，a,b,c 满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是_______。

5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ）

A 1-

B 1

C c b -

D a - 课堂练习：

1、已知一元二次方程x 2+3x+m=0的一个根为-1，则另一个根为

2、已知x=1是一元二次方程x 2+bx+5=0的一个解，求b 的值及方程的另一个根．

3、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为。

4、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此

方程必有一根为。

三：一元二次方程的求解方法

一、直接开平方法 ();0912

=--x 二、配方法

．

练习

1、如果二次三项式16)122++-x m x （

是一个完全平方式，那么m 的值是_______________

2、试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。

3、已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。

4、已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。

三、公式法

1、0822=--x x

2、01522=+-x x

四、因式分解法

1、x x 22=

2、0)32()1(22=--+x x

3、0862=+-x x

五、整体法

例：()()

=+=-+-+2222222,06b 则a b a b a 。 变式1：若()()032=+--+y x y x ，则x+y 的值为。

变式2：若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则x+y 的值为。

变式3：已知5)3)(1(2222=-+++y x y x ，则22y x +的值等于。

四：一元二次方程中的代换思想（降次）

典例分析：

1、已知0232=+-x x ，求代数式()1

1123-+--x x x 的值。

2、如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值。

3、已知βα,是方程012=--x x 的两个根，那么=+βα34.

4、已知a 是一元二次方程0132

=+-x x 的一根，求1152223++--a a a a 的值。

五：根的判别式

1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是。

2、关于X 的方程0162=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是

（ ）

A 、k ＞9

B 、k ＜9且k ≠0

C 、k ＜9

D 、k ≤9且k ≠0

3、关于x 的一元二次方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是

( )

A.10≠≥且m m

B.0≥m

C.1≠m

D.1>m

4、对于任意实数m ，关于x 的方程一定（ ）

A. 有两个正的实数根

B. 有两个负的实数根

C. 有一个正实数根、一个负实数根

D. 没有实数根

课堂练习：