复习全程测评卷

复习全程测评卷测试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)1．[2016·成都诊断考试]已知集合A＝{x|y＝4x－x2}，B＝{x||x|≤2}，则A∪B＝()A．[－2,2] B．[－2,4]C．[0,2] D．[0,4]答案 B解析A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|－2≤x≤2}，故A∪B＝{x|－2≤x ≤4}，故选B.2.[2017·重庆统考]函数y ＝e |x |－x 3的大致图象是( )答案 A解析 易知函数y ＝e |x |－x 3为非奇非偶函数，排除B ；当x <0时，y >0，排除C ；当x ＝2时，y ＝e 2－8<0，排除D ，故选A.3．[2017·呼和浩特调研]设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 向x 轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k 等于( )A.32 B ．±32 C ．±12 D.12答案 B解析 由题意可得c ＝1，a ＝2，b ＝3，不妨取A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，±32，则直线的斜率k ＝±32.4．[2016·洛阳第一次联考]如果圆x 2＋y 2＝n 2至少覆盖曲线f (x )＝3sin πxn (x ∈R)的一个最高点和一个最低点，则正整数n 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 最小范围内的至高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2，3，原点到至高点距离为半径，即n 2＝n24＋3⇒n ＝2，故选B.5．[2016·长春质量检测]运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )A.29－129B.29＋129C.210－1210D.210210＋1 答案 A解析 由程序框图可知，输出的结果是首项为12，公比也为12的等比数列的前9项和，即29－129，故选A.6．[2017·广州调研]如图，在矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，N 是CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝( )A.25B.45 C.65 D.85答案 D解析 ∵AC →＝λAM →＋μBN →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BC →＋CN →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋12AD →＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AD →－12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12μAB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAD →，又AC →＝AB →＋AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝1，12λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，∴λ＋μ＝85.7．[2017·贵阳检测]已知a ＝2－ 13，b ＝(2log 23)－ 12，c ＝cos50°·cos10°＋cos140°sin170°，则实数a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >b >a答案 C解析 因为a ＝2－ 13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 13 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14 16 ，b ＝(2 log 23) － 12 ＝3－ 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 12＝⎝⎛⎭⎪⎫127 16，所以a >b ，排除B 、D ；c ＝cos50°·cos10°＋cos140°sin170°＝sin40°cos10°－cos40°sin10°＝sin30°＝12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14 12，所以b >c ，所以a >b >c ，故选C.8．[2016·浙江高考]在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6答案 C解析 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，又C (2，－2)，D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝(2＋1)2＋(－2－1)2＝3 2.故选C.9．[2017·广西质检]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．24＋6π B．12πC．24＋12π D．16π答案 A解析由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体与6个半径为1的半球构成的组合体，该组合体的表面由6个半球的表面(除去半球底面圆)、正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆构成，所以6个半球的表面(除去半球底面圆)的面积之和S1等于3个球的表面积，即S1＝3×4π×12＝12π；正方体的6个表面正方形挖去半球底面圆的面积之和为S2＝6(22－π×12)＝24－6π.所以该组合体的表面积为S＝S1＋S2＝12π＋(24－6π)＝24＋6π.10．[2016·南京模拟]已知四面体P－ABC中，P A＝4，AC＝27，PB＝BC＝23，P A⊥平面PBC，则四面体P－ABC的外接球半径为()A．2 2 B．2 3C．4 2 D．4 3答案 A解析 P A ⊥平面PBC ，AC ＝27，P A ＝4，∴PC ＝23，∴△PBC 为等边三角形，设其外接圆半径为r ，则r ＝2，∴外接球半径为2 2.故选A.11．[2017·桂林联考]已知抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴相交于点P ，过点P 且斜率为k (k >0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若|FB |＝2|F A |，则AB 的长度为( )A.32 B ．2 C.172 D.17答案 C解析 依题意知P (－1,0)，F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|FB |＝2|F A |，得x 2＋1＝2(x 1＋1)，即x 2＝2x 1＋1 ①，∵P (－1,0)，则AB 的方程为y ＝kx ＋k ，与y 2＝4x 联立，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，则Δ＝(2k 2－4)2－4k 4>0，即k 2<1，x 1x 2＝1 ②，由①②得x 1＝12，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，∴k ＝2－012－(－1)＝223，∴x 1＋x 2＝52， |AB |＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋89[](x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝172，选C.12．[2017·河南郑州检测]已知点F 2、P 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点与右支上的一点，O 为坐标原点，若OM →＝12(OP →＋OF 2→)，OF 2→2＝F 2M →2，且2OF 2→·F 2M →＝a 2＋b 2，则该双曲线的离心率为( )A.3＋12 B.32 C.3 D ．2 3答案 A解析 设双曲线的左焦点为F 1，依题意知，|PF 2|＝2c ，因为OM →＝12(OP →＋OF 2→)，所以点M 为线段PF 2的中点．因为2OF 2→·F 2M →＝a 2＋b 2，所以OF 2→·F 2M →＝c 22，所以c ×c ×cos ∠PF 2x ＝12c 2，所以cos ∠PF 2x ＝12，所以∠PF 2x ＝60°，所以∠PF 2F 1＝120°，从而|PF 1|＝23c ，根据双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以23c －2c ＝2a ，所以e ＝c a ＝13－1＝3＋12，故选A.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.[2016·北京高考]双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.答案 2解析 由OA 、OC 所在直线为渐近线，且OA ⊥OC ，知两条渐近线的夹角为90°，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x 2－y 2＝a 2.OB是正方形的对角线，且点B 是双曲线的焦点，则c ＝22，根据c 2＝2a 2可得a ＝2.14．[2017·云南检测]若函数f (x )＝4sin5ax －43cos5ax 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π3，则实数a 的值为________．答案 ±35解析 因为f (x )＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5ax －π3，依题意有，T 2＝π3，所以T ＝2π3，又因为T ＝2π5|a |，所以2π5|a |＝2π3，解得a ＝±35.15．[2017·山西怀仁期末]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c ，直线y ＝33(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为________．答案3＋1解析 ∵直线y ＝33(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为30°，∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，∴∠F 2PF 1＝90°，即F 1P ⊥F 2P .∴|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝|F 1F 2|·sin60°＝3c ，由双曲线的定义得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ，∴双曲线C 的离心率e ＝c a ＝c3c －c 2＝3＋1. 16．[2017·成都诊断]已知函数f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧2a －x －4x －3，x ∈(－∞，a )，x －4x －3，x ∈[a ，＋∞)(a >0)有且只有3个不同的零点x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，且2x 2＝x 1＋x 3，则a ＝________.答案 1＋332解析f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －x －4x －3，x ∈(－∞，a )，x －4x －3，x ∈[a ，＋∞)，则当x ≥a 时，令f (x )＝0，解得x ＝－1或x ＝4.①当0<a ≤4时，x 3＝4，由题意知x 1，x 2是2a －x －4x －3＝0，即方程x 2－(2a －3)x ＋4＝0的两个解，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a －3，x 1·x 2＝4，2x 2＝x 1＋4，得a ＝1＋332或a ＝1－332(舍去)；②当a >4时，f (x )＝0最多有两个解，不满足题意． 综上，a ＝1＋332.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．[2016·河南六市联考](本小题满分12分)如图，在一条海防警戒线上的点A 、B 、C 处各有一个水声监测点，B 、C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A 、C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求P 到海防警戒线AC 的距离．解 (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12.(2分)在△P AB 中，AB ＝20，cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x ， 同理，在△P AC 中，AC ＝50，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .(4分)∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ，∴3x ＋325x ＝25x ，解得x ＝31.(6分)(2)作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝2531，得sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131，(9分) ∴PD ＝P A sin ∠P AD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．(12分)18．[2017·重庆八中质检](本小题满分12分)某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理，现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量(单位：个)，得到如图所示的柱状图．以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕．(1)求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：个，n ∈N)的函数解析式；(2)求当天的利润不低于750元的概率．解 (1)当n ≥17时，y ＝17×(100－50)＝850；当n ≤16时，y ＝50n －50(17－n )＝100n －850.得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧100n －850(n ≤16)，850(n ≥17)(n ∈N)．(7分) (2)设当天的利润不低于750元为事件A ，由(1)得“利润不低于750元”等价于“需求量不低于16个”，P (A )＝1－10＋20100＝0.7.(12分)19．[2017·河北五校联考](本小题满分12分)在如图所示的三棱锥D －ABC 中，AD ⊥DC ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，∠BAC ＝45°，平面ACD ⊥平面ABC ，E ，F 分别在BD ，BC 上，且BE ＝2ED ，BC ＝2BF .(1)求证：BC⊥AD；(2)求平面AEF将三棱锥D－ABC分成的四棱锥A－EFCD与三棱锥E－ABF的体积之比．解(1)证明：∵AD＝CD＝2，AD⊥DC，∴△ACD是等腰直角三角形，AC＝22，如图，取AC的中点O，连接OD，则OD⊥AC.(2分)∵平面ACD⊥平面ABC，∴OD⊥平面ABC，则OD⊥BC.∵AB＝4，∠BAC＝45°，∴BC＝22，(4分)即△ACB是等腰直角三角形，且BC⊥AC.∵OD∩AC＝O，∴BC⊥平面ACD.∵AD⊂平面ACD，∴BC⊥AD.(6分)(2)解法一：由(1)得OD ＝2，过E 作EH ⊥平面ABC 交OB 于点H ，则EH OD ＝BE BD .∵BE ＝2ED ，∴BE BD ＝23，则EH OD ＝BE BD ＝23，则EH ＝23OD ＝223.(8分)∵BC ＝2BF ，∴F 是BC 的中点，则BF ＝12BC ＝12×22＝2，则△ABF 的面积S ＝12BF ×AC ＝12×2×22＝2，则三棱锥D －ABC 的体积V ＝13×12AC ×BC ×OD ＝13×12×22×22×2＝423，三棱锥E －ABF 的体积V 1＝13×2×223＝429，则四棱锥A －EFCD 的体积V 2＝423－429＝1229－429＝829，则平面AEF 将三棱锥D －ABC 分成的四棱锥A －EFCD 与三棱锥E －ABF 的体积之比为829∶429＝2∶1.(12分)解法二：∵V E －ABF ＝V A －BEF ，∴V A －EFCD ∶V E －ABF ＝V A －EFCD ∶V A －BEF ＝S 四边形EFCD ∶S △BEF .(8分)又S △BEF ＝12×BE ×BF sin ∠EBF ， S △BCD ＝12×BC ×BD sin ∠CBD＝12×2BF ×32BE sin ∠EBF ，∴S 四边形EFCE ＝S △BCD －S △BEF ＝BE ×BF sin ∠EBF ，∴S 四边形EFCD ∶S △BEF ＝2∶1, (11分)即平面AEF 将三棱锥D －ABC 分成的四棱锥A －EFCD 与三棱锥E －ABF 的体积之比为2∶1.(12分)20．[2016·全国卷Ⅲ](本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解 由题知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0， 且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛ －12，⎭⎪⎫a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.(3分)(1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－ab a ＝－b ＝k 2， 所以AR ∥FQ .(5分)(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 则题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)，而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1.所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1.(12分)21．[2016·湖北八校联考](本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 是等边三角形，BC ＝CC 1＝4，D 是A 1C 1中点．(1)求证：A 1B ∥平面B 1CD ；(2)当三棱锥C －B 1C 1D 体积最大时，求点B 到平面B 1CD 的距离． 解 (1)证明：连接BC 1交B 1C 于O ，连接DO .在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形BB 1C 1C 为平行四边形，则BO ＝OC 1，又D 是A 1C 1中点，∴DO ∥A 1B ，而DO ⊂平面B 1CD ，A 1B ⊄平面B 1CD ，∴A 1B ∥平面B 1CD .(4分)(2)设点C 到平面A 1B 1C 1的距离是h ，则V C －B 1C 1D ＝13S △B 1C 1D h ＝233h ，而h ≤CC 1＝4，故当三棱锥C －B 1C 1D 体积最大时，h ＝CC 1＝4，即CC 1⊥平面A 1B 1C 1.(6分)由(1)知BO ＝OC 1，所以B 到平面B 1CD 的距离与C 1到平面B 1CD 的距离相等．∵CC 1⊥平面A 1B 1C 1，B 1D ⊂平面A 1B 1C 1，∴CC 1⊥B 1D .∵△ABC 是等边三角形，D 是A 1C 1中点，∴A 1C 1⊥B 1D ，又CC 1∩A 1C 1＝C 1，CC 1⊂平面AA 1C 1C ，A 1C 1⊂平面AA 1C 1C ，∴B 1D ⊥平面AA 1C 1C ，∴B 1D ⊥CD ，由计算得：B 1D ＝23，CD＝25，所以S △B 1CD ＝215，(8分)设C 1到平面B 1CD 的距离为h ′，由V C －B 1C 1D ＝V C 1－B 1CD ，得233×4＝13S △B 1CD h ′⇒h ′＝455，所以B 到平面B 1CD 的距离是455.(12分)22．[2016·兰州质检](本小题满分12分)已知椭圆C 的焦点坐标是F 1(－1,0)、F 2(1,0)，过点F 2垂直于长轴的直线l 交椭圆C 于B 、D 两点，且|BD |＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，且满足PM →·PN →＝54？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆的方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝1，∵|BD |＝3，∴2b 2a ＝3，又a 2－b 2＝1，∴a ＝2，b ＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k (x －2)＋1，由⎩⎨⎧ y ＝k (x －2)＋1，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0， 因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)>0，所以k >－12.又x 1＋x 2＝8k (2k －1)3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k 2，(8分)因为PM →·PN →＝(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝54，即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝54， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 2－16k －83＋4k 2－2·8k (2k －1)3＋4k 2＋4(1＋k 2)＝4＋4k 23＋4k 2＝54. 解得k ＝±12，因为k >－12，所以k ＝12.故存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .(12分)。